Dans la première partie, nous avons considéré un peu de matière théorique, la méthode de substitution, ainsi que la méthode d'addition terme par terme des équations du système. Je recommande à tous ceux qui sont venus sur le site via cette page de lire la première partie. Certains visiteurs trouveront peut-être le matériel trop simple, mais au cours de la résolution de systèmes d'équations linéaires, j'ai fait un certain nombre de remarques et de conclusions très importantes concernant la solution des problèmes mathématiques en général.

Et maintenant, nous allons analyser la règle de Cramer, ainsi que la résolution d'un système d'équations linéaires en utilisant une matrice inverse (méthode matricielle). Tous les matériaux sont présentés simplement, en détail et clairement, presque tous les lecteurs pourront apprendre à résoudre des systèmes de la manière ci-dessus.

Tout d'abord, nous considérons en détail la règle de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Pourquoi? - Après tout, le système le plus simple peut être résolu par la méthode scolaire, la méthode de l'addition terme par terme!

Le fait est que même parfois, mais une telle tâche est rencontrée - pour résoudre un système de deux équations linéaires avec deux inconnues selon les formules de Cramer. Deuxièmement, un exemple plus simple vous aidera à comprendre comment utiliser la règle de Cramer pour un cas plus complexe - un système de trois équations avec trois inconnues.

De plus, il existe des systèmes d'équations linéaires à deux variables, qu'il convient de résoudre exactement selon la règle de Cramer!

Considérez le système d'équations

Lors de la première étape, on calcule le déterminant, on l'appelle le principal déterminant du système.

Méthode Gauss.

Si, alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer deux autres déterminants:
et

En pratique, les qualificatifs ci-dessus peuvent également être désignés par une lettre latine.

Nous trouvons les racines de l'équation par les formules:
,

Exemple 7

Résoudre un système d'équations linéaires

Décision: On voit que les coefficients de l'équation sont assez grands, sur le côté droit il y a des fractions décimales avec une virgule. La virgule est un invité assez rare dans les tâches pratiques en mathématiques; j'ai pris ce système à partir d'un problème économétrique.

Comment résoudre un tel système? Vous pouvez essayer d'exprimer une variable en termes d'une autre, mais dans ce cas, vous obtiendrez sûrement de terribles fractions fantaisistes, avec lesquelles il est extrêmement difficile de travailler, et la conception de la solution sera tout simplement horrible. Vous pouvez multiplier la deuxième équation par 6 et effectuer une soustraction terme par terme, mais ici les mêmes fractions apparaîtront.

Que faire? Dans de tels cas, les formules de Cramer viennent à la rescousse.

;

;

Répondre: ,

Les deux racines ont des queues infinies et se trouvent approximativement, ce qui est tout à fait acceptable (et même courant) pour les problèmes économétriques.

Les commentaires ne sont pas nécessaires ici, car la tâche est résolue selon des formules toutes faites, cependant, il y a une mise en garde. Lors de l'utilisation de cette méthode, obligatoireun fragment de la mission est le fragment suivant: "Ce qui signifie que le système n'a qu'une seule solution"... Sinon, le critique peut vous punir pour avoir manqué de respect au théorème de Cramer.

Il ne sera pas superflu de vérifier, ce qui est pratique à effectuer sur une calculatrice: nous substituons des valeurs approximatives dans le côté gauche de chaque équation du système. En conséquence, avec une petite erreur, vous devriez obtenir des nombres qui sont dans les bonnes parties.

Exemple 8

La réponse est présentée en fractions irrégulières ordinaires. Faites un chèque.

Ceci est un exemple de solution indépendante (exemple de finition et réponse à la fin de la leçon).

Nous passons maintenant à l'examen de la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues:

Trouvez le principal déterminant du système:

Si, alors le système a une infinité de solutions ou est incohérent (n'a pas de solutions). Dans ce cas, la règle de Cramer ne vous aidera pas; vous devez utiliser la méthode gaussienne.

Si, alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer trois autres déterminants:
, ,

Et enfin, la réponse est calculée à l'aide des formules:

Comme vous pouvez le voir, le cas "trois par trois" n'est fondamentalement pas différent du cas "deux par deux", la colonne des membres libres "marche" séquentiellement de gauche à droite le long des colonnes du déterminant principal.

Exemple 9

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Décision: Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer.

, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Répondre: .

En fait, il n'y a rien de spécial à commenter ici encore, étant donné que la décision est prise selon des formules toutes faites. Mais il y a quelques points à noter.

Il se trouve qu'à la suite de calculs de «mauvaises» fractions irréductibles sont obtenues, par exemple:.
Je recommande l'algorithme "cure" suivant. Si vous n'avez pas d'ordinateur sous la main, nous faisons ceci:

1) Il peut y avoir une erreur de calcul. Dès que vous êtes confronté à une "mauvaise" fraction, vous devez immédiatement vérifier la condition est-elle correctement réécrite... Si la condition est réécrite sans erreur, alors il est nécessaire de recalculer les déterminants en utilisant le développement d'une autre ligne (colonne).

2) Si aucune erreur n'a été trouvée à la suite de la vérification, il y a probablement eu une faute de frappe dans la condition de la tâche. Dans ce cas, calmement et SOIGNEUSEMENT, nous résolvons la tâche jusqu'à la fin, puis assurez-vous de vérifier et nous le faisons sur une copie propre après la décision. Bien sûr, vérifier une réponse fractionnée est une leçon désagréable, mais ce sera un argument désarmant pour un enseignant qui, eh bien, aime mettre un moins pour n'importe quel byaka comme. La manière de gérer les fractions est détaillée dans la réponse de l'exemple 8.

Si vous avez un ordinateur sous la main, utilisez un programme automatisé pour le vérifier, qui peut être téléchargé gratuitement au tout début de la leçon. Au fait, il est plus rentable d'utiliser immédiatement le programme (avant même de démarrer la solution), vous verrez immédiatement l'étape intermédiaire à laquelle vous avez fait une erreur! Le même calculateur calcule automatiquement la solution du système par la méthode matricielle.

Deuxième remarque. De temps en temps, il y a des systèmes dans les équations dont certaines variables manquent, par exemple:

Ici, dans la première équation, il n'y a pas de variable, dans la seconde, il n'y a pas de variable. Dans de tels cas, il est très important d'écrire correctement et SOIGNEUSEMENT le principal déterminant:
- des zéros sont mis à la place des variables manquantes.
À propos, il est rationnel d'ouvrir les déterminants avec des zéros par la ligne (colonne) dans laquelle il y a zéro, car les calculs sont beaucoup moins.

Exemple 10

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Ceci est un exemple de solution indépendante (un échantillon de finition et la réponse à la fin de la leçon).

Pour le cas d'un système de 4 équations à 4 inconnues, les formules de Cramer sont écrites selon des principes similaires. Un exemple en direct peut être trouvé dans la leçon sur les propriétés déterminantes. Diminuer l'ordre du déterminant - cinq déterminants du 4ème ordre sont tout à fait résolubles. Bien que la tâche rappelle déjà assez la botte du professeur sur la poitrine d'un élève chanceux.

Résolution du système à l'aide de la matrice inverse

La méthode de la matrice inverse est essentiellement un cas particulier équation matricielle (voir l'exemple n ° 3 de la leçon spécifiée).

Pour étudier cette section, vous devez être en mesure d'élargir les déterminants, de trouver la matrice inverse et d'effectuer une multiplication matricielle. Des liens correspondants seront donnés en cours de route.

Exemple 11

Résoudre un système avec une méthode matricielle

Décision: Écrivons le système sous forme matricielle:
où

Veuillez jeter un œil au système d'équations et aux matrices. Par quel principe nous écrivons des éléments dans des matrices, je pense que tout le monde comprend. Le seul commentaire: si certaines variables manquaient dans les équations, alors des zéros devraient être mis aux endroits correspondants dans la matrice.

On trouve la matrice inverse par la formule:
, où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Tout d'abord, nous traitons le déterminant:

Ici, le qualificatif est développé sur la première ligne.

Attention! Si, alors la matrice inverse n'existe pas, et il est impossible de résoudre le système par la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par la méthode d'élimination des inconnues (méthode de Gauss).

Maintenant, vous devez calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs

Référence: Il est utile de connaître la signification des doubles indices en algèbre linéaire. Le premier chiffre est le numéro de ligne dans lequel se trouve cet élément. Le deuxième chiffre est le numéro de la colonne dans laquelle se trouve cet élément:

Autrement dit, un double indice indique que l'élément est sur la première ligne, la troisième colonne et, par exemple, l'élément est sur la ligne 3, colonne 2

Thème 2. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS ALGÉBRAÏQUES LINÉAIRES.

Concepts de base.

Définition 1... Système m équations linéaires avec n unknown est un système de la forme:

où et sont des nombres.

Définition 2... Une solution au système (I) est un ensemble d'inconnues pour lesquelles chaque équation de ce système se transforme en identité.

Définition 3... Le système (I) est appelé découpers'il a au moins une solution et inconsistants'il n'a pas de solutions. Le système articulaire s'appelle un certains'il a une solution unique, et indéfini autrement.

Définition 4... Équation de la forme

appelé zéro, et une équation de la forme

appelé inconsistant... De toute évidence, un système d'équations contenant une équation incohérente est incohérent.

Définition 5... Deux systèmes d'équations linéaires sont appelés Équivaut àsi chaque solution d'un système sert de solution à un autre et, inversement, toute solution du second système est une solution du premier.

Notation matricielle d'un système d'équations linéaires.

Considérons le système (I) (voir §1).

Notons:

Matrice de coefficients pour les inconnues

Matrix - colonne des membres gratuits

Matrice - colonne d'inconnues

.

Définition 1. La matrice s'appelle la matrice principale du système (I), et la matrice est la matrice étendue du système (I).

Par la définition de l'égalité matricielle, le système (I) correspond à l'égalité matricielle:

.

Le côté droit de cette égalité par la définition du produit des matrices ( voir la définition 3 § 5 du chapitre 1) peut être factorisée:

, c'est à dire.

Égalité (2) appelé notation matricielle du système (I).

Résolution d'un système d'équations linéaires par la méthode de Cramer.

Soit dans le système (I) (voir §1) m \u003d n , c'est à dire. le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues, et la matrice principale du système est non dégénérée, c'est-à-dire ... Alors le système (I) du §1 a une solution unique

où Δ \u003d det A appelé le principal déterminant du système (I), Δ je est obtenu à partir du déterminant Δ en remplaçant je-ème colonne par colonne de membres libres du système (I).

Exemple: Résolvez le système par la méthode de Cramer:

.

Par formules (3) .

Nous calculons les déterminants du système:

,

,

.

Pour obtenir le déterminant, nous avons remplacé la première colonne du déterminant par une colonne de membre libre; en remplaçant la 2e colonne du déterminant par une colonne de termes libres, on obtient; de même, en remplaçant la troisième colonne du déterminant par une colonne de termes libres, on obtient. Solution système:

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide d'une matrice inverse.

Soit dans le système (I) (voir §1) m \u003d n et la matrice principale du système est non dégénérée. On écrit le système (I) sous forme matricielle ( voir §2):

puisque la matrice UNE non dégénéré, alors il a une matrice inverse ( voir Théorème 1, Section 6, Chapitre 1). Multipliez les deux côtés de l'égalité (2) à la matrice, puis

Par définition de la matrice inverse. De l'égalité (3) on a

Résolvez le système en utilisant la matrice inverse

.

Nous dénotons

Dans l'exemple (section 3), nous avons calculé le déterminant; par conséquent, la matrice UNE a une matrice inverse. Puis en vertu de (4) , c'est à dire.

. (5)

Trouvez la matrice ( voir §6 Chapitre 1)

, , ,

, , ,

,

.

Méthode Gauss.

Soit un système d'équations linéaires:

... (JE)

Il est nécessaire de trouver toutes les solutions au système (I) ou de s'assurer que le système est incohérent.

Définition 1.Nous appelons une transformation élémentaire du système (I) l'une des trois actions suivantes:

1) suppression de l'équation zéro;

2) addition aux deux côtés de l'équation les parties correspondantes de l'autre équation, multipliées par le nombre l;

3) interchanger les places des termes dans les équations du système afin que les inconnues avec les mêmes nombres dans toutes les équations prennent les mêmes places, c'est-à-dire si, par exemple, dans la 1ère équation, nous avons changé les 2ème et 3ème termes, alors la même chose doit être faite dans toutes les équations du système.

La méthode de Gauss est que le système (I) est réduit par des transformations élémentaires en un système équivalent, dont la solution se trouve directement ou son indécidabilité est établie.

Comme décrit dans la section 2, le système (I) est uniquement déterminé par sa matrice étendue, et toute transformation élémentaire du système (I) correspond à une transformation élémentaire de la matrice étendue:

.

La transformation 1) correspond à la suppression de la ligne zéro dans la matrice, la transformation 2) équivaut à ajouter à la ligne correspondante de la matrice son autre ligne multipliée par le nombre l, la transformation 3) équivaut à la permutation des colonnes de la matrice.

Il est facile de voir que, au contraire, chaque transformation élémentaire de la matrice correspond à une transformation élémentaire du système (I). Au vu de ce qui précède, au lieu d'opérations avec le système (I), nous travaillerons avec la matrice étendue de ce système.

Dans la matrice, la 1ère colonne est constituée des coefficients à x 1, 2e colonne - à partir des coefficients à x 2etc. Dans le cas de la réorganisation des colonnes, gardez à l'esprit que cette condition n'est pas respectée. Par exemple, si nous échangeons les 1ère et 2ème colonnes à certains endroits, la 1ère colonne contiendra désormais les coefficients pour x 2, et dans la 2ème colonne - les coefficients à x 1.

Nous allons résoudre le système (I) par la méthode de Gauss.

1. Rayer toutes les lignes nulles de la matrice, le cas échéant (c'est-à-dire rayer toutes les équations nulles du système (I)).

2. Vérifiez s'il y a une ligne parmi les lignes de la matrice dans laquelle tous les éléments sauf le dernier sont égaux à zéro (appelons une telle ligne incohérente). De toute évidence, une telle ligne correspond à une équation incohérente dans le système (I), par conséquent, le système (I) n'a pas de solutions, et c'est là que le processus se termine.

3. Laissez la matrice ne contenir aucune ligne incohérente (le système (I) ne contient pas d'équations incohérentes). Si un a 11 \u003d 0, puis nous trouvons dans la 1ère ligne un élément (sauf le dernier) autre que zéro et réorganisons les colonnes pour qu'il n'y ait pas de zéro dans la 1ère ligne à la 1ère place. Nous supposerons maintenant que (c'est-à-dire que nous changeons les places des termes correspondants dans les équations du système (I)).

4. Multipliez la 1ère ligne par et ajoutez le résultat à la 2ème ligne, puis multipliez la 1ère ligne par et ajoutez le résultat à la 3ème ligne, et ainsi de suite. Evidemment, ce processus équivaut à éliminer l'inconnu x 1 de toutes les équations du système (I), à l'exception de la première. Dans la nouvelle matrice, nous obtenons des zéros dans la 1ère colonne sous l'élément un 11:

.

5. Rayer toutes les lignes nulles de la matrice, le cas échéant, vérifier s'il y a une ligne incohérente (s'il y en a une, alors le système est incohérent et c'est là que la solution s'arrête). Vérifions s'il y aura un 22 / \u003d 0, si oui, alors nous trouvons dans la 2ème ligne un élément autre que zéro et réorganisons les colonnes de sorte que. Ensuite, nous multiplions les éléments de la 2ème ligne par et ajoutez avec les éléments correspondants de la 3ème ligne, puis - les éléments de la 2ème ligne par et ajoutez avec les éléments correspondants de la 4ème ligne, etc., jusqu'à ce que nous obtenions des zéros sous un 22 /

.

Les actions effectuées équivalent à l'élimination de l'inconnu x 2 de toutes les équations du système (I), sauf pour la 1ère et la 2ème. Puisque le nombre de lignes est fini, par conséquent, après un nombre fini d'étapes, nous obtenons que soit le système est incohérent, soit nous arrivons à une matrice échelonnée ( voir la définition 2 §7 du chapitre 1) :

,

Écrivons le système d'équations correspondant à la matrice. Ce système est équivalent au système (I)

.

De la dernière équation que nous exprimons; remplacer dans l'équation précédente, trouver, etc., jusqu'à ce que nous l'obtenions.

Remarque 1. Ainsi, en résolvant le système (I) par la méthode de Gauss, on arrive à l'un des cas suivants.

1. Le système (I) est incohérent.

2. Le système (I) a une solution unique si le nombre de lignes dans la matrice est égal au nombre d'inconnues ().

3. Le système (I) a un ensemble infini de solutions si le nombre de lignes dans la matrice est inférieur au nombre d'inconnues ().

D'où le théorème suivant.

Théorème. Le système d'équations linéaires est soit incohérent, soit a une solution unique, soit - un ensemble infini de solutions.

Exemples. Résoudre le système d'équations par la méthode de Gauss ou prouver son incompatibilité:

b) ;

a) Réécrivons le système donné sous la forme:

.

Nous avons permuté les 1ère et 2ème équations du système d'origine pour simplifier les calculs (au lieu de fractions, nous n'opérerons qu'avec des entiers utilisant une telle permutation).

Nous composons une matrice élargie:

.

Il n'y a pas de lignes nulles; il n'y a pas de lignes incohérentes; exclure la 1ère inconnue de toutes les équations du système, à l'exception de la 1ère. Pour ce faire, multipliez les éléments de la 1ère ligne de la matrice par "-2" et ajoutez-les avec les éléments correspondants de la 2ème ligne, ce qui équivaut à multiplier la 1ère équation par "-2" et l'addition avec la 2ème équation . Ensuite, nous multiplions les éléments de la 1ère ligne par "-3" et les ajoutons avec les éléments correspondants de la troisième ligne, c'est-à-dire multipliez la 2ème équation du système donné par "-3" et ajoutez-la à la 3ème équation. On a

.

Le système d'équations correspond à la matrice). - (voir définition 3§7 du chapitre 1).

Les équations en général, les équations algébriques linéaires et leurs systèmes, ainsi que les méthodes pour les résoudre, occupent une place particulière en mathématiques, tant théoriques qu'appliquées.

Cela est dû au fait que l'écrasante majorité des problèmes physiques, économiques, techniques et même pédagogiques peuvent être décrits et résolus à l'aide d'une variété d'équations et de leurs systèmes. Récemment, la modélisation mathématique a acquis une popularité particulière parmi les chercheurs, les scientifiques et les praticiens dans presque tous les domaines, ce qui s'explique par ses avantages évidents par rapport à d'autres méthodes connues et testées pour étudier des objets de diverses natures, en particulier les systèmes dits complexes. Il existe une grande variété de définitions différentes du modèle mathématique données par les scientifiques à différents moments, mais à notre avis, la plus réussie est la déclaration suivante. Un modèle mathématique est une idée exprimée par une équation. Ainsi, la capacité de composer et de résoudre des équations et leurs systèmes est une caractéristique intégrale d'un spécialiste moderne.

Pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires, les méthodes les plus couramment utilisées sont: Cramer, Jordan-Gauss et la méthode matricielle.

Méthode de solution matricielle - une méthode pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires avec un déterminant différent de zéro en utilisant une matrice inverse.

Si nous écrivons les coefficients pour les valeurs inconnues xi dans la matrice A, les valeurs inconnues sont collectées dans la colonne vectorielle X, et les termes libres dans la colonne vectorielle B, alors le système d'équations algébriques linéaires peut être écrit sous la forme de l'équation matricielle suivante AX \u003d B, qui n'a une solution unique que lorsque le déterminant de la matrice A n'est pas égal à zéro. Dans ce cas, la solution du système d'équations peut être trouvée de la manière suivante X = UNE -une · Boù UNE -1 est l'inverse de la matrice.

La méthode de solution matricielle est la suivante.

Soit un système d'équations linéaires avec ninconnu:

Il peut être réécrit sous forme matricielle: HACHE = Boù UNE - la matrice principale du système, B et X - colonnes de membres libres et solutions du système, respectivement:

Nous multiplions cette équation matricielle à gauche par UNE -1 - matrice inverse de la matrice UNE: UNE -1 (HACHE) = UNE -1 B

Parce que UNE -1 UNE = E, on a X \u003d A -1 B... Le côté droit de cette équation donnera la colonne de solutions au système d'origine. La condition pour l'applicabilité de cette méthode (ainsi qu'en général pour l'existence d'une solution à un système inhomogène d'équations linéaires avec le nombre d'équations égal au nombre d'inconnues) est la non-dégénérescence de la matrice UNE... Une condition nécessaire et suffisante pour cela est l'inégalité à zéro du déterminant de la matrice UNE: det UNE≠ 0.

Pour un système homogène d'équations linéaires, c'est-à-dire lorsque le vecteur B = 0 , en effet le contraire est vrai: le système HACHE = 0 a une solution non triviale (c'est-à-dire différente de zéro) uniquement si det UNE \u003d 0. Une telle connexion entre des solutions de systèmes homogènes et non homogènes d'équations linéaires est appelée l'alternative de Fredholm.

Exemple solutions d'un système inhomogène d'équations algébriques linéaires.

Assurons-nous que le déterminant de la matrice composée des coefficients des inconnues du système d'équations algébriques linéaires n'est pas égal à zéro.

L'étape suivante consiste à calculer les compléments algébriques des éléments de la matrice constituée des coefficients des inconnues. Ils seront nécessaires pour trouver la matrice inverse.

La méthode de la matrice inverse est un cas particulier équation matricielle

Résoudre un système avec une méthode matricielle

Décision: Écrivons le système sous forme matricielle et trouvons la solution du système par la formule (voir la dernière formule)

On trouve la matrice inverse par la formule:
, où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Tout d'abord, nous traitons le déterminant:

Ici, le qualificatif est développé sur la première ligne.

Attention! Si, alors la matrice inverse n'existe pas, et il est impossible de résoudre le système par la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par la méthode d'élimination des inconnues (la méthode de Gauss).

Maintenant, vous devez calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs

Référence: Il est utile de connaître la signification des doubles indices en algèbre linéaire. Le premier chiffre est le numéro de ligne dans lequel se trouve cet élément. Le deuxième chiffre est le numéro de la colonne dans laquelle se trouve cet élément:

Autrement dit, un double indice indique que l'élément est sur la première ligne, la troisième colonne et, par exemple, l'élément est sur la ligne 3, colonne 2

Au cours de la résolution du calcul des mineurs, il est préférable de peindre en détail, même si, avec une certaine expérience, ils peuvent être habitués à compter oralement des erreurs.

L'ordre dans lequel les mineurs sont calculés n'est pas du tout important, ici je les ai calculés de gauche à droite ligne par ligne. Il était possible de calculer les mineurs par colonnes (c'est encore plus pratique).

Ainsi:

- la matrice des mineurs des éléments correspondants de la matrice.

- matrice de compléments algébriques.

- matrice transposée de compléments algébriques.

Je le répète, les étapes que nous avons effectuées ont été analysées en détail dans la leçon. Comment trouver l'inverse d'une matrice?

Maintenant, nous écrivons l'inverse de la matrice:

En aucun cas, nous n'introduisons dans la matrice, cela compliquera sérieusement les calculs ultérieurs... La division devrait être effectuée si tous les nombres de la matrice étaient divisibles par 60 sans reste. Mais dans ce cas, il est très nécessaire d'ajouter un moins à la matrice; au contraire, cela simplifiera les calculs ultérieurs.

Il reste à effectuer la multiplication matricielle. Vous pouvez apprendre à multiplier les matrices dans la leçon Opérations matricielles... D'ailleurs, exactement le même exemple y est analysé.

Notez que la division par 60 est effectuée à la dernière place.
Parfois, il peut ne pas être complètement divisé, c.-à-d. de "mauvaises" fractions peuvent être obtenues. Que faire dans de tels cas, je l'ai déjà dit lorsque nous avons analysé la règle de Cramer.

Répondre:

Exemple 12

Résolvez le système en utilisant la matrice inverse.

Ceci est un exemple de solution indépendante (un échantillon de finition et la réponse à la fin de la leçon).

Le moyen le plus universel de résoudre le système est méthode d'élimination des inconnues (méthode de Gauss)... Ce n'est pas si facile d'expliquer l'algorithme, mais j'ai essayé!.

Je te souhaite bonne chance!

Réponses:

Exemple 3:

Exemple 6:

Exemple 8: , ... Vous pouvez afficher ou télécharger un exemple de solution pour cet exemple (lien ci-dessous).

Exemples 10, 12:

Nous continuons à considérer des systèmes d'équations linéaires. Cette leçon est la troisième sur le sujet. Si vous avez une vague idée de ce qu'est un système d'équations linéaires en général, vous vous sentez comme une théière, alors je vous recommande de partir des bases de la page En outre, il est utile d'étudier la leçon.

La méthode Gauss est simple! Pourquoi? Le célèbre mathématicien allemand Johann Karl Friedrich Gauss de son vivant a été reconnu comme le plus grand mathématicien de tous les temps, un génie et même le surnom de «roi des mathématiques». Et tout ce qui est ingénieux, comme vous le savez, est simple!À propos, non seulement les drageons, mais aussi les génies sont payés pour de l'argent - le portrait de Gauss était sur le billet de 10 Deutschmark (avant l'introduction de l'euro), et Gauss sourit toujours mystérieusement aux Allemands avec des timbres-poste ordinaires.

La méthode Gauss est simple en ce que la connaissance d'un élève de 5e année suffit à la maîtriser. Vous devez être capable d'ajouter et de multiplier!Ce n'est pas un hasard si les enseignants envisagent souvent la méthode d'élimination successive des inconnues dans les cours au choix en mathématiques à l'école. Paradoxalement, la méthode Gauss est la plus difficile pour les étudiants. Pas étonnant - tout l'intérêt réside dans la méthodologie, et je vais essayer de vous parler de l'algorithme de la méthode sous une forme accessible.

Tout d'abord, systématisons les connaissances sur les systèmes d'équations linéaires. Un système d'équations linéaires peut:

1) Ayez une solution unique.
2) Avoir une infinité de solutions.
3) N'ayez aucune solution (soyez inconsistant).

La méthode gaussienne est l'outil le plus puissant et le plus polyvalent pour trouver une solution tout systèmes d'équations linéaires. Comme on se souvient règle de Cramer et méthode matricielle inadapté dans les cas où le système a une infinité de solutions ou est incompatible. Et la méthode d'élimination successive des inconnues de toute façonnous mènera à la réponse! Dans cette leçon, nous reprendrons la méthode de Gauss pour le cas n ° 1 (la seule solution au système), un article est réservé à la situation des points n ° 2-3. Notez que l'algorithme de la méthode elle-même fonctionne de la même manière dans les trois cas.

Revenons au système le plus simple de la leçon Comment résoudre un système d'équations linéaires?
et résolvez-le par la méthode de Gauss.

À la première étape, vous devez écrire matrice système étendue:
... Sur quel principe les coefficients sont écrits, je pense que tout le monde peut le voir. La barre verticale à l'intérieur de la matrice n'a aucune signification mathématique - c'est juste un soulignement pour faciliter la conception.

Référence: je recommande de se souvenirtermes algèbre linéaire.Matrice système Est une matrice composée uniquement des coefficients avec des inconnues, dans cet exemple la matrice du système: . Matrice système étendue - c'est la même matrice du système plus une colonne de membres libres, dans ce cas: ... N'importe laquelle des matrices peut être appelée simplement une matrice par souci de concision.

Une fois le système matriciel étendu enregistré, il est nécessaire d'effectuer certaines actions avec lui, qui sont également appelées transformations élémentaires.

Il existe les transformations élémentaires suivantes:

1) Cordes matrices peut être réorganisé des endroits. Par exemple, dans la matrice considérée, vous pouvez réorganiser sans douleur les première et deuxième lignes:

2) Si la matrice contient (ou apparaît) des lignes proportionnelles (comme cas particulier - les mêmes), alors il suit effacer de la matrice toutes ces lignes sauf une. Prenons par exemple la matrice ... Dans cette matrice, les trois dernières lignes sont proportionnelles, il suffit donc de n'en laisser qu'une: .

3) Si une ligne zéro est apparue dans la matrice lors des transformations, alors cela suit également effacer... Je ne dessinerai pas, bien sûr, la ligne zéro est la ligne dans laquelle un zéros.

4) La ligne de la matrice peut être multiplier (diviser) par n'importe quel nombre, différent de zéro... Prenons, par exemple, une matrice. Ici, il est conseillé de diviser la première ligne par –3, et la deuxième ligne de multiplier par 2: ... Cette action est très utile car elle simplifie les transformations ultérieures de la matrice.

5) Cette transformation est la plus difficile, mais en fait, il n'y a rien de compliqué non plus. À une ligne d'une matrice, ajouter une autre chaîne multipliée par un nombredifférent de zéro. Considérez notre matrice à partir d'un exemple pratique:. Tout d'abord, je vais décrire la conversion en détail. Multipliez la première ligne par –2: , et à la deuxième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –2:. Maintenant, la première ligne peut être divisée "en arrière" par –2 :. Comme vous pouvez le voir, la ligne qui AJOUTE LEE – n'a pas changé. Est toujours modifie la ligne À LAQUELLE L'ADDITION Utah.

Dans la pratique, bien sûr, ils ne décrivent pas avec autant de détails, mais écrivent plus brièvement:

Encore une fois: à la deuxième ligne a ajouté la première ligne multipliée par –2... La chaîne est généralement multipliée oralement ou sur un brouillon, tandis que le cours mental des calculs est quelque chose comme ceci:

"Réécriture de la matrice et réécriture de la première ligne:"

«Première colonne en premier. En bas, j'ai besoin de zéro. Par conséquent, je multiplie l'unité du haut par –2 :, et ajoute la première à la deuxième ligne: 2 + (–2) \u003d 0. J'écris le résultat dans la deuxième ligne: »

«Passons maintenant à la deuxième colonne. Au-dessus de –1 multiplié par –2 :. J'ajoute le premier à la deuxième ligne: 1 + 2 \u003d 3. J'écris le résultat dans la deuxième ligne: "

«Et la troisième colonne. Au-dessus de –5 multiplié par –2 :. J'ajoute le premier à la deuxième ligne: –7 + 10 \u003d 3. J'écris le résultat dans la deuxième ligne: »

S'il vous plaît, comprenez attentivement cet exemple et comprenez l'algorithme séquentiel des calculs, si vous comprenez cela, alors la méthode Gauss est pratiquement "dans votre poche". Mais, bien sûr, nous travaillerons sur cette transformation.

Les transformations élémentaires ne changent pas la solution du système d'équations

! ATTENTION: manipulations considérées ne peut pas utiliser, si on vous propose une tâche où les matrices sont données «par elles-mêmes». Par exemple, avec "classique" actions avec des matrices En aucun cas vous ne devez réorganiser quelque chose à l'intérieur des matrices!

Revenons à notre système. Il a presque été résolu.

Nous notons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, la réduisons à vue en escalier:

(1) La première ligne multipliée par –2 a été ajoutée à la deuxième ligne. Au fait, pourquoi multiplions-nous la première ligne par –2? Afin d'obtenir zéro en bas, ce qui signifie se débarrasser d'une variable dans la deuxième ligne.

(2) Divisez la deuxième rangée par 3.

Le but des transformations élémentaires– amener la matrice à une forme échelonnée: ... Dans la conception de la tâche, «l'échelle» est marquée avec un simple crayon et les numéros qui se trouvent sur les «étapes» sont encerclés. Le terme «type d'étape» lui-même n'est pas entièrement théorique, dans la littérature scientifique et pédagogique, il est souvent appelé vue trapézoïdale ou vue triangulaire.

À la suite de transformations élémentaires, nous avons obtenu équivalent système d'équations original:

Maintenant, le système doit être "détordu" dans la direction opposée - de bas en haut, ce processus est appelé méthode gaussienne inversée.

Dans l'équation inférieure, nous avons déjà un résultat tout fait:.

Considérez la première équation du système et remplacez-y la valeur déjà connue de "jeu":

Considérons la situation la plus courante où la méthode de Gauss nécessite de résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues.

Exemple 1

Résolvez le système d'équations par la méthode de Gauss:

Écrivons la matrice étendue du système:

Maintenant, je vais immédiatement tirer le résultat auquel nous arriverons au cours de la solution:

Et encore une fois, notre objectif est d'amener la matrice à une forme échelonnée en utilisant des transformations élémentaires. Par où commencer l'action?

Tout d'abord, nous regardons le nombre en haut à gauche:

Ça devrait presque toujours être là unité... D'une manière générale, –1 sera bien (et parfois d'autres nombres), mais d'une manière ou d'une autre, cela arrivait si traditionnellement qu'ils y mettaient généralement une unité. Comment organiser une unité? Nous regardons la première colonne - nous avons une unité prête à l'emploi! Première transformation: permutez les première et troisième lignes:

Désormais, la première ligne restera inchangée jusqu'à la fin de la solution... Maintenant très bien.

L'unité en haut à gauche est organisée. Vous devez maintenant obtenir des zéros à ces endroits:

Nous obtenons les zéros simplement avec l'aide de la transformation "difficile". Tout d'abord, nous traitons la deuxième ligne (2, –1, 3, 13). Que faut-il faire pour obtenir zéro en première position? Besoin de à la deuxième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –2... Mentalement ou sur un brouillon, multipliez la première ligne par –2: (–2, –4, 2, –18). Et nous effectuons systématiquement (encore une fois mentalement ou sur une ébauche) des ajouts, à la deuxième ligne, ajoutez la première ligne, déjà multipliée par –2:

Nous écrivons le résultat dans la deuxième ligne:

Nous traitons la troisième ligne de la même manière (3, 2, –5, –1). Pour obtenir zéro en première position, vous avez besoin à la troisième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –3... Mentalement ou sur un brouillon, multipliez la première ligne par –3: (–3, –6, 3, –27). ET à la troisième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –3:

Nous écrivons le résultat dans la troisième ligne:

En pratique, ces actions sont généralement effectuées oralement et enregistrées en une seule étape:

Vous n'avez pas besoin de tout compter à la fois et en même temps... L'ordre des calculs et «l'écriture» des résultats cohérent et généralement comme ceci: d'abord, nous réécrivons la première ligne, et nous nous gonflons en cachette - SÉQUENTIEL et ATTENTIVEMENT:

Et j'ai déjà discuté du cours mental des calculs eux-mêmes ci-dessus.

Dans cet exemple, il est facile de faire cela, nous divisons la deuxième ligne par –5 (puisque là tous les nombres sont divisibles par 5 sans reste). Dans le même temps, nous divisons la troisième ligne par –2, car plus les nombres sont petits, plus la solution est facile:

Au stade final des transformations élémentaires, vous devez obtenir un autre zéro ici:

Pour ça à la troisième ligne, ajoutez la deuxième ligne multipliée par –2:

Essayez d'analyser cette action vous-même - multipliez mentalement la deuxième ligne par –2 et ajoutez.

La dernière action effectuée est la coiffure du résultat, divisez la troisième ligne par 3.

À la suite de transformations élémentaires, un système initial équivalent d'équations linéaires a été obtenu:

Frais.

L'inverse de la méthode gaussienne entre maintenant en jeu. Les équations "se déroulent" de bas en haut.

Dans la troisième équation, nous avons déjà un résultat tout fait:

Nous regardons la deuxième équation:. La signification de "z" est déjà connue, ainsi:

Et enfin, la première équation:. "Ygrek" et "z" sont connus, la question est petite:

Répondre:

Comme cela a déjà été noté à plusieurs reprises, pour tout système d'équations, il est possible et nécessaire de vérifier la solution trouvée, heureusement, c'est facile et rapide.

Exemple 2

Ceci est un exemple de bricolage, un exemple de finition et la réponse à la fin du didacticiel.

Il convient de noter que votre cours de décision peut ne pas coïncider avec mon cours de décision, et c'est une caractéristique de la méthode Gauss... Mais les réponses doivent être les mêmes!

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode gaussienne

Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, amenons-la sous une forme pas à pas:

Nous regardons le "pas" en haut à gauche. Nous devrions avoir une unité là-bas. Le problème est qu'il n'y en a pas du tout dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne résoudra rien. Dans de tels cas, l'unité doit être organisée à l'aide d'une transformation élémentaire. Cela peut généralement être fait de plusieurs manières. J'ai fait ceci: (1) À la première ligne, ajoutez la deuxième ligne multipliée par -1... Autrement dit, nous avons mentalement multiplié la deuxième ligne par –1 et ajouté les première et deuxième lignes, tandis que la deuxième ligne n'a pas changé.

Maintenant, le coin supérieur gauche est -1, ce qui nous convient. Quiconque veut obtenir +1 peut effectuer un mouvement corporel supplémentaire: multipliez la première ligne par –1 (changez son signe).

(2) La première ligne multipliée par 5 a été ajoutée à la deuxième ligne et la première ligne multipliée par 3 a été ajoutée à la troisième ligne.

(3) La première ligne a été multipliée par -1, en principe, c'est pour la beauté. Nous avons également changé le signe de la troisième ligne et l'avons déplacée à la deuxième place, ainsi, à la deuxième «étape, nous avons l'unité requise.

(4) La deuxième ligne, multipliée par 2, a été ajoutée à la troisième ligne.

(5) La troisième ligne a été divisée par 3.

Un mauvais signe qui indique une erreur dans les calculs (moins souvent - une faute de frappe) est la «mauvaise» ligne de fond. Autrement dit, si en bas nous avons quelque chose comme, et, en conséquence, , alors avec un degré de probabilité élevé, on peut soutenir qu'une erreur a été commise au cours de transformations élémentaires.

Nous facturons le trait inverse, dans la conception des exemples, le système lui-même n'est souvent pas réécrit, et les équations «sont prises directement à partir de la matrice réduite». Le mouvement inverse, je vous le rappelle, fonctionne, de bas en haut:
Oui, ici le cadeau s'est avéré:

Répondre: .

Exemple 4

Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode gaussienne

Ceci est un exemple de solution indépendante, c'est un peu plus compliqué. Ce n'est pas grave si quelqu'un est confus. Solution complète et conception d'échantillon à la fin du didacticiel. Votre solution peut différer de ma solution.

Dans la dernière partie, nous examinerons certaines des fonctionnalités de l'algorithme de Gauss.
La première caractéristique est que parfois certaines variables manquent dans les équations du système, par exemple:

Comment écrire correctement la matrice système étendue? J'ai déjà parlé de ce moment dans la leçon. La règle de Cramer. Méthode matricielle... Dans la matrice étendue du système, nous mettons des zéros à la place des variables manquantes:

Soit dit en passant, c'est un exemple assez simple, car il y a déjà un zéro dans la première colonne, et il y a moins de transformations élémentaires à effectuer.

La deuxième caractéristique est la suivante. Dans tous les exemples considérés, nous avons placé –1 ou +1 sur les «étapes». Pourrait-il y avoir d'autres chiffres? Dans certains cas, ils le peuvent. Considérez le système: .

Ici, en haut à gauche "étape", nous avons deux. Mais nous remarquons le fait que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2 sans reste - et les deux autres et six. Et le diable en haut à gauche nous conviendra! À la première étape, vous devez effectuer les transformations suivantes: ajoutez la première ligne multipliée par –1 à la deuxième ligne; à la troisième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –3. Cela nous donnera les zéros souhaités dans la première colonne.

Ou un autre exemple conditionnel: ... Ici, les trois sur la deuxième "étape" nous conviennent également, puisque 12 (l'endroit où il faut obtenir zéro) est divisible par 3 sans reste. Il est nécessaire d'effectuer la transformation suivante: à la troisième ligne, ajoutez la deuxième ligne multipliée par –4, à la suite de laquelle le zéro dont nous avons besoin sera obtenu.

La méthode de Gauss est universelle, mais il y a une particularité. Vous pouvez apprendre en toute confiance à résoudre des systèmes par d'autres méthodes (méthode de Cramer, méthode de matrice) littéralement la première fois - il existe un algorithme très rigide. Mais pour avoir confiance en la méthode Gauss, vous devez «remplir votre main» et résoudre au moins 5 à 10 systèmes. Par conséquent, au début, la confusion, les erreurs de calcul sont possibles, et il n'y a rien d'inhabituel ou de tragique à cela.

Un temps d'automne pluvieux en dehors de la fenêtre .... Par conséquent, pour tout le monde, un exemple plus complexe de solution indépendante:

Exemple 5

Résolvez le système de 4 équations linéaires à quatre inconnues par la méthode de Gauss.

Une telle tâche dans la pratique n'est pas si rare. Je pense que même une théière qui a étudié à fond cette page, l'algorithme pour résoudre un tel système est intuitivement clair. Fondamentalement, tout est pareil - il y a juste plus d'actions.

Les cas où le système n'a pas de solution (incohérent) ou a une infinité de solutions sont considérés dans la leçon Systèmes et systèmes incompatibles avec une solution commune... L'algorithme considéré de la méthode de Gauss peut également y être fixé.

Je te souhaite bonne chance!

Solutions et réponses:

Exemple 2: Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, amenons-la sous une forme pas à pas.

Transformations élémentaires effectuées:
(1) La première ligne multipliée par –2 a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne multipliée par -1 a été ajoutée à la troisième ligne.Attention! Il peut être tentant de soustraire la première de la troisième ligne, je recommande vivement de ne pas la soustraire - le risque d'erreur est considérablement augmenté. Additionnez juste!
(2) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par –1). Les deuxième et troisième lignes ont été permutées.Remarque que sur les «étapes», nous nous contentons non seulement d'un, mais aussi de –1, ce qui est encore plus pratique.
(3) La deuxième ligne est ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 5.
(4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par –1). La troisième ligne était divisée par 14.

Sens inverse:


Répondre: .

Exemple 4: Nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, la mettons sous une forme pas à pas:

Conversions effectuées:
(1) Le second a été ajouté à la première ligne. Ainsi, l'unité souhaitée est organisée sur le "pas" supérieur gauche.
(2) La première ligne multipliée par 7 a été ajoutée à la deuxième ligne et la première ligne multipliée par 6 a été ajoutée à la troisième ligne.

La deuxième étape empire , "Candidats" pour cela sont les nombres 17 et 23, et nous avons besoin de un ou de -1. Les transformations (3) et (4) viseront à obtenir l'unité souhaitée

(3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1.
(4) La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –3.
La chose nécessaire à la deuxième étape est reçue .
(5) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 6.
(6) La deuxième ligne a été multipliée par -1, la troisième ligne a été divisée par -83. Il est évident que le plan est uniquement déterminé par trois points différents qui ne se trouvent pas sur une ligne droite. Par conséquent, les désignations d'avions à trois lettres sont très populaires - par des points leur appartenant, par exemple; .Si les membres libres

Soit une matrice carrée du nième ordre

La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A, si A * A -1 \u003d E, où E est la matrice d'identité du n-ième ordre.

Matrice d'unité - une telle matrice carrée, dans laquelle tous les éléments le long de la diagonale principale passant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit sont des uns, et le reste sont des zéros, par exemple:

matrice inverse peut exister uniquement pour les matrices carrées celles. pour les matrices avec le même nombre de lignes et de colonnes.

Un théorème sur la condition d'existence d'une matrice inverse

Pour qu'une matrice ait une matrice inverse, il est nécessaire et suffisant qu'elle soit non dégénérée.

La matrice A \u003d (A1, A2, ... A n) est appelée non dégénérési les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants. Le nombre de vecteurs colonnes linéairement indépendants d'une matrice est appelé le rang de la matrice. Par conséquent, nous pouvons dire que pour qu'une matrice inverse existe, il est nécessaire et suffisant que le rang de la matrice soit égal à sa dimension, c'est-à-dire r \u003d n.

Algorithme pour trouver la matrice inverse

1. Écrire la matrice A dans le tableau pour résoudre les systèmes d'équations par la méthode gaussienne et à droite (à la place des côtés droits des équations) affecter la matrice E.
2. En utilisant la transformée de Jordan, réduisez la matrice A en une matrice composée de colonnes d'unité; dans ce cas, il est nécessaire de transformer simultanément la matrice E.
3. Si nécessaire, réorganisez les lignes (équations) du dernier tableau pour que la matrice unitaire E soit obtenue sous la matrice A du tableau d'origine.
4. Écrivez la matrice inverse A -1, qui se trouve dans le dernier tableau sous la matrice E du tableau d'origine.

Exemple 1

Pour la matrice A, trouvez la matrice inverse A -1

Solution: Nous notons la matrice A et à droite nous affectons la matrice d'identité E. En utilisant les transformées de Jordan, nous réduisons la matrice A à la matrice d'identité E. Les calculs sont présentés dans le tableau 31.1.

Vérifions l'exactitude des calculs en multipliant la matrice d'origine A et la matrice inverse A -1.

À la suite de la multiplication de la matrice, la matrice unitaire est obtenue. Par conséquent, les calculs sont corrects.

Répondre:

Résolution d'équations matricielles

Les équations matricielles peuvent être les suivantes:

AX \u003d B, XA \u003d B, AXB \u003d C,

où A, B, C sont les matrices spécifiées, X est la matrice requise.

Les équations matricielles sont résolues en multipliant l'équation par ses matrices inverses.

Par exemple, pour trouver une matrice à partir d'une équation, vous multipliez cette équation par la gauche.

Par conséquent, pour trouver une solution à l'équation, vous devez trouver la matrice inverse et la multiplier par la matrice sur le côté droit de l'équation.

D'autres équations sont résolues de la même manière.

Exemple 2

Résolvez l'équation AX \u003d B si

Décision: Puisque l'inverse de la matrice est (voir exemple 1)

Méthode matricielle en analyse économique

Avec d'autres, ils trouvent également une utilisation dans méthodes matricielles... Ces méthodes sont basées sur l'algèbre linéaire et à matrice vectorielle. Ces méthodes sont utilisées pour analyser des phénomènes économiques complexes et multidimensionnels. Le plus souvent, ces méthodes sont utilisées lorsqu'il est nécessaire de faire une évaluation comparative du fonctionnement des organisations et de leurs unités structurelles.

Dans le processus d'application des méthodes d'analyse matricielles, plusieurs étapes peuvent être distinguées.

Au premier stade un système d'indicateurs économiques est formé et sur sa base une matrice de données initiales est compilée, qui est un tableau dans lequel les numéros de système sont indiqués sur ses lignes séparées (i \u003d 1,2, ...., n), et le long des colonnes verticales - le nombre d'indicateurs (j \u003d 1,2, ...., m).

Dans la deuxième étape pour chaque colonne verticale, la plus grande des valeurs d'indicateurs disponibles est révélée, qui est prise comme une unité.

Après cela, tous les montants reflétés dans cette colonne sont divisés par la valeur la plus élevée et une matrice de coefficients normalisés est formée.

Dans la troisième étape toutes les parties constitutives de la matrice sont au carré. S'ils ont une signification différente, chaque indicateur de la matrice se voit attribuer un certain facteur de pondération k... La valeur de ce dernier est déterminée par un jugement d'expert.

Au dernier, quatrième étape a trouvé des valeurs de notes R j sont regroupés par ordre croissant ou décroissant.

Les méthodes matricielles décrites devraient être utilisées, par exemple, dans l'analyse comparative de divers projets d'investissement, ainsi que dans l'évaluation d'autres indicateurs économiques des activités des organisations.