Если умножить число само на себя, получится возведение в квадрат . Даже первоклассник знает, что «дважды два - четыре». Трехзначные, четырехзначные и т.д. числа лучше перемножать в столбик или на калькуляторе, а вот с двузначными справляйтесь без электронного помощника, умножая в уме.

Инструкция

Разложите любое двузначное число на составляющие, выделив количество единиц. В числе 96 количество единиц - 6. Поэтому можно записать: 96 = 90 + 6.

Возведите в квадрат первое из чисел: 90 * 90 = 8100.

Аналогично сделайте со вторым число м: 6 * 6 = 36

Перемножьте числа между собой и удвойте результат: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

Сложите результаты второго, третьего и четвертого шагов: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Это и есть результат возведения в квадрат числа 96. После некоторой тренировки сможете быстро делать шаги в уме, удивляя родителей и одноклассников. Пока не освоились, записывайте результаты каждого шага, чтобы не запутаться.

Для тренировки возведите в квадрат число 74 и проверьте себя на калькуляторе. Последовательность действий: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

Возведите во вторую степень число 81. Ваши действия: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

Запомните особый способ возведения в квадрат двузначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5. Выделите количество десятков: в числе 75 их 7 штук.

Умножьте количество десятков на следующую цифру в число вом ряду: 7 * 8 = 56.

Припишите справа число 25: 5625 - результат возведения в квадрат числа 75.

Для тренировки возведите во вторую степень число 95. Оно оканчивается на цифру 5, поэтому последовательность действий: 9 * 10 = 90, 9025 - результат.

Научитесь возводить в квадрат отрицательные числа: -95 в квадрат е равно 9025, как в одиннадцатом шаге. Аналогично -74 в квадрат е равно 5476, как в шестом шаге. Это связано с тем, что при умножении двух отрицательных чисел всегда получается положительное число : -95 * -95 = 9025. Поэтому при возведении в квадрат можете просто не обращать внимания на знак «минус».

Полезный совет

Чтобы тренировка не была скучной, позовите на помощь друга. Пусть он пишет двузначное число, а вы - итог возведения этого числа в квадрат. Затем меняйтесь местами.

Одним из наиболее частых математических действий, применяемых в инженерных и других вычислениях, является возведение числа во вторую степень, которую по-другому называют квадратной. Например, данным способом рассчитывается площадь объекта или фигуры. К сожалению, в программе Excel нет отдельного инструмента, который возводил бы заданное число именно в квадрат. Тем не менее, эту операцию можно выполнить, использовав те же инструменты, которые применяются для возведения в любую другую степень. Давайте выясним, как их следует использовать для вычисления квадрата от заданного числа.

Как известно, квадрат числа вычисляется его умножением на самого себя. Данные принципы, естественно, лежат в основе вычисления указанного показателя и в Excel. В этой программе возвести число в квадрат можно двумя способами: использовав знак возведения в степень для формул «^» и применив функцию СТЕПЕНЬ . Рассмотрим алгоритм применения данных вариантов на практике, чтобы оценить, какой из них лучше.

Способ 1: возведение с помощью формулы

Прежде всего, рассмотрим самый простой и часто используемый способ возведения во вторую степень в Excel, который предполагает использование формулы с символом «^» . При этом, в качестве объекта, который будет возведен в квадрат, можно использовать число или ссылку на ячейку, где данное числовое значение расположено.

Общий вид формулы для возведения в квадрат следующий:

В ней вместо «n» нужно подставить конкретное число, которое следует возвести в квадрат.

Посмотрим, как это работает на конкретных примерах. Для начала возведем в квадрат число, которое будет составной частью формулы.

Теперь давайте посмотрим, как возвести в квадрат значение, которое расположено в другой ячейке.

Способ 2: использование функции СТЕПЕНЬ

Также для возведения числа в квадрат можно использовать встроенную функцию Excel СТЕПЕНЬ . Данный оператор входит в категорию математических функций и его задачей является возведение определенного числового значения в указанную степень. Синтаксис у функции следующий:

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргумент «Число» может представлять собой конкретное число или ссылку на элемент листа, где оно расположено.

Аргумент «Степень» указывает на степень, в которую нужно возвести число. Так как перед нами поставлен вопрос возведения в квадрат, то в нашем случае данный аргумент будет равен 2 .

Теперь посмотрим на конкретном примере, как производится возведение в квадрат с помощью оператора СТЕПЕНЬ .

Также для решения поставленной задачи вместо числа в виде аргумента можно использовать ссылку на ячейку, в которой оно расположено.

Как известно, площадь прямоугольника вычисляется перемножением длин двух его различных сторон. У квадрата все стороны равны, поэтому нужно перемножить сторону саму на себя. Отсюда и возникло выражение "возвести в квадрат". Пожалуй, самый простой способ возвести любое число в квадрат – взять обычный калькулятор и перемножить нужное число само на себя. Если под рукой нет калькулятора – можно использовать встроенный калькулятор в мобильном телефоне. Для более продвинутых пользователей можно посоветовать воспользоваться приложением Office Microsoft Excel, особенно, если подобные вычисления нужно проводить достаточно часто. Для этого необходимо выделить произвольную ячейку, например G7, и вписать в нее формулу =F7*F7. Далее в ячейку F7 ввести любое число, а в ячейке G7 получить результат.

Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 5. Для возведения в квадрат этого числа нужно отбросить последнюю цифру числа. Полученное число необходимо перемножить с числом на 1 большим. Затем нужно дописать число 25 справа после полученного результата. Пример. Пусть требуется получить квадрат числа 35. После того, как будет отброшена последняя цифра 5, остается число 3. Добавляется 1- получается число 4.3х4=12. Дописывается 25 и получается результат 1225. 35х35=3*4 дописать 25=1225.

Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 6. Этот алгоритм подойдет для тех, кто разобрался с вопросом, как возвести в квадрат число, оканчивающиеся на цифру 5. Как известно из математики, квадрат двучлена можно рассчитать по формуле (А+В) х(А+В) =АхА+2хАхВ + ВхВ. В случае с возведением в квадрат числа A, последняя цифра которого 6, это число можно предтставить как А=В+1, где В - число, которое на 1 меньше числа А, поэтому его последняя цифра - 5. В этом случае формулу можно представить в более простом виде (В+1) х(B+1) =ВхВ+2хВх1+1х1=ВхВ + 2хВ+1. Пусть для примера это число будет 16. Решение 16 х16=15 х15+2х15 х1+1х1=225+30+1=256Устное правило: для того, чтобы найти квадрат числа, заканчивающегося на 6: нужно предыдущее число возвести в квадрат, добавить два раза предыдущее число и добавить 1.

Как возвести в квадрат числа от 11 до 29. Для возведения в квадрат чисел от 11 до 19, нужно к исходному числу добавить число единиц, получившийся результат умножить на 10 и приписать справа возведенное в квадрат число единиц. Пример. Возвести в квадрат 13. Число единиц в этом числе – 3. Далеетребуется вычислить промежуточное число 13+3=16. Затем умножить его на 10. Получается 160. Квадрат числа единиц 3х3=9. Итоговый результат 169. Для чисел третьего десятка применяется аналогичный алгоритм, только умножать нужно на 20 и квадрат единиц прибавлять, а не приписывать. Пример. Вычислить квадрат числа 24. Находится число единиц – 4. Вычисляется промежуточное число – 24+4=28. После умножения на 20 получается 560. Квадрат числа единиц 4х4=16. Итоговый результат 560+16=576.

Как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Алгоритм достаточно прост. Сначала нужно найти, насколько данное число больше или меньше середины диапазона числа 50. К полученному результату добавить (если число больше 50) или вычесть (если число меньше 50) 25. Полученную сумму (или разность) умножить на 100. К полученному результату добавить квадрат разности между числом, квадрат которого нужно найти, и числом 50. Пример: нужно найти квадрат числа 46. Разность 50-46=4.5-4=1.1х100=0.4х4=6.0+16=2116. Итог: 46х46=2116.

Еще один прием как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Для того, чтобы вычислить квадрат числа от 40 до 49, необходимо число единиц увеличить на 15, полученный результат умножить на 100, справа от него приписать квадрат разности между последней цифрой заданного числа и 10. Пример. Вычислить квадрат числа 42. Число единиц этого числа - 2. Добавляется 15: 2+15=17. Находится разность этого же числа единиц и 10. Она равна 8. Возводится в квадрат: 8х8=64. Число 64 приписывается справа к предыдущему результату 17. Получается итоговое число 1764. Если число находится в диапазоне от 51 до 59, то для возведения его в квадрат используется тот же алгоритм, только к числу единиц нужно прибавлять 25.

Как возводить в квадрат в уме любое двузначное число. Если человек знает, как возводить в квадрат однозначные числа, другими словами - знает таблицу умножения, то у него не возникнет проблем при вычислении квадратов двузначных чисел. Пример. Нужно возвести двузначное число 36 в квадрат. Это число умножается на количество своих десятков. 36х3=8. Далее нужно найти произведение цифр числа: 3х6=18. Затем сложить оба результата. 108+18=126. Следующий шаг: нужно возвести в квадрат единицы исходного числа: 6х6=36. В полученном произведении определяется количество десятков – 3 и добавляется к предыдущему результату: 126+3=129. И последний шаг. Справа от полученного результата приписывается количество единиц исходного числа, в данном примере - 6. Конечный результат – число 1296.

Существует множество способов как возводить в квадрат различные числа. Некоторые из приведенных алгоритмов достаточно простые, некоторые – достаочно громоздкие и на первый взгляд непонятные. Многими из них люди пользуются веками. Каждый человек может сам разработать свои собственные более понятные и интересные алгоритмы. Но если есть проблемы с устным счетом или возникли другие трудности – придется привлечь технические средства.

Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.

Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:

\[{{34}^{2}}=\times \frac{34}{\frac{34}{+\frac{136}{\frac{102}{1156}}}}\]

1156 — это и есть квадрат 34.

Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:

1) он требует письменного оформления;

2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.

Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.

Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:

\[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\]

\[{{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\]

Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.

Например, 28 можно представить в следующем виде:

\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end{align}\]

Аналогично представляем оставшиеся примеры:

\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end{align}\]

Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.

Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:

\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 30-2 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 80-3 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 30-4 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 40-1 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\\end{align}\]

Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности. Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.

Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.

Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

И так со всеми числами, отличающимися на единицу.

Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:

\[\begin{align}& {{26}^{2}}=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end{align}\]

При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.

Ключевые моменты

С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!

Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:

\[\begin{align}& {{10}^{2}}=100,{{20}^{2}}=400,{{30}^{2}}=900,..., \\& {{80}^{2}}=6400,{{90}^{2}}=8100. \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{34}^{2}}={{(30+4)}^{2}}={{30}^{2}}+2\cdot 30\cdot 4+{{4}^{2}}= \\& =900+240+16=1156; \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{27}^{2}}={{(30-3)}^{2}}={{30}^{2}}-2\cdot 30\cdot 3+{{3}^{2}}= \\& =900-180+9=729. \\\end{align}\]

Как считать еще быстрее

Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:

\[\begin{align}& {{14}^{2}}={{15}^{2}}-14-15= \\& =225-29=196. \\\end{align}\]

Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:

\[\begin{align}& {{31}^{2}}={{30}^{2}}+30+31= \\& =900+61=961. \\\end{align}\]

Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:

\[\begin{align}& {{(n-1)}^{2}}=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1)= \\& =={{n}^{2}}-n-(n-1) \\\end{align}\]

— это и есть формула.

\[\begin{align}& {{(n+1)}^{2}}=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1)= \\& ={{n}^{2}}+n+(n+1) \\\end{align}\]

— аналогичная формула для чисел, больших на 1.

Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!

23 октября 2016 в 16:37

Красота чисел. Как быстро вычислять в уме

• Научно-популярное

Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»

Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман! » поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.

Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (50 2 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.

Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой умножение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.

Логарифмическая линейка

До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов - около 3 значащих цифр.

Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней - самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.

Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 - это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 - это около одной трети квадратного корня из 3».

Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.

В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.

Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт » 1941 года издательства.

1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат

2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.

3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 × 25 удобнее умножать как 25 × 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 × 25, то есть 7,75 × 100.

При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.

8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 85 2 = 7225

Почему действует это правило, видно из формулы:

(10Х + 5) 2 = 100Х 2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25

Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Конечно же, все способы можно сочетать между собой, создавая более удобные и эффективные приёмы для конкретных ситуаций.