1. लघुगणक चिह्न के तहत नकारात्मक संख्या या लोगों के लिए जाँच करें। यह विधि प्रपत्र के अभिव्यक्तियों पर लागू होती है लॉग बी a (x) लॉग बी \u2061 (ए) (\\ डिस्प्लेस्टाइल (\\ frac (\\ लॉग _ (बी))) (\\ लॉग _ (बी) (ए)))... हालांकि, यह कुछ विशेष मामलों के लिए उपयुक्त नहीं है:

   • ऋणात्मक संख्या का लघुगणक किसी भी आधार के लिए अपरिभाषित है (उदा। लॉग log (- 3) (\\ displaystyle \\ log (-3)) या लॉग 4 yle (- 5) (\\ displaystyle \\ log _ (4) - (5)))। इस मामले में, "कोई समाधान नहीं" लिखें।
   • किसी भी आधार पर शून्य का लघुगणक भी अपरिभाषित है। अगर आप पकड़े गए ln 0 (0) (\\ displaystyle \\ ln (0)), "कोई समाधान नहीं" लिखो।
   • किसी भी आधार के लिए इकाई का लघुगणक ( लॉग log (1) (\\ displaystyle \\ log (1))) हमेशा शून्य है, क्योंकि x 0 \u003d 1 (\\ displaystyle x ^ (0) \u003d 1) सभी मूल्यों के लिए एक्स... इस लघुगणक के बजाय 1 लिखें और नीचे दी गई विधि का उपयोग न करें।
   • यदि लघुगणक के अलग-अलग आधार हैं, उदाहरण के लिए l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\\ displaystyle (\\ frac (log_ (3)) (x)) (log_ (4) (a))), और पूर्णांकों के लिए कम नहीं हैं, एक अभिव्यक्ति का मूल्य मैन्युअल रूप से नहीं मिल सकता है।

2. अभिव्यक्ति को एक लघुगणक में बदलें। यदि अभिव्यक्ति ऊपर के विशेष मामलों पर लागू नहीं होती है, तो इसे एकल लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके लिए निम्न सूत्र का उपयोग करें: log b a (x) log b \u2061 (a) \u003d log a) (x) (\\ displaystyle (\\ frac (\\ log _ (b)) (x)) (\\ log _ (b) (a)) \u003d \\ उदाहरण 1: एक अभिव्यक्ति पर विचार करें.

   • लॉग yle 16 लॉग (2 (\\ डिस्प्लेस्टाइल (\\ frac (\\ लॉग) (16)) (\\ लॉग (2 लॉग))) सबसे पहले, आइए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके एक एकल लघुगणक के रूप में अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं:.
     लॉग \u2061 16 लॉग \u003d 2 \u003d लॉग 2 16 (16) (\\ displaystyle (\\ frac (\\ लॉग) (16)) (\\ लॉग (2))) \u003d \\ लॉग _ (2) (16) एक लघुगणक का यह "आधार परिवर्तन" सूत्र, लघुगणक के मूल गुणों से लिया गया है।.
   • यदि संभव हो तो अभिव्यक्ति का मैन्युअल रूप से मूल्यांकन करें।

3. ढूँढ़ने के लिए (x) (\\ displaystyle \\ log _ (a) (x) लॉग करें , अभिव्यक्ति की कल्पना करें "ए? \u003d x (\\ displaystyle a ^ (?) \u003d x) ", अर्थात्, निम्नलिखित प्रश्न पूछें:" किस डिग्री को उठाना आवश्यक हैए , प्राप्त करनाइस सवाल का जवाब देने के लिए आपको एक कैलकुलेटर की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन अगर आप भाग्यशाली हैं, तो आप इसे मैन्युअल रूप से पा सकते हैं। एक्सउदाहरण 1 (जारी): के रूप में फिर से लिखना

   • 2? \u003d 16 (\\ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ (?) \u003d 16) ... "किस स्थान पर होना चाहिए?" यह परीक्षण और त्रुटि के द्वारा किया जा सकता है:{!LANG-99edb756b966e63e5bb2e3a7e3d21b68!}
     2 2 \u003d 2 \u003d 2 \u003d 4 (\\ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ (2) \u003d 2 * 2 \u003d 4)
     2 3 \u003d 4 \u003d 2 \u003d 8 (\\ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ (3) \u003d 4 * 2 \u003d 8)
     2 4 \u003d 8 \u003d 2 \u003d 16 (\\ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ (4) \u003d 8 * 2 \u003d 16)
     तो, आवश्यक संख्या 4 है: लॉग 2 \\ (16) (\\ displaystyle \\ log _ (2) (16)) = 4 .

4. यदि आप इसे सरल नहीं कर सकते हैं तो अपना उत्तर लघुगणक रूप में दें। मैन्युअल रूप से गणना करने के लिए कई लॉगरिदम बहुत मुश्किल हैं। इस मामले में, आपको सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए एक कैलकुलेटर की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यदि आप पाठ में समस्या को हल करते हैं, तो शिक्षक को सबसे अधिक एक लघुगणकीय रूप में उत्तर से संतुष्ट होना होगा। विचाराधीन विधि का उपयोग अधिक जटिल उदाहरण को हल करने के लिए किया जाता है:

   • उदाहरण 2: क्या समान है लॉग 3 7 (58) लॉग 3 \u2061 (7) (\\ डिस्प्लेस्टाइल (\\ frac (\\ लॉग _ (3) (58)) (\\ लॉग _ (3) (7)))?
   • आइए इस अभिव्यक्ति को एक लघुगणक में बदलें: log 3 7 (58) log 3 \u2061 (7) \u003d log 7 58 (58) (\\ displaystyle (\\ frac (\\ log _ (3) (58)) (\\ log _ (3) (7)) \u003d \\ _ ... ध्यान दें कि दोनों लॉगरिदम का आधार 3 आम गायब हो जाता है; यह किसी भी कारण से सही है।आइए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें
   • 7? \u003d 58 (\\ डिस्प्लेस्टाइल 7 ^ (?) \u003d 58) और मूल्य खोजने की कोशिश करो? 7 2 \u003d 7 \u003d 7 \u003d 49 (\\ डिस्प्लेस्टाइल 7 ^ (2) \u003d 7 * 7 \u003d 49)
     7 3 \u003d 49 \u003d 7 \u003d 343 (\\ डिस्प्लेस्टाइल 7 ^ (3) \u003d 49 * 7 \u003d 343)
     चूंकि 58 इन दो नंबरों के बीच है, इसलिए इसे पूर्णांक के रूप में व्यक्त नहीं किया गया है।
     हम लघुगणकीय रूप में उत्तर छोड़ते हैं:
   • लॉग 7 \\ (58) (\\ displaystyle \\ log _ (7) (58)) एक (एक\u003e 0, एक m 1) आधार करने के लिए बी (बी\u003e 0) का लघुगणक.

वह प्रतिपादक है, जिसे प्राप्त करने के लिए संख्या को उठाया जाना चाहिए। B से आधार 10 का लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है

lg (b) , और आधार ई (प्राकृतिक लघुगणक) के लिए लघुगणक हैln (b) अक्सर लघुगणक के साथ समस्याओं को हल करते समय उपयोग किया जाता है:.

लघुगणक के गुण

चार मुख्य हैं

लघुगणक के गुण चलो एक\u003e 0, एक ≠ 1, x\u003e 0, और y\u003e 0।.

गुण 1. उत्पाद का लघुगणक

उत्पाद का लघुगणक

लघुगणक के योग के बराबर है: log a (x) y) \u003d x + log a y लॉग करें

संपत्ति 2. भागफल का लघुगणक

भागफल का लघुगणक

लघुगणक के अंतर के बराबर है: log a (x / y) \u003d x - log a y लॉग करें

संपत्ति 3. डिग्री का लघुगणक

डिग्री का लघुगणक

लघुगणक द्वारा शक्ति के उत्पाद के बराबर है: यदि लघुगणक का आधार शक्ति में है, तो एक और सूत्र काम करता है:

संपत्ति 4. जड़ का लघुगणक

यह गुण डिग्री के लघुगणक की संपत्ति से प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि एनटी डिग्री की जड़ 1 डिग्री / एन के बराबर है:

एक आधार में लघुगणक से दूसरे आधार में लघुगणक के लिए संक्रमण के लिए सूत्र

इस सूत्र का उपयोग अक्सर विभिन्न लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है:

एक विशेष मामला:

लघुगणक (असमानता) की तुलना

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मान लें कि हमारे पास एक ही आधार के साथ लघुगणक के तहत 2 कार्य f (x) और g (x) हैं और उनके बीच असमानता का संकेत है:

उनकी तुलना करने के लिए, आपको पहले एक लघुगणक के आधार को देखना होगा:

• यदि a\u003e 0, तो f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• यदि 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

लॉगरिथम के साथ समस्याओं को कैसे हल करें: उदाहरण

लघुगणक कार्य टास्क 5 और टास्क 7 में ग्रेड 11 के लिए गणित में यूएसई में शामिल, आप संबंधित अनुभागों में हमारी वेबसाइट पर समाधान के साथ कार्य पा सकते हैं। इसके अलावा, गणित में कार्यों के बैंक में लघुगणक के साथ कार्य पाए जाते हैं। सभी उदाहरण साइट खोज के माध्यम से पाए जा सकते हैं।

एक लघुगणक क्या है

लॉगरिदम को हमेशा हाई स्कूल मैथ्स में एक कठिन विषय माना गया है। लघुगणक की कई अलग-अलग परिभाषाएं हैं, लेकिन अधिकांश पाठ्यपुस्तक किसी भी तरह सबसे कठिन और दुर्भाग्यपूर्ण हैं।

हम लघुगणक को सरल और स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। ऐसा करने के लिए, एक तालिका बनाएं:

इसलिए, हमारे पास दो की शक्तियां हैं।

लघुगणक - गुण, सूत्र, कैसे हल करें

यदि आप नंबर को नीचे की रेखा से लेते हैं, तो आप आसानी से उस डिग्री को पा सकते हैं जिस पर आपको यह संख्या प्राप्त करने के लिए दो को उठाना है। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो से चौथी शक्ति बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो से छठी शक्ति बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे टेबल से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

आधार ए से तर्क x वह शक्ति है जिसके आधार पर संख्या को x प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

संकेतन: x x \u003d b को लॉग करें, जहाँ a आधार है, x का तर्क है, b वास्तव में लॉगरिदम है।

उदाहरण के लिए, 2 3 \u003d 8 ⇒ 2 2 \u003d 8 (3 का लॉग बेस 2 3 है, 2 3 \u003d 8 के बाद से)। उसी सफलता के साथ 2 6 \u003d 64 के बाद से 2 64 \u003d 6 लॉग करें।

किसी दिए गए आधार में एक संख्या के लघुगणक को खोजने के संचालन को कहा जाता है। तो, आइए हमारी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 \u003d 1	लॉग 2 4 \u003d 2	लॉग 2 8 \u003d 3	लॉग 2 16 \u003d 4	लॉग 2 32 \u003d 5	लॉग 2 64 \u003d 6

दुर्भाग्य से, सभी लॉगरिदम की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 खोजने का प्रयास करें। 5 नंबर तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क यह निर्धारित करता है कि लघुगणक खंड पर कहीं झूठ होगा। क्योंकि २ २< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्या अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती है, और वे कभी नहीं दोहराती हैं। यदि लघुगणक अपरिमेय निकलता है, तो इसे इस तरह से छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 100 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। सबसे पहले, कई लोग उलझन में हैं कि नींव कहाँ है और तर्क कहाँ है। कष्टप्रद गलतफहमी से बचने के लिए, बस तस्वीर पर एक नज़र डालें:

इससे पहले कि हम लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं हैं। याद है: लघुगणक डिग्री हैकिस आधार पर तर्क प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए। यह आधार है जो शक्ति के लिए उठाया जाता है - तस्वीर में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा नीचे है! मैं अपने पहले पाठ में अपने छात्रों को यह अद्भुत नियम बताता हूं - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता है।

लघुगणक की गणना कैसे करें

हमने यह पता लगाया कि परिभाषा - यह सीखने के लिए बनी हुई है कि कैसे लघुगणक की गणना की जाए, अर्थात लॉग साइन से छुटकारा पाएं। शुरू करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निम्नलिखित हैं:

1. तर्क और मूलांक हमेशा शून्य से अधिक होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत संकेतक द्वारा डिग्री की परिभाषा से निम्नानुसार है, जिसके लिए लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एक से अलग होना चाहिए, क्योंकि एक अभी भी किसी एक डिग्री के लिए है। इस वजह से, "दो को प्राप्त करने के लिए किसी को किस डिग्री तक बढ़ाना चाहिए" यह प्रश्न निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं मान्य मूल्यों की सीमा (ODZ)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: x x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a, 1 लॉग करें।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, लघुगणक अच्छी तरह से नकारात्मक हो सकता है: लॉग 2 0.5 \u003d ar1, क्योंकि 0.5 \u003d 2 −1।

हालांकि, अब हम केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर विचार कर रहे हैं, जहां आपको लघुगणक के ODV को जानने की आवश्यकता नहीं है। सभी प्रतिबंधों को पहले से ही कार्य संकलक द्वारा ध्यान में रखा गया है। लेकिन जब लॉगरिदमिक समीकरण और असमानताएं आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। दरअसल, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब आइए, लघुगणकों की गणना के लिए सामान्य योजना देखें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. एक से अधिक छोटे से छोटे आधार के साथ शक्ति के रूप में आधार ए और तर्क x का प्रतिनिधित्व करते हैं। रास्ते के साथ, दशमलव अंशों से छुटकारा पाने के लिए बेहतर है;
2. चर b: x \u003d a b के लिए समीकरण हल करें;
3. परिणामी संख्या b का उत्तर होगा।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय निकलता है, तो यह पहले चरण पर पहले से ही दिखाई देगा। आधार की आवश्यकता एक से अधिक होने के लिए बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणना को सरल करता है। इसी तरह, दशमलव अंशों के साथ: यदि आप तुरंत उन्हें सामान्य लोगों में परिवर्तित करते हैं, तो कई बार कम त्रुटियां होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: 5 25 लॉग करें

1. आइए पांच और 5: 5 1 की शक्ति के रूप में आधार और तर्क का प्रतिनिधित्व करते हैं; 25 \u003d 5 2;

आइए समीकरण को लिखें और हल करें:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. जवाब मिला: 2।

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

1. चलो आधार और तर्क को दो की शक्ति के रूप में दर्शाते हैं: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. आइए समीकरण को लिखें और हल करें:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. जवाब मिला: 3।

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

1. आइए दो की शक्ति के रूप में आधार और तर्क का प्रतिनिधित्व करते हैं: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. आइए समीकरण को लिखें और हल करें:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. जवाब मिला: 0।

एक कार्य। के लॉग की गणना करें: लॉग 7 14

1. हम आधार और तर्क को सात: 7 \u003d 7 1 की शक्ति के रूप में दर्शाते हैं; 14 को 7 की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया गया है, 7 1 के बाद से< 14 < 7 2 ;
2. यह पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है कि लघुगणक नहीं माना जाता है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

आखिरी उदाहरण पर एक छोटा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित करते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे प्रमुख कारकों में बदल दें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या एक सटीक शक्ति नहीं है।

एक कार्य। पता करें कि क्या संख्या की सटीक शक्तियां हैं: 8; 48; 81; 35; चौदह।

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक ही कारक है;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - कोई सटीक डिग्री नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 \u003d 7 · 5 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 · 2 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा स्वयं की सटीक शक्तियाँ होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम है।

x का आधार 10 लघुगणक है, अर्थात संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 तक की शक्ति बढ़ाई जानी चाहिए। पदनाम: lg x।

उदाहरण के लिए, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - आदि।

अब से, जब एक पाठ्यपुस्तक में "Find lg 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई देता है, तो आपको पता होना चाहिए: यह एक टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालांकि, यदि आप इस तरह के पद के लिए उपयोग नहीं किए जाते हैं, तो आप हमेशा इसे फिर से लिख सकते हैं:
log x \u003d log 10 x

साधारण लघुगणक के लिए जो कुछ भी सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक तरह से यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। यह प्राकृतिक लघुगणक है।

ऑफ़ द एक्स, लॉगरिथम बेस ई है, अर्थात जिस नंबर x को प्राप्त करने के लिए नंबर e को उठाया जाना चाहिए। पदनाम: ln x।

बहुत से पूछेंगे: नंबर ई और क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सही अर्थ नहीं पाया जा सकता है और इसे लिखा जा सकता है। मैं केवल पहला आंकड़ा दूंगा:
e \u003d 2.718281828459 ...

हम यह नहीं बताएंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
ln x \u003d log e x

इस प्रकार, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक तर्कहीन होता है। को छोड़कर, बेशक, इकाइयों: ln 1 \u003d 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सभी नियम सत्य हैं जो साधारण लघुगणक के लिए सही हैं।

यह सभी देखें:

लघुगणक। लघुगणक के गुण (लघुगणक की शक्ति)।

मैं एक लघुगणक के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व कैसे करूं?

हम एक लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हैं।

लघुगणक उस डिग्री का एक संकेतक है जिसके आधार को लघुगणक के संकेत के तहत संख्या प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

इस प्रकार, आधार के लिए एक लघुगणक के रूप में कुछ संख्या सी का प्रतिनिधित्व करने के लिए, यह आवश्यक है कि शक्ति को उसी आधार के साथ रखा जाए जो लघुगणक के संकेत के तहत लघुगणक के आधार के रूप में है, और घातांक में इस संख्या को लिखें:

एक लघुगणक के रूप में, पूरी तरह से किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है - सकारात्मक, नकारात्मक, संपूर्ण, आंशिक, तर्कसंगत, तर्कहीन:

एक नियंत्रण या परीक्षा की तनावपूर्ण परिस्थितियों में ए और सी को भ्रमित न करने के लिए, आप इस नियम का उपयोग याद करने के लिए कर सकते हैं:

जो नीचे है वह नीचे चला जाता है, जो ऊपर है वह ऊपर चला जाता है।

उदाहरण के लिए, आप बेस 3 के लिए एक लघुगणक के रूप में संख्या 2 का प्रतिनिधित्व करना चाहते हैं।

हमारे पास दो संख्याएँ हैं - 2 और 3. ये संख्याएँ आधार और प्रतिपादक हैं, जिन्हें हम लघुगणक के संकेत के तहत लिखेंगे। यह निर्धारित करने के लिए रहता है कि इनमें से कौन सी संख्या को डिग्री के आधार पर, और कौन सा - अप में लिखा जाना चाहिए।

लघुगणक अंकन में आधार 3 तल पर है, जिसका अर्थ है कि जब हम आधार 3 के लिए एक लघुगणक के रूप में दो का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो आधार के नीचे 3 भी लिखा जाएगा।

2 तीन से ऊपर खड़ा है। और दो की शक्ति को लिखने में, हम इसे तीन के ऊपर लिखते हैं, अर्थात् घातांक में:

लघुगणक। प्रथम स्तर।

लघुगणक

लोगारित्म सकारात्मक संख्या ख वजह से , प्राप्त करनाकहाँ पे ए\u003e 0, एक ≠ 1, उस एक्सपोनेंट को कहा जाता है जिसके लिए संख्या बढ़ाई जानी चाहिए , प्राप्त करनाइस सवाल का जवाब देने के लिए आपको एक कैलकुलेटर की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन अगर आप भाग्यशाली हैं, तो आप इसे मैन्युअल रूप से पा सकते हैं। ख.

लघुगणक की परिभाषा संक्षेप में इस तरह लिखा जा सकता है:

यह समानता के लिए मान्य है बी\u003e 0, ए\u003e 0, एक 0 1। इसे आमतौर पर कहा जाता है लघुगणक पहचान।
किसी संख्या के लघुगणक को खोजने की क्रिया को कहा जाता है लघुगणक लेने से।

लघुगणक गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

विभाजन के भागफल का लघुगणक:

लघुगणक के आधार की जगह:

डिग्री का लघुगणक:

जड़ का लघुगणक:

शक्ति लघुगणक:

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक।

दशमलव लघुगणक संख्या इस संख्या के आधार 10 लघुगणक को बुलाती है और & lg लिखती है ख
प्राकृतिक नंबर उस संख्या के आधार लघुगणक को कहते हैं इकहाँ पे इ - एक अपरिमेय संख्या, लगभग 2.7 के बराबर। इस मामले में, वे ln लिखते हैं ख.

बीजगणित और ज्यामिति पर अन्य नोट्स

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, जोड़ा और घटाया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मूल गुण.

इन नियमों को जानना अत्यावश्यक है - कोई भी गंभीर लघुगणक समस्या उनके बिना हल नहीं की जा सकती। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

एक ही आधार के साथ दो लघुगणक पर विचार करें: एक x लॉग करें और एक y लॉग करें। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. x + log a y \u003d log a (x y) लॉग करें;
2. log a x - log a y \u003d log a (x: y) लॉग इन करें।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें, यहाँ प्रमुख बिंदु है - समान आधार... यदि कारण अलग हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको एक लघुगणक अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, यहां तक \u200b\u200bकि जब इसके अलग-अलग हिस्सों की गणना नहीं की जाती है ("क्या एक लघुगणक है" सबक देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग ६ ४ + लॉग ६ ९ \u003d लॉग ६ (४ ९) \u003d लॉग ६ ३६ \u003d २।

एक कार्य। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें: लॉग 2 48 - लॉग 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 \u003d लॉग 2 (48: 3) \u003d लॉग 2 16 \u003d 4।

एक कार्य। अभिव्यक्ति के मूल्य का पता लगाएं: लॉग 3 135 - लॉग 3 5।

फिर से आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास हैं:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d लॉग 3 27 \u003d 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बना है, जिन्हें अलग से नहीं गिना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएं प्राप्त की जाती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। लेकिन क्या नियंत्रण - इस तरह के भाव सभी गंभीरता (कभी-कभी व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित) परीक्षा पर पेश किए जाते हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक डिग्री पर आधारित हो? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन यह सब एक ही याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, इन सभी नियमों से यह समझ में आता है कि अगर लघुगणक के ओडीएल का अवलोकन किया जाता है: a\u003e 0, rules 1, x\u003e 0. और एक और बात: सभी सूत्र केवल बाएं से दाएं ही नहीं, बल्कि इसके विपरीत भी सीखें, अर्थात आप लघुगणक में ही लघुगणक के संकेत के सामने संख्या दर्ज कर सकते हैं।

कैसे लघुगणक को हल करने के लिए

यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक है।

एक कार्य। अभिव्यक्ति के मूल्य का पता लगाएं: 7 49 6 लॉग करें।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
log 7 49 6 \u003d 6 लॉग 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

एक कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ ज्ञात करें:

ध्यान दें कि हर में लघुगणक, आधार और तर्क होते हैं, जो सटीक शक्तियां हैं: 16 \u003d 2 4; ४ ९ \u003d 7 २। हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लकड़हारे कहां गायब हो गए? अंतिम क्षण तक, हम केवल भाजक के साथ काम करते हैं। हमने डिग्री के रूप में वहां खड़े लॉगरिदम के आधार और तर्क को प्रस्तुत किया और संकेतकों को बाहर लाया - हमें "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मूल अंश को देखें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. लॉग 2 7 7 0 के बाद से, हम भिन्न को रद्द कर सकते हैं - हर 2/4 रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश पर स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर था: 2।

एक नई नींव की ओर बढ़ रहा है

लघुगणक के अलावा और घटाव के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के लिए काम करते हैं। क्या होगा अगर कारण अलग हैं? क्या होगा अगर वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नई नींव के लिए संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

लघुगणक लॉग एक एक्स दिया जाना चाहिए। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c\u003e 0 और c the 1, निम्नलिखित समानता रखती है:

विशेष रूप से, यदि हम c \u003d x डालते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह इस प्रकार है कि आधार और तर्क के तर्क को स्वैप करना संभव है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात लघुगणक में लघुगणक प्रकट होता है।

ये सूत्र पारंपरिक संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह आकलन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालांकि, ऐसे कार्य हैं जो आम तौर पर एक नई नींव के लिए संक्रमण को छोड़कर हल नहीं होते हैं। इनमें से कुछ पर विचार करें:

एक कार्य। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक अंश हैं। चलो संकेतक निकालते हैं: लॉग 5 16 \u003d लॉग 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2 लॉग 2 5;

अब दूसरा लघुगणक "फ्लिप" करें:

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमचय से नहीं बदलता है, इसलिए हमने चार और दो को शांति से गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

एक कार्य। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें: लॉग ९ १०० · lg 3।

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक डिग्री हैं। आइए इसे लिखें और मेट्रिक्स से छुटकारा पाएं:

अब नए बेस पर जाकर दशमलव लॉगरिथम से छुटकारा पाएं:

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक लघुगणक के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मूल्य है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक परिभाषा है। यह कहा जाता है कि:।

वास्तव में, क्या होता है यदि संख्या b को ऐसी शक्ति के लिए उठाया जाता है कि संख्या b इस शक्ति को संख्या a देता है? यह सही है: आपको यह बहुत संख्या में मिलता है a। इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर "लटके" हैं।

एक नए आधार में परिवर्तन के लिए सूत्र की तरह, मूल लॉगरिदमिक पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

एक कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ ज्ञात करें:

ध्यान दें कि 25 64 \u003d लॉग 5 8 लॉग करें - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम तर्क से बाहर ले जाया गया। समान आधार के साथ डिग्री को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हमें यह मिलता है:

यदि किसी को पता नहीं है, तो यह परीक्षा से वास्तविक समस्या थी

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं का सामना कर रहे हैं और, आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. log a \u003d 1 है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: इस आधार से किसी भी आधार का लघुगणक एक के बराबर है।
2. लॉग 1 \u003d 0 है। आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि एक 0 \u003d 1 परिभाषा का एक सीधा परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में धोखा पत्र डाउनलोड करें, इसे प्रिंट करें और समस्याओं को हल करें।

हम लघुगणक का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस लेख में हम बात करेंगे लघुगणक गणना, इस प्रक्रिया को कहा जाता है लघुगणक लेने से... पहले, हम परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना से निपटेंगे। इसके बाद, हम विचार करेंगे कि लॉगरिथम के मूल्य उनके गुणों का उपयोग कैसे करते हैं। उसके बाद, हम अन्य लघुगणकों के शुरू में निर्दिष्ट मूल्यों के माध्यम से लघुगणकों की गणना करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे। अंत में, आइए जानें कि लॉगरिथम की तालिकाओं का उपयोग कैसे करें। पूरे सिद्धांत को विस्तृत समाधान के साथ उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।

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परिभाषा से लघुगणक की गणना

सरलतम मामलों में, जल्दी और आसानी से प्रदर्शन करना संभव है परिभाषा द्वारा लघुगणक खोजना... आइए इस प्रक्रिया को कैसे करें, इस बारे में बारीकी से जानकारी लेते हैं।

इसका सार लॉगरिदम की परिभाषा के अनुसार संख्या बी को सी, व्हाटनेस के रूप में दर्शाना है, संख्या सी लॉगरिदम का मान है। यही है, परिभाषा द्वारा लघुगणक को खोजना समानता की निम्नलिखित श्रृंखला से मेल खाता है: एक b \u003d log a c \u003d c लॉग करें।

तो, लघुगणक की गणना, परिभाषा के अनुसार, एक संख्या c को खोजने के लिए कम हो जाती है जैसे कि c \u003d b, और संख्या c स्वयं लघुगणक का वांछित मान है।

पिछले पैराग्राफों की जानकारी को ध्यान में रखते हुए, जब लघुगणक के संकेत के तहत संख्या को लघुगणक के आधार के कुछ डिग्री द्वारा दिया जाता है, तो आप तुरंत संकेत कर सकते हैं कि क्या लघुगणक समान है - यह घातांक के बराबर है। आइए उदाहरणों के समाधान दिखाएं।

उदाहरण।

लॉग 2 2 and3 खोजें और ई 5.3 के प्राकृतिक लघुगणक की गणना करें।

फेसला।

लघुगणक की परिभाषा हमें तुरंत यह कहने की अनुमति देती है कि लॉग 2 2 \u003d3 \u003d .3। दरअसल, लघुगणक के चिन्ह के नीचे की संख्या आधार 2 से power3 शक्ति के बराबर होती है।

इसी तरह, हम दूसरा लॉगरिदम पाते हैं: lne 5.3 \u003d 5.3।

उत्तर:

लॉग 2 2 23 \u003d and3 और लेन 5.3 \u003d 5.3।

यदि लघुगणक के संकेत के तहत संख्या बी को लघुगणक के आधार की डिग्री के रूप में निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो आपको सावधानीपूर्वक यह देखने की आवश्यकता है कि क्या आप संख्या बी के ग के रूप में प्रतिनिधित्व के लिए आ सकते हैं। अक्सर ऐसा प्रतिनिधित्व काफी स्पष्ट होता है, खासकर जब लघुगणक के चिन्ह के नीचे की संख्या 1, या 2, या 3, की शक्ति के आधार के बराबर होती है ...

उदाहरण।

लॉग 5 25 की गणना करें, और।

फेसला।

यह देखना आसान है कि 25 \u003d 5 2, यह आपको पहले लघुगणक की गणना करने की अनुमति देता है: लॉग 5 25 \u003d लॉग 5 5 5 \u003d 2 लॉग।

चलो दूसरे लघुगणक की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। संख्या को 7 की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है: (देखें यदि आवश्यक हो)। अत, .

चलिए तीसरे लघुगणक को फिर से लिखते हैं। अब आप देख सकते हैं , जहां हम निष्कर्ष निकालते हैं ... इसलिए, लघुगणक की परिभाषा के द्वारा .

संक्षेप में, समाधान निम्नानुसार लिखा जा सकता है:।

उत्तर:

लॉग 5 25 \u003d 2, तथा .

जब लघुगणक के संकेत के तहत पर्याप्त रूप से बड़ी प्राकृतिक संख्या होती है, तो यह इसे प्रमुख कारकों में विघटित करने के लिए चोट नहीं पहुंचाता है। यह अक्सर लघुगणक के आधार के कुछ डिग्री के रूप में इस तरह की संख्या का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है, और इसलिए, परिभाषा से इस लघुगणक की गणना करने के लिए।

उदाहरण।

लघुगणक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

लघुगणक के कुछ गुण आपको लघुगणक के मान को तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देते हैं। इन गुणों में एक के लघुगणक की संपत्ति और आधार के बराबर एक संख्या के लघुगणक की संपत्ति शामिल हैं: लॉग 1 1 \u003d एक 0 \u003d 0 लॉग इन करें और एक \u003d 1 \u003d 1 लॉग इन करें। अर्थात्, जब लघुगणक के चिह्न के नीचे संख्या 1 या संख्या लघुगणक के आधार के बराबर होती है, तो इन मामलों में क्रमशः लघुगणक 0 और 1 के बराबर होते हैं।

उदाहरण।

लघुगणक और lg10 किसके बराबर हैं?

फेसला।

तब से, लघुगणक की परिभाषा से यह निम्नानुसार है .

दूसरे उदाहरण में, लघुगणक चिह्न के नीचे का अंक 10 अपने आधार के साथ मेल खाता है, इसलिए दस का दशमलव लघुगणक एक के बराबर है, अर्थात lg10 \u003d lg10 1 \u003d 1।

उत्तर:

तथा lg10 \u003d 1।

ध्यान दें कि परिभाषा द्वारा लघुगणक की गणना (जिसे हमने पिछले पैराग्राफ में चर्चा की थी) का अर्थ है समानता का उपयोग एक p \u003d p लॉग करता है, जो कि लघुगणक के गुणों में से एक है।

व्यवहार में, जब लघुगणक के संकेत के नीचे संख्या और लघुगणक के आधार को आसानी से कुछ संख्या की शक्ति के रूप में दर्शाया जाता है, तो सूत्र का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है जो लॉगरिदम के गुणों में से एक से मेल खाती है। आइए इस सूत्र के उपयोग को दर्शाने के लिए लघुगणक को खोजने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

लघुगणक की गणना करें।

फेसला।

उत्तर:

.

ऊपर वर्णित लघुगणक के गुणों का उपयोग गणना में भी किया जाता है, लेकिन हम अगले पैराग्राफ में इस बारे में बात करेंगे।

अन्य ज्ञात लघुगणक के संदर्भ में लघुगणक खोजना

गणना करते समय इस खंड में जानकारी लघुगणक के गुणों का उपयोग करने के विषय को जारी रखती है। लेकिन यहां मुख्य अंतर यह है कि लघुगणक के गुणों का उपयोग मूल लघुगणक को एक अन्य लघुगणक के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जिसका मूल्य ज्ञात है। आइए स्पष्टीकरण के लिए एक उदाहरण दें। मान लें कि हम जानते हैं कि लॉग 2 3≈1.584963, तब हम पा सकते हैं, उदाहरण के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके एक छोटा परिवर्तन करके 2 6 लॉग करें: log 2 6 \u003d log 2 (2 3) \u003d log 2 2 + लॉग 2 3 2 1+1,584963=2,584963 .

दिए गए उदाहरण में, हमारे लिए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करना पर्याप्त था। हालाँकि, बहुत अधिक बार यह आवश्यक है कि दिए गए शब्दों के संदर्भ में प्रारंभिक लघुगणक की गणना करने के लिए लघुगणक गुणों के एक व्यापक शस्त्रागार का उपयोग किया जाए।

उदाहरण।

27 के लॉग बेस 60 की गणना करें यदि आप जानते हैं कि लॉग 60 2 \u003d ए और लॉग 60 60 \u003d बी।

फेसला।

इसलिए, हमें लॉग 60 27 खोजने की आवश्यकता है। यह देखना आसान है कि 27 \u003d 3 3, और मूल लघुगणक, शक्ति के लघुगणक की संपत्ति के कारण, 3 · लॉग 60 3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

अब देखते हैं कि लॉग लॉरिथम्स के संदर्भ में लॉग 60 को कैसे व्यक्त किया जाए। आधार के बराबर संख्या के लघुगणक की संपत्ति हमें समानता लॉग 60 60 \u003d 1 लिखने की अनुमति देती है। दूसरी ओर, 60 60 \u003d log60 (2 2 3 5) \u003d लॉग करें लॉग 60 2 2 + लॉग 60 3 + लॉग 60 5 \u003d 2 लॉग 60 2 + लॉग 60 3 + लॉग 60 5। इस प्रकार, 2 लॉग 60 2 + लॉग 60 3 + लॉग 60 5 \u003d 1... अत, लॉग 60 3 \u003d 1 602 लॉग 60 2 - लॉग 60 5 \u003d 1 a2 a - b.

अंत में, मूल लघुगणक की गणना करें: लॉग 60 27 \u003d 3 लॉग 60 3 \u003d 3 (1−2 a - b) \u003d 3−6 a - 3 b.

उत्तर:

लॉग 60 60 \u003d 3 (1−2 a - b) \u003d 3 a6 a - 3 b.

अलग से, यह कहा जाना चाहिए कि फार्म के लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का अर्थ क्या है ... यह आपको किसी भी आधार के साथ लघुगणक से एक विशिष्ट आधार के साथ लघुगणक तक जाने की अनुमति देता है, जिनमें से मूल्यों को जाना जाता है या उन्हें ढूंढना संभव है। आमतौर पर, प्रारंभिक लघुगणक से, संक्रमण सूत्र का उपयोग करते हुए, वे 2, ई या 10 में से एक में लघुगणक पर जाते हैं, क्योंकि इन ठिकानों के लिए लघुगणक की तालिकाएं हैं जो आपको सटीकता के एक निश्चित डिग्री के साथ अपने मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं। अगले भाग में, हम बताएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

लघुगणक तालिकाओं, उनके उपयोग

लघुगणक के मूल्यों की अनुमानित गणना के लिए, कोई भी उपयोग कर सकता है लघुगणक सारणी... सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला आधार 2 लघुगणक तालिका, प्राकृतिक लघुगणक तालिका और दशमलव लघुगणक तालिका। दशमलव प्रणाली में काम करते समय, बेस दस लघुगणक तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसकी मदद से, हम लघुगणक के मूल्यों को खोजना सीखेंगे।

प्रस्तुत तालिका 1,000 से 9.999 तक की संख्या के दशमलव लघुगणक (तीन दशमलव स्थानों के साथ) के मानों को खोजने के लिए एक दस-हज़ार की सटीकता के साथ अनुमति देती है। हम एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके लघुगणक के मूल्य को खोजने के सिद्धांत का विश्लेषण करेंगे - यह स्पष्ट है। चलो lg1,256 खोजें।

दशमलव लघुगणक की तालिका के बाएं कॉलम में, हम संख्या के पहले दो अंक 1.256 पाते हैं, अर्थात, हम 1.2 पाते हैं (यह संख्या स्पष्टता के लिए नीले रंग में परिचालित है)। संख्या 1.256 (संख्या 5) का तीसरा अंक पहली या आखिरी पंक्ति में दोहरी रेखा के बाईं ओर पाया जाता है (यह संख्या लाल रंग में परिचालित की जाती है)। हम मूल संख्या 1.256 (अंक 6) के चौथे अंक को पहली या आखिरी पंक्ति में डबल लाइन के दाईं ओर (यह संख्या एक हरे रंग की लाइन में परिचालित किया जाता है) पाते हैं। अब हम चिह्नित पंक्ति और चिह्नित स्तंभों के चौराहे पर लघुगणक तालिका की कोशिकाओं में संख्याओं को पाते हैं (ये संख्या नारंगी में हाइलाइट की गई है)। चिह्नित संख्याओं का योग, चौथे दशमलव स्थान की सटीकता के साथ दशमलव लघुगणक का वांछित मान देता है, जो है, lg1.236g0.0969 + 0.0021 \u003d 0.0990.

क्या यह संभव है, उपरोक्त तालिका का उपयोग करके, दशमलव संख्या के बाद दशमलव संख्याओं के दशमलव मानों का पता लगाने के लिए जो तीन से अधिक अंक हैं, और 1 से 9.999 तक की सीमा से परे भी जाते हैं? हाँ तुम कर सकते हो। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे किया जाता है।

आइए गणना करें lg102.76332। सबसे पहले आपको लिखना होगा मानक संख्या: 102.76332 \u003d 1.0276332 10 2। उसके बाद, मंटिसा को तीसरे दशमलव स्थान पर होना चाहिए, हमारे पास है 1.0276332 10 2 28 1.028 10 2, जबकि मूल दशमलव लघुगणक परिणामी संख्या के लघुगणक के लगभग बराबर है, अर्थात, हम lg102.76332102lg1.028 · 10 2 लेते हैं। अब हम लघुगणक के गुणों को लागू करते हैं: lg1,028 10 2 \u003d lg1,028 + lg10 2 \u003d lg1,028 + 2... अंत में, हम दशमलव लघुगणक lg1.028 find0.0086 + 0.0034 \u003d 0.012 की तालिका के अनुसार लघुगणक lg1.028 का मान पाते हैं। परिणामस्वरूप, लघुगणक की गणना करने की पूरी प्रक्रिया इस तरह दिखाई देती है: log102.76332 \u003d log1.027633210 2 .0 log1.02810 2 \u003d lg1.028 + lg10 2 \u003d lg1.028 + 2.010.012 + 2 \u003d 2.012.

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके, आप किसी भी लघुगणक के अनुमानित मूल्य की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दशमलव लघुगणक पर जाने, तालिका में उनके मूल्यों को खोजने और शेष गणना करने के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 की गणना करें। लघुगणक के एक नए आधार के लिए संक्रमण के लिए सूत्र द्वारा, हमारे पास है। दशमलव लघुगणक की तालिका से, हम lg3.40.4771 और lg2≈0.3010 पाते हैं। इस प्रकार, .

संदर्भ की सूची।

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनिट्स यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: शैक्षिक संस्थानों के 10 - 11 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्डकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के लिए आवेदकों के लिए एक गाइड)।

आदिम बीजगणित के तत्वों में से एक लघुगणक है। यह नाम ग्रीक भाषा के "नंबर" या "डिग्री" शब्द से आया है और इसका अर्थ है वह डिग्री, जिसे अंतिम संख्या का पता लगाने के लिए आधार पर स्थित संख्या को उठाना आवश्यक है।

लघुगणक के प्रकार

• a (a\u003e 0, a - 1, b\u003e 0) को आधार बनाने के लिए संख्या b का लघुगणक लॉग करें;
• lg b - दशमलव लघुगणक (लघुगणक आधार 10, a \u003d 10);
• ln b - प्राकृतिक लघुगणक (लघुगणक आधार e, a \u003d e)।

लघुगणक कैसे हल करें?

आधार को बी का लघुगणक एक प्रतिपादक है, जिसके लिए आवश्यक है कि आधार को बी तक उठाया जाए। परिणाम इस तरह से घोषित किया जाता है: "आधार के लिए ख का लघुगणक"। लॉगरिदमिक समस्याओं का समाधान यह है कि आपको संकेतित संख्याओं द्वारा दी गई डिग्री निर्धारित करने की आवश्यकता है। लॉगरिदम को निर्धारित करने या हल करने और प्रविष्टि को स्वयं बदलने के लिए कुछ बुनियादी नियम हैं। उनका उपयोग करते हुए, लॉगरिदमिक समीकरणों का समाधान किया जाता है, डेरिवेटिव पाए जाते हैं, इंटीग्रल हल किए जाते हैं और कई अन्य ऑपरेशन किए जाते हैं। मूल रूप से, लघुगणक का समाधान स्वयं इसका सरलीकृत अंकन है। नीचे मूल सूत्र और गुण दिए गए हैं:

किसी एक के लिए; ए\u003e 0; एक a 1 और किसी भी एक्स के लिए; y\u003e ०।

• a log a b \u003d b - मूल लघुगणक पहचान
• 1 \u003d 0 लॉग करें
• log a \u003d 1 है
• log a (x y) \u003d x + log a y लॉग करें
• log a x / y \u003d x x log - y लॉग करें
• एक 1 / x \u003d -log x लॉग करें
• x x \u003d p लॉग इन करें
• k। 0 के लिए k x \u003d 1 / k लॉग इन करें
• log a x \u003d log a c x c
• एक नए आधार पर संक्रमण के लिए x \u003d log b x / log b a - सूत्र लॉग करें
• x \u003d 1 / log x a लॉग करें

लॉगरिदम को कैसे हल करें - हल करने के लिए चरण निर्देश द्वारा कदम

• सबसे पहले, आवश्यक समीकरण लिखिए।

कृपया ध्यान दें: यदि आधार लघुगणक 10 है, तो प्रविष्टि काट दी जाती है, आपको दशमलव लघुगणक मिलता है। यदि कोई प्राकृतिक संख्या ई है, तो हम नीचे लिखते हैं, प्राकृतिक लघुगणक को कम करते हुए। इसका अर्थ है कि सभी लघुगणक का परिणाम वह शक्ति है जिसके आधार पर संख्या बी को प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को उठाया जाता है।

सीधे, इस डिग्री की गणना करने के लिए समाधान है। एक लघुगणक के साथ एक अभिव्यक्ति को हल करने से पहले, यह नियम के अनुसार सरल होना चाहिए, अर्थात, सूत्रों का उपयोग करना। आप लेख में थोड़ा पीछे जाकर मुख्य पहचान पा सकते हैं।

दो अलग-अलग संख्याओं के साथ लघुगणक को जोड़ते और घटाते समय, लेकिन एक ही आधार के साथ, क्रमशः एक उत्पाद या ख और विभाजन के लघुगणक के साथ बदलें। इस स्थिति में, आप संक्रमण सूत्र को दूसरे आधार पर लागू कर सकते हैं (ऊपर देखें)।

यदि आप लघुगणक को सरल बनाने के लिए अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हैं, तो विचार करने के लिए कुछ सीमाएं हैं। और वह है: लघुगणक का आधार केवल एक सकारात्मक संख्या है, लेकिन एक के बराबर नहीं है। संख्या b, a की तरह, शून्य से अधिक होनी चाहिए।

ऐसे मामले हैं जहां अभिव्यक्ति को सरल करके आप लॉगरिदम की संख्यात्मक रूप से गणना नहीं कर सकते हैं। ऐसा होता है कि इस तरह की अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि कई डिग्री अपरिमेय संख्या हैं। इस शर्त के तहत, संख्या की शक्ति को एक लघुगणक के रूप में छोड़ दें।

लघुगणक की परिभाषा

B का लघुगणक आधार है एक घातांक है जिसे b प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

नंबर ई गणित में, यह सीमा है कि अभिव्यक्ति किस सीमा तक निरूपित होती है

नंबर ई है एक अपरिमेय संख्या - एक इकाई के साथ कई संख्या में, यह एक संपूर्ण या आंशिक के रूप में सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है तर्कसंगत नंबर।

पत्र इ - एक लैटिन शब्द का पहला अक्षर exponere - flaunt, इसलिए गणित में नाम घातीय - घातांक प्रकार्य।

संख्या इ व्यापक रूप से गणित में प्रयोग किया जाता है, और सभी विज्ञानों में, एक तरह से या किसी अन्य ने अपनी आवश्यकताओं के लिए गणितीय गणना लागू की।

लघुगणक। लघुगणक के गुण

परिभाषा: एक धनात्मक संख्या b का आधार लघुगणक प्रतिपादक c है, जिस संख्या को संख्या b प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

मूल लघुगणकीय पहचान:

7) नए आधार पर परिवर्तन के लिए सूत्र:

lna \u003d log e a, e log 2.718 ...

समस्याएँ और परीक्षण "लॉगरिथम विषय पर। लघुगणक के गुण "

• Logarithms - गणित में USE की समीक्षा के लिए महत्वपूर्ण विषय

इस विषय पर कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुण, मूल लघुगणक पहचान, दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषाएं पता होनी चाहिए। इस विषय पर मुख्य प्रकार की समस्याएं लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों की गणना और परिवर्तित करने की समस्याएं हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों में उनके समाधान पर विचार करें।

फेसला: लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

फेसला: डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

1) (२ २) लॉग २ ५ \u003d (२ लॉग २ ५) २ \u003d ५ २ \u003d २५

लघुगणक, योगों और प्रमाणों के गुण।

लघुगणक में कई विशिष्ट गुण होते हैं। इस लेख में, हम मुख्य को कवर करेंगे चलो एक\u003e 0, एक ≠ 1, x\u003e 0, और y\u003e 0।... यहाँ हम उनके सूत्र देते हैं, सूत्र के रूप में लघुगणक के गुणों को लिखते हैं, उनके अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाते हैं, और लघुगणक के गुणों के प्रमाण भी देते हैं।

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लघुगणक, सूत्र के मूल गुण

याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, हम प्रतिनिधित्व करते हैं लघुगणक के मूल गुण सूत्रों की सूची के रूप में। अगले पैराग्राफ में, हम उनके योगों, प्रमाणों, उपयोग के उदाहरणों और आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे।

एकता के लघुगणक की संपत्ति: किसी भी एक\u003e 0, एक। 1 के लिए 1 \u003d 0 लॉग करें।

आधार के बराबर संख्या का लघुगणक: a \u003d 0, a। 1 के लिए a \u003d 1 लॉग करें।

आधार की डिग्री के लघुगणक की संपत्ति: एक p \u003d p, जहां a\u003e 0, is 1 और p कोई भी वास्तविक संख्या है, लॉग करें।

दो धनात्मक संख्याओं के उत्पाद का लघुगणक: एक (x y) \u003d एक x + लॉग एक y, a\u003e 0, a, 1, x\u003e 0, y\u003e 0, लॉग करें
और n धनात्मक संख्याओं के गुणनखंड की संपत्ति: x (x 1 x 2… xn) \u003d log ax 1 + log ax 2 +… + log axn, a\u003e 0, a, 1, x 1\u003e 0, x 2 \u003e 0,…, xn\u003e 0।

भागफल की लघुगणक संपत्ति: , जहां a\u003e 0, a, 1, x\u003e 0, y\u003e 0।

किसी संख्या की शक्ति का लघुगणक: एक b p \u003d p लॉग इन करें a | b | , जहां a\u003e 0, a, 1, b और p ऐसी संख्याएं हैं, जो डिग्री b p का अर्थ है और b p\u003e 0 है।

परिणाम: , जहाँ a\u003e 0, a, 1, n एक प्राकृतिक संख्या है जो एक, b\u003e 0 से अधिक है।

कोरोलरी 1: , ए\u003e 0, ए, 1, बी\u003e 0, बी a 1।

कोरोलरी 2: , a\u003e 0, a, 1, b\u003e 0, p और q वास्तविक संख्या हैं, q ≠ 0, विशेष रूप से, b \u003d a a के लिए .

गुणों के कथन और प्रमाण

हम लघुगणक के रिकॉर्ड किए गए गुणों के निर्माण और प्रमाण के पास जाते हैं। लघुगणक के सभी गुण लघुगणक की परिभाषा के आधार पर सिद्ध होते हैं और मुख्य लघुगणक पहचान जो इसके बाद से, साथ ही साथ डिग्री के गुणों के आधार पर सिद्ध होती है।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एक के लघुगणक के गुण... इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एक का लघुगणक शून्य है, अर्थात 1 \u003d 0 लॉग करें किसी भी एक\u003e 0, एक, 1 के लिए। प्रमाण सीधा है: किसी भी उपरोक्त शर्तों को संतोषजनक करने के लिए एक 0 \u003d 1 के बाद से एक\u003e 0 और ≠ 1, समानता लॉग 1 \u003d 0 साबित किया जा रहा है तुरंत लघुगणक की परिभाषा से निम्नानुसार साबित होता है।

आइए हम माना संपत्ति के आवेदन के उदाहरण देते हैं: लॉग 3 1 \u003d 0, lg1 \u003d 0 और।

अगली संपत्ति पर आगे बढ़ना: आधार संख्या का लघुगणक एक है, अर्थात, log a \u003d 1 है एक\u003e 0, एक। 1 के लिए। वास्तव में, चूंकि 1 \u003d किसी एक के लिए, तो लघुगणक की परिभाषा से \u003d 1 लॉग।

लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण हैं समानताएं लॉग 5 5 \u003d 1, लॉग 5.6 5.6 और लेन \u003d 1।

लॉगरिदम के आधार के बराबर संख्या की शक्ति का लघुगणक प्रतिपादक के बराबर है... लघुगणक की यह संपत्ति फार्म के एक सूत्र से मेल खाती है p \u003d p लॉग करें , जहां a\u003e 0, ≠ 1 और p कोई भी वास्तविक संख्या है। यह संपत्ति सीधे लघुगणक की परिभाषा से होती है। ध्यान दें कि यह आपको तुरंत लघुगणक के मूल्य को इंगित करने की अनुमति देता है, अगर आधार की डिग्री के रूप में लघुगणक के संकेत के तहत संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है, तो हम इस बारे में लेख में अधिक विस्तार से बात करेंगे, लघुगणक की गणना।

उदाहरण के लिए, लॉग 2 2 7 \u003d 7, lg10 -4 \u003d -4 और .

दो सकारात्मक संख्याओं के उत्पाद का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के उत्पाद के बराबर है: log a (x y) \u003d x + log a y लॉग करें , ए\u003e 0, एक a 1। हमें उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति साबित करते हैं। डिग्री के गुणों के आधार पर एक लॉग x + लॉग ay \u003d एक लॉग कुल्हाड़ी एक लॉग ay, और चूंकि मूल लघुगणक पहचान एक लॉग कुल्हाड़ी \u003d x और एक लॉग ay \u003d y, तो एक लॉग कुल्हाड़ी एक लॉग ay \u003d x y। इस प्रकार, एक लॉग + x + log a y \u003d x · y, whence, लघुगणक की परिभाषा से, समानता सिद्ध की जा रही है।

आइए हम उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाते हैं: लॉग 5 (2 3) \u003d लॉग 5 2 + + 5 5 और .

उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति को सकारात्मक संख्या x 1, x 2, ..., x n के रूप में परिमित संख्या n के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। log a (x 1 x 2… x n) \u003d a x 1 + log a x 2 +… + x x लॉग इन करें... यह समानता गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा समस्याओं के बिना साबित की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई और, के तीन प्राकृतिक लघुगणक के योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

दो सकारात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच अंतर के बराबर है। भागफल के लघुगणक की संपत्ति फार्म के एक सूत्र से मेल खाती है , जहाँ a\u003e 0, ≠ 1, x और y कुछ सकारात्मक संख्याएँ हैं। इस सूत्र की वैधता सिद्ध होती है और साथ ही उत्पाद के लघुगणक के लिए सूत्र भी: तब से , फिर लघुगणक की परिभाषा के द्वारा .

यहाँ लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: .

आगे बढ़ जाना डिग्री के लघुगणक की संपत्ति... किसी शक्ति का लघुगणक इस शक्ति के आधार के मापांक के लघुगणक द्वारा प्रतिपादक के उत्पाद के बराबर होता है। आइए सूत्र के रूप में डिग्री के लघुगणक की इस संपत्ति को लिखें: log a b p \u003d p · लॉग इन a | b | , जहां a\u003e 0, a, 1, b और p ऐसी संख्याएं हैं, जो डिग्री b p का अर्थ है और b p\u003e 0 है।

सबसे पहले, हम सकारात्मक बी के लिए इस संपत्ति को साबित करते हैं। मूल लॉगरिदमिक पहचान हमें संख्या बी को लॉग ए बी के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर बी पी \u003d (एक लॉग बी) पी, और परिणामी अभिव्यक्ति, डिग्री की संपत्ति के कारण, एक पी लॉग बी के बराबर है। इसलिए हम समानता b p \u003d a p log a b पर आते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि b p \u003d p लॉग a b लॉग करें।

यह नकारात्मक बी के लिए इस संपत्ति को साबित करने के लिए बनी हुई है। यहाँ हम ध्यान दें कि एक्सप्रेशन b b नेगेटिव b के लिए लॉग इन करता है। यह केवल एक्स्प्लोरर्स p के लिए ही समझ में आता है (क्योंकि एक्सपोनेंट b p का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लॉगरिदम का कोई मतलब नहीं होगा), और इस मामले में b p \u003d b | पी। फिर बी पी \u003d | बी | p \u003d (a log | | b |) p \u003d a p · log a | b | , जहाँ से लॉग इन ए बी पी \u003d पी · लॉग इन ए | बी | ...

उदाहरण के लिए, और ln (-3) 4 \u003d 4 ln | -3 | \u003d 4 ln3 |

पिछली संपत्ति का तात्पर्य है जड़ से लघुगणक की संपत्ति: nth रूट का लॉगरिदम, रेडिकल एक्सप्रेशन के लॉगरिथम द्वारा अंश 1 / n के उत्पाद के बराबर होता है, अर्थात जहाँ a\u003e 0, a, 1, n एक से अधिक प्राकृतिक संख्या है, b 0:।

प्रमाण समानता पर आधारित है (भिन्नात्मक घातांक की परिभाषा देखें), जो किसी भी सकारात्मक ख के लिए सही है, और घातांक के लघुगणक की संपत्ति: .

इस संपत्ति का उपयोग करके एक उदाहरण दिया गया है: .

अब हम सिद्ध करें लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र मेहरबान ... ऐसा करने के लिए, यह समानता लॉग सी b \u003d log b b c c को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। मुख्य लॉगरिदमिक पहचान हमें संख्या बी को लॉग बी ए के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर लॉग बी बी \u003d लॉग सी बी ए लॉग बी। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग a b a b \u003d log a b log c a। यह इस प्रकार है कि समानता लॉग c b \u003d log b b c c सिद्ध हुआ है, और इसलिए लघुगणक के नए आधार पर परिवर्तन के लिए सूत्र सिद्ध हुआ .

आइए हम लघुगणक की इस संपत्ति को लागू करने के कुछ उदाहरणों को दिखाते हैं: और .

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र आपको उन लॉगेरिथ्स के साथ काम करने की अनुमति देता है जिनके पास "सुविधाजनक" आधार है। उदाहरण के लिए, आप इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर जाने के लिए कर सकते हैं ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मूल्य की गणना कर सकें। एक लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र भी कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक के मूल्य को खोजने की अनुमति देता है जब अन्य ठिकानों के साथ कुछ लघुगणक के मूल्यों को जाना जाता है।

C \u003d b के लिए लघुगणक के नए आधार में परिवर्तन के लिए सूत्र का एक विशेष मामला अक्सर उपयोग किया जाता है। इससे पता चलता है कि लॉग बी और लॉग बी एक परस्पर उल्टे संख्या हैं। उदाहरण के लिए, .

इसके अलावा, एक सूत्र अक्सर उपयोग किया जाता है जो लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने के लिए सुविधाजनक है। हमारे शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम यह दिखाएंगे कि फॉर्म के लघुगणक के मूल्य की गणना करने के लिए इसका उपयोग कैसे किया जाता है। हमारे पास है ... सूत्र को सिद्ध करने के लिए, लघुगणक के नए आधार में परिवर्तन के लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: .

यह लघुगणक की तुलना के गुणों को साबित करने के लिए बनी हुई है।

विरोधाभास द्वारा विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि 1\u003e 1, 2\u003e 1 और 1 2 के लिए और 0 1 के लिए, 1 b≤log 2 b को लॉग इन करें। लघुगणक के गुणों के द्वारा, इन असमानताओं को फिर से लिखा जा सकता है तथा क्रमशः, और उनसे यह कहा जाता है कि लॉग बी 1 ए एलॉग बी 2 ए और लॉग बी ए 1 एलॉग बी 2 ए क्रमशः। फिर, समान आधारों के साथ डिग्री के गुणों के अनुसार, समानताएं बी लॉग बी 1 logb लॉग बी 2 2 और बी लॉग बी 1 logb लॉग बी 2 ए को पकड़ना चाहिए, अर्थात 1 2a 2। यह है कि हम कैसे शर्त 1 2 के साथ विरोधाभास पर आए। इससे प्रमाण पूरा हो जाता है।

लघुगणक के मूल गुण

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लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, जोड़ा और घटाया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मूल गुण.

इन नियमों को जानना अत्यावश्यक है - कोई भी गंभीर लघुगणक समस्या उनके बिना हल नहीं की जा सकती। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

एक ही आधार के साथ दो लघुगणक पर विचार करें: एक x लॉग करें और एक y लॉग करें। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें, यहाँ प्रमुख बिंदु है - समान आधार... यदि कारण अलग हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको एक लघुगणक अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, यहां तक \u200b\u200bकि जब इसके अलग-अलग हिस्सों की गणना नहीं की जाती है (देखें "एक लघुगणक क्या है")। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और देखें:

एक कार्य। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें: लॉग ६ ४ + लॉग ६ ९।

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग ६ ४ + लॉग ६ ९ \u003d लॉग ६ (४ ९) \u003d लॉग ६ ३६ \u003d २।

एक कार्य। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें: लॉग 2 48 - लॉग 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 \u003d लॉग 2 (48: 3) \u003d लॉग 2 16 \u003d 4।

एक कार्य। अभिव्यक्ति के मूल्य का पता लगाएं: लॉग 3 135 - लॉग 3 5।

फिर से आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास हैं:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d लॉग 3 27 \u003d 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणकों से बना है, जिन्हें अलग से नहीं गिना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएं प्राप्त की जाती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। लेकिन क्या नियंत्रण - इस तरह के भाव सभी गंभीरता (कभी-कभी व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित) परीक्षा पर पेश किए जाते हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक डिग्री पर आधारित हो? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

• x x \u003d n लॉग इन करें;
• 
• 

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन यह सब एक ही याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, इन सभी नियमों से यह समझ में आता है कि यदि लघुगणक के ओडीएल का अवलोकन किया जाता है: a\u003e 0, rules 1, x\u003e 0. और एक और बात: सभी सूत्र केवल बाएं से दाएं ही नहीं, बल्कि इसके विपरीत भी सीखें, अर्थात आप लघुगणक में ही लघुगणक के संकेत के सामने संख्या दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक है।

एक कार्य। अभिव्यक्ति के मूल्य का पता लगाएं: 7 49 6 लॉग करें।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
log 7 49 6 \u003d 6 लॉग 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

एक कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ ज्ञात करें:

[आंकड़ा शीर्षक]

ध्यान दें कि हर में लघुगणक, आधार और तर्क होते हैं, जो सटीक शक्तियां हैं: 16 \u003d 2 4; ४ ९ \u003d 7 २। हमारे पास है:

[आंकड़ा शीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लकड़हारे कहां गायब हो गए? अंतिम क्षण तक, हम केवल भाजक के साथ काम करते हैं। हमने डिग्री के रूप में वहां खड़े लॉगरिदम के आधार और तर्क को प्रस्तुत किया और संकेतकों को बाहर लाया - हमें "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मूल अंश को देखें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. लॉग 2 7 7 0 के बाद से, हम भिन्न को रद्द कर सकते हैं - हर 2/4 रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश पर स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर था: 2।

एक नई नींव की ओर बढ़ रहा है

लघुगणक के अलावा और घटाव के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के लिए काम करते हैं। क्या होगा अगर कारण अलग हैं? क्या होगा अगर वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नई नींव के लिए संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

लघुगणक लॉग एक एक्स दिया जाना चाहिए। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c\u003e 0 और c the 1, निम्नलिखित समानता रखती है:

[आंकड़ा शीर्षक]

विशेष रूप से, यदि हम c \u003d x डालते हैं, तो हमें मिलता है:

[आंकड़ा शीर्षक]

दूसरे सूत्र से यह इस प्रकार है कि आधार और तर्क के तर्क को स्वैप करना संभव है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात लघुगणक में लघुगणक प्रकट होता है।

ये सूत्र पारंपरिक संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह आकलन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालांकि, ऐसे कार्य हैं जो आम तौर पर एक नई नींव के लिए संक्रमण को छोड़कर हल नहीं होते हैं। इनमें से कुछ पर विचार करें:

एक कार्य। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक अंश हैं। चलो संकेतक निकालते हैं: लॉग 5 16 \u003d लॉग 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2 लॉग 2 5;

अब दूसरा लघुगणक "फ्लिप" करें:

[आंकड़ा शीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमचय से नहीं बदलता है, इसलिए हमने चार और दो को शांति से गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

एक कार्य। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें: लॉग ९ १०० · lg 3।

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक डिग्री हैं। आइए इसे लिखें और मेट्रिक्स से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा शीर्षक]

अब नए बेस पर जाकर दशमलव लॉगरिथम से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा शीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक लघुगणक के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

1. n \u003d log a n

2. पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मूल्य है।

   दूसरा सूत्र वास्तव में एक परिभाषा है। इसे कहा जाता है: मूल लघुगणक पहचान।

   वास्तव में, क्या होता है यदि संख्या b को ऐसी शक्ति के लिए उठाया जाता है कि संख्या b इस शक्ति को संख्या a देता है? यह सही है: आपको यह बहुत संख्या में मिलता है a। इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर "लटके" हैं।

   एक नए आधार में परिवर्तन के लिए सूत्र की तरह, मूल लॉगरिदमिक पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

   [आंकड़ा शीर्षक]

   ध्यान दें कि 25 64 \u003d लॉग 5 8 लॉग करें - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम तर्क से बाहर ले जाया गया। समान आधार के साथ डिग्री को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हमें यह मिलता है:

   [आंकड़ा शीर्षक]

   यदि किसी को पता नहीं है, तो यह परीक्षा से वास्तविक समस्या थी

   लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

   अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं का सामना कर रहे हैं और, आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

   1. log a \u003d 1 एक लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: इस आधार से किसी भी आधार का लघुगणक एक के बराबर है।
   2. log a 1 \u003d 0 logarithmic zero है। आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि एक 0 \u003d 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

   वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में धोखा पत्र डाउनलोड करें, इसे प्रिंट करें और समस्याओं को हल करें।

   लघुगणक। लघुगणक गुण (जोड़ और घटाव)।

   लघुगणक गुण इसकी परिभाषा से अनुसरण करें। और इसलिए संख्या का लघुगणक ख वजह से तथा उस डिग्री के एक संकेतक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर संख्या को उठाया जाना चाहिए , प्राप्त करनानंबर पाने के लिए ख (केवल सकारात्मक संख्याओं का एक लघुगणक होता है)।

   इस सूत्रीकरण से यह इस प्रकार है कि गणना x \u003d b लॉग करें, समीकरण को हल करने के बराबर है ए एक्स \u003d बी। उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 \u003d 3 इसलिये 8 = 2 3 ... लघुगणक का सूत्रीकरण यह साबित करना संभव बनाता है कि यदि b \u003d a c , फिर संख्या का लघुगणक ख वजह से , प्राप्त करना के बराबर से... यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय संख्या की शक्ति के विषय से निकटता से जुड़ा हुआ है।

   लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या के साथ, आप कर सकते हैं इसके अलावा, घटाव संचालन और हर संभव तरीके से परिवर्तन। लेकिन इस तथ्य के कारण कि लॉगरिदम काफी सामान्य संख्या नहीं हैं, विशेष नियम यहां लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है मूल गुण.

   लघुगणक का जोड़ और घटाव।

   आइए एक ही आधार के साथ दो लघुगणक लें: लॉग इन करें तथा लॉग इन करें... फिर निकालें अतिरिक्त और घटाव संचालन करना संभव है:

   जैसा कि आप देख सकते हैं लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर लघुगणक - भागफल का लघुगणक। इसके अलावा, यह सच है अगर संख्या तथा, एक्स तथा पर सकारात्मक और एक ≠ 1।

   यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि इन सूत्रों में मुख्य पहलू एक ही आधार है। यदि मैदान एक दूसरे से अलग हैं, तो ये नियम लागू नहीं होते हैं!

   एक ही आधार के साथ लघुगणक के जोड़ और घटाव के नियम न केवल बाएं से दाएं, बल्कि पीछे की ओर भी पढ़े जाते हैं। नतीजतन, हमारे पास उत्पाद के लघुगणक और भागफल के लघुगणक के लिए प्रमेय हैं।

   लघुगणक के योग के बराबर है: दो सकारात्मक संख्या उनके लघुगणक के योग के बराबर है ; इस प्रमेय को परिभाषित करते हुए, हम संख्याओं को प्राप्त करते हैं तथा, एक्स तथा पर सकारात्मक और एक ≠ 1, फिर:

   लघुगणक के अंतर के बराबर है: दो सकारात्मक संख्याएँ लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, यदि संख्या तथा, एक्स तथा पर सकारात्मक और एक ≠ 1, फिर:

   हम हल करने के लिए उपरोक्त प्रमेय लागू करते हैं उदाहरण:

   यदि संख्या एक्स तथा पर फिर नकारात्मक हैं उत्पाद के लघुगणक के लिए सूत्र निरर्थक हो जाता है। इसलिए, यह लिखना मना है:

   चूंकि भाव 2 (-8) लॉग करते हैं और लॉग 2 (-4) बिल्कुल परिभाषित नहीं होते हैं (लॉगरिदमिक फ़ंक्शन पर \u003d लॉग 2 एक्स केवल तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है एक्स).

   उत्पाद प्रमेय न केवल दो के लिए लागू होता है, बल्कि असीमित संख्या में कारकों के लिए भी। इसका मतलब है कि किसी भी प्राकृतिक के लिए क और कोई भी सकारात्मक संख्या एक्स 1 , एक्स 2 , . . . ,x nएक पहचान है:

   का लघुगणक प्रमेय आप लघुगणक की एक और संपत्ति प्राप्त कर सकते हैं। यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि लॉग ए1 \u003d 0, इसलिए

   तो समानता होती है:

   दो परस्पर व्युत्क्रम संख्याओं के लघुगणक उसी आधार पर एक दूसरे से विशेष रूप से हस्ताक्षर द्वारा अलग होगा। इसलिए:

   लघुगणक। लघुगणक के गुण

   लघुगणक। लघुगणक के गुण

   समानता पर विचार करें। मानों को जानें और हम मान प्राप्त करना चाहते हैं।

   यही है, हम उस डिग्री के एक संकेतक की तलाश कर रहे हैं जिसे प्राप्त करने के लिए हमें मुर्गा की आवश्यकता है।

   रहने दो चर किसी भी वैध मान को ले सकता है, फिर चर पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं: ओ "शीर्षक \u003d" ए \u003d ओ "/\u003e, 1 \u003d शीर्षक \u003d" ए 1 ″ /\u003e, 0 \u003d शीर्षक \u003d "बी\u003e 0 ″ /\u003e\u003e

   अगर हम अज्ञात को खोजने के कार्य के साथ और, के मूल्यों को जानते हैं, तो इस उद्देश्य के लिए एक गणितीय कार्रवाई शुरू की जाती है, जिसे कहा जाता है लोगारित्म.

   अर्थ खोजने के लिए, हम लेते हैं एक संख्या का लघुगणक द्वारा आधार :

   आधार के लिए एक संख्या का लघुगणक वह प्रतिपादक है जिसे प्राप्त करने के लिए इसे उठाया जाना चाहिए।

   अर्थात मूल लघुगणकीय पहचान:

   o "शीर्षक \u003d" a\u003e o "/\u003e, 1” शीर्षक \u003d "a1\u003e /\u003e, 0\u003e शीर्षक \u003d" b\u003e 0 ″ /\u003e

   अनिवार्य रूप से एक गणितीय अंकन है लघुगणक की परिभाषा.

   लघुगणक का गणितीय संचालन घातांक संचालन का विलोम है, इसलिए चलो एक\u003e 0, एक ≠ 1, x\u003e 0, और y\u003e 0। डिग्री के गुणों से निकटता से संबंधित है।

   मुख्य सूची दें चलो एक\u003e 0, एक ≠ 1, x\u003e 0, और y\u003e 0।:

   (ओ "शीर्षक \u003d" ए\u003e ओ "/\u003e, १” शीर्षक \u003d "ए १ title /\u003e,” शीर्षक \u003d "बी\u003e ० ″ /\u003e, ०,

   d\u003e 0 ”/\u003e, 1 0 शीर्षक \u003d" d1। /\u003e

   4.

   5.

   गुणों का अगला समूह आपको लघुगणक के संकेत के तहत एक अभिव्यक्ति के प्रतिपादक का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है, या लघुगणक के आधार पर लघुगणक के संकेत से पहले एक गुणांक के रूप में:

   6.

   7.

   8.

   9.

   सूत्रों का अगला समूह आपको दिए गए आधार के साथ एक लघुगणक से एक मनमाना आधार के साथ एक लघुगणक से जाने की अनुमति देता है, और इसे कहा जाता है एक नई नींव के लिए संक्रमण सूत्र:

   10.

   12. (संपत्ति 11 से कोरोलरी)

   

   निम्नलिखित तीन गुण अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन वे अक्सर लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय उपयोग किए जाते हैं, या जब लॉगरिदम युक्त अभिव्यक्तियों को सरल करते हैं:

   13.

   14.

   15.

   विशेष स्थितियां:

   — दशमलव लघुगणक

   — प्राकृतिक

   जब लघुगणक वाले भावों को सरल बनाया जाता है, तो एक सामान्य दृष्टिकोण लागू किया जाता है:

   1. हम दशमलव अंशों को सामान्य लोगों के रूप में दर्शाते हैं।

   2. हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में दर्शाते हैं।

   3. लघुगणक के आधार पर संख्याएं और लघुगणक के चिह्न के तहत प्रमुख कारकों में विघटित कर दिया जाता है।

   4. हम सभी लॉगरिथम को एक आधार पर लाने की कोशिश करते हैं।

   5. लघुगणक के गुणों को लागू करें।

   आइए कुछ उदाहरण देखें कि कैसे लघुगणक वाले भावों को सरल बनाया जाए।

   उदाहरण 1।

   गणना:

   हम सभी घातांक को सरल बनाते हैं: हमारा कार्य उन्हें लघुगणक में कम करना है, जिसके आधार पर डिग्री के आधार पर समान संख्या है।

   \u003d\u003d (संपत्ति 7 से) \u003d (संपत्ति 6 \u200b\u200bसे) \u003d

   आइए उन संकेतकों को प्रतिस्थापित करें जो हमें मूल अभिव्यक्ति में मिले। हमें मिला:

   उत्तर- 5.25

   उदाहरण 2. गणना:

   

   आइए हम सभी लॉगरिथम को बेस 6 तक कम करें (इस मामले में, अंश के हर से लॉगरिदम अंश तक "स्थानांतरित" होगा):

   आइए हम मुख्य कारकों में लघुगणक चिह्न के तहत संख्याओं का विघटन करें:

   आइए गुण 4 और 6 लागू करें:

   आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें

   हमें मिला:

   उत्तर 1

   लोगारित्म . मूल लघुगणकीय पहचान।

   लघुगणक के गुण। दशमलव लघुगणक। प्राकृतिक।

   लोगारित्म आधार में सकारात्मक संख्या एन (ख > 0, ख 1) एक्सपोनेंट x है, जिसे N प्राप्त करने के लिए b को उठाना पड़ता है .

   यह प्रविष्टि निम्न के बराबर है: बी एक्स \u003d एन .

   उदाहरण: लॉग 3 81 \u003d 4, चूंकि 3 4 \u003d 81;

   लॉग 1/3 27 \u003d – 3, चूंकि (1/3) - 3 \u003d 3 3 \u003d 27 है।

   एक लघुगणक की उपरोक्त परिभाषा को एक पहचान के रूप में लिखा जा सकता है:

   

   लघुगणक के मूल गुण।

   2) लॉग 1 \u003d 0, के बाद से ख 0 = 1 .

   3) उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:

   4) भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है:

   5) शक्ति का लघुगणक अपने आधार के लघुगणक द्वारा प्रतिपादक के उत्पाद के बराबर होता है:

   इस संपत्ति का परिणाम निम्नलिखित है: जड़ का लघुगणक रूट की शक्ति से विभाजित रूट संख्या के लघुगणक के बराबर है:

   

   6) यदि लघुगणक के आधार पर एक डिग्री है, तो मूल्य घातांक के व्युत्क्रम को लॉग लय के संकेत के लिए निकाला जा सकता है:

   

   पिछले दो गुणों को एक में जोड़ा जा सकता है:

   

   7) संक्रमण मापांक सूत्र (यानी लघुगणक के एक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण):

   

   एक विशेष मामले में, के लिए एन \u003d ए हमारे पास है:

   

   दशमलव लघुगणक बुलाया आधार करने के लिए लघुगणक 10. यह नामित है, अर्थात लॉग 10 एन \u003d lg एन ... संख्या 10, 100, 1000 के लघुगणक,। p अवन्ना क्रमशः 1, 2, 3, ..., अर्थात। बहुत सारे सकारात्मक हैं

   इकाइयाँ, एक के बाद एक लघुगणक में कितने शून्य हैं। संख्या 0.1, 0.01, 0.001 के लघुगणक। p क्रमशः क्रमशः -1, -2, –3,… हैं एक (गिनती और शून्य पूर्णांक) के सामने लघुगणक में शून्य के रूप में कई नकारात्मक हैं। शेष संख्याओं के लघुगणक में एक भिन्नात्मक भाग होता है जिसे कहा जाता है अपूर्णांश... लघुगणक के पूरे भाग को कहा जाता है विशेषता... दशमलव लघुगणक व्यावहारिक उपयोग के लिए सबसे सुविधाजनक हैं।

   प्राकृतिक बुलाया आधार करने के लिए लघुगणक इ ... इसे ln, अर्थात् द्वारा दर्शाया गया है लॉग इ एन \u003d एलएन एन ... संख्या इ तर्कहीन है, इसका अनुमानित मूल्य 2.718281828 है। यह वह सीमा है जिस पर संख्या (1 + 1 / n) n असीमित वृद्धि के साथ n (से। मी। पहली अद्भुत सीमा (संख्या अनुक्रम पृष्ठ की सीमाएँ देखें)।
   अजीब लग सकता है क्योंकि कार्यों के विश्लेषण से संबंधित विभिन्न कार्यों को करने के लिए प्राकृतिक लॉगरिदम बहुत सुविधाजनक हो गए हैं। आधार लघुगणक की गणना इ किसी भी अन्य कारण की तुलना में बहुत तेजी से किया गया।

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