पीछे की ओर आगे की ओर

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

लक्ष्य:

• विद्यार्थियों को प्रक्षेपण की अवधारणा, प्रक्षेपण के प्रकार बताना;
• आयताकार प्रक्षेपण के तत्वों का परिचय दे सकेंगे;
• किसी वस्तु को प्रक्षेपण तल पर प्रक्षेपित करना सिखाएं;
• स्थानिक समझ और स्थानिक सोच विकसित करना;
• ग्राफ़िक अभ्यावेदन में सटीकता विकसित करें।

तरीके:बातचीत, स्पष्टीकरण, अभ्यास।

उपकरण:पाठ्यपुस्तक, शैक्षिक प्रस्तुति "प्रोजेक्शन", ड्राइंग टूल्स, ए.डी. द्वारा पाठ्यपुस्तक "ड्राइंग" के लिए मुद्रित आधार पर कार्यपुस्तिका। बोत्विनिकोव, लेखक वी.आई. वैश्नेपोलस्की।

पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखना.

पाठ संरचना:

1. संगठनात्मक क्षण: विषय का संदेश/इसे ड्राइंग फ़ॉन्ट में एक नोटबुक में लिखना/, लक्ष्य, पाठ के उद्देश्य और शैक्षिक गतिविधियों के लिए प्रेरणा, मुद्रित आधार पर कार्यपुस्तिकाओं में पूरा होमवर्क एकत्र करना - 3-5 मिनट।
2. जो सीखा गया है उसकी पुनरावृत्ति: मुद्रित आधार पर परीक्षण पूरा करना (कार्य 2, 10 विकल्प, वी.वी. स्टेपकोवा द्वारा संपादित "ड्राइंग टास्क कार्ड"। ज्ञानोदय) - 5-7 मिनट।
3. नई सामग्री - 20 मिनट।
4. समेकन: मौखिक व्यायाम करना - 10 मिनट।
5. अंतिम भाग: सारांश, अच्छा काम करने वालों का मूल्यांकन, होमवर्क देना - 3-5 मिनट।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

पाठ के विषय, उद्देश्य, उद्देश्यों को संप्रेषित करना, पूर्ण किए गए होमवर्क को मुद्रित कार्यपुस्तिकाओं में एकत्रित करना।

2. जो कवर किया गया है उसकी पुनरावृत्ति

शिक्षक: आपकी टेबल पर टेस्ट कार्ड हैं। (कार्य 2, 10 विकल्प, "ड्राइंग के लिए कार्ड-कार्य" वी.वी. स्टेपकोवा द्वारा संपादित, एड। शिक्षा - छात्रों की संख्या के अनुसार कार्ड प्रिंट करें)।
मैं आपसे 5 मिनट के भीतर सवालों के जवाब देने के लिए कहूंगा। और कार्डों को पहले डेस्क पर भेज दें।
आज के पाठ का विषय है “प्रक्षेपण. एक प्रक्षेपण तल पर प्रक्षेपण". इसे अपनी नोटबुक में ब्लूप्रिंट में लिखें (विषय बोर्ड पर प्रदर्शित होता है, प्रस्तुतिकरण में ब्लूप्रिंट में लिखा होता है)। (स्लाइड 1)

3. नई सामग्री

चित्रों में वस्तुओं की छवि प्रक्षेपण द्वारा प्राप्त की जाती है। (स्लाइड 2) प्रक्षेपण किसी समतल पर किसी वस्तु की छवि बनाने की प्रक्रिया है। परिणामी छवि को वस्तु का प्रक्षेपण कहा जाता है। प्रोजेक्शन शब्द लैटिन प्रोजेक्शन से आया है - आगे फेंकना। इस मामले में, हम देखते हैं (एक नज़र डालते हैं) और जो हम देखते हैं उसे शीट के तल पर प्रदर्शित करते हैं।
अनुमान कैसे बनाये जाते हैं? इस उदाहरण पर विचार करें. आइए हम अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु A और कुछ समतल H लें (स्लाइड 3). आइए हम बिंदु A से होकर एक सीधी रेखा खींचें ताकि वह समतल H को किसी बिंदु a पर प्रतिच्छेद करे। तब बिंदु A, बिंदु A का प्रक्षेपण होगा। जिस तल पर प्रक्षेपण प्राप्त किया जाता है उसे प्रक्षेपण तल कहा जाता है। सीधी रेखा आ को प्रक्षेपित किरण कहा जाता है। इसकी सहायता से बिंदु A को समतल H पर प्रक्षेपित किया जाता है। इस विधि का उपयोग करके किसी भी स्थानिक आकृति के सभी बिंदुओं का प्रक्षेपण किया जा सकता है।
नतीजतन, किसी समतल पर किसी आकृति का प्रक्षेपण बनाने के लिए, इस आकृति के बिंदुओं के माध्यम से काल्पनिक प्रक्षेपित किरणों को तब तक खींचना आवश्यक है जब तक कि वे समतल के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। किसी आकृति के सभी बिंदुओं के प्रक्षेपण किसी दी गई आकृति का प्रक्षेपण बनाते हैं। भविष्य में, हम किसी वस्तु पर लिए गए बिंदुओं को बड़े अक्षरों से और उनके प्रक्षेपणों को छोटे अक्षरों से निरूपित करेंगे।
आइए अब वह लिखें जिसे हम अनुमान कहते हैं। (स्लाइड 4)

• प्रक्षेपण किसी वस्तु का प्रक्षेपण बनाने की प्रक्रिया है।
• प्रक्षेपण तल - वह तल जिस पर प्रक्षेपण प्राप्त किया जाता है।
• प्रक्षेपित किरण एक सीधी रेखा है जिसकी सहायता से शीर्षों, फलकों और किनारों का प्रक्षेपण किया जाता है।

अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किरणों के सापेक्ष स्थान के आधार पर, वहाँ हैं केंद्रीयऔर समानांतरप्रक्षेपण ( स्लाइड 5). समानांतर प्रक्षेपण को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है: आयताकार और तिरछा।

केंद्रीय प्रक्षेपण पर विचार करें (स्लाइड 6)।आइए परिभाषा लिखें:

• यदि प्रक्षेपित किरणें एक बिंदु से आती हैं, तो ऐसे प्रक्षेपण को केंद्रीय कहा जाता है।
• जिस बिंदु से प्रक्षेपण निकलता है वह प्रक्षेपण का केंद्र है।

अध्यापक: (छात्रों के उत्तर)

उदाहरण: तस्वीरें और फिल्म फ्रेम, बिजली के प्रकाश बल्ब की किरणों द्वारा किसी वस्तु से डाली गई छाया।
फ़ीचर: प्रक्षेपण मूल आकृति से बड़ा है।

अध्यापक:आइए समानांतर प्रक्षेपण से परिचित हों (स्लाइड 7)।
आइए परिभाषा लिखें:

• यदि प्रक्षेपित किरणें एक दूसरे के समानांतर हों तो ऐसे प्रक्षेपण को समानांतर कहा जाता है।

अध्यापक:इस प्रकार के प्रक्षेपण के उदाहरण स्वयं देने का प्रयास करें। (छात्रों के उत्तर)

अध्यापक:समानांतर प्रक्षेपण का एक उदाहरण सूर्य की वस्तुओं की छाया, साथ ही बारिश की धाराएं माना जा सकता है।
समानांतर प्रक्षेपण, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, आयताकार और तिरछा हो सकता है (स्लाइड 8)।
आइए विचार करें कि इस प्रकार के प्रक्षेपण से समतल पर प्रक्षेपण कैसे प्राप्त होते हैं और परिभाषा लिखें:

• तिरछा प्रक्षेपण - प्रक्षेपित किरणें समानांतर होती हैं और प्रक्षेपण तल पर न्यून कोण पर गिरती हैं।
• आयताकार प्रक्षेपण - प्रक्षेपित किरणें समानांतर होती हैं और प्रक्षेपण तल पर 90 डिग्री के कोण पर गिरती हैं।

निष्कर्ष:विज्ञान, प्रौद्योगिकी और उत्पादन में, समानांतर प्रक्षेपणों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे काफी दृश्यमान होते हैं।
आयताकार प्रक्षेपण विधि की सैद्धांतिक नींव 18वीं शताब्दी के अंत में फ्रांसीसी वैज्ञानिक गैसपार्ड मोंगे द्वारा विकसित की गई थी।

एक प्रक्षेपण तल पर प्रक्षेपित करना

आइए किसी वस्तु का आयताकार प्रक्षेपण प्राप्त करने के प्रश्न पर विचार करें, अर्थात। किसी वस्तु को एक प्रक्षेपण तल पर प्रक्षेपित करना (स्लाइड 9)।
आइए प्रक्षेपणों का एक ऊर्ध्वाधर तल चुनें और इसे V अक्षर से निरूपित करें। दर्शकों के सामने स्थित ऐसे तल को फ्रंटल कहा जाता है (फ्रांसीसी शब्द से) ललाट, जिसका अर्थ है दर्शक का सामना करना)। आइए वस्तु को समतल के सामने रखें ताकि उसका किनारा प्रक्षेपण के ललाट तल के समानांतर हो, क्योंकि फिर, आयताकार प्रक्षेपण के साथ, वस्तु की चौड़ाई और ऊंचाई के आयाम नहीं बदलेंगे, और सीधी रेखाओं के बीच के कोण विकृत नहीं होंगे। परिणामस्वरूप, प्रक्षेपण के ललाट तल पर हमें वस्तु का ललाट प्रक्षेपण प्राप्त हुआ।
आइए परिभाषा लिखें:

• दर्शक के सामने स्थित विमान को ललाट कहा जाता है, और इसे V अक्षर से नामित किया जाता है।
• वस्तु को समतल के सामने रखा जाता है ताकि उसकी दो सतहें इस समतल के समानांतर हों और बिना किसी विकृति के प्रक्षेपित हों।

सारांश:परिणामी प्रक्षेपण के आधार पर, हम वस्तु के केवल दो आयामों का अनुमान लगा सकते हैं - ऊंचाई और लंबाई, और छेद का व्यास।
वस्तु की मोटाई कितनी है? (छात्रों से प्रश्न)।
परिणामी प्रक्षेपण का उपयोग करके, हम यह नहीं कह सकते। इस तरह के चित्र से भाग के आकार का आकलन करने के लिए, इसे कभी-कभी मोटाई (एस) के संकेत के साथ पूरक किया जाता है। (स्लाइड 10)।

4. सामग्री को ठीक करना

आइए स्लाइड पर तस्वीरों को देखें। (स्लाइड 11)।
मुझे बताओ, प्रत्येक मामले में जल जेट ने किस प्रकार का "प्रक्षेपण" दिया?

• केंद्रीय
• समानांतर आयताकार

अध्यापक:हमने सभी पाठ सामग्री को कवर कर लिया है, आइए स्वयं जांचें कि हमने इसमें कैसे महारत हासिल की है।
(स्लाइड 12)।स्लाइड पर आपको एक तालिका दिखाई देती है जिसमें नई अवधारणाएँ दी गई हैं। आपका कार्य अवधारणाओं और उनकी परिभाषाओं को सही ढंग से वितरित करना है।
आइए आपके उत्तरों की जाँच करें (स्लाइड पर माउस क्लिक करने से, सही उत्तर कक्षों में दिखाई देते हैं)।

नहीं।	नई अवधारणाएँ	परिभाषा
1	प्रक्षेपण.	एक विमान पर छवि.
2	प्रक्षेपण विमान.	वह तल जिस पर प्रक्षेपण प्राप्त किया जाता है।
3	प्रक्षेपण किरण.	एक सीधी रेखा जिसके द्वारा किसी वस्तु को समतल पर प्रक्षेपित किया जाता है।
4	केंद्रीय प्रक्षेपण.	प्रक्षेपण जिसमें प्रक्षेपित किरणें एक ही बिंदु से निकलती हैं।
5	समानांतर प्रक्षेपण.	प्रक्षेपण जिसमें प्रक्षेपित किरणें एक दूसरे के समानांतर होती हैं।
6	आयताकार प्रक्षेपण.	प्रक्षेपण जिसमें प्रक्षेपित किरणें प्रक्षेपण तल पर समकोण पर पड़ती हैं।
7	तिरछा प्रक्षेपण.	ऐसा प्रक्षेपण जिसमें प्रक्षेपित किरणें प्रक्षेपण तल पर समकोण पर नहीं पड़तीं।
प्रक्षेपण किरण, केंद्रीय प्रक्षेपण, प्रक्षेपण, तिरछा प्रक्षेपण, समतल प्रक्षेपण, समानांतर प्रक्षेपण, आयताकार प्रक्षेपण।

5. अंतिम भाग(1 मिनट।)

अध्यापक:हमने अपने लक्ष्य और उद्देश्य हासिल कर लिए हैं।' (अच्छा काम करने वालों का मूल्यांकन)अपना होमवर्क लिखें. (स्लाइड 13)

6. गृहकार्य:पाठ्यपुस्तक पृष्ठ 32-37।

अध्यापक:पाठ ख़त्म हुआ, धन्यवाद, अलविदा।

प्रक्षेपित किरणों का उपयोग करके किसी भी सतह (सपाट, बेलनाकार, गोलाकार, शंक्वाकार) पर।

प्रक्षेपण विभिन्न विधियों का उपयोग करके किया जा सकता है।

प्रक्षेपण विधि प्रक्षेपण साधनों (प्रक्षेपण केंद्र, प्रक्षेपण दिशा, प्रक्षेपण किरणें, प्रक्षेपण विमान (सतह)) के एक विशिष्ट, अद्वितीय सेट का उपयोग करके छवियां प्राप्त करने की एक विधि है, जो परिणाम निर्धारित करती है - संबंधित प्रक्षेपण छवियां और उनके गुण।

किसी समतल पर किसी वस्तु की छवि प्राप्त करने के लिए, उसे प्रक्षेपण तल के सामने रखना और प्रक्षेपण के केंद्र से वस्तु की सतह पर प्रत्येक बिंदु को छेदने वाली काल्पनिक प्रक्षेपित किरणों को खींचना आवश्यक है। प्रक्षेपण तल के साथ इन किरणों के प्रतिच्छेदन से बिंदुओं का एक समूह बनता है, जिसकी समग्रता किसी वस्तु की एक छवि बनाती है, जिसे उसका प्रक्षेपण कहा जाता है। आइए हम प्रक्षेपण तल H पर एक बिंदु, एक सीधी रेखा, एक त्रिभुज और एक त्रिकोणीय प्रिज्म को प्रक्षेपित करने के उदाहरण का उपयोग करके इस सामान्य परिभाषा पर विचार करें।

एक बिंदु का प्रक्षेपण (चित्र 52, ए)। आइए अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु ए लें और इसे प्रक्षेपण विमान एच के ऊपर रखें। आइए बिंदु ए के माध्यम से एक प्रक्षेपित किरण खींचें ताकि यह विमान एच को किसी बिंदु ए पर काट दे, जो बिंदु ए का प्रक्षेपण होगा। (यहां और अंदर) इसके बाद हम विषय पर लिए गए बिंदुओं को ड्राइंग फ़ॉन्ट के बड़े अक्षरों में और उनके अनुमानों को - छोटे अक्षरों में निरूपित करेंगे।) जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रक्षेपण विधि का उपयोग करके आप एक शून्य-आयामी वस्तु का प्रक्षेपण प्राप्त कर सकते हैं - एक बिंदु।

एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण (चित्र 52, बी)। आइए बिंदुओं के संग्रह के रूप में एक सीधी रेखा की कल्पना करें। प्रक्षेपण विधि का उपयोग करते हुए, हम उन बिंदुओं के माध्यम से समानांतर प्रक्षेपित किरणों का एक सेट खींचते हैं जो सीधी रेखा बनाते हैं जब तक कि वे प्रक्षेपण विमान के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। बिंदुओं के परिणामी प्रक्षेपण एक दी गई सीधी रेखा का प्रक्षेपण बनाएंगे - एक आयामी वस्तु।

एक त्रिभुज का प्रक्षेपण (चित्र 52, सी)। आइए त्रिभुज ABC को समतल H के सामने रखें। त्रिभुज के शीर्षों को अलग-अलग बिंदु A, B, C के रूप में लेते हुए, हम उनमें से प्रत्येक को प्रक्षेपण तल पर प्रक्षेपित करते हैं। हम त्रिभुज के शीर्षों के प्रक्षेपण प्राप्त करते हैं - ए, बी, सी। शीर्षों (ए और बी; बी और सी; सी और ए) के प्रक्षेपणों को लगातार जोड़ते हुए, हम त्रिभुज (एबी, बीसी, सीए) के किनारों के अनुमान प्राप्त करते हैं। त्रिभुज एबीसी के किनारों की छवि द्वारा सीमित विमान का हिस्सा विमान एच पर त्रिभुज एबीसी का प्रक्षेपण होगा। इसलिए, प्रक्षेपण विधि का उपयोग करके, आप एक सपाट आकृति का प्रक्षेपण प्राप्त कर सकते हैं - एक द्वि-आयामी वस्तु।

एक प्रिज्म का प्रक्षेपण (चित्र 52, डी)। उदाहरण के लिए, एक झुका हुआ त्रिकोणीय प्रिज्म लें और इसे प्रक्षेपण विमान एच पर प्रक्षेपित करें। एच विमान पर प्रिज्म को प्रक्षेपित करने के परिणामस्वरूप, हमें इसके आधारों - त्रिकोण - एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 और की छवियां (प्रक्षेप) प्राप्त होती हैं। पार्श्व फलक - आयत abb 1 a 1 और bcc 1 b 1। तो, एच विमान पर प्रक्षेपण के परिणामस्वरूप, एक त्रिकोणीय प्रिज्म का प्रक्षेपण प्राप्त होता है। इसलिए, प्रक्षेपण विधि का उपयोग करके, किसी भी त्रि-आयामी वस्तु को प्रदर्शित किया जा सकता है।

चावल। 52. शून्य-, एक-, दो- और त्रि-आयामी वस्तुओं का प्रक्षेपण: ए - बिंदु;
बी - सीधा; सी - त्रिकोण; जी - प्रिज्म

इस प्रकार, प्रक्षेपण विधि का उपयोग करके, आप किसी भी वस्तु (शून्य-, एक-, दो- और त्रि-आयामी) को एक विमान पर प्रदर्शित कर सकते हैं। इस संबंध में, प्रक्षेपण विधि सार्वभौमिक है।

प्रक्षेपण का सार समझना आसान है अगर हम सिनेमा में एक छवि के रिसेप्शन को याद करते हैं: एक फिल्म प्रोजेक्टर लैंप का प्रकाश प्रवाह फिल्म से गुजरता है और छवि को कैनवास पर डालता है। इस स्थिति में, मूवी स्क्रीन पर छवि फिल्म पर छवि से कई गुना बड़ी होगी।

इसमें केंद्रीय (या परिप्रेक्ष्य) और समानांतर प्रक्षेपण है। समानांतर प्रक्षेपण आयताकार (ऑर्थोगोनल) या तिरछा हो सकता है (तालिका 5)।

5. प्रक्षेपण विधियाँ

केंद्र प्रक्षेपण (परिप्रेक्ष्य) की विशेषता यह है कि प्रक्षेपित किरणें एक ही बिंदु (एस) से निकलती हैं, जिसे कहा जाता है प्रक्षेपण केंद्र . परिणामी छवि को कहा जाता है केंद्रीय प्रक्षेपण .

परिप्रेक्ष्य किसी वस्तु के बाहरी आकार को वैसा ही बताता है जैसा हमारी दृष्टि उसे देखती है।

केंद्रीय प्रक्षेपण के साथ, यदि वस्तु प्रक्षेपण के केंद्र और प्रक्षेपण तल के बीच है, तो प्रक्षेपण के आयाम मूल से बड़े होंगे; यदि वस्तु प्रक्षेपण तल के पीछे स्थित है, तो प्रक्षेपण के आयाम चित्रित वस्तु के वास्तविक आयामों से छोटे हो जाएंगे।

समानांतर प्रक्षेपण की विशेषता यह है कि प्रक्षेपित किरणें एक दूसरे के समानांतर होती हैं। इस मामले में, यह माना जाता है कि प्रक्षेपण का केंद्र (एस) अनंत तक हटा दिया गया है।

समानांतर प्रक्षेपण से उत्पन्न छवियों को समानांतर प्रक्षेपण कहा जाता है।

यदि प्रक्षेपित किरणें एक दूसरे के समानांतर होती हैं और प्रक्षेपण तल पर समकोण पर गिरती हैं, तो प्रक्षेपण को आयताकार (ऑर्थोगोनल) कहा जाता है, और परिणामी प्रक्षेपण को आयताकार (ऑर्थोगोनल) कहा जाता है। यदि प्रक्षेपित किरणें एक दूसरे के समानांतर हैं, लेकिन प्रक्षेपण तल पर सीधी रेखा के अलावा किसी अन्य कोण पर गिरती हैं, तो प्रक्षेपण को तिरछा कहा जाता है, और परिणामी प्रक्षेपण को तिरछा कहा जाता है। प्रक्षेपित करते समय, किसी वस्तु को प्रक्षेपण तल के सामने इस तरह रखा जाता है कि वह एक ऐसी छवि बनाती है जो आकार के बारे में सबसे अधिक जानकारी रखती है।

2) *यदि प्रक्षेपित किरणें प्रक्षेपण तल के लंबवत हैं

3) यदि प्रक्षेपित किरणें एक बिंदु से आती हैं

4) यदि प्रक्षेपित किरणों को विभिन्न दिशाओं में निर्देशित किया जाता है

केन्द्रीय प्रक्षेपण को कभी-कभी क्या कहा जाता है?

1) तिरछा

2) *परिप्रेक्ष्य

3) आयताकार

4) समानांतर

10. दर्शक के सामने स्थित विमान कहलाता है:

1) क्षैतिज

2) प्रोफाइल

3) *सामने

4) केंद्रीय

किस प्रक्षेपण को केंद्रीय कहा जाता है?

1) यदि प्रक्षेपित किरणें एक दूसरे के समानांतर हैं

2) *यदि प्रक्षेपित किरणें एक बिंदु से आती हैं

3) यदि प्रक्षेपित किरणें लंबवत हैं

4) यदि प्रक्षेपित किरणें विसरित हो जाती हैं

अनुभाग किसे कहते हैं?

1) किसी वस्तु को समतल से प्रतिच्छेद करने पर प्राप्त आकृति का प्रक्षेपण

2) *किसी वस्तु को समतल से प्रतिच्छेद करने पर प्राप्त आकृति का प्रतिबिम्ब

3) किसी वस्तु को समतल से प्रतिच्छेद करने पर प्राप्त आकृति का प्रदर्शन

4) जोड़ने से प्राप्त ज्यामितीय आकृति

13. किस छवि को अनुभाग कहा जाता है:

1) *किसी विमान द्वारा मानसिक रूप से विच्छेदित किसी वस्तु की छवि

2) चित्र प्रदर्शित करें

3) किसी समतल द्वारा मानसिक रूप से विच्छेदित किसी वस्तु का प्रक्षेपण

4) एक समतल से जुड़ी एक आकृति की छवि

किस चीरे को स्थानीय कहा जाता है?

1) *अनुभाग हमें उस भाग की आंतरिक संरचना दिखाने की अनुमति देता है जिसकी हमें आवश्यकता है

2) एक अनुभाग जो भाग की बाहरी संरचना दिखाने की अनुमति देता है

3) एक कट जो आधे भाग को दिखाने की अनुमति देता है

4) भाग की समरूपता के तल के साथ बनाया गया एक खंड

चित्रों में कौन सी रेखा दृश्य के भाग और अनुभाग के भाग को अलग करती है?

1) धराशायी रेखा

2) मोटी रेखा

3) पतली रेखा

4) *डैश-बिंदीदार रेखा

16. आयताकार सममितीय प्रक्षेपण एक दूसरे से कोण पर स्थित अक्षों में किया जाता है:

1) *120, 120, 120 डिग्री

2) 135, 135, 90 डिग्री

3) 180, 90, 90 डिग्री

4) 130, 130, 100 डिग्री

17. दीर्घवृत्त खींचने के लिए किस रूलर का उपयोग किया जाता है:

1) टायर

2) *पैटर्न

3) वर्ग

4) चांदा

18. एक शंकु को उसके आधार के समांतर समतल के साथ प्रतिच्छेद करने के परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है:

1) कटा हुआ पिरामिड

2) काटे गए त्रिकोण

3) *छोटा शंकु

4) छोटा वृत्त

19. अपने किसी एक व्यास के चारों ओर एक वृत्त घुमाने से बनी वस्तु कहलाती है:

1)त्रिभुज

2) शंकु

4) दीर्घवृत्त

20. GOST 2.312-72 के अनुसार, प्रतीक का अर्थ है:

1) एक बंद समोच्च के साथ सीवन

2) *हटाए गए सुदृढीकरण के साथ सीवन

3) कंपित खंडों के साथ बाधित सीम

4) एक सीवन जिसमें आधार धातु में एक सहज संक्रमण होता है

बी5. औद्योगिक इलेक्ट्रॉनिक्स के बुनियादी सिद्धांतों के साथ इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग

वेल्डिंग ट्रांसफार्मर का संचालन सिद्धांत किस कानून पर आधारित है?

1) *विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम पर

2) ओम के नियम पर, जहां I=U/R

3) चुंबकीय सर्किट के नियम पर

4) किरचॉफ के नियम पर आधारित

कौन से ट्रांसफार्मर आपको आउटपुट टर्मिनलों पर वोल्टेज को सुचारू रूप से बदलने की अनुमति देते हैं?

1) बिजली ट्रांसफार्मर

2) उपकरण ट्रांसफार्मर

3) ऑटोट्रांसफॉर्मर

4) *वेल्डिंग ट्रांसफार्मर

3. इलेक्ट्रॉनिक उपकरण जो प्रत्यक्ष वोल्टेज को प्रत्यावर्ती वोल्टेज में परिवर्तित करते हैं, कहलाते हैं:

1) रेक्टीफायर्स

2) *इन्वर्टर

3) कन्वर्टर्स

4) ट्रांसफार्मर

किस धारा को स्थिरांक कहते हैं?

1) धारा परिमाण और दिशा में भिन्न होती है

2) *धारा परिमाण और दिशा में नहीं बदलती

3) धारा परिमाण में भिन्न होती है

4) धारा का दिशा में परिवर्तन

प्रक्षेपण(अव्य। प्रोजिसियो - आगे फेंकें) - प्रकाश या दृश्य किरणों (वे किरणें जो स्थानिक वस्तु के किसी भी बिंदु के साथ पर्यवेक्षक की आंख को सशर्त रूप से जोड़ती हैं) का उपयोग करके किसी भी सतह पर किसी वस्तु (स्थानिक वस्तु) की छवि प्राप्त करने की प्रक्रिया, जिसे कहा जाता है प्रक्षेपित करना।

दो ज्ञात प्रक्षेपण विधियाँ हैं: केंद्रीयऔर समानांतर .

केंद्रीयअनुमान प्रत्येक बिंदु के माध्यम से चित्र बनाना शामिल है ( ए, बी, सी,...) चित्रित वस्तु का और एक निश्चित तरीके से चयन किया गया प्रक्षेपण केंद्र (एस) सरल रेखा ( एस.ए., एस.बी., >… — प्रक्षेपण किरण).

चित्र 1.1 - केंद्रीय प्रक्षेपण

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें (चित्र 1.1):

एस- प्रक्षेपण केंद्र (पर्यवेक्षक की आंख);

π 1 – प्रक्षेपण तल;

ए, बी, सी

एस.ए., एस.बी.- सीधी रेखाएँ प्रक्षेपित करना (किरणों को प्रक्षेपित करना)।

टिप्पणी: बाईं माउस बटन से आप क्षैतिज तल में एक बिंदु को स्थानांतरित कर सकते हैं; जब आप बाईं माउस बटन से किसी बिंदु पर क्लिक करते हैं, तो गति की दिशा बदल जाएगी और आप इसे लंबवत रूप से स्थानांतरित कर सकते हैं।

केंद्रीय प्रक्षेपण बिंदु प्रक्षेपण के केंद्र और प्रक्षेपण तल के साथ प्रक्षेपण वस्तु (बिंदु) से गुजरने वाली प्रक्षेपण रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को कहा जाता है।

संपत्ति 1. अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु एक एकल प्रक्षेपण से मेल खाता है, लेकिन प्रक्षेपण तल पर प्रत्येक बिंदु प्रक्षेपण रेखा पर स्थित अंतरिक्ष में कई बिंदुओं से मेल खाता है।

आइए इस कथन को सिद्ध करें।

चित्र 1.1 में: बिंदु ए 1 - प्रक्षेपण तल π 1 पर बिंदु ए का केंद्रीय प्रक्षेपण। लेकिन प्रक्षेपण रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का प्रक्षेपण समान हो सकता है। चलिए प्रोजेक्टिंग लाइन पर चलते हैं एस.ए.बिंदु साथ. एक बिंदु का केंद्रीय प्रक्षेपण साथ(साथ 1) प्रक्षेपण तल पर π 1 बिंदु के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है ए(ए 1):

1. साथ∈ एस.ए.;
2. अनुसूचित जाति।∩ π 1 = सी 1 →सी 1 ≡ ए 1 .

निष्कर्ष यह है कि किसी बिंदु के प्रक्षेपण से कोई भी अंतरिक्ष में उसकी स्थिति का स्पष्ट रूप से आकलन नहीं कर सकता है।

इस अनिश्चितता को ख़त्म करने के लिए, यानी. एक चित्र बनाओ प्रतिवर्ती, हम एक और प्रक्षेपण विमान (π 2) और एक अन्य प्रक्षेपण केंद्र ( एस 2) (चित्र 1.2)।

चित्र 1.2 - पहली और दूसरी संपत्तियों का चित्रण

आइए बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करें एप्रक्षेपण तल पर π 2. अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं में से केवल एक बिंदु एइसके अनुमान हैं ए 1 से समतल π 1 और ए 2 बटा π 2 एक साथ। प्रक्षेपित किरणों पर स्थित अन्य सभी बिंदुओं पर बिंदु के प्रक्षेपण से कम से कम एक भिन्न प्रक्षेपण होगा ए(उदाहरण के लिए, डॉट में).

संपत्ति 2. एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण एक सीधी रेखा है।

आइए इस संपत्ति को साबित करें।

आइए बिंदुओं को जोड़ें एऔर मेंएक दूसरे को (चित्र 1.2)। हमें खंड मिलता है अब, एक सीधी रेखा को परिभाषित करना। त्रिभुज Δ सबσ द्वारा निरूपित तल को परिभाषित करता है। यह ज्ञात है कि दो तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं: σ∩π 1 = ए 1 में 1 कहाँ ए 1 में 1 - एक खंड द्वारा परिभाषित सीधी रेखा का केंद्रीय प्रक्षेपण अब.

केंद्रीय प्रक्षेपण विधि आंख द्वारा छवि धारणा का एक मॉडल है, जिसका उपयोग मुख्य रूप से निर्माण स्थलों, अंदरूनी हिस्सों के साथ-साथ फिल्म प्रौद्योगिकी और प्रकाशिकी में परिप्रेक्ष्य छवियां बनाने में किया जाता है। केंद्रीय प्रक्षेपण विधि इंजीनियर के सामने आने वाले मुख्य कार्य को हल नहीं करती है - किसी वस्तु के आकार, आकार और विभिन्न तत्वों के आकार के अनुपात को सटीक रूप से प्रतिबिंबित करना।

1.2. समानांतर प्रक्षेपण

आइए समानांतर प्रक्षेपण विधि पर विचार करें। आइए हम तीन प्रतिबंध लगाएं जो हमें, छवि की स्पष्टता की कीमत पर, व्यवहार में उपयोग के लिए अधिक सुविधाजनक चित्र प्राप्त करने की अनुमति देंगे:

1. आइए प्रक्षेपण के दोनों केंद्रों को अनंत तक हटा दें। इस प्रकार, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि प्रत्येक केंद्र से प्रक्षेपित किरणें समानांतर हो जाएं, और परिणामस्वरूप, किसी भी सीधी रेखा खंड की वास्तविक लंबाई और उसके प्रक्षेपण की लंबाई का अनुपात केवल इस खंड के प्रक्षेपण के झुकाव के कोण पर निर्भर करेगा। समतल और प्रक्षेपणों के केंद्र की स्थिति पर निर्भर नहीं होते;
2. आइए हम प्रक्षेपण तलों के सापेक्ष प्रक्षेपण की दिशा तय करें;
3. आइए प्रक्षेपण विमानों को एक-दूसरे के लंबवत रखें, जिससे प्रक्षेपण विमानों पर छवि से अंतरिक्ष में वास्तविक वस्तु तक जाना आसान हो जाएगा।

इस प्रकार, केंद्रीय प्रक्षेपण विधि पर ये प्रतिबंध लगाने के बाद, हम इसके विशेष मामले पर आए - समानांतर प्रक्षेपण विधि(चित्र 1.3)। प्रक्षेपण, जिसमें वस्तु के प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली प्रक्षेपण किरणें चयनित प्रक्षेपण दिशा के समानांतर होती हैं पी, बुलाया समानांतर .

चित्र 1.3 - समानांतर प्रक्षेपण विधि

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

आर- प्रक्षेपण की दिशा;

π 1 – क्षैतिज प्रक्षेपण तल;

ए,बी– प्रक्षेपण वस्तुएं – अंक;

ए 1 और में 1-बिंदुओं का अनुमान एऔर मेंप्रक्षेपण तल पर π 1.

एक बिंदु का समानांतर प्रक्षेपण प्रक्षेपण की दी गई दिशा के समानांतर प्रक्षेपित रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है आर, प्रक्षेपण विमान π 1 के साथ।

आइए बिंदुओं के माध्यम से जानें एऔर मेंकिसी दी गई प्रक्षेपण दिशा के समानांतर किरणों को प्रक्षेपित करना आर. प्रक्षेपित किरण एक बिंदु से होकर गुजरी एप्रक्षेपण तल π 1 को बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगा ए 1 . इसी प्रकार, एक प्रक्षेपित किरण एक बिंदु से होकर गुजरी मेंप्रक्षेपण तल को बिंदु पर काटता है में 1 . बिंदुओं को कनेक्ट करना ए 1 और में 1 , हमें एक खंड मिलता है ए 1 में 1 - समतल π 1 पर खंड एबी का प्रक्षेपण।

1.3. ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण. स्पंज विधि

यदि प्रक्षेपण दिशा आरप्रक्षेपण तल पी 1 के लंबवत, तो प्रक्षेपण कहा जाता है आयताकार (चित्र 1.4),या ओर्थोगोनल (ग्रीक ऑर्थोस- सीधा, गोनिया– कोण), यदि आरπ 1 पर लंबवत नहीं है, तो प्रक्षेपण कहा जाता है परोक्ष .

अहाता आ 1 में 1 मेंसमतल γ को परिभाषित करता है, जिसे प्रक्षेपण कहा जाता है क्योंकि यह समतल π 1 (γ⊥π 1) के लंबवत है। निम्नलिखित में हम केवल आयताकार प्रक्षेपण का उपयोग करेंगे।

चित्र 1.4 - ओर्थोगोनल प्रक्षेपण चित्र 1.5 - मोंज, गैसपार्ड (1746-1818)

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन के संस्थापक को फ्रांसीसी वैज्ञानिक गैसपार्ड मोन्गे (चित्र 1.5) माना जाता है।

मोंगे से पहले, बिल्डरों, कलाकारों और वैज्ञानिकों को प्रक्षेपण विधियों के बारे में काफी महत्वपूर्ण जानकारी थी, और फिर भी, केवल गैसपार्ड मोंगे एक विज्ञान के रूप में वर्णनात्मक ज्यामिति के निर्माता हैं।

गैसपार्ड मोंगे का जन्म 9 मई, 1746 को पूर्वी फ्रांस के छोटे से शहर ब्यून (बरगंडी) में एक स्थानीय व्यापारी के परिवार में हुआ था। वह पाँच बच्चों में सबसे बड़े थे, जिनके लिए उनके पिता ने, परिवार की कम उत्पत्ति और सापेक्ष गरीबी के बावजूद, निम्न वर्ग के लोगों के लिए उस समय उपलब्ध सर्वोत्तम शिक्षा प्रदान करने का प्रयास किया। उनका दूसरा बेटा, लुईस, गणित और खगोल विज्ञान का प्रोफेसर बन गया, सबसे छोटा, जीन, गणित, हाइड्रोग्राफी और नेविगेशन का प्रोफेसर भी बन गया। गैसपार्ड मोंगे ने अपनी प्रारंभिक शिक्षा ऑरेटोरियन ऑर्डर के सिटी स्कूल में प्राप्त की। 1762 में सर्वश्रेष्ठ छात्र के रूप में स्नातक होने के बाद, उन्होंने ल्योन के कॉलेज में प्रवेश लिया, जो ऑरेटोरियन का भी था। जल्द ही गैसपार्ड को वहां भौतिकी पढ़ाने का काम सौंपा गया। 1764 की गर्मियों में, मोन्गे ने अपने गृहनगर ब्यून के लिए एक उल्लेखनीय सटीक योजना तैयार की। कोणों को मापने और रेखाएँ खींचने के लिए आवश्यक विधियों और उपकरणों का आविष्कार स्वयं संकलक द्वारा किया गया था।

ल्योन में अध्ययन के दौरान, उन्हें आदेश में शामिल होने और एक कॉलेज शिक्षक के रूप में बने रहने का प्रस्ताव मिला, हालांकि, इसके बजाय, गणित, ड्राइंग और ड्राइंग में महान क्षमताएं दिखाने के बाद, वह मेज़िएरेस स्कूल ऑफ मिलिट्री इंजीनियर्स में प्रवेश करने में कामयाब रहे, लेकिन (के कारण) उनकी उत्पत्ति) केवल एक सहायक गैर-कमीशन अधिकारी के रूप में। अधिकारी विभाग और बिना वेतन के। हालाँकि, सटीक विज्ञान में सफलता और किलेबंदी की महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक का मूल समाधान (दुश्मन तोपखाने के स्थान के आधार पर किलेबंदी की नियुक्ति) ने उन्हें 1769 में गणित में सहायक (सहायक शिक्षक) बनने की अनुमति दी, और फिर भौतिकी, और 1800 लीवर प्रति वर्ष के अच्छे वेतन के साथ।

1770 में, 24 साल की उम्र में, मोन्गे ने एक साथ दो विभागों - गणित और भौतिकी - में प्रोफेसर का पद संभाला और इसके अलावा, पत्थर काटने की कक्षाएं भी सिखाईं। वास्तुकला और किलेबंदी के संबंध में दिए गए रेखाचित्रों के अनुसार पत्थरों को सटीक रूप से काटने के काम से शुरू करते हुए, मोन्गे उन तरीकों के निर्माण के लिए आए, जिन्हें उन्होंने बाद में एक नए विज्ञान - वर्णनात्मक ज्यामिति में सामान्यीकृत किया, जिसके निर्माता उन्हें सही मायने में माना जाता है। किलेबंदी के निर्माण में सैन्य उद्देश्यों के लिए वर्णनात्मक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करने की संभावना पर विचार करते हुए, मेज़िएरेस स्कूल के नेतृत्व ने 1799 तक खुले प्रकाशन की अनुमति नहीं दी; पुस्तक शीर्षक के तहत प्रकाशित की गई थी वर्णनात्मक रेखागणित (ज्यामिति वर्णनात्मक) (इन व्याख्यानों की एक शॉर्टहैंड रिकॉर्डिंग 1795 में की गई थी)। इस विज्ञान पर व्याख्यान देने और इसमें उल्लिखित अभ्यास करने का दृष्टिकोण आज तक जीवित है। मोंगे का एक और महत्वपूर्ण कार्य है ज्यामिति में विश्लेषण का अनुप्रयोग (ज्यामिति का विश्लेषण करने का अनुप्रयोग, 1795) - विश्लेषणात्मक ज्यामिति की एक पाठ्यपुस्तक है, जिसमें विभेदक संबंधों पर विशेष जोर दिया गया है।

1780 में उन्हें पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज का सदस्य चुना गया और 1794 में वे इकोले पॉलिटेक्निक के निदेशक बने। आठ महीने तक उन्होंने नेपोलियन की सरकार में नौसेना के मंत्री के रूप में कार्य किया, गणतंत्र के बारूद और तोप कारखानों के प्रभारी थे, और मिस्र (1798-1801) के अभियान पर नेपोलियन के साथ थे। नेपोलियन ने उन्हें गिनती की उपाधि दी तथा कई अन्य सम्मानों से सम्मानित किया।

वस्तुओं को चित्रित करने की मोंज विधि में दो मुख्य बिंदु शामिल हैं:

1. अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय वस्तु की स्थिति, इस उदाहरण में एक बिंदु ए, दो परस्पर लंबवत तलों π 1 और π 2 के सापेक्ष माना जाता है(चित्र 1.6)।

वे परंपरागत रूप से अंतरिक्ष को चार चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं। डॉट एप्रथम चतुर्थांश में स्थित है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली मोंज अनुमानों के आधार के रूप में कार्य करती है। मोंगे ने प्रक्षेपण अक्षों की अवधारणा को प्रक्षेपण विमानों (समन्वय अक्षों) के प्रतिच्छेदन की रेखा से बदल दिया और समन्वय अक्षों के चारों ओर घुमाकर समन्वय विमानों को एक में संयोजित करने का प्रस्ताव रखा।

चित्र 1.6 - बिंदु प्रक्षेपण के निर्माण के लिए मॉडल

π 1 - क्षैतिज (पहला) प्रक्षेपण तल

π 2 - ललाट (दूसरा) प्रक्षेपण तल

π 1 ∩π 2 - प्रक्षेपण अक्ष (π 2 /π 1 को निरूपित करें)

आइए बिंदु प्रक्षेपण का एक उदाहरण देखें एदो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों π 1 और π 2 पर।

चलिए मुद्दे से हटते हैं एसमतल π 1 और π 2 पर लंब (प्रक्षेपित किरणें) और उनके आधारों को चिह्नित करें, अर्थात, प्रक्षेपण तलों के साथ इन लंबवत (प्रक्षेपित किरणें) के प्रतिच्छेदन बिंदु। ए 1 - बिंदु का क्षैतिज (प्रथम) प्रक्षेपण ए;ए 2 - बिंदु का ललाट (दूसरा) प्रक्षेपण ए;आ 1 और आ 2 - सीधी रेखाएँ प्रक्षेपित करना। तीर प्रक्षेपण विमानों π 1 और π 2 पर प्रक्षेपण की दिशा दिखाते हैं। ऐसी प्रणाली आपको प्रक्षेपण विमानों π 1 और π 2 के सापेक्ष एक बिंदु की स्थिति को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है:

आ 1 ⊥π 1

ए 2 ए 0 ⊥π 2 /π 1 आ 1 = ए 2 ए 0 - बिंदु A से समतल π 1 तक की दूरी

आ 2 ⊥π 2

ए 1 ए 0 ⊥π 2 /π 1 आ 2 = ए 1 ए 0 - बिंदु ए से विमान π 2 तक की दूरी

2. आइए प्रक्षेपण अक्ष π 2 /π 1 के चारों ओर प्रक्षेपण विमानों को एक विमान में संरेखित करें(π 1 के साथ π 2), लेकिन ताकि छवियां एक-दूसरे को ओवरलैप न करें, (α दिशा में, चित्र 1.6), हमें एक छवि प्राप्त होती है जिसे एक आयताकार चित्र कहा जाता है (चित्र 1.7):

चित्र 1.7 - ऑर्थोगोनल ड्राइंग

आयताकार या ऑर्थोगोनल कहा जाता है स्पंज आरेख .

सीधा ए 2 ए 1 कहा जाता है प्रक्षेपण संचार लाइन , जो बिंदु के विपरीत प्रक्षेपणों को जोड़ता है ( ए 2 - ललाट और ए 1 - क्षैतिज) हमेशा प्रक्षेपण अक्ष (समन्वय अक्ष) के लंबवत होता है ए 2 ए 1 ⊥π 2 /π 1 . आरेख पर, घुंघराले कोष्ठक द्वारा दर्शाए गए खंड दर्शाते हैं:

• ए 0 ए 1-बिंदु से दूरी एसमतल π 2, निर्देशांक y A के अनुरूप;
• ए 0 ए 2-बिंदु से दूरी एसमतल π 1 तक, जो z निर्देशांक A के संगत है।

1.4. एक बिंदु का आयताकार प्रक्षेपण. ऑर्थोग्राफ़िक ड्राइंग गुण

1. एक बिंदु के दो आयताकार प्रक्षेपण प्रक्षेपण कनेक्शन की एक ही रेखा पर, प्रक्षेपण के अक्ष के लंबवत स्थित होते हैं।

2. एक बिंदु के दो आयताकार प्रक्षेपण विशिष्ट रूप से प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष अंतरिक्ष में इसकी स्थिति निर्धारित करते हैं।

आइए अंतिम कथन की वैधता को सत्यापित करें, जिसके लिए हम विमान π 1 को उसकी मूल स्थिति में घुमाते हैं (जब π 1 ⊥π 2)। एक बिंदु बनाने के लिए एबिंदुओं से आवश्यक ए 1 और एप्रक्षेपित किरणों को पुनर्स्थापित करने के लिए 2, और वास्तव में - क्रमशः समतल π 1 और π 2 के लंबवत। इन लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु अंतरिक्ष में वांछित बिंदु को निश्चित करता है ए. एक बिंदु के ओर्थोगोनल रेखाचित्र पर विचार करें ए(चित्र 1.8)।

चित्र 1.8 - एक बिंदु का आरेख बनाना

आइए π 1 और π 2 के लंबवत प्रक्षेपण π 3 के एक तीसरे (प्रोफ़ाइल) विमान का परिचय दें (अनुमान π 2 /π 3 के अक्ष द्वारा निर्दिष्ट)।

किसी बिंदु के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण से प्रक्षेपण के ऊर्ध्वाधर अक्ष तक की दूरी ए‘ 0 ए 3 आपको एक बिंदु से दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है एप्रक्षेपणों के ललाट तल तक π 2। यह ज्ञात है कि अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति तीन संख्याओं (निर्देशांक) का उपयोग करके कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के सापेक्ष तय की जा सकती है। ए(एक्सए; वाईए; जेडए) या इसके दो ऑर्थोगोनल अनुमानों का उपयोग करके प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष ( ए 1 =(एक्सए; वाईए); ए 2 =(एक्सए; जेडए))। एक ऑर्थोगोनल ड्राइंग में, एक बिंदु के दो प्रक्षेपणों का उपयोग करके, आप इसके तीन निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं और, इसके विपरीत, एक बिंदु के तीन निर्देशांक का उपयोग करके, इसके प्रक्षेपण का निर्माण कर सकते हैं (चित्रा 1.9, ए और बी)।

चित्र 1.9 - किसी बिंदु के निर्देशांकों का उपयोग करके उसका आरेख बनाना

आरेख पर किसी बिंदु के प्रक्षेपण के स्थान से, कोई अंतरिक्ष में उसके स्थान का अंदाजा लगा सकता है:

• ए — ए 1 निर्देशांक अक्ष के नीचे स्थित है एक्स, और सामने वाला - ए 2-अक्ष के ऊपर एक्स, तो हम कह सकते हैं कि बात एप्रथम चतुर्थांश से संबंधित है;
• यदि आरेख पर किसी बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण है ए — ए 1 निर्देशांक अक्ष के ऊपर स्थित है एक्स, और सामने वाला - ए 2-अक्ष के नीचे एक्स, फिर बिंदु एतीसरे चतुर्थांश से संबंधित है;
• ए — ए 1 और ए 2 अक्ष के ऊपर स्थित हैं एक्स, फिर बिंदु एद्वितीय चतुर्थांश के अंतर्गत आता है;
• यदि आरेख पर किसी बिंदु के क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण हैं ए — ए 1 और ए 2 अक्ष के नीचे स्थित हैं एक्स, फिर बिंदु एचतुर्थ चतुर्थांश के अंतर्गत आता है;
• यदि आरेख पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण स्वयं बिंदु के साथ मेल खाता है, तो इसका मतलब है कि बिंदु प्रक्षेपण विमान से संबंधित है;
• प्रक्षेपण तल या प्रक्षेपण अक्ष (समन्वय अक्ष) से ​​संबंधित एक बिंदु को कहा जाता है निजी बिंदु.

यह निर्धारित करने के लिए कि कोई बिंदु अंतरिक्ष के किस चतुर्थांश में स्थित है, बिंदु के निर्देशांक का चिह्न निर्धारित करना पर्याप्त है।

बिंदु स्थिति और समन्वय चिह्नों के चतुर्थांश की निर्भरताएँ

	एक्स	वाई	जेड
मैं	+	+	+
द्वितीय	+	—	+
तृतीय	+	—	—
चतुर्थ	+	+	—

व्यायाम

निर्देशांक के साथ एक बिंदु के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का निर्माण करें ए(60, 20, 40) और निर्धारित करें कि बिंदु किस चतुर्थांश में स्थित है।

समस्या का समाधान: अक्ष के अनुदिश बैलसमन्वय मान को अलग रखें एक्स ए =60, फिर अक्ष पर इस बिंदु से होकर बैलप्रक्षेपण कनेक्शन लाइन को लंबवत पुनर्स्थापित करें बैल, जिसके साथ निर्देशांक मान ऊपर की ओर प्लॉट किया गया है जेड ए =40, और नीचे - समन्वय मूल्य वाई ए =20(चित्र 1.10)। सभी निर्देशांक सकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु पहले चतुर्थांश में स्थित है।

चित्र 1.10 - समस्या का समाधान

1.5. स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. आरेख का उपयोग करके, प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदु की स्थिति निर्धारित करें (चित्र 1.11)।

चित्र 1.11

2. बिंदुओं के लुप्त ओर्थोगोनल अनुमानों को पूरा करें ए, में, साथप्रक्षेपण तल पर π 1, π 2, π 3 (चित्र 1.12)।

चित्र 1.12

3. बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करें:

• इ, सममित बिंदु एप्रक्षेपण तल के सापेक्ष π 1 ;
• एफ, सममित बिंदु मेंप्रक्षेपण तल के सापेक्ष π 2 ;
• जी, सममित बिंदु साथप्रक्षेपण अक्ष के सापेक्ष π 2 /π 1 ;
• एच, सममित बिंदु डीदूसरे और चौथे चतुर्थांश के समद्विभाजक तल के सापेक्ष।

4. बिंदु के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का निर्माण करें को, दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और प्रक्षेपण तलों से π 1 गुणा 40 मिमी, π 2 गुणा 15 मिमी से दूर है।

1. केंद्र प्रक्षेपण(चित्र 1.1)। ऐसा माना जाता है कि प्रक्षेपण अंतरिक्ष में एक बिंदु से निकलने वाली सीधीरेखीय किरणों का उपयोग करके किया जाता है - प्रक्षेपण केंद्र.

ऐसा प्रक्षेपण अपरिवर्तनीय है: अंतरिक्ष में एक बिंदु उसके प्रक्षेपण की स्थिति निर्धारित करता है, जबकि एक बिंदु का प्रक्षेपण अंतरिक्ष में इस बिंदु की स्थिति निर्धारित नहीं करता है, क्योंकि प्रक्षेपण एक साथ प्रक्षेपित किरण पर स्थित कई बिंदुओं से संबंधित हो सकता है।

2. समानांतर प्रक्षेपण.प्रक्षेपण समानांतर किरणों का उपयोग करके किया जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रक्षेपण तल प्रक्षेपित किरणों के साथ कोई भी कोण बना सकता है। इस प्रकार का प्रक्षेपण भी अपरिवर्तनीय है।

3. आयताकार प्रक्षेपण. यह विधि समानांतर प्रक्षेपण का एक विशेष मामला है, जब प्रक्षेपित किरणें प्रक्षेपण तल के लंबवत होती हैं। ड्राइंग पर चित्र बनाने के लिए मैकेनिकल इंजीनियरिंग में इस प्रकार के प्रक्षेपण को अपनाया जाता है। हालाँकि, प्रक्षेपण की अपरिवर्तनीयता बनी हुई है।

1.5. ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन के गुण

1. अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु का किसी दिए गए तल पर एक ही प्रक्षेपण होता है।

2. एक समतल पर एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण एक सीधी रेखा है।

3. यदि एक निश्चित बिंदु एक निश्चित रेखा से संबंधित है, तो दिए गए बिंदु का प्रक्षेपण भी दी गई रेखा के प्रक्षेपण से संबंधित है।

4. यदि अंतरिक्ष में कोई बिंदु किसी खंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करता है, तो इस बिंदु का प्रक्षेपण किसी दिए गए खंड के प्रक्षेपण को उसी अनुपात में विभाजित करता है।

5. समांतर सीधी रेखाओं के प्रक्षेपण समांतर होते हैं।

6. प्रक्षेपण तलों (या किसी आकृति) को समानांतर में स्थानांतरित करते समय, आकृति का प्रक्षेपण नहीं बदलता है।

7. प्रतिच्छेदी रेखाओं के प्रक्षेपणों का प्रतिच्छेदन बिंदु इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का प्रक्षेपण है।

8. यदि कम से कम एक पक्ष समकोणप्रक्षेपण के किसी दिए गए विमान के समानांतर, फिर इसे इस विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है विरूपण के बिना.

9. किसी खंड की लंबाई, सामान्य तौर पर, उसके प्रक्षेपण की लंबाई से अधिक होती है।

10.यदि किसी वृत्त का तल प्रक्षेपण तल के समानांतर नहीं है, तो इस वृत्त का प्रक्षेपण एक दीर्घवृत्त है।

11. एक ज्यामितीय आकृति को प्रक्षेपित कहा जाता है यदि उसके किसी प्रक्षेपण का आयाम एक कम हो। उदाहरण के लिए, प्रक्षेपण तल पर लंबवत एक सीधी रेखा को एक बिंदु के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है (चित्र 1.2)।

1.6. ग्राफ़िक कार्यों के प्रकार

छवियों के निर्माण और पढ़ने के दौरान आने वाले सभी ग्राफिक कार्यों को निम्नलिखित समूहों में विभाजित किया जा सकता है।

पीजेड - स्थितीय कार्य,जो रेखांकन से ज्यामितीय आकृतियों और उनके तत्वों (बिंदुओं और रेखाओं) की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करने से जुड़े हैं:

पीजेड.1- प्रक्षेपण वस्तुओं की सापेक्ष स्थिति के क्रम को चित्रित करके निर्धारित करने से जुड़े एक प्रकार के स्थितीय कार्य: बाएँ, दाएँ, आगे, निकट, ऊँचा, निचला।

पीजेड.2 -रेखाचित्र द्वारा ज्यामितीय आकृतियों का उनके तत्वों से संबंध निर्धारित करने से संबंधित कार्य: अंकया पंक्तियाँ.

PZ.3 -ज्यामितीय आकृतियों के पारस्परिक प्रतिच्छेदन के परिणामों को रेखांकन से निर्धारित करने से संबंधित कार्य। इन कार्यों को कहा जाता है: मुख्य स्थितीय कार्य (जीपीजेड).

मोह - मीट्रिक समस्याएं,जो ड्राइंग से प्रक्षेपित वस्तुओं की आयामी विशेषताओं को निर्धारित करने से जुड़े हैं (लंबाई, दूरियाँ, कोण, क्षेत्रफल)।

सारी विविधता मोहनामक दो बुनियादी समस्याओं का उपयोग करके हल किया जाता है बुनियादी मीट्रिक कार्य (ओएमजेड):

OMZ.1-चित्र से किसी खंड की लंबाई निर्धारित करने का कार्य।

OMZ.2-एक रेखाचित्र से एक दूसरे पर सीधी रेखाओं की लंबता निर्धारित करने का कार्य।

कॉमजेड - जटिल कार्य,इसमें स्थितीय और मीट्रिक दोनों प्रकार के कई कार्य शामिल हैं।

KonZ - रचनात्मक कार्य,जो कि ज्यामितीय आकृतियों और उनके तत्वों की एक ड्राइंग के निर्माण से जुड़े हैं जो कुछ निर्दिष्ट डिज़ाइन शर्तों को पूरा करते हैं (उदाहरण के लिए, एक सतह की एक ड्राइंग बनाने के लिए, जिसके सभी बिंदु किसी दी गई सीधी रेखा से समान दूरी पर होंगे)।