ОТДЕЛЕНИЕ VI.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАВЕНСТВ.

___________

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 5. Составление уравнения c одним неизвстным.

Всякая арифметическая задача состоит в том, что по нeскольким извeстным величинам и по данным соотношениям между этими извeстными величинами и другими, неизвeстными, отыскиваются нeизвeстные. Алгебра дает особый способ для рeшения арифмети-ческих задач. Этот способ основан на том, что словесно выраженные условия арифметических задач могут быть переводимы на алгебраический язык, т.е. выражаемы посредством алгебраичeских формул.

Перевод словeсно выражeнных условий задачи на алгeбраический язык вообщe называeтся составлением формул.

Составить по условиям задачи уравнение с одним неизвeстным значит так перевести эти условия на алгебраический язык, чтобы вся совокупность этих условий выразилась одним уравнением, содeржащим одно неизвeстное. Для этого необходимо, чтобы число отдeльных независимых между собою условий задачи было бы равно числу подразумeваемых в ней неизвeстных.

Вслeдствиe чрезвычайного разнообразия задач приемы составления уравнений, соотвeтствующих этим задачам, чрезвычайно разнообразны. Общих правил для составления уравнений нeт. Но есть одно общеe указание, которое руководит нашим рассуждением при переводe условий задачи на алгебраический язык и позволяет нам с самаго начала рассуждения идти вeрным путем к достижению окончательной цeли. Это общее указание, или общий принцип составлeиия уравнения мы выразим слeдующим образом:

Чтобы составить по условиям задачи уравнение с одним неизвeстным, нужно:

1) выбрать между неизвeстными, которые в задачe или прямо указываются, или подразумeваются, какое-нибудь одно, принимаемое за первое, и обозначить это неизвeстноe какой-нибудь буквой, напр., х ;

2) посредством этого обозначения и обозначений, данных в задачe, выразить всe величины, о которых в задачe прямо говорится, или которые подразумeваются, наблюдая, чтобы при составлении таких выражений постепенно принимались во внимание всe данные в задачe числа и всe относящиеся к даиным или к неизвeстным величинам условия;

3) послe такого примeнения всeх условий разыскать между составленными или просто записанными выраженияии два таких, которые в силу одного из данных условий должны быть равны между собою, и соeдинить эти выражения знаком равенства.

Примeним этот принцип к рeшению двух задач:

Задача 1 я. Число монет в одном кошелькe вдвое меньше, чeм в другом. Если выложить из первого шeсть монeт, а во второй прибавить восемь монет, то число монeт в первом окажется в семь раз менee, чeм во втором. Узнать, сколько монет в каждом кошелькe?

В этой задачe указаны нeсколько извeстных и нeсколько неизвeстных величин. Примем за первое неизвeстное число монет пeрвого кошелька и.обозначим его через х. Затeм займемся обозначeниeм всeх величин, к которым относятся условия задачи.

Число монeт перваго кошелька есть х . Отношениe чисел монет во втором и первом кошельках 2 . Значит число монет второго кошeлька 2х.

Из пeрвого вынимают 6 монeт. Поэтому в первом кошeлькe остаeтся монeт х -6 .

Во второй прибавляют 8 монет. Следовательно, во втором кошельке получится монет 2х +8 . Новое отношение между числами монет второго и первого кошелька есть . Оно также равно 7 . На этом основании составляем уравнение , решая которое, получим х= 10 , после чего нетрудно определить другие неизвестные, о которых мы здесь упоминали.

Если бы мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька и обозначили бы его для отличия от предыдущаго обозначения через у , то, как легко убедиться, получилось бы другое уравнение, именно (у + 8 ):( у / 2 -6 )=7 , которое также разрешает задачу и дает ответ у =20 .

Можно было бы принять за первое неизвестиов число монвть, оказавшееся в первом кошельке после выкладки из него 6 монет; тогда, обозначив это неизвестное через z и идя тем же путем, каким мы шли при составлении первого уравнения, мы получили бы уравнение , откуда z = 4 .

Но можно было бы изменить также сам путь соотавления уравнения, напр., тем, что мы прежде приняли бы во внимание измененное отношение между числами монет, а составление уравнения основали бы на том, что известно о первоначальном отношении. В этом случае составление уравнения велось бы так:

Число монет первого кошелька после выкладки есть z . Выложено 6 монет. Значит первоначальное число монет первого кошелька z + 6. Измененное отношение между числами монет 7 . Поэтому измененное число монет второго кошелька 7z. Прибавлено было 8 монет. Следовательно, первоначальное число монет второго кошелька 7z. - 8 . Первоначальное отношение между числами монет есть Оно же равно 2 . На этом основании имеем уравнение , совместное с предыдущим, хотя и отличающееся от него по виду.

Если бы, идя этим вторым путем, мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька после прибавления в него 8 монет, то, обозначив это неизвестное для отличия через и , получили бы уравнение (и -8 ):( и / 7 + 6 )=2 , откуда и =28 .

Эти разъяснения показывают, что, руководствуясь одним и тем же общим правилом для составления уравнений, мы все-таки получаем в каждой задаче разнообразные способы для достижения этой цели. Лучшим способом считается тот, который проще выражает условия задачи и быстрее ведет как к составлению, так и к решению уравнения. В данном случае первый и третий способы одинаково удобны для решения уравнения, но первый все-таки проще и потому лучше остальных.

Применяя указанное правило составления уравнений, нужно помнить, что во всякой правильно вираженной эадаче должно быть принято во внимание каждое данное число и каждое из выраженных условий.

Задача 2-я. Из города А выходит путешественник, проходящий в день по 20 верст. Через два дня навстречу ему выходит из города В другой путешественник, который проходит ежедневно по 30 верст. Расстояние между А иВ равно 190 верст. Спрашивается, когда и где встретятся оба путешественника?

1-й способ. Примем за первое неизвестное время движения первого путешественника от выхода из А до встречи, а за последнее условие то, что расстояние между А и В равно 190 верст. Тогда рассуждение будем вести так:

ІІоложим, что первый шел до встречи х дней. Ежедневно он проходил по 20 верст. Поэтому он прошел всего 20х верст.

Второй вышел позднее на 2 дня. Значит, он шел до встречи х -2 дня. Ежедневно он проходил по 30 верст. Следовательно, он прошел всего 30 (х -2 ) верст. Вместе оба путешественника прошли [20х + 30 (х -2 )] версть. Все расстояние между А и В равно 190 верст. На этом основании находим уравнение

20х + 30 (х -2 ) =190 ,

откуда х= 5 . Из этого видим, что первый путешественник шел 5 дней и прошел 100 верст, второй шел 3 дня и прошел 90 верст.

2-й способ. Примем за первое неизвестное расстояние, пройденное первым путешественником от выхода до встречи, и за последнее условие то, что второй путешественник вышел позднее первого на 2 дня. Тогда рассуждение поведется так:

Полагаем, что первый прошел до встречи у верст. Ежедневно он проходил по 20 верст. Поэтому он шел всего у / 20 дней.

Второй прошел всего (190 -у ) верст. Ежедневно он проходил по 30 верст. Значит он шел всего дней.

Разность между временами движения обоих есть и равна 2 . Следовательно, находим уравнение , откуда у =100 .

3-й способ. Первое неизвестное есть время движения второго путешественника от выхода из В до встречи, последнее условие то, что первый путашественник проходит ежедневно по 20 верст.

Положим, что второй идет до встречи z дней. Значит,первый пройдет (z +2 ) дня. Проходя ежедневно по 30 верcт, второй пройдет всeго 30z верст. Так как обоим нужно пройти 190 верст, то первому останется сделать (190 -30z ) верст. Для этого он должен делать ежедневно по верст. Так как это выражение равно 20 , то получается уравнение , откуда z = 3.

4-й способ. Первое неизвестное есть расстояние, пройденное вторым путешественником до встречи, последнее условие то, что второй проходит ежедневяо 10-ю верстами более первого.

Полагаем, что второй прошел до встречи и верст. Значит первому оставалось еще пройти (190 -и ) верст. Так как до выхода второго он уже прошел 40 верст, то после выхода второго ему оставалось еще пройти (150 -и ) верст. Разность расстояний, проходимых одновременно обоими, есть (2и -150 ) верст. Время их общего движения есть и / 30 дней.Следовательно, второй в день проходит больше первого на (2и -150 ) : и / 30 верст. Так как это выражение равно 10 , то получаетея уравнение (2и -150 ) : и / 30 =10 , которое дает и = 90 .

Предыдущие объяснения показывают, что разнообразие способов для составления уравнений в одной и той же задаче зависит как от порядка последовательно обозначаемых величин, так и от порядка последовательно принимаемых во внимание условий.

231. Два лица имеют вместе 38 рублей, причем у первого 6-ю рублями больше денег, чем у второго. Сколько денег у каждаого?

231. Два лица имеют вместе 114 рублей, причем у первого 18-ю рублями больше денег, чем у второго. Сколько денег у каждого?

232. В одном доме окон на 15 меньше, чем в другом, всего же в обоих домах 51 окно. Сколько окон в каждом?

232. В одном доме окон на 6 меньше, чем в другом; всего же в обоих домах 62 окна. Сколько окон в каждом?

233. В двух кошельках находится 81 рубль. В первом денег вдвое меньше, чем во втором. Сколько денег в каждом?

233. В двух кошельках находится 72 рубля. В первом денег в пять раз меньше, чем во втором. Сколько денег в каждом?

234. Отец старше сына втрое, а сумма лет обоих их равна 48 годам. Определить возраст обоих.

234. Отец старше сына вдвое, а сумма лет обоих равна 13 годам. Определить возраст обоих.

235. Сын моложе отда вчетверо, а разность их лет равна 27 годам. Сколько леть каждому?

235. Сын моложе отца впятеро, а разность их лет составляет 32 года. Сколько лет каждому?

236. В трех корзинах находится 47 яблок, причем в первой и во второй поровну, а в третьей на 2 яблока больше, чем в каждой из остальных. Сколько яблок в каждой корзине?

236. В трех корзинах находится 110 яблок, причем в первой и в третьей поровну, а во второй на 4 яблока меньше, чем в каждой из остальных. Сколько яблок в каждой корзине?

237. Три куска серебра весят вместе 48 фунтов. Первый тяжелее второго на 12 ф., а третий тяжелее первого на 9 фунтов. Сколько весит каждый кусок?

237. Три куска серебра весят вместе 33 ф.. Первый легче второго на 5 фунтов, а третий легче первого на 2 фунта. Сколько весит каждый кусок?

238. Сын моложе отца на 20 лет и старше дочери на 5 лет. Сумма лет всех троих равна 60 годам. Сколько лет каждому

238. Мать старше сына на 21 год и моложе отца на 7 лет. Сумма лет всех троих равна 64 годам. Сколько лет каждому?

239. На трех полках лежит всего 66 книг, причем на нижней втрое больше, а на средней вдвое болыьше, чем на верхней. Сколько книг на каждой полке?

239. На трех полках лежит всего 60 книг, причем на нижней в шесть раз больше, а на верхней в пять раз больше, чем на средней. Сколько книг на каждой полке?

240. Лес, сад и луг стоят вместе 10800 р.. Луг дороже сада в 2 раза, а лес дороже луга в три раза. Что стоит каждый из них отдельно?

240. Лес, сад и луг стоят вместе 17600 р.. Лес дороже сада в 3 раза, а луг дорожо леса в 4 раза. Что стоит каждый из них отдельно?

241. Разделить число 21 на две части так, чтобы кратное отношсние первой части ко второй равнялось дроби 3 / 4 .

241. Разделить число 48 на две части так, этобы кратное отношение второй части к первой равнялось дроби 5 / 3 .

242. Разделить число 88 на такие две части, чтобы частные от деления первой части на 5, а второй на 6 были равны.

242. Разделить число 55 на такие две части, чтобы частные от деления первой части на 7, а. второй на 4 были равны.

243. Сумма двух чисел 85, а разность их 15. Найти оба числа.

243. Сумма двух чисел 72, а разность их 8. Найти оба числа.

244. Разность двух чисел 8, а кратное отношение их равно дроби 3 / 2 .Найти эти числа.

244. Разность двух чисел 12, а кратное отношение их равно дроби 5 / 3 . Найти эти числа.

245. Разделить число 46 на две чаости так, чтобы разность частных от деления первой части на 3 и второй на 7 равнялась 2.

245. Разделить число 59 на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на 3 и второй на 5 равнялась 1.

246. Разделить число 75 на две части так, чтобы большая часть превышала втрое разность между обеими частями.

246. Разделить число 56 на две части так, чтобы меньшая часть превышала втрое разность между обеими частями.

247. Сумма двух чисел 64. При делении большего числа на меньшее получается в частном 3 и в остатке 4. Найти эти числа.

247. Сумма двух чисел 45. При делении большего числа на меньшее получается в частном 5 и в остатке 3. Найти эти числа.

248. Разность двух чисел 35. При делении большего числа на меньшее получается в частном 4 и в остатке 2. Найти эти числа.

248. Разность двух чисел 23. При делении большего числа на меньшее получается в частном 2 и в остатке 11. Найти эти числа.

249. Одно из неизвестных двух чисел больше другого на 5. Если разделить меньшее число на 4, а большее на 3, то первое частное будет 4-мя меньше второго. Найти оба числа.

249. Одно из двух неизвестных чисел больше другого на 15. Если разделить большее число на 9, а меньшее на 2, то первое частное будеть 3-мя меньше второго. Найти оба числа.

250. Одно из двух неизвестных чисел меньше другого на 6. Если разделить большее число пополам, то полученное частное будет тремя единицами меньше другого числа. Найти оба числа.

250. Одно из двух неизвестных чисел меньше другого на 18. Если разделить большее число на три, то полученное частное будет двумя единицами больше другого числа. Найти оба числа.

251. В одном резервуаре вдвое больше воды, чем в другом; если же перелить из первого во второй 16 ведер, то в обоих окажется воды поровну. Сколько воды в каждом?

251. В одном резервуаре втрое больше воды, чем в другом; если же перелить из первого во второй 22 ведра, то в обоих окажется воды поровну, Сколько воды в каждом?

252. На рынке у двух торговок имеется всего 220 яиц; если бы вторая из них отдала первой 14 яиц, то число яиц у каждой из них оказалось бы одинаковым. Сколько яиц у каждой?

252. На рынке у двух торговок имеется всего 186 яиц; если бы вторая из них отдала первой 10 яиц, то число яиц у каждой из них оказалось бы одинаковым. Сколько яиц у каждой?

253. Некто имеет в правом кармане в 4 раза более рублей, чем в левом; если же он переложит из правого кармана в левый 6 р., то в правом окажется денег только в 3 раза более, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане?

253. Некто ииеет в правом кармане в 3 раза более рублей, чем в левом; если же переложить из левого кармана в правый 5 рублей, то в правом окажется денег в пять раз более, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане?

254. При расчете на фабрике двух рабочих первый из них получил за работу 12 рублями больше второго, и ему же после этого второй работник уплатил 2 руб. долгу. Оказалось, что первый понес домой денег втрое больше, чем второй. Сколько заработал каждый?

254. При расчете на фабрике двух рабочих первый из них получил за работу 20 рублями меньше второго, но при этом второй работник возвратил ему 2 руб. долгу. Оказалось, что первый понес домой денег вдвое меньше второго. Сколько заработал каждый?

255. У одного мальчика 30 копеек, у другого 11 коп.. Сколько раз им следуегь дать по одной копейке, чтобы у первого оказалось денег вдвое больше, чем у второго?

255. У одного мальчика 48 копеек, у другого 22 коп.. Сколько раз они должны истратить по одной копейке, чтобы у первого оказалось втрое больше денег, чем у второго?

256. Отцу 40 лет, а сыну 12 лет. Сколько лет тому назад отец был впятеро старше сына?

256. Отцу 49 лет, а сыну 11 лет. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?

257. Один помещик имеет овец вчетверо больше, чем другой. Если бы оба прикупили по 9 овец, то у первого было бы овец втрое больше, чем у второго. Сколько овец у каждого?

257. Один помещнк имеет овец втрое меньше, чем другой. Если бы оба продали по 10 овец, то у первого оказалось бы овец впятеро меньше, чем у второго. Сколько овец у каждого?

258. Отец на 39 лет старше сына, а через 7 лет будет старше сына в 4 раза. Сколько лет тому и другому?

258. Отцу и сыну вместе 88 лет, а 8 лет тому назад отец был старше сына в 7 раз. Сколько лет тому и другому?

259. В одном резервуаре 48 ведер, а в другом 22 ведра воды. Из первого отлили воды вдвое больше, чем из второго, и тогда в первом осталось втрое больше воды, чем во втором. Сколько ведер вылито из каждого?

259. В одном резервуаре 42 ведра, а в другом 8 ведер воды. В первый прилито было воды втрое больше, чем во второй, и тогда оказалось в первом в четыре раза больше воды, чем во втором. Сколько ведер прилито в каждый?

260. Два лица, играя отдельно в карты, имели при начале игры- первый 72 рубля, второй 21 рубль. Первый проиграл втрое больше того, сколько второй выиграл. После игры оказалось у первого вдвое больше денег, чем у второго. Сколько выиграл второй и проиграл первый?

260. Два лица, играя отдельно в карты, имели при начале игры- первый 25 рублей, второй 12 рублей. Первый выиграл вдвое больше того, сколько второй проиграл. После игры оказалось у первого впятеро больше денег, чем у второго. Сколько проиграл второй и выиграл первый?

261. Разносчик продал в первый раз часть 2 / 7 числа бывших у него яблох, во второй раз р того же числа; тогда у него осталось всего 8 яблок. Сколько у него было яблок?

261. Разносчик продал в первый раз 1 / 9 числа бывших у него яблок, во второй раз 5 / 6 того же числа; тогда у него осталось всего 4 яблока. Сколько у него было яблок?

262. Из резервуара с водой отлита была сначала треть всего количества воды, затем 5 / 6 остатка и тогда осталось только 6 ведер. Сколько было воды в резервуаре?

262. Из резервуара с водой отлита была сначала часть 3 / 5 всего количества, затем 3 / 4 остатка и тогда осталось только 5 ведер. Сколько было воды в резервуаре?

263. В одном обществе было 40 человек мужчин, женщин и детей. Число женщиы составляло 3 / 5 числа мужчин, а число детей составляло 2 / 3 числа мужчин и женщин вместе. Сколько было мужчин, женщин и детей?

263. В одном обществе было 72 человека мужчин, женщин и детей. Число мужчин составляло 2 / 3 числа женщин, а число детей составляло 4 / 5 числа мужчин и женщин вместе. Сколько было мужчин, женщин и детей?

264. За 30 аршин сукна двух сортов заплачено всего 128 рублей; аршин первого сорта стоит 4 1 / 2 р., а аршин второго 4 р.. Сколько куплено аршивн того и другого сорта?

264. За 27 аршин сукна двух сортов заплачено всего 120 р.; аршин первого сорта стоит 5 руб.; аршин второго 3 р. 75 к.. Сколько куплено аршин того и другого серта?

265. Чайиый торговец продал 38 фунтов чаю двух сортов, ценою по 3 р. за фунт первого сорта и по 1 р. 60 к. за фунт второго сорта, и выручил при этом за весь первый сорт 22-мя рублями больше, чем за второй. Сколько продано чаю того и другого сорта?

265. Чайный торговец продал 110 фунгов чаю двух сортов, ценою по 4 1 / 2 р. за фунт первого сорта и по 2 р. 25 к. за фунт второго сорта, и выручил при этом за первый сорт 45-ю рублями меньше, чем за второй. Сколько продано чаю того и другого сорта?

266. Подрядчик нанял работника с условием платить ему 90 коп. за каждый рабочий день и вычитать с него 40 коп. за каждый нерабочий день. По прошествии 12 дней рабочий получил 6 р. 90 к.. Сколько дней он работал?

266. Подрядчик нанял работника с условием платить ему по 80 коп. за каждый рабочий день и вычитать с него 50 коп. за каждый нерабочий день. По прошествии 50 дней рабочий получил 21 р. 80 в.. Сколько дней он прогулял?

267. А и В играют на биллиарде с условием, что выигравший партию получаоет с проигравшаего 76 к.; после 20 партий оказалось, что В выиграл всего 4 р. 50 к.. Сколько партий он выиграл?

267 А и В играют на биллиарде с условием, что выигравший партию получаоет с проигравшаего 50 к.; после 12 партий оказалось, что А выиграл всего 2 р.. Сколько партий он проиграл?

268. Два курьера выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 300 верст, и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час 12 верст, второй 13 верст. Когда они встретятся?

268. Два курьера выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 280 верст, и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час 11 верст, второй 17 верст. Когда они встретятся?

269. С двух станций железной дороги, находящихся в расстоянии 77 верст, выходят одновременно два поезда и идут по одному направлению со скоростями 31 1 / 2 версть и 18 2 / 3 верст в час, причем первый идет за вторым. Когда он догонит?

269. С двух станций железной дороги, находящихся в расстоянии 38 верст, выходят одновременно два поезда и идут по одному направлению со скоростями 25 1 / 4 верст и 20 1 / 2 верст в час, причем первый идет за вторым. Когда он догонит?

270. Со станции в 12 ч. дня выходит пассажирский поезд, делающий по 32 в. в час. Через 45 минут с той же станции выходит курьерский поезд, делающий по 42 в. в час. В котором часу курьерский поезд догонит пассажирский?

270. Со станции в 9 часов утра выходит пассажирокий поезд, делающий по 28 в. в час. Через час с четвертью с той же станции выходит курьерский поезд, делающий по 40 в. в час. В котором часу курьерский поезд догонит пассажирский?

271. Какой капитал нужно отдать в рост по 6%, чтобы через 1 год 2 месяца получить прибыли 224 р.?

271. Какой капитал нужно отдать в рост по 8%, чтобы в 7 месяцев получить прибыли 182 р.?

272. По скольку процентов нужно отдать в рост капитал 4400 руб., чтобы через 1 год 5 месяцев получить прибыли 280 р. 50 к.?

272. По скольку процентов нужно отдать в рост капигал 1800 р., чтобы через 11 месяцев получить прибыли 93 р. 60 к.?

273. Купец, продав товар за 299 р., выручил 15% прибыли. Что стоит товар ему самому?

273. Купец, продав товар за 161 р., получил 7 1 / 2 % прибыли. Что стоит товар ему самому?

274. При продаже товара на сумму 429 р. получено убытку 2 1 / 2 %. Что стоит товар?

274. При продаже товара на сумму 366 р. получено убытку 8 1 / 2 % Что стоит товар?

275. По векселю за 10 месяцев до срока было уплачено 1120 р., при коммерческом учете по 8%. Найти валюту векселя.

275. По векселю за 1 год 3 месяца до срока было уплачено 839 р. 60 коп. при коммерческом учете по 7%. Найти валюту векселя.

276. Бассейн наполаяется одной трубой в 3 часа, другой в 5 часов. Во сколько времени наполнится он, если открыть одновременно обе трубы?

276. Басеейн наполняется одной трубой в 7 1 / 2 часов, другой в 5 часов. Во сколько времени наполнится он, если открыть одновременно обе трубы?

277. Бассейн наполняется одной трубой в 4 часа, а через другую может весь вытечь в 6 часов. Во сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб?

277. Бассейн наполняется одной трубой в 2 1 / 3 часа, а через другую может весь вытечь в 2 ч. 48 м.. Во сколко времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб?

278. Два работника вместе кончают работу в 3 часа 36 мин.; один первый может ее исполнить в 6 часов. Во сколько времени сделает ту же работу второй?

278. Два работника вместе кончают работу в 12 часов; один первый может ее исполнить в 20 часов. Во сколько времена сделает ту же работу второй?

279. В бассейн проведены три трубы; через первые две вода вливается, через третью вытекает. Через первую трубу бассейн может наполниться в 3 часа, через вторую в 2 часа, а через третью вся вода может вытечь из бассейна в 6 часов. Во сколько времени бассейн наполнится, если открыть все три трубы?

279. В бассейн проведены три трубы; через первые две вода вливается, через третью вытекает. Через первую трубу бассейн может наполниться в 2 часа, через вторую в 5 часов, а чероез третью вся вода может вытечь из бассейна в 10 часов. Во сколько времени бассейн наполнится, если открыть все три трубы?

280. Из трех труб, проведенных в бассейн, первая наполняет его в 5 часов, вторая наполняет в 15 часов, а через третью весь бассейн вытекает в 3 часа. Во сколько времени полный бассейн вытечет при одновременном действин всех труб?

280. Из трех труб, проведенных в бассейн, первая наполняет его в 6 часов, вторая наполняет в 18 часов, а через третью весь бассейн вытекает в 3 часа. Во сколько времени полный бассейн вытечет при одновременном действии всех труб?

281. ІІоезд железной дороги идет из А в В со средней скоростью 30 верст в час, затем возвращается из В в А со скоростью 28 верст в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 14 1 / 2 часов. Сколько верст от А до В ?

281. ІІоезд железной дороги идет из А в В со средней скоростью 24 версты в час, затем возвращается из В в А со скоростью 30 верст в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 11 1 / 4 часов. Сколько верст от А до В ?

282. Из А в В вышел поезд, проходящий в час 20 верст. Черезь 8 часов выходит поезд из В в А , проходящий 30 в. в час. Расстояние АВ равно 350 в.. На каком расстоянии от А поезда встретятся?

282. Из А в В вышел поезд, проходящий в час 24 версты. Через 5 часов выходит поезд из В в А , проходящий 28 в. в час. Расстояние АВ равно 380 в., На каком расстоянии от В поезда встретятся?

283. Сумма трех чисел равна 70. Второе число при делении на первое дает в частном 2 и в остатке 1, третье при делении на второе дает в частном 3 и в остатке 3. Найти эти числа.

283. Сумма трех чисел равна 60. Второе число при делении на первое дает в частном 3 и в остатке 2, третье при делении на второе дает в частном 2 и в остатке 4. Найти числа.

284. Найти чиесло, которое при делении на 5 дает в остатке 2, а при деления на 8 дает в остатке 5, зная притом, что первое частное тремя больше второго.

284. Найти число, которое при делении на 7 дает в остатке 2, а при делении на 9 дает в остатке 4, зная притом. что первое частное двумя больше второго.

285. Некто, желая раздать имевшиеся при нем деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 15 копеек, то у него не хватит 10 коп., а если каждому дать по 13 коп., то останется 6 к. лишних. Сколько было нищих и сколько денег?

285. Некто, желая раздать имевшиеся при нем деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 8 коп., то останется 4 коп. лишних, а если каждому дать по 9 коп., то не хватит 2 коп.. Сколько было нищих и сколько денег?

286. Инженер размещает телеграфные столбы на некотором расстоянии. Если бы он поставил их на расстоянии 25 сажен один от другого, то надо было бы сделать еще 150 столбов, а если бы он увеличил расстояния между столбами на 5 сажен, то 70 столбов оказались бы лншними. Как велико расстояние и сколько изготовлено столбов?

286. Инженер размещаот телеграфные столбы на некотором расстоянии. Если бы он поставил их на расстоянии 30 сажен один от другого, то у него осталось бы лишних 100 столбов, а если бы он уменьшил расстояние столбов на 4 сажени, то надо было бы сделать еще 180 столбов. Как велико расстояние и сколько изготовлено столбов?

287. Некто при найме слуги обещал ему за год службы уплатить деньгамжи 144 руб. и дать одежду. Слуга расчелся через 7 месяцев а получил в уплату одежду и 54 рубля. Что стоила одежда?

287. Некто при найме слуги обещал ему за 7 месяцов службы уплатить деньгами 75 рублей и дать одежду. Слуга расчелся через 5 месяцев и получил в уплату одежду и 45 рублей. Что стоит одежда?

288. Заплачено за 46 пудов сахару на 195 руб. более, чем за 73 фунта чаю; 9 пудов сахару стоят на 30 рублей дешевле, чем 37 фунтов чаю. Что стоит фунт чаю и пуд сахару?

288. Заплачено за 21 фунт чаю на 238 рублей менее, чем за 40 пудов сахару; 15 фунтов чаю стоят на 2 руб. дороже, чем 4 пуда сахару. Что стоит фунт чаю и пуд сахару?

289. Помещик нанял двух крестьян за одинаковую поденную плату. Одному из них за 40 дней он отдал 7 р. 50 к. деньгами и 3 1 / 2 четверти овса, другому за 24 дня 4 руб. 80 к. деньгами и 2 четверти овса. Что стоит четверть овса?

289. Помещик нанял двух крестьян за одинаковую поденную плату. Одному из них за 56 дней он отдал 14 р. деньгами и 8 четвертей овса, другому за 88 дней 13 р. 50 к. деньгами и 15 четвертей овса. Что стоить четверть овса?

290. Заплачено за 25 аршин сукна и 21 арш. бархата 247 рублей. Известно, что 10 арш. бархата стоят 18-ю рублями дороже 13 аршин сукна. Что стоит аршин того и другого?

290. Заплачено за 15 аршин бархата и 52 арш. сукна 276 рублей. Известно, что 2 арш. бархата стоят 17-ю рублями дошевле 11 арш. сукна. Что стоит аршин того и другого?

291. Сумма цифр некоторого двузначного числа равна 12. Если от искомого числа отнят 18, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

291. Разность цифр единиц и десятков некоторого двузначного числа равна 3. Если к искомому числу прибавить 27, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

292. В некотором двузначном числе число десятков вдвое более числа единиц. Если цифры зтого числа переставим, то получим число, меньшее искомого на 36. Найти это число.

292. В некотором двузначном числе число десятков втрое менее числа единиц. Если цифры зтого числа переставим, то получим число, большее искомого на 36. Найти это число.

293. А играет в шашки с В и выигрывает у него из каждых четырех партий три, потом играет с С и у последнего выигрывает из каждых трех партий две. Всего А сыграл 21 партию и выиграл из них 15. Сколько партий сыграл он с В и с С ?

293. А играет в шашки с В и проигрывает ему из каждых восьми партий три, потом играет с С и проигрывает последному из каждых пяти партий две. В общем А сыграл 26 партий и проиграл из них 10. Сколько партий сыграл он с В и с С ?

294. Который теперь час, если 1 / 5 числа часов, прошедших от полудня, равна 1 / 3 числа часов, оставшихся до полуночи?

294. Который теперь час, если 1 / 11 числа часов, прошедших от полудня, равна 1 / 13 числа часов, оставшихся до полуночи?

295. Найти вес рыбы, зная, что хвост ее весит 2 ф., голова весит столько, сколько весит хвост и половина туловища, а туловище весит столько, столько голова и хвост.

295. Найти вес рыбы, зная, что голова ее весит 7 ф., хвост весит столько, сколько весит голова и половина туловища, а туловище весит сколько, сколько хвост и голова.

296. Некоторая сумма должна быть разделена можду двумя лицами так, чтобы части первого и второго относились между собой, как числа 5 и 3, и чтобы часть первого была на 50 руб. более 5 / 9 всей суммы. Как велика часть каждого?

296. Некоторая сумма должна быть разделена между двумя лицами так, чтобы части перваого и второго относились между собою, как числа 7 и 4, и чтобы часть второго была на 21 руб. меньше 5 / 12 всей сумиы. Как велика часть каждого?

297. Товар продан с убытком за 420 руб.; если бы его продали за 570 р., то полученная прибыль была бы в 5 раз более понесенного убытка. Что стоит товар?

297. Товар продан с прибылью за 520 р.; если бы его продали за 320 р., то получился бы убыток, составляющий 3 / 7 вырученной прибыли. Что стоит товар?

298. Числа аршин ситцу, содержащихся в трех кусках, относятся как 2:3:5. Если отрезать от первого куска 4 аршина, от второго 6 арш. и от третьего 10 арш., то оставшееся количество всего ситца составит 5 / 6 прежнего количества. Сколько аршин в каждом куске?

298.Числа аршин ситцу, содержащихся в трех кусках, относятся как 3:5:8. Если отрезать от первого 10 аршин, от второго 20 арш. и от третьего 30 арш., то оставшееся количество всего ситца составит 5 / 8 прежнего количества. Сколько аршин в каждом куске?

299. Из резервуара вылита сначала половина всей бывшей в нем воды и полведра, потом половина остатка и полведра, наконец еще половина остатка и полведра; после этого в резервуаре осталось 6 ведер. Сколько было воды вначале?

299. Из резервуара вылита треть бывшей в нем воды и треть ведра, потом треть остатка и треть ведра, наконец еще треть остатка и треть ведра; после этого в резервуаре осталось 7 ведер Сколько было воды вначале?

300. Несколько лиц делят некоторую сумму следующим образом; первый получает 100 р. и пятую часть остатка, второй 200 рублей и пятую часть нового остатка, третий 300 рублей и пятую часть остатка и т. д.. Оказалось, что вся сумма разделена на равные части. Как велика эта сумма, сколько участников в дележе и сколько досталось каждому?

300. Несколько лиц делят некоторую сумму следующим образом: первый получает 50 рублей и шестую часть остатка, второй 100 рублей и шестую часть нового остатка, третий 150 рублей и шестую часть остатка и т. д.. Оказалось, что вся сумма разделена на равные части. Как велика эта сумма, сколько участников в дележе и сколько досталось каждому?

Нижеследующие задачи отличаются от предыдущих тем, что данные выражены неявно, именно буквами. Эти задачи принадлежат к таким же типам, как прежние. При решении их повторяются важнейшие из тех приемов, которые применялись раньше, но, вследствие неявного вида данных, рассуждения имеют более общий и вместе с тем более отвлеченный характер. В новых упражнениях нужно так же, как и в прежних, заботиться прежде всего о том, чтобы выразить через главное неизвестное и через данные обозначения все величины, о которых в задаче прямо говорится, или которые в ней подразумеваются, и при этом нужно последовательно принимать во внимание все обозначения, данные в задаче, и все условия, относящиеся к данным и к искомым, когда таким образом все условия будут употреблены в дело, то сама собой явится мысль о том, как составить требуемое уравнение.

301. Разность двух чисел s q . Найти оба числа.

301.Разность двух чисел d , кратное отношение большего к меньшему q . Найти оба числа.

302. Разделить число а на три части так, чтобы первая часть была больше второй на число т и меньше третьей в п раз.

302. Разделить число а на три части так, чтобы первая часть была меньше второй на число т и больше третьей в п раз.

303. Одно число в а раз меньше другого. Если прибавить к,первому числу т , а ко второму п , то первая сумма будет в b раз меньше второй. Найти эти числа.

303. Одно число в а раз меньше другого. Если отнять от первого числа т , а от второго п , то первая разность будет в b раз больше второй. Найти эти числа.

304. Числитсль дроби меньше ее знаменателя на число а ; Если же от обоих членов дроби отнять по b т / п . Найти члены дроби.

304. Числитель дроби больше ее знаменателя на число а . Если же прибавить к обоим членам дроби по b , то получится дробь, равная дроби т / п . Найти члены дроби.

305. Разделить число а р раз больше второй и в q раз меньше третьей.

305. Разделить число а на такие три части, чтобы первая была. в р раз меньше второй и в q раз больше третьей.

306. Знаменатель дроби большое ее числителя в а раз. Если прибавить к числителю число b и вычесть из знаменателя число с , то получится дробь, равная дроби k / l . Найти члены дроби.

306. Знаменатель дроби меньшве ее числителя в а раз. Если вычесть из числителя число b и прибавнть к знаменателю число с , то подучится дробь, равная дроби k / l . Найти члены дроби.

307. Разделить число т на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на а и второй на b раваялась бы r.

307. Разделить число т на две части так, чтобы сумма частных от деления первой части на а и второй на b равнялась бы s .

308. Работник за каждый рабочий день получает по а копеек, а за каждый нерабочий с него вычитают по b копеек. По прошествии п дней чистая выручка рабочего равна s рублям. Сколько было рабочих дней и сколько нерабочих?

308. Работник за каждый рабочий день получает по а копеек а за каждый нерабочий с него вычитают по b копеек. По прошествии п дней работник должен сам уплатить 5 рублей, Сколько было рабочих дней и сколько нерабочих?

309. Разность двух чисел d . При делении уменьшаемого на вычитаемое получается частное q и остаток, равный половине разности. Найти эти числа

309. Разность двух чисел d . При делении уменьшаемого на вычитаемое получается остаток r и частное, равное половине разности. Найти эти числа.

310. За несколько аршин сукна. заплачено а рублей; если бы купили сукна более на с b

310. За несколько аршин сукна заплачено а рублей; если бы купили сукна менее на с аршин, то нужно было бы заплатить b рублей. Сколько аршин куплено?

311. Какое число, будучи умножено на a , увеличится на число т ?

311. Какое число, будучи разделено на а , уменьшится на число т ?

312. При продаже дома за m рублей получено р процентов убытку. Что стоил он самому продавцу?

312. При продаже дома за т рублсй получено р процентов прибыли. Что стоил он самому продавцу?

313. Два курьера выезжают одновременно из двух мест А и В и едут по одному направлению от А к В и далее. ІІервый проезжает в час а верст, второй b верст. Расстояние АВ равно d верст. Когда и на каком расстоянии от А первый курьер догонит второго?

313. Два курьера выезжают одновременно из двух мест А и В и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час а верст, второй b верст. Расстояние АВ равно d верст. Когда. и на каком расстоянии от А оба курьера встретятся?

314. Переднее колесо экипажа имеет окружность в а футов, окружность заднего b футов. Какое расстояние должен пройти экипаж, чтобы переднее колесо сделало на п оборотов большо заднего?

314. Переднее колесо экипажа имеет окружность на а футов меньшую, чем заднее. Какое расстояние должен пройти экипаж, чтобы переднее колесо сделало т , а заднее п оборотов?

315. В бассейн проведены две трубы, которые обе наполняют его, первая при отдельном действии в а часов, вторая также при отдельном действии в b часов. Во сколько времени наполнится бассевйн при одновременном действии обеих труб?

315. В бассейн проведены две трубы, из которых первая при отдельном действии наполняет его в а часов, а вторая также при отдельном действии выливает весь бассейн в b часов. Во сколько времени наполнится бассейн при одновременном дeйствии обeих труб?

316. Окружность заднего колеса экипажа в а раз большe окружности переднего колеса. Экипаж проeхал т футов, и при этом переднеe колесо сдeлало к оборотами большe заднего. Опредeлить окружности обоих колес и числа оборотов.

316. Окружность переднего колеса на а футов меньше окружности заднего. Экипаж проeхал т футов, и при этом заднеe колесо сдeлало в к раз меньше оборотов, чeм переднеe. Опрeдeлить окружности обоих колес и числа оборотов.

317. Народонаселение одного города увеличивается ежегодно на р % сравнительно с народонаселением предыдущего года. В настоящео время в городe т

317. Народонаселениe одного города уменьшается ежегодно на р % сравнительно с народонаселением предыдущего года. В настоящсе время в городe т жителей. Сколько было жителей 3 года назад?

318. Двоe рабочих, работая одновременно, кончают работу в а часов. Один первый сдeлает ту же работу в b , раз скорee, чeм один второй. Во сколько времени каждый из рабочих кончит работу?

318. Двоe рабочих, работая одновременно, кончают работу в а часов. Один пeрвый сдeлает ту жое работу в b , раз медлeннee, чeм один второй. Во сколько времени каждый из рабочих кончает работу?

319. Лодочник, гребя по течению рeки, проплывает п сажeн в t часов; грeбя жe против течения, он употребляeт на и часов болee, чтобы проплыть то жe расстояние. Опредeлить часовую скорость течения.

319. Лодочник, гребя против тeчения, проплывает п сажен в t часов; гребя жe по течению, он употребляет на и часов мeнee, чтобы проплыть то жe расстояниe. Опредeлить часовую скорость течeния.

320. Тeло А движeтся со скоростью v мeтров в секунду. С какой скоростью должно было двигаться другое тeло В , вышeдшеe из того жe мeста t сeкундами раньшe, если оно было настигнуто тeлом А через и секунд послe начала движения этого тeла?

320. Тeло A движeтся со скоростью v мeтров в секунду. С какой скоростью должно двигаться другоe тeло В , выходящеe из того же мeста и секундами позже, если оно догоняeт тeло А через и секукнд послe начала своeго движения?

321. Из двух сортов товару, цeною в а рублей и в b рублей за фунт, составлено d т рублей за фунт получено s рублей убытку. Сколько фунтов того и другого сорта пошло на составлениe смeси?

321. Из двух сортов товару, цeною в а рублей и в b рублей за фунт, составлено d фунтов смeси. При продажe этой смeси по т рублей за фунт получено s рублей прибыли. Сколько фунтов того и другого сорта пошло вна составлениe смeеси?

322. Б бассейн, вмeщающий т ведeр, проведены двe трубы. Первая вливает в бассейн а ведер в час. Вторая выливает весь бассейн в b часов. Во сколко часов наполнится бассейн при одновременном дeйствии обeих труб?

322. В бассейн, вмeщающий т ведер, проведены двe трубы. Первая наполняет весь бассейн в а часов. Вторая в час выливает из бассейна b ведер. Во сколько часов наполнится бассeйн при одновременном дeйствии обeих труб?

323. Раздeлить число а на три части так, чтобы первая относилась ко второй, как т: п , а вторая к третьeй, как р: q.

323. Раздeлить число а на три части так, чтобы вторая относилась к первой, как т: п , а третья ко второй, как р: q.

324. Из двух мeст А и В п сажен, плывут навстрeчу друг другу двe лодки, управляемые гребцами с одинаковой силой. ІІервая, плывущая по тeчeнию, проходит всe расстояние АВ в t часов; вторая, плывущая против течeния, употребляет на то жe раcстояниe большe времени на и часов. Опрeдeлить часовую скорость течения.

324. Из двух мeст А и В на рeкe, отстоящих одно от другого на п сажен, плывут навстрeчу друг другу двe лодки, управляемые гребцами с одинаковой силой. Пeрвая, плывущая против тeчеяия, проходит всe расстояние АВ в t часов; вторая, плывущая по течению, употребляет на то же расстояниe меньше врeмени на и часов. Опредeлить часовую скорость течения.

325. Опредeлить капиталы трех лиц, зная, что первый со вторым имeют вмeстe т рублей, второй с третьим п рублей, и что капитал пeрвого в р раз мeньшe капитала третьего.

325. Опрeдeлить капиталы трех лиц, зная, что первый с третьим имeют вмeстe т рублей, второй с третьим п рублей, и что капитал первого в р раз больше капитала второго.

326. Два тeла движутся навстрeчу одно другому из двух мeст, находящихся в расстоянии d метров. Первоe движется со скоростью v метров в секунду. С какой скоростью должно двигаться второе тeло, eсли оно вышло на h сeкунд позднee первого и должно идти до встрeчи всeго п секунд?

326. Два тeла движутся навстрeчу одно другому из двух мeст, находящихся в расстоянии d метров. Первое движется со скоростью v метров в секунду. С какой скоростью должно двигаться второе тeло, если оно вышло на h секунд раньше первого и должно идти до встрeчи всего п секунд?

327. Вексель, учтенный коммерчески по р % за п лeт до срока, дает учет больший математического, сдeланный также по р % и за п лeт, на а рублей. Найти валюту всксeля.

327. Вексeль, учтенный коммерчески по р % за п лeт, стоит на т рублей дешевле, чeм при учетe матeматическом, сдeланном такжe по р % и за п лeт. На какую сумму дан вексель?

328. Два курьeра выeзжают из мeст А и B , находящихся в расстоянии d вeрст, и eдут навстрeчу, проeзжая в час- первый u версгь и второй v верст; выeзд первoго из А состоялся на h В . Опредeлить, когда и гдe встрeтятся курьеры?

328. Два курьера выeзжают из мeст А и B находящихся в расстоянии d вeрст, и eдут оба в одном и том же направлении, проeзжая в час-первый и верст и второй v верст; выeзд пeрваго из А состоялся на h часов раньше выeзда второго из B . Опредeлить, когда и гдe первый курьер догонит второго?

329. Раздeлить число а на такия три части, что если к пeрвой приложить т , вторую сначала уменьшииь на m , а затeм умножить на п , и третью раздeлить на п , то полученные результаты окажутся равными.

329. Раздeлить число а на такия три части, что если первую умоньшить на т , вторую сначала увеличить на т , потом умножить на п , и третью раздeлить на п , то получатся равныe результаты.

330. В бассейн проведены три трубы А, В и С . Через А и С вода вливается, через В А и В бассейн наполняется в т часов, при дeйствии А и C в п часов, при дeйствии В и С в р часов. Во сколько временни наполнится бассейн при одновременном дeйствии всeх трех труб?

330. В бассейн проведены три трубы А, В и С . Через А вода вливается, через В и С вытекает. При совмeстном дeйствии труб А и В бассейн наполняется в т часов, при дeйствии А и С в п часов, трубы В и С выливают весь бассейн в р часов. Во сколько времени весь бассейн вытечeт при одновременном дeйствии всeх трех труб?

Cтраница 1

Составление уравнений, отражающих химическое взаимодействие окисдителя и восстановителя, сводится к определению коэффициентов при формулах исходных веществ и продуктов реакции, состав которых выявлен из опыта.  

Составление уравнений для определения числа критериев рекомендуется выполнять так, чтобы в каждое из уравнений входили три переменные величины аъ а2, а3, а оставшиеся величины а4 и я включаются в уравнения поочередно.  

Составление уравнений возможно только для простейших объектов. Более сложные объекты, к которым относится большинство объектов нефтяной промышленности, изучаются пока экспериментально. Свойствами объекта, используемыми при изучении систем автоматического регулирования, являются само-выравнивание, емкость и запаздывание.  

Составление уравнений в разностной форме произведем для проводящей среды и для диэлектрика, а также для одномерных и двухмерных задач, в которы-х изменение величин поля по расстоянию происходит соответственно в одном или двух координатных направлениях.  

Составление уравнений для виртуальных вариаций демонстрируется на примере учета неголономных связей. Показано, что уравнение голономной связи с параметром является идеальной связью, когда оно описывает огибающую. Обсуждаются правила виртуального варьирования связей при двух независимых переменных.  

Составление уравнений имеет много общего с таким переводом. В легких случаях словесная формулировка почти механически распадается на ряд последовательных частей, каждую из которых можно непосредственно выразить математическими символами. В более трудных случаях условие состоит из частей, которые не могут быть непосредственно переведены на язык математических символов. В этом случае мы должны меньше обращать внимания на словесную формулировку и сосредоточить свое внимание на смысле этой формулировки. Перед тем, как приступить к математической записи, возможно нам придется по-иному сформулировать условия, все время имея в виду математические средства для записи этой новой формулировки.  

Составление уравнений таких химических процессов не представляет никаких трудностей.  

Составление уравнений в вариациях в общем виде рассмотрено ниже.  

Составление уравнения углов закручивания Q и определение его производных.  

Составление уравнений возможно только для простейших объектов. Более сложные объекты, к которым относится большинство объектов нефтяной промышленности, изучаются пока экспериментально. Свойствами объекта, используемыми при изучении систем автоматического регулирования, являются самовыравнивание, емкость и запаздывание.  

Составление уравнений аналитическим путем возможно только для относительно простых объектов, процессы или физические явления в которых достаточно хорошо изучены. В общем случае динамические свойства регулируемых объектов описываются дифференциальными уравнениями, выражающими зависимость между выходными и входными величинами во времени. Эти уравнения составляют на основании физических законов, определяющих переходные процессы в объектах.  

Составление уравнений (6 - 58) и их решение относительно Л и В. Общий метод решения этой задачи может быть указан при условии, что А и В входят в уравнение линейно.  

Химия – это наука о веществах, их свойствах и превращениях .
То есть, если с окружающими нас веществами ничего не происходит, то это не относится к химии. Но что значит, «ничего не происходит»? Если в поле нас вдруг застала гроза, и мы все промокли, как говорится «до нитки», то это ли не превращение: ведь одежда была сухой, а стала мокрой.

Если, к примеру взять железный гвоздь, обработать его напильником, а затем собрать железные опилки (Fe ) , то это ли так же не превращение: был гвоздь – стал порошок. Но если после этого собрать прибор и провести получение кислорода (О 2) : нагреть перманганат калия (КМпО 4) и собрать в пробирку кислород, а затем в неё поместить раскалённые «до красна» эти железные опилки, то они вспыхнут ярким пламенем и после сгорания превратятся в порошок бурого цвета. И это так же превращение. Так где же химия? Несмотря на то, что в этих примерах меняется форма (железный гвоздь) и состояние одежды (сухая, мокрая) – это не превращения. Дело в том, что сам по себе гвоздь как был веществом (железо), так им и остался, несмотря на другую свою форму, а воду от дождя как впитала наша одежда, так потом его и испарила в атмосферу. Сама вода не изменилась. Так что же такое превращения с точки зрения химии?

Превращениями с точки зрения химии называются такие явления, которые сопровождаются изменением состава вещества. Возьмём в качестве примера тот же гвоздь. Не важно, какую форму он принял после обработки напильником, но после того как собранные от него железные опилки поместили в атмосферу кислорода - он превратился в оксид железа (Fe 2 O 3 ) . Значит, что-то всё-таки изменилось? Да, изменилось. Было вещество гвоздь, но под воздействием кислорода сформировалось новое вещество – оксид элемента железа. Молекулярное уравнение этого превращения можно отобразить следующими химическими символами:

4Fe + 3O 2 = 2Fe 2 O 3 (1)

Для непосвящённого в химии человека сразу возникают вопросы. Что такое «молекулярное уравнение», что такое Fe? Почему поставлены цифры «4», «3», «2»? Что такое маленькие цифры «2» и «3» в формуле Fe 2 O 3 ? Это значит, наступило время во всём разобраться по порядку.

Знаки химических элементов.

Несмотря на то, что химию начинают изучать в 8-м классе, а некоторые даже раньше, многим известен великий русский химик Д. И. Менделеев. И конечно же, его знаменитая «Периодическая система химических элементов». Иначе, проще, её называют «Таблица Менделеева».

В этой таблице, в соответствующем порядке, располагаются элементы. К настоящему времени их известно около 120. Названия многих элементов нам были известны ещё давно. Это: железо, алюминий, кислород, углерод, золото, кремний. Раньше мы не задумываясь применяли эти слова, отождествляя их с предметами: железный болт, алюминиевая проволока, кислород в атмосфере, золотое кольцо и т.д. и т.д. Но на самом деле все эти вещества (болт, проволока, кольцо) состоят из соответствующих им элементов. Весь парадокс состоит в том, что элемент нельзя потрогать, взять в руки. Как же так? В таблице Менделеева они есть, а взять их нельзя! Да, именно так. Химический элемент – это абстрактное (то есть отвлечённое) понятие, и используется в химии, впрочем как и в других науках, для расчётов, составления уравнений, при решении задач. Каждый элемент отличается от другого тем, что для него характерна своя электронная конфигурация атома. Количество протонов в ядре атома равно количеству электронов в его орбиталях. К примеру, водород – элемент №1. Его атом состоит из 1-го протона и 1-го электрона. Гелий – элемент №2. Его атом состоит из 2-х протонов и 2-х электронов. Литий – элемент №3. Его атом состоит из 3-х протонов и 3-х электронов. Дармштадтий – элемент №110. Его атом состоит из 110-и протонов и 110-и электронов.

Каждый элемент обозначается определённым символом, латинскими буквами, и имеет определённое прочтение в переводе с латинского. Например, водород имеет символ «Н» , читается как «гидрогениум» или «аш». Кремний имеет символ «Si» читается как «силициум». Ртуть имеет символ «Нg» и читается как «гидраргирум». И так далее. Все эти обозначения можно найти в любом учебнике химии за 8-й класс. Для нас сейчас главное уяснить то, что при составлении химических уравнений, необходимо оперировать указанными символами элементов.

Простые и сложные вещества.

Обозначая единичными символами химических элементов различные вещества (Hg ртуть , Fe железо , Cu медь , Zn цинк , Al алюминий ) мы по сути обозначаем простые вещества, то есть вещества, состоящие из атомов одного вида (содержащие одно и то же количество протонов и нейтронов в атоме). Например, если во взаимодействие вступают вещества железо и сера, то уравнение примет следующую форму записи:

Fe + S = FeS (2)

К простым веществам относятся металлы (Ва, К, Na, Mg, Ag), а так же неметаллы (S, P, Si, Cl 2 , N 2 , O 2 , H 2). Причём следует обратить
особое внимание на то, что все металлы обозначаются единичными символами: К, Ва, Са, Аl, V, Mg и т.д., а неметаллы – либо простыми символами: C,S,P или могут иметь различные индексы, которые указывают на их молекулярное строение: H 2 , Сl 2 , О 2 , J 2 , P 4 , S 8 . В дальнейшем это будет иметь очень большое значение при составлении уравнений. Совсем не трудно догадаться, что сложными веществами являются вещества, образованные из атомов разного вида, например,

1). Оксиды:
оксид алюминия Al 2 O 3 ,

оксид натрия Na 2 O,
оксид меди CuO,
оксид цинка ZnO,
оксид титана Ti 2 O 3 ,
угарный газ или оксид углерода (+2) CO,
оксид серы (+6) SO 3

2). Основания:
гидроксид железа (+3) Fe(OH) 3 ,
гидроксид меди Cu(OH) 2 ,
гидроксид калия или щёлочь калия КOH,
гидроксид натрия NaOH.

3). Кислоты:
соляная кислота HCl,
сернистая кислота H 2 SO 3 ,
азотная кислота HNO 3

4). Соли:
тиосульфат натрия Na 2 S 2 O 3 ,
сульфат натрия или глауберова соль Na 2 SO 4 ,
карбонат кальция или известняк СаCO 3,
хлорид меди CuCl 2

5). Органические вещества:
ацетат натрия СН 3 СООNa,
метан СН 4 ,
ацетилен С 2 Н 2 ,
глюкоза С 6 Н 12 О 6

Наконец, после того как мы выяснили структуру различных веществ, можно приступать к составлению химических уравнений.

Химическое уравнение.

Само слово «уравнение» производное от слова «уравнять», т.е. разделить нечто на равные части. В математике уравнения составляют чуть ли не самую сущность этой науки. К примеру, можно привести такое простое уравнение, в котором левая и правая части будут равны «2»:

40: (9 + 11) = (50 х 2) : (80 – 30);

И в химических уравнениях тот же принцип: левая и правая части уравнения должны соответствовать одинаковым количествам атомов, участвующим в них элементов. Или, если приводится ионное уравнение, то в нём число частиц так же должно соответствовать этому требованию. Химическим уравнением называется условная запись химической реакции с помощью химических формул и математических знаков. Химическое уравнение по своей сути отражает ту или иную химическую реакцию, то есть процесс взаимодействия веществ, в процессе которых возникают новые вещества. Например, необходимо написать молекулярное уравнение реакции, в которой принимают участие хлорид бария ВаСl 2 и серная кислота H 2 SO 4. В результате этой реакции образуется нерастворимый осадок – сульфат бария ВаSO 4 и соляная кислота НСl:

ВаСl 2 + H 2 SO 4 = BaSO 4 + 2НСl (3)

Прежде всего необходимо уяснить, что большая цифра «2», стоящая перед веществом НСlназывается коэффициентом, а малые цифры «2», «4» под формулами ВаСl 2 , H 2 SO 4 ,BaSO 4 называются индексами. И коэффициенты и индексы в химических уравнениях выполняют роль множителей, а не слагаемых. Что бы правильно записать химическое уравнение, необходимо расставить коэффициенты в уравнении реакции . Теперь приступим к подсчёту атомов элементов в левой и правой частях уравнения. В левой части уравнения: в веществе ВаСl 2 содержатся 1 атом бария (Ва), 2 атома хлора (Сl). В веществе H 2 SO 4: 2 атома водорода (Н), 1 атом серы (S) и 4 атома кислорода (О) . В правой части уравнения: в веществе BaSO 4 1 атом бария (Ва) 1 атом серы (S) и 4 атома кислорода (О), в веществе НСl: 1 атом водорода (Н) и 1 атом хлора (Сl). Откуда следует, что в правой части уравнения количество атомов водорода и хлора вдвое меньше, чем в левой части. Следовательно, перед формулой НСl в правой части уравнения необходимо поставить коэффициент «2». Если теперь сложить количества атомов элементов, участвующих в данной реакции, и слева и справа, то получим следующий баланс:

В обеих частях уравнения количества атомов элементов, участвующих в реакции, равны, следовательно оно составлено правильно.

Химические уравнение и химические реакции

Как мы уже выяснили, химические уравнения являются отражением химических реакций. Химическими реакциями называются такие явления, в процессе которых происходит превращение одних веществ в другие. Среди их многообразия можно выделить два основных типа:

1). Реакции соединения
2). Реакции разложения.

В подавляющем своём большинстве химические реакции принадлежат к реакциям присоединения, поскольку с отдельно взятым веществом редко могут происходить изменения в его составе, если оно не подвергается воздействиям извне (растворению, нагреванию, действию света). Ничто так не характеризует химическое явление, или реакцию, как изменения, происходящие при взаимодействии двух и более веществ. Такие явления могут осуществляться самопроизвольно и сопровождаться повышением или понижением температуры, световыми эффектами, изменением цвета, образованием осадка, выделением газообразных продуктов, шумом.

Для наглядности приведём несколько уравнений, отражающих процессы реакций соединения, в процессе которых получаются хлорид натрия (NaCl), хлорид цинка (ZnCl 2), осадок хлорида серебра (AgCl), хлорид алюминия (AlCl 3)

Cl 2 + 2Nа = 2NaCl (4)

СuCl 2 + Zn= ZnCl 2 + Сu (5)

AgNO 3 + КCl = AgCl + 2KNO 3 (6)

3HCl + Al(OH) 3 = AlCl 3 + 3Н 2 О (7)

Cреди реакций соединения следует особым образом отметить следующие: замещения (5), обмена (6), и как частный случай реакции обмена – реакцию нейтрализации (7).

К реакциям замещения относятся такие, при осуществлении которой атомы простого вещества замещают атомы одного из элементов в сложном веществе. В примере (5) атомы цинка замещают из раствора СuCl 2 атомы меди, при этом цинк переходит в растворимую соль ZnCl 2 , а медь выделяется из раствора в металлическом состоянии.

К реакциям обмена относятся такие реакции, при которых два сложных вещества обмениваются своими составными частями. В случае реакции (6) растворимые соли AgNO 3 и КCl при сливании обоих растворов образуют нерастворимый осадок соли AgCl. При этом они обмениваются своими составными частями – катионами и анионами. Катионы калия К + присоединяются к анионам NO 3 , а катионы серебра Ag + – к анионам Cl - .

К особому, частному случаю, реакций обмена относится реакция нейтрализации. К реакциям нейтрализации относятся такие реакции, в процессе которых кислоты реагируют с основаниями, в результате образуется соль и вода. В примере (7) соляная кислота HCl , реагируя с основанием Al(OH) 3 образует соль AlCl 3 и воду. При этом катионы алюминия Al 3+ от основания обмениваются с анионами Сl - от кислоты. В итоге происходит нейтрализация соляной кислоты.

К реакциям разложения относятся такие, при котором из одного сложного образуются два и более новых простых или сложных веществ, но более простого состава. В качестве реакций можно привести такие, в процессе которых разлагаются 1). Нитрат калия (КNO 3) с образованием нитрита калия (КNO 2) и кислорода (O 2); 2). Перманганат калия (KMnO 4): образуются манганат калия (К 2 МnO 4), оксид марганца (MnO 2) и кислород (O 2); 3). Карбонат кальция или мрамор ; в процессе образуются углекислый газ (CO 2) и оксид кальция (СаО)

2КNO 3 = 2КNO 2 + O 2 (8)
2KMnO 4 = К 2 МnO 4 + MnO 2 + O 2 (9)
СаCO 3 = CaO + CO 2 (10)

В реакции (8) из сложного вещества образуется одно сложное и одно простое. В реакции (9) – два сложных и одно простое. В реакции (10) – два сложных вещества, но более простых по составу

Разложению подвергаются все классы сложных веществ:

1). Оксиды: оксид серебра 2Ag 2 O = 4Ag + O 2 (11)

2). Гидроксиды: гидроксид железа 2Fe(OH) 3 = Fe 2 O 3 + 3H 2 O (12)

3). Кислоты: серная кислота H 2 SO 4 = SO 3 + H 2 O (13)

4). Соли: карбонат кальция СаCO 3 = СаO + CO 2 (14)

5). Органические вещества: спиртовое брожение глюкозы

С 6 Н 12 О 6 = 2С 2 Н 5 ОH + 2CO 2 (15)

Согласно другой классификации, все химические реакции можно разделить на два типа: реакции, идущие с выделением теплоты, их называют экзотермические, и реакции, идущие с поглощением теплоты – эндотермические. Критерием таких процессов является тепловой эффект реакции. Как правило, к экзотермическим реакциям относятся реакции окисления, т.е. взаимодействия с кислородом, например сгорание метана :

СН 4 + 2O 2 = СО 2 + 2Н 2 О + Q (16)

а к эндотермическим реакциям – реакции разложения, уже приводимые выше (11) – (15). Знак Q в конце уравнения указывает на то, выделяется ли теплота в процессе реакции (+Q) или поглощается (-Q):

СаCO 3 = СаO+CO 2 - Q (17)

Можно так же рассматривать все химические реакции по типу изменения степени окисления, участвующих в их превращениях элементов. К примеру, в реакции (17) участвующие в ней элементы не меняют свои степени окисления:

Са +2 C +4 O 3 -2 = Са +2 O -2 +C +4 O 2 -2 (18)

А в реакции (16) элементы меняют свои степени окисления:

2Mg 0 + O 2 0 = 2Mg +2 O -2

Реакции такого типа относятся к окислительно-восстановительным . Они будут рассматриваться отдельно. Для составления уравнений по реакциям такого типа необходимо использовать метод полуреакций и применять уравнение электронного баланса.

После приведения различных типов химических реакций, можно приступать к принципу составлений химических уравнений, иначе, подбору коэффициентов в левой и правой их частях.

Механизмы составления химических уравнений.

К какому бы типу ни относилась та или иная химическая реакция, её запись (химическое уравнение) должна соответствовать условию равенства количества атомов до реакции и после реакции.

Существуют такие уравнения (17), которые не требуют уравнивания, т.е. расстановки коэффициентов. Но в большинстве случаях, как в примерах (3), (7), (15), необходимо предпринимать действия, направленные на уравнивание левой и правой частей уравнения. Какими же принципами необходимо руководствоваться в таких случаях? Существует ли какая ни будь система в подборе коэффициентов? Существует, и не одна. К таковым системам относятся:

1). Подбор коэффициентов по заданным формулам.

2). Составление по валентностям реагирующих веществ.

3). Составление по степеням окисления реагирующих веществ.

В первом случае полагается, что нам известны формулы реагирующих веществ как до реакции, так и после. К примеру, дано следующее уравнение:

N 2 + О 2 →N 2 О 3 (19)

Принято считать, что пока не установлено равенство между атомами элементов до реакции и после, знак равенства (=) в уравнении не ставится, а заменяется стрелкой (→). Теперь приступим к собственно уравниванию. В левой части уравнения имеются 2 атома азота (N 2) и два атома кислорода (О 2), а в правой – два атома азота (N 2) и три атома кислорода (О 3). По количеству атомов азота его уравнивать не надо, но по кислороду необходимо добиться равенства, поскольку до реакции их участвовало два атома, а после реакции стало три атома. Составим следующую схему:

до реакции после реакции
О 2 О 3

Определим наименьшее кратное между данными количествами атомов, это будет «6».

О 2 О 3
\ 6 /

Разделим это число в левой части уравнения по кислороду на «2». Получим число «3», поставим его в решаемое уравнение:

N 2 + 3О 2 →N 2 О 3

Так же разделим число «6» для правой части уравнения на «3». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:

N 2 + 3О 2 → 2N 2 О 3

Количества атомов кислорода и в левой и в правой частях уравнения стали равны, соответственно по 6 атомов:

Но количество атомов азота в обеих частях уравнения не будут соответствовать друг другу:

В левой – два атома, в правой – четыре атома. Следовательно, что бы добиться равенства, необходимо удвоить количество азота в левой части уравнения, поставив коэффициент «2»:

Таким образом, равенство по азоту соблюдено и в целом, уравнение примет вид:

2N 2 + 3О 2 → 2N 2 О 3

Теперь в уравнении можно вместо стрелки поставит знак равенства:

2N 2 + 3О 2 = 2N 2 О 3 (20)

Приведём другой пример. Дано следующее уравнение реакции:

Р + Cl 2 → РCl 5

В левой части уравнения имеется 1 атом фосфора (Р) и два атома хлора (Cl 2), а в правой – один атом фосфора (Р) и пять атомов кислорода (Cl 5). По количеству атомов фосфора его уравнивать не надо, но по хлору необходимо добиться равенства, поскольку до реакции их участвовало два атома, а после реакции стало пять атома. Составим следующую схему:

до реакции после реакции
Cl 2 Cl 5

Определим наименьшее кратное между данными количествами атомов, это будет «10».

Cl 2 Cl 5
\ 10 /

Разделим это число в левой части уравнения по хлору на «2». Получим число «5», поставим его в решаемое уравнение:

Р + 5Cl 2 → РCl 5

Так же разделим число «10» для правой части уравнения на «5». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:

Р + 5Cl 2 → 2РCl 5

Количества атомов хлора и в левой и в правой частях уравнения стали равны, соответственно по 10 атомов:

Но количество атомов фосфора в обеих частях уравнения не будут соответствовать друг другу:

Следовательно, что бы добиться равенства, необходимо удвоить количество фосфора в левой части уравнения, поставив коэффициент «2»:

Таким образом, равенство по фосфору соблюдено и в целом, уравнение примет вид:

2Р + 5Cl 2 = 2РCl 5 (21)

При составлении уравнений по валентностям необходимо дать определение валентности и установить значения для наиболее известных элементов. Валентность – это одно из ранее применяемых понятий, в настоящее время в ряде школьных программ не используется. Но при его помощи легче объяснить принципы составления уравнений химических реакций. Под валентностью понимают число химических связей, которые тот или иной атом может образовывать с другим, или другими атомами . Валентность не имеет знака (+ или -) и обозначается римскими цифрами, как правило, над символами химических элементов, например:

Откуда берутся эти значения? Как их применять при составлении химических уравнений? Числовые значения валентностей элементов совпадают с их номером группы Периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева (Таблица 1).

Для других элементов значения валентностей могут иметь иные значения, но никогда не больше номера группы, в которой они расположены. Причём для чётных номеров групп (IV и VI) валентности элементов принимают только чётные значения, а для нечётных – могут иметь как чётные, так и нечётные значения (Таблица.2).

Конечно же, в значениях валентностей для некоторых элементов имеются исключения, но в каждом конкретном случае эти моменты обычно оговариваются. Теперь рассмотрим общий принцип составления химических уравнений по заданным валентностям для тех или иных элементов. Чаще всего данный метод приемлем в случае составления уравнений химических реакций соединения простых веществ, например, при взаимодействии с кислородом (реакции окисления ). Допустим, необходимо отобразить реакцию окисления алюминия . Но напомним, что металлы обозначаются единичными атомами (Al), а неметаллы, находящиеся в газообразном состоянии – с индексами «2» - (О 2). Сначала напишем общую схему реакции:

Al + О 2 →AlО

На данном этапе ещё не известно, какое правильное написание должно быть у оксида алюминия. И вот именно на данном этапе нам на помощь придёт знание валентностей элементов. Для алюминия и кислорода проставим их над предполагаемой формулой этого оксида:

III II
Al О

После чего «крест»-на-«крест» у этих символов элементов поставим внизу соответствующие индексы:

III II
Al 2 О 3

Состав химического соединения Al 2 О 3 определён. Дальнейшая схема уравнения реакции примет вид:

Al+ О 2 →Al 2 О 3

Остаётся только уравнять левую и правую его части. Поступим таким же способом, как в случае составления уравнения (19). Количества атомов кислорода уравняем, прибегая к нахождению наименьшего кратного:

до реакции после реакции

О 2 О 3
\ 6 /

Разделим это число в левой части уравнения по кислороду на «2». Получим число «3», поставим его в решаемое уравнение. Так же разделим число «6» для правой части уравнения на «3». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:

Al + 3О 2 → 2Al 2 О 3

Что бы добиться равенства по алюминию, необходимо скорректировать его количество в левой части уравнения, поставив коэффициент «4»:

4Al + 3О 2 → 2Al 2 О 3

Таким образом, равенство по алюминию и кислороду соблюдено и в целом, уравнение примет окончательный вид:

4Al + 3О 2 = 2Al 2 О 3 (22)

Применяя метод валентностей, можно прогнозировать, какое вещество образуется в процессе химической реакции, как будет выглядеть его формула. Допустим, в реакцию соединения вступили азот и водород с соответствующими валентностями III и I. Напишем общую схему реакции:

N 2 + Н 2 → NН

Для азота и водорода проставим валентности над предполагаемой формулой этого соединения:

Как и прежде «крест»-на-«крест» у этих символов элементов поставим внизу соответствующие индексы:

III I
N Н 3

Дальнейшая схема уравнения реакции примет вид:

N 2 + Н 2 → NН 3

Уравнивая уже известным способом, через наименьшее кратное для водорода, равное «6»,получим искомые коэффициенты, и уравнение в целом:

N 2 + 3Н 2 = 2NН 3 (23)

При составлении уравнений по степеням окисления реагирующих веществ необходимо напомнить, что степенью окисления того или иного элемента называется число принятых или отданных в процессе химической реакции электронов. Степень окисления в соединениях в основном, численно совпадает со значениями валентностей элемента. Но отличаются знаком. Например, для водорода валентность равна I, а степень окисления (+1) или (-1). Для кислорода валентность равна II, а степень окисления (-2). Для азота валентности равны I,II,III,IV,V, а степени окисления (-3), (+1), (+2), (+3), (+4), (+5) и т.д. Степени окисления наиболее часто применяемых в уравнениях элементов, приведены в таблице 3.

В случае реакций соединения принцип составления уравнений по степеням окисления такой же, как и при составлении по валентностям. Например, приведём уравнение реакции окисления хлора кислородом, в которой хлор образует соединение со степенью окисления +7. Запишем предполагаемое уравнение:

Cl 2 + О 2 → ClО

Поставим над предполагаемым соединением ClО степени окисления соответствующих атомов:

Как и в предыдущих случаях установим, что искомая формула соединения примет вид:

7 -2
Cl 2 О 7

Уравнение реакции примет следующий вид:

Cl 2 + О 2 → Cl 2 О 7

Уравнивая по кислороду, найдя наименьшее кратное между двумя и семи, равное «14», установим в итоге равенство:

2Cl 2 + 7О 2 = 2Cl 2 О 7 (24)

Несколько иной способ необходимо применять со степенями окисления при составлении реакций обмена, нейтрализации, замещения. В ряде случаев предоставляется затруднительным узнать: какие соединения образуются при взаимодействии сложных веществ?

Как узнать: что получится в процессе реакции?

Действительно, как узнать: какие продукты реакции могут возникнут в ходе конкретной реакции? К примеру, что образуется при взаимодействии нитрата бария и сульфата калия?

Ва(NО 3) 2 + К 2 SO 4 → ?

Может быть ВаК 2 (NО 3) 2 + SO 4 ? Или Ва + NО 3 SO 4 + К 2 ? Или ещё что-то? Конечно же, в процессе этой реакции образуются соединения: ВаSO 4 и КNО 3 . А откуда это известно? И как правильно написать формулы веществ? Начнём с того, что чаще всего упускается из вида: с самого понятия «реакция обмена». Это значит, что при данных реакциях вещества меняются друг с другом составными частями. Поскольку реакции обмена в большинстве своём осуществляются межу основаниями, кислотами или солями, то частями, которыми они будут меняться, являются катионы металлов (Na + , Mg 2+ ,Al 3+ ,Ca 2+ ,Cr 3+), ионов Н + или ОН - , анионов – остатков кислот, (Cl - , NO 3 2- ,SO 3 2- , SO 4 2- , CO 3 2- , PO 4 3-). В общем виде реакцию обмена можно привести в следующей записи:

Kt1An1 + Kt2An1 = Kt1An2 + Kt2An1 (25)

Где Kt1 и Kt2 – катионы металлов (1) и (2), а An1 и An2 – соответствующие им анионы (1) и (2). При этом обязательно надо учитывать, что в соединениях до реакции и после реакции на первом месте всегда устанавливаются катионы, а анионы – на втором. Следовательно, если в реакцию вступит хлорид калия и нитрат серебра , оба в растворённом состоянии

KCl + AgNO 3 →

то в процессе её образуются вещества KNO 3 и AgClи соответствующее уравнение примет вид:

KCl + AgNO 3 =KNO 3 + AgCl (26)

При реакциях нейтрализации протоны от кислот (Н +) будут соединяться с анионами гидроксила (ОН -) с образованием воды (Н 2 О):

НCl + КОН = КCl + Н 2 O (27)

Степени окисления катионов металлов и заряды анионов кислотных остатков указаны в таблице растворимости веществ (кислот, солей и оснований в воде). По горизонтали приведены катионы металлов, а по вертикали – анионы кислотных остатков.

Исходя из этого, при составлении уравнения реакции обмена, необходимо вначале в левой его части установить степени окисления принимающих в этом химическом процессе частиц. Например, требуется написать уравнение взаимодействия между хлоридом кальция и карбонатом натрия.Составим исходную схему этой реакции:

СаCl + NаСО 3 →

Са 2+ Cl - + Nа + СО 3 2- →

Совершив уже известное действие «крест»-на-«крест», определим реальные формулы исходных веществ:

СаCl 2 + Nа 2 СО 3 →

Исходя из принципа обмена катионами и анионами (25), установим предварительные формулы образующихся в ходе реакции веществ:

СаCl 2 + Nа 2 СО 3 → СаСО 3 + NаCl

Над их катионами и анионами проставим соответствующие заряды:

Са 2+ СО 3 2- + Nа + Cl -

Формулы веществ записаны правильно, в соответствии с зарядами катионов и анионов. Составим полное уравнение, уравняв левую и правую его части по натрию и хлору:

СаCl 2 + Nа 2 СО 3 = СаСО 3 + 2NаCl (28)

В качестве другого примера приведём уравнение реакции нейтрализации между гидроксидом бария и ортофосфорной кислотой:

ВаОН + НРО 4 →

Над катионами и анионами проставим соответствующие заряды:

Ва 2+ ОН - + Н + РО 4 3- →

Определим реальные формулы исходных веществ:

Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 →

Исходя из принципа обмена катионами и анионами (25), установим предварительные формулы образующихся в ходе реакции веществ, учитывая, что при реакции обмена одним из веществ обязательно должна быть вода:

Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 2+ РО 4 3- + Н 2 O

Определим правильную запись формулы соли, образовавшейся в процессе реакции:

Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O

Уравняем левую часть уравнения по барию:

3Ва (ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O

Поскольку в правой части уравнения остаток ортофосфорной кислоты взят дважды, (РО 4) 2 , то слева необходимо также удвоить её количество:

3Ва (ОН) 2 + 2Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O

Осталось привести в соответствие количество атомов водорода и кислорода в правой части у воды. Так как слева общее количество атомов водорода равно 12, то справа оно так же должно соответствовать двенадцати, поэтому перед формулой воды необходимо поставить коэффициент «6» (поскольку в молекуле воды уже имеется 2 атома водорода). По кислороду так же соблюдено равенство: слева 14 и справа 14. Итак, уравнение имеет правильную форму записи:

3Ва (ОН) 2 + 2Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + 6Н 2 O (29)

Возможность осуществления химических реакций

Мир состоит из великого множества веществ. Неисчислимо так же количество вариантов химических реакций между ними. Но можем ли мы, написав на бумаге то или иное уравнение утверждать, что ему будет соответствовать химическая реакция? Существует ошибочное мнение, что если правильно расставить коэффициенты в уравнении, то оно будет осуществимо и на практике. Например, если взять раствор серной кислоты и опустить в него цинк , то можно наблюдать процесс выделения водорода:

Zn+ H 2 SO 4 = ZnSO 4 + H 2 (30)

Но если в этот же раствор опустить медь, то процесс выделения газа наблюдаться не будет. Реакция не осуществима.

Cu+ H 2 SO 4 ≠

В случае, если будет взята концентрированная серная кислота, она будет реагировать с медью:

Cu + 2H 2 SO 4 = CuSO 4 + SO 2 + 2Н 2 O (31)

В реакции (23) между газами азотом и водородом наблюдается термодинамическое равновесие, т.е. сколько молекул аммиака NН 3 образуется в единицу времени, столько же их и распадётся обратно на азот и водород. Смещение химического равновесия можно добиться повышением давления и понижением температуры

N 2 + 3Н 2 = 2NН 3

Если взять раствор гидроксида калия и прилить к нему раствор сульфата натрия , то никаких изменений наблюдаться не будет, реакция будет не осуществима:

КОН + Na 2 SO 4 ≠

Раствор хлорида натрия при взаимодействии с бромом не будет образовывать бром, несмотря на то, что данная реакция может быть отнесена к реакции замещения:

NаCl + Br 2 ≠

В чём же причины таких несоответствий? Дело в том, что оказывается недостаточно только правильно определять формулы соединений , необходимо знать специфику взаимодействия металлов с кислотами, умело пользоваться таблицей растворимости веществ, знать правила замещения в ряду активности металлов и галогенов. В этой статье излагаются только самые основные принципы как расставить коэффициенты в уравнениях реакций , как написать молекулярные уравнения , как определить состав химического соединения.

Химия, как наука, чрезвычайно разнообразна и многогранна. В приведённой статье отражена лишь малая часть процессов, происходящих в реальном мире. Не рассмотрены типы , термохимические уравнения, электролиз, процессы органического синтеза и многое, многое другое. Но об этом в следующих статьях.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Поговорим о том, как составить химическое уравнение, ведь именно они являются основными элементами данной дисциплины. Благодаря глубокому осознанию всех закономерностей взаимодействий и веществ, можно управлять ими, применять их в различных сферах деятельности.

Теоретические особенности

Составление химических уравнений - важный и ответственный этап, рассматриваемый в восьмом классе общеобразовательных школ. Что должно предшествовать данному этапу? Прежде чем педагог расскажет своим воспитанникам о том, как составить химическое уравнение, важно познакомить школьников с термином «валентность», научить их определять данную величину у металлов и неметаллов, пользуясь таблицей элементов Менделеева.

Составление бинарных формул по валентности

Для того чтобы понять, как составить химическое уравнение по валентности, для начала нужно научиться составлять формулы соединений, состоящих из двух элементов, пользуясь валентностью. Предлагаем алгоритм, который поможет справиться с поставленной задачей. Например, необходимо составить формулу оксида натрия.

Сначала важно учесть, что тот химический элемент, который в названии упоминается последним, в формуле должен располагаться на первом месте. В нашем случае первым будет записываться в формуле натрий, вторым кислород. Напомним, что оксидами называют бинарные соединения, в которых последним (вторым) элементом обязательно должен быть кислород со степенью окисления -2 (валентностью 2). Далее по таблице Менделеева необходимо определить валентности каждого из двух элементов. Для этого используем определенные правила.

Так как натрий - металл, который располагается в главной подгруппе 1 группы, его валентность является неизменной величиной, она равна I.

Кислород - это неметалл, поскольку в оксиде он стоит последним, для определения его валентности мы из восьми (число групп) вычитаем 6 (группу, в которой находится кислород), получаем, что валентность кислорода равна II.

Между определенными валентностями находим наименьшее общее кратное, затем делим его на валентность каждого из элементов, получаем их индексы. Записываем готовую формулу Na 2 O.

Инструкция по составлению уравнения

А теперь подробнее поговорим о том, как составить химическое уравнение. Сначала рассмотрим теоретические моменты, затем перейдем к конкретным примерам. Итак, составление химических уравнений предполагает определенный порядок действий.

• 1-й этап. Прочитав предложенное задание, необходимо определить, какие именно химические вещества должны присутствовать в левой части уравнения. Между исходными компонентами ставится знак «+».
• 2-й этап. После знака равенства необходимо составить формулу продукта реакции. При выполнении подобных действий потребуется алгоритм составления формул бинарных соединений, рассмотренный нами выше.
• 3-й этап. Проверяем количество атомов каждого элемента до и после химического взаимодействия, в случае необходимости ставим дополнительные коэффициенты перед формулами.

Пример реакции горения

Попробуем разобраться в том, как составить химическое уравнение горения магния, пользуясь алгоритмом. В левой части уравнения записываем через сумму магний и кислород. Не забываем о том, что кислород является двухатомной молекулой, поэтому у него необходимо поставить индекс 2. После знака равенства составляем формулу получаемого после реакции продукта. Им будет в котором первым записан магний, а вторым в формуле поставим кислород. Далее по таблице химических элементов определяем валентности. Магний, находящийся во 2 группе (главной подгруппе), имеет постоянную валентность II, у кислорода путем вычитания 8 - 6 также получаем валентность II.

Запись процесса будет иметь вид: Mg+O 2 =MgO.

Для того чтобы уравнение соответствовало закону сохранения массы веществ, необходимо расставить коэффициенты. Сначала проверяем количество кислорода до реакции, после завершения процесса. Так как было 2 атома кислорода, а образовался всего один, в правой части перед формулой оксида магния необходимо добавить коэффициент 2. Далее считаем число атомов магния до и после процесса. В результате взаимодействия получилось 2 магния, следовательно, в левой части перед простым веществом магнием также необходим коэффициент 2.

Итоговый вид реакции: 2Mg+O 2 =2MgO.

Пример реакции замещения

Любой конспект по химии содержит описание разных видов взаимодействий.

В отличие от соединения, в замещении и в левой, и в правой части уравнения будет два вещества. Допустим, необходимо написать реакцию взаимодействия между цинком и Алгоритм написания используем стандартный. Сначала в левой части через сумму пишем цинк и соляную кислоту, в правой части составляем формулы получаемых продуктов реакции. Так как в электрохимическом ряду напряжений металлов цинк располагается до водорода, в данном процессе он вытесняет из кислоты молекулярный водород, образует хлорид цинка. В результате получаем следующую запись: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2 .

Теперь переходим к уравниванию количества атомов каждого элемента. Так как в левой части хлора был один атом, а после взаимодействия их стало два, перед формулой соляной кислоты необходимо поставить коэффициент 2.

В итоге получаем готовое уравнение реакции, соответствующее закону сохранения массы веществ: Zn+2HCL=ZnCl 2 +H 2 .

Заключение

Типичный конспект по химии обязательно содержит несколько химических превращений. Ни один раздел этой науки не ограничивается простым словесным описанием превращений, процессов растворения, выпаривания, обязательно все подтверждается уравнениями. Специфика химии заключается в том, что с все процессы, которые происходят между разными неорганическими либо органическими веществами, можно описать с помощью коэффициентов, индексов.

Чем еще отличается от других наук химия? Химические уравнения помогают не только описывать происходящие превращения, но и проводить по ним количественные вычисления, благодаря которым можно осуществлять лабораторное и промышленное получение разных веществ.

Уравнение параболы является квадратичной функцией. Существует несколько вариантов составления этого уравнения. Все зависит от того, какие параметры представлены в условии задачи.

Инструкция

Парабола представляет собой кривую, которая по своей форме напоминает дугу и является графиком степенной функции. Независимо от того, характеристики имеет парабола, эта является четной. Четной называется такая функция, у при всех значениях аргумента из определения при изменении знака аргумента значение не изменяется:f(-x)=f(x)Начните с самой простую функции: y=x^2. Из ее вида можно сделать вывод, что она как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента x. Точка, в которой x=0, и при этом, y =0 считается точкой .

Ниже приведены все основные варианты построения этой функции и ее . В качестве первого примера ниже рассмотрена функция вида:f(x)=x^2+a, где a - целое числоДля того, чтобы построить график данной функции, необходимо сдвинуть график функции f(x) на a единиц. Примером может служить функция y=x^2+3, где вдоль оси y сдвигают функцию на две единицы. Если дана функция с противоположным знаком, например y=x^2-3, то ее график сдвигают вниз по оси y.

Еще один вид функции, которой может быть задана парабола - f(x)=(x +a)^2. В таких случаях график, наоборот, сдвигается вдоль оси абсцисс (оси x) на a единиц. Для примера можно рассмотреть функции: y=(x +4)^2 и y=(x-4)^2. В первом случае, где имеется функция со знаком плюс, график сдвигают по оси x влево, а во втором случае - вправо. Все эти случаи показаны на рисунке.