समारोह एफ (एक्स ) बुलाया antiderivative समारोह के लिए एफ (एक्स) किसी दिए गए अंतराल पर, यदि सभी के लिए एक्स इस अंतराल से, समानता
एफ "(एक्स ) = एफ(एक्स ) .
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ (एक्स) = एक्स 2 एफ (एक्स ) = 2एन एस , चूंकि
एफ "(एक्स) = (एक्स .) 2 )" = 2एक्स = एफ (एक्स)। ◄
एंटीडेरिवेटिव की मुख्य संपत्ति
अगर एफ (एक्स) - समारोह के लिए प्रतिपक्षी च (एक्स) दिए गए अंतराल पर, फिर फलन च (एक्स) अपरिमित रूप से अनेक अवकलज हैं, और इन सभी अवकलजों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: एफ (एक्स) + सी, कहां साथ एक मनमाना स्थिरांक है।
उदाहरण के लिए। समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 + 1 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ (एक्स ) = 2एन एस , चूंकि एफ "(एक्स) = (एक्स 2 + 1 )" = 2 एक्स = एफ (एक्स); समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 - 1 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ (एक्स ) = 2एन एस , चूंकि एफ "(एक्स) = (एक्स .) 2 - 1)" = 2एक्स = एफ (एक्स) ; समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 - 3 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ (एक्स) = 2एन एस , चूंकि एफ "(एक्स) = (एक्स .) 2 - 3)" = 2 एक्स = एफ (एक्स); कोई समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 + साथ , कहां साथ - एक मनमाना स्थिरांक, और केवल ऐसा फलन ही फलन के लिए प्रतिअवकलन है एफ (एक्स) = 2एन एस . ◄ |
Antiderivatives गणना नियम
- अगर एफ (एक्स) - के लिए विरोधी व्युत्पन्न च (एक्स) , ए जी (एक्स) - के लिए विरोधी व्युत्पन्न जी (एक्स) , फिर एफ (एक्स) + जी (एक्स) - के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ (एक्स) + जी (एक्स) ... दूसरे शब्दों में, योग का प्रतिअवकलज प्रतिपक्षी के योग के बराबर होता है .
- अगर एफ (एक्स) - के लिए विरोधी व्युत्पन्न च (एक्स) , तथा क - स्थिर, तब क · एफ (एक्स) - के लिए विरोधी व्युत्पन्न क · च (एक्स) ... दूसरे शब्दों में, निरंतर कारक को व्युत्पन्न के संकेत के बाहर ले जाया जा सकता है .
- अगर एफ (एक्स) - के लिए विरोधी व्युत्पन्न च (एक्स) , तथा क,बी- स्थायी, इसके अलावा कश्मीर 0 , फिर 1 / क एफ (क एक्स +बी ) - के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ(क एक्स + बी) .
अनिश्चितकालीन अभिन्न
अनिश्चितकालीन अभिन्न समारोह से च (एक्स) अभिव्यक्ति कहा जाता है एफ (एक्स) + सी, अर्थात्, किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स की समग्रता च (एक्स) ... अनिश्चितकालीन अभिन्न को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
∫ एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) + ,
च (एक्स)- बुलाना एकीकृत समारोह ;
एफ (एक्स) डीएक्स- बुलाना एकीकृत ;
एक्स - बुलाना एकीकरण का चर ;
एफ (एक्स) - फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक च (एक्स) ;
साथ एक मनमाना स्थिरांक है।
उदाहरण के लिए, ∫ 2 एक्स डीएक्स =एन एस 2 + साथ , ∫ क्योंकिएक्स डीएक्स =पाप एन एस + साथ आदि। ◄
शब्द "अभिन्न" लैटिन शब्द से आया है पूर्णांक जिसका अर्थ है "नवीनीकृत"। के अनिश्चितकालीन अभिन्न को ध्यान में रखते हुए 2 एक्स, हम फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं एन एस 2 जिसका व्युत्पन्न बराबर है 2 एक्स... किसी फ़ंक्शन का उसके व्युत्पन्न से पुनर्निर्माण, या, जो समान है, किसी दिए गए इंटीग्रैंड पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने को कहा जाता है एकीकृत यह समारोह। एकीकरण विभेदन का विलोम है। यह जांचने के लिए कि क्या एकीकरण सही है, परिणाम में अंतर करने और एकीकृत कार्य प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है।
अनिश्चितकालीन अभिन्न के मूल गुण
- अनिश्चितकालीन समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है:
- समाकलन के अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से बाहर ले जाया जा सकता है:
- कार्यों के योग (अंतर) का समाकलन इन फलनों के समाकलों के योग (अंतर) के बराबर होता है:
- अगर क,बी- स्थायी, इसके अलावा कश्मीर 0 , फिर
(∫ एफ (एक्स) डीएक्स )" = एफ (एक्स) .
∫ क · एफ (एक्स) डीएक्स = क · ∫ एफ (एक्स) डीएक्स .
∫ ( एफ (एक्स) ± जी (एक्स ) ) डीएक्स = ∫ एफ (एक्स) डीएक्स ± ∫ जी (एक्स ) डीएक्स .
∫ एफ ( क एक्स + बी) डीएक्स = 1 / क एफ (क एक्स +बी ) + सी .
प्रतिपदार्थों और अनिश्चित समाकलों की तालिका
| च (एक्स)
| एफ (एक्स) + सी
| ∫
एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) +
|
|
| मैं। | $$0$$ | $$ सी $$ | $$ \ इंट 0dx = सी $$ |
| द्वितीय. | $$ कश्मीर $$ | $$ केएक्स + सी $$ | $$ \ इंट केडीएक्स = केएक्स + सी $$ |
| III. | $$ x ^ n ~ (n \ neq-1) $$ | $$ \ फ़्रेक (एक्स ^ (एन + 1)) (एन + 1) + सी $$ | $$ \ int x ^ ndx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$ |
| चतुर्थ। | $$ \ फ़्रेक (1) (एक्स) $$ | $$ \ एलएन | एक्स | + सी $$ | $$ \ int \ frac (dx) (x) = \ ln | x | + C $$ |
| वी | $$ \ पाप x $$ | $$ - \ cos x + C $$ | $$ \ int \ sin x ~ dx = - \ cos x + C $$ |
| वी.आई. | $$ \ क्योंकि x $$ | $$ \ पाप x + सी $$ | $$ \ int \ cos x ~ dx = \ sin x + C $$ |
| vii. | $$ \ फ़्रेक (1) (\ cos ^ 2x) $$ | $$ \ textrm (tg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2x) = \ textrm (tg) ~ x + C $$ |
| आठवीं। | $$ \ फ़्रेक (1) (\ sin ^ 2x) $$ | $$ - \ टेक्स्टआरएम (सीटीजी) ~ एक्स + सी $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2x) = - \ textrm (ctg) ~ x + C $$ |
| IX. | $$ ई ^ एक्स $$ | $$ ई ^ एक्स + सी $$ | $$ \ int e ^ xdx = e ^ x + C $$ |
| एक्स। | $$ ए ^ एक्स $$ | $$ \ फ़्रेक (ए ^ एक्स) (\ एलएन ए) + सी $$ | $$ \ int a ^ xdx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$ |
| XI. | $$ \ फ़्रेक (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ | $$ \ आर्कसिन x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ arcsin x + C $$ |
| बारहवीं। | $$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$ | $$ \ आर्क्सिन \ फ़्रेक (एक्स) (ए) + सी $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$ |
| तेरहवीं। | $$ \ फ़्रेक (1) (1 + x ^ 2) $$ | $$ \ textrm (arctg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2) = \ textrm (arctg) ~ x + C $$ |
| XIV. | $$ \ फ़्रेक (1) (ए ^ 2 + एक्स ^ 2) $$ | $$ \ frac (1) (ए) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (ए) + सी $$ | $$ \ int \ frac (dx) (a ^ 2 + x ^ 2) = \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$ |
| XV. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (ए ^ 2 + x ^ 2)) $$ | $$ \ ln | x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) = \ ln | x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ |
| Xvi. | $$ \ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \ neq0) $$ | $$ \ frac (1) (2a) \ ln \ start (vmatrix) \ frac (x-a) (x + a) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (x ^ 2-a ^ 2) = \ frac (1) (2a) \ ln \ start (vmatrix) \ frac (xa) (x + a) \ end (vmatrix) + सी $$ |
| XVII। | $$ \ textrm (tg) ~ x $$ | $$ - \ ln | \ cos x | + C $$ | $$ \ int \ textrm (tg) ~ x ~ dx = - \ ln | \ cos x | + C $$ |
| Xviii। | $$ \ टेक्स्टआरएम (सीटीजी) ~ एक्स $$ | $$ \ एलएन | \ पाप एक्स | + सी $$ | $$ \ int \ textrm (ctg) ~ x ~ dx = \ ln | \ sin x | + C $$ |
| XIX. | $$ \ फ़्रेक (1) (\ sin x) $$ | $$ \ ln \ start (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sin x) = \ ln \ start (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$ |
| एक्सएक्स। | $$ \ फ़्रेक (1) (\ cos x) $$ | $$ \ ln \ start (vmatrix) \ textrm (tg) \ left (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ right) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ cos x) = \ ln \ start (vmatrix) \ textrm (tg) \ लेफ्ट (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ राइट ) \ अंत (vmatrix) + सी $$ |
| इस तालिका में दिए गए प्रतिपदार्थ और अनिश्चित समाकल को सामान्यतः कहा जाता है सारणीबद्ध एंटीडेरिवेटिव्स
तथा सारणीबद्ध समाकलन
. |
|||
समाकलन परिभाषित करें
अंतराल में चलो [ए; बी] निरंतर कार्य दिया जाता है वाई = एफ (एक्स) , फिर a से b . तक निश्चित समाकलन कार्यों च (एक्स) एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि कहा जाता है एफ (एक्स) यह फ़ंक्शन, अर्थात्
$$ \ int_ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) | (_ए ^ बी) = ~~ एफ (ए) -एफ (बी)। $$
नंबर एतथा बीतदनुसार नामित हैं कम तथा ऊपर एकीकरण की सीमा।
एक निश्चित अभिन्न की गणना के लिए बुनियादी नियम
1. \ (\ int_ (ए) ^ (ए) एफ (एक्स) डीएक्स = 0 \);
2. \ (\ int_ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स = - \ int_ (बी) ^ (ए) एफ (एक्स) डीएक्स \);
3. \ (\ int_ (ए) ^ (बी) केएफ (एक्स) डीएक्स = के \ int_ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स, \) जहां क - लगातार;
4. \ (\ int_ (ए) ^ (बी) (एफ (एक्स) ± जी (एक्स)) डीएक्स = \ int_ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स ± \ int_ (ए) ^ (बी) जी (एक्स) डीएक्स \);
5. \ (\ int_ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स = \ int_ (ए) ^ (सी) एफ (एक्स) डीएक्स + \ int_ (सी) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स \) ;
6. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 2 \ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \), जहां च (एक्स) - यहां तक कि समारोह;
7. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 0 \), जहां च (एक्स) एक विषम कार्य है।
टिप्पणी ... सभी मामलों में, यह माना जाता है कि समाकलन संख्यात्मक अंतरालों पर एकीकृत होते हैं, जिनकी सीमाएँ एकीकरण की सीमाएँ हैं।
एक निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ
| ज्यामितीय अर्थ समाकलन परिभाषित करें | शारीरिक भावना
समाकलन परिभाषित करें |
 |  |
वर्ग एसवक्रीय समलम्ब चतुर्भुज (अंतराल में एक निरंतर धनात्मक के ग्राफ से घिरा हुआ आंकड़ा [ए; बी] कार्यों च (एक्स) , एक्सिस ऑक्स और सीधा एक्स = ए , एक्स = बी ) सूत्र द्वारा गणना की जाती है $$ एस = \ int_ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स। $$ | रास्ता एस, जिसे भौतिक बिंदु ने पार कर लिया है, कानून के अनुसार अलग-अलग गति के साथ एक सीधी रेखा में घूम रहा है वी (टी)
, समय अंतराल के लिए a ;
बी], फिर आकृति का क्षेत्रफल, इन कार्यों के रेखांकन और सीधी रेखाओं द्वारा सीमित एक्स = ए
, एक्स = बी
, सूत्र द्वारा परिकलित $$ एस = \ int_ (ए) ^ (बी) (एफ (एक्स) -जी (एक्स)) डीएक्स। $$ |
 | उदाहरण के लिए। रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए वाई = एक्स 2 तथा वाई = 2- एक्स . आइए हम इन कार्यों के रेखांकन को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें और उस आकृति को उजागर करें जिसका क्षेत्रफल एक अलग रंग में पाया जाना है। एकीकरण की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं: एक्स 2 = 2- एक्स ; एक्स 2 + एक्स - 2 = 0 ; एक्स 1 = -2, एक्स 2 = 1 . $$ S = \ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx = $$ |
$$ = \ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx = \ लेफ्ट (2x- \ frac (x ^ 2) (2) - \ frac (x ^ 3) (2) \ दाएं ) \ बिगम | (_ (- 2) ^ (~ 1)) = 4 \ फ्रैक (1) (2)। $$ ◄ |
|
क्रांति के शरीर का आयतन
 | यदि पिण्ड अक्ष के परितः घूमने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है ऑक्स वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज अंतराल में निरंतर और गैर-ऋणात्मक के ग्राफ से घिरा हुआ है [ए; बी] कार्यों वाई = एफ (एक्स) और सीधा एक्स = एतथा एक्स = बी तब इसे कहा जाता है क्रांति का शरीर . क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है $$ वी = \ pi \ int_ (ए) ^ (बी) एफ ^ 2 (एक्स) डीएक्स। $$ यदि कार्यों के रेखांकन द्वारा ऊपर और नीचे की आकृति के घूर्णन के परिणामस्वरूप क्रांति का शरीर प्राप्त किया जाता है वाई = एफ (एक्स) तथा वाई = जी (एक्स) , क्रमशः, तब $$ वी = \ pi \ int_ (ए) ^ (बी) (एफ ^ 2 (एक्स) -जी ^ 2 (एक्स)) डीएक्स। $$ |
 | उदाहरण के लिए। हम एक त्रिज्या के साथ एक शंकु की मात्रा की गणना करते हैं आर
और ऊंचाई एच
. शंकु को एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में रखें ताकि इसकी धुरी अक्ष के साथ संपाती हो ऑक्स
, और आधार का केंद्र मूल में था। जेनरेटर रोटेशन अबएक शंकु को परिभाषित करता है। समीकरण के बाद से अब $$ \ फ़्रेक (x) (h) + \ फ़्रेक (y) (r) = 1, $$ $$ y = r- \ फ़्रेक (आरएक्स) (एच) $$ |
| और शंकु के आयतन के लिए हमारे पास है $$ V = \ pi \ int_ (0) ^ (h) (r- \ frac (rx) (h)) ^ 2dx = \ pi r ^ 2 \ int_ (0) ^ (h) (1- \ frac ( x) (h)) ^ 2dx = - \ pi r ^ 2h \ cdot \ frac ((1- \ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) = - \ pi r ^ 2h \ बाएँ (0- \ फ़्रेक (1) (3) \ दाएँ) = \ फ़्रेक (\ pi r ^ 2h) (3)। $$ ◄ |
|
एंटीडेरिवेटिव फंक्शन च (एक्स)के बीच में (ए; बी)इस तरह के एक समारोह कहा जाता है एफ (एक्स)वह समानता किसी के लिए भी है एन एसकिसी दिए गए अंतराल से।
इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि स्थिरांक का व्युत्पन्न साथशून्य के बराबर है, तो समानता सत्य है। तो समारोह च (एक्स)कई एंटिडेरिवेटिव हैं एफ (एक्स) + सी, एक मनमाना स्थिरांक के लिए साथ, और ये एंटीडेरिवेटिव एक दूसरे से मनमाने ढंग से स्थिर मूल्य से भिन्न होते हैं।
अनिश्चितकालीन अभिन्न की परिभाषा।
एंटीडेरिवेटिव्स का पूरा सेट च (एक्स)इस फलन का अनिश्चित समाकल कहलाता है और इसे निरूपित किया जाता है 
.
अभिव्यक्ति कहा जाता है एकीकृत, ए च (एक्स) – एकीकृत समारोह... इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का अंतर है च (एक्स).
किसी दिए गए अवकलन के लिए अज्ञात फलन ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है ढुलमुलएकीकरण, क्योंकि एकीकरण का परिणाम एक से अधिक कार्य है एफ (एक्स), और इसके कई एंटीडेरिवेटिव्स एफ (एक्स) + सी.
अनिश्चितकालीन अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ। प्रतिअवकलन D (x) के आलेख को समाकलन वक्र कहते हैं। x0y निर्देशांक प्रणाली में, किसी दिए गए फलन के सभी प्रतिअवकलजों के ग्राफ वक्रों के एक परिवार का प्रतिनिधित्व करते हैं जो स्थिर C के मान पर निर्भर करते हैं और 0y अक्ष के साथ समानांतर शिफ्ट द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किए जाते हैं। ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण के लिए, हमारे पास है:
जे 2 एक्स ^ एक्स = एक्स 2 + सी।
प्रतिअवकलजों का परिवार (x + C) ज्यामितीय रूप से परवलय के समुच्चय के रूप में व्याख्यायित होता है।
यदि किसी को एंटीडेरिवेटिव्स के परिवार में से एक को खोजने की आवश्यकता है, तो अतिरिक्त शर्तें निर्धारित की जाती हैं जो निरंतर सी को निर्धारित करना संभव बनाती हैं। आमतौर पर, इस उद्देश्य के लिए, प्रारंभिक शर्तें निर्धारित की जाती हैं: तर्क x = x0 के मान के लिए, फ़ंक्शन D (x0) = y0 का मान है।
उदाहरण। फलन y = 2 x के प्रतिअवकलज ज्ञात करना आवश्यक है, जो x0 = 1 पर 3 का मान लेता है।
वांछित प्रतिअवकलज: D (x) = x2 + 2.
समाधान। ^ 2x ^ x = x2 + सी; 12 + सी = 3; सी = 2।
2. अनिश्चित समाकल के मूल गुण
1. अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:
2. अनिश्चित समाकल का अंतर समाकलन के बराबर होता है:
3. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चितकालीन अभिन्न इस फ़ंक्शन के योग के बराबर है और एक मनमाना स्थिरांक है:
4. अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:
5. योग का समाकल (अंतर) समाकलों के योग (अंतर) के बराबर होता है:
6. संपत्ति गुण 4 और 5 का एक संयोजन है:
7. अनिश्चितकालीन अभिन्न के अपरिवर्तनीय संपत्ति:
अगर 
, फिर
8. संपत्ति:
अगर 
, फिर
वास्तव में, यह गुण चर परिवर्तन विधि का उपयोग करके एकीकरण का एक विशेष मामला है, जिसकी चर्चा अगले भाग में अधिक विस्तार से की गई है।
आइए एक उदाहरण पर विचार करें:
3. एकीकरण विधि,जिसमें यह समाकल समाकलन (या व्यंजक) के समरूप परिवर्तनों द्वारा एक या एक से अधिक सारणीबद्ध समाकलों में परिवर्तित हो जाता है और अनिश्चित समाकल के गुणों का अनुप्रयोग कहलाता है प्रत्यक्ष एकीकरण... एक सारणीबद्ध अभिन्न के लिए इस अभिन्न को कम करते समय, अंतर के निम्नलिखित परिवर्तनों का अक्सर उपयोग किया जाता है (ऑपरेशन " विभेदक चिन्ह»):
आम तौर पर, एफ '(यू) डु = डी (एफ (यू))।यह (सूत्र का उपयोग अक्सर इंटीग्रल की गणना करते समय किया जाता है।
अभिन्न का पता लगाएं
समाधान।हम समाकल के गुणधर्मों का उपयोग करेंगे और इस समाकल को अनेक सारणीबद्धों में घटा देंगे।
4. प्रतिस्थापन विधि द्वारा एकीकरण।
विधि का सार यह है कि हम एक नए चर का परिचय देते हैं, इस चर के संदर्भ में एकीकृत और व्यक्त करते हैं, परिणामस्वरूप, हम अभिन्न के सारणीबद्ध (या सरल) रूप में आते हैं।
बहुत बार, त्रिकोणमितीय कार्यों और कार्यों को रेडिकल के साथ एकीकृत करते समय प्रतिस्थापन विधि मदद करती है।
उदाहरण।
अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं 
.
समाधान।
आइए एक नए चर का परिचय दें। आइए व्यक्त करें एन एसआर - पार जेड:
हम प्राप्त अभिव्यक्तियों को मूल अभिन्न में प्रतिस्थापित करते हैं: 
एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका से हमारे पास है 
.
यह मूल चर पर लौटने के लिए बनी हुई है एन एस:
उत्तर:
एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए तीन बुनियादी नियम हैं। वे संबंधित भेदभाव नियमों के समान हैं।
नियम 1
यदि F किसी फलन f के लिए प्रतिअवकलन है, और G किसी फलन g के लिए प्रतिअवकलन है, तो F + G, f + g का प्रतिअवकलन होगा।
परिभाषा के अनुसार, प्रतिअवकलन F '= f. जी '= जी। और चूंकि ये शर्तें संतुष्ट हैं, तो हमारे पास होने वाले कार्यों के योग के लिए व्युत्पन्न की गणना के नियम के अनुसार:
(एफ + जी) '= एफ' + जी '= एफ + जी।
नियम 2
यदि F किसी फलन f के लिए एक अवकलज है और k कुछ अचर है। तब k * F फलन k * f का प्रतिअवकलन है। यह नियम किसी जटिल फलन के अवकलज की गणना के नियम का अनुसरण करता है।
हमारे पास है: (के * एफ) '= के * एफ' = के * एफ।
नियम 3
यदि F (x) फलन f (x) के लिए कुछ प्रतिअवकलन है, और k और b कुछ अचर हैं, और k शून्य के बराबर नहीं है, तो (1 / k) * F * (k * x + b) होगा फ़ंक्शन f (k * x + b) के लिए प्रतिअवकलन।
यह नियम किसी जटिल फलन के अवकलज की गणना के नियम का अनुसरण करता है:
((1 / के) * एफ * (के * एक्स + बी)) '= (1 / के) * एफ' (के * एक्स + बी) * के = एफ (के * एक्स + बी)।
आइए कुछ उदाहरण देखें कि ये नियम कैसे लागू होते हैं:
उदाहरण 1... फलन f (x) = x ^ 3 + 1 / x ^ 2 के लिए प्रतिअवकलजों का सामान्य रूप ज्ञात कीजिए। फ़ंक्शन x ^ 3 के लिए, एंटीडेरिवेटिव में से एक फ़ंक्शन (x ^ 4) / 4 होगा, और फ़ंक्शन 1 / x ^ 2 के लिए, एंटीडेरिवेटिव में से एक फ़ंक्शन -1 / x होगा। पहले नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
एफ (एक्स) = एक्स ^ 4/4 - 1 / एक्स + सी।
उदाहरण 2... आइए फलन f (x) = 5 * cos (x) के लिए प्रतिअवकलजों का सामान्य रूप ज्ञात करें। फलन cos (x) के लिए, प्रतिअवकलजों में से एक फलन sin (x) होगा। यदि हम अब दूसरे नियम का उपयोग करते हैं, तो हमारे पास होगा:
एफ (एक्स) = 5 * पाप (एक्स)।
उदाहरण 3.फलन y = sin (3 * x-2) के लिए कोई एक अवकलज ज्ञात कीजिए। sin (x) फलन के लिए, प्रतिअवकलजों में से एक -cos (x) फलन होगा। यदि हम अब तीसरे नियम का उपयोग करते हैं, तो हमें प्रतिपदार्थ के लिए व्यंजक प्राप्त होता है:
एफ (एक्स) = (-1/3) * कॉस (3 * एक्स -2)
उदाहरण 4... f (x) = 1 / (7-3 * x) ^ 5 . के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए
फंक्शन 1 / x ^ 5 के लिए एंटीडेरिवेटिव फंक्शन (-1 / (4 * x ^ 4)) होगा। अब, तीसरे नियम का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।
एंटिडेरिवेटिव।
एक उदाहरण के साथ एंटीडेरिवेटिव को समझना आसान है।
चलो एक समारोह लेते हैं वाई = एक्स 3. जैसा कि हम पिछले अनुभागों से जानते हैं, से व्युत्पन्न एन एस 3 है 3 एन एस 2:
(एन एस 3)" = 3एन एस 2 .
इसलिए, समारोह से वाई = एक्स 3 हमें एक नया कार्य मिलता है: पर = 3एन एस 2 .
लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, फ़ंक्शन पर = एन एस 3 निकाल दिया समारोह पर = 3एन एस 2 और इसका "जनक" है। गणित में, "माता-पिता" शब्द नहीं है, लेकिन एक संबंधित अवधारणा है: एंटीडेरिवेटिव।
वह है: समारोह वाई = एक्स 3 फलन के लिए प्रतिअवकलन है पर = 3एन एस 2 .
एंटीडेरिवेटिव की परिभाषा:
हमारे उदाहरण में ( एन एस 3)" = 3एन एस 2, इसलिए वाई = एक्स 3 - के लिए व्युत्पन्न विरोधी पर = 3एन एस 2 .
एकीकरण।
जैसा कि आप जानते हैं, किसी दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया विभेदन कहलाती है। और व्युत्क्रम क्रिया को समाकलन कहते हैं।
उदाहरण स्पष्टीकरण:
पर = 3एन एस 2 + पाप एक्स.
समाधान :
हम जानते हैं कि 3 . के लिए प्रतिअवकलज एन एस 2 is एन एस 3 .
पाप के लिए नाशक एक्सहै -कोस एक्स.
दिए गए फलन के लिए दो अवकलज जोड़ें और प्रतिअवकलन प्राप्त करें:
वाई = एक्स 3 + (-cos एक्स),
वाई = एक्स 3 - कोस एक्स.
उत्तर :
समारोह के लिए पर = 3एन एस 2 + पाप एक्स वाई = एक्स 3 - कोस एक्स.
उदाहरण स्पष्टीकरण:
फलन के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए पर= 2 पाप एक्स.
समाधान :
ध्यान दें कि k = 2. sin . का प्रतिअवकलज एक्सहै -कोस एक्स.
इसलिए, समारोह के लिए पर= 2 पाप एक्सविरोधी व्युत्पन्न कार्य है पर= -2 cos एक्स.
फलन y = 2 sin . में गुणांक 2 एक्सएंटीडेरिवेटिव के गुणांक से मेल खाती है जिससे यह फ़ंक्शन बनाया गया था।
उदाहरण स्पष्टीकरण:
फलन के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए आप= पाप 2 एक्स.
समाधान :
ध्यान दें कि क= 2. पाप के लिए एंटिडेरिवेटिव एक्सहै -कोस एक्स.
फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात करते समय हम अपना सूत्र लागू करते हैं आप= क्योंकि 2 एक्स:
1
आप= - · (-cos 2 एक्स),
2
क्योंकि 2 एक्स
आप = – ----
2
क्योंकि 2 एक्स
उत्तर: समारोह के लिए आप= पाप 2 एक्सविरोधी व्युत्पन्न कार्य है आप = – ----
2
(4)
उदाहरण स्पष्टीकरण.
आइए फ़ंक्शन को पिछले उदाहरण से लें: आप= पाप 2 एक्स.
इस फ़ंक्शन के लिए, सभी एंटीडेरिवेटिव हैं:
क्योंकि 2 एक्स
आप = – ---- + सी.
2
व्याख्या।
आइए पहली पंक्ति लेते हैं। यह इस तरह पढ़ता है: यदि फ़ंक्शन y = f ( एक्स) 0 के बराबर है, तो उसके लिए प्रतिअवकलन 1 है। क्यों? क्योंकि व्युत्पन्न इकाई शून्य है: 1 "= 0।
शेष पंक्तियों को इसी क्रम में पढ़ा जाता है।
तालिका से डेटा कैसे लिखें? आइए आठवीं पंक्ति लें:
(-कोस एक्स) "= पाप एक्स
हम दूसरे भाग को व्युत्पन्न चिह्न के साथ लिखते हैं, फिर बराबर चिह्न और व्युत्पन्न।
हम पढ़ते हैं: पाप समारोह के लिए प्रतिपदार्थ एक्स-cos फ़ंक्शन है एक्स.
या: -cos फ़ंक्शन एक्सपाप के लिए विरोधी है एक्स.
यह ट्यूटोरियल एकीकरण पर वीडियो की श्रृंखला में पहला है। इसमें हम विश्लेषण करेंगे कि किसी फलन का प्रतिअवकलन क्या है, और इन अति अवकलजों की गणना के लिए प्राथमिक तकनीकों का भी अध्ययन करेंगे।
वास्तव में, यहां कुछ भी जटिल नहीं है: संक्षेप में, यह सब एक व्युत्पन्न की अवधारणा के लिए उबलता है, जिसके साथ आपको पहले से ही परिचित होना चाहिए। :)
मैं तुरंत ध्यान देता हूं कि, चूंकि यह हमारे नए विषय का पहला पाठ है, इसलिए आज कोई जटिल गणना और सूत्र नहीं होंगे, लेकिन आज हम जो अध्ययन करेंगे, वह जटिल समाकलों की गणना करते समय बहुत अधिक जटिल गणनाओं और निर्माणों का आधार बनेगा। क्षेत्र।
इसके अलावा, विशेष रूप से एकीकरण और इंटीग्रल का अध्ययन शुरू करते हुए, हम यह मानते हैं कि छात्र पहले से ही व्युत्पन्न की अवधारणाओं से कम से कम परिचित है और उनकी गणना करने में कम से कम प्रारंभिक कौशल है। इसकी स्पष्ट समझ के बिना, एकीकरण में कुछ भी नहीं करना है।
हालांकि, यह सबसे आम और कपटी समस्याओं में से एक है। तथ्य यह है कि, अपने पहले एंटीडेरिवेटिव्स की गणना करना शुरू करते हुए, कई छात्र उन्हें डेरिवेटिव के साथ भ्रमित करते हैं। फलस्वरूप परीक्षा तथा स्वतंत्र कार्य में मूर्खतापूर्ण एवं आपत्तिजनक गलतियाँ की जाती हैं।
इसलिए, अब मैं प्रतिपदार्थ की स्पष्ट परिभाषा नहीं दूंगा। बदले में, मेरा सुझाव है कि आप देखें कि एक साधारण ठोस उदाहरण का उपयोग करके इसकी गणना कैसे की जाती है।
प्रतिअवकलन क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है
हम इस सूत्र को जानते हैं:
\ [((\ बाएँ (((x) ^ (n)) \ दाएँ)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]
यह व्युत्पन्न प्राथमिक माना जाता है:
\ [(f) "\ बाएँ (x \ दाएँ) = ((\ बाएँ (((x) ^ (3)) \ दाएँ)) ^ (\ prime)) = 3 ((x) ^ (2)) \ ]
आइए परिणामी अभिव्यक्ति को ध्यान से देखें और $ ((x) ^ (2)) $ व्यक्त करें:
\ [((x) ^ (2)) = \ frac (((\ बाएँ (((x) ^ (3)) \ दाएँ)) ^ (\ प्रधान)) (3) \]
लेकिन हम इसे व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार इस तरह लिख सकते हैं:
\ [((x) ^ (2)) = ((\ बाएँ (\ frac (((x) ^ (3))) (3) \ दाएँ) ^ (\ prime)) \]
अब ध्यान दें: जो हमने अभी लिखा है, वह एक प्रतिपदार्थ की परिभाषा है। लेकिन इसे सही ढंग से लिखने के लिए, आपको निम्नलिखित लिखना होगा:
आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति को इसी तरह से लिखें:
यदि हम इस नियम का सामान्यीकरण करते हैं, तो हम निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
\ [((x) ^ (n)) \ से \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]
अब हम एक स्पष्ट परिभाषा तैयार कर सकते हैं।
किसी फ़ंक्शन का एक एंटीडेरिवेटिव एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसका व्युत्पन्न मूल फ़ंक्शन के बराबर होता है।
विरोधी व्युत्पन्न प्रश्न
यह काफी सरल और सीधी परिभाषा प्रतीत होगी। हालाँकि, इसे सुनने पर, एक चौकस छात्र के पास तुरंत कई प्रश्न होंगे:
- मान लीजिए ठीक है, यह सूत्र सही है। हालांकि, इस मामले में, $ n = 1 $ के लिए, हमें समस्याएं हैं: "शून्य" हर में दिखाई देता है, और आप "शून्य" से विभाजित नहीं कर सकते।
- सूत्र केवल डिग्री तक सीमित है। एंटीडेरिवेटिव की गणना कैसे करें, उदाहरण के लिए, साइन, कोसाइन और कोई अन्य त्रिकोणमिति, साथ ही साथ स्थिरांक।
- एक अस्तित्वगत प्रश्न: क्या हमेशा एक एंटीडेरिवेटिव खोजना संभव है? यदि हां, तो आदिम योग, अंतर, उत्पाद आदि के बारे में क्या?
मैं अंतिम प्रश्न का उत्तर तुरंत दूंगा। दुर्भाग्य से, व्युत्पन्न के विपरीत, प्रतिपक्षी को हमेशा नहीं माना जाता है। ऐसा कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है जिसके अनुसार किसी भी प्रारंभिक निर्माण से हमें एक ऐसा कार्य मिलता है जो इस समान निर्माण के बराबर होगा। जहां तक डिग्री और अचर का सवाल है - अब हम उसके बारे में बात करेंगे।
बिजली कार्यों के साथ समस्याओं का समाधान
\ [((x) ^ (- 1)) \ से \ frac (((x) ^ (- 1 + 1))) (- 1 + 1) = \ frac (1) (0) \]
जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सूत्र $ ((x) ^ (- 1)) $ के लिए काम नहीं करता है। सवाल उठता है: फिर क्या काम करता है? क्या हम $ ((x) ^ (- 1)) $ की गणना नहीं कर सकते? बिलकुल हम कर सकते हैं। आइए पहले इसे याद रखें:
\ [((x) ^ (- 1)) = \ frac (1) (x) \]
अब आइए सोचते हैं: किस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $ \ frac (1) (x) $ है। जाहिर है, इस विषय का कम से कम थोड़ा अध्ययन करने वाले किसी भी छात्र को याद होगा कि प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न इस अभिव्यक्ति के बराबर है:
\ [((\ बाएँ (\ ln x \ दाएँ)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (x) \]
इसलिए, हम आत्मविश्वास से निम्नलिखित लिख सकते हैं:
\ [\ फ्रैक (1) (एक्स) = ((एक्स) ^ (- 1)) \ से \ एलएन एक्स \]
आपको पावर फंक्शन के व्युत्पन्न की तरह ही इस फॉर्मूले को जानने की जरूरत है।
तो इस समय हम क्या जानते हैं:
- पावर फंक्शन के लिए - $ ((x) ^ (n)) \ से \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) $
- एक स्थिरांक के लिए - $ = const \ से \ cdot x $
- पावर फ़ंक्शन का एक विशेष मामला - $ \ frac (1) (x) \ से \ ln x $
और यदि हम सरलतम फलनों को गुणा और विभाजित करना शुरू करते हैं, तो हम किसी उत्पाद या भागफल के प्रतिअवकलन की गणना कैसे कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, किसी काम या किसी विशेष के व्युत्पन्न के साथ समानताएं यहां काम नहीं करती हैं। कोई मानक सूत्र नहीं है। कुछ मामलों के लिए, मुश्किल विशेष सूत्र हैं - हम भविष्य के वीडियो ट्यूटोरियल में उनसे परिचित होंगे।
हालांकि, याद रखें: भागफल और उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्र के समान कोई सामान्य सूत्र नहीं है।
वास्तविक समस्याओं का समाधान
समस्या संख्या 1
आइए प्रत्येक शक्ति कार्यों की अलग से गणना करें:
\ [((x) ^ (2)) \ से \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]
अपनी अभिव्यक्ति पर लौटते हुए, हम सामान्य निर्माण लिखेंगे:
समस्या संख्या 2
जैसा कि मैंने पहले ही कहा है, आदिम कार्यों और निजी को "राइट थ्रू" नहीं माना जाता है। हालाँकि, यहाँ आप निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं:
हमने भिन्न को दो भिन्नों के योग में विभाजित किया है।
गिनती करते हैं:
अच्छी खबर यह है कि एंटीडेरिवेटिव्स की गणना के लिए सूत्रों को जानकर, आप अधिक जटिल निर्माणों पर भरोसा कर सकते हैं। हालाँकि, आइए आगे बढ़ते हैं और अपने ज्ञान का थोड़ा और विस्तार करते हैं। तथ्य यह है कि कई निर्माण और अभिव्यक्तियाँ, जिनका पहली नज़र में $ ((x) ^ (n)) $ से कोई लेना-देना नहीं है, को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात्:
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \]
\ [\ sqrt [n] (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (n))) \]
\ [\ फ्रैक (1) (((x) ^ (एन))) = ((x) ^ (- एन)) \]
इन सभी तकनीकों को जोड़ा जा सकता है और जोड़ा जाना चाहिए। शक्ति अभिव्यक्ति कर सकते हैं
- गुणा करें (शक्तियां जोड़ें);
- विभाजित करें (डिग्री घटाई जाती हैं);
- एक स्थिरांक से गुणा करें;
- आदि।
परिमेय घातांक वाली घात के साथ व्यंजकों को हल करना
उदाहरण संख्या 1
आइए प्रत्येक रूट को अलग से गिनें:
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ से \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (2) +1))) (\ फ़्रेक (1) (2) +1) = \ फ़्रेक (((x) ^ (\ फ़्रेक (3) (2)))) (\ फ़्रेक (3) (2)) = \ फ़्रेक (2 \ cdot (( x) ^ (\ फ़्रेक (3) (2))) (3) \]
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ से \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (4)))) (\ frac ( 1) (4) +1) = \ फ़्रेक (((x) ^ (\ फ़्रेक (5) (4))) (\ फ़्रेक (5) (4) = \ फ़्रेक (4 \ cdot ((x)) ^ (\ फ्रैक (5) (4)))) (5) \]
कुल मिलाकर, हमारा पूरा निर्माण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
उदाहरण संख्या 2
\ [\ फ़्रेक (1) (\ sqrt (x)) = ((\ बाएँ (\ sqrt (x) \ दाएँ)) ^ (- 1)) = ((\ बाएँ (((x) ^ (\ फ़्रेक)) 1) (2)) \ दाएँ)) ^ (- 1)) = ((x) ^ (- \ फ़्रेक (1) (2)) \]
इसलिए, हमें मिलता है:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (3))) = ((x) ^ (- 3)) \ से \ frac (((x) ^ (- 3 + 1))) (- 3 +1) = \ फ़्रेक (((x) ^ (- 2))) (- 2) = - \ फ़्रेक (1) (2 ((x) ^ (2))) \]
तो, सब कुछ एक अभिव्यक्ति में एकत्रित करते हुए, आप लिख सकते हैं:
उदाहरण संख्या 3
सबसे पहले, ध्यान दें कि हमने पहले ही $ \ sqrt (x) $ पर विचार कर लिया है:
\ [\ sqrt (x) \ से \ frac (4 ((x) ^ (\ frac (5) (4))) (5) \]
\ [((x) ^ (\ फ्रैक (3) (2))) \ से \ फ्रैक (((x) ^ (\ फ्रैक (3) (2) +1)) (\ फ्रैक (3) (2 ) +1) = \ फ़्रेक (2 \ cdot ((x) ^ (\ फ़्रेक (5) (2))) (5) \]
आइए फिर से लिखें:
मुझे आशा है कि मैं किसी को भी आश्चर्यचकित नहीं करूंगा यदि मैं कहूं कि हमने अभी जो अध्ययन किया है वह एंटीडेरिवेटिव्स की सबसे सरल गणना है, सबसे प्राथमिक निर्माण। आइए अब कुछ और जटिल उदाहरणों पर विचार करें, जिसमें सारणीबद्ध प्रतिअवकलजों के अलावा, हमें स्कूली पाठ्यचर्या, अर्थात् संक्षिप्त गुणन सूत्र, को भी याद करने की आवश्यकता होगी।
अधिक जटिल उदाहरणों को हल करना
समस्या संख्या 1
आइए अंतर के वर्ग के लिए सूत्र को याद करें:
\ [((\ बाएं (ए-बी \ दाएं)) ^ (2)) = ((ए) ^ (2)) - एबी + ((बी) ^ (2)) \]
आइए अपने कार्य को फिर से लिखें:
अब हमें ऐसे फलन का प्रतिअवकलज ज्ञात करना है:
\ [((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ से \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (3))) (5) \]
\ [((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ से \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (4) (3))) (4) \]
एक सामान्य डिजाइन में सब कुछ एक साथ रखना:
समस्या संख्या 2
इस मामले में, हमें अंतर घन का विस्तार करने की आवश्यकता है। चलो याद करते हैं:
\ [((\ बाएँ (ab \ दाएँ)) ^ (3)) = ((a) ^ (3)) - 3 ((a) ^ (2)) \ cdot b + 3a \ cdot ((b) ^ (2)) - ((बी) ^ (3)) \]
इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
आइए अपने कार्य को थोड़ा रूपांतरित करें:
हम हमेशा की तरह गिनते हैं - प्रत्येक पद के लिए अलग से:
\ [((x) ^ (- 3)) \ से \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) \]
\ [((x) ^ (- 2)) \ से \ frac (((x) ^ (- 1))) (- 1) \]
\ [((x) ^ (- 1)) \ से \ ln x \]
आइए परिणामी निर्माण लिखें:
समस्या संख्या 3
सबसे ऊपर हमारे पास योग का वर्ग है, आइए इसका विस्तार करें:
\ [\ फ़्रेक (((\ बाएँ (x + \ sqrt (x) \ दाएँ)) ^ (2))) (x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x \ cdot \ sqrt ( x ) + ((\ बाएँ (\ sqrt (x) \ दाएँ)) ^ (2))) (x) = \]
\ [= \ frac (((x) ^ (2))) (x) + \ frac (2x \ sqrt (x)) (x) + \ frac (x) (x) = x + 2 ((x) ^ (\ फ़्रेक (1) (2))) + 1 \]
\ [((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ से \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (2))) (3) \]
आइए अंतिम समाधान लिखें:
अब ध्यान! एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात, जो सिंह के हिस्से की गलतियों और गलतफहमियों से जुड़ी है। तथ्य यह है कि अब तक, डेरिवेटिव की मदद से एंटीडेरिवेटिव्स की गिनती, परिवर्तन लाते हुए, हमने इस बारे में नहीं सोचा है कि एक स्थिरांक का व्युत्पन्न क्या है। लेकिन स्थिरांक का व्युत्पन्न "शून्य" के बराबर है। इसका मतलब है कि आप निम्नलिखित विकल्पों को लिख सकते हैं:
- $ ((x) ^ (2)) \ से \ frac (((x) ^ (3))) (3) $
- $ ((x) ^ (2)) \ से \ frac (((x) ^ (3))) (3) + 1 $
- $ ((x) ^ (2)) \ से \ frac (((x) ^ (3))) (3) + सी $
यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है: यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न हमेशा समान होता है, तो उसी फ़ंक्शन के लिए असीम रूप से कई एंटीडेरिवेटिव होते हैं। यह सिर्फ इतना है कि हम अपने एंटीडेरिवेटिव में कोई भी स्थिर संख्या जोड़ सकते हैं और नए प्राप्त कर सकते हैं।
यह कोई संयोग नहीं है कि जिन समस्याओं का हमने अभी-अभी समाधान किया है, उनकी व्याख्या में लिखा गया था "एंटीडेरिवेटिव्स के सामान्य दृष्टिकोण को लिखें।" वे। यह पहले से ही माना जाता है कि उनमें से एक नहीं, बल्कि पूरी भीड़ है। लेकिन, वास्तव में, वे अंत में केवल स्थिर $ C $ में भिन्न होते हैं। इसलिए, अपने कार्यों में, हमने जो पूरा नहीं किया है उसे ठीक कर देंगे।
हम अपने निर्माणों को फिर से लिखते हैं:
ऐसे मामलों में, आपको यह जोड़ना चाहिए कि $ C $ एक स्थिरांक है - $ C = const $।
हमारे दूसरे कार्य में, हमें निम्नलिखित निर्माण मिलता है:
और आखिर का:
और अब हमें वास्तव में वह मिल गया जो समस्या की प्रारंभिक स्थिति में हमसे आवश्यक था।
किसी दिए गए बिंदु के साथ एंटीडेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करना
अब, जब हम स्थिरांक के बारे में जानते हैं और एंटीडेरिवेटिव लिखने की ख़ासियत के बारे में जानते हैं, तो निम्न प्रकार की समस्याएं काफी तार्किक रूप से उत्पन्न होती हैं, जब सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट से एक और केवल एक को खोजने की आवश्यकता होती है जो किसी दिए गए बिंदु से गुजरती है। यह कार्य क्या है?
तथ्य यह है कि इस फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव केवल इस मायने में भिन्न होते हैं कि उन्हें किसी संख्या से लंबवत स्थानांतरित किया जाता है। और इसका मतलब यह है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम समन्वय विमान पर कोई भी बिंदु लेते हैं, एक एंटीडेरिवेटिव अनिवार्य रूप से पारित होगा, और इसके अलावा, केवल एक।
इसलिए, अब हम जिन कार्यों को हल करेंगे वे निम्नानुसार तैयार किए गए हैं: न केवल मूल फ़ंक्शन के सूत्र को जानने के लिए, बल्कि उनमें से एक को चुनें जो किसी दिए गए बिंदु से गुजरता है, जिसके निर्देशांक में दिए जाएंगे समस्या का विवरण।
उदाहरण संख्या 1
सबसे पहले, आइए प्रत्येक पद को गिनें:
\ [((x) ^ (4)) \ से \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]
\ [((x) ^ (3)) \ से \ frac (((x) ^ (4))) (4) \]
अब हम इन अभिव्यक्तियों को हमारे निर्माण में प्रतिस्थापित करते हैं:
यह फ़ंक्शन बिंदु $ M \ बाएँ (-1; 4 \ दाएँ) $ से गुज़रना चाहिए। इसका क्या मतलब है कि यह एक बिंदु से गुजरता है? इसका अर्थ यह हुआ कि यदि हम $x$ के स्थान पर $-1$ हर जगह रखते हैं, और $F \ left (x \ right) $ - $ -4 $ के स्थान पर, तो हमें सही संख्यात्मक समानता मिलनी चाहिए। चलो इसे करते हैं:
हम देख सकते हैं कि हमें $ C $ के लिए एक समीकरण मिला है, तो आइए इसे हल करने का प्रयास करें:
आइए हम जिस समाधान की तलाश कर रहे थे, उसे लिखें:
उदाहरण संख्या 2
सबसे पहले, संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके अंतर के वर्ग को खोलना आवश्यक है:
\ [((x) ^ (2)) \ से \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]
मूल निर्माण इस प्रकार लिखा जाएगा:
अब आइए $ C $ खोजें: बिंदु $ M $ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें:
\ [- 1 = \ फ़्रेक (8) (3) -12 + 18 + सी \]
$ सी $ व्यक्त करना:
यह अंतिम अभिव्यक्ति प्रदर्शित करने के लिए बनी हुई है:
त्रिकोणमितीय समस्याओं का समाधान
हमने अभी जो विश्लेषण किया है, उसके अंतिम राग के रूप में, मैं दो और जटिल समस्याओं पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं जिनमें त्रिकोणमिति शामिल है। उनमें, उसी तरह, आपको सभी कार्यों के लिए एंटीडेरिवेटिव खोजने की आवश्यकता है, फिर इस सेट में से केवल वही चुनें जो समन्वय विमान पर बिंदु $ M $ से गुजरता है।
आगे देखते हुए, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि जिस तकनीक का उपयोग हम अब त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिअवकलजों को खोजने के लिए करेंगे, वास्तव में, स्व-परीक्षण के लिए एक सार्वभौमिक तकनीक है।
समस्या संख्या 1
आइए निम्नलिखित सूत्र को याद करें:
\ [((\ बाएँ (\ पाठ (tg) x \ दाएँ)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \]
इसके आधार पर हम लिख सकते हैं:
आइए हमारी अभिव्यक्ति में $ M $ के निर्देशांक प्लग करें:
\ [- 1 = \ टेक्स्ट (tg) \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) (\ text (4)) + C \]
आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:
समस्या संख्या 2
यहां थोड़ी मुश्किल होगी। अब आप देखेंगे क्यों।
आइए इस सूत्र को याद करें:
\ [((\ बाएँ (\ पाठ (ctg) x \ दाएँ)) ^ (\ prime)) = - \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]
"माइनस" से छुटकारा पाने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:
\ [((\ बाएँ (- \ पाठ (ctg) x \ दाएँ)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]
यहाँ हमारा निर्माण है
आइए बिंदु $ M $ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें:
कुल मिलाकर, हम अंतिम निर्माण लिखते हैं:
आज मैं आपको बस इतना ही बताना चाहता था। हमने बहुत ही शब्द प्रतिअवकलजों का अध्ययन किया है, कि उन्हें प्राथमिक फलनों से कैसे गिनना है, और यह भी कि निर्देशांक तल पर एक विशिष्ट बिंदु से गुजरने वाले प्रतिअवकलन का पता कैसे लगाया जाए।
मुझे उम्मीद है कि यह ट्यूटोरियल आपको इस जटिल विषय को कम से कम थोड़ा समझने में मदद करेगा। किसी भी मामले में, यह एंटीडेरिवेटिव्स पर है कि अनिश्चित और अनिश्चित इंटीग्रल बनाए जाते हैं, इसलिए उन्हें गिनना नितांत आवश्यक है। मेरे लिए बस इतना ही। अगली बार तक!