ज्यामितीय अनुक्रम अंकगणित की तुलना में गणित में कोई कम महत्वपूर्ण नहीं है। ज्यामितीय प्रगति संख्या बी 1, बी 2, ..., बी [एन] के इस तरह के अनुक्रम को संदर्भित करती है, जिनमें से प्रत्येक बाद के शब्द को एक स्थिर संख्या से पिछले गुणा करके प्राप्त किया जाता है। यह संख्या, जो विकास की दर या प्रगति की कमी को दर्शाती है, कहा जाता है ज्यामितीय प्रगति के हर और निरूपित करें

ज्यामितीय प्रगति के पूर्ण असाइनमेंट के लिए, भाजक के अलावा, इसके पहले कार्यकाल को जानना या निर्धारित करना आवश्यक है। हर के सकारात्मक मूल्य के लिए, प्रगति एक मोनोटोन अनुक्रम है, और यदि संख्याओं का यह क्रम नीरस रूप से कम हो रहा है और एकतरफा रूप से बढ़ रहा है। मामला जब हर व्यक्ति एकता के बराबर होता है, व्यवहार में नहीं माना जाता है, क्योंकि हमारे पास समान संख्याओं का एक क्रम है, और उनके योग व्यावहारिक अभिरुचि का कारण नहीं बनते हैं

ज्यामितीय प्रगति का सामान्य शब्द सूत्र द्वारा गणना की गई

ज्यामितीय प्रगति के एन पहले शब्दों का योग सूत्र द्वारा निर्धारित

एक ज्यामितीय प्रगति पर शास्त्रीय समस्याओं के समाधान पर विचार करें। हम सरलतम से समझना शुरू करते हैं।

उदाहरण 1. एक ज्यामितीय प्रगति का पहला शब्द 27 है, और इसका भाजक 1/3 है। ज्यामितीय प्रगति के छह पहले सदस्यों का पता लगाएं।

समाधान: हम फॉर्म में समस्या की स्थिति लिखते हैं

गणना के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के nth शब्द के सूत्र का उपयोग करते हैं

इसके आधार पर हमें प्रगति के अज्ञात सदस्य मिलते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सरल है। प्रगति खुद इस तरह दिखेगी

उदाहरण 2. एक ज्यामितीय प्रगति के पहले तीन सदस्यों को देखते हुए: 6; -12; 24. हर और उसके सातवें सदस्य का पता लगाएं।

समाधान: इसकी परिभाषा के आधार पर ज्यामितीय प्रगति के हर की गणना करें

हमें एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मिली, जिसका हर -2 है। सातवें पद की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

इस पर समस्या हल हो जाती है।

उदाहरण 3. एक ज्यामितीय प्रगति को इसके दो सदस्यों द्वारा परिभाषित किया गया है। । प्रगति के दसवें सदस्य का पता लगाएं।

फेसला:

हम सूत्र के माध्यम से सेट मान लिखते हैं

नियमों के अनुसार, हर को खोजने के लिए आवश्यक होगा, और फिर वांछित मूल्य की खोज करें, लेकिन दसवीं अवधि के लिए हमारे पास है

इनपुट डेटा के साथ सरल जोड़तोड़ के आधार पर एक ही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। श्रृंखला के छठे सदस्य को दूसरे में विभाजित करें, परिणामस्वरूप हम प्राप्त करते हैं

यदि परिणामी मूल्य को छठे शब्द से गुणा किया जाता है, तो हमें दसवां स्थान मिलता है

इस प्रकार, ऐसे कार्यों के लिए, सरल परिवर्तनों को त्वरित तरीके से उपयोग करके, आप सही समाधान पा सकते हैं।

उदाहरण 4. एक ज्यामितीय प्रगति पुनरावृत्ति सूत्रों द्वारा दी जाती है

ज्यामितीय प्रगति के भाजक और पहले छह सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

हम दिए गए डेटा को समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखते हैं

पहले से दूसरे समीकरण को विभाजित करके हर को व्यक्त करें

पहले समीकरण से प्रगति का पहला शब्द खोजें

हम ज्यामितीय प्रगति के योग को खोजने के लिए निम्नलिखित पांच शब्दों की गणना करते हैं

एक ज्यामितीय प्रगति के nth शब्द का सूत्र एक बहुत ही साधारण बात है। अर्थ में और सामान्य रूप में दोनों। लेकिन nth शब्द के सूत्र के साथ सभी प्रकार की समस्याएं हैं - बहुत आदिम से लेकर काफी गंभीर तक। और हमारे परिचित की प्रक्रिया में, हम निश्चित रूप से उन दोनों पर विचार करेंगे। अच्छा, परिचित हो?)

तो, शुरुआत के लिए, यह वास्तव में है सूत्रn

वहाँ है वो:

बी एन = ख 1 · q n -1

सूत्र के रूप में, अलौकिक कुछ भी नहीं। यह एक समान सूत्र की तुलना में और भी सरल और अधिक कॉम्पैक्ट दिखता है। सूत्र का अर्थ भी सरल है, जैसे जूते।

यह सूत्र आपको किसी भी ज्यामितीय प्रगति के किसी सदस्य को HIS NUMBER के साथ खोजने की अनुमति देता है " n".

जैसा कि आप देख सकते हैं, अर्थ अंकगणितीय प्रगति के साथ एक पूर्ण सादृश्य है। हम संख्या n को जानते हैं - हम इस संख्या के अंतर्गत आने वाले सदस्य को गिन सकते हैं। जो हम चाहते हैं। क्रमिक रूप से "q" से गुणा नहीं, कई बार, कई बार। यह पूरी बात है।)

मैं समझता हूं कि प्रगति के साथ इस स्तर पर, सूत्र में शामिल सभी मात्राएं पहले से ही आपके लिए स्पष्ट होनी चाहिए, लेकिन मैं इसे हर एक को समझना मेरा कर्तव्य मानता हूं। शायद ज़रुरत पड़े।

तो चलते हैं:

ख 1 – सबसे पहला ज्यामितीय प्रगति के सदस्य;

क्ष – ;

n - सदस्य संख्या;

बी एन – nth (nवें) ज्यामितीय प्रगति के सदस्य।

यह सूत्र किसी भी ज्यामितीय प्रगति के चार मुख्य मापदंडों को जोड़ता है - ख n, ख 1 , क्ष तथा n। और इन चार प्रमुख आंकड़ों के आसपास, प्रगति पर सभी कार्य घूमते हैं।

"और यह आउटपुट कैसे है?" - मैं एक जिज्ञासु सवाल सुन रहा हूँ ... प्राथमिक! इस पर नजर रखें!

क्या बराबर है? दूसरा प्रगति सदस्य? कोई दिक्कत नहीं है! हम सीधे लिखते हैं:

बी 2 \u003d बी 1 क्यू

और तीसरा कार्यकाल? इसके अलावा कोई समस्या नहीं है! दूसरा शब्द गुणा किया जाता है फिर सेक्ष.

ऐशे ही:

बी 3 \u003d बी 2 क्यू

अब स्मरण करें कि दूसरा शब्द, बदले में b 1 · q के बराबर है और हम इस अभिव्यक्ति को अपनी समानता में प्रतिस्थापित करते हैं:

B 3 \u003d b 2 q \u003d (b 1 q) q \u003d b 1 q q \u003d b 1 q 2

हमें मिला:

बी 3 \u003d बी १ क्यू 2

और अब हम रूसी में अपनी प्रविष्टि पढ़ते हैं: तीसरा सदस्य पहले सदस्य समय q के बराबर है दूसरा डिग्री कम है। पकड़ लो? अभी नहीं? ठीक है, एक और कदम।

चौथा शब्द किसके बराबर है? सब एक जैसे! गुणा पिछला (अर्थात तीसरा पद) q पर:

बी 4 \u003d बी 3 क्यू \u003d (बी 1 क्यू 2) क्यू \u003d बी 1 क्यू 2 क्यू \u003d बी 1 क्यू 3

संपूर्ण:

बी 4 \u003d बी १ क्यू 3

और फिर से हम रूसी में अनुवाद करते हैं: चौथा पद पहले पद काल q के बराबर है तीसरा डिग्री कम है।

आदि। तो यह कैसे होता है? क्या आपने पैटर्न पकड़ा? हाँ! किसी भी सदस्य के लिए किसी भी संख्या के साथ, समान कारकों की संख्या q (यानी, हर की डिग्री) हमेशा होगी मांगी गई अवधि की संख्या से एक कमn.

इसलिए, विकल्प के बिना, हमारा सूत्र होगा:

बी एन \u003dख 1 · q n -1

यही सब है इसके लिए।)

ठीक है, चलो समस्याओं को हल करते हैं, शायद? '

सूत्र पर समस्याओं का समाधानnएक ज्यामितीय प्रगति का सदस्य।

आइए, सूत्र के प्रत्यक्ष आवेदन के साथ, हमेशा की तरह शुरू करें। यहाँ एक विशिष्ट पहेली है:

यह घातीय रूप से ज्ञात है ख 1 \u003d 512 और क्ष \u003d -1/2। प्रगति के दसवें सदस्य का पता लगाएं।

बेशक, इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है। सीधे ज्यामितीय प्रगति के अर्थ के भीतर। लेकिन हमें nth टर्म के फॉर्मूले को फैलाने की जरूरत है, है ना? तो वार्म अप करें।

सूत्र को लागू करने के लिए हमारा डेटा इस प्रकार है।

पहले सदस्य को जाना जाता है। यह 512 है।

ख 1 = 512.

प्रगति के हरक को भी जाना जाता है: क्ष = -1/2.

यह केवल यह पता लगाने के लिए रहता है कि सदस्य n की संख्या क्या है। कोई दिक्कत नहीं है! क्या हम दसवें सदस्य में रुचि रखते हैं? इसलिए हम एन के बजाय सामान्य सूत्र में दस को प्रतिस्थापित करते हैं।

और हम ध्यान से अंकगणित पर विचार करते हैं:

उत्तर 1

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रगति का दसवां सदस्य माइनस के साथ था। कोई आश्चर्य नहीं: प्रगति का कारक -1/2 है, अर्थात नकारात्मक नंबर। और यह हमें बताता है कि हमारी प्रगति के संकेत वैकल्पिक हैं, हां। "

यहां सब कुछ सरल है। लेकिन एक समान समस्या है, लेकिन कंप्यूटिंग के मामले में थोड़ी अधिक जटिल है।

यह ज्यामितीय प्रगति में जाना जाता है कि:

ख 1 = 3

प्रगति के तेरहवें सदस्य का पता लगाएं।

सब कुछ वैसा ही है, केवल इस बार प्रगति के प्रतिपादक - तर्कहीन। दो की जड़। ठीक है, यह ठीक है। सूत्र एक सार्वभौमिक चीज है, यह किसी भी संख्या के साथ मुकाबला करता है।

हम सीधे सूत्र के अनुसार काम करते हैं:

सूत्र, निश्चित रूप से, के रूप में काम करना चाहिए, लेकिन ... यहाँ कुछ लटका हुआ है। जड़ के साथ आगे क्या करना है? जड़ को बारहवीं डिग्री तक कैसे बढ़ाएं?

कैसे-कैसे ... हमें समझना चाहिए कि कोई भी फॉर्मूला, एक अच्छी बात है, लेकिन पिछले सभी गणित का ज्ञान रद्द नहीं हुआ है! कैसे बनाना है? हाँ याद करने के लिए डिग्री के गुण! जड़ को मोड़ो आंशिक घातांकऔर - प्रतिपादक सूत्र द्वारा।

ऐशे ही:

उत्तर: 192

और सभी चीजें।)

सीधे nth शब्द के सूत्र को लागू करने में मुख्य कठिनाई क्या है? हाँ! मुख्य कठिनाई है डिग्री के साथ काम करो! अर्थात्, ऋणात्मक संख्याओं, भिन्नों, जड़ों और इसी तरह के निर्माणों की शक्ति में वृद्धि। तो जिन लोगों को इससे समस्या है, कृपया डिग्री और उनके गुणों को दोहराएं! अन्यथा, आप इस धागे में धीमा कर देंगे, हाँ ...)

और अब हम विशिष्ट खोज समस्याओं का समाधान करेंगे सूत्र के तत्वों में से एकयदि अन्य सभी दिए गए हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, नुस्खा एक और डरावनी बात को सरल है - सूत्र लिखेंnसामान्य शब्दों में सदस्य!स्थिति के बगल में नोटबुक में सही। और फिर हालत से हम समझते हैं कि हमें क्या दिया गया है और क्या गायब है। और हम सूत्र से वांछित मूल्य व्यक्त करते हैं। सब!

उदाहरण के लिए, ऐसी हानिरहित पहेली।

हर 3 के साथ ज्यामितीय प्रगति का पांचवां कार्यकाल 567 है। इस प्रगति में पहला शब्द खोजें।

कुछ भी जटिल नहीं है। हम सीधे मंत्र द्वारा काम करते हैं।

हम nth शब्द का सूत्र लिखते हैं!

बी एन = ख 1 · q n -1

हमें क्या दिया जाता है? सबसे पहले, प्रगति के हर को दिया जाता है: क्ष = 3.

इसके अतिरिक्त, हमें दिया जाता है पांचवा सदस्य: ख 5 = 567 .

सब? नहीं! हमें नंबर n भी दिया जाता है! यह पाँच है: n \u003d 5।

मुझे उम्मीद है कि आप रिकॉर्ड में पहले से ही समझ गए होंगे ख 5 = 567 दो मापदंडों को एक ही बार में छिपाया जाता है - यह पांचवां शब्द (567) खुद और इसकी संख्या (5) है। इस तरह के एक सबक पर मैंने पहले ही इस बारे में बात की है, लेकिन यहां मुझे लगता है कि यह याद करने के लिए बहुत अच्छा नहीं है।)

अब हम अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

567 = ख 1 3 5-1

हम अंकगणित पर विचार करते हैं, सरल करते हैं और एक सरल रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं:

81 ख 1 = 567

हम हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

ख 1 = 7

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहला शब्द खोजने में कोई समस्या नहीं है। लेकिन जब हर खोजता है क्ष और संख्या n आश्चर्य हो सकता है। और उनके लिए (आश्चर्य के लिए) आपको भी तैयार रहना होगा, हाँ।)

उदाहरण के लिए, ऐसा कार्य:

एक सकारात्मक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति का पांचवां शब्द 162 है, और इस प्रगति का पहला शब्द है 2. प्रगति के हर को खोजें।

इस बार हमें पहले और पांचवें सदस्य दिए गए हैं, और वे प्रगति का एक कारण पूछते हैं। तो चलो शुरू करते है।

सूत्र लिखनाnसदस्य!

बी एन = ख 1 · q n -1

हमारा कच्चा डेटा निम्नानुसार होगा:

ख 5 = 162

ख 1 = 2

n = 5

पर्याप्त मूल्य नहीं क्ष। कोई दिक्कत नहीं है! अब हम पाते हैं।) सब कुछ है कि हम सूत्र में जानते हैं सब जगह।

हमें मिला:

162 \u003d 2क्ष 5-1

2 क्ष 4 = 162

क्ष 4 = 81

चौथी डिग्री का एक सरल समीकरण। और अब - सावधानी से! निर्णय के इस चरण में, कई छात्र तुरंत मूल (चौथी डिग्री) को खुशी से निकालते हैं और एक उत्तर प्राप्त करते हैं क्ष=3 .

ऐशे ही:

क्यू ४ \u003d \u003d१

क्ष = 3

लेकिन वास्तव में, यह एक अधूरा जवाब है। अधिक सटीक, अपूर्ण। क्यों? तथ्य यह है कि उत्तर क्ष = -3 भी उपयुक्त: (-3) ४ भी )१ होगा!

सभी क्योंकि सत्ता समीकरण x n = ए हमेशा है दो विपरीत जड़ें पर यहाँ तक कीn . प्लस और माइनस के साथ:

दोनों फिट हैं।

उदाहरण के लिए, निर्णय लेना (अर्थात दूसरा डिग्री)

x 2 \u003d 9

किसी कारण से, आप की उपस्थिति पर आश्चर्यचकित नहीं हैं दो जड़ें x \u003d ± 3? यहाँ भी ऐसा ही है। और किसी अन्य के साथ यहाँ तक की डिग्री (चौथा, छठा, दसवां, आदि) समान होगा। विषय में विवरण

इसलिए, सही समाधान होगा:

क्ष 4 = 81

क्ष \u003d ± 3

खैर, संकेतों के साथ हल किया। कौन सा सही है - प्लस या माइनस? खैर, हम खोज में समस्या की स्थिति को फिर से पढ़ते हैं अतिरिक्त जानकारी।यह निश्चित रूप से, लेकिन इस समस्या में ऐसी जानकारी नहीं हो सकती है उपलब्ध है।हमारी स्थिति में, यह स्पष्ट पाठ में बताया गया है कि एक प्रगति के साथ दिया गया है एक सकारात्मक हर।

इसलिए, उत्तर स्पष्ट है:

क्ष = 3

यहां सब कुछ सरल है। और आपको क्या लगता है कि समस्या का विवरण इस तरह से होता तो क्या होता:

ज्यामितीय प्रगति का पाँचवाँ शब्द 162 है, और इस प्रगति का पहला शब्द है 2. प्रगति के हर का पता लगाएं।

अंतर क्या है? हाँ! हालत में कुछ भी तो नहीं यह हर के संकेत के बारे में नहीं कहा गया है। न प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से। और यहाँ समस्या पहले से ही है दो समाधान!

क्ष = 3 तथा क्ष = -3

हाँ हाँ! प्लस और माइनस दोनों के साथ।) गणितीय रूप से, इस तथ्य का मतलब होगा कि वहाँ हैं दो प्रगतियह समस्या की स्थिति के अनुकूल है। और प्रत्येक के लिए - अपने स्वयं के। मज़े के लिए, अभ्यास करें और प्रत्येक के पहले पाँच सदस्यों को लिखें।)

अब सदस्य संख्या ज्ञात करने का अभ्यास करें। यह कार्य सबसे कठिन है, हाँ। लेकिन अधिक रचनात्मक भी।)

एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए:

3; 6; 12; 24; …

इस प्रगति में 768 की संख्या क्या है?

पहला चरण समान है: सूत्र लिखेंnसदस्य!

बी एन = ख 1 · q n -1

और अब, हमेशा की तरह, हम उस डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं जिसे हम जानते हैं। उम ... प्रतिस्थापित नहीं! जहाँ पहला शब्द है, जहाँ हर है, जहाँ बाकी सब कुछ है!

कहाँ, कहाँ ... और हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है? ताली बजाओ? इस बार प्रगति हमें सीधे रूप में निर्धारित है अनुक्रम। पहला कार्यकाल दिख रहा है? हम देखते हैं! यह एक ट्रिपल (बी 1 \u003d 3) है। हर के बारे में क्या? हम इसे अभी तक नहीं देखते हैं, लेकिन यह बहुत आसानी से माना जाता है। जब तक, निश्चित रूप से, समझें।

तो हम सोचते हैं। सीधे ज्यामितीय प्रगति के अर्थ के भीतर: हम किसी भी सदस्य को लेते हैं (पहले को छोड़कर) और पिछले एक से विभाजित करें।

कम से कम इस तरह:

क्ष = 24/12 = 2

हम और क्या जानते हैं? हम इस प्रगति के कुछ सदस्य को भी जानते हैं, जो 768 के बराबर है। कुछ संख्या n के तहत:

बी एन = 768

उसकी संख्या हमारे लिए अज्ञात है, लेकिन हमारा कार्य इसे खोजने के लिए ठीक है।) इसलिए हम देख रहे हैं। हमने सूत्र में प्रतिस्थापन के लिए पहले से ही सभी आवश्यक डेटा डाउनलोड कर लिए हैं। अपने आप से अनभिज्ञ)

यहाँ हम स्थानापन्न हैं:

768 \u003d 3 · 2 n -1

हम प्राथमिक करते हैं - हम दोनों हिस्सों को तीन में विभाजित करते हैं और सामान्य रूप में समीकरण को फिर से लिखते हैं: बाईं ओर अज्ञात, दाईं ओर - ज्ञात।

हमें मिला:

2 n -1 = 256

यहाँ एक दिलचस्प समीकरण है। आपको "एन" खोजने की आवश्यकता है। क्या, असामान्य? हां, मैं बहस नहीं करता। दरअसल, यह सबसे सरल है। यह इसलिए कहा जाता है क्योंकि अज्ञात (में) ये मामला यह अंक n) में है सूचक डिग्री कम है।

ज्यामितीय प्रगति के साथ परिचित के चरण में (यह नौवीं कक्षा है), घातीय समीकरणों को हल करने के लिए नहीं सिखाया जाता है, हाँ ... यह हाई स्कूल का विषय है। लेकिन डरावना कुछ भी नहीं है। यहां तक \u200b\u200bकि अगर आपको नहीं पता है कि इस तरह के समीकरण कैसे हल किए जाते हैं, तो हमारे खोजने की कोशिश करें nसरल तर्क और सामान्य ज्ञान द्वारा निर्देशित।

हम तर्क करने लगते हैं। बाईं ओर हमारे पास एक ड्यूस है कुछ हद तक। हमें अभी तक नहीं पता है कि यह किस तरह की डिग्री है, लेकिन यह डरावना नहीं है। लेकिन फिर हम दृढ़ता से जानते हैं कि यह डिग्री 256 के बराबर है! इसलिए हम याद करते हैं कि ड्यूस हमें किस हद तक 256 देता है। याद रखें? हाँ! में आठवाँ डिग्री!

256 = 2 8

यदि आपको याद नहीं है या समस्या की डिग्री की मान्यता के साथ, तो कुछ भी गलत नहीं है: हम बस लगातार एक दो, एक वर्ग, एक घन, एक चौथाई डिग्री, एक पांचवें, और इसी तरह। चयन, वास्तव में, लेकिन इस स्तर पर - काफी सवारी है।

एक तरह से या किसी अन्य, हम:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

तो 768 है नौवां हमारी प्रगति का सदस्य। यही है, समस्या हल हो गई है।)

उत्तर: 9

क्या? ऊब गए हैं? प्राथमिक से थक गए? मैं सहमत हूँ। और मैं भी। अगले स्तर पर कदम।)

अधिक कठिन कार्य।

और अब हम अचानक समस्याओं का समाधान करते हैं। वास्तव में सुपर कूल नहीं है, लेकिन जवाब पाने के लिए कुछ काम किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, ऐसे।

ज्यामितीय प्रगति का दूसरा शब्द ज्ञात करें यदि इसका चौथा पद -24 है और सातवां पद 192 है।

यह शैली का एक क्लासिक है। प्रगति के कुछ दो अलग-अलग सदस्यों को जाना जाता है, लेकिन आपको किसी अन्य सदस्य को खोजने की आवश्यकता है। इसके अलावा, सभी सदस्य आसन्न नहीं हैं। जो पहले भ्रमित करता है, हाँ ...

जैसे, ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, हम दो तरीकों पर विचार करते हैं। पहली विधि सार्वभौमिक है। बीजीय। यह निर्दोष रूप से और किसी भी स्रोत डेटा के साथ काम करता है। इसलिए, यह उसके साथ है कि हम शुरू करेंगे।)

हम प्रत्येक सदस्य को सूत्र के अनुसार पेंट करते हैं nसदस्य!

सब कुछ ठीक वैसा ही है जैसा अंकगणितीय प्रगति के साथ है। केवल इस समय हम साथ काम करते हैं अन्य सामान्य सूत्र। वह सब है।) लेकिन सार एक ही है: हम लेते हैं और वैकल्पिक रूप से हम अपने प्रारंभिक डेटा को nth शब्द के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। प्रत्येक सदस्य के लिए - उनका अपना।

चौथे सदस्य के लिए, लिखें:

ख 4 = ख 1 · क्ष 3

-24 = ख 1 · क्ष 3

वहाँ है। एक समीकरण तैयार है।

सातवें सदस्य के लिए हम लिखते हैं:

ख 7 = ख 1 · क्ष 6

192 = ख 1 · क्ष 6

कुल मिलाकर, दो समीकरण वही प्रगति .

हम उन्हें सिस्टम से इकट्ठा करते हैं:

इसकी दुर्जेय उपस्थिति के बावजूद, प्रणाली बहुत सरल है। इसे हल करने का सबसे स्पष्ट तरीका नियमित प्रतिस्थापन है। हम व्यक्त करते हैं ख 1 निचले में ऊपरी समीकरण और स्थानापन्न से:

निम्न समीकरण के साथ थोड़ा सा छेड़छाड़ करना (डिग्री को कम करना और -24 को विभाजित करना), हमें प्राप्त होता है:

क्ष 3 = -8

वैसे, एक ही समीकरण को भी सरल तरीके से पहुँचा जा सकता है! कौनसा? अब मैं आपको एक और रहस्य दिखाऊंगा, लेकिन इस तरह की प्रणालियों को हल करने के लिए बहुत सुंदर, शक्तिशाली और उपयोगी तरीका। ऐसे सिस्टम जिसके समीकरण बैठते हैं केवल काम करता है।कम से कम एक में। बुलाया अवधि विभाजन विधिदूसरे के लिए एक समीकरण।

इसलिए, हमारे सामने एक प्रणाली है:

बाईं ओर दोनों समीकरणों में - रचनाऔर दाईं ओर केवल एक संख्या है। यह एक बहुत अच्छा संकेत है।) चलो लेते हैं और ... विभाजित करते हैं, कहते हैं, निचला समीकरण ऊपरी में! क्या मतलब, एक समीकरण को दूसरे में विभाजित करें? बहुत आसान। लेना बाईं तरफ एक समीकरण (कम) और शेयर उस पर बाईं तरफ एक और समीकरण (शीर्ष)। दाईं ओर समान है: दाईं ओर एकल समीकरण शेयर पर दाईं ओर दूसरे का।

संपूर्ण विभाजन प्रक्रिया इस प्रकार दिखती है:

अब, जो कुछ घटाया जा रहा है, वह कम हो गया है:

क्ष 3 = -8

इस विधि के लिए क्या अच्छा है? हां, क्योंकि इस तरह के विभाजन की प्रक्रिया में, खराब और असुविधाजनक सब कुछ सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है और पूरी तरह से हानिरहित समीकरण बना रहता है! इसीलिए उपलब्धता इतनी महत्वपूर्ण है। गुणन केवल कम से कम सिस्टम के समीकरणों में से एक में। कोई गुणा नहीं है - कम करने के लिए कुछ भी नहीं है, हाँ ...

सामान्य तौर पर, यह विधि (सिस्टम को हल करने के लिए कई अन्य गैर-तुच्छ तरीकों की तरह) यहां तक \u200b\u200bकि एक अलग पाठ की भी हकदार है। अधिक विस्तार से इसका विश्लेषण करना सुनिश्चित करें। किसी दिन ...

हालाँकि, कोई भी बात नहीं कि आप सिस्टम को कैसे हल करते हैं, किसी भी स्थिति में, अब हमें परिणामी समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

क्ष 3 = -8

कोई समस्या नहीं: रूट (क्यूबिक) निकालें और - किया!

कृपया ध्यान दें कि जब पुट / माइनस निकालते हैं तो यह आवश्यक नहीं है। अजीब (तीसरा) डिग्री, हमारे पास एक जड़ है। और जवाब भी एक है, हाँ।)

तो, प्रगति का हरक पाया जाता है। माइनस दो। ठीक! प्रक्रिया जारी है।)

पहले शब्द के लिए (ऊपरी समीकरण से कहिए)

ठीक! हम पहले शब्द को जानते हैं, हम हर को जानते हैं। और अब हमारे पास प्रगति के किसी भी सदस्य को खोजने का अवसर है। दूसरे सहित)

दूसरे कार्यकाल के लिए, सब कुछ काफी सरल है:

ख 2 = ख 1 · क्ष \u003d 3 · (-2) \u003d -6

उत्तर: -6

इसलिए, हमने समस्या को हल करने के बीजगणितीय तरीके को हल कर दिया है। उलझा हुआ? वास्तव में, मैं सहमत नहीं हूं। लंबे और थकाऊ? हां बिल्कुल। लेकिन कभी-कभी आप काम की मात्रा को काफी कम कर सकते हैं। इसके लिए है ग्राफिक तरीका।हमारे लिए अच्छा पुराना और परिचित।)

एक कार्य ड्रा!

हाँ! बिल्कुल सही। फिर, हम अपनी प्रगति को संख्यात्मक अक्ष पर दर्शाते हैं। शासक द्वारा जरूरी नहीं है, सदस्यों के बीच समान अंतराल बनाए रखना आवश्यक नहीं है (जो, वैसे, समान नहीं होगा, क्योंकि प्रगति ज्यामितीय है!), लेकिन बस रेखाचित्र के रूप में हमारा क्रम बनाएं।

मुझे यह इस तरह मिला:

और अब हम तस्वीर को देखते हैं और सोचते हैं। कितने ही q कारक साझा किए जाते हैं चौथा तथा सातवाँ सदस्यों? ठीक है, तीन!

इसलिए, हमें लिखने का पूरा अधिकार है:

-24क्ष 3 = 192

यहाँ से q अब आसानी से मांगा गया है:

क्ष 3 = -8

क्ष = -2

यह बहुत अच्छा है, हर पहले से ही हमारी जेब में है। और अब फिर से हम इस तस्वीर को देखते हैं: कितने लोग इस तरह के बीच बैठते हैं दूसरा तथा चौथा सदस्यों? दो! इसलिए, इन सदस्यों के बीच संबंध दर्ज करने के लिए, भाजक को खड़ा किया जाएगा वर्ग.

तो हम लिखते हैं:

ख 2 · क्ष 2 = -24 कहाँ से ख 2 = -24/ क्ष 2

बी 2 के लिए अभिव्यक्ति में हमारे पाया हर को प्रतिस्थापित करें, विचार करें और प्राप्त करें:

उत्तर: -6

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ सिस्टम के माध्यम से बहुत सरल और तेज है। इसके अलावा, यहाँ हमें पहले कार्यकाल को गिनने की भी आवश्यकता नहीं थी! पूर्ण रूप से।)

यहाँ प्रकाश के लिए इस तरह का एक सरल और सहज तरीका है। लेकिन उसे एक गंभीर खामी भी है। अनुमान लगाया? हाँ! यह केवल प्रगति के बहुत छोटे टुकड़ों के लिए उपयुक्त है। हमारे हित के सदस्यों के बीच दूरियां बहुत बड़ी नहीं हैं। लेकिन अन्य सभी मामलों में, तस्वीर खींचना पहले से ही मुश्किल है, हाँ ... तब हम समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से, सिस्टम के माध्यम से हल करते हैं।) और सिस्टम एक सार्वभौमिक चीज है। वे किसी भी संख्या के साथ सामना करते हैं।

एक और महाकाव्य पहेली:

ज्यामितीय प्रगति का दूसरा शब्द पहले की तुलना में 10 अधिक है, और तीसरा शब्द दूसरे की तुलना में 30 अधिक है। प्रगति के हरक का पता लगाएं।

क्या मस्त है? हर्गिज नहीं! सब एक जैसे। फिर से हम समस्या की स्थिति का शुद्ध बीजगणित में अनुवाद करते हैं।

1) हम सूत्र के अनुसार प्रत्येक सदस्य को पेंट करते हैं nसदस्य!

दूसरा कार्यकाल: बी 2 \u003d बी 1 · क्यू

तीसरा शब्द: बी 3 \u003d बी 1 क्यू 2

2) हम समस्या की स्थितियों से सदस्यों के बीच संबंध दर्ज करते हैं।

हम शर्त पढ़ते हैं: "ज्यामितीय प्रगति का दूसरा शब्द पहले की तुलना में 10 अधिक है।" बंद करो, यह मूल्यवान है!

तो हम लिखते हैं:

ख 2 = ख 1 +10

और हम इस वाक्यांश का शुद्ध गणित में अनुवाद करते हैं:

ख 3 = ख 2 +30

दो समीकरण मिले। उन्हें एक प्रणाली में मिलाएं:

सिस्टम सरल दिखता है। लेकिन कुछ पहले से ही अक्षरों में बहुत से अलग-अलग सूचकांक हैं। हम पहले शब्द और हर के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति के दूसरे और तीसरे शब्दों के बजाय स्थानापन्न करते हैं! व्यर्थ में, शायद, हमने उन्हें चित्रित किया?

हमें मिला:

लेकिन ऐसी प्रणाली अब एक उपहार नहीं है, हाँ ... इसे कैसे हल किया जाए? दुर्भाग्य से, जटिल को हल करने के लिए एक सार्वभौमिक गुप्त मंत्र अरेखीय गणित में कोई व्यवस्था नहीं है और न ही हो सकती है। यह बढ़िया है! लेकिन पहली बात यह है कि इस तरह के एक कठिन अखरोट को काटने की कोशिश करते समय आपके पास होना चाहिए, यह पता लगाने के लिए, लेकिन सिस्टम के समीकरणों में से एक सुंदर दृश्य के लिए कम नहीं है जो इसे संभव बनाता है, उदाहरण के लिए, दूसरे के संदर्भ में चर में से एक को आसानी से व्यक्त करने के लिए?

तो चलिए इसका पता लगाते हैं। प्रणाली का पहला समीकरण दूसरे की तुलना में स्पष्ट रूप से सरल है। और उसे प्रताड़ित करें।) लेकिन पहले समीकरण से प्रयास करने के लिए नहीं कुछ कुछ के माध्यम से व्यक्त करते हैं कुछ कुछ? चूँकि हम हर को खोजना चाहते हैं क्ष, तो यह हमारे लिए व्यक्त करने के लिए सबसे अधिक लाभदायक होगा ख 1 के माध्यम से क्ष.

तो चलो इस प्रक्रिया को पहले समीकरण के साथ करने की कोशिश करते हैं, अच्छे पुराने का उपयोग करते हुए:

b 1 q \u003d b 1 +10

बी 1 क्यू - बी 1 \u003d 10

बी 1 (q-1) \u003d 10

सब! तो हमने व्यक्त किया बेकार हमें एक चर (बी 1) के माध्यम से सही (क्यू)। हां, सबसे आसान अभिव्यक्ति नहीं मिली। किसी प्रकार का अंश ... लेकिन हमारे पास एक सभ्य प्रणाली है, हाँ।)

ठेठ। क्या करें - हमें पता है।

हम ODZ लिखते हैं (आवश्यक!) :

क्ष ≠ १

हर चीज को हर (गुणा -1) से गुणा करें और सभी भिन्नों को कम करें:

10 क्ष 2 = 10 क्ष + 30(क्ष-1)

सब कुछ दस से विभाजित करें, कोष्ठक खोलें, बाईं ओर सब कुछ एकत्र करें:

क्ष 2 – 4 क्ष + 3 = 0

हम परिणाम को हल करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

क्ष 1 = 1

क्ष 2 = 3

अंतिम उत्तर एक है: क्ष = 3 .

उत्तर: 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति के मूल शब्द के सूत्र पर अधिकांश समस्याओं को हल करने का तरीका हमेशा एक जैसा होता है: हम पढ़ते हैं सावधानी से समस्या की स्थिति और nth शब्द के सूत्र का उपयोग करके हम सभी उपयोगी जानकारी को शुद्ध बीजगणित में अनुवाद करते हैं।

अर्थात्:

1) हम सूत्र द्वारा समस्या में दिए गए प्रत्येक सदस्य को अलग से लिखते हैंnसदस्य।

2) समस्या की स्थितियों से हम सदस्यों के बीच गणितीय रूप में संबंध का अनुवाद करते हैं। हम एक समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करते हैं।

3) हम परिणामस्वरूप समीकरणों या समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं, हम प्रगति के अज्ञात मापदंडों को पाते हैं।

4) अस्पष्ट उत्तर के मामले में, हम अतिरिक्त जानकारी (यदि कोई हो) की तलाश में समस्या की स्थिति को ध्यान से पढ़ते हैं। हम DLD (यदि कोई हो) की शर्तों के साथ प्राप्त उत्तर को सत्यापित करते हैं।

और अब हम मुख्य समस्याओं को सूचीबद्ध करते हैं जो ज्यादातर ज्यामितीय प्रगति समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में त्रुटियों की ओर ले जाती हैं।

1. प्राथमिक अंकगणित। भिन्न और नकारात्मक संख्या के साथ क्रिया।

2. यदि इन तीन बिंदुओं में से कम से कम एक समस्या है, तो आप अनिवार्य रूप से इस विषय में गलत होंगे। दुर्भाग्य से ... तो आलसी मत बनो और ऊपर बताए गए को दोहराएं। और लिंक का पालन करें - जाओ। कभी-कभी यह मदद करता है।)

संशोधित और आवर्तक सूत्र।

अब, चलो हालत की एक कम परिचित प्रस्तुति के साथ ठेठ परीक्षा समस्याओं के एक जोड़े को देखते हैं। हाँ, हाँ, आपने यह अनुमान लगाया है! यह संशोधित तथा आवर्तक nth शब्द के सूत्र। हम पहले ही इस तरह के फार्मूले का सामना कर चुके हैं और अंकगणितीय प्रगति में काम कर चुके हैं। यहां सब कुछ समान है। बात वही है।

उदाहरण के लिए, OGE से ऐसा कार्य:

ज्यामितीय प्रगति सूत्र द्वारा दी गई है बी एन \u003d 3 · 2 n । पहले और चौथे सदस्य का योग ज्ञात कीजिए।

इस बार, प्रगति हमारे लिए पूरी तरह से प्रथागत नहीं है। किसी प्रकार के सूत्र के रूप में। तो क्या? यह सूत्र है एक सूत्र भीnसदस्य! हम सभी जानते हैं कि nth शब्द का सूत्र दोनों को सामान्य रूप में, अक्षरों के माध्यम से, और के लिए लिखा जा सकता है विशिष्ट प्रगति। से विशिष्ट पहला सदस्य और भाजक।

हमारे मामले में, हम, वास्तव में, इन मापदंडों के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के लिए एक सामान्य शब्द का सूत्र दिया जाता है:

ख 1 = 6

क्ष = 2

जांच?) हम सामान्य रूप में nth शब्द का सूत्र लिखते हैं और इसे प्रतिस्थापित करते हैं ख 1 तथा क्ष। हमें मिला:

बी एन = ख 1 · q n -1

बी एन \u003d 6 · 2 n -1

गुणनखंडन और डिग्री गुणों का उपयोग करके सरल करें और प्राप्त करें

बी एन \u003d 6 · 2 n -1 \u003d 3 · 2 · 2 n -1 \u003d 3 · 2 n -1+1 \u003d 3 · 2 n

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ ईमानदार है। लेकिन हमारा लक्ष्य किसी विशिष्ट सूत्र के निष्कर्ष को प्रदर्शित करना नहीं है। यह एक विषयांतर है। विशुद्ध रूप से समझने के लिए।) हमारा लक्ष्य समस्या को उस सूत्र के अनुसार हल करना है जो हमें स्थिति में दिया गया है। पकड़ो?) तो हम सीधे संशोधित सूत्र के साथ काम करते हैं।

पहला कार्यकाल गिना। विकल्प n=1 सामान्य सूत्र में:

ख 1 = 3 · 2 1 \u003d 3 · 2 \u003d 6

इस प्रकार सं। वैसे, मैं आलसी नहीं होगा और एक बार फिर मैं आपका ध्यान पहली बार की गणना के साथ एक विशिष्ट गड़गड़ाहट की ओर आकर्षित करूंगा। सूत्र को देखने के लिए आवश्यक नहीं है बी एन \u003d 3 · 2 n, तुरंत लिखने के लिए जल्दी करो कि पहला सदस्य एक ट्रोइका है! यह एक गंभीर गलती है, हाँ ...)

हम जारी रखते हैं। विकल्प n=4 और चौथे सदस्य पर विचार करें:

ख 4 = 3 · 2 4 \u003d 3 · 16 \u003d 48

और अंत में, हम आवश्यक राशि पर विचार करते हैं:

ख 1 + ख 4 = 6+48 = 54

उत्तर: 54

एक और काम।

ज्यामितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है:

ख 1 = -7;

बी एन +1 = 3 बी एन

प्रगति के चौथे सदस्य का पता लगाएं।

यहाँ पुनरावृत्ति सूत्र द्वारा प्रगति दी गई है। चलो ठीक है।) ऐसे सूत्र के साथ कैसे काम किया जाए - हम भी जानते हैं।

यहाँ हम हैं। कदम।

1) दो की गिनती लगातार प्रगति के सदस्य।

पहला सदस्य हमारे लिए पहले से ही निर्धारित है। माइनस सात। लेकिन अगली, दूसरी अवधि, आसानी से पुनरावृत्ति सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है। यदि आप इसके कार्य के सिद्धांत को समझते हैं, तो निश्चित रूप से।)

इसलिए हम दूसरे कार्यकाल पर विचार करते हैं पहले प्रसिद्ध द्वारा:

ख 2 = 3 ख 1 \u003d 3 · (-7) \u003d -21

2) हम प्रगति के हर पर विचार करते हैं

इसके अलावा कोई समस्या नहीं है। राइट, डिवाइड दूसरा पर सदस्य सबसे पहला।

हमें मिला:

क्ष = -21/(-7) = 3

3) हम सूत्र लिखते हैंnसामान्य रूप में सदस्य और वांछित सदस्य पर विचार करें।

तो, पहला शब्द जो हम जानते हैं, वह भी है। तो हम लिखते हैं:

बी एन \u003d -7 · 3 n -1

ख 4 \u003d -7 · 3 3 = -727 \u003d -189

उत्तर: -189

जैसा कि आप देख सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति के लिए ऐसे सूत्रों के साथ काम अनिवार्य रूप से अंकगणितीय प्रगति के लिए समान है। इन योगों के सामान्य सार और अर्थ को समझना केवल महत्वपूर्ण है। ठीक है, ज्यामितीय प्रगति के अर्थ को भी समझने की आवश्यकता है, हाँ।) और फिर कोई मूर्खतापूर्ण गलती नहीं होगी।

अच्छा, क्या हम खुद फैसला करते हैं? '

वार्मिंग के लिए प्राथमिक कार्य:

1. जिसमें एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए ख 1 \u003d 243, और क्ष \u003d -2/3। प्रगति के छठे सदस्य का पता लगाएं।

2. ज्यामितीय प्रगति का सामान्य शब्द सूत्र द्वारा दिया गया है बी एन = 5∙2 n +1 . इस प्रगति के अंतिम तीन अंकों वाले सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

3. ज्यामितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है:

ख 1 = -3;

बी एन +1 = 6 बी एन

प्रगति के पांचवें सदस्य का पता लगाएं।

थोड़ा और जटिल:

4. एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए:

ख 1 =2048; क्ष =-0,5

इसका छठा नकारात्मक सदस्य क्या है?

क्या सुपर जटिल लगता है? हर्गिज नहीं। ज्यामितीय प्रगति के अर्थ के तर्क और समझ को बचाएगा। खैर, nth शब्द का सूत्र, निश्चित रूप से।

5. ज्यामितीय प्रगति का तीसरा पद -14 है, और आठवां पद 112 है। प्रगति के हर का पता लगाएं।

6. ज्यामितीय प्रगति के पहले और दूसरे सदस्य का योग 75 है, और दूसरे और तीसरे सदस्यों का योग 150 है। प्रगति के छठे सदस्य का पता लगाएं।

उत्तर (झंझट में): 6; -3888; -1; 800; -32; 448।

यह लगभग सभी है। यह केवल सीखना है कि कैसे गिनती करना है ज्यामितीय प्रगति के एन पहले शब्दों का योग हाँ खोजने के लिए ज्यामितीय प्रगति में असीम रूप से कमी और इसकी राशि। एक बहुत ही रोचक और असामान्य बात, वैसे! निम्नलिखित पाठों में इसके बारे में।)

गणित जिससे हैलोग प्रकृति और खुद पर नियंत्रण रखते हैं।

सोवियत गणितज्ञ, शिक्षाविद ए.एन. Kolmogorov

ज्यामितीय अनुक्रम।

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं के साथ-साथ, ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित समस्याएं भी गणित में परिचयात्मक परीक्षणों में सामान्य हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, ज्यामितीय प्रगति के गुणों को जानना आवश्यक है और उनका उपयोग करने में अच्छे कौशल हैं।

यह लेख ज्यामितीय प्रगति के मूल गुणों की प्रस्तुति के लिए समर्पित है। यह विशिष्ट कार्यों के उदाहरण भी प्रदान करता है।, गणित प्रवेश परीक्षा असाइनमेंट से उधार लिया गया।

सबसे पहले, हम ज्यामितीय प्रगति के मूल गुणों पर ध्यान देते हैं और सबसे महत्वपूर्ण सूत्र और कथन याद करते हैं, इस अवधारणा से संबंधित है।

परिभाषा एक संख्यात्मक अनुक्रम को ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है यदि इसकी प्रत्येक संख्या, दूसरे से शुरू होती है, उसी संख्या से पिछले एक के बराबर होती है। संख्या को ज्यामितीय प्रगति का भाजक कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के लिएवैध सूत्र

, (1)

कहाँ पे। फॉर्मूला (1) को ज्यामितीय प्रगति के सामान्य शब्द का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) ज्यामितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति है: प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी सदस्यों के ज्यामितीय माध्य से मेल खाता है और।

ध्यान दें इस संपत्ति की वजह से ठीक है, माना प्रगति "ज्यामितीय" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) सामान्यीकृत हैं:

, (3)

राशि की गणना करने के लिए सबसे पहला ज्यामितीय प्रगति के सदस्य सूत्र लागू होता है

यदि नामित किया गया है, तो

कहाँ पे। चूंकि, तब सूत्र (6) सूत्र (5) का सामान्यीकरण है।

मामले में जब और, ज्यामितीय अनुक्रम असीम रूप से कम हो रहा है। राशि की गणना करने के लिएएक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य सूत्र का उपयोग करते हैं

. (7)

उदाहरण के लिए , सूत्र (7) का उपयोग करके हम दिखा सकते हैं, क्या

कहाँ पे। ये समानताएं सूत्र (7) से इस शर्त के तहत प्राप्त की जाती हैं कि, (पहली समानता) और, (दूसरी समानता)।

प्रमेय। तो अगर

साक्ष्य। तो अगर,

प्रमेय सिद्ध है।

चलो "ज्यामितीय प्रगति" के विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 1 दिया: और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। यदि हम सूत्र (5) लागू करते हैं, तो

उत्तर :.

उदाहरण 2चलो और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। चूंकि, तब हम सूत्र (5), (6) का उपयोग करते हैं और समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

यदि सिस्टम का दूसरा समीकरण (9) पहले से विभाजित है, या फिर। का अनुसरण करना । हम दो मामलों पर विचार करते हैं।

1. यदि तब सिस्टम के पहले समीकरण (9) से हमारे पास है.

2. यदि, तब।

उदाहरण 3चलो, और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। सूत्र (2) से यह इस प्रकार है कि या। तब से, या।

शर्त से। मगर इसलिए। कब से, तब यहां हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

यदि सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले से विभाजित है, तो या।

तब से, समीकरण में एक ही उपयुक्त जड़ है। इस मामले में, यह सिस्टम के पहले समीकरण से निम्नानुसार है।

खाते के सूत्र (7) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

उत्तर :.

उदाहरण 4दिया: और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। तब से।

तब से, या

सूत्र (2) के अनुसार, हमारे पास है। इस संबंध में, समानता (10) से हम प्राप्त करते हैं या।

हालांकि, हालत से, इसलिए।

उदाहरण 5 यह जाना जाता है कि । ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। प्रमेय के अनुसार, हमारे पास दो समानताएं हैं

तब से, या। क्योंकि तब।

उत्तर :.

उदाहरण 6 दिया: और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। खाते के सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

तब से। चूंकि, और, तब।

उदाहरण 7 चलो और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। सूत्र (1) के अनुसार, हम लिख सकते हैं

इसलिए, हमारे पास या है। यह ज्ञात है कि और, इसलिए,।

उत्तर :.

उदाहरण 8 एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति के हर का पता लगाएं

तथा।

फेसला। सूत्र (7) से यह निम्नानुसार है तथा । यहां से और समस्या की स्थितियों से हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

यदि सिस्टम का पहला समीकरण चुकता है, और फिर परिणामी समीकरण को दूसरे समीकरण में विभाजित करेंतो हम प्राप्त करते हैं

या।

उत्तर :.

उदाहरण 9 सभी मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अनुक्रम, एक ज्यामितीय प्रगति है।

फेसला। चलो, और। सूत्र (2) के अनुसार, जो ज्यामितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति को परिभाषित करता है, कोई लिख सकता है या।

इसलिए हम द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसकी जड़ें हैं तथा।

चेक चलाएं: यदि, फिर, और; यदि, तो, और।

पहले मामले में, हमारे पास है और, और दूसरे में - और।

उत्तर:,।

उदाहरण १०प्रश्न हल करें

, (11)

और कहां।

फेसला। समीकरण के बाईं ओर (11) एक अनंत घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का योग है जिसमें और: दशा के अंतर्गत।

सूत्र (7) से यह निम्नानुसार है, क्या । इस संबंध में, समीकरण (11) रूप लेता है या । उपयुक्त जड़ द्विघात समीकरण है

उत्तर :.

उदाहरण ११पी सकारात्मक संख्याओं का क्रम एक अंकगणितीय प्रगति बनाता है, तथा - ज्यामितीय अनुक्रम, इसका क्या करना है। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला।जैसा अंकगणित क्रमफिर (अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति)। जहां तक \u200b\u200bकि, या फिर। इसका अर्थ है , उस ज्यामितीय प्रगति का रूप है। सूत्र के अनुसार (2), तो हम लिखते हैं कि।

तब से । इस मामले में, अभिव्यक्ति रूप लेता है या। शर्त से, इसलिए समीकरण से हमें समस्या का एकमात्र समाधान विचाराधीन है, अर्थात। ।

उत्तर :.

उदाहरण 12राशि की गणना करें

. (12)

फेसला। समानता (12) के दोनों किनारों को 5 से गुणा करें और प्राप्त करें

यदि हम परिणामी अभिव्यक्ति से घटाते हैं (12)फिर

या।

गणना के लिए, हम सूत्र (7) में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, और हम प्राप्त करते हैं। तब से।

उत्तर :.

यहां दी गई समस्या हल करने के उदाहरण प्रवेश परीक्षाओं की तैयारी में आवेदकों के लिए उपयोगी होंगे। समस्या निवारण विधियों के गहन अध्ययन के लिए, ज्यामितीय प्रगति के साथ जुड़ा हुआ है, आप अनुशंसित साहित्य की सूची से मैनुअल का उपयोग कर सकते हैं।

1. हाई स्कूल / एड में प्रवेश के लिए गणित में समस्याओं का एक संग्रह। M.I. Scanawi। - एम .: शांति और शिक्षा, 2013 ।-- 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम।: लेनंद / यूआरएसएस, 2014 ।-- 216 पी।

3. मेदिनीस्की एम.एम. कार्यों और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का पूरा कोर्स। पुस्तक 2: संख्यात्मक क्रम और प्रगति। - एम।: एडिथस, 2015 ।-- 208 पी।

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कुछ श्रृंखला पर विचार करें।

7 28 112 448 1792...

यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले एक की तुलना में चार गुना अधिक है। इसलिए, यह श्रृंखला एक प्रगति है।

ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक अनंत क्रम है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि अगली संख्या कुछ विशिष्ट संख्या से गुणा करके पिछले एक से प्राप्त की जाती है। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है।

z +1 \u003d a z · q, जहाँ z चयनित तत्व की संख्या है।

तदनुसार, z ∈ एन।

वह अवधि जब स्कूल ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन कर रहा है - ग्रेड 9। उदाहरण को समझने में मदद मिलेगी उदाहरण:

0.25 0.125 0.0625...

इस सूत्र के आधार पर, प्रगति के हरक को निम्न प्रकार से पाया जा सकता है:

न तो q और न b z शून्य हो सकता है। साथ ही, प्रगति के प्रत्येक तत्व शून्य नहीं होना चाहिए।

तदनुसार, एक श्रृंखला में अगले नंबर का पता लगाने के लिए, आपको बाद के q से गुणा करना होगा।

इस प्रगति को निर्धारित करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और भाजक निर्दिष्ट करना होगा। उसके बाद, निम्नलिखित सदस्यों और उनके रकमों में से किसी एक को खोजना संभव है।

किस्मों

Q और 1 पर निर्भर करते हुए, यह प्रगति कई प्रकारों में विभाजित है:

• यदि 1 और q दोनों एकता से अधिक हैं, तो ऐसा अनुक्रम प्रत्येक अगले तत्व के साथ बढ़ती हुई एक ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: एक 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - दोनों पैरामीटर एक से अधिक हैं।

फिर संख्यात्मक क्रम इस तरह लिखा जा सकता है:

3 6 12 24 48 ...

• यदि - q | एक से कम, अर्थात, इसके द्वारा गुणा करना, विभाजन के बराबर है, फिर समान परिस्थितियों के साथ प्रगति घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: एक 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - 1 एक से अधिक है, क्यू कम है।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम निम्नानुसार लिखे जा सकते हैं:

6 2 2/3 ... - कोई भी तत्व इसके अनुसरण करने वाले तत्व से 3 गुना बड़ा है।

• अदल-बदल कर। यदि क्ष<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: एक 1 \u003d -3, q \u003d -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम निम्नानुसार लिखे जा सकते हैं:

3, 6, -12, 24,...

सूत्र

ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए, कई सूत्र हैं:

• Z- वें पद का सूत्र। आपको पिछली संख्या की गणना किए बिना एक विशिष्ट संख्या के तहत खड़े तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:क्ष = 3, ए 1 \u003d 4. प्रगति के चौथे तत्व की गणना करना आवश्यक है।

फेसला:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• पहले तत्वों का योग जिनकी मात्रा के बराबर है z। आपको किसी अनुक्रम के सभी तत्वों की राशि की गणना करने की अनुमति देता हैa z समावेशी।

चूंकि (1-क्ष) हर में है, फिर (1 - q)≠ 0; इसलिए, q 1 के बराबर नहीं है।

नोट: यदि q \u003d 1 है, तो प्रगति असीम रूप से दोहराए जाने वाली संख्याओं की एक श्रृंखला होगी।

ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:ए 1 = 2, क्ष \u003d -2 गणना S 5।

फेसला:एस 5 = 22 - सूत्र द्वारा गणना।

• राशि अगर |क्ष| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरण:ए 1 = 2 , क्ष \u003d 0.5। राशि ज्ञात कीजिए।

फेसला:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

कुछ गुण:

• विशेषता संपत्ति। यदि निम्नलिखित स्थिति किसी के लिए प्रदर्शन कियाz, फिर दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:

a z 2 = a z -1 · ए z + १

• इसके अलावा, किसी भी संख्या में ज्यामितीय प्रगति का वर्ग दी गई पंक्ति में किसी भी दो अन्य संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान हैं।

a z 2 = a z - टी 2 + a z + टी 2 कहाँ पेटी - इन नंबरों के बीच की दूरी।

• आइटम q में अलगसमय।
• प्रगति के तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति का निर्माण करते हैं, लेकिन पहले से ही अंकगणित, अर्थात्, उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से अधिक है।

कुछ क्लासिक समस्याओं के उदाहरण

यह समझने के लिए कि ज्यामितीय प्रगति क्या है, ग्रेड 9 के समाधान के साथ उदाहरण मदद कर सकते हैं।

• शर्तें:ए 1 = 3, ए 3 \u003d 48. खोजेंक्ष.

समाधान: प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले की तुलना में बड़ा हैक्ष समय।एक भाजक का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है।

अत,ए 3 = क्ष 2 · ए 1

जब प्रतिस्थापनक्ष= 4

• शर्तें:ए 2 = 6, ए 3 \u003d 12. एस 6 की गणना करें।

फेसला:ऐसा करने के लिए, बस q को ढूंढें, पहला तत्व और इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

ए 3 = क्ष· ए 2 , अत,क्ष= 2

एक 2 \u003d क्यू ए १इसलिए एक 1 \u003d 3

एस 6 \u003d 189

• · ए 1 = 10, क्ष \u003d -2 प्रगति के चौथे तत्व का पता लगाएं।

समाधान: इसके लिए यह चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है।

एक 4 \u003d क्यू 3· एक 1 \u003d -80

आवेदन उदाहरण:

• बैंक के एक ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि में एक जमा किया, जिसके अनुसार प्रत्येक वर्ष ग्राहक को मूल राशि में इसे 6% जोड़ा जाएगा। 4 साल के बाद खाते में कितनी राशि होगी?

समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। तो, निवेश करने के एक साल बाद, खाते में 10000 + 10000 के बराबर राशि होगी · 0.06 \u003d 10000106

तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि इस प्रकार व्यक्त की जाएगी:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 \u003d 1.06 · 1.06 · 10000

यानी हर साल यह राशि 1.06 गुना बढ़ जाती है। तो, 4 साल के बाद खाते में धन की राशि का पता लगाने के लिए, प्रगति के चौथे तत्व को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो कि पहले तत्व द्वारा 10 हजार के बराबर दिया जाता है, और 1.06 के बराबर भाजक।

एस \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 \u003d 12625

राशि की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण:

विभिन्न कार्य ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करते हैं। राशि खोजने के लिए एक उदाहरण निम्नानुसार सेट किया जा सकता है:

ए 1 = 4, क्ष \u003d 2, गणनाएस 5.

समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

एस 5 = 124

• ए 2 = 6, ए 3 \u003d 18. पहले छह तत्वों के योग की गणना करें।

फेसला:

भू में। प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक की तुलना में q गुना बड़ा है, अर्थात, योग की गणना करने के लिए, आपको तत्व को जानना होगाए 1 और भाजकक्ष.

ए 2 · क्ष = ए 3

क्ष = 3

इसी तरह, आपको खोजने की आवश्यकता हैए 1 ज्ञानए 2 तथाक्ष.

ए 1 · क्ष = ए 2

एक 1 \u003d2

एस 6 = 728.

अनुदेश पुस्तिका

10, 30, 90, 270...

ज्यामितीय प्रगति के हर को खोजने के लिए यह आवश्यक है।
फेसला:

1 विकल्प। प्रगति का एक मनमाना शब्द लें (उदाहरण के लिए, 90) और इसे पिछले एक (30): 90/30 \u003d 3 में विभाजित करें।

यदि ज्यामितीय प्रगति के कई सदस्यों का योग या घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों का योग ज्ञात हो, तो प्रगति के हर को खोजने के लिए उचित सूत्रों का उपयोग करें:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), जहां Sn ज्यामितीय प्रगति और एन की पहली पहली शर्तों का योग है
एस \u003d बी 1 / (1-क्यू), जहां एस एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है (एकता से कम हर के साथ प्रगति की सभी शर्तों का योग)।
उदाहरण।

घटती ज्यामितीय प्रगति का पहला शब्द एक के बराबर है, और इसके सभी सदस्यों का योग दो के बराबर है।

इस प्रगति के हर को निर्धारित करने के लिए आवश्यक है।
फेसला:

सूत्र में कार्य से डेटा प्रतिस्थापित करें। यह पता चला जाएगा:
2 \u003d 1 / (1-q), whence q \u003d 1/2।

प्रगति संख्याओं का एक क्रम है। ज्यामितीय प्रगति में, प्रत्येक बाद के पद को एक निश्चित संख्या q द्वारा पिछले एक को गुणा करके प्राप्त किया जाता है, जिसे प्रगति का भाजक कहा जाता है।

अनुदेश पुस्तिका

यदि आप ज्यामितीय बी (एन + 1) और बी (एन) के दो पड़ोसी सदस्यों को जानते हैं, तो भाजक प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या को पिछले एक से विभाजित करने की आवश्यकता है: क्यू \u003d बी (एन + 1) / बी (एन)। यह प्रगति की परिभाषा और इसके हर से निम्नानुसार है। एक महत्वपूर्ण स्थिति पहले कार्यकाल के शून्य और प्रगति के हर के लिए असमानता है, अन्यथा इसे अनिश्चित माना जाता है।

तो, निम्नलिखित संबंध प्रगति सदस्यों के बीच स्थापित होते हैं: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q, ..., b (n) \u003d b (n-1) q। सूत्र b (n) \u003d b1 q ^ (n-1) द्वारा, ज्यामितीय प्रगति के किसी भी शब्द की गणना की जा सकती है जिसमें भाजक q और पद b1 ज्ञात हैं। प्रत्येक प्रगति मोडुलो अपने पड़ोसी सदस्यों के औसत के बराबर है: | b (n) | \u003d √, इसलिए प्रगति और अपने स्वयं के।

ज्यामितीय प्रगति का एक एनालॉग सबसे सरल घातीय फ़ंक्शन y \u003d a ^ x है, जहां एक्स घातांक में है, एक निश्चित संख्या है। इस मामले में, प्रगति का भाजक पहले शब्द के साथ मेल खाता है और संख्या a के बराबर है। फ़ंक्शन y के मान से हम प्रगति के nth शब्द का अर्थ कर सकते हैं, यदि तर्क x को प्राकृतिक संख्या n (काउंटर) के रूप में लिया जाता है।