आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो यह वर्णन करती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और संग्रह कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और हमें बताएं कि क्या आपके कोई प्रश्न हैं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी का अर्थ डेटा है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

आपसे संपर्क करने पर आपसे किसी भी समय आपकी व्यक्तिगत जानकारी उपलब्ध कराने के लिए कहा जा सकता है।

नीचे हम व्यक्तिगत जानकारी के प्रकारों के कुछ उदाहरण प्रस्तुत कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम क्या व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर एक अनुरोध छोड़ते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आगामी घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम महत्वपूर्ण सूचनाएं और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम आंतरिक प्रयोजनों के लिए व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारी सेवाओं के बारे में अनुशंसाओं को प्रदान करने और आपको प्रदान करने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध आयोजित करना।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार कार्यक्रम में भाग लेते हैं, तो हम ऐसे कार्यक्रमों का संचालन करने के लिए आपके द्वारा दी गई जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष को जानकारी का प्रकटीकरण

हम आपको तृतीय पक्षों से प्राप्त जानकारी का खुलासा नहीं करते हैं।

अपवाद:

• यदि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, अदालत के आदेश, अदालत की कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र पर राज्य के अधिकारियों से सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करने के लिए। हम आपके बारे में जानकारी का भी खुलासा कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सामाजिक रूप से महत्वपूर्ण कारणों के लिए इस तरह का खुलासा आवश्यक है या उचित है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम व्यक्तिगत जानकारी को एक उपयुक्त तृतीय पक्ष - कानूनी उत्तराधिकारी को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी का संरक्षण

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को नुकसान, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के लिए, साथ ही साथ अनधिकृत पहुँच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक - सहित सावधानी बरतते हैं।

कंपनी के स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करें

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों के लिए गोपनीयता और सुरक्षा के नियमों को लाते हैं, और गोपनीयता उपायों के कार्यान्वयन की सख्ती से निगरानी करते हैं।

1. यदि दो रेखाएँ तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं:

यदि एक ए||सी तथा ख||सीफिर ए||ख.

2. यदि दो रेखाएँ तीसरी रेखा के लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं:

यदि एक ए⊥सी तथा ख⊥सीफिर ए||ख.

सीधी रेखाओं के समानता के बाकी संकेत तीसरे में दो सीधी रेखाओं के चौराहे पर बने कोणों पर आधारित हैं।

3. यदि आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180 ° है, तो सीधी रेखाएं समानांतर हैं:

यदि then1 + \u003d2 \u003d 180 °, तो ए||ख.

4. यदि समान कोण समान हैं, तो सीधी रेखाएं समानांतर हैं:

यदि If2 \u003d ∠4, तो ए||ख.

5. यदि आंतरिक कोण झूठ बोलने वाले क्रॉसवर्ड बराबर हैं, तो सीधी रेखाएं समानांतर हैं:

यदि If1 \u003d ∠3, तो ए||ख.

समानांतर रेखा गुण

सीधी रेखाओं की समानता के मानदंड के विपरीत कथन उनके गुण हैं। वे तीसरी पंक्ति के दो समानांतर रेखाओं के चौराहे द्वारा गठित कोणों के गुणों पर आधारित हैं।

1. जब तीसरी सीधी रेखा प्रतिच्छेद की दो समानांतर सीधी रेखाएं, उनके द्वारा निर्मित आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री है:

यदि एक ए||ख, तब then1 + \u003d2 \u003d 180 °।

2. जब तीसरी पंक्ति के दो समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके द्वारा बनाए गए समतुल्य कोण समान होते हैं:

यदि एक ए||ख, फिर ∠2 \u003d \u003d4।

3. तीसरी सीधी रेखा के दो समानांतर सीधी रेखाओं के चौराहे पर, उनके द्वारा निर्मित कोण समान हैं:

यदि एक ए||ख, फिर then1 \u003d \u003d3।

निम्नलिखित संपत्ति प्रत्येक पिछले एक के लिए एक विशेष मामला है:

4. यदि एक समतल पर एक सीधी रेखा दो समानांतर सीधी रेखाओं में से किसी एक के लिए लंबवत है, तो यह अन्य के लिए लंबवत है:

यदि एक ए||ख तथा सी⊥एफिर सी⊥ख.

पांचवीं संपत्ति सीधी रेखाओं के समानता का स्वयंसिद्ध है:

5. एक बिंदु के माध्यम से जो एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलता है, आप इस सीधी रेखा के समानांतर केवल एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

दो सीधी रेखाओं के समानांतर होने के संकेत

प्रमेय 1. यदि दो धर्मनिरपेक्ष लाइनों के चौराहे पर:

criss- क्रॉस कोनों बराबर हैं, या

इसी कोण बराबर हैं, या

एक तरफा कोणों का योग 180 ° है, तब

सीधी रेखाएं समानांतर हैं (चित्र .1)।

साक्ष्य। हम खुद को केस 1 के सबूत तक सीमित रखते हैं।

मान लीजिए कि लाइनों के चौराहे पर एक और बी सेकंड एबी, प्रतिच्छेदन कोण बराबर हैं। उदाहरण के लिए, example 4 \u003d ∠ 6. आइए हम साबित करें कि || ख।

मान लीजिए कि रेखाएँ a और b समानांतर नहीं हैं। फिर वे कुछ बिंदु M पर अंतर करते हैं और इसलिए, कोण 4 या 6 में से एक त्रिकोण ABM का बाहरी कोना होगा। निश्चितता के लिए, be 4 त्रिभुज ABM का बाहरी कोना है, और - 6 - भीतरी एक है। एक त्रिभुज के बाहरी कोण पर प्रमेय से यह निम्नानुसार है कि greater 4 ∠ 6 से अधिक है, और यह स्थिति का विरोधाभास करता है, जिसका अर्थ है कि a और 6 पंक्तियों को प्रतिच्छेद नहीं कर सकते हैं, इसलिए वे समानांतर हैं।

कोरोलरी 1। एक समतल रेखा के लम्बवत समतल में दो भिन्न सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं (रेखा चित्र नम्बर 2)।

टिप्पणी। जिस तरह से हमने सिर्फ 1 प्रमेय के मामले को साबित किया है 1 को विरोधाभास कहा जाता है या गैरबराबरी को कम किया जाता है। इस विधि को अपना पहला नाम मिला क्योंकि तर्क की शुरुआत में, एक धारणा बनाई जाती है जो विपरीत (विपरीत) है जो साबित करने के लिए आवश्यक है। इसे इस तथ्य के कारण गैरबराबरी में कमी कहा जाता है, जो बनी धारणा के आधार पर बहस करते हुए, हम एक बेतुके निष्कर्ष (एक बेतुकेपन) पर आते हैं। इस तरह के निष्कर्ष को प्राप्त करना हमें शुरुआत में की गई धारणा को अस्वीकार करने और उस चीज को स्वीकार करने के लिए मजबूर करता है जिसे साबित करने की आवश्यकता थी।

उद्देश्य 1। दिए गए बिंदु M से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें और दिए गए सीधी रेखा a के समानांतर, M से नहीं गुजर रही हैं।

फेसला। बिंदु एम के माध्यम से एक सीधी रेखा p सीधा एक सीधी रेखा a (चित्र 3) के माध्यम से खींचें।

फिर हम एक सीधी रेखा p पर बिंदु M सीधा के माध्यम से एक सीधी रेखा b खींचते हैं। लाइन बी, प्रमेय 1 के कोरोलरी के अनुसार लाइन के समानांतर है।

एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष माना समस्या से इस प्रकार है:
एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दिए गए रेखा पर झूठ नहीं बोलता है, आप हमेशा किसी दिए गए समानांतर रेखा खींच सकते हैं.

समानांतर रेखाओं की मुख्य संपत्ति इस प्रकार है।

समांतर रेखाओं का आभामंडल। किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से, जो किसी दिए गए रेखा पर झूठ नहीं बोलता है, दिए गए एक के समानांतर केवल एक रेखा गुजरती है।

समानांतर रेखाओं के कुछ गुणों पर विचार करें जो इस स्वयंसिद्ध से अनुसरण करती हैं।

1) यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से किसी एक को काटती है, तो यह दूसरी (छवि 4) को काटती है।

2) यदि दो अलग-अलग रेखाएं तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं (चित्र 5)।

निम्नलिखित प्रमेय भी सत्य है।

प्रमेय 2. यदि दो समानांतर रेखाएं एक धर्मनिरपेक्ष द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं,

criss- क्रॉसिंग कोण समान हैं;

संबंधित कोण समान हैं;

एक तरफा कोणों का योग 180 ° है।

कोरोलरी 2। यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक के लिए लंबवत है, तो यह दूसरी के लिए लंबवत है (अंजीर देखें। 2)।

टिप्पणी। प्रमेय 2 को प्रमेय 1. का प्रमेय कहा जाता है। प्रमेय 1 का निष्कर्ष प्रमेय 2 की स्थिति है। और प्रमेय 1 की स्थिति प्रमेय का निष्कर्ष है। 2. प्रत्येक प्रमेय का प्रमेय नहीं होता है, अर्थात यदि दिया गया प्रमेय सत्य है, तो प्रमेय का आक्षेप गलत हो सकता है।

हम इसे ऊर्ध्वाधर कोण प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके समझाते हैं। इस प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: यदि दो कोण लंबवत हैं, तो वे समान हैं। व्युत्क्रम प्रमेय इस प्रकार होगा: यदि दो कोण समान हैं, तो वे लंबवत हैं। और यह, ज़ाहिर है, सच नहीं है। दो समान कोणों का लंबवत होना आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 1। दो समानांतर रेखाओं को एक तिहाई से पार किया जाता है। यह ज्ञात है कि दो आंतरिक एक तरफा कोणों के बीच का अंतर 30 ° है। इन कोनों को खोजें।

फेसला। चित्रा 6 स्थिति को पूरा करते हैं।

समानांतर लाइनें अवधारणा

परिभाषा 1

समानांतर रेखाएं - एक विमान में झूठ बोलने वाली लाइनें संयोग नहीं करती हैं और इनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं।

यदि लाइनों में एक सामान्य बिंदु है, तो वे एक दूसरे को काटना.

यदि सभी बिंदु सीधे हैं मेल खाते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से एक सीधी रेखा है।

यदि सीधी रेखाएं अलग-अलग विमानों में स्थित हैं, तो उनकी समानता के लिए स्थितियां कुछ हद तक अधिक हैं।

एक विमान पर सीधी रेखाओं पर विचार करते समय, निम्नलिखित परिभाषा दी जा सकती है:

परिभाषा २

समतल में दो सीधी रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरअगर वे अंतर नहीं करते।

गणित में, समानांतर रेखाओं को आमतौर पर समानांतर चिह्न "$ \\ समानांतर $" का उपयोग करके दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि लाइन $ c $ लाइन $ d $ के समानांतर है, निम्नानुसार दर्शाया गया है:

$ c \\ समानांतर d $।

समानांतर रेखाओं की अवधारणा को अक्सर माना जाता है।

परिभाषा ३

दो खंड कहलाते हैं समानांतरअगर वे समानांतर लाइनों पर झूठ बोलते हैं।

उदाहरण के लिए, आकृति में, सेगमेंट $ AB $ और $ CD $ समानांतर हैं, क्योंकि वे समानांतर रेखाओं से संबंधित हैं:

$ AB \\ समानांतर CD $।

इसी समय, सेगमेंट $ MN $ और $ AB $ या $ MN $ और $ CD $ समानांतर नहीं हैं। इस तथ्य को प्रतीकों का उपयोग करते हुए लिखा जा सकता है:

$ MN। AB $ और $ MN ∦ CD $।

इसी तरह, एक सीधी रेखा और एक खंड, एक सीधी रेखा और एक किरण, एक खंड और एक किरण, या दो किरणों की समानता निर्धारित की जाती है।

ऐतिहासिक संदर्भ

ग्रीक भाषा से, "समानता" की अवधारणा का अनुवाद "साथ-साथ चलना" या "एक दूसरे के बगल में रखा गया है।" पाइथागोरस के प्राचीन स्कूल में इस शब्द का इस्तेमाल समानांतर रेखाओं को परिभाषित करने से पहले ही किया गया था। $ III $ c में यूक्लिड द्वारा ऐतिहासिक तथ्यों के अनुसार। ईसा पूर्व। उनकी रचनाओं में, समानांतर रेखाओं की अवधारणा का अर्थ फिर भी प्रकट किया गया था।

प्राचीन समय में, समानांतर रेखाओं को निरूपित करने का संकेत एक अलग तरह का था जो हम आधुनिक गणित में उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, $ III $ c में प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ Pappus। ई समरूपता को एक समान संकेत का उपयोग करके निरूपित किया गया था। उन। तथ्य यह है कि लाइन $ l $ लाइन $ m $ के समानांतर है, पहले "$ l \u003d m $" दर्शाया गया था। बाद में, परिचित "$ \\ समानांतर $" चिह्न का उपयोग सीधी रेखाओं के समानांतरवाद को निरूपित करने के लिए किया जाने लगा, और संख्याओं और अभिव्यक्तियों की समानता को दर्शाने के लिए समान चिह्न का उपयोग किया जाने लगा।

जीवन में समानांतर रेखाएँ

अक्सर हम ध्यान नहीं देते हैं कि रोजमर्रा की जिंदगी में हम बड़ी संख्या में समानांतर रेखाओं से घिरे हैं। उदाहरण के लिए, एक संगीत पुस्तक और अंकों के साथ एक गीतपुस्तिका में, कर्मचारियों को समानांतर लाइनों का उपयोग करके निष्पादित किया जाता है। साथ ही, संगीत वाद्ययंत्र (उदाहरण के लिए, वीणा, गिटार के तार, पियानो कीज़, आदि) में समानांतर रेखाएँ पाई जाती हैं।

गलियों और सड़कों पर चलने वाले बिजली के तार भी समानांतर चलते हैं। मेट्रो और रेलवे लाइनों के रेल समानांतर हैं।

रोजमर्रा की जिंदगी के अलावा, समानांतर रेखाएं पेंटिंग में, वास्तुकला में, इमारतों के निर्माण में पाई जा सकती हैं।

वास्तुकला में समानांतर रेखाएँ

प्रस्तुत छवियों में, वास्तु संरचनाओं में समानांतर सीधी रेखाएं होती हैं। निर्माण में सीधी रेखाओं की समानता का उपयोग ऐसी संरचनाओं के सेवा जीवन को बढ़ाने में मदद करता है और उन्हें असाधारण सुंदरता, आकर्षण और भव्यता प्रदान करता है। क्रॉसिंग या उन्हें छूने से बचने के लिए विद्युत लाइनों को जानबूझकर समानांतर में रखा गया है, जिससे शॉर्ट सर्किट, रुकावट और बिजली नहीं होगी। ताकि ट्रेन स्वतंत्र रूप से आगे बढ़ सके, रेल भी समानांतर लाइनों में बनी हुई है।

पेंटिंग में, समानांतर रेखाओं को एक रेखा में परिवर्तित करने या उसके करीब होने के रूप में दर्शाया गया है। इस तकनीक को परिप्रेक्ष्य कहा जाता है, जो दृष्टि के भ्रम से पीछा करता है। यदि आप लंबे समय तक दूरी में देखते हैं, तो समानांतर रेखाएं दो अभिसरण लाइनों की तरह दिखेंगी।

इस लेख में, हम समानांतर रेखाओं के बारे में बात करेंगे, परिभाषाएं देंगे, संकेतों और समानांतरता की शर्तों को निरूपित करेंगे। सैद्धांतिक सामग्री की स्पष्टता के लिए, हम उदाहरणों और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का उपयोग करेंगे।

परिभाषा 1

समतल पर समानांतर रेखाएँ - एक विमान पर दो सीधी रेखाएं जिनमें कोई सामान्य बिंदु नहीं है।

परिभाषा २

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाएं - त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं, एक ही विमान में लेट जाना और कोई सामान्य बिंदु नहीं होना।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतरिक्ष में समानांतर सीधी रेखाओं की परिभाषा के लिए, "एक ही विमान में झूठ बोलना" को स्पष्ट करना बेहद महत्वपूर्ण है: तीन-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं और एक ही विमान में झूठ नहीं होते हैं, समानांतर हैं, लेकिन इंटरसेक्टिंग।

लाइनों के समानांतरवाद को इंगित करने के लिए, प्रतीक the का उपयोग करना आम है। अर्थात्, यदि दी गई रेखाएँ a और b समांतर हैं, तो इस स्थिति को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: a। B। शब्दों में, सीधी रेखाओं की समानता को निम्नानुसार दर्शाया गया है: सीधी रेखाएं a और b समानांतर हैं, या सीधी रेखा a, सीधी रेखा b के समानांतर है, या सीधी रेखा b, सीधी रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक बयान तैयार करते हैं जो अध्ययन के तहत विषय में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

स्वयंसिद्ध

एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, एक दी गई रेखा के समानांतर एक ही रेखा है। इस कथन को प्लानमेट्री के ज्ञात स्वयंसिद्धों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

मामले में जब हम अंतरिक्ष के बारे में बात कर रहे हैं, तो प्रमेय सत्य है:

प्रमेय १

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो एक दी गई सीधी रेखा से संबंधित नहीं है, वहाँ दी गई एक समानांतर एक सीधी रेखा होगी।

यह प्रमेय उपरोक्त स्वयंसिद्ध (10-11 वर्गों के ज्यामिति कार्यक्रम) के आधार पर सिद्ध करना आसान है।

समानांतरता मानदंड एक पर्याप्त स्थिति है जिसके तहत सीधी रेखाओं की समानता की गारंटी है। दूसरे शब्दों में, इस स्थिति की पूर्ति समानता के तथ्य की पुष्टि करने के लिए पर्याप्त है।

विशेष रूप से, विमान और अंतरिक्ष में लाइनों के समानांतरवाद के लिए आवश्यक और पर्याप्त परिस्थितियां हैं। हमें समझाते हैं: आवश्यक का मतलब है कि स्थिति, जिसकी पूर्ति सीधी रेखाओं के समानांतरवाद के लिए आवश्यक है; यदि यह संतुष्ट नहीं है, तो लाइनें समानांतर नहीं हैं।

समेटना, सीधी रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति एक ऐसी स्थिति है, जिसका पालन करना आवश्यक है और सीधी रेखाएं एक दूसरे के समानांतर होने के लिए पर्याप्त हैं। एक तरफ, यह समानता का संकेत है, दूसरी तरफ, यह समानांतर लाइनों में निहित एक संपत्ति है।

आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का सटीक सूत्रीकरण करने से पहले, आइए हम कुछ और अतिरिक्त अवधारणाओं को याद करते हैं।

परिभाषा ३

सुरक्षित रेखा - दो निर्दिष्ट गैर-संयोग सीधी रेखाओं में से प्रत्येक को सीधा करने वाली एक सीधी रेखा।

दो सीधी रेखाओं को पार करते हुए, सेकंड आठ अविकसित कोनों का निर्माण करता है। एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति तैयार करने के लिए, हम इस तरह के कोणों का उपयोग क्रॉस-लेटिंग, संबंधित, और एक तरफा के रूप में करेंगे। आइए एक चित्रण में उन्हें प्रदर्शित करें:

प्रमेय २

यदि एक समतल पर दो सीधी रेखाएं किसी धर्मनिरपेक्ष के साथ मिलती हैं, तो दी गई सीधी रेखाओं के समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि क्रॉस-झूठ वाले कोण समान हैं, या संबंधित कोण समान हैं, या एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर है।

आइए हम समतल पर सीधी रेखाओं की समानता के लिए रेखांकन को एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति के रूप में चित्रित करें:

इन स्थितियों का प्रमाण 7-9 ग्रेड के लिए ज्यामिति कार्यक्रम में मौजूद है।

सामान्य तौर पर, ये स्थितियां तीन-आयामी स्थान के लिए लागू होती हैं, यह देखते हुए कि दो लाइनें और एक सेकेंडरी लाइन एक ही विमान से संबंधित हैं।

आइए हम कुछ और प्रमेयों को इंगित करते हैं जो अक्सर लाइनों के समानांतरवाद के प्रमाण में उपयोग किए जाते हैं।

प्रमेय ३

विमान पर, दो सीधी रेखाएं, तीसरे के समानांतर, एक दूसरे के समानांतर हैं। यह मानदंड ऊपर वर्णित समानता के स्वयंसिद्ध के आधार पर सिद्ध होता है।

प्रमेय ४

तीन-आयामी अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाएं, तीसरे के समानांतर, एक दूसरे के समानांतर हैं।

विशेषता का प्रमाण 10 वीं कक्षा के ज्यामिति कार्यक्रम में अध्ययन किया गया है।

आइए हम इन प्रमेयों का एक उदाहरण दें:

आइए हम एक और जोड़ी प्रमेयों की ओर इशारा करते हैं जो लाइनों के समानांतरवाद को साबित करते हैं।

प्रमेय ५

एक विमान पर, दो सीधी रेखाएं, तीसरे के लंबवत, एक दूसरे के समानांतर हैं।

हमें त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए एक समान बनाते हैं।

प्रमेय ६

तीन-आयामी अंतरिक्ष में, तीसरी के लिए लंबवत दो सीधी रेखाएं एक दूसरे के समानांतर हैं।

आइए स्पष्ट करें:

उपरोक्त सभी प्रमेय, मानदंड, और स्थितियां ज्यामिति के तरीकों से आसानी से सीधी रेखाओं की समानता को साबित करना संभव बनाते हैं। अर्थात्, सीधी रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि संबंधित कोण समान हैं, या इस तथ्य को प्रदर्शित करते हैं कि दी गई दो सीधी रेखाएं तीसरी से लंबवत हैं, आदि। लेकिन ध्यान दें कि एक विमान या तीन-आयामी अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए अक्सर समन्वय विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में लाइनों का समानांतरवाद

एक दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा संभव प्रकारों में से एक के विमान पर एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है। तो तीन-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दी गई एक सीधी रेखा, अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के कुछ समीकरणों से मेल खाती है।

आइए दी गई सीधी रेखाओं के वर्णन के समीकरण के प्रकार के आधार पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें लिख दें।

चलो विमान पर लाइनों के समानांतरवाद की स्थिति से शुरू करते हैं। यह एक सीधी रेखा की दिशा वेक्टर की परिभाषा पर आधारित है और एक विमान में एक सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर पर।

प्रमेय em

समतल पर समानांतर होने के लिए दो गैर-संयोगी सीधी रेखाओं के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दिए गए सीधी रेखाओं के दिशा-निर्देशक टकराने वाले हों, या दी गई सीधी रेखाओं के सामान्य वैक्टर समीपस्थ हों, या एक सीधी रेखा की दिशा वेक्टर दूसरी सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर से लंबवत हो।

यह स्पष्ट हो जाता है कि एक विमान पर सीधी रेखाओं के समानांतर होने की स्थिति वैक्टरों की मिलीभगत की स्थिति या दो वैक्टरों की लंबवतता की स्थिति पर आधारित होती है। यही है, अगर एक → \u003d (एक एक्स, एक वाई) और बी → \u003d (बी एक्स, बी वाई) सीधी रेखाओं के ए और बी के दिशा वैक्टर हैं;

और nb → \u003d (nbx, nby) सीधी रेखाओं a और b के सामान्य वैक्टर हैं, फिर उपरोक्त आवश्यक और पर्याप्त स्थिति निम्नानुसार लिखी जा सकती है: a → \u003d t b → ⇔ ax \u003d t bxay \u003d t by या na → \u003d t nb → \u003d nax \u003d t nbxnay \u003d t nby या a →, nb → \u003d 0 + ax nbx + ay nby \u003d 0, जहाँ t कुछ वास्तविक संख्या है। दिशात्मक या प्रत्यक्ष वैक्टर के निर्देशांक सीधी रेखाओं के निर्दिष्ट समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। आइए कुछ बुनियादी उदाहरण देखें।

1. आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधी रेखा a, सीधी रेखा के सामान्य समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0; पंक्ति b - A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0। फिर दी गई लाइनों के सामान्य वैक्टर में क्रमशः निर्देशांक (ए 1, बी 1) और (ए 2, बी 2) होंगे। समानता की स्थिति निम्नानुसार लिखी गई है:

ए 1 \u003d टी ए 2 बी 1 \u003d टी बी 2

1. स्ट्रेट लाइन a को फॉर्म y \u003d k 1 x + b 1 के ढलान के साथ स्ट्रेट लाइन के समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है। पंक्ति b - y \u003d k 2 x + b 2। फिर दी गई सीधी रेखा के सामान्य वैक्टर में क्रमशः निर्देशांक (k 1, - 1) और (k 2, - 1) होंगे, और हम समानांतरता स्थिति को निम्नानुसार लिखते हैं:

k 1 \u003d t k 2 - 1 \u003d t (- 1) \u003d k 1 \u003d t k 2 t \u003d 1 2 k 1 \u003d p 2

इस प्रकार, यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में समतल पर समानांतर रेखाएँ ढलान गुणांक वाले समीकरणों द्वारा दी जाती हैं, तो दी गई सीधी रेखाओं की ढलान बराबर होगी। और विपरीत कथन सच है: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक हवाई जहाज़ पर बेमेल सीधी रेखाएं एक ही ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं, तो ये दी गई सीधी रेखाएं समानांतर हैं।

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाएँ a और b विमान में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों द्वारा दी जाती हैं: x - x 1 कुल्हाड़ी \u003d y - y 1 ay और x - x 2 bx \u003d y - y 2 by या विमान में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा: x \u003d x 1 + λ axy \u003d y 1 + λ ay और x \u003d x 2 + λ bxy \u003d y 2 + λ द्वारा।

फिर दी गई लाइनों की दिशा वैक्टर होगी: एक एक्स, एक वाई और बी एक्स, बी वाई, क्रमशः, और समानांतर स्थिति को निम्नानुसार लिखा जाता है:

a x \u003d t b x a y \u003d t b y

आइए उदाहरणों को देखें।

उदाहरण 1

दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं: 2 x - 3 y + 1 \u003d 0 और x 1 2 + y 5 \u003d 1। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या वे समानांतर हैं।

फेसला

हम एक सामान्य समीकरण के रूप में खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण लिखते हैं:

x 1 2 + y 5 \u003d 1 x 2 x + 1 5 y - 1 \u003d 0

हम देखते हैं कि n एक → \u003d (2, - 3) लाइन 2 x - 3 y + 1 \u003d 0 का सामान्य वेक्टर है, और n b → \u003d 2, 1 5 लाइन x 1 2 + y 5 \u003d 1 का सामान्य वेक्टर है।

परिणामी वैक्टर के बाद से नहीं मिला है टी का ऐसा कोई मूल्य नहीं है जिसके लिए समानता सत्य होगी:

2 \u003d टी 2 - 3 \u003d टी 1 5 1 टी \u003d 1 - 3 \u003d टी 1 5 \u003d टी \u003d 1 - 3 \u003d 1 5

इस प्रकार, विमान पर लाइनों के समानांतरवाद के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति संतुष्ट नहीं है, जिसका अर्थ है कि दी गई लाइनें समानांतर नहीं हैं।

उत्तर: दी गई पंक्तियाँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण 2

सीधी रेखाएँ y \u003d 2 x + 1 और x 1 \u003d y - 4 2 दी गई हैं। क्या वे समानांतर हैं?

फेसला

ढलान के साथ पंक्ति के समीकरण में x 1 \u003d y - 4 2 के विहित समीकरण को परिवर्तित करें:

x 1 \u003d y - 4 2 (1 (y - 4) \u003d 2 x 2 y \u003d 2 x + 4

हम देखते हैं कि लाइनों के समीकरण y \u003d 2 x + 1 और y \u003d 2 x + 4 समान नहीं हैं (यदि यह अन्यथा थे, तो लाइनें समान होंगी) और लाइनों के ढलान बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई लाइनें समानांतर हैं।

आइए समस्या को अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें। पहले, आइए देखें कि क्या दी गई लाइनें संयोग हैं। हम लाइन y \u003d 2 x + 1 के किसी भी बिंदु का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, (0, 1), इस बिंदु के निर्देशांक लाइन x 1 \u003d y - 4 2 के समीकरण के अनुरूप नहीं हैं, और इसलिए लाइनें संयोग नहीं करती हैं।

अगला कदम दी गई रेखाओं के लिए समानता की स्थिति की पूर्ति निर्धारित करना है।

लाइन y का सामान्य वेक्टर y \u003d 2 x + 1 वेक्टर n एक → \u003d (2, - 1) है, और दूसरी दी गई रेखा का निर्देशन वेक्टर b → \u003d (1, 2) है। इन वैक्टरों का अदिश उत्पाद शून्य है:

n a →, b → \u003d 2 1 + (- 1) 2 \u003d 0

इस प्रकार, वैक्टर लंबवत हैं: यह हमें मूल सीधी रेखाओं के समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति की पूर्ति दर्शाता है। उन। दी गई पंक्तियाँ समानांतर हैं।

उत्तर: दी गई पंक्तियाँ समानांतर हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में लाइनों के समानतावाद को साबित करने के लिए, निम्नलिखित आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय em

समानांतर होने के लिए तीन-आयामी अंतरिक्ष में दो गैर-संयोगी सीधी रेखाओं के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन सीधी रेखाओं की दिशा वैक्टर टकराएं।

उन। तीन-आयामी अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के समीकरणों के लिए, प्रश्न का उत्तर: क्या वे समानांतर हैं या नहीं, दिए गए सीधी रेखाओं की दिशा वैक्टर के निर्देशांक का निर्धारण करने के साथ-साथ उनकी मिलीभगत की स्थिति की जांच करके भी पाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि a → \u003d (ax, ay, az) और b → \u003d (bx, by, bz) क्रमशः दिशाओं के a और b के वैक्टर हैं, तो उनके समानांतर होने के लिए, इस तरह की वास्तविक संख्या t मौजूद होती है। ताकि समानता बनी रहे:

a → \u003d t b → x a x \u003d t b x a y \u003d t b y a z \u003d t b z

उदाहरण 3

सीधी रेखाएँ x 1 \u003d y - 2 0 \u003d z + 1 - 3 और x \u003d 2 + 2 λ y \u003d 1 z \u003d - 3 - 6 λ। इन पंक्तियों की समानता को सिद्ध करना आवश्यक है।

फेसला

समस्या की स्थितियों ने अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण और अंतरिक्ष में एक और सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण सेट किए। दिशा वैक्टर a → और b → दी गई पंक्तियों में निर्देशांक हैं: (1, 0, - 3) और (2, 0, - 6)।

1 \u003d टी 2 0 \u003d टी 0 - 3 \u003d टी - 6 1 टी \u003d 1 2, फिर एक → \u003d 1 2 बी →।

नतीजतन, अंतरिक्ष में लाइनों के समानांतरवाद के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति संतुष्ट है।

उत्तर: दी गई रेखाओं की समानता सिद्ध होती है।

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया इसे चुनें और Ctrl + Enter दबाएं