ユークリッド幾何学の線の特性。

任意のポイントを通じて、無限に多くの線を描くことができます。

2つの不一致ポイントを介して、単一の線を描画できます。

平面上の2つの不一致線は、単一の点で交差するか、

並行（前の手順に続く）。

3次元空間では、2本の線を相互に配置するための3つのオプションがあります。

• 直線が交差する;

• 直線は平行です。

• 行が交差しています。

直接 ライン   -1次の代数曲線：デカルト座標系では直線

は、1次の方程式（線形方程式）によって平面上で定義されます。

線の一般的な方程式。

定義。 平面上の任意の線は、一次方程式で定義できます

x +呉+ C \u003d 0、

定数で A、B   同時にゼロではありません。 この一次方程式は 一般的な

線の方程式。   定数の値に応じて A、B   そして と   次の特殊なケースが可能です。

. C \u003d 0、A≠0、B≠0   -線は原点を通る

. A \u003d 0、B≠0、C≠0（By + C \u003d 0）-線は軸に平行です おお

. B \u003d 0、A≠0、C≠0（Ax + C \u003d 0）   -線は軸に平行です ああ

. B \u003d C \u003d 0、A≠0   -線は軸と一致します ああ

. A \u003d C \u003d 0、B≠0   -線は軸と一致します おお

直線の方程式は、与えられたものに応じて異なる形式で表すことができます

初期条件。

点と法線ベクトルに関する直線の方程式。

定義。 直交直交座標系では、成分（A、B）を持つベクトル

方程式によって与えられる線に垂直

Ax + Wu + C \u003d 0。

例。 点を通る直線の方程式を見つける   A（1、2）   ベクトルに垂直 (3, -1).

解決策。 A \u003d 3およびB \u003d -1で、次の直線の方程式を構成します：3x-y + C \u003d0。係数Cを見つけるには

結果の式に与えられた点Aの座標を代入すると、次のようになります。3-2 + C \u003d 0

C \u003d -1 合計：目的の方程式：3x-y-1 \u003d 0

2点を通る直線の方程式。

空間に2点を与える M 1（x 1、y 1、z 1）そして M2（x 2、y 2、z 2）、   それから 直線方程式,

これらのポイントを通過：

分母のいずれかがゼロに等しい場合、対応する分子はゼロに等しくなければなりません。 に

平面上に書かれた線の方程式は単純化されます：

もし x 1≠x 2   そして x \u003d x 1   もし x 1 \u003d x 2 .

分数 \u003d k   呼ばれた 角係数 直接.

例。 点A（1、2）とB（3、4）を通る直線の方程式を見つけます。

解決策。 上記の式を使用すると、次が得られます。

点と角度係数に関する直線の方程式。

一般方程式が直線の場合 x +呉+ C \u003d 0   思い起こさせる：

そして示す 、結果の方程式は呼ばれます

角係数kの線の方程式。

ポイントとガイドベクトルに関する直線の方程式。

法線ベクトルを通る線の方程式を考慮したアイテムとの類推により、タスクを入力できます

点と線の方向ベクトルを通る線。

定義。 各非ゼロベクトル （α1、α2）成分が条件を満たしている

Aα1 +Bα2 \u003d 0   呼ばれた 線の方向ベクトル。

Ax + Wu + C \u003d 0。

例。 方向ベクトル（1、-1）を持ち、ポイントA（1、2）を通る直線の方程式を見つけます。

解決策。 目的の線の方程式は、次の形式で求められます。 Ax + By + C \u003d 0。   定義によると

係数は条件を満たす必要があります。

1 * A +（-1）* B \u003d 0、つまり A \u003d B

その場合、線の方程式は次の形式になります。   Ax + Ay + C \u003d 0、   または x + y + C / A \u003d 0。

で x \u003d 1、y \u003d 2私たちは得る C / A \u003d -3、つまり 望ましい方程式：

x + y-3 \u003d 0

セグメントの線の方程式。

線Ax + Wy + C \u003d 0 C≠0の一般式で、-Cで割ると、次のようになります。

  またはどこ

係数の幾何学的意味は、係数aが交点の座標であることです

軸とまっすぐ おお   でも b   -線と軸の交点の座標 ああ

例。 線の一般的な方程式が与えられます   x-y + 1 \u003d 0。この線の方程式をセグメントで見つけます。

C \u003d 1、a \u003d -1、b \u003d 1。

正規方程式は直線です。

方程式の両側 x +呉+ C \u003d 0   数で割る 呼ばれた

正規化係数その後、我々は得る

xcosφ+ysinφ-p \u003d 0-線の正規方程式.

正規化係数の符号±は、次のように選択する必要があります。 μ* C< 0.

p   -垂線の長さ、原点から直線への省略、

でも φ   -この垂直線と正の軸方向によって形成される角度 おお

例。 線の一般式が与えられます。 12x-5u-65 \u003d 0。 さまざまなタイプの方程式を書くことが必要です

この行。

この線のセグメントの方程式:

角係数を持つこの線の方程式：（5で割る）

直線方程式:

cosφ\u003d 12/13; sinφ\u003d -5/13; p \u003d 5。

すべての直線がセグメントの方程式で表現できるわけではないことに注意してください。たとえば、直線、

軸に平行または原点を通過します。

平面上の線の間の角度。

定義。 2行が与えられた場合 y \u003d k 1 x + b 1、y \u003d k 2 x + b 2   これらの線の間の鋭角

として決定されます

2本の線が平行である場合 k 1 \u003d k 2。 2本の直線は垂直です

もし k 1 \u003d -1 / k 2 .

定理.

直接 x +呉+ C \u003d 0そして A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0   係数が比例している場合は平行

A 1 \u003dλA、B 1 \u003dλB。 もしも C 1 \u003dλC、その後、線が一致します。 2本の線の交点の座標

これらの線の方程式系の解として見つけられます。

与えられた線に垂直な与えられた点を通る直線の方程式。

定義。 点を通る線 M 1（x 1、y 1）   そして、線に垂直 y \u003d kx + b

方程式で表されます：

ポイントからラインまでの距離。

定理。 ポイントが指定されている場合 M（x 0、y 0）、   それから線までの距離 x +呉+ C \u003d 0定義：

証明。 ポイントを聞かせて M 1（x 1、y 1）   -点から落ちた垂線の底 M与えられた

直接。 次に、ポイント間の距離 Mそして M 1:

(1)

座標 x 1   そして 1時   方程式系の解として見つけることができます：

システムの2番目の方程式は、与えられた点M 0を垂直に通る直線の方程式です。

与えられた行。 システムの最初の方程式を次の形式に変換する場合：

A（x-x 0）+ B（y-y 0）+ Ax 0 + By 0 + C \u003d 0、

次に、解決すると、次のようになります。

式（1）のこれらの式を代入すると、次のことがわかります。

定理は証明されています。

平面上の直線の方程式。

ご存知のように、平面上の任意の点は、任意の座標系の2つの座標によって決定されます。 座標系は、基底と原点の選択に応じて異なる場合があります。

定義   線の方程式   このラインを構成するポイントの座標間の関係y \u003d f（x）が呼び出されます。

線の方程式はパラメトリックな方法で表現できることに注意してください。つまり、各ポイントの各座標は、いくつかの独立したパラメーターを介して表現されます。 t.

典型的な例は、移動ポイントの軌跡です。 この場合、パラメーターの役割は時間によって再生されます。

平面上の直線の方程式。

定義   平面上の任意の線は、一次方程式で定義できます

x +呉+ C \u003d 0、

さらに、定数A、Bは同時にゼロではありません。 A 2 + B 20。この1次方程式は 線の一般的な方程式。

定数A、B、Cの値に応じて、次の特殊なケースが可能です。

C \u003d 0、A0、B0-線は原点を通る

A \u003d 0、B0、C0（By + C \u003d 0）-線は軸Oxに平行です

B \u003d 0、A0、C0（Ax + C \u003d 0）-線は軸Oyに平行

B \u003d C \u003d 0、A0-線は軸Oyと一致します

A \u003d C \u003d 0、B0-線は軸Oxと一致します

直線の方程式は、特定の初期条件に応じて異なる形式で表示できます。

点と法線ベクトルに関する直線の方程式。

定義   直交直交座標系では、成分（A、B）を持つベクトルは、式Ax + Vu + C \u003d 0で定義される線に垂直です。

例。   ベクトルに垂直な点A（1、2）を通る直線の方程式を見つける (3, -1).

A \u003d 3およびB \u003d -1で、3x-y + C \u003d 0の直線を作成します。係数Cを見つけるには、指定されたポイントAの座標を代入します。

次のようになります：3-2 + C \u003d 0、したがってC \u003d -1。

合計：目的の方程式：3x-y-1 \u003d 0

2点を通る直線の方程式。

2つの点M 1（x 1、y 1、z 1）およびM 2（x 2、y 2、z 2）を空間で与え、次にこれらの点を通る直線の方程式を与えます。

分母のいずれかがゼロに等しい場合、対応する分子はゼロに等しくなければなりません。

平面上で、上記の直線の方程式は単純化されています：

x 1x 2かつx \u003d x 1の場合、x 1 \u003d x 2の場合

分数
\u003d kが呼び出されます 角係数   直接。

例。   点A（1、2）とB（3、4）を通る直線の方程式を見つけます。

上記の式を使用すると、次が得られます。

点と角度係数に関する直線の方程式。

線Ax + Wu + C \u003d 0の一般方程式が次の形式になる場合：

そして示す
、結果の方程式は呼ばれます 角係数を持つ線の方程式k.

ポイントとガイドベクトルに関する直線の方程式。

法線ベクトルを通る線の方程式を考慮したアイテムとの類推により、点を通る線の定義と線の方向ベクトルを入力できます。

定義   各非ゼロベクトル （1、2）、その成分が条件А1 +В2 \u003d 0を満たすものは、線の方向ベクトルと呼ばれます。

Ax + Wu + C \u003d 0。

例。   ガイドベクトルを使用して直線の方程式を見つける （1、-1）およびポイントA（1、2）を通過します。

目的の線の方程式は、Ax + By + C \u003d 0の形式で求められます。定義に従って、係数は次の条件を満たす必要があります。

1A+（-1）B\u003d 0、つまり A \u003d B

その場合、線の方程式は次の形式になります：Ax + Ay + C \u003d 0、またはx + y + C / A \u003d 0

x \u003d 1、y \u003d 2の場合、C / A \u003d -3、つまり 望ましい方程式：

セグメントの線の方程式。

線Ax + Wu + C \u003d 0 C line 0の一般式で、–Cで割ると、次のようになります。
  または

どこで

係数の幾何学的な意味は、係数が でも   は、線と軸Oxの交点の座標です。 b   -線と軸Oyの交点の座標。

例。 線x-y + 1 \u003d 0の一般方程式が与えられます。この線の方程式をセグメントで見つけます。

C \u003d 1
、a \u003d -1、b \u003d 1。

正規方程式は直線です。

方程式Ax + Wu + C \u003d 0の両方の部分が数値で除算される場合
呼ばれた 正規化係数その後、我々は得る

xcos+ysin-p \u003d 0-

線の正規方程式。

正規化係数の符号Theは、С< 0.

pは、原点から直線まで落ちた垂線の長さで、は、この垂線とOx軸の正の方向が形成する角度です。

例。   12x-5y-65 \u003d 0の行の一般式が与えられていますが、この行にはさまざまなタイプの式を書く必要があります。

セグメントのこのラインの方程式：

角係数を持つこの線の方程式：（5で割る）

線の正規方程式：

; cos\u003d 12/13; sin\u003d -5/13; p \u003d 5。

すべての直線がセグメントの方程式で表現できるわけではないことに注意してください。たとえば、軸に平行な直線や原点を通る直線などです。

例。   線は、座標軸上の等しい正のセグメントを切り取ります。 これらのセグメントによって形成される三角形の面積が8 cm 2の場合、直線方程式を作成します。

線の方程式の形式は次のとおりです。
、a \u003d b \u003d 1; ab / 2 \u003d 8; a \u003d 4; -4。

a \u003d -4は問題の条件に適合しません。

合計：
   またはx + y-4 \u003d 0。

例。   点A（-2、-3）と原点を通る直線の方程式を作成します。

線の方程式の形式は次のとおりです。
ここで、x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3。

平面上の線の間の角度。

定義   2本の線にy \u003d k 1 x + b 1、y \u003d k 2 x + b 2が与えられた場合、これらの線の間の鋭角は次のように定義されます。

.

k 1 \u003d k 2の場合、2本の線は平行です。

k 1 \u003d -1 / k 2の場合、2本の直線は垂直です。

定理 ラインAx + Wu + C \u003d 0およびA 1 x + B 1 y + s 1   \u003d 0は、係数Aが比例する場合に並列です 1 =  A、B 1 =  B. C 1 =  C、それから線が一致します。

2本の線の交点の座標は、これらの線の方程式系の解として求められます。

与えられた点を通る直線の方程式

この線に垂直。

定義   点M 1（x 1、y 1）を通り、線y \u003d kx + bに垂直な線は、次の方程式で表されます。

ポイントからラインまでの距離。

定理 点M（x 0 で 0 ）、直線Ax + Wy + C \u003d 0までの距離は次のように定義されます

.

証明。   点M 1（x 1、y 1）を、点Mから指定された線に落とされた垂線の基点とします。 次に、ポイントMとM 1の間の距離：

座標x 1およびy 1は、連立方程式の解として見つけることができます。

システムの2番目の方程式は、与えられた直線に垂直な与えられた点M 0を通る直線の方程式です。

システムの最初の方程式を次の形式に変換する場合：

A（x-x 0）+ B（y-y 0）+ Ax 0 + By 0 + C \u003d 0、

次に、解決すると、次のようになります。

式（1）のこれらの式を代入すると、次のことがわかります。

.

定理は証明されています。

例。   線の間の角度を決定します。y\u003d -3x + 7; y \u003d 2x + 1。

k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2tg\u003d
; \u003d/ 4。

例。   3x-5y + 7 \u003d 0および10x + 6y-3 \u003d 0の線が垂直であることを示します。

k 1 \u003d 3/5、k 2 \u003d -5 / 3、k 1 k 2 \u003d -1であるため、線は垂直です。

例。   三角形の頂点A（0; 1）、B（6; 5）、C（12; -1）が与えられます。 頂点Cから描かれた高さの方程式を見つけます。

辺ABの方程式を見つけます。
; 4x \u003d 6y-6;

2x-3y + 3 \u003d 0;

希望する高さの方程式の形式は、Ax + By + C \u003d 0またはy \u003d kx + bです。

k \u003d 。 その後、y \u003d
。 なぜなら 高さが点Cを通過すると、その座標は次の方程式を満たします。
whence b \u003d 17合計：
.

回答：3x + 2y-34 \u003d 0。

空間内の分析ジオメトリ。

空間内の線の方程式。

点に関する空間内の直線の方程式と

ガイドベクトル。

任意の線とベクトルを取る （m、n、p）与えられた線に平行。 ベクトル 呼ばれた ガイドベクトル   直接。

ライン上で、2つの任意の点M 0（x 0、y 0、z 0）とM（x、y、z）を取ります。

z

M 1

これらの点の半径ベクトルを そして 明らかに - =
.

なぜなら ベクトル
そして 共線、次に関係
= t、ここでtはパラメーターです。

合計、あなたは書くことができます： = + t。

なぜなら 線上の任意の点の座標がこの方程式を満たしている場合、結果の方程式は 直線パラメトリック方程式.

このベクトル方程式は、座標形式で表すことができます。

このシステムを変換し、パラメーターtの値を等化すると、空間内の直線の正準方程式が得られます。

.

定義 ガイドコサイン直接は、ベクトルの方向余弦と呼ばれます 次の式で計算できます。

;

.

ここから、m：n：p \u003dcos：cos：cosが得られます。

数字m、n、pは呼ばれます 角係数   直接。 なぜなら はゼロ以外のベクトルである場合、m、n、およびpは同時に消失することはできませんが、これらの数の1つまたは2つは消失する可能性があります。 この場合、対応する分子は線の方程式でゼロに等しくなければなりません。

空間通過における直線の方程式

2つのポイントを介して。

2つの任意の点M 1（x 1、y 1、z 1）およびM 2（x 2、y 2、z 2）が空間上の直線上にマークされている場合、これらの点の座標は上記で得られた直線方程式を満たさなければなりません：

.

さらに、ポイントM 1については次のように記述できます。

.

これらの方程式を一緒に解くと、次のようになります。

.

これは、空間内の2点を通る直線の方程式です。

空間内の線の一般方程式。

直線の方程式は、2つの平面の交線の方程式と考えることができます。

上で説明したように、ベクトル形式の平面は次の方程式で定義できます。

+ D \u003d 0、ここで

-平面に垂直; -radiusは、平面上の任意の点のベクトルです。

空間内の直線の正準方程式は、指定された点を同一直線上で方向ベクトルに通る直線を定義する方程式です。

点と方向ベクトルを与えてみましょう。 任意の点が線上にある l    ベクトルとが同一線上にある場合、つまり、それらの条件が満たされている場合のみ：

.

上記の方程式は、線の正準方程式です。

数字 m , n    そして p    は、座標軸上のガイドベクトルの投影です。 ベクトルは非ゼロなので、すべての数値 m , n    そして p    同時にゼロにすることはできません。 ただし、そのうちの1つまたは2つはゼロに等しい場合があります。 たとえば、分析ジオメトリでは、次のエントリが許可されます。

,

つまり、軸上のベクトルの投影 オイ    そして オズ    ゼロに等しい。 したがって、正準方程式で定義されたベクトルと直線の両方が軸に垂直です オイ    そして オズ   すなわち飛行機 よず .

例1   平面に垂直な空間で直線の方程式を作成する   この平面と軸との交点を通過する オズ .

解決策。 この平面と軸の交点を見つける オズ   。 軸上の任意の点から オズ   座標があり、与えられた方程式で平面を仮定します x \u003d y \u003d0、4を取得します z   -8 \u003d 0または z   \u003d 2。 したがって、この平面と軸の交点 オズ    座標（0; 0; 2）を持ちます。 目的の線は平面に垂直なので、法線ベクトルに平行です。 したがって、法線ベクトルは法線ベクトルとして機能できます。   与えられた飛行機。

ここで、点を通る線の目的の方程式を書きます A   \u003d（0; 0; 2）ベクトルの方向：

与えられた2点を通る直線の方程式

線は、その上にある2つの点で定義できます   そして   この場合、ベクトルはラインの方向ベクトルとして機能します。 次に、線の正準方程式は次の形式を取ります。

.

上記の式は、2つの与えられた点を通る線を決定します。

例2   点と点を通る空間内の直線の方程式を作成します。

解決策。 線の目的の方程式を、理論的背景で上記の形式で記述します。

.

求められた直線は軸に垂直であるため オイ .

平面の交差線として直線

空間内の直線は、2つの非平行な平面の交線、つまり2つの線形方程式のシステムを満たす点のセットとして定義できます。

システムの方程式は、空間内の線の一般方程式とも呼ばれます。

例3   一般方程式で定義された空間内の線の正準方程式を作成します

解決策。 直線の正準方程式、または同等に、与えられた2点を通る直線の方程式を書くには、直線の2点の座標を見つける必要があります。 直線と任意の2つの座標平面との交点として機能します。たとえば、 よず    そして xOz .

線と平面の交点 よず    横座標があります x   \u003d 0。 したがって、この連立方程式では x   \u003d 0、2つの変数を持つシステムを取得します。

彼女の決定 y = 2 , z   \u003d 6と x   \u003d 0はポイントを定義します A   （0; 2; 6）目的の行。 与えられた方程式系で仮定する y   \u003d 0、システムを取得

彼女の決定 x = -2 , z   \u003d 0とともに y   \u003d 0はポイントを定義します B   （-2; 0; 0）線と平面の交差 xOz .

ここで、点を通る線の方程式を書きます A   （0; 2; 6）および B (-2; 0; 0) :

,

または、分母を-2で割った後：

,

点K（x 0; y 0）を通り、線y \u003d kx + aに平行な線は、次の式で求められます。

y-y 0 \u003d k（x-x 0）（1）

ここで、kは線の角係数です。

代替式：
点M 1（x 1; y 1）を通り、線Ax + By + C \u003d 0に平行な線は、次の方程式で表されます。

A（x-x 1）+ B（y-y 1）\u003d 0 （2）

  点Kを通る直線の方程式を作成します（ ;）ラインy \u003dに平行 x + .

  例1 点M 0（-2,1）を通る線の方程式を作成し、同時に：
a）線に平行2x + 3y -7 \u003d 0;
b）線に垂直2x + 3y -7 \u003d 0
解決策 。 y \u003d kx + aの形式の角度係数を持つ方程式を表します。 これを行うには、yを除くすべての値を右側に転送します：3y \u003d -2x + 7。 次に、右側を3の係数で除算します。 取得：y \u003d -2 / 3x + 7/3
直線y \u003d -2 / 3 x + 7/3に平行な点K（-2; 1）を通るNK方程式を見つけます。
x 0 \u003d -2、k \u003d -2 / 3、y 0 \u003d 1を代入すると、次のようになります。
y-1 \u003d -2/3（x-（-2））
または
y \u003d -2/3 x-1/3または3y + 2x +1 \u003d 0

例2 線2x + 5y \u003d 0に平行な線の方程式を書き、座標軸とともに面積が5の三角形を形成します。
解決策 。 線は平行であるため、目的の線の方程式は2x + 5y + C \u003d 0です。aとbがその脚である直角三角形の面積。 目的の線と座標軸の交点を見つけます。
;
.
したがって、A（-C / 2,0）、B（0、-C / 5）。 面積の式に代入します： 。 2つのソリューション、2x + 5y + 10 \u003d 0および2x + 5y-10 \u003d 0を取得します。

例3 点（-2; 5）を通り、線5x-7y-4 \u003d 0に平行な線の方程式を作成します。
解決策。 この直線は、方程式y \u003d 5/7 x-4/7（ここではa \u003d 5/7）で表すことができます。 目的の線の方程式は、y-5 \u003d 5/7（x-（-2））、つまり 7（y-5）\u003d 5（x + 2）または5x-7y + 45 \u003d 0

例番号4。 例3（A \u003d 5、B \u003d -7）を式（2）で解くと、5（x + 2）-7（y-5）\u003d 0になります。

例5 点（-2; 5）を通り、線7x + 10 \u003d 0に平行な線の方程式を作成します。
解決策。 ここで、A \u003d 7、B \u003d 0。 式（2）は、7（x + 2）\u003d 0、つまり x + 2 \u003d 0。 この方程式はyに関して解けないため、式（1）は適用できません（この線は縦座標軸に平行です）。

幾何学的アルゴリズムシリーズからの教訓

こんにちは親愛なる読者！

今日は、ジオメトリに関連するアルゴリズムの研究を開始します。 計算幾何学に関連するコンピューターサイエンスには多くのオリンピアッドの問題があり、そのような問題の解決はしばしば困難を引き起こすという事実です。

いくつかのレッスンでは、計算幾何学のほとんどの問題の解決の基礎となるいくつかの基本的なサブタスクを検討します。

このレッスンでは、次のプログラムを作成します。 直線の方程式を見つける与えられた通過 二点。 幾何学的問題を解決するには、計算幾何学の知識が必要です。 レッスンの一部を紹介することに専念します。

計算幾何情報

計算幾何学は、幾何学問題を解決するためのアルゴリズムを研究するコンピューターサイエンスの一分野です。

このような問題の初期データは、平面上の点のセット、セグメントのセット、多角形（たとえば、時計回りの頂点のリストによって与えられる）などです。

結果は、いくつかの質問（ポイントがセグメントに属するかどうか、2つのセグメントが交差するかどうかなど）、または何らかの幾何学的オブジェクト（たとえば、特定のポイントを接続する最小の凸ポリゴン、ポリゴンの面積など）に対する回答になります。 。

平面上のデカルト座標系のみでの計算幾何学の問題を検討します。

ベクトルと座標

計算幾何学の方法を適用するには、幾何学的画像を数字の言語に翻訳する必要があります。 デカルト座標系は、反時計回りの回転方向が正と呼ばれる平面上で定義されると仮定します。

これで、幾何学的オブジェクトに分析表現が追加されました。 そのため、点を指定するには、その座標を示すのに十分です：数値のペア（x\u200b\u200b; y）。 セグメントは、その端の座標を指定することで設定でき、ラインは、そのポイントのペアの座標を指定することで設定できます。

しかし、問題を解決するための主要なツールにはベクターがあります。 したがって、それらに関するいくつかの情報を思い出します。

線分 AB誰のポイント   A   開始点（適用のポイント）、およびポイント   で   -終わり、ベクトルと呼ばれる AB   、または太字の小文字で示されます。たとえば でも .

ベクトルの長さ（つまり、対応するセグメントの長さ）を示すには、モジュールのシンボル（たとえば）を使用します。

任意のベクトルの座標は、対応する終了と開始の座標の差に等しくなります。

,

ここにポイントがあります A   そして B 座標を持っています それに応じて。

計算には、概念を使用します 指向角、つまり、ベクトルの相対位置を考慮した角度。

ベクトル間の方向角 a   そして b   ベクトルからの回転の場合は正 a   ベクトルへ b   正の方向（反時計回り）に発生し、それ以外の場合は負に発生します。 図1a、図1bを参照してください。 また、一対のベクトルは a   そして b ポジティブ（ネガティブ）指向。

したがって、指向角の値は、ベクトルの列挙順序に依存し、間隔内で値を取ることができます。

計算幾何学の多くの問題は、ベクトルのベクトル（斜めまたは擬似スカラー）積の概念を使用します。

ベクトルaとベクトルbのベクトル積は、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度のサインの積と呼ばれます。

.

座標のベクトルのベクトル積：

右側の式は2次の決定要因です。

解析ジオメトリで指定された定義とは異なり、これはスカラーです。

ベクトル積の符号は、ベクトルの相対的な位置を決定します。

a   そして b ポジティブ志向。

値の場合、ベクトルのペア a   そして b 負の方向。

非ゼロベクトルのベクトル積は、それらが共線的である場合にのみゼロです（ ） これは、それらが同じ線上または平行線上にあることを意味します。

より複雑なタスクを解決するために必要ないくつかの最も単純なタスクを検討してください。

2点の座標によって直線の方程式を定義します。

座標で指定された2つの異なる点を通る直線の方程式。

座標（x1; y1）と座標（x2; y2）を使用して、2つの一致しない点を線上に与えます。 したがって、点で始まり、点で終わるベクトルは、座標（x2-x1、y2-y1）を持ちます。 P（x、y）がライン上の任意の点である場合、ベクトルの座標は（x-x1、y-y1）です。

ベクトル積を使用して、ベクトルの共線性条件は次のように記述できます。

つまり （x-x1）（y2-y1）-（y-y1）（x2-x1）\u003d 0

（y2-y1）x +（x1-x2）y + x1（y1-y2）+ y1（x2-x1）\u003d 0

最後の方程式を次のように書き換えます。

ax + by + c \u003d 0、（1）

c \u003d x1（y1-y2）+ y1（x2-x1）

したがって、線は（1）の形式の方程式で与えられます。

タスク1. 2点の座標を指定します。 ax + by + c \u003d 0の形式でその表現を見つけます。

このレッスンでは、計算幾何学からのいくつかの情報を知りました。 2点の座標で直線の方程式を見つける問題を解決しました。

次のレッスンでは、方程式によって与えられる2つの線の交点を見つけるためのプログラムを作成します。