"फ़ंक्शन f (x) के मैकलॉरिन विस्तार का पता लगाएं" यह वही है जो उच्च गणित में कार्य की तरह लगता है, जो कुछ छात्र कर सकते हैं, जबकि अन्य उदाहरणों का सामना नहीं कर सकते हैं। शक्तियों में श्रृंखला के विस्तार के कई तरीके हैं; यहां हम मेक्लॉरिन श्रृंखला में कार्यों के विस्तार के लिए एक पद्धति देंगे। एक पंक्ति में एक फ़ंक्शन विकसित करते समय, आपको डेरिवेटिव की गणना करने में सक्षम होना चाहिए।

उदाहरण 4.7 एक्स की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें

गणना: हम Maclaurin सूत्र के अनुसार फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं। सबसे पहले, पंक्ति में फ़ंक्शन के हर को विस्तारित करें

अंत में, हम अंश द्वारा अपघटन को गुणा करते हैं।
पहला शब्द फ़ंक्शन का मान शून्य f (0) \u003d 1/3 है।
हम पहले और उच्च आदेश f (x) के कार्यों के डेरिवेटिव और बिंदु x \u003d 0 पर इन डेरिवेटिव के मूल्य का पता लगाते हैं




अगला, 0 पर डेरिवेटिव के मूल्य में परिवर्तन के नियमों के साथ, हम एनटी व्युत्पन्न के लिए सूत्र लिखते हैं

तो, भाजक को मैक्लॉरीन श्रृंखला में विस्तार के रूप में दर्शाया जा सकता है

हम अंश द्वारा गुणा करते हैं और x की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन का वांछित विस्तार प्राप्त करते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है।
सभी प्रमुख बिंदु डेरिवेटिव की गणना करने और शून्य पर उच्चतम ऑर्डर व्युत्पन्न के मूल्य को जल्दी से सामान्य करने की क्षमता पर आधारित हैं। निम्नलिखित उदाहरण आपको यह जानने में मदद करेंगे कि किसी पंक्ति में फ़ंक्शन को जल्दी से कैसे करना है।

उदाहरण 4.10 किसी फ़ंक्शन का मैकलॉरिन विस्तार खोजें

गणना: जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, हम एक पंक्ति में अंश में कोसाइन की व्यवस्था करेंगे। ऐसा करने के लिए, आप असीम रूप से कम मात्रा के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, या डेरिवेटिव के माध्यम से कोसाइन के विस्तार को प्राप्त कर सकते हैं। नतीजतन, हम एक्स की शक्तियों में अगली श्रृंखला पर पहुंचते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास एक श्रृंखला में न्यूनतम गणना और विस्तार का एक कॉम्पैक्ट रिकॉर्ड है।

उदाहरण 4.16 x की शक्तियों में एक श्रृंखला में एक कार्य का विस्तार करें:
7 / (12-x-x ^ 2)
गणना: ऐसे उदाहरणों में, सबसे सरल अंशों के योग के माध्यम से अंश का विस्तार करना आवश्यक है।
हम यह नहीं दिखाएंगे कि अब यह कैसे करना है, लेकिन अनिश्चित गुणांक की मदद से हम फ्रैक्चर बीएक्स के योग में पहुंचते हैं।
अगला, हम हर को घातांक रूप में लिखते हैं

यह Maclaurin सूत्र का उपयोग करके शर्तों का विस्तार करने के लिए बनी हुई है। "X" की समान शक्तियों के साथ शब्दों को सारांशित करते हुए हम श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार के सामान्य शब्द का सूत्र बनाते हैं



श्रृंखला में संक्रमण के अंतिम भाग को शुरू में लागू करना मुश्किल है, क्योंकि युग्मित और अनपेक्षित सूचकांकों (डिग्री) के लिए सूत्रों को जोड़ना मुश्किल है, लेकिन अभ्यास से आप बेहतर और बेहतर हो जाएंगे।

उदाहरण ४.१ Example एक समारोह के मैकलॉरिन विस्तार का पता लगाएं

गणना: इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

हम मैकलेरन फ़ार्मुलों में से एक का उपयोग करके एक पंक्ति में फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं:

हम इस तथ्य के आधार पर पंक्तियों को शब्द द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं कि दोनों बिल्कुल संयोग हैं। संपूर्ण श्रृंखला शब्द को एकीकृत करके, हम x की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार को प्राप्त करते हैं

अपघटन की अंतिम दो पंक्तियों के बीच एक संक्रमण होता है, जो शुरुआत में आपको बहुत समय लगेगा। श्रृंखला के सूत्र का सामान्यीकरण हर किसी के लिए आसान नहीं है, इसलिए इस तथ्य के बारे में चिंता न करें कि आपको एक सुंदर और कॉम्पैक्ट सूत्र नहीं मिल सकता है।

उदाहरण ४.२ Example एक समारोह के मैकलॉरिन विस्तार का पता लगाएं:

हम लघुगणक को इस प्रकार लिखते हैं

Maclaurin सूत्र द्वारा, हम फ़ंक्शन की x लघुगणक की शक्तियों की एक श्रृंखला में विस्तार करते हैं

अंतिम जमावट पहली नज़र में जटिल है, लेकिन जब बारी-बारी से वर्ण आपको हमेशा कुछ ऐसा मिलता है। एक पंक्ति में फ़ंक्शन के विषय पर इनपुट पाठ पूरा हो गया है। अन्य समान रूप से दिलचस्प अपघटन योजनाओं पर निम्नलिखित सामग्रियों में विस्तार से चर्चा की जाएगी।

कार्यात्मक श्रृंखला के सिद्धांत में, केंद्रीय स्थान एक श्रृंखला में एक समारोह के विस्तार के लिए समर्पित अनुभाग द्वारा कब्जा कर लिया जाता है।

इस प्रकार, कार्य दिया गया है: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए इस तरह की शक्ति श्रृंखला खोजने के लिए आवश्यक है

जो एक निश्चित अंतराल पर परिवर्तित हुआ और उसका योग बराबर था
, उन।

= ..

इस कार्य को कहा जाता है एक शक्ति श्रृंखला में एक समारोह का विस्तार करने का कार्य।

एक शक्ति श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विघटन के लिए एक आवश्यक स्थितिइसकी भिन्नता अनंत बार है - यह अभिसरण शक्ति श्रृंखला के गुणों से होती है। ऐसी स्थिति संतुष्ट है, एक नियम के रूप में, परिभाषा के अपने डोमेन में प्राथमिक कार्यों के लिए।

तो, मान लीजिए कि फ़ंक्शन
किसी भी आदेश का व्युत्पन्न है। क्या शक्ति श्रृंखला में इसका विस्तार करना संभव है, यदि संभव हो, तो इस श्रृंखला को कैसे खोजें? समस्या का दूसरा भाग आसान हल है, और हम इसके साथ शुरू करेंगे।

मान लें कि फ़ंक्शन
बिंदु वाले अंतराल में परिवर्तित होने वाली विद्युत श्रृंखला के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स 0 :

= .. (*)

कहाँ पे तथा 0 ,तथा 1 ,तथा 2 ,...,तथा पी ,... अनिश्चित (अब तक) गुणांक।

समता (*) मान में रखो x \u003d x 0 , तो हम प्राप्त करते हैं

.

हम पावर सीरीज (*) को अलग-अलग करते हैं

= ..

और यहाँ डाल x \u003d x 0 , हमें मिला

.

अगले भेदभाव में, हम श्रृंखला प्राप्त करते हैं

= ..

विश्वास x \u003d x 0 , हमें मिला
कहाँ से
.

उपरांत पी-भिन्नता हमें मिलती है

अंतिम समानता में मानते हुए x \u003d x 0 , हमें मिला
कहाँ से

तो, गुणांक पाए जाते हैं

,
,
, …,
,….,

एक पंक्ति (*) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

परिणामी पंक्ति को कहा जाता है टेलर के पास कार्य के लिए
.

इस प्रकार, हमने यह स्थापित किया है यदि फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में शक्तियों (x - x) में विस्तारित किया जा सकता है 0 ), फिर यह अपघटन अद्वितीय है और परिणामस्वरूप श्रृंखला जरूरी एक टेलर श्रृंखला है।

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला बिंदु पर किसी भी आदेश के डेरिवेटिव होने वाले किसी भी फ़ंक्शन के लिए प्राप्त की जा सकती है x \u003d x 0 . लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि आप फ़ंक्शन और परिणामी श्रृंखला के बीच एक समान चिह्न रख सकते हैं, अर्थात। श्रृंखला का योग मूल कार्य के बराबर है। सबसे पहले, इस तरह की समानता केवल अभिसरण के क्षेत्र में समझ में आ सकती है, और फ़ंक्शन के लिए प्राप्त टेलर श्रृंखला का विचलन हो सकता है, और दूसरी बात, यदि टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसका योग मूल फ़ंक्शन के साथ मेल नहीं खा सकता है।

3.2। एक टेलर श्रृंखला में एक समारोह के अपघटन के लिए पर्याप्त स्थिति

हम एक बयान तैयार करते हैं जिसकी मदद से कार्य हल किया जाएगा।

यदि कार्य
बिंदु x के कुछ पड़ोस में 0 में डेरिवेटिव हैn+ 1) वें आदेश, समावेशी, तो इस पड़ोस में हमारे पास हैसूत्र टेलर

कहाँ पेआर n (एक्स)टेलर फार्मूले के शेष भाग में फार्म (लाग्रेंज फॉर्म) है

कहाँ पे बिंदुξ x और x के बीच स्थित है 0 .

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला और टेलर सूत्र के बीच अंतर है: टेलर फार्मूला एक परिमित राशि है, अर्थात्। पी - निर्धारित अंक।

याद है कि श्रृंखला का योग एस(एक्स) आंशिक रकम के कार्यात्मक अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एस पी (एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स:

.

इसके अनुसार, टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करने का अर्थ है किसी भी तरह की श्रृंखला को खोजना एक्सएक्स

हम फॉर्म में टेलर फॉर्मूला लिखते हैं, जहां

नोटिस जो
हमें मिलने वाली त्रुटि को परिभाषित करता है, फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करता है च(एक्स) बहुपद एस n (एक्स).

यदि एक
फिर
, उन। एक टेलर श्रृंखला में कार्य विघटित होता है। इसके विपरीत, यदि
फिर
.

इस प्रकार, हमने साबित किया एक टेलर श्रृंखला में एक समारोह की decomposability के लिए कसौटी।

एक समारोह के लिए आदेश मेंच(x) एक टेलर श्रृंखला में विघटित, यह आवश्यक है और पर्याप्त है कि इस अंतराल में
कहाँ पेआर n (एक्स) टेलर श्रृंखला का शेष है।

तैयार की गई कसौटी का उपयोग करके, हम प्राप्त कर सकते हैं पर्याप्तएक टेलर श्रृंखला में एक समारोह के विघटन के लिए शर्तें।

मैं फ़िनबिंदु x के कुछ पड़ोस 0 फ़ंक्शन के सभी डेरिवेटिव के पूर्ण मान एक ही नंबर M से बंधे हैं≥ 0, अर्थात

, टीओ इस पड़ोस में समारोह एक टेलर श्रृंखला में फैलता है।

पूर्वगामी से कलन विधिकार्य विघटन च(एक्स) एक टेलर श्रृंखला मेंबिंदु के आसपास के क्षेत्र में एक्स 0 :

1. व्युत्पन्न कार्य खोजें च(एक्स):

एफ (एक्स), एफ '(एक्स), एफ "(एक्स), एफ'" (एक्स), एफ (एन) (एक्स), ...

2. हम फ़ंक्शन के मूल्य और बिंदु पर इसके डेरिवेटिव के मूल्यों की गणना करते हैं एक्स 0

च (x) 0 ), f '(x 0 ), एफ ”(एक्स 0 ), एफ '' (एक्स) 0 ), च (एन) (एक्स 0 ),…

3. औपचारिक रूप से, टेलर श्रृंखला लिखें और प्राप्त शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं।

4. हम सत्यापित करते हैं कि पर्याप्त परिस्थितियां संतुष्ट हैं, अर्थात जिसके लिए निर्धारित है एक्सअभिसरण के क्षेत्र से, शेष शब्द आर n (एक्स) जब शून्य हो जाता है
या
.

इस एल्गोरिथ्म के अनुसार एक टेलर श्रृंखला में कार्यों का विस्तार कहा जाता है एक टेलर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तार परिभाषा द्वाराया प्रत्यक्ष अपघटन।

साइट पर गणितीय सूत्र कैसे डालें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय फ़ार्मुलों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में वर्णित है: गणितीय फ़ार्मुलों को आसानी से चित्रों के रूप में साइट में डाला जाता है जो वोल्फ्राम अल्फा स्वचालित रूप से उत्पन्न करता है। सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधि खोज इंजन में साइट की दृश्यता में सुधार करने में मदद करेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और, मुझे लगता है, यह हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन यह पहले से ही अप्रचलित है।

यदि आप लगातार अपनी वेबसाइट पर गणितीय फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं, तो मैं अनुशंसा करता हूं कि आप MathJax, एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी का उपयोग करें जो MathML, LaTeX या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणितीय संकेतन प्रदर्शित करता है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी वेबसाइट से जोड़ सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर (सर्वर सूची) से स्वचालित रूप से डाउनलोड हो जाएगी; (2) एक दूरस्थ सर्वर से अपने सर्वर पर MathJax स्क्रिप्ट डाउनलोड करें और अपनी साइट के सभी पृष्ठों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि - एक अधिक जटिल और लंबी - आपकी साइट पर पृष्ठों को लोड करने में तेजी लाएगी, और यदि मूल MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना, जितना सरल, तेज और तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं। मेरे उदाहरण का पालन करें, और 5 मिनट के बाद आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग कर सकते हैं।

आप MathJax मुख्य साइट पर या दस्तावेज़ पृष्ठ पर दो कोड विकल्पों का उपयोग करके एक दूरस्थ सर्वर से MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करना होगा, अधिमानतः टैग के बीच तथा या टैग के ठीक बाद । पहले मामले में, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों की निगरानी और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करना होगा। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पृष्ठ अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको MathJax के अपडेट की लगातार निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

मैथजैक्स को कनेक्ट करना ब्लॉगर या वर्डप्रेस में सबसे आसान है: साइट कंट्रोल पैनल में थर्ड-पार्टी जावास्क्रिप्ट कोड सम्मिलित करने के लिए डिज़ाइन किया गया एक विजेट जोड़ें, इसके ऊपर प्रस्तुत डाउनलोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को टेम्पलेट की शुरुआत के करीब रखें (वैसे, यह आवश्यक नहीं है) , क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट अतुल्यकालिक रूप से लोड होती है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX और ASCIIMathML के मार्कअप सिंटैक्स को जानें, और आप अपनी वेबसाइट के वेब पेजों पर गणित के फॉर्मूले एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

किसी भी फ्रैक्टल को एक निश्चित नियम के अनुसार बनाया जाता है, जो क्रमिक रूप से कई बार असीमित संख्या में लागू होता है। ऐसे प्रत्येक समय को एक पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: पक्ष 1 के साथ मूल घन को 27 समान क्यूब्स में अपने चेहरे के समानांतर विमानों द्वारा विभाजित किया गया है। एक केंद्रीय क्यूब और 6 आसन्न क्यूब इसके साथ हटा दिए जाते हैं। परिणाम एक सेट है जिसमें 20 शेष छोटे क्यूब्स होते हैं। इन क्यूब्स में से प्रत्येक के साथ ऐसा ही करके, हमें एक सेट मिलता है जिसमें 400 छोटे क्यूब्स होते हैं। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें एक मेन्जर स्पंज मिलता है।

16.1। टेलर श्रृंखला में प्राथमिक कार्यों का विस्तार और

Mcloren

हम दिखाते हैं कि यदि सेट पर एक मनमाना कार्य परिभाषित किया गया है
बिंदु के एक पड़ोस में
कई व्युत्पन्न हैं और एक शक्ति श्रृंखला का योग है:

तब हम इस श्रृंखला के गुणांकों को पा सकते हैं।

हम पावर सीरीज में स्थानापन्न हैं
। फिर
.

फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें
:

पर
:
.

दूसरी व्युत्पन्न के लिए हम प्राप्त करते हैं:

पर
:
.

इस प्रक्रिया को जारी रखना nकई बार हमें मिलता है:
.

इस प्रकार, हमने फॉर्म की एक शक्ति श्रृंखला प्राप्त की:

,

इससे कहते है टेलर के पास कार्य के लिए
बिंदु के आसपास के क्षेत्र में
.

टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है मैकलॉरिन श्रृंखला पर
:

टेलर श्रृंखला के शेष (मैकलॉरिन) मुख्य श्रृंखला से छोड़ने के द्वारा प्राप्त किया जाता है n पहले सदस्यों और के रूप में चिह्नित किया जाता है
। फिर समारोह
राशि के रूप में लिखा जा सकता है n किसी संख्या के पहले सदस्य
और शेष
:,

.

बाकी आमतौर पर है
विभिन्न योगों में व्यक्त किया।

उनमें से एक के रूप में एक Lagrange:

कहाँ पे
.
.

ध्यान दें कि व्यवहार में मैक्लॉरिन श्रृंखला अधिक बार उपयोग की जाती है। इस प्रकार, एक फ़ंक्शन लिखने के लिए
एक शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह आवश्यक है:

1) मैकलॉरिन (टेलर) श्रृंखला के गुणांक पाते हैं;

2) प्राप्त शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं;

3) साबित करें कि यह श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है
.

प्रमेय1 (मैकलॉरिन श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। एक श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या दें
। इस श्रृंखला के लिए अंतराल में अभिसरण करने के लिए
कार्य करना
, यह शर्त के लिए आवश्यक और पर्याप्त है:
निर्दिष्ट अंतराल में।

प्रमेय २यदि फ़ंक्शन के किसी भी क्रम के डेरिवेटिव
कुछ समय में
एक ही नंबर से पूर्ण मूल्य में बंधे म, अर्थात
, तो इस अंतराल में फ़ंक्शन
maclaurin की एक श्रृंखला में व्यवस्थित किया जा सकता है।

उदाहरण1 . टेलर श्रृंखला
समारोह।

फेसला।

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

अभिसरण का क्षेत्र
.

उदाहरण2 . फ़ंक्शन का विस्तार करें चारों ओर एक पंक्ति टेलर में
.

फेसला:

हम फ़ंक्शन का मान और इसके लिए व्युत्पन्न पाते हैं
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

हम इन मूल्यों को एक पंक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिला:

या
.

हम इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र पाते हैं। डी'एल्बर्ट के अनुसार, यदि श्रृंखला में परिवर्तन होता है

.

इसलिए, किसी के लिए भी यह सीमा 1 से कम है, और इसलिए अभिसरण का क्षेत्र होगा:
.

आइए हम बुनियादी प्राथमिक कार्यों के मैकलॉरीन श्रृंखला में विस्तार के कई उदाहरणों पर विचार करें। याद है कि मैकलॉरिन श्रृंखला:

.

अंतराल में परिवर्तित होता है
कार्य करना
.

ध्यान दें कि श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार के लिए यह आवश्यक है:

क) किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए मैकलेरिन श्रृंखला के गुणांक पाते हैं;

बी) परिणामी श्रृंखला के लिए अभिसरण की त्रिज्या की गणना करें;

ग) यह साबित करता है कि परिणामी श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है
.

उदाहरण 3फ़ंक्शन पर विचार करें
.

फेसला।

हम फ़ंक्शन के मान और उसके डेरिवेटिव की गणना करते हैं
.

फिर श्रृंखला के संख्यात्मक गुणांक का रूप है:

किसी के लिए भी nMaclaurin श्रृंखला में पाए गए गुणांक को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

परिणामी श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें, अर्थात्:

.

नतीजतन, श्रृंखला अंतराल में परिवर्तित होती है
.

यह श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है किसी भी मूल्य पर किसी अंतराल के कारण
समारोह निरपेक्ष मूल्य पर इसका व्युत्पत्ति संख्या से सीमित होता है .

उदाहरण4 . फ़ंक्शन पर विचार करें
.

फेसला.

:

उस आदेश के व्युत्पन्न को देखना आसान है
, और अजीब आदेश के डेरिवेटिव। हम मैकलेरिन श्रृंखला में पाए गए गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं और विस्तार प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला के अभिसरण अंतराल का पता लगाएं। डीलेबर्ट के आधार पर:

किसी के लिए भी । नतीजतन, श्रृंखला अंतराल में परिवर्तित होती है
.

यह श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है
, क्योंकि इसके सभी व्युत्पत्ति एकता तक सीमित हैं।

उदाहरण5 .
.

फेसला।

फ़ंक्शन का मान और इसके लिए डेरिवेटिव प्राप्त करें
:

इस प्रकार, इस श्रृंखला के गुणांक:
तथा
, अत:

पिछली पंक्ति के समान, अभिसरण का क्षेत्र
। श्रृंखला फ़ंक्शन में कनवर्ट करती है
, क्योंकि इसके सभी डेरिवेटिव एक तक सीमित हैं।

ध्यान दें कि फ़ंक्शन
विषम और विषम श्रृंखला में विस्तार, फ़ंक्शन
- समान शक्तियों की एक श्रृंखला में भी और विस्तार।

उदाहरण6 . द्विपद पंक्ति:
.

फेसला.

फ़ंक्शन का मान और इसके लिए डेरिवेटिव प्राप्त करें
:

यह दर्शाता है कि:

हम मैकलेरिन श्रृंखला में गुणांक के इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और एक शक्ति श्रृंखला में इस फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:

नतीजतन, श्रृंखला अंतराल पर परिवर्तित होती है
। के लिए सीमित बिंदुओं पर
तथा
श्रृंखला प्रतिपादक के आधार पर अभिसरण कर सकती है या नहीं
.

जांच की गई श्रृंखला अंतराल पर परिवर्तित होती है
कार्य करना
, अर्थात।
पर
.

उदाहरण7 . Maclaurin श्रृंखला फ़ंक्शन का विस्तार करें
.

फेसला।

इस फ़ंक्शन की एक श्रृंखला में विस्तार करने के लिए, हम के लिए द्विपद श्रृंखला का उपयोग करते हैं
। हमें मिला:

शक्ति श्रृंखला की संपत्ति के आधार पर (एक बिजली श्रृंखला को इसके अभिसरण के क्षेत्र में एकीकृत किया जा सकता है), हम इस श्रृंखला के बाएं और दाएं पक्षों का अभिन्न अंग पाते हैं:

इस श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं:
,

यही है, इस श्रृंखला के अभिसरण की सीमा अंतराल है
। हम अंतराल के सिरों पर श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करते हैं। पर

। यह श्रृंखला एक सामंजस्यपूर्ण श्रृंखला है, जो कि विचलन है। पर
हमें एक सामान्य शब्द के साथ एक संख्या श्रृंखला मिलती है
.

लाइबनिज़ के आधार पर एक श्रृंखला अभिसरण करती है। इस प्रकार, इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अंतराल है
.

16.2। अनुमानित गणना में डिग्री की शक्ति श्रृंखला का अनुप्रयोग

अनुमानित गणना में, बिजली श्रृंखला एक बहुत बड़ी भूमिका निभाती है। उनकी मदद से, त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाएं, लघुगणक की तालिकाएं, ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किए जाने वाले अन्य कार्यों के मूल्यों की तालिकाएं, उदाहरण के लिए, संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में संकलित की जाती हैं। इसके अलावा, एक शक्ति श्रृंखला में कार्यों का विस्तार उनके सैद्धांतिक अध्ययन के लिए उपयोगी है। अनुमानित गणना में बिजली श्रृंखला का उपयोग करते समय मुख्य सवाल यह है कि किसी श्रृंखला के योग को पहले के योग से बदलने पर त्रुटि का अनुमान लगाया जाए। nसदस्य हैं।

दो मामलों पर विचार करें:

फ़ंक्शन को एक वैकल्पिक पंक्ति में रखा गया है;

फ़ंक्शन को एक वैकल्पिक पंक्ति में रखा गया है।

वैकल्पिक श्रृंखला का उपयोग करके गणना

कार्य करने दें
बारी बारी से बिजली श्रृंखला में। फिर, एक विशिष्ट मूल्य के लिए इस फ़ंक्शन की गणना करते समय हमें एक नंबर सीरीज़ मिलती है, जिसमें लाइबनिज़ साइन लगाया जा सकता है। इस संकेत के अनुसार, यदि श्रृंखला के योग को इसके पहले के योग से बदल दिया जाए nशर्तें, तो पूर्ण त्रुटि इस श्रृंखला के शेष के पहले कार्यकाल से अधिक नहीं है, अर्थात्:
.

उदाहरण8 . गणना
0.0001 तक सटीक।

फेसला.

हम Maclaurin श्रृंखला का उपयोग करेंगे
, रेडियन में कोण के मूल्य को प्रतिस्थापित करना:

यदि हम किसी दिए गए सटीकता के साथ श्रृंखला के पहले और दूसरे शब्दों की तुलना करते हैं, तो:।

अपघटन का तीसरा शब्द:

निर्दिष्ट गणना सटीकता से कम है। इसलिए, गणना करने के लिए
यह पंक्ति के दो सदस्यों को छोड़ने के लिए पर्याप्त है, अर्थात्।

.

इस प्रकार
.

उदाहरण9 . गणना
0.001 की सटीकता के साथ।

फेसला.

हम द्विपद श्रृंखला सूत्र का उपयोग करेंगे। इसके लिए हम लिखते हैं
जैसा:
.

इस अभिव्यक्ति में
,

श्रृंखला के प्रत्येक सदस्यों की उस सटीकता के साथ तुलना करें जो दी गई है। यह स्पष्ट है कि
। इसलिए, गणना करने के लिए
पंक्ति के तीन सदस्यों को छोड़ दें।

या
.

सकारात्मक श्रृंखला का उपयोग करके गणना

उदाहरण10 . संख्या की गणना करें 0.001 तक सटीक।

फेसला.

कार्यों के लिए एक पंक्ति में
विकल्प
। हमें मिला:

आइए उस त्रुटि का अनुमान लगाएं जो पहले के योग के साथ किसी श्रृंखला के योग को प्रतिस्थापित करते समय होती है सदस्य हैं। हम स्पष्ट असमानता लिखते हैं:

यानी २<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

समस्या की स्थिति से, आपको खोजने की आवश्यकता है nइस तरह की असमानता रखती है:
या
.

यह सत्यापित करना आसान है n= 6:
.

अत,
.

उदाहरण11 . गणना
0.0001 की सटीकता के साथ।

फेसला.

ध्यान दें कि लघुगणक की गणना करने के लिए, कोई फ़ंक्शन पर एक श्रृंखला लागू कर सकता है
लेकिन यह श्रृंखला बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होती है, और आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए, 9,999 सदस्यों को लेना होगा! इसलिए, लघुगणक की गणना करने के लिए, एक नियम के रूप में, फ़ंक्शन के लिए एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है
जो अंतराल पर परिवर्तित होता है
.

हम गणना करते हैं
इस श्रृंखला का उपयोग करना। रहने दो
फिर .

अत,
,

गणना करने के लिए
दी गई सटीकता के साथ, हम पहले चार सदस्यों का योग लेते हैं:
.

बाकी पंक्ति
जाने दो। हम त्रुटि का अनुमान लगाते हैं। यह स्पष्ट है कि

या
.

इस प्रकार, गणना के लिए उपयोग की जाने वाली श्रृंखला में, फ़ंक्शन के लिए श्रृंखला में 9999 के बजाय केवल पहले चार शब्द लेने के लिए पर्याप्त था
.

आत्म निदान के लिए प्रश्न

1. टेलर श्रृंखला क्या है?

2. मैक्लॉरिन श्रृंखला की उपस्थिति क्या थी?

3. एक टेलर श्रृंखला में एक समारोह के विस्तार पर एक प्रमेय का गठन।

4. मुख्य कार्यों के मैक्लॉरिन श्रृंखला में विस्तार लिखें।

5. विचार श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्रों को इंगित करें।

6. बिजली श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना में त्रुटि का अनुमान कैसे लगाया जाए?

उच्च गणित के छात्रों को पता होना चाहिए कि किसी दिए गए श्रृंखला के अभिसरण अंतराल से संबंधित एक निश्चित शक्ति श्रृंखला का योग एक अलग और असीमित संख्या में विभेदित कार्य है। सवाल उठता है: क्या यह कहना संभव है कि एक दिया गया मनमाना कार्य f (x) एक निश्चित शक्ति श्रृंखला का योग है? यही है, फ़ंक्शन (x) को पावर सीरीज द्वारा किस परिस्थितियों में दर्शाया जा सकता है? इस सवाल का महत्व यह है कि पावर श्रृंखला के पहले कुछ शब्दों के योग से, f-ju f (x) को प्रतिस्थापित करना संभव है, यानी एक बहुपद द्वारा। एक साधारण अभिव्यक्ति, बहुपद के द्वारा किसी कार्य का ऐसा प्रतिस्थापन, कुछ समस्याओं को हल करने में आसान है, अर्थात्, अभिन्न को हल करने में, गणना में, आदि।

यह साबित होता है कि कुछ f-th f (x) के लिए, जिसमें अंतिम (n + 1) -th ऑर्डर तक के डेरिवेटिव की गणना करना संभव है, अंतिम में पड़ोस में (α - R; x 0 + R) कुछ बिंदु x \u003d α के बाद, निम्न मान्य है; सूत्र:

इस सूत्र का नाम प्रसिद्ध वैज्ञानिक ब्रुक टेलर के नाम पर रखा गया है। पिछले एक से प्राप्त श्रृंखला को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

नियम है कि एक Maclaurin श्रृंखला में विघटित करना संभव बनाता है:

1. पहले, दूसरे, तीसरे ... आदेश के व्युत्पन्न का निर्धारण करें।
2. गणना करें कि x \u003d 0 पर व्युत्पन्न क्या बराबर हैं।
3. इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला लिखें, और फिर इसके अभिसरण के अंतराल को निर्धारित करें।
4. अंतराल (-आर; आर) का निर्धारण करें जहां मैकलॉरीन फॉर्मूला शेष है

आर एन (एक्स) -\u003e 0 के रूप में एन -\u003e अनंत। यदि कोई मौजूद है, तो फ़ंक्शन f (x) को मैक्लॉरिन श्रृंखला के योग के साथ मेल खाना चाहिए।

अब हम व्यक्तिगत कार्यों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार करते हैं।

1. तो, पहला f (x) \u003d e x होगा। बेशक, इसकी विशेषताओं के संदर्भ में, इस तरह के फ़ंक्शन में विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव हैं, और एफ (के) (एक्स) \u003d ई एक्स, जहां के सभी के बराबर है। सबस्टिट्यूट x \u003d 0। हम f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1,2 ... पूर्वगामी के आधार पर, श्रृंखला e x निम्नानुसार दिखाई देगी:

2. फ़ंक्शन f (x) \u003d पाप x के लिए मैकलॉरीन श्रृंखला। हम तुरंत निर्दिष्ट करते हैं कि सभी अज्ञात के लिए f-th में डेरिवेटिव, अतिरिक्त, f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f" "(x) \u003d -sin x \u003d sin (x) होगा + 2 * n / 2) ..., f (k) (x) \u003d sin (x + k * n / 2), जहाँ k किसी भी प्राकृतिक संख्या के बराबर है। अर्थात, सरल गणनाएँ करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं। f (x) \u003d sin x की श्रृंखला इस रूप की होगी:

3. अब हम f-ju f (x) \u003d cos x पर विचार करने का प्रयास करते हैं। सभी अज्ञात के लिए, इसमें मनमाना क्रम का व्युत्पन्न है, और | f (k) (x) | \u003d | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को सूचीबद्ध किया है जिन्हें मैकलॉरीन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, हालांकि, वे कुछ कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला द्वारा पूरक हैं। अब हम उन्हें सूचीबद्ध करेंगे। यह भी ध्यान देने योग्य है कि टेलर और मैकलॉरीन श्रृंखला उच्च गणित में श्रृंखला को हल करने वाली कार्यशाला का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो, टेलर रैंक।

1. सबसे पहले f-ii f (x) \u003d ln (1 + x) के लिए सीरीज होगी। पिछले उदाहरणों की तरह, दिए गए f (x) \u003d ln (1 + x) के लिए, हम Maclaurin श्रृंखला के सामान्य रूप का उपयोग करके श्रृंखला को जोड़ सकते हैं। हालाँकि, इस समारोह के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला को और अधिक प्राप्त किया जा सकता है। एक निश्चित ज्यामितीय श्रृंखला को एकीकृत करते हुए, हमें ऐसे नमूने के f (x) \u003d ln (1 + x) के लिए एक श्रृंखला मिलती है:

2. और दूसरा, जो हमारे लेख में अंतिम होगा, f (x) \u003d arctg x के लिए श्रृंखला होगी। X से संबंधित अंतराल के लिए [-1; 1], अपघटन वैध है:

बस इतना ही। इस लेख ने उच्च गणित में विशेष रूप से आर्थिक और तकनीकी विश्वविद्यालयों में टेलर और मैकलॉरीन श्रृंखला का सबसे अधिक उपयोग किया।