エクササイズ.
でxの値を見つけます。
解決。
関数の引数の値を見つけることは、それが任意の値と等しいことを意味し、どの引数の正弦値が条件に示されているものとまったく同じになるかを決定することを意味します。
この場合、正弦値が1/2に等しくなる値を見つける必要があります。 これはいくつかの方法で行うことができます。
たとえば、を使用して、xのどの値で正弦関数が1/2に等しくなるかを決定します。
別の方法はを使用することです。 サインの値はOy軸上にあることを思い出させてください。
最も一般的な方法は、特にこの関数の標準値が1/2の場合は、を参照することです。
すべての場合において、副鼻腔の最も重要な特性の1つであるその周期を忘れないでください。
テーブルで正弦の値1/2を見つけて、それに対応する引数を確認しましょう。 私たちが興味を持っている議論は、Pi / 6と5Pi / 6です。
与えられた方程式を満たすすべての根を書き留めましょう。 これを行うには、関心のある未知の引数xと、テーブルから取得した引数の値の1つ、つまりPi / 6を書き留めます。期間を考慮して書き留めます。サインの、引数のすべての値：
2番目の値を取り、前の場合と同じ手順に従います。
元の方程式の完全な解は次のようになります。 
と 
NS任意の整数の値を取ることができます。
| BD | -点Aを中心とする円の弧の長さ。
αはラジアンで表される角度です。
接線（ tgα）は、斜辺と直角三角形の脚の間の角度αに依存する三角関数であり、反対側の脚の長さの比率に等しくなります| BC | 隣接する脚の長さまで| AB | ..。
コタンジェント（ ctgα）は、斜辺と直角三角形の脚の間の角度αに依存する三角関数であり、隣接する脚の長さの比率に等しくなります| AB | 反対側の脚の長さに| BC | ..。
正接
どこ NS- 全体。
西洋文学では、接線は次のように表されます。
.
;
;
.
タンジェント関数のプロット、y = tg x
コタンジェント
どこ NS- 全体。
西洋文学では、余接は次のように表されます。
.
以下の指定も採用されています。
;
;
.
余接関数グラフ、y = ctg x
接線と余接のプロパティ
周期性
関数y = tg xおよびy = ctg x周期はπです。
パリティ
タンジェント関数とコタンジェント関数は奇数です。
ドメインと価値観、増加、減少
接線関数と余接関数は、定義域で連続です（連続性の証明を参照）。 タンジェントとコタンジェントの主なプロパティを表に示します（ NS- 全体）。
| y = tg x | y = ctg x | |
| 定義と継続性の領域 | ||
| 値の範囲 | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| 上昇 | - | |
| 降順 | - | |
| エクストリーム | - | - |
| ゼロ、y = 0 | ||
| y軸との交点x = 0 | y = 0 | - |
方式
サインとコサインに関する式
;
;
;
;
;
和と差の接線と余接の式
残りの式は、たとえば簡単に入手できます。
接線の積
接線の合計と差の式
この表は、引数のいくつかの値のタンジェントとコタンジェントの値を示しています。 
複素数に関する式
双曲線関数に関する式
;
;
デリバティブ
; .
.
関数の変数xに関するn次の導関数：
.
接線の式の導出>>>; 余接の場合>>>
積分
シリーズ拡張
xのべき級数で接線の展開を取得するには、関数のべき級数で展開のいくつかの項をとる必要があります。 sin xと cos xそして、これらの多項式を互いに除算します。 これにより、次の式が得られます。
で 。
で 。
どこ B n-ベルヌーイ数。 それらは、漸化式から決定されます。
;
;
どこ 。
またはラプラス式によると： 
逆関数
タンジェントとコタンジェントの逆関数は、それぞれアークタンジェントとアークコタンジェントです。
Arctangent、arctg
、 どこ NS- 全体。
Arccotangent、arcctg
、 どこ NS- 全体。
参照：
の。 ブロンスタイン、K.A。 Semendyaev、技術機関のエンジニアと学生のための数学のハンドブック、「Lan」、2009年。
G. Korn、科学者およびエンジニアのための数学ハンドブック、2012年。
このページには、多くの演習を解くのに役立つすべての基本的な三角関数の式があり、式自体が大幅に簡略化されています。
三角関数の数式は、引数のすべての有効な値に対して実行される三角関数の数学的な等式です。
数式は、主な三角関数（正弦、余弦、接線、余接）間の関係を設定します。
角度の正弦は、単位円上の点（縦座標）のy座標です。 角度の余弦は、点のx座標（横座標）です。
タンジェントとコタンジェントは、それぞれ、サインとコサインの比率であり、その逆も同様です。
`sin \ \ alpha、\ cos \ \ alpha`
`tg \ \ alpha = \ frac（sin \ \ alpha）（cos \ \ alpha）、` `\ alpha \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n、\ n \ in Z`
`ctg \ \ alpha = \ frac（cos \ \ alpha）（sin \ \ alpha）、` `\ alpha \ ne \ pi + \ pi n、\ n \ in Z`
そして、あまり使用されない2つ-正割と余割。 これらは、1とコサインおよびサインの比率を表します。
`sec \ \ alpha = \ frac（1）（cos \ \ alpha）、` `\ alpha \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n、\ n \ in Z`
`cosec \ \ alpha = \ frac（1）（sin \ \ alpha）、` `\ alpha \ ne \ pi + \ pi n、\ n \ in Z`
三角関数の定義から、各四半期にどのような兆候があるかを確認できます。 関数の符号は、引数がどの四半期にあるかにのみ依存します。
引数の符号が「+」から「-」に変わると、余弦関数だけがその値を変更しません。 偶数と呼ばれます。 そのグラフは縦軸に対して対称です。
残りの関数（サイン、タンジェント、コタンジェント）は奇数です。 引数の符号を「+」から「-」に変更すると、その値も負に変わります。 それらのプロットは、原点に関して対称です。
`sin（-\ alpha）= --sin \ \ alpha`
`cos（-\ alpha）= cos \ \ alpha`
`tg（-\ alpha）= --tg \ \ alpha`
`ctg（-\ alpha）= --ctg \ \ alpha`
基本的な三角関数公式
基本的な三角関数のアイデンティティは、1つの角度の三角関数（ `sin \ \ alpha、\ cos \ \ alpha、\ tg \ \ alpha、\ ctg \ \ alpha`）間の接続を確立し、の値を見つけることができる式です。これらの各機能は、他の既知のものを介して機能します。
`sin ^ 2 \ alpha + cos ^ 2 \ alpha = 1`
`tg \ \ alpha \ cdot ctg \ \ alpha = 1、\ \ alpha \ ne \ frac（\ pi n）2、\ n \ in Z`
`1 + tg ^ 2 \ alpha = \ frac 1（cos ^ 2 \ alpha）= sec ^ 2 \ alpha、` `\ alpha \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n、\ n \ in Z`
`1 + ctg ^ 2 \ alpha = \ frac 1（sin ^ 2 \ alpha）= cosec ^ 2 \ alpha、` `\ alpha \ ne \ pi n、\ n \ in Z`
三角関数の角度の合計と差の式
引数の加算と減算の式は、2つの角度の三角関数の観点から、2つの角度の合計または差の三角関数を表します。
`sin（\ alpha + \ beta）=` `sin \ \ alpha \ cos \ \ beta + cos \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`sin（\ alpha- \ beta）=` `sin \ \ alpha \ cos \ \ beta-cos \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`cos（\ alpha + \ beta）=` `cos \ \ alpha \ cos \ \ beta-sin \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`cos（\ alpha- \ beta）=` `cos \ \ alpha \ cos \ \ beta + sin \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`tg（\ alpha + \ beta）= \ frac（tg \ \ alpha + tg \ \ beta）（1-tg \ \ alpha \ tg \ \ beta）`
`tg（\ alpha- \ beta）= \ frac（tg \ \ alpha-tg \ \ beta）（1 + tg \ \ alpha \ tg \ \ beta）`
`ctg（\ alpha + \ beta）= \ frac（ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta-1）（ctg \ \ beta + ctg \ \ alpha）`
`ctg（\ alpha- \ beta）= \ frac（ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta + 1）（ctg \ \ beta-ctg \ \ alpha）`
二倍角の公式
`sin \ 2 \ alpha = 2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha =` `\ frac（2 \ tg \ \ alpha）（1 + tg ^ 2 \ alpha）= \ frac（2 \ ctg \ \ alpha ）（1 + ctg ^ 2 \ alpha）= `` \ frac 2（tg \ \ alpha + ctg \ \ alpha） `
`cos \ 2 \ alpha = cos ^ 2 \ alpha-sin ^ 2 \ alpha =` `1-2 \ sin ^ 2 \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ alpha-1 =` `\ frac（1-tg ^ 2 \ alpha）（1 + tg ^ 2 \ alpha）= \ frac（ctg ^ 2 \ alpha-1）（ctg ^ 2 \ alpha + 1）= `` \ frac（ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha） （ctg \ \ alpha + tg \ \ alpha） `
`tg \ 2 \ alpha = \ frac（2 \ tg \ \ alpha）（1-tg ^ 2 \ alpha）=` `\ frac（2 \ ctg \ \ alpha）（ctg ^ 2 \ alpha-1）=` `\ frac 2（\ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha）`
`ctg \ 2 \ alpha = \ frac（ctg ^ 2 \ alpha-1）（2 \ ctg \ \ alpha）=` `\ frac（\ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha）2`
トリプルアングル式
`sin \ 3 \ alpha = 3 \ sin \ \ alpha-4sin ^ 3 \ alpha`
`cos \ 3 \ alpha = 4cos ^ 3 \ alpha-3 \ cos \ \ alpha`
`tg \ 3 \ alpha = \ frac（3 \ tg \ \ alpha-tg ^ 3 \ alpha）（1-3 \ tg ^ 2 \ alpha）`
`ctg \ 3 \ alpha = \ frac（ctg ^ 3 \ alpha-3 \ ctg \ \ alpha）（3 \ ctg ^ 2 \ alpha-1）`
半角式
`sin \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt（\ frac（1-cos \ \ alpha）2）`
`cos \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt（\ frac（1 + cos \ \ alpha）2）`
`tg \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt（\ frac（1-cos \ \ alpha）（1 + cos \ \ alpha））=` `\ frac（sin \ \ alpha）（1 + cos \ \ alpha）= \ frac（1-cos \ \ alpha）（sin \ \ alpha） `
`ctg \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt（\ frac（1 + cos \ \ alpha）（1-cos \ \ alpha））=` `\ frac（sin \ \ alpha）（1-cos \ \ alpha）= \ frac（1 + cos \ \ alpha）（sin \ \ alpha） `
ハーフ引数、ダブル引数、トリプル引数の式は、これらの引数の関数 `sin、\ cos、\ tg、\ ctg`を表します（` \ frac（\ alpha）2、\ 2 \ alpha、\ 3 \ alpha、... ` ）これらの関数の引数 `\ alpha`を介して。
それらの出力は、前のグループ（引数の加算と減算）から取得できます。 たとえば、「\ beta」を「\ alpha」に置き換えることで、二倍角の公式を簡単に取得できます。
度数削減式
三角関数の二乗（立方体など）の式を使用すると、2、3、...度から1度の三角関数に移行できますが、複数の角度（ `\ alpha、\ 3 \ alpha、\ .. .. `または` 2 \ alpha、\ 4 \ alpha、\ ... `）。
`sin ^ 2 \ alpha = \ frac（1-cos \ 2 \ alpha）2、` `（sin ^ 2 \ frac \ alpha 2 = \ frac（1-cos \ \ alpha）2）`
`cos ^ 2 \ alpha = \ frac（1 + cos \ 2 \ alpha）2、` `（cos ^ 2 \ frac \ alpha 2 = \ frac（1 + cos \ \ alpha）2）`
`sin ^ 3 \ alpha = \ frac（3sin \ \ alpha-sin \ 3 \ alpha）4`
`cos ^ 3 \ alpha = \ frac（3cos \ \ alpha + cos \ 3 \ alpha）4`
`sin ^ 4 \ alpha = \ frac（3-4cos \ 2 \ alpha + cos \ 4 \ alpha）8`
`cos ^ 4 \ alpha = \ frac（3 + 4cos \ 2 \ alpha + cos \ 4 \ alpha）8`
三角関数の和と差の式
数式は、さまざまな引数の三角関数の和と差を積に変換したものです。
`sin \ \ alpha + sin \ \ beta =` `2 \ sin \ frac（\ alpha + \ beta）2 \ cos \ frac（\ alpha- \ beta）2`
`sin \ \ alpha-sin \ \ beta =` `2 \ cos \ frac（\ alpha + \ beta）2 \ sin \ frac（\ alpha- \ beta）2`
`cos \ \ alpha + cos \ \ beta =` `2 \ cos \ frac（\ alpha + \ beta）2 \ cos \ frac（\ alpha- \ beta）2`
`cos \ \ alpha-cos \ \ beta =` `-2 \ sin \ frac（\ alpha + \ beta）2 \ sin \ frac（\ alpha- \ beta）2 =` `2 \ sin \ frac（\ alpha + \ベータ）2 \ sin \ frac（\ベータ-\アルファ）2`
`tg \ \ alpha \ pm tg \ \ beta = \ frac（sin（\ alpha \ pm \ beta））（cos \ \ alpha \ cos \ \ beta）`
`ctg \ \ alpha \ pm ctg \ \ beta = \ frac（sin（\ beta \ pm \ alpha））（sin \ \ alpha \ sin \ \ beta）`
`tg \ \ alpha \ pm ctg \ \ beta =` `\ pm \ frac（cos（\ alpha \ mp \ beta））（cos \ \ alpha \ sin \ \ beta）`
これは、1つの引数の関数の加算と減算が積に変換される場所です。
`cos \ \ alpha + sin \ \ alpha = \ sqrt（2）\ cos（\ frac（\ pi）4- \ alpha）`
`cos \ \ alpha-sin \ \ alpha = \ sqrt（2）\ sin（\ frac（\ pi）4- \ alpha）`
`tg \ \ alpha + ctg \ \ alpha = 2 \ cosec \ 2 \ alpha;` `tg \ \ alpha-ctg \ \ alpha = -2 \ ctg \ 2 \ alpha`
次の式は、単位と三角関数の合計と差を積に変換します。
`1 + cos \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ frac（\ alpha）2`
`1-cos \ \ alpha = 2 \ sin ^ 2 \ frac（\ alpha）2`
`1 + sin \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2（\ frac（\ pi）4- \ frac（\ alpha）2）`
`1-sin \ \ alpha = 2 \ sin ^ 2（\ frac（\ pi）4- \ frac（\ alpha）2）`
`1 \ pm tg \ \ alpha = \ frac（sin（\ frac（\ pi）4 \ pm \ alpha））（cos \ frac（\ pi）4 \ cos \ \ alpha）=` `\ frac（\ sqrt （2）sin（\ frac（\ pi）4 \ pm \ alpha））（cos \ \ alpha） `
`1 \ pm tg \ \ alpha \ tg \ \ beta = \ frac（cos（\ alpha \ mp \ beta））（cos \ \ alpha \ cos \ \ beta）;` `\ ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta \ pm 1 = \ frac（cos（\ alpha \ mp \ beta））（sin \ \ alpha \ sin \ \ beta） `
関数の積を変換するための式
引数 `\ alpha`と` \ beta`を持つ三角関数の積をこれらの引数の合計（差）に変換するための式。
`sin \ \ alpha \ sin \ \ beta =` `\ frac（cos（\ alpha- \ beta）-cos（\ alpha + \ beta））（2）`
`sin \ alpha \ cos \ beta =` `\ frac（sin（\ alpha- \ beta）+ sin（\ alpha + \ beta））（2）`
`cos \ \ alpha \ cos \ \ beta =` `\ frac（cos（\ alpha- \ beta）+ cos（\ alpha + \ beta））（2）`
`tg \ \ alpha \ tg \ \ beta =` `\ frac（cos（\ alpha- \ beta）-cos（\ alpha + \ beta））（cos（\ alpha- \ beta）+ cos（\ alpha + \ beta））= `` \ frac（tg \ \ alpha + tg \ \ beta）（ctg \ \ alpha + ctg \ \ beta） `
`ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta =` `\ frac（cos（\ alpha- \ beta）+ cos（\ alpha + \ beta））（cos（\ alpha- \ beta）-cos（\ alpha + \ beta））= `` \ frac（ctg \ \ alpha + ctg \ \ beta）（tg \ \ alpha + tg \ \ beta） `
`tg \ \ alpha \ ctg \ \ beta =` `\ frac（sin（\ alpha- \ beta）+ sin（\ alpha + \ beta））（sin（\ alpha + \ beta）-sin（\ alpha- \ベータ）） `
普遍的な三角関数の置換
これらの式は、三角関数を半角の接線で表します。
`sin \ \ alpha = \ frac（2tg \ frac（\ alpha）（2））（1 + tg ^（2）\ frac（\ alpha）（2））、` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n、n \ in Z`
`cos \ \ alpha = \ frac（1--tg ^（2）\ frac（\ alpha）（2））（1 + tg ^（2）\ frac（\ alpha）（2））、` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n、n \ in Z`
`tg \ \ alpha = \ frac（2tg \ frac（\ alpha）（2））（1-tg ^（2）\ frac（\ alpha）（2））、` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n、n \ in Z、 `` \ alpha \ ne \ frac（\ pi）（2）+ \ pi n、n \ in Z`
`ctg \ \ alpha = \ frac（1--tg ^（2）\ frac（\ alpha）（2））（2tg \ frac（\ alpha）（2））、` `\ alpha \ ne \ pi n、n \ in Z、 `` \ alpha \ ne \ pi + 2 \ pi n、n \ in Z`
キャスト式
キャスト式は、周期性、対称性、特定の角度によるシフトのプロパティなどの三角関数のプロパティを使用して取得できます。 これらを使用すると、任意の角度の関数を0〜90度の角度の関数に変換できます。
角度（ `\ frac（\ pi）2 \ pm \ alpha`）または（` 90 ^ \ circ \ pm \ alpha`）の場合：
`sin（\ frac（\ pi）2- \ alpha）= cos \ \ alpha;` `sin（\ frac（\ pi）2 + \ alpha）= cos \ \ alpha`
`cos（\ frac（\ pi）2- \ alpha）= sin \ \ alpha;` `cos（\ frac（\ pi）2 + \ alpha）= --sin \ \ alpha`
`tg（\ frac（\ pi）2- \ alpha）= ctg \ \ alpha;` `tg（\ frac（\ pi）2 + \ alpha）= --ctg \ \ alpha`
`ctg（\ frac（\ pi）2- \ alpha）= tg \ \ alpha;` `ctg（\ frac（\ pi）2 + \ alpha）= --tg \ \ alpha`
角度（ `\ pi \ pm \ alpha`）または（` 180 ^ \ circ \ pm \ alpha`）の場合：
`sin（\ pi- \ alpha）= sin \ \ alpha;` `sin（\ pi + \ alpha）= --sin \ \ alpha`
`cos（\ pi- \ alpha）= --cos \ \ alpha;` `cos（\ pi + \ alpha）= --cos \ \ alpha`
`tg（\ pi- \ alpha）= --tg \ \ alpha;` `tg（\ pi + \ alpha）= tg \ \ alpha`
`ctg（\ pi- \ alpha）= --ctg \ \ alpha;` `ctg（\ pi + \ alpha）= ctg \ \ alpha`
角度（ `\ frac（3 \ pi）2 \ pm \ alpha`）または（` 270 ^ \ circ \ pm \ alpha`）の場合：
`sin（\ frac（3 \ pi）2- \ alpha）= --cos \ \ alpha;` `sin（\ frac（3 \ pi）2 + \ alpha）= --cos \ \ alpha`
`cos（\ frac（3 \ pi）2- \ alpha）= --sin \ \ alpha;` `cos（\ frac（3 \ pi）2 + \ alpha）= sin \ \ alpha`
`tg（\ frac（3 \ pi）2- \ alpha）= ctg \ \ alpha;` `tg（\ frac（3 \ pi）2 + \ alpha）= --ctg \ \ alpha`
`ctg（\ frac（3 \ pi）2- \ alpha）= tg \ \ alpha;` `ctg（\ frac（3 \ pi）2 + \ alpha）= --tg \ \ alpha`
角度（ `2 \ pi \ pm \ alpha`）または（` 360 ^ \ circ \ pm \ alpha`）の場合：
`sin（2 \ pi- \ alpha）= --sin \ \ alpha;` `sin（2 \ pi + \ alpha）= sin \ \ alpha`
`cos（2 \ pi- \ alpha）= cos \ \ alpha;` `cos（2 \ pi + \ alpha）= cos \ \ alpha`
`tg（2 \ pi- \ alpha）= --tg \ \ alpha;` `tg（2 \ pi + \ alpha）= tg \ \ alpha`
`ctg（2 \ pi- \ alpha）= --ctg \ \ alpha;` `ctg（2 \ pi + \ alpha）= ctg \ \ alpha`
他の観点からのいくつかの三角関数の表現
`sin \ \ alpha = \ pm \ sqrt（1-cos ^ 2 \ alpha）=` `\ frac（tg \ \ alpha）（\ pm \ sqrt（1 + tg ^ 2 \ alpha））= \ frac 1（ \ pm \ sqrt（1 + ctg ^ 2 \ alpha）） `
`cos \ \ alpha = \ pm \ sqrt（1-sin ^ 2 \ alpha）=` `\ frac 1（\ pm \ sqrt（1 + tg ^ 2 \ alpha））= \ frac（ctg \ \ alpha）（ \ pm \ sqrt（1 + ctg ^ 2 \ alpha）） `
`tg \ \ alpha = \ frac（sin \ \ alpha）（\ pm \ sqrt（1-sin ^ 2 \ alpha））=` `\ frac（\ pm \ sqrt（1-cos ^ 2 \ alpha））（ cos \ \ alpha）= \ frac 1（ctg \ \ alpha） `
`ctg \ \ alpha = \ frac（\ pm \ sqrt（1-sin ^ 2 \ alpha））（sin \ \ alpha）=` `\ frac（cos \ \ alpha）（\ pm \ sqrt（1-cos ^ 2 \ alpha））= \ frac 1（tg \ \ alpha） `
三角法は、文字通り「三角形の測定」と解釈されます。 彼女は学校で勉強し始め、大学でより詳細に続けます。 したがって、三角法の基本的な公式は、10年生から始めて、試験に合格するために必要です。 それらは関数間の接続を示し、これらの接続が多数あるため、それ自体に多くの式があります。 それらすべてを覚えるのは簡単ではなく、必要でもありません。必要に応じて、すべてを表示できます。
三角関数の公式は、積分計算だけでなく、三角関数の簡略化、計算、変換でも使用されます。
サイン値は間隔[-1; 1]、すなわち -1≤sinα≤1。したがって、| a | > 1の場合、方程式sin x = aには根がありません。 たとえば、方程式sin x = 2には根がありません。
いくつかのタスクに移りましょう。
方程式sinx = 1/2を解きます。
解決。
sin xは、点P（1; 0）を原点を中心に角度xだけ回転させることによって得られる、単位円点の縦座標であることに注意してください。
½に等しい縦座標は、円M1とM2の2つの点に存在します。
1/2 =sinπ/ 6であるため、点M 1は、点P（1; 0）から角度x 1 =π/ 6を回転し、角度x =π/ 6 +2πkで取得されます。ここで、 k = +/- 1、+ /-2、..。
点М2は、角度х2=5π/ 6、および角度х=5π/ 6 +2πk（k = +/-）での回転の結果として、点Р（1; 0）から取得されます。 1、+ /-2、...、つまり 角度х=π--π/ 6 +2πkで、ここでk = +/- 1、+ /-2、…。
したがって、方程式sin x = 1/2のすべての根は、式x =π/ 6 +2πk、x =π-π/ 6 +2πkで見つけることができます。ここで、k€Zです。
これらの式は1つに組み合わせることができます：x =（-1）nπ/ 6 +πn、ここでn€Z（1）。
実際、nが偶数の場合、つまり n = 2kの場合、式（1）からх=π/ 6 +2πkが得られます。nが奇数の場合、つまり n = 2k + 1の場合、式（1）からх=π--π/ 6 +2πkが得られます。
答え。 х=（-1）nπ/ 6 +πn、ここでn€Z。
方程式sinx = -1 / 2を解きます。
解決。
縦座標-1/2には、単位円M1とM2の2つの点があります。ここで、x 1 =-π/ 6、x 2 =-5π/ 6です。 したがって、方程式sin x = -1/2のすべての根は、式x =-π/ 6 +2πk、x =-5π/ 6 +2πk、k€Zで見つけることができます。
これらの式を1つに組み合わせることができます：x =（-1）n（-π/ 6）+πn、n€Z（2）。
実際、n = 2kの場合、式（2）によってx =-π/ 6 +2πkが得られ、n = 2k -1の場合、式（2）によってx =-5π/ 6 +2πkが得られます。
答え。 x =（-1）n（-π/ 6）+πn、n€Z。
したがって、方程式sin x = 1/2およびsinx = -1/2のそれぞれには、無限の数の根があります。
区間-π/2≤x≤π/ 2では、これらの方程式のそれぞれに1つの根しかありません。
x 1 =π/ 6は方程式sinx = 1/2の根であり、x 1 =-π/ 6は方程式sinx = -1 / 2の根です。
数値π/ 6は、数値1/2のアークサインと呼ばれ、次のように記述されます。arcsin1/2 =π/ 6; 数-π/ 6は、数-1/2のアークサインと呼ばれ、次のように記述されます。arcsin（-1/2）=-π/ 6。
一般に、方程式sin x = a（-1≤a≤1）は、区間-π/2≤x≤π/ 2に1つの根しかありません。 ≥0の場合、ルートは区間に含まれます。 もし< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
したがって、数のアークサインa€[–1; 1]そのような数は€[–π / 2;と呼ばれます。 π/ 2]、その正弦はaに等しい。
arcsinа=α、sinα=аおよび-π/2≤х≤π/ 2の場合（3）。
たとえば、arcsin√2/ 2 =π/ 4、なぜならsinπ/ 4 =√2/ 2および--π/2≤π/4≤π/ 2;
arcsin（-√3/ 2）=-π/ 3、sin（-π/ 3）=-√3/ 2および--π/2≤ 
-π/3≤π/ 2。
問題1と2を解く際に行われた方法と同様に、方程式の根がsin x = aであることが示されます。ここで、| a | ≤1は、次の式で表されます。
х=（-1）nаrcsinа+πn、n€Z（4）。
また、€[-1; 1]式arcsin（-a）= -arcsinaは有効です。
式（4）から、方程式の根は次のようになります。
sin x = a for a = 0、a = 1、a = -1は、より単純な式を使用して見つけることができます。
sinх=0х=πn、n€Z（5）
sin x = 1 x =π/ 2 +2πn、n€Z（6）
sin x = -1 x =-π/ 2 +2πn、n€Z（7）
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三角法には多くの公式があります。
それらを機械的に記憶することは非常に困難であり、ほとんど不可能です。 教室では、多くの学童や生徒が教科書やノートのエンドペーパー、壁のポスター、ベビーベッド、そして最後にプリントアウトを使用しています。 試験はどうですか？
ただし、これらの式を詳しく見ると、すべて相互接続されており、特定の対称性があることがわかります。 三角関数の定義と特性を考慮してそれらを分析し、心から学ぶ価値のある最小値を決定しましょう。
グループI。 基本的なアイデンティティ
sin2α+cos2α= 1;
tgα= ____sinαcosα; ctgα= ____cosαsinα ;
tgα・ctgα= 1;
1 +tg2α= _____1cos2α; 1 +ctg2α= _____1sin2α。
このグループには、最も単純で最も人気のある数式が含まれています。 ほとんどの学生はそれらを知っています。 しかし、それでも問題が解決しない場合は、最初の3つの式を覚えておくために、1に等しいhypotenuseを持つ直角三角形を頭の中で想像してください。 その場合、彼の脚は、正弦（斜辺に対する反対側の脚の比率）の定義によるsinαと余弦（斜辺に対する隣接する脚の比率）の定義によるcosαにそれぞれ等しくなります。
最初の式はそのような三角形のピタゴラス定理です-脚の二乗の合計は斜辺の二乗に等しく（1 2 = 1）、2番目と3番目はタンジェントの定義です（反対側の脚と隣接する脚）およびコタンジェント（隣接する脚と反対側の脚の比率）。
分数として記述されたコタンジェント（式3）は逆タンジェント（式2）であるため、タンジェントとコタンジェントの積は1です。 ちなみに、後者の考慮事項により、記憶する必要のある式の数から、余接を持つ後続のすべての長い式を除外することができます。 難しいタスクでctgαに遭遇した場合は、それを分数に置き換えてください ___1tgα接線の式を使用します。
最後の2つの式は、シンボリック前に記憶する必要はありません。 それらはあまり一般的ではありません。 また、必要に応じて、いつでも下書きに再印刷できます。 これを行うには、定義の接線または余接の代わりに分数（それぞれ2番目と3番目の式）を代入し、式を共通の分母に持ってくるだけで十分です。 ただし、接線と余弦の2乗、および余接と正弦の2乗を結ぶこのような式が存在することを覚えておくことが重要です。 そうしないと、特定の問題を解決するためにどのような変換が必要かを推測できない場合があります。
グループII。 加算式
sin（α+β）=sinα・cosβ+cosα・sinβ;
sin（α-β）=sinα・cosβ-cosα・sinβ;
cos（α+β）=cosα・cosβ-sinα・sinβ;
cos（α-β）=cosα・cosβ+sinα・sinβ;
tg（α+β）= tgα+tgβ_________1--tgα・tgβ;
tg（α-β）=
三角関数の奇数/偶数パリティプロパティを思い出してください。
sin（−α）= --sin（α）; cos（−α）= cos（α）; tg（−α）= --tg（α）。
すべての三角関数のうち、余弦のみが偶関数であり、引数（角度）の符号が変わっても符号は変わりません。残りの関数は奇数です。 実際、関数の奇妙さは、マイナス記号を関数記号の外側に導入したり削除したりできることを意味します。 したがって、2つの角度の差がある三角関数の式に出くわした場合、それは常に正と負の角度の合計として理解できます。
例えば、 罪（ NS-30º）= sin（ NS+（-30º））。
次に、2つの角度の合計の式を使用して、符号を処理します。
罪（ NS+（−30º））= sin NS・cos（-30º）+ cos NS罪（-30º）=
=罪 NS・cos30º-cos NS・sin30º。
したがって、角度の違いを含むすべての式は、最初の暗記中に簡単にスキップできます。 次に、最初にドラフトで、次に精神的に、一般的な形式でそれらを復元する方法を学ぶ価値があります。
たとえば、tan（α-β）= tan（α+（-β））= tgα+ tg（-β）___________1--tgα・tg（-β） = tgα-tgβ_________ 1 +tgα・tgβ。
これは、将来、三角法から特定のタスクを解決するためにどの変換を適用する必要があるかをすばやく推測するのに役立ちます。
Shグループ。 複数の引数の式
sin2α=2sinαcosα;
cos2α=cos2α-sin2α;
tg2α= 2tgα_______1-tg2α;
sin3α=3sinα-4sin3α;
cos3α=4cos3α-3cosα。
ダブルアングルのサインとコサインに数式を使用する必要性は、タンジェントにも非常に頻繁に発生します。 これらの公式は心から知っておく必要があります。 また、覚えるのに支障はありません。 まず、式が短いです。 第二に、2α=α+αであるという事実に基づいて、前のグループの式に従ってそれらを制御するのは簡単です。
例えば：
sin（α+β）=sinα・cosβ+cosα・sinβ;
sin（α+α）=sinα・cosα+cosα・sinα;
sin2α=2sinαcosα。
ただし、前の式ではなく、これらの式をすばやく習得した場合は、逆のことを行うことができます。2つの角度の対応する式を使用して、2つの角度の合計の式を覚えることができます。
たとえば、2つの角度の合計の余弦の式が必要な場合：
1）二重角度の余弦の式を覚えておいてください。 cos2 NS= cos 2 NS-罪2 NS;
2）私たちはそれを長く塗ります： cos（ NS + NS）= cos NS Cos NS-罪 NS罪 NS;
3）1つを交換します NSαによる、2番目のβによる： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。
同じ方法で、合計の正弦と合計の接線の式を復元します。 USEなどの重大なケースでは、既知の第1四半期（0º、30º、45º、60º、90º）を使用して、復元された数式の精度を確認します。
前の式を確認する（3行目で置き換えることによって取得）：
しましょう α= 60°、β= 30°、α+β= 90°、
それから cos（α+β）= cos90°= 0、cosα= cos60°= 1/2、cosβ= cos30°=√3 _
/ 2、sinα= sin60°=√3 _
/ 2、sinβ= sin30°= 1/2;
値を式に代入します：0 =（1/2）（ √3_
/2) − (√3_
/ 2）（1/2）;
0≡0、エラーは見つかりませんでした。
私の意見では、トリプルアングルの式は特別に「詰め込む」必要はありません。 試験のような試験では非常にまれです。 上記の式から簡単に推測できます。 sin3α= sin（2α+α）。 そして、何らかの理由でこれらの公式を心から学ぶ必要がある学生のために、私はあなたに彼らの特定の「対称性」に注意を払い、公式自体ではなくニーモニックルールを覚えることをお勧めします。 たとえば、2つの数式「33433433」に番号が配置されている順序などです。
IVグループ。 合計/差-製品に
sinα+sinβ= 2 sin α+β____ 2 Cos α-β____ 2 ;
sinα-sinβ= 2 sin α-β____ 2 Cos α+β____ 2 ;
cosα+cosβ= 2cos α+β____ 2 Cos α-β____ 2 ;
cosα-cosβ= −2 sin α-β____ 2罪 α+β____ 2 ;
tgα+tgβ= sin（α+β）________cosαcosβ ;
tgα-tgβ= sin（α-β）________cosαcosβ .
サイン関数とタンジェント関数の奇数プロパティの使用： sin（−α）= --sin（α）; tg（−α）= --tg（α）、
2つの関数の差の式をそれらの合計の式に減らすことができます。 例えば、
sin90º-sin30º=sin90º+ sin（−30º）= 2・sin 90º+（−30º）__________ 2 Cos 90º-（-30º）__________ 2 =
2・sin30º・cos60º= 2・（1/2）・（1/2）= 1/2。
したがって、サインとタンジェントの差の式をすぐに記憶する必要はありません。
余弦定理の和と差の状況はもっと複雑です。 これらの式は互換性がありません。 しかし、ここでも、余弦のパリティを使用すると、次のルールを覚えることができます。
cosα+cosβの合計は、角度の符号が変化しても符号を変更できないため、積も関数で構成されている必要があります。 2つの余弦。
差cosα-cosβの符号は関数自体の値に依存します。つまり、積の符号は角度の比率に依存する必要があるため、積は奇数の関数で構成されている必要があります。 2つの副鼻腔。
それでも、この数式のグループは覚えるのが最も簡単ではありません。 これは、詰め込みを少なくしたほうがよいが、もっとチェックしたほうがよい場合です。 責任ある試験の公式の間違いを避けるために、必ず最初にドラフトに書き留めて、2つの方法でチェックしてください。 まず、β=αとβ= −αを代入し、次に素角の関数の既知の値を使用します。 このためには、上記の例で行ったように、90°と30°を取るのが最善です。これらの値の半分の合計と半分の差が再び単純な角度を与え、平等がどのようにアイデンティティになるかを簡単に確認できるためです。正しいオプションについて。 または、逆に、間違えた場合は実行されません。
例式cosα-cosβ= 2sinをチェックする α-β____ 2罪 α+β____ 2余弦定理の違いについて 間違いで !
1）β=αとすると、cosα-cosα= 2 sin α-α_____ 2罪 α+α_____ 2=2sin0sinα=0sinα=0。cosα-cosα≡0。
2）β=-αとすると、cosα-cos（-α）= 2 sin α-（-α）_______ 2罪 α+（−α）_______ 2=2sinαsin0=0sinα=0。cosα-cos（-α）=cosα-cosα≡0。
これらのチェックは、式の関数が正しく使用されていることを示しましたが、IDが0≡0の形式であることが判明したため、符号または係数のエラーを見逃す可能性がありました。 3回目のチェックを行います。
3）α=90º、β=30º、次にcos90º-cos30º= 2・sinとします。 90º-30º________ 2罪 90º+30º________ 2=2sin30º・sin60º= 2・（1/2）・（√3 _ /2) = √3_ /2.
cos90-cos30 =0-√3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.
エラーは実際にはサインにあり、作業前のサインにのみありました。
グループV。 製品-合計/差
sinαsinβ= 1 _ 2 （Cos（α-β）-cos（α+β））;
cosαcosβ= 1 _ 2 （Cos（α-β）+ cos（α+β））;
sinαcosβ= 1 _ 2 （sin（α-β）+ sin（α+β））。
数式の5番目のグループの名前は、これらの数式が前のグループの逆であることを示しています。 この場合、数式を再度学習するよりもドラフトで数式を復元する方が簡単であり、「頭が混乱する」リスクが高くなることは明らかです。 数式をより速く回復するために焦点を当てるのが理にかなっている唯一のことは、次の等式です（それらをチェックしてください）：
α = α+β____ 2 + α-β____ 2; β = α+β____ 2 − α-β____ 2.
検討 例：製品sin5を変換する必要があります NS Cos3 NS 2つの三角関数の合計に。
製品にはサインとコサインの両方が含まれているため、前のグループから、すでに学習したサインの合計の式を取得して、ドラフトに書き留めます。
sinα+sinβ= 2 sin α+β____ 2 Cos α-β____ 2
5をしましょう NS = α+β____ 2および3 NS = α-β____ 2、次にα= α+β____ 2 + α-β____ 2 = 5NS + 3NS = 8NS, β = α+β____ 2 − α-β____ 2 = 5NS − 3NS = 2NS.
ドラフトの式で、変数αとβで表される角度の値を、変数で表される角度の値に置き換えます。 NS.
我々が得る sin8 NS+ sin2 NS= 2 sin5 NS Cos3 NS
等式の両方の部分を2で割り、それを右から左にきれいなコピーに書き留めます sin5 NS Cos3 NS = 1 _ 2 （sin8 NS+ sin2 NS). 答えは準備ができています。
演習として：教科書に、合計/差を6の積に変換するための式が3つしかない理由と、その逆（積を合計または差に変換するため）がある理由を説明してください。VIグループ。 度数削減式
cos2α= 1 +cos2α_________ 2;
sin2α= 1-cos2α_________ 2;
cos3α= 3cosα+cos3α____________ 4;
sin3α= 3sinα-sin3α____________ 4.
このグループの最初の2つの式は非常に必要です。 これらは、統一された試験のレベルを含む三角方程式を解くとき、および三角関数タイプの被積分関数を含む積分を計算するときによく使用されます。
次の「平屋」の形でそれらを覚える方が簡単かもしれません。
2cos2α= 1 +cos2α;
2sin2α=1-cos2α、
頭の中や下書きでいつでも2で割ることができます。
試験で次の2つの数式（関数のキューブを含む）を使用する必要性は、それほど一般的ではありません。 別の設定では、ドラフトを使用する時間が常にあります。 この場合、次のオプションが可能です。
1）IIIグループの最後の2つの式を覚えている場合は、それらを使用して、単純な変換でsin3αとcos3αを表現します。
2）このグループの最後の2つの数式で、それらの記憶に寄与する対称要素に気付いた場合は、数式の「スケッチ」をドラフトに書き留め、主な角度の値で確認します。
3）次数を下げるためのそのような公式が存在するという事実に加えて、あなたがそれらについて何も知らない場合、sin3α=sin2α・sinαおよび他の学んだ事実から進んで、段階的に問題を解決します数式。 正方形の次数削減式と、積を合計に変換する式が必要になります。
VIIグループ。 半分の議論
罪 α_2 = ± √ 1-cosα________ 2; _____
cos α_2 = ± √ 1 +cosα________ 2; _____
tg α_2 = ± √ 1-cosα________ 1 +cosα。 _____
この数式のグループを教科書や参考書に示されている形で覚えても意味がありません。 あなたがそれを理解しているなら αは2αの半分です。 次に、これは、次数を減らすための最初の2つの式に基づいて、half引数に必要な式をすばやく推測するのに十分です。
これは、正弦式を対応する余弦式で除算することによって得られる式である、半角の接線にも当てはまります。
平方根を抽出するときだけ記号を付けることを忘れないでください ± .
VIIIグループ。 普遍的な置換
sinα= 2tg（α/ 2）_________ 1 + tan 2（α/ 2）;
cosα= 1-日焼け2（α/ 2）__________ 1 +日焼け2（α/ 2）;
tgα= 2tg（α/ 2）_________ 1-tg 2（α/ 2）。
これらの式は、あらゆる種類の三角法の問題を解決するのに非常に役立ちます。 これらは、「1つの引数-1つの関数」の原則を実装することを可能にします。これにより、複雑な三角関数の式を代数的な式に減らす変数の変更を行うことができます。 この置換がユニバーサルと呼ばれるのは理由がないわけではありません。
最初の2つの式を学ぶ必要があります。 3番目は、接線tgα=の定義に従って、最初の2つを互いに除算することによって取得できます。 sinα___cosα
IXグループ。 鋳造式。
この三角関数の数式のグループを理解するには、Xグループ。 主要な角度の値。
第1四半期の主な角度の三角関数の値が示されていますだから私たちはします 出力：三角法の公式は知っておく必要があります。 大きければ大きいほど良い。 しかし、何に時間と労力を費やすか-問題を解決する過程で数式や復元を記憶するためには、誰もが自分で決める必要があります。
三角関数の式を使用するためのタスクの例
方程式を解く sin5 NS Cos3 NS--sin8 NS Cos6 NS = 0.2つの異なる関数sin（）とcos（）と4つがあります！ 異なる議論5 NS, 3NS, 8NSおよび6 NS..。 予備的な変換がないと、最も単純なタイプの三角方程式に還元することはできません。 したがって、最初に製品を関数の合計または差に置き換えようとします。
上記の例と同じ方法でこれを行います（セクションを参照）。
罪（5 NS + 3NS）+ sin（5 NS − 3NS）= 2 sin5 NS Cos3 NS
sin8 NS+ sin2 NS= 2 sin5 NS Cos3 NS
罪（8 NS + 6NS）+ sin（8 NS − 6NS）= 2 sin8 NS Cos6 NS
sin14 NS+ sin2 NS= 2 sin8 NS Cos6 NS
これらの等式から生成物を表現し、方程式に代入します。 我々が得る：
（sin8 NS+ sin2 NS）/ 2-（sin14 NS+ sin2 NS)/2 = 0.
方程式の両辺に2を掛け、角かっこを開いて同様の項を与えます
Sin8 NS+ sin2 NS--sin14 NS--sin2 NS = 0;
sin8 NS--sin14 NS = 0.
方程式ははるかに単純になりましたが、このsin8のように解きます NS= sin14 NSしたがって、8 NS = 14NS+ T（Tはピリオド）は、このピリオドの意味がわからないため、正しくありません。 したがって、等式の右側に0があるという事実を使用します。これにより、任意の式の因子を簡単に比較できます。
sin8を拡張するには NS--sin14 NS要因によって、あなたは違いから製品に行く必要があります。 これを行うには、正弦の差の式、または正弦の合計と正弦関数の奇数の式を使用できます（セクションの例を参照）。
sin8 NS--sin14 NS= sin8 NS+ sin（-14 NS）= 2 sin 8NS + (−14NS) __________ 2 Cos 8NS − (−14NS) __________ 2 = sin（−3 NS）Cos11 NS= −sin3 NS Cos11 NS.
したがって、方程式sin8 NS--sin14 NS= 0は方程式sin3と同等です NS Cos11 NS= 0、これは、2つの最も単純な方程式sin3の組み合わせに相当します。 NS= 0およびcos11 NS= 0。後者を解くと、2つの一連の答えが得られます。
NS 1 =π NS/3, NSϵZ
NS 2 =π/ 22 +π k/11, kϵZ
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