जटिल क्षेत्र में पंक्तियाँ। L.21

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प्रतिलेख।

1 8 जटिल संख्या पंक्तियों को टाइप का जटिल संख्या के साथ एक संख्यात्मक संख्या पर विचार करें, (46) जहां (एके) - जटिल सदस्यों के साथ दिए गए संख्यात्मक अनुक्रम के पंक्ति (46) को उनके आंशिक रकम के अनुक्रम (ओं) को परिवर्तित किया जाता है एस एकक को अभिसरण किया जाता है। एस अनुक्रम (ओं) को पंक्ति का योग कहा जाता है (46) एके श्रृंखला को एक अभिसरण के सीरीज एसएस आर और एलएम आर के लिए पंक्ति (46) के अवशेष कहा जाता है, उन ε\u003e n, n: आर< ε Для сходящегося ряда (46) необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши: ряд (46) сходится тогда и только тогда, если ε >, एन, एन: ए< ε p k k Необходимым условием сходимости ряда (46) является требование lm a Действительно, из сходимости ряда (46) следует, согласно критерию Коши, что ε >, एन\u003e, पी के साथ, यह एस एस का अनुसरण करता है< ε Если сходится ряд ak k a (47) с действительными положительными членами, то очевидно, сходится и ряд (46), который в этом случае называется абсолютно сходящимся А для ряда (47) уже можно применить признаки Даламбера и Коши: ряд (47) сходится, если, начиная с a некоторого номера N соотношение l < a, N значит, сходится абсолютно ряд (46)), если a q <, N k ; и ряд (47) сходится (а,

2 9 कार्यात्मक पंक्तियां और उनके गुण वर्दी अभिसरण वीयरस्ट्रैस प्रमेय टाइप यूयू (48) के रूप में अस्पष्ट कार्यों ((z)) के अनंत अनुक्रम को एक कार्यात्मक संख्या (48) कहा जाता है जिसे क्षेत्र जी में परिभाषित किया जाता है कॉम्प्लेक्स प्लेन जेड संबंधित संख्यात्मक संख्या यदि श्रृंखला (48) जी क्षेत्र में अभिसरण करती है, तो इस क्षेत्र में आप अद्वितीय फ़ंक्शन को निर्धारित कर सकते हैं, जिस का मूल्य क्षेत्र जी के प्रत्येक बिंदु पर समान राशि के बराबर है। संख्यात्मक पंक्ति (48) क्षेत्र जी में, फिर जी,\u003e के () यू के ()< ε Заметим, что в общем случае N зависит и от ε и от Определение Если ε >, एन (ε), एन (ε): ε, एन (ε,), एन (ε,): क्षेत्र जी के यू के तुरंत किया जाता है< ε G, то ряд (48) называется равномерно сходящимся в k k Если остаток ряда обозначить r U, то тогда условие равномерной сходимости ряда (48) можем записать в виде: r < ε, N(ε), G Достаточным признаком равномерной сходимости ряда (48) является признак Вейерштрасса: Если всюду в области G члены функционального ряда (48) могут быть мажорированы членами некоторого абсолютно сходящегося числового ряда a, те

3 ए यू, जी, (4 9) तो पंक्ति (48) समान रूप से एन वास्तव में एन वास्तव में, टीसी श्रृंखला एक अभिसरण, फिर, जी में (49) के आधार पर, असमानता ε,\u003e के के एन, कि ए< ε, U U a < ε при N, что и доказывает равномерную k k k k k k сходимость ряда (48) в области G Приведем некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах Они доказываются совершенно также, как соответствующие теоремы вещественного анализа и поэтому приведем их без доказательства Теорема 5 Если функции U непрерывны в области G, а ряд U сходится в этой области равномерно к функции, то также непрерывна в G Теорема 6 Если ряд (48) непрерывных функций U сходится равномерно в области G к функции, то интеграл от этой функции по любой кусочногладкой кривой, целиком лежащей в области G, можно вычислить путем почленного интегрирования ряда (48), те Теорема 7 Если члены d U d U сходящегося в области G ряда U имеют непрерывные производные в этой области и ряд U равномерно сходится в G, то данный ряд U можно почленно дифференцировать в области G, причем U U, где U - сумма ряда

4 एक एकीकृत विश्लेषण में कार्यात्मक श्रृंखला के लिए, एक वीयरस्ट्रैस प्रमेय है जो आपको एक कार्यात्मक श्रृंखला के आंतों के भेदभाव की संभावना पर प्रमेय को बढ़ाने की अनुमति देता है, जिसे वास्तविक विश्लेषण से जाना जाता है और इसे साबित करने से पहले, हम ध्यान देते हैं कि एक संख्या यू , समान रूप से लाइन एल के साथ चल रहा है, समान रूप से अभिसरण और समारोह पर अपने सभी सदस्यों को गुणा करने के बाद φ, एल तक सीमित है, वास्तव में, हालांकि असमानता φ () लाइन पर किया जाता है।< M Тогда для остатков ρ и r рядов U и U ϕ справедливо соотношение ϕ U U r < M r ρ ϕ ε и, тк N, > N: आर।< и одновременно с ним ρ < ε, то этим доказано M высказанное утверждение Если сумма данного ряда есть S, то сумма ряда, полученного после умножения на ϕ, очевидно будет ϕ S Теорема 8 (Вейерштрасса) Если члены ряда - аналитические в некоторой области G функции и этот ряд сходится в области G равномерно, то его сумма также является функцией аналитической в G, ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд F равномерно сходится к () F Выберем любую внутреннюю точку области G и построим круг столь малого радиуса с центром в этой точке, чтобы он целиком лежал внутри G (рис) В силу равномерной сходимости данного ряда в G, G ρ Рис он, в частности, равномерно сходится на окружности этого круга Пусть - любая точка на Умножим ряд () () () () () (5) на величину Полученный ряд

5 यह भी इसके योग () () () () () () () () () (5) तक सीमित है, इस सर्कल के बिंदुओं के लिए, सर्कल त्रिज्या के लिए सीमित है (हम याद दिलाते हैं: - यहां निरंतर है) उपरोक्त श्रृंखला के अनुसार (5) आप प्रतिक्रियाशील को एकीकृत कर सकते हैं: () डी () डी () डीडी π π π π कार्यों की विश्लेषणात्मकता के कारण, इसे कैची फॉर्मूला पर लागू किया जा सकता है जिसके आधार पर हम प्राप्त करते हैं () डी π, (5) और दाईं ओर पंक्ति का योग (5) है और, इसलिए, हम समानता π () डी प्राप्त करते हैं। लेकिन समारोह विश्लेषणात्मक की समान रूप से अभिसरण पंक्ति का योग होगा और इसलिए, इसलिए , जी में निरंतर कार्यों का अर्थ है दाईं ओर का अभिन्न अंग काली प्रकार का अभिन्न अंग है और इसका मतलब है कि यह कार्य, विश्लेषणात्मक अंदर और विशेष रूप से, टीसी के बिंदु पर, क्षेत्र जी के किसी भी बिंदु पर प्रतिनिधित्व करता है, फिर प्रमेय का पहला भाग इस श्रृंखला के अयोग्य भेदभाव की संभावना साबित करने के लिए साबित हुआ है। प्रदर्शन समारोह को गुणा करने के लिए कई (5) साबित करना आवश्यक है और टिप्पणी दोहराएं यह साबित किया जा सकता है कि कई विश्लेषणात्मक कार्य समय की एक अनंत संख्या को अलग किया जा सकता है ओम्स हम प्राप्त करते हैं कि श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है, और इसकी राशि (के) (के) के बराबर है

प्रजातियों की 6 श्रृंखला जहां एबेल प्रमेय की शक्तिशाली पंक्तियां सामान्य कार्यात्मक श्रृंखला (), (53) का एक बहुत ही महत्वपूर्ण मामला हैं - कुछ जटिल संख्याएं, और जटिल विमान का एक निश्चित बिंदु, श्रृंखला (53) के सदस्य विश्लेषणात्मक हैं पूरे विमान पर कार्य, इसलिए इस के गुणों का अध्ययन करने के लिए पिछले अनुच्छेदों के सामान्य प्रमेय लागू किए जा सकते हैं, कई गुण एक समान अभिसरण का परिणाम हैं (53) अभिसरण (53), निम्नलिखित प्रमेय के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए समान अभिसरण का परिणाम है 9 (हाबिल) महत्वपूर्ण है। यदि एक पावर पंक्ति (53) किसी बिंदु पर परिवर्तित होती है, तो यह किसी भी बिंदु पर स्थिति को संतुष्ट करने, और सर्कल में एकत्रित होती है< ρ, радиусом ρ, меньшим < сходится равномерно, ряд Δ Выберем произвольную точку, удовлетворяющую условию < Обозначим q сходимости ряда следовательно M >वह एम, क्यू< В силу необходимого признака его члены стремятся к нулю при, отсюда () M M q M, Тогда, где q < (54) Ряд справа в (54) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q < Тогда из (54) следует сходимость и рассматриваемого ряда

7 ρ।< достаточно в силу признака Вейерштрасса (53) В круге построить сходящийся числовой ряд, можорирующий данный ряд в рассматриваемой области Очевидно, таковым является ряд ρ M, также представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы Из теоремы Абеля можно вывести ряд следствий, в известной мере аналогичным следствиям из теоремы Абеля в теории степенных рядов вещественного анализа Если степенной ряд (53) расходится в некоторой точке, то он расходится и во всех точках, удовлетворяющих неравенству > बिंदु से बिंदु तक दूरी की सटीक अप्राप रेंज जिसमें पंक्ति अभिसरण (53) को पावर पंक्ति, और क्षेत्र के अभिसरण के त्रिज्या कहा जाता है<, называется кругом сходимости степенного ряда В точках границы ряд может как сходиться так и расходиться Пример Найти область сходимости ряда Δ Находим радиус сходимости по признаку Даламбера lm () и наш ряд сходится в круге < При <, те, исследуется особо В этом случае и, значит, областью абсолютной сходимости является

8 ρ।< В круге любого радиуса ρ, меньшего чем радиус сходимости, степенной ряд (53) сходится равномерно 3 Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции В самом деле, члены ряда u есть функции, аналитические на всей плоскости Z, ряд сходится в любой замкнутой подобласти круга сходимости Тогда по теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция 4 Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда 5 Коэффициенты степенного ряда (53) находятся по формулам! () () (55) Доказательство этого факта приводится методами, аналогичными методам вещественного анализа Ряд Тейлора Теорема Тейлора Нули аналитических функций Итак степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию Возникает вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? < Теорема 9 (Тейлора) Функция, аналитическая внутри круга, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно

9 सर्कल ρ ρ के अंदर एक मनमानी बिंदु का चयन करें< и построим окружность ρ точке радиусом < с центром в ρ (рис), содержащую точку внутри Такое построение возможно для любой точки внутри этого круга Так как < ρ, а внутри круга < Рис аналитична, то по формуле Коши имеем π ρ () d (56) Преобразуем подынтегральное выражение: (57) <, то < Так как Поэтому второй сомножитель справа в (57) можно представить как сумму степенного ряда (прогрессии), ту которая первый член есть, а знаменатель прогрессии есть Так как, те () () (58) ρ, то ряд (58) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом Подставляя (58) в (56) и интегрируя почленно, получаем ρ (< ρ)

10 हम प्रस्ताव () डी () ρ π () डी () ρ ρ () और पुनर्लेखन (5 9) को बिजली श्रृंखला के चयनित बिंदु में एक चिंतित के रूप में परिचित करते हैं: (5 9) (6) (6) (6) में फॉर्मूला (6) परिवेश ρ को कैची प्रमेय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, किसी भी बंद समोच्च क्षेत्र में झूठ बोल रहा है< и содержащим точку внутри Так как - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (6) сходится к круге ρ < этот ряд сходится равномерно Итак, функция всюду внутри круга < аналитическая внутри круга <, причем в разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд Коэффициенты разложения (6) на основании формулы Коши для производных аналитической функции имеет вид () d () π ρ () ()! (6) Для доказательства единственности разложения (6) допустим, что имеет еще место формула разложения (), (6)

11 एक गुणांक कहाँ होगा<, поэтому на основании формулы (55) Ряд (6) сходящимся в круге () () (6) Тем самым единственность определения коэффициентов доказана Разложение функции, аналитической в круге! <, что совпадает с, в сходящийся степенной ряд (6), часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (6) Рядом Тейлора Доказанная теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки и степенным рядом с центром в этой точке, это означает эквивалентность конкретной аналитической функции, как функции бесконечное число раз дифференцируемой и функцией, представимой в виде суммы степенного ряда G и Заметим, наконец, что, если функция является аналитической в области G - внутренняя точка, то радиус сходимости ряда Тейлора () () () этой функции не меньше расстояния от точки до! границы области G (имеется в виду ближайшее расстояние) Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням Δ Эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точек, Поэтому в круге < функция может быть ± разложена в ряд Тейлора При условии < выражение рассматриваться как сумма бесконечно убывающей прогрессии может q, q < Поэтому

12 , < Пример 3 Найти разложение в ряд Тейлора в круге < Определение по формуле (6) здесь довольно затруднительно Поэтому, представим π Так как < и <, то, используя геометрическую, получаем q q, Используя показательную форму чисел и находим окончательно 4 s π (63) Тк расстояние от центра разложения до ближайших особых точек (те до границы аналитичности) есть, то радиус сходимости ряда (63) есть Рис X Y

13 4 4 3 उदाहरण<, 4 3 < Ближайшей к центру разложения особой точкой является точка, до которой расстояние равно, поэтому В заключение приведем основные разложения: e (<)!! 3! cos! 4 3 4! ; (<)! ; s () m 3 3! 5 5! m m m!! (<) ()! ; m(m)(m)! ; l 3 3 () 4 (<) Если для аналитической функции (), то точка называется нулем аналитической функции В этом случае разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид () () тк () Если в разложении функции окрестности точки и, следовательно, разложение имеет вид, в ряд Тейлора в,

14 बिंदु () (), (64) को शून्य फ़ंक्शन कहा जाता है अगर, शून्य को एक साधारण आदेश कहा जाता है, या टेलर श्रृंखला के गुणांक के लिए सूत्रों से बहुतायत को हम देखते हैं कि यदि बिंदु शून्य क्रम है, तो कहां () () विघटन (64) को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है, लेकिन () () () [) () () () () () (), () φ, और इस श्रृंखला के अभिसरण का सर्कल स्पष्ट रूप से है एक संख्या (64) के समान और उलटा दावा जहां फॉर्म का कोई भी कार्य एक पूर्णांक है, φ () और उदाहरण के बारे में 5 अंक ± () φ, φ विश्लेषण बिंदु पर इस बिंदु पर इस बिंदु पर है फंक्शन, टीसी () () ई (4) φ 3 4 ई शून्य हैं, और (±) उदाहरण 6 8 एस समारोह के लिए शून्य का क्रम खोजें, मैं degrees में decominator को विघटित कर दूंगा: 3 3! 8 5 5! ! पांच!3! 5 5! φ।

15 5 φ, जहां φ, और φ और फ़ंक्शन का बिंदु 3!, तो उस बिंदु 5! φ विश्लेषणात्मक है लॉरेंट की प्रारंभिक सीमा के लिए 5 वें क्रम में शून्य है और लॉरेंट की एक पंक्ति में एक विश्लेषणात्मक कार्य के अभिसरण अपघटन के क्षेत्र में प्रजातियों की एक श्रृंखला पर विचार करें () जहां - जटिल विमान का एक निश्चित बिंदु, ( 65) - श्रृंखला की कुछ जटिल संख्या (65) को लॉरेंट नंबर कहा जाता है हम फॉर्म (65) फॉर्म () () (66) () () में अभिसरण के अपने क्षेत्र को स्थापित करेंगे () () () यह स्पष्ट है कि का क्षेत्र श्रृंखला का अभिसरण (66) पंक्ति अभिसरण के दाएं हाथ की ओर (66) क्षेत्र की प्रत्येक शर्त के अभिसरण क्षेत्रों का कुल हिस्सा है जो कि कुछ त्रिज्या के बिंदु पर केंद्र के साथ एक सर्कल है, और विशेष रूप से, यह अभिसरण के चक्र के अंदर शून्य या अनंतता के बराबर हो सकता है, यह श्रृंखला जटिल परिवर्तनीय के कुछ विश्लेषणात्मक कार्य में परिवर्तित होती है, जो (),< (67)

16 कई परिवर्तनीय, डाल () के अभिसरण के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए () () () तब यह श्रृंखला प्रतिस्थापन का एक रूप लेगी - एक नियमित शक्ति श्रृंखला, जो एक जटिल के साथ एक निश्चित विश्लेषणात्मक समारोह φ () के रूप में अभिसरण के चक्र के अलावा एक जटिल के साथ परिवर्तनीय परिणामस्वरूप चरण-दर-चरण श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को आर तब हैं φ,< r Возвращаясь к старой переменной и полагая ϕ () () (68), > यहां से आर यह है कि पंक्ति क्षेत्र के अभिसरण का क्षेत्र, सर्कल आर के लिए बाहरी, हम (69) () () () (66) की प्रत्येक शक्ति पंक्तियों में से प्रत्येक अभिसरण के अपने क्षेत्र में अभिसरण होती है यदि आर के अनुरूप विश्लेषणात्मक कार्य में<, то существует общая область сходимости этих рядов круговое кольцо r < <, в которой ряд (65) сходится к аналитической функции (), r < < (7) Так как ряды (67) и (68) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция обладает всеми свойствами суммы степенного ряда Это означает, что ряд Лорана сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции, аналитической в данном кольце

17 यदि आर\u003e, तो अभिसरण के कुल क्षेत्र के पंक्तियों (67) और (68) में नहीं है, इस प्रकार इस मामले में संख्या (65) किसी भी फ़ंक्शन में अभिसरण नहीं करती है, हम ध्यान देते हैं कि कई नियमित हिस्सा हैं पंक्ति (7), और उदाहरण 7 विघटन - पंक्ति का मुख्य हिस्सा (65) () ए)< < ; б) > ; में)< < называется правильной частью или в ряд Лорана в кольцах: Во всех кольцах функция регулярна (аналитична) и поэтому может быть представлена рядом Лорана (доказательство этого факта в следующем пункте) Перепишем функцию в виде а) Так как <, то второе слагаемое есть сумма убывающей геометрической прогрессии Поэтому () Здесь главная часть состоит из одного слагаемого < б) в этом случае, поэтому () 3

18 इस विस्तार में कोई नियमित हिस्सा नहीं है।< в) Для случая < функцию также надо привести к сходящейся геометрической прогрессии, но со знаменателем Это даст: 3 Заметим, что в главной части этого разложения присутствует одно слагаемое Возникает вопрос: можно ли функции аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? На этот вопрос отвечает Теорема Функция, аналитическая в круговом кольце < <, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана дробь На Рис 3 Δ Зафиксируем произвольную точку внутри данного кольца и контурами окружности и с центром в, радиусы которых удовлетворяют условиям < < < < < (рис 3) Согласно формуле Коши для многосвязной области имеем π () d () выполняется неравенство q, можно представить в виде d (7) Поэтому

1 9 हम (7) मिट्टी एकीकरण में शामिल होंगे, जो कि सॉफ्टवेयर की एक श्रृंखला के समान अभिसरण के आधार पर संभव है, हम डी π, (7) प्राप्त करते हैं जहां डी π, (73) के रूप में असमानता की जाती है, तो हम इस श्रृंखला के मिट्टी एकीकरण के परिणामस्वरूप पिछले के रूप में समान है (7) हमारे पास π π डीडी, (डी), (74) होगा जहां डी π (75) एकीकरण की दिशा बदलना (75) ), हमने प्राप्त किया

सर्कुलर रिंग में (73) और (76) में एकीकृत कार्यों की विश्लेषणात्मकता के कारण 20 π () () () डी () () डी () (76)< < в соответствии с теоремой Коши значения интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности Это позволяет объединить формулы (73) и (76): π () d (), ±, ±, (77) где - произвольный замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точку внутри Возвратимся теперь к формуле (7), получим где коэффициенты () (), (78) () для всех определяются однообразной формулой (77) Так как - люба точка кольца < <, то отсюда следует, что ряд (78) сходится к внутри данного кольца причем в замкнутом кольце < < ряд сходится к равномерно Доказательство единственности разложения (78) опускаем Из полученных результатов следует, что областью сходимости ряда (78) Лорана является круговое кольцо < <, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции ряд (78), к которой сходится Замечание Формула (77) для определения коэффициентов разложения в ряд Лорана (78) не всегда практически удобна Поэтому часто прибегают к разложению рациональной дроби на простейшие с использованием геометрической прогрессии, а также используют разложение в ряд Тейлора элементарные функции Приведем примеры

21 उदाहरण 8 लॉरेंट लाइन (डिग्री के पड़ोस में) वाई प्वाइंट के पड़ोस में () () इस मामले में, हम इस मामले में केंद्र के साथ दो गोलाकार के छल्ले का निर्माण करेंगे (चित्र 4): ए) सर्किल "के बिना केंद्र "< < ; Рис 4 X б) внешность круга > इनमें से प्रत्येक छल्ले विश्लेषणात्मक है, और सीमाओं पर इसमें इन क्षेत्रों में से प्रत्येक क्षेत्र में विघटन करने के लिए विशेष अंक हैं, जो डिग्री में कार्य करते हैं)< < ; ; [ () () () ] () < Этот ряд сходится, так как Так что ()() () () () (), ; >) यहां हमारे पास 3, () () () () () () - एक रोइंग पंक्ति है, क्योंकि<

परिणामस्वरूप 22 एस () () () () (), उन 3, 3 उदाहरण 9 बिंदु समारोह के पड़ोस में लॉरेंट की एक पंक्ति में विघटित δ: एस एस एस कॉस एस एस एस एस एस एस! COS 4 () () 3 4!3! () पांच! () (एस कॉस) !! पांच

थीम कॉम्प्लेक्स न्यूमेरिक पंक्तियां संख्यात्मक श्रृंखला के एक को उस संख्या के रूप के रूप में जटिल संख्या के साथ मानते हैं जिसे अनुक्रम एस को अपने आंशिक रकम एस ए के के में परिवर्तित किया जाता है। उसी समय सीमा अनुक्रम

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5 पावर पंक्तियां 5 पावर पंक्तियां: परिभाषा, क्षेत्र क्षेत्र कार्यात्मक पंक्ति (ए + ए) + ए () + के + ए () + के ए) (, (5) जहां, ए, ए, के, ए, के कुछ संख्याएं एक शक्तिशाली संख्या कहा जाता है

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बेलारूस के गणराज्य की शिक्षा मंत्रालय यूओ "विटस्क्स्क राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय" थीम। सैद्धांतिक और लागू गणित विभाग के "पंक्तियों"। डीसी द्वारा विकसित किया गया। ई.बी. डनिन रखरखाव

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गणितीय विश्लेषण अनुभाग: संख्यात्मक और कार्यात्मक दरें विषय: पावर पंक्तियां। एक पावर श्रृंखला लेक्चरर Rozhkov s.v में फ़ंक्शन का अपघटन। 3 ग्राम। 34. डिग्री के बगल में स्थित बिजली के शक्तिशाली रैंक को बुलाया जाता है

विश्लेषणात्मक कार्यों की 4 पंक्तियां 4. कार्यात्मक अनुक्रमों को ω सी और एफ एन: ω सी )।

इसके योग और क्षेत्र कार्यक्षमता की कार्यात्मक श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला ओह, वास्तविक या जटिल संख्याओं के क्षेत्र में चलो कार्यों के अनुक्रम के अनुक्रम के अनुसार (के 1 कार्यात्मक संख्या कहा जाता है

संख्यात्मक और कार्यात्मक दरों के प्रकार की अभिव्यक्ति की संगीत एमवी जिला परिभाषा द्वारा तैयार व्याख्यान संख्यात्मक दरें: मूल अवधारणाएं (), जहां संख्यात्मक के पास (या बस पास) संख्या, एक श्रृंखला के सदस्य (निर्भर करते हैं (निर्भर करते हैं (निर्भर करते हैं)

ओडीआर न्यूमेरिकल अनुक्रम के संख्यात्मक अनुक्रम की संख्यात्मक पंक्तियों को एक संख्यात्मक एफ-सेट कहा जाता है, जो प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर निर्धारित होता है - अनुक्रम x \u003d, x \u003d, x \u003d, x \u003d के सामान्य सदस्य

Chulflage एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक एक पूर्वाह्न अधिक सामान्य रूप की एक श्रृंखला में कहा जाता है: एक एक (a) (a) (क) (), जहां

व्याख्यान 8 पंक्तियों और विशेष अंक। लॉरेंट की पंक्ति। अलग-अलग एकवचन बिंदु। 6. पंक्तियों और एकवचन बिंदु 6.7। लॉरेन प्रमेय की पंक्ति (पी। लॉरेंट): यदि फ़ंक्शन f () r में विश्लेषणात्मक है< a < R r R то она может быть разложена

फेडरल एजेंसी फॉर एजुकेशन फेडरल स्टेट एजुकेशनल इंस्टीट्यूशन ऑफ हायर प्रोफेशनल एजुकेशन दक्षिणी फेडरल यूनिवर्सिटी आर एम गेवरोवा, जी एस कोस्टोट्स्काया विधि

विषय 9 पॉवरारियों की शक्ति पंक्तियों को एक ही समय में प्रजातियों की एक कार्यात्मक श्रृंखला कहा जाता है ... संख्या का अनुपात, और पंक्ति के अपघटन का बिंदु।, ..., ... आर .. । शक्तिशाली पंक्तियों का केंद्र कहा जाता है। शक्ति के सामान्य सदस्य

4 कार्यात्मक श्रृंखला 4 मूल परिभाषाएं परिभाषा x यू के सामान्य क्षेत्र के साथ कार्यों के अनंत अनुक्रम को अनुमति दें), यू (), के, यू (), के (निर्धारण यू) + यू () + के + यू () +

व्याख्यान 3 टेलर के रैंक और पावर ऑफ पावर का अनुप्रयोग पंक्तियों की सत्ता पंक्तियों में कार्यों की अपघटन और अनुप्रयोगों के लिए मैकरीना की सत्ता पंक्तियों में अनुप्रयोगों के लिए इस समारोह को एक पावर पंक्ति में समझने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है, उन समारोह में

व्याख्यान 6 एक पावर श्रृंखला में कार्य का अपघटन टेलर के रैंकों और मैक सुरंगा के अपघटन की विशिष्टता कुछ प्राथमिक कार्यों की एक विद्युत श्रृंखला में कटौती की विशिष्टता पिछले व्याख्यानों में बिजली पंक्तियों का उपयोग करती है

उच्च गणित विभाग के मेटलर्जिकल संकाय की संख्या विधिकल निर्देश नोवोकुज़नेट्सक 5 संघीय एजेंसी शिक्षा राज्य शिक्षा राज्य शैक्षिक संस्थान उच्च पेशेवर शिक्षा

लॉरेंट की पंक्तियां एक आम प्रकार की शक्ति पंक्तियां होती हैं पंक्तियां पंक्तियां होती हैं जिनमें जेड जेड 0. की सकारात्मक और नकारात्मक डिग्री होती है, टेलर श्रृंखला की तरह, वे विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

ओडीए की संख्या सामान्य अवधारणाएं यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को एक निश्चित कानून के अनुसार एक निश्चित संख्या के अनुसार रखा जाता है, तो एकीकृत संख्याओं की बहुलता को एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है,

एक Lavrenchenko wwwwwwrecekoru व्याख्यान कार्यात्मक श्रृंखला के साथ कार्यात्मक श्रृंखला की अवधारणा पहले हमने संख्यात्मक पंक्तियों का अध्ययन किया था, श्रृंखला के सदस्य अब कार्यात्मक श्रृंखला, टी के अध्ययन में बदल गए थे, टी

विषय कई लॉरेंट और अभिसरण का क्षेत्र है। प्रजातियों की एक श्रृंखला जहां सी (जेड जेड) एन \u003d सी (जेड जेड) एन + एन एन एन \u003d एन \u003d जेड प्लेन लॉरेंट के पास जटिल सी एन का एक निश्चित बिंदु है। C n (z z) n \u003d - कुछ जटिल

भाषण। कार्यात्मक श्रृंखला। एक पंक्ति की एक कार्यात्मक श्रृंखला की परिभाषा, जिनके सदस्य एक्स से कार्य होते हैं, को कार्यात्मक कहा जाता है: u \u003d u (x) + u + k + u + k \u003d x को एक निश्चित मान X, हम

श्रृंखला का सिद्धांत श्रृंखला का सिद्धांत गणितीय विश्लेषण का एक अनिवार्य हिस्सा है और दोनों सैद्धांतिक और कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों को पाता है। संख्यात्मक और कार्यात्मक संख्याएं हैं।

अभिसरण परिभाषा की त्रिज्या। पावररी को फॉर्म सी 0 + सी (टीए) + सी 2 (टीए) 2 + + सी (टीए) + \u003d सी (टीए), () की कार्यात्मक श्रृंखला कहा जाता है जहां सी 0, सी, सी 2, .. ।, सी, ... सी को पावर गुणांक कहा जाता है

मास्को राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय सिविल विमानन वीएम। Lyubimov, ईए। झुकोवा, वीए। वोकोवा, यू.ए. शूरिनोव मा टी ई एम ए टी और के ए आर मैं विषयों और शर्तों के अध्ययन के लिए प्रकाशित करता हूं

82 4. धारा 4. कार्यात्मक और पावर पंक्तियां 4.2 4.2। पाठ 3 4.2। पाठ 3 4.2 .. टेलर परिभाषा की एक श्रृंखला में एक समारोह का अपघटन 4.2 .. मान लीजिए कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) कुछ परिवेश में असीमित रूप से भिन्न है

भाषण। पावर पंक्तियां। हार्मोनिक विश्लेषण; फूरियर श्रृंखला और परिवर्तन। संपत्ति ऑर्थोगोनलिटी। सामान्य कार्यात्मक पंक्तियां। 8. कार्यों का उत्क्रमण एक संख्या यू + यू + यू को कार्यात्मक कहा जाता है

स्टार्कोव वी.एन. स्थापना व्याख्यान प्रश्न के लिए सामग्री 9. पावर पंक्तियों में विश्लेषणात्मक कार्यों का अपघटन। परिभाषा। प्रकार की कार्यात्मक श्रृंखला ((... ... (..., जहां जटिल स्थिरांक (पंक्ति गुणांक)

एसजीयूपीएस उच्च गणित विभाग "पंक्तियों" की मानक गणना के कार्यान्वयन के लिए विधिवत दिशानिर्देश Novosibirsk 006 कुछ सैद्धांतिक जानकारी संख्यात्मक पंक्तियों यू; यू; यू; ; यू; अंतहीन संख्यात्मक हैं

ई व्यवसाय। टेलर की रैंक। पावर पंक्तियों का सारांश। विश्लेषण, गोंद। चटाई।, तीसरे सेमेस्टर डिग्री में एक पावर पंक्ति में फ़ंक्शन का विस्तार ज्ञात करें, पावर श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या की गणना करें: ए एफ ()

श्रृंखला के प्रमुख कई संख्यात्मक अनुक्रम संख्यात्मक पंक्तियों के सदस्यों की मात्रा का औपचारिक रिकॉर्ड एस के योग की एक संख्यात्मक संख्या कहा जाता है, जिसे पंक्ति के आंशिक रकम कहा जाता है यदि सीमा एस की सीमा है, तो एस एक पंक्ति

प्रैक्टिकल सबक 8 कटौती 8 निर्धारण 8 कटौती की गणना 8 लघुगणक कटौती 8 परिभाषा परिभाषा विश्लेषणात्मक की विशेष कटौती में कार्यों के एक अलग विशेष बिंदु को अनुमति दें

~ ~ FCP जटिल एसी के व्युत्पन्न कार्यों FCP वर्तमान स्थितियों - FCP छवि की नियमितता की Riemann अवधारणा और जटिल संख्या का प्रकार FCP प्रकार: जहां दो चर का वास्तविक कार्य मान्य है

उच्च गणित की दर से निपटारे असाइनमेंट के लिए विध्वंसक दिशानिर्देश "श्रृंखला डबल इंटीग्रल के सामान्य अंतर समीकरण" भाग का हिस्सा अभिसरण और विचलन की संख्या की पंक्तियों की पंक्तियों की पंक्तियों की सामग्री की सामग्री की थीम

संघीय एजेंसी शिक्षा के लिए Arkhangelsk राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय निर्माण संकाय स्वतंत्र काम के लिए असाइनमेंट बनाने के लिए विधिीय दिशानिर्देशों के संकाय Arkhangelsk

इस विषय का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप व्यापक परिवर्तनीय परिचालन गणना के कार्यों के सिद्धांत के तत्व, छात्र को सीखना चाहिए: एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय और परिभाषित रूपों को ढूंढें

गणितीय विश्लेषण भाग 3. संख्यात्मक और कार्यात्मक श्रृंखला। एकाधिक इंटीग्रल। क्षेत्र सिद्धांत। ट्यूटोरियल एनडी हेस्क मट्टी rstu उन्हें। के.ई. Tsiolkov विभाग "उच्च गणित" गणितीय विश्लेषण

व्याख्यान 3. कटौती। एक अलग विशेष बिंदु में फ़ंक्शन एफ () कटौती के लिए कटौती पर मुख्य प्रमेय ए को सर्कल के आसपास सकारात्मक दिशा में लिया गया अभिन्न एफ () 2 के मूल्य के बराबर जटिल संख्या कहा जाता है

संख्यात्मक और शक्ति पंक्तियाँ कब्जे। संख्यात्मक पंक्तियाँ। पंक्ति का योग। अभिसरण के संकेत .. पंक्ति के योग की गणना करें। 6 समाधान। अनंत ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का योग बराबर बराबर है, जहां क्यू प्रगति का संप्रदाय है।

एक Lavrenchenko wwwlawreeceoru व्याख्यान के साथ टेलर की पंक्तियों के कार्यों के कार्यों की प्रस्तुति अंतिम व्याख्यान पर एक उपयोगी सीमा निम्नलिखित रणनीति विकसित की गई: समारोह की प्रतिनिधित्व के लिए पर्याप्त स्थिति पर

परीक्षा के लिए एम वी। डेकालोवा कॉम्प्लेक्स विश्लेषण (समूह एमएक्स -21, 215) पहले कॉलोक्वियम 1 के प्रश्न 1. बिंदु पर जटिल चर के कार्य का विभाजन। रिमैन (दलामबर यूलर) की वर्तमान स्थितियां।

विकल्प कार्य बीजगणितीय रूप में देने के लिए उत्तर समारोह के मूल्य की गणना करें: एक श; बी एल समाधान और हम त्रिकोणमितीय साइनस और हाइपरबॉलिक साइन के बीच संचार सूत्र का उपयोग करते हैं :; sh -s हमें मिलता है

व्याख्यान संख्यात्मक पंक्तियां अभिसरण संख्यात्मक श्रृंखला के संकेत अभिसरण के संख्यात्मक श्रृंखला संकेतों की अनंत अभिव्यक्ति + + + + अंतहीन के सदस्यों से बना है, जिसे संख्यात्मक संख्या कहा जाता है,

4. कार्यात्मक श्रृंखला, कार्यात्मक श्रृंखला () के अभिसरण क्षेत्र के अभिसरण क्षेत्र के क्षेत्र को तर्क मूल्यों की बहुलता कहा जाता है जिसके लिए यह श्रृंखला अभिसरण करती है। समारोह (2) को पंक्ति का आंशिक योग कहा जाता है;

व्याख्यान 3 अस्तित्व और विशिष्टता के विशिष्टता की विशिष्टता समस्या को स्थापित करने की समस्या को स्थापित करने के मुख्य परिणाम को कैची टास्क डी एफ () डी \u003d, () \u003d फ़ंक्शन एफ () पर विचार किया गया है, विमान के क्षेत्र में ( ,

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय कज़ान राज्य वास्तुकला और निर्माण विश्वविद्यालय उच्च गणित संख्यात्मक और कार्यात्मक दरों के लिए दिशानिर्देश

(कार्यात्मक श्रृंखला पावर पंक्तियां क्षेत्र अभिसरण क्षेत्र एक अभिसरण अंतराल खोजने की प्रक्रिया अभिसरण अंतराल उदाहरणों के त्रिज्या का एक उदाहरण है) कार्यों के एक अनंत अनुक्रम, कार्यात्मक

सी एक Lavrenchenko wwwlawrecekoru व्याख्यान शक्ति पंक्तियों द्वारा कार्यों की प्रस्तुति परिचय निम्नलिखित कार्यों को हल करने में पावर पंक्तियों के कार्यों का प्रतिनिधित्व उपयोगी है: - कार्यों को एकीकृत करना

ई व्यवसाय। पावर पंक्तियां। टेलर की पंक्तियाँ चटाई। विश्लेषण, गोंद। चटाई, तीसरे सेमेस्टर दालाम्बर के एक संकेत का उपयोग करके एक पावर पंक्ति के अभिसरण के त्रिज्या को ढूंढें: (89 () एन एन (एन!)) पी (एन +)! एन \u003d टेलर श्रृंखला एफ (एक्स)

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय फेडरल स्टेट बजटीय शैक्षिक संस्थान उच्च पेशेवर शिक्षा "समारा राज्य एयरोस्पेस विश्वविद्यालय

पंक्तियाँ। संख्यात्मक पंक्तियाँ। मुख्य परिभाषाओं को संख्या अभिव्यक्ति (अनंत योग) ए, ए 2, ..., ए एन, ... ए एन, ए 2 + ए एन + ... () i \u003d कहा जाता है। नंबर

गणितीय सांख्यिकी विभाग के कज़ान स्टेट यूनिवर्सिटी न्यूमेरिक दरें पद्धतिपरक मैनुअल कज़ान 008 कज़ान विश्वविद्यालय विश्वविद्यालय की वैज्ञानिक और पद्धति परिषद के अनुभाग के निर्णय से मुद्रित की जाती है

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय वीए वोल्कोव पंक्तियों अभिन्न फूरियर शैक्षिक इलेक्ट्रॉनिक पाठ संस्करण विशिष्टताओं के छात्रों के लिए 4865 इलेक्ट्रॉनिक्स और भौतिक प्रतिष्ठानों के स्वचालन के लिए;

џ। संख्यात्मक श्रृंखला की अवधारणा। संख्याओं के अनुक्रम को, एक 2, ..., एक, दिया जाना चाहिए .... संख्यात्मक अभिव्यक्ति ए \u003d ए + ए 2 + ... + ए + ... (।) संख्या ए, ए 2, ..।, ए, ... को एक पंक्ति के सदस्यों कहा जाता है, ए

टीएफकेपी समस्याओं का विधिकल विकास समाधान जटिल संख्याओं पर संचालन की जटिल संख्या जटिल विमान जटिल संख्या को बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय घातीय में दर्शाया जा सकता है

साइबेरियाई गणितीय पत्रिका जुलाई अगस्त, 2005. वॉल्यूम 46, 4 यूडीसी 517.53 समन्वय के अभिसरण के लिए शर्तें ए जी लिपचिंस्की सार के विशेष बिंदुओं से अलग नोड्स में इंटरपोलेशन अंशों के अभिसरण के लिए शर्तें

मॉस्को ऑटोमोबाइल और रोड स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी (मैडी) एए ज़्लेन्को, सीए isotova, ला Malysheva गणित मास्को रोड-रोड पर स्वतंत्र काम के लिए विधिवत निर्देश

प्रतिलेख।

1 संघीय एजेंसी शिक्षा के लिए टॉमस्क राज्य वास्तुकला और निर्माण जटिल सदस्यों के साथ पंक्तियों के निर्माण विश्वविद्यालय स्वतंत्र कार्य संकलक ली लेसनिक, वीए स्टेरेंचेन्को टॉमस्क के लिए विधिवत निर्देश

व्यापक सदस्यों के साथ 2 पंक्तियां: विधायी निर्देश / सोस्टा लेसनिक, वीए स्टारचेन्को - टॉमस्क: प्रकाशन हाउस ऑफ स्टेट कॉरिगेट-एन-टीए बिल्ड करता है, एक समीक्षक के साथ प्रोफेसर एनएन बेलोव संपादक ग्ललोव विधायी निर्देशों के लिए स्व-अध्ययन छात्र-धमकियों के लिए इरादा है यूएनएफ "गणित" के अनुशासन के सभी विशिष्टताओं की थीम "व्यापक सदस्यों के साथ पंक्तियां" उच्च गणित विभाग के पद्धतिपूर्ण संगोष्ठी के निर्णय से मुद्रित की जाती हैं, मार्च जी के प्रोटोकॉल 4 को मंजूरी दे दी जाती है और उप-रेक्टर द्वारा कार्रवाई में प्रवेश किया जाता है अकादमिक 5 से 55 तक वीवीटीबी पहनने वाले मूल-लेआउट प्रिंट प्रारूप में हस्ताक्षर किए गए लेखक द्वारा हस्ताक्षरित 6 84/6 पेपर ऑफसेट हेडसेट टाइम्स यूच-एडा एल, 6 परिसंचरण 4 ऑर्डर पब्लिशिंग हाउस टीजीएएसयू, 64, जी टॉमस्क, पीएल सोलिनया, से मुद्रित ओओपी TGASU 64, टॉमस्क, उल Partizanskaya, 5 में मूल बॉक्स

जटिल सदस्यों के साथ 3 पंक्तियां जटिल सदस्यों के साथ संख्यात्मक श्रृंखला के विषय को याद करते हैं कि जटिल संख्याओं को फॉर्म जेड \u003d एक्सवाई की संख्या कहा जाता है, जहां एक्स और वैध संख्या में, और काल्पनिक इकाई, समानता द्वारा निर्धारित \u003d - संख्या x और वाई, को क्रमशः संख्या जेड के वैध और काल्पनिक हिस्सों कहा जाता है और एक्स \u003d रीज़, वाई \u003d आईएमजेड को स्पष्ट रूप से दर्शाता है, एक डिकार्टन ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली और फॉर्म की जटिल संख्याओं के साथ XOO विमान के अंक एम (एक्स, वाई) के बीच z \u003d xy एक पारस्परिक रूप से अद्वितीय मिलान करने वाला विमान है जिसे एक जटिल विमान कहा जाता है, और z को इस विमान का बिंदु कहा जाता है वैध संख्याएं एब्सीसी अक्ष से मेल खाती हैं, जिसे वास्तविक धुरी कहा जाता है, और फॉर्म z \u003d y की संख्या से मेल खाती है समन्वय की धुरी, जिसे काल्पनिक धुरी कहा जाता है यदि बिंदु एम (एक्स, वाई) के ध्रुवीय निर्देशांक आर और जे द्वारा दर्शाए जाते हैं, तो x \u003d r cosj, y \u003d rsj और संख्या z फॉर्म में दर्ज किया गया था: z \u003d r (कोष एसजे), जहां आर \u003d एक्सवाई एक जटिल संख्या के इस रूप को त्रिकोणमितीय कहा जाता है, फॉर्म z \u003d xy में z रिकॉर्डिंग z को बीजगणितीय Pho कहा जाता है आरएमएम रिकॉर्ड नंबर आर को संख्या जेड मॉड्यूल कहा जाता है, संख्या जे तर्क (बिंदु z \u003d तर्क की अवधारणा लागू नहीं होती है) संख्या Z का मॉड्यूल सूत्र z \u003d x y तर्क जे द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है केवल एक अतिरिक्त स्थिति में विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 नंबर z (FIG) इसका मान याद किया जाना चाहिए कि y arq z - π के माध्यम से व्यक्त किया गया है< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >, वाई; arg z \u003d -arctg में x, यदि x\u003e, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y > ; π arg z \u003d -, यदि x \u003d, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z \u003d π - ARCTG \u003d π - \u003d π; z \u003d \u003d (fig) m yr \u003d j \u003d px चावल त्रिकोणमितीय रूप में संख्या Z \u003d - फ़ॉर्म में दर्ज किया गया है: - \u003d cos π s π è जटिल संख्याओं पर संचालन यह केवल एक को दोहराने के लिए अनुशंसित है केवल सूत्र को याद दिलाएं डिग्री के लिए संख्या Z का निर्माण: z \u003d (xy) \u003d r (कॉज एसजे) 5

6 6 मुख्य प्रश्न सिद्धांत संक्षिप्त उत्तर जटिल सदस्यों के साथ एक संख्या की परिभाषा परिभाषा की परिभाषा के लिए कई आवश्यक शर्त के अभिसरण की अवधारणा अनुक्रम z) \u003d (xy) \u003d z, z, z, जटिल संख्या फॉर्म (å \u003d z को पास बुलाया जाता है, Z पंक्ति का एक आम सदस्य है पंक्ति के आंशिक रकम की अवधारणाएं, इसका अभिसरण और विचलन पूरी तरह से मान्य सदस्यों के साथ पंक्तियों के लिए समान अवधारणाओं के अनुरूप है, पंक्ति के आंशिक रकम के अनुक्रम में फॉर्म है : S \u003d z; s \u003d zz; s \u003d zzz; यदि $ lm s और यह सीमा सीमित है और संख्या के बराबर है और संख्या के बराबर है, एक संख्या को अभिसरण कहा जाता है, और संख्या को श्रृंखला का योग कहा जाता है, अन्यथा संख्या विचलन को याद दिलाता है कि एकीकृत संख्याओं के अनुक्रम का निर्धारण जो हम उपयोग करते हैं, वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम की सीमा निर्धारित करने से अलग नहीं होते हैं: def (lm s \u003d s) \u003d ("ε\u003e $ n\u003e:\u003e n þ s - एस< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

एक श्रृंखला के सामान्य सदस्य जेड के 7 शून्य जब इसका मतलब है कि यदि यह स्थिति टूट जाती है, तो टी ई अगर एलएम z ¹, एक पंक्ति विचलन, यदि एलएम जेड \u003d, श्रृंखला के अभिसरण का सवाल खुला रहता है चाहे वह संभव हो पंक्ति å की जांच करने के लिए (x \u003d का अध्ययन करके x और å \u003d श्रृंखला å \u003d मान्य सदस्यों के साथ å \u003d के अभिसरण पर? वाई वाई) हां, निम्नलिखित प्रमेय हो सकते हैं: एक संख्या å \u003d y के लिए प्रमेय x) अभिसरण करने के लिए, यह आवश्यक है और दोनों पंक्तियों å \u003d å \u003d में अभिसरण करने के लिए पर्याप्त है, यदि å x \u003d s \u003d, जहां å s \u003d (xy) \u003d å \u003d x और, और y \u003d s एसएस, यह उदाहरण के लिए आता है, यह सुनिश्चित करने के लिए कि पंक्ति å \u003d è () है, और उसकी राशि 7 खोजें।

8 श्रृंखला का समाधान अभिसरण है, टी से ~ \u003d () () इस श्रृंखला के योग के साथ (सीएच, विषय, एन) पंक्ति को असीमित रूप से घटती ज्यामितीय \u003d प्रगति के रूप में परिवर्तित किया जाता है, å \u003d () è के साथ एसबी \u003d - क्यू \u003d यह अभिसरण करता है, और इसकी राशि इस प्रकार, श्रृंखला s \u003d एक पंक्ति का उदाहरण विचलित होता है, diverges \u003d è! हार्मोनिक पंक्ति इस मामले में एक पंक्ति å \u003d के अभिसरण पर जांच करने के लिए है! कई π tg का एक उदाहरण समझ में नहीं आता है, टी के के लिए \u003d è å π tg की एक श्रृंखला आवश्यक अभिसरण स्थिति \u003d π lm tg \u003d p ¹ 8 द्वारा परेशान है

9 जटिल सदस्यों के साथ अभिसरण पंक्तियों क्या गुण हैं? गुण वही हैं क्योंकि संपत्ति के वैध सदस्यों के साथ अभिसरण श्रृंखला को 4 दोहराने की सिफारिश की जाती है यदि इसके पूर्ण अभिसरण की अवधारणा व्यापक सदस्यों के साथ उपलब्ध है? प्रमेय (श्रृंखला के अभिसरण की पर्याप्त स्थिति) यदि पंक्ति å \u003d z अभिसरण, पूर्ण अभिसरण å \u003d z की अवधारणा को परिवर्तित किया जाएगा, फिर पूर्ण अभिसरण å \u003d z की अवधारणा औपचारिक रूप से मान्य के साथ एक श्रृंखला के समान ही दिखती है सदस्यों। एक पंक्ति å \u003d z की परिभाषा को बिल्कुल अभिसरण कहा जाता है यदि कई å \u003d z पंक्ति () () () 4 8 के पूर्ण अभिसरण साबित करने के लिए एक उदाहरण है, समाधान संख्या के त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग करेगा संख्या: 9

10 π π \u003d r (cosj sj) \u003d cos s è 4 4 फिर π π () \u003d () cos s þ è 4 4 () π π þ \u003d cos s þ z \u003d 4 4 è अभिसरण के लिए खोजा जाना बाकी है \u003d यह संप्रदाय के साथ ज्यामितीय प्रगति को असीम रूप से घट रहा है; इस तरह की प्रगति एकत्रित होती है, और इसलिए, एक श्रृंखला पूरी तरह से पूर्ण अभिसरण के सबूत में परिवर्तित होती है अक्सर प्रमेय प्रमेय का उपयोग किया जाता है ताकि सीमा å \u003d y (x) पूरी तरह से परिवर्तित हो, यह आवश्यक है और दोनों पंक्तियों å \u003d सटीक उदाहरण के लिए पर्याप्त है सीमा å \u003d (-) è cosπ! एक्स और å \u003d वाई बिल्कुल अभिसरण, टी के बिल्कुल अभिसरण (-), और पूर्ण अभिसरण \u003d पंक्ति å cosπ आसानी से साबित होता है: \u003d!

11 कोसी, और एक पंक्ति å !! \u003d! यह दालाम्बर के आधार पर एक पंक्ति å cosπ अभिसरण के संकेत पर परिवर्तित करता है þ पंक्ति å \u003d! यह बिल्कुल cosπ \u003d अभिसरण करता है! 4: å की पंक्तियों के अभिसरण का पता लगाने के लिए समस्याओं को हल करना; å (-) \u003d è l l \u003d è! l å \u003d π - कोस èè α tg π; 4 å \u003d è è;! समाधान å \u003d è ll पंक्ति को विचलित किया जाता है, टीके को कई å से अलग किया जाता है, जिसे तुलना के संकेत द्वारा आसानी से स्थापित किया जाता है:\u003e, और सामंजस्यपूर्ण- \u003d ll, एक श्रृंखला å, जैसा कि जाना जाता है, यह संभव है ध्यान दें कि \u003d यह पंक्ति कौची \u003d एल अभिसरण å (-) \u003d è के अभिन्न संकेत पर आधारित है! एल

12 पंक्ति अभिसरण, टी से \u003d! यह DALAMBER के सीमा चिह्न के आधार पर परिवर्तित होता है, और सीमा å (-) theorem \u003d l leibicity å α π - π cos tg \u003d èè में अभिसरण स्पष्ट रूप से, पंक्ति का व्यवहार α की डिग्री पर निर्भर करेगा β-cosβ \u003d s सूत्र का उपयोग करके एक संख्या लिखें: å α π π s tg \u003d èè α पर< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α > S ~ \u003d पंक्तियों α å è 4 \u003d अभिसरण करेगा, प्रदान किया जाएगा कि α\u003e, te α\u003e के साथ और जब यह α या जब यह अभिसरण करेगा, t t t tg ~ α एक पंक्ति å \u003d α है α π tg α।

13 इस प्रकार, प्रारंभिक पंक्ति α 4 å \u003d è è पर अभिसरण और फैल जाएगी! α\u003e पंक्ति å अभिसरण के लिए जांच \u003d и и и ичальный के साथ: lm \u003d lm \u003d\u003e þ è è è पंक्तियों की 5 पंक्तियों की संख्या 5 6 को π cos के पूर्ण अभिसरण में भी विभाजित किया जाएगा; 6 å (8) (-)! \u003d! Å \u003d समाधान 5 å \u003d π कॉस ()! Å \u003d - π सीओएस बिल्कुल अभिसरण, टी से (-)! यह तुलना के संकेत पर परिवर्तित होता है: π कॉस, एक पंक्ति (-) के साथ! (-)! \u003d (-)! दलामबर के संकेत पर अभिसरण

14 4 6 å \u003d!) 8 (एक पंक्ति के लिए!) 8 (å \u003d दालाम्बर का एक संकेत लागू करें :!) 8 (:)! () 8 (lm \u003d 8 8 lm \u003d 8 lm \u003d \u003d þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 पंक्तियां 7 पूर्ण अभिसरण 7 å \u003d è - π s) पर जांच करें (; 8! Å \u003d è; 9 å \u003d è - 5 π s) (å \u003d è -! 5) (उत्तर: 7, 8 बिल्कुल अभिसरण , 9 विचलन, बिल्कुल अभिसरण नहीं करता है

16 जटिल सदस्यों के साथ सत्ता पंक्तियों का विषय "कार्यात्मक पंक्तियों" का अध्ययन करते समय रैंक को विस्तार से माना जाता था, जिनकी शर्तें वास्तविक चर के कार्यों के एक निश्चित अनुक्रम के सदस्य थीं, सबसे बड़ी आकर्षण (विशेष रूप से अनुप्रयोगों की भावना) पावरल सीरीज़ थी, टाइप å \u003d ए (एक्सएक्स) की श्रृंखला यह साबित (एबेलियन प्रमेय) साबित हुई है कि प्रत्येक पावर श्रृंखला में अभिसरण अंतराल (एक्स - आर, एक्सआर) है, जिसके भीतर एस (एक्स ) एक संख्या का निरंतर है और अभिसरण अंतराल के अंदर बिजली की सीमा को तेजी से विभेदित किया जा सकता है और बिजली पंक्तियों के इन अद्भुत गुणों को एकीकृत किया जा सकता है। इस विषय में उनके कई अनुप्रयोगों के लिए सबसे व्यापक अवसर खोले जाएंगे, जिसे बिजली श्रृंखला द्वारा वैध नहीं माना जाएगा, और जटिल सदस्यों के साथ थ्योरी सिद्धांत के 6 प्रमुख प्रश्न एक पावर नंबर की एक पावर श्रृंखला की परिभाषा को फॉर्म å \u003d ए (जेड - जेड), () की कार्यात्मक श्रृंखला कहा जाता है जहां ए और जेड एकीकृत संख्या, और जेड विशेष मामले में व्यापक चर, cogd और z \u003d, पावर पंक्ति में फ़ॉर्म å \u003d z () है

17 जाहिर है, एक श्रृंखला () एक पंक्ति में कम हो जाती है () एक नए चर डब्ल्यू \u003d जेड-जेड की शुरूआत से, इसलिए हम मुख्य रूप से एबेल प्रमेय के फॉर्म () की पंक्तियों से निपटेंगे यदि पावर पंक्ति () z \u003d z ¹ पर अभिसरण, फिर अभिसरण और ... बिल्कुल किसी भी जेड के साथ, जिसके लिए z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 एबेल प्रमेय के पास एक परिणाम है जो दावा करता है कि यदि कोई श्रृंखला å \u003d एजेड डिस्प्ले * जेड \u003d जेड पर, यह किसी भी जेड के साथ अलग हो जाएगी, जिसके लिए * z\u003e z वहां पावर पंक्तियों () और () त्रिज्या की अवधारणा के लिए है अभिसरण? हां, अभिसरण आर संख्या का एक त्रिज्या है जिसमें संपत्ति है जो सभी जेड के लिए, जिसके लिए z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z > आर, पंक्ति () divens 4 पंक्ति के अभिसरण का क्षेत्र क्या है ()? यदि आर रे के अभिसरण त्रिज्या (), फिर z अंक का सेट जिसके लिए z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

1 9 5 क्या अभिसरण के त्रिज्या को सूत्रों के अनुसार आर \u003d एलएम और आर \u003d एलएम के अनुसार एक त्रिज्या ढूंढना संभव है, और जो वैध सदस्यों के साथ बिजली पंक्तियों के लिए हुआ? यह संभव है यदि ये सीमाएं मौजूद हैं यदि यह पता चला है कि आर \u003d, इसका मतलब यह होगा कि पंक्ति () केवल आर \u003d पंक्ति पर पंक्ति () बिंदु z \u003d या z \u003d z पर केवल संपूर्ण परिसर पर एकत्रित की जाएगी एक पंक्ति अभिसरण त्रिज्या å z \u003d a समाधान r \u003d lm \u003d lm \u003d a खोजने के लिए विमान, इसलिए श्रृंखला त्रिज्या सर्कल के अंदर अभिसरण एक उदाहरण दिलचस्प है क्योंकि xy सर्कल की सीमा पर< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 याद रखें कि अपने अभिसरण अंतराल के अंदर शक्तिशाली पंक्तियां å \u003d कुल्हाड़ी न केवल बिल्कुल अभिसरण करती हैं, बल्कि समान रूप से समान कथन श्रृंखला å \u003d AZ के लिए होती है: यदि पावर पंक्ति एकत्रित होती है और इसके अभिसरण का त्रिज्या आर है, तो किसी भी श्रृंखला में बंद सर्कल जेडआर ने कहा कि आर< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 त्रिज्या आर के सर्कल में\u003e श्रृंखला का अभिसरण, फिर यह टेलर फ़ंक्शन एफ (जेड), टी ई () एफ () एफ () एफ () एफ () (जेड) \u003d एफ () zz \u003d z की एक श्रृंखला के पास है !!! श्रृंखला å \u003d () f (z) ए \u003d के गुणांक! एफ () ए (जेड-जेड) की गणना फॉर्मूला द्वारा गणना की जाती है कि व्युत्पन्न एफ (z) की परिभाषा औपचारिक रूप से वास्तविक चर के फ़ंक्शन f (x) के समान तरीके से दी जाती है, टी ई (z) \u003d एलएम डीएफ एफ (जेड डी जेड) - एफ (जेड) डीजेड डीजेड फंक्शन एफ (जेड) के भेदभाव नियम वैध चर 7 के कार्य के भेदभाव नियमों की संख्या के समान हैं, जिसमें केस फ़ंक्शन एफ (जेड) ) बिंदु Z पर विश्लेषणात्मक कहा जाता है? प्वाइंट जेड फ़ंक्शन पर विश्लेषणात्मक की अवधारणा को बिंदु एक्स फ़ंक्शन एफ (एक्स) परिभाषा फ़ंक्शन एफ (जेड) पर वैध विश्लेषणात्मक की अवधारणा के साथ समानता के साथ दिया जाता है (जेड) को पॉइंट जेड पर एक विश्लेषणात्मक कहा जाता है, यदि आर\u003e ऐसा होता है सर्कल zz< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 एक बार फिर, हम जोर देते हैं कि पावर श्रृंखला के रूप में बिंदु जेड फ़ंक्शन एफ (जेड) पर विश्लेषणात्मक का प्रतिनिधित्व केवल एक ही है, और यह टेलर की श्रृंखला के बगल में है, पंक्ति के गुणांक की गणना की जाती है सूत्र () f (z) ए \u003d! 8 वैध परिवर्तनीय कार्यों के पावर ऑर्डर के सिद्धांत में वैकल्पिक विकल्प के मुख्य प्राथमिक कार्यों को कई कार्यों में अपघटन प्राप्त किया गया था e x: \u003d å x x e, xî (-) \u003d! अनुच्छेद 5 के उदाहरण को हल करते समय, हमें आश्वस्त किया गया था कि रेंज å z जेड \u003d एक्स पर विशेष मामले में पूरे जटिल विमान पर अभिसरण करता है इसका योग इस तथ्य के बराबर है निम्न पर आधारित है। निरंतर विचार: जटिल मूल्य जेड के साथ, फ़ंक्शन ई जेड को इस तरह से पंक्ति å z के योग पर विचार करने के लिए परिभाषा के आधार पर है, \u003d! z e () def å z \u003d \u003d! कार्यों की परिभाषा ch z और sh z x - x तो ch \u003d \u003d å k e e x x, x î (-,) k \u003d (k) के रूप में! एक्स - एक्स ई - ई श \u003d \u003d å एक्स के \u003d के एक्स, (के)! एक्स î (-,),

23 एक फ़ंक्शन ई अब सभी जटिल जेड के लिए परिभाषित किया गया है, यह ch z \u003d, def ze ze def z - ze - e sh z \u003d इस प्रकार: z -zke - ez sin z \u003d \u003d हाइपरबॉलिक साइन; (क)! å k \u003d z - z å k e e z ch z \u003d \u003d हाइपरबॉलिक कोसाइन; K \u003d (k)! Shz th z \u003d हाइपरबॉलिक टेंगेंट; Chz chz cth z \u003d hyperbolic cotangent shz कार्यों की परिभाषा Sz और Cos Z पहले प्राप्त किए गए अपघटन का उपयोग करें: å केके (-) एस xx \u003d k \u003d (k)!, Å केके (-) x cos x \u003d, k \u003d (k) )! जेड पर इन पंक्तियों एक्स में प्रतिस्थापित करते समय रैंक संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर अभिसरण करते हैं, हम जटिल सदस्यों के साथ बिजली-बिताए पंक्तियां प्राप्त करेंगे, जो आसानी से दिखाते हैं, पूरे जटिल विमान पर अभिसरण करते हैं, यह आपको किसी भी जटिल जेड के लिए निर्धारित करने की अनुमति देता है फंक्शन एसजेड और कॉस जेड: å केके (-) szz \u003d k \u003d (k)! ; Å के के (-) जेड कॉस जेड \u003d (5) के \u003d (के)!

जटिल विमान में संकेतक समारोह और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच 24 9 संचार z z z e \u003d \u003d में बदल रहा है! जेड पर जेड, और फिर जेड पर, हमें मिलता है: \u003d å z z e, å -z (-) z e \u003d \u003d! \u003d! चूंकि ई ()) ekk \u003d (-, हमारे पास होगा: z -z \u003d å k \u003d k (-) z (k)! K \u003d cos zz - zkke - e (-) z \u003d å \u003d szk \u003d (k) ! इस प्रकार: z -zzz -zeeee - e cos z \u003d; sz \u003d (6) परिणामी सूत्रों से, एक और उल्लेखनीय सूत्र: z cos zsz \u003d e (7) फॉर्मूला (6) और (7) के euler सूत्र कहा जाता है , हम नोट करते हैं, ये सूत्रों को जेड \u003d जे पर किसी विशेष मामले में वैध Z के लिए मान्य हैं, जहां जे, एक वास्तविक संख्या, फॉर्मूला (7) फॉर्म लेता है: जे कॉस जे एसजे \u003d ई (8) फिर जटिल संख्या जेड \u003d आर (कोस जेएसजे) के रूप में दर्ज किया गया है: जेजे \u003d आरई (9) फॉर्मूला (9) को जेड 4 की जटिल संख्या का एक संकेतक रूप कहा जाता है

25 सूत्र जो त्रिकोणमितीय और हाइपरबॉलिक कार्यों को बांधते हैं, आसानी से निम्नलिखित सूत्र साबित होते हैं: sz \u003d sh z, sh zz \u003d sz, cos z \u003d ch z, ch z \u003d cos z हम पहले और चौथे सूत्र को साबित करते हैं (दूसरा और तीसरा यह अनुशंसित है अपने आप को साबित करें) हम सूत्रों (6) यूलर का उपयोग करते हैं: - zzz - zse - ee - ez \u003d \u003d \u003d sh z; z -zee ch z \u003d \u003d cos z सूत्रों का उपयोग कर sh z \u003d sz और ch z \u003d z \u003d cos z आसानी से साबित होता है, पहली नज़र में, कार्यों की एक अद्भुत संपत्ति sz और cos z, कार्यों के विपरीत y \u003d s x और वाई \u003d कॉस एक्स, एसजेड और कॉस जेड के कार्य पूर्ण मूल्य में सीमित नहीं हैं, वास्तव में, यदि इन सूत्रों में, विशेष रूप से, z \u003d y, तो sy \u003d sh y, cos y \u003d ch y का मतलब है कि पर काल्पनिक धुरी एसजेड और कॉस जेड पूर्ण मूल्य में सीमित नहीं हैं, यह दिलचस्प है कि एसजेड और सीओएस जेड के लिए, सभी सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों के एक्स और कॉस एक्स के लिए सूत्रों के समान होते हैं। इन सूत्रों का उपयोग आमतौर पर अध्ययन में किया जाता है अभिसरण के लिए पंक्तियां। अभिसरण के लिए पंक्ति å s \u003d समाधान के पूर्ण अभिसरण को साबित करने के लिए उदाहरण। एस \u003d जैसा कि देखा गया था, काल्पनिक धुरी पर समारोह एसजेड लिमिटेड हां -5 नहीं है

26 गिरता है, इसलिए सूत्र s \u003d sh का उपयोग करने के लिए तुलना के संकेत का उपयोग करना असंभव है। Å \u003d å s sh \u003d \u003d rod å sh \u003d दालाम्बर के संकेत की खोज: - () - श () ई - ईई (E- e) e lm \u003d lm \u003d lm \u003d< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () एलएम \u003d के बाद से, मॉड्यूल से स्थिति 8 - \u003d 8 \u003d इस प्रकार, एक संख्या z के तहत अभिसरण< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z > सर्कल जेड \u003d -, इस सर्कल के बाहर, और बाहर अभिसरण करेगा, टी ई, पंक्ति Z \u003d में पंक्ति के व्यवहार की जांच करने में विचलन करता है, जिसके समीकरण में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फॉर्म x (y) \u003d होता है पूर्ण मूल्यों से Z \u003d 9 पंक्ति पर होगा: å 8 - \u003d å \u003d \u003d यह श्रृंखला एक बंद सर्कल में परिणामी श्रृंखला में अभिसरण होती है, इसका मतलब है, यह पूरी तरह से यह साबित करने के लिए अभिसरण करता है कि फ़ंक्शन å zz e \u003d है आवधिक एक अवधि के साथ π (फ़ंक्शन ई जेड की यह संपत्ति काफी अलग है \u003d! फ़ंक्शन ई एक्स से) सबूत हम आवधिक फ़ंक्शन और फॉर्मूला (6) की परिभाषा का उपयोग करते हैं (6) यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि zz e π \u003d e, जहां z \u003d xy हम दिखाते हैं कि यह है: z π xy π x (y π) x (ye \u003d e \u003d e \u003d eex \u003d e (cos (y π) s (y π)) \u003d e तो, EZ आवधिक फ़ंक्शन!) x π \u003d (cos ysy) \u003d exy \u003d ez 7

28 4 एक सूत्र प्राप्त करें जो संख्या ई को बांधता है, और जटिल संख्या के रिकॉर्डिंग जे के संकेतक रूप का उपयोग करने के लिए समाधान समाधान: जेड \u003d आरई के लिए जेड \u003d आर \u003d - हमारे पास आर \u003d, जे \u003d π और इस प्रकार, π ई होगा \u003d () एक अद्भुत सूत्र और यह डिज़ाइन किया गया है कि प्रत्येक संख्या के गणित में उपस्थिति π, ई और दो अन्य लोगों की उपस्थिति से कोई लेना-देना नहीं है! फॉर्मूला () भी दिलचस्प है क्योंकि यह पता चला है कि सूचक समारोह ई जेड, फ़ंक्शन ई एक्स के विपरीत, पंक्ति å cos x \u003d के योग को खोजने के लिए ई एक्स 5 के नकारात्मक मान ले सकते हैं! समाधान x x cos x s x e (e) å \u003d å \u003d å की एक श्रृंखला को परिवर्तित कर रहा है !! x (e) cos x \u003d \u003d s x e e \u003d \u003d \u003d! कॉस एक्स एस एक्स कॉस एक्स \u003d ई ई \u003d ई (सीओएस (एस एक्स) एस (एस एक्स)) þ å \u003d \u003d cosx \u003d! COS \u003d EX COS (SX) जब दो बार सूत्रों को हल करते हैं तो फॉर्मूला \u003d कोस एक्सएसएक्स और अपघटन का उपयोग कई कार्यों में (पूर्व) ई 6 को विघटित करने के लिए (एक्स) \u003d पूर्व कोस एक्स एक्स () फ़ंक्शन XXXX के अपघटन का उपयोग करके e \u003d ee \u003d e cos xesx समाधान x () x () x e \u003d å \u003d å !! \u003d \u003d π कॉस एस è 4 π \u003d 4 8

29 \u003d å x π π () cos s \u003d! è 4 4 t से å x x () x x π e cos x \u003d ree þ e cos x \u003d () cos \u003d! 4 परिणामी श्रृंखला पूरे संख्यात्मक अक्ष, टी से x π (x) (x) (x) (x) पर परिवर्तित होती है! चार! \u003d! एक्स।< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 प्रतिद्वंद्वी आर और पंक्तियों के अभिसरण के सर्कल को खोजें 4 अभिसरण के चक्र के सीमा बिंदुओं पर एक श्रृंखला के व्यवहार का पता लगाने के लिए (सर्कल पर झूठ बोलने वाले बिंदुओं पर) å! (Z -); Å (z); \u003d \u003d Å () z \u003d (); 4 å z \u003d 9 उत्तरों :) आर \u003d, श्रृंखला बिंदु जेड \u003d - - -;) आर \u003d, श्रृंखला को पूरी तरह से बंद सर्कल जेड में बिंदु z \u003d - या स्थिति x के तहत संपूर्ण रूप से परिवर्तित होता है ( वाई);) आर \u003d, पंक्ति पूरी तरह से बंद सर्कल जेड में या हालत XY के तहत अभिसरण; 4) आर \u003d, श्रृंखला पूरी तरह से एक बंद सर्कल जेड में या स्थिति के तहत xy 9 7 के तहत एक पावर पंक्ति फ़ंक्शन f (x) \u003d exsx, () x में विघटन का उपयोग करने के लिए कंडीशन की एक श्रृंखला की एक श्रृंखला में अपघटन का उपयोग करने के लिए कोई भी जटिल जेड फॉर्मूला होगा: SZ \u003d SZ COS Z, SZ COS Z \u003d, S (Z π) \u003d SZ (यूलर फॉर्मूला का उपयोग करें)

31 अनुशंसित साहित्य की सूची बुनियादी साहित्य पिस्कुनोव, एनए अंतर और अभिन्न कैलकुस स्वीपिंग / एनएस पिस्कुनोव टीएम के लिए: विज्ञान, 8 से 86 9 फिचटेनगोल्ट्स, मठ के बुनियादी सिद्धांतों / जीएम फिहटेंडुलज़ टी - सेंट पीटर्सबर्ग: लैन, 9 48 स्पैरो के साथ , एनएन थ्योरी पंक्तियां / एनएन स्पैरो - एसपीबी: लैन, 8 48 के साथ 4 लिखित, उच्च गणित में डीटी व्याख्यान सीएच / डीटी लिखित एम: आईरिस-प्रेस, व्यायाम और कार्यों में 8 5 उच्च गणित च / पैंको, एजी पोपोव, केल कोझेविकोवा [एट अल] एम: गोमेद, 8 अतिरिक्त साहित्य के साथ कुड्रीवत्सेव, गणितीय विश्लेषण का एलडी कोर्स / एलडी कुड्रीवटसेव टीएम: हाईस्कूल, 98 हबीबुलिन के साथ, एमवी कॉम्प्लेक्स संख्या: विधिवत निर्देश / एमवी हबीबुलिन टॉमस्क, टीजीएएसयू, 9 6 मोल्दोवनोवा के साथ, ईए पंक्तियों और व्यापक विश्लेषण: ट्यूटोरियल / ईए मोल्दोवानोव, एक हरलामोव, वीए किलेट टॉमस्क: टीपीयू, 9

फेडरल एजेंसी फॉर एजुकेशन टॉमस्क स्टेट आर्किटेक्चरल एंड कंस्ट्रक्शन यूनिवर्सिटी फूरियर पंक्तियों में अभिन्न फूरियर स्वतंत्र कार्य के लिए कई फूरियर विधिवत निर्देशों की सीमा के मामले के रूप में

पंक्त्स खबरोव्स्क 4 4 न्यूमेरिक पंक्तियां संख्यात्मक संख्या को अभिव्यक्ति कहा जाता है, जहां, संख्याएं जो एक अनंत संख्यात्मक अनुक्रम, श्रृंखला का एक आम सदस्य बनती हैं, जहां एन (प्राकृतिक संख्याओं का एन सेट)

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ईवा नेबोगुलिना, ओएस afanasyev उच्च गणित समारा 9 संघीय एजेंसी उच्च पेशेवर शिक्षा के शिक्षा राज्य शैक्षिक संस्थान "समारा" पर कार्यशाला

अध्याय III कई चर के कार्य की एकीकृत गणना, जटिल परिवर्तनीय के कार्यों, पंक्तियों डबल इंटीग्रल साहित्य :, सी; , जीएलआईआई; , चुल्फ XII, 6 इस विषय पर समस्याओं को हल करने के लिए यह आवश्यक है

व्यापक सदस्यों के साथ पंक्तियाँ।

19.3.1। व्यापक सदस्यों के साथ संख्यात्मक पंक्तियाँ। अभिसरण की सभी प्रमुख परिभाषाएं, कनवर्टिंग श्रृंखला के गुण, जटिल पंक्तियों के लिए अभिसरण के संकेत वास्तविक मामले से अलग नहीं हैं।

19.3.1.1.1। मुख्य परिभाषाएं। जटिल संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को दिए जाने दें। संख्या का वास्तविक हिस्सा काल्पनिक द्वारा दर्शाया जाएगा - (यानी।

संख्यात्मक पंक्ति - रिकॉर्ड व्यू .

पंक्ति के आंशिक रकम:

परिभाषा। अगर कोई सीमा है एस अपनी एकीकृत संख्या के साथ श्रृंखला के आंशिक रकम के अनुक्रम, वे कहते हैं कि एक श्रृंखला अभिसरण; संख्या एस पंक्ति के योग को कॉल करें और लिखें या।

आंशिक रकम के वैध और काल्पनिक भागों को ढूंढें: जहां आंशिक राशि के पात्र और वैध और काल्पनिक भागों का संकेत दिया जाता है। संख्यात्मक अनुक्रम तब परिवर्तित हो जाता है और केवल तभी यदि इसके वैध और काल्पनिक भागों से बना अनुक्रम एकत्र किए जाते हैं। इस प्रकार, व्यापक सदस्यों के साथ एक पंक्ति तब होती है और केवल तभी जब उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों द्वारा बनाई गई रैंक एकत्र की जाती है।

उदाहरण।

19.3.1.2। पूर्ण अभिसरण।

परिभाषा। एक नंबर कहा जाता है बिल्कुल अभिसरणयदि कोई संख्या अभिसरण करती है अपने सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से संकलित।

मनमाने ढंग से सदस्यों के साथ संख्यात्मक मान्य पंक्तियों के लिए, यह साबित करना संभव है कि यदि कोई संख्या अभिसरण होती है, तो एक संख्या अभिसरण होती है। यदि कोई श्रृंखला अभिसरण करती है, और पंक्ति विचलित होती है, तो सीमा को सशर्त अभिसरण कहा जाता है।

एक संख्या गैर-नकारात्मक सदस्यों के साथ एक श्रृंखला है, इसलिए सभी ज्ञात सुविधाओं को अपने अभिसरण का अध्ययन करने के लिए लागू किया जा सकता है (तुलना प्रमेय से कौची के अभिन्न संकेत तक)।

उदाहरण। पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें।

हम मॉड्यूल की एक पंक्ति बनेंगे () :. यह श्रृंखला अभिसरण (कौची साइन ) इसलिए प्रारंभिक श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है।

19.1.3.4। अभिसरण श्रृंखला की गुण।व्यापक सदस्यों के साथ श्रृंखला को परिवर्तित करने के लिए, मान्य सदस्यों के साथ श्रृंखला के सभी गुण मान्य हैं:

श्रृंखला के अभिसरण का आवश्यक संकेत। संबंधित पंक्ति का सामान्य सदस्य शून्य की तलाश करता है.

यदि कोई संख्या अभिसरण करती है, तो यह किसी भी शेष राशि को परिवर्तित करती है, यदि पंक्ति का कोई अवशेष अभिसरण होता है, तो पंक्ति स्वयं ही अभिसरण करती है।

यदि कोई श्रृंखला अभिसरण करती है, तो उसके बाद के अवशेष का योगएन -हो सदस्य शून्य के साथ चाहता है.

यदि अभिसरण पंक्ति के सभी सदस्य एक ही संख्या को गुणा करते हैं से, फिर श्रृंखला का अभिसरण जारी रहेगा, और राशि बढ़ेगी से.

अभिसरण पंक्तियों ( लेकिन अ) तथा ( में) आप मोड़ और मोचन घटा सकते हैं; परिणामी श्रृंखला भी अभिसरण करेगी, और इसकी राशि के बराबर है.

यदि अभिसरण श्रृंखला के सदस्यों को यादृच्छिक रूप से समूहित किया जाता है और गोल ब्रैकेट की प्रत्येक जोड़ी में सदस्यों की एक नई पंक्ति तैयार की जाती है, तो यह नई पंक्ति भी अभिसरण करेगी, और इसकी राशि मूल श्रृंखला की राशि के बराबर होगी।

यदि कोई श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण होती है, तो इसके सदस्यों के किसी भी क्रमपरिवर्तन के साथ, अभिसरण संरक्षित होता है और राशि नहीं बदली जाती है।

अगर पंक्तियाँ ( लेकिन अ) तथा ( में) पूरी तरह से अपनी राशि में अभिसरण करें तथा, फिर सदस्यों के यादृच्छिक क्रम के साथ उनके काम भी बिल्कुल अभिसरण करते हैं, और इसकी राशि बराबर है.

19.3.2। पावररी एकीकृत पंक्तियां।

परिभाषा।जटिल सदस्यों के बगल में पॉवररिया को प्रजातियों की एक श्रृंखला कहा जाता है।

जहां - निरंतर जटिल संख्या (श्रृंखला गुणांक), एक निश्चित एकीकृत संख्या (अभिसरण सर्कल का केंद्र) है। किसी भी संख्यात्मक मूल्य के लिए जेड श्रृंखला व्यापक सदस्यों के साथ एक संख्यात्मक श्रृंखला में बदल जाती है, जो चलती है या खेप करती है। यदि कोई श्रृंखला बिंदु पर अभिसरण करती है जेड , तो इस बिंदु को एक श्रृंखला के अभिसरण का एक बिंदु कहा जाता है। पावर पंक्ति में कम से कम एक अभिसरण बिंदु बिंदु है। अभिसरण के बिंदुओं के सेट को पंक्ति के अभिसरण का क्षेत्र कहा जाता है।

मान्य सदस्यों के साथ शक्तिशाली श्रृंखला के लिए, पावर श्रृंखला के बारे में सभी सार्थक जानकारी हाबिल प्रमेय में निहित है।

हाबिल प्रमेय।यदि बिजली पंक्ति बिंदु पर परिवर्तित होती है, तो

1. यह सर्कल में कहीं भी एकत्रित किया जाता है। ;

2. यदि यह श्रृंखला बिंदु पर भिन्न होती है, तो यह कहीं भी फैलती है जेड संतोषजनक असमानता (यानी बिंदु से आगे)।

प्रमाण सचमुच खंड के प्रमाण को दोहराता है 18.2.4.2। एबेलियन प्रमेय मान्य सदस्यों के साथ एक संख्या के लिए।

एबेल का प्रमेय इस तरह के एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या के अस्तित्व का पालन करता है आर त्रिज्या सर्कल के किसी भी आंतरिक बिंदु में बिल्कुल एक संख्या में अभिसरण आर बिंदु पर केंद्र के साथ, और इस सर्कल के बाहर कहीं भी अलग हो जाते हैं। संख्या आर बुला हुआ अभिसरण का त्रिज्या, एक क्षेत्र में - अभिसरण के आसपास। इस सर्कल की सीमा के बिंदुओं पर - त्रिज्या का चक्र आर बिंदु पर केंद्र के साथ - पंक्ति अभिसरण और फैल सकती है। इन बिंदुओं पर, मॉड्यूल की पंक्ति में फॉर्म होता है। ऐसे मामले हैं:

1. एक श्रृंखला अभिसरण करती है। इस मामले में, सर्कल के किसी भी बिंदु पर, श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण होती है।

2. एक पंक्ति विचलन, लेकिन इसके समग्र सदस्य । इस मामले में, सर्कल के कुछ बिंदुओं पर, पंक्ति पारंपरिक रूप से, दूसरों में - फैलाने के लिए, यानी प्रत्येक बिंदु को एक व्यक्तिगत अध्ययन की आवश्यकता होती है।

3. पंक्ति विचलित हो जाती है, और इसका समग्र सदस्य शून्य की तलाश नहीं करता है। इस मामले में, पंक्ति सीमा सर्कल के किसी भी बिंदु पर विभाजित होती है।

मानक विधियां, लेकिन एक और उदाहरण के साथ एक मृत अंत में आए।

क्या कठिनाई है और स्नैग कहां हो सकता है? हम धोए गए रस्सी की दिशा में स्थगित करेंगे, शांतिपूर्वक कारणों का विश्लेषण करेंगे और निर्णय की व्यावहारिक तकनीकों से परिचित हो जाते हैं।

सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण बात: भारी बहुमत में, एक श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करने के लिए कुछ परिचित तरीके हैं, लेकिन पंक्ति के सामान्य सदस्य को इतनी चालाकी भरी हुई है कि यह स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ करना आवश्यक नहीं है। और आप एक सर्कल में जाते हैं: पहला संकेत काम नहीं करता है, दूसरा उपयुक्त नहीं है, यह तीसरे, चौथे, पांचवीं विधि से प्राप्त नहीं होता है, फिर ड्राफ्ट को पक्ष में छोड़ दिया जाता है और यह सब फिर से शुरू होता है। यह आमतौर पर गणितीय विश्लेषण के अन्य वर्गों में अनुभव या रिक्त स्थान की कमी से जुड़ा होता है। विशेष रूप से, अगर चल रहा है अनुक्रमों की सीमा और सतही रूप से नष्ट हो गया कार्यों की सीमा, तो तंग होगा।

दूसरे शब्दों में, एक व्यक्ति को ज्ञान या अनुभव की कमी के कारण निर्णय की आवश्यकता नहीं होती है।

"ग्रहण" के लिए दोषी है, उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला के अभिसरण का आवश्यक संकेत, लेकिन अज्ञानता के लिए, असावधानी या लापरवाही दृष्टि से बाहर हो रही है। और यह उस बाइक में निकलता है, जहां गणित के प्रोफेसर ने जंगली पुनरावर्ती अनुक्रमों और संख्यात्मक पंक्तियों के साथ एक बच्चे के चार्ट का फैसला किया \u003d)

सबसे अच्छी परंपराओं में तत्काल लाइव उदाहरण: पंक्तियां और उनके रिश्तेदार - विचलन, क्योंकि सिद्धांत में साबित हुआ अनुक्रमों की सीमा । सबसे अधिक संभावना है, पहले सेमेस्टर में, 1-2-3 पृष्ठों के सबूत की आत्मा को आप से बाहर कर दिया जाएगा, लेकिन अब एक संख्या के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्तों का अनुपालन करने में विफलता को दिखाने के लिए पर्याप्त है प्रसिद्ध तथ्यों के लिए। प्रसिद्ध? यदि कोई छात्र जानता है कि एक ennoye की जड़ - बात बेहद शक्तिशाली है, तो, चलो पंक्तियों का कहना है इसे एक मृत अंत में रखें। हालांकि समाधान, दो बार दो:, यानी। एक उचित कारण के लिए, दोनों पंक्तियां अलग हो गई हैं। मामूली टिप्पणी "ये सीमाएं सिद्धांत में साबित होती हैं" (या यहां तक \u200b\u200bकि इसकी अनुपस्थिति) परीक्षण के लिए काफी है, आखिरकार, गणना काफी भारी होती है और वे बिल्कुल संख्यात्मक पंक्तियों के विभाजन के लिए नहीं हैं।

और आने वाले उदाहरणों का अध्ययन करने के बाद, आप केवल कई समाधानों की संक्षिप्तता और पारदर्शिता से आश्चर्यचकित होंगे:

उदाहरण 1।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला: सबसे पहले, निष्पादन की जाँच करें अभिसरण का आवश्यक संकेत। यह एक औपचारिकता नहीं है, लेकिन "कम रक्त" के उदाहरण से निपटने का एक उत्कृष्ट मौका है।

"दृश्य का निरीक्षण" एक अलग संख्या (एक सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला का मामला) का सुझाव देता है, लेकिन फिर सवाल उठता है, संख्या में लघुगणक को ध्यान में रखना कैसे?

सबक के अंत में अनुकरणीय कार्य डिजाइन नमूने।

असामान्य नहीं जब आपको दो-तरफा (या यहां तक \u200b\u200bकि तीन-तरफा) तर्क देना होता है:

उदाहरण 6।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला: सबसे पहले, सावधानीपूर्वक संख्यात्मक के Taraboarer को अलग करें। अनुक्रम - लिमिटेड :. फिर:

पास के साथ हमारी पंक्ति की तुलना करें। दोहरी असमानता के आधार पर बस प्राप्त किया गया, क्योंकि सभी "एन" किया जाएगा:

अब एक विचलन हार्मोनिक पक्ष के साथ एक पंक्ति की तुलना करें।

रेंजर Drobi। कम से डैनल ड्राइवर, इसलिए सुरक्षा ही – अधिक FRACI (स्पष्ट नहीं होने पर कुछ पहले सदस्यों को बहाया)। इस प्रकार, किसी भी "एन" के लिए:

और इसलिए, तुलना के आधार पर, एक संख्या हट जाना एक साथ एक सामंजस्यपूर्ण के साथ।

यदि एक छोटे से denominator संशोधित: तर्क का पहला भाग समान होगा: । लेकिन किसी संख्या के विचलन के प्रमाण के लिए, तुलना का केवल सीमा संकेत पहले से लागू है, क्योंकि असमानता गलत है।

"मिरर" की अभिसरण पंक्तियों के साथ स्थिति, उदाहरण के लिए, एक संख्या के लिए आप तुलना के दोनों संकेतों का उपयोग कर सकते हैं (असमानता सत्य है), और एक संख्या के लिए - केवल सीमा चिह्न (असमानता गलत है)।

हम अपने वन्यजीव सफारी को जारी रखते हैं, जहां क्षितिज झुका हुआ झुंड और रसदार एंटीलोप:

उदाहरण 7।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला: अभिसरण का आवश्यक संकेत किया जाता है, और हम फिर से एक क्लासिक प्रश्न पूछेंगे: क्या करना है? हमारे पास एक पंक्ति जैसा कुछ है, हालांकि, यहां कोई स्पष्ट नियम नहीं हैं - ऐसे संगठन अक्सर भ्रामक होते हैं।

अक्सर, इस बार नहीं। के जरिए तुलना का अधिकतम संकेत आस-पास में अभिसरण के साथ हमारी पंक्ति की तुलना करें। हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली सीमा की गणना के दौरान अद्भुत सीमा जहाँ तक असीम रूप से कम परिमाण वक्ताओं:

एकाग्रपास के साथ।

"ट्रोका" पर मानक कृत्रिम रिसेप्शन और डिवीजन के उपयोग के बजाय, कोई भी शुरुआत में पास में अभिसरण के साथ तुलना कर सकता है।
लेकिन यहां आरक्षण वांछनीय है कि कुल सदस्य निरंतर संख्या के अभिसरण को प्रभावित नहीं करता है। और बस इस शैली में, निम्नलिखित उदाहरण का निर्णय जारी किया गया है:

उदाहरण 8।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

पाठ के अंत में नमूना।

उदाहरण 9।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला: पिछले उदाहरणों में, हमने साइनस की सीमा का उपयोग किया, लेकिन अब यह संपत्ति खेल से बाहर है। चैनल ड्राइवर अधिक उच्च विकास आदेशसंख्यात्मक से, इसलिए जब साइनस तर्क और पूरे डिक असीम रूप से छोटा। अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त, जैसा कि आप समझते हैं, पूरा हो जाता है, जो हमें काम से दुबला करने की अनुमति नहीं देता है।

आचरण: के अनुसार अद्भुत समानता , मानसिक रूप से साइनस फेंकें और एक नंबर प्राप्त करें। खैर, ऐसा कुछ ....

हम एक समाधान तैयार करते हैं:

विचलन के साथ अध्ययन की गई पंक्ति की तुलना करें। हम तुलना के एक अंकन संकेत का उपयोग करते हैं:

हम असीम रूप से छोटे समकक्ष को बदल देंगे: जब .

एक सीमित संख्या प्राप्त की जाती है, शून्य से अलग होती है, जिसका अर्थ है अध्ययन के तहत श्रृंखला हट जानाएक साथ एक सामंजस्यपूर्ण के साथ।

उदाहरण 10।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है।

ऐसे उदाहरणों में आगे की कार्रवाइयों की योजना बनाने के लिए, साइनस, आर्क्सिनस, टेंगेंट, आर्कटेनेंस की मानसिक छूट, बहुत मदद की जाती है। लेकिन याद रखें कि यह संभावना केवल तभी मौजूद है असीम रूप से छोटातर्क, बहुत समय पहले मुझे एक उत्तेजक श्रृंखला मिली:

उदाहरण 11।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें
.

फेसला: Arctgennes की सीमाओं का उपयोग बेकार है, और समकक्ष भी काम नहीं करता है। निकास अप्रत्याशित रूप से सरल है:

अध्ययन श्रृंखला हट जानाचूंकि एक श्रृंखला के अभिसरण का आवश्यक संकेत नहीं किया जाता है।

दूसरा कारण "टास्पर ऑन द टास्प" में सामान्य सदस्य की सभ्य परेशानी होती है, जो पहले से ही तकनीकी कठिनाइयों का कारण बनती है। मोटे तौर पर, यदि ऊपर चर्चा की गई रैंक "अंजीर" की श्रेणी से संबंधित है, तो अनुमान लगाएगी ", फिर इन - श्रेणी" श्रेणी में आप तय करेंगे। " असल में, इसे "सामान्य" समझ में जटिलता कहा जाता है। हर कोई निश्चित रूप से कई कारक, डिग्री, जड़ों और अन्य सवाना निवासियों को नष्ट नहीं करेगा। सबसे अधिक समस्याएं वितरित की जाती हैं, निश्चित रूप से, फैक्टोरियल:

उदाहरण 12।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

हद तक फैक्टोरियल कैसे बनाएं? सरलता। डिग्री के साथ कार्रवाई के नियम के अनुसार, कार्य के हर गुणक को बनाना आवश्यक है:

और, ज़ाहिर है, ध्यान और एक बार फिर ध्यान, अपने आप में दालामबर का संकेत पारंपरिक रूप से काम करता है:

इस प्रकार, अध्ययन के तहत श्रृंखला एकाग्र.

मैं अनिश्चितता को समाप्त करने की एक तर्कसंगत विधि को याद दिलाता हूं: जब यह स्पष्ट हो ऊंचाई आदेश न्यूमेटर और डेनोमिनेटर - जरूरी नहीं कि ब्रैकेट का खुलासा करें।

उदाहरण 13।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

जानवर बहुत दुर्लभ है, लेकिन यह पाया जाता है, और यह अपने कैमरे के लेंस को बाईपास करना अनुचित होगा।

एक डबल विस्मयादिबोधक चिह्न के साथ एक फैक्टोरियल क्या है? फैक्टोरियल सकारात्मक संख्या के उत्पाद "शिकंजा":

इसी प्रकार, तथ्यात्मक "शिकंजा" सकारात्मक इनलेन संख्याओं का काम:

विश्लेषण में क्या अंतर है और

उदाहरण 14।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

और इस कार्य में, डिग्री के साथ भ्रमित न होने का प्रयास करें, अद्भुत समकक्ष तथा अद्भुत सीमाएं.

सबक के अंत में नमूना समाधान और उत्तर।

लेकिन छात्र न केवल बाघों को खिलाने के लिए जाता है - चालाक तेंदुए अपने शिकार को ट्रैक करता है:

उदाहरण 15।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला: लगभग तुरंत, अभिसरण, सीमांत संकेत, दलामबर्ट और कौची के संकेतों का आवश्यक संकेत गायब हो गया है। लेकिन सबसे बुरी बात यह है कि असमानताओं का संकेत बार-बार हमें आरक्षित करता है। दरअसल, आसुतण के बाद से विचलन के साथ तुलना असंभव है गलत तरीके से - लॉगरिदम गुणक केवल denominator को बढ़ाता है, जिससे अंश को कम किया जाता है अंश के संबंध में। और एक और वैश्विक प्रश्न: हम आम तौर पर क्यों आश्वस्त हैं कि हमारी श्रृंखला निश्चित रूप से फैलाने के लिए बाध्य है और किसी भी अलग-अलग पक्ष की तुलना की आवश्यकता है? अचानक वह आम तौर पर एकत्रित होता है?

अभिन्न संकेत? अभिन्न शामिल शोक मनोदशा को बदल देता है। अब अगर हमारे पास एक नंबर था … तो ठीक। रुकें! इसलिए विचार पैदा हुए हैं। हम दो चरणों में एक समाधान तैयार करते हैं:

1) सबसे पहले, हम पंक्ति के अभिसरण की जांच करते हैं । का उपयोग करते हुए अभिन्न संकेत:

एकीकरण निरंतर पर

इस प्रकार, एक संख्या संबंधित असंगत अभिन्न अंग के साथ तलाक।

2) अपनी पंक्ति की तुलना विचलन के साथ करें । हम तुलना के एक अंकन संकेत का उपयोग करते हैं:

एक सीमित संख्या प्राप्त की जाती है, शून्य से अलग होती है, जिसका अर्थ है अध्ययन के तहत श्रृंखला हट जाना साथ में .

और इस निर्णय में असामान्य या रचनात्मक कुछ भी नहीं है - इसे हल करना आवश्यक है!

मैं निम्नलिखित दो-तरफा को स्वतंत्र रूप से जारी करने का प्रस्ताव करता हूं:

उदाहरण 16।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

ज्यादातर मामलों में कुछ अनुभव वाले छात्र तुरंत कई या विचलन देखता है, लेकिन ऐसा होता है कि शिकारी ने बाधाओं में चुपचाप छेड़छाड़ की:

उदाहरण 17।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला: पहली नज़र में, यह स्पष्ट नहीं है कि यह श्रृंखला कैसे व्यवहार करती है। और यदि हम कोहरे हैं, तो श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त के किसी न किसी तरह की जांच के साथ शुरू करना तार्किक है। अनिश्चितता को खत्म करने के लिए, हम अविभाज्य का उपयोग करते हैं एक संयुग्म अभिव्यक्ति पर गुणा और विभाजन का तरीका:

अभिसरण का आवश्यक संकेत काम नहीं किया, लेकिन हमारे Tambov कामरेड के स्वच्छ पानी में लाया। प्रदर्शन के परिणामस्वरूप, एक समतुल्य सीमा प्राप्त की गई थी। जो बदले में दृढ़ता से एक पंक्ति जैसा दिखता है।

हम एक परिमित समाधान लिखते हैं:

इस श्रृंखला की तुलना पास में अभिसरण के साथ करें। हम तुलना के एक अंकन संकेत का उपयोग करते हैं:

एक संयुग्मात्मक अभिव्यक्ति पर गुणा करें और विभाजित करें:

एक सीमित संख्या प्राप्त की जाती है, शून्य से अलग होती है, जिसका अर्थ है अध्ययन के तहत श्रृंखला एकाग्र पास के साथ।

शायद कुछ का एक प्रश्न था जहां भेड़िये हमारे अफ्रीकी सफारी पर दिखाई दिए? मुझे नहीं पता। शायद लाया। अगली ट्रॉफी त्वचा आपको प्राप्त करती है:

उदाहरण 18।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

सबक के अंत में नमूना समाधान

और अंत में, एक और विचार था कि निराशा में कई छात्रों का दौरा किया: और एक श्रृंखला के अधिक दुर्लभ संकेत अभिसरण का उपयोग न करें? रायबा का एक संकेत, हाबिल का संकेत, गॉस का संकेत, डरावले और अन्य अज्ञात जानवरों का संकेत। विचार काम किया जाता है, लेकिन वास्तविक उदाहरणों में बहुत ही कम किया जाता है। व्यक्तिगत रूप से, मेरे सभी वर्षों के अभ्यास के लिए केवल 2-3 बार सहारा दिया गया रायबे का संकेतजब यह वास्तव में मानक शस्त्रागार से कुछ भी मदद नहीं करता था। पूरी तरह से अपने चरम खोज के पाठ्यक्रम को पुन: उत्पन्न करें:

उदाहरण 19।

पंक्ति के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला: किसी भी संदेह के बिना दलामबर का संकेत। गणना के दौरान, मैं सक्रिय रूप से डिग्री के गुणों का उपयोग करता हूं, साथ ही साथ दूसरी अद्भुत सीमा:

तो एक बार। दलामबर का संकेत जवाब नहीं दिया, हालांकि इस तरह के नतीजे कुछ भी नहीं किया।

पोस्टरली संदर्भ पुस्तक, मैंने सिद्धांत में एक छोटी सी सीमा साबित पाया और एक मजबूत कट्टरपंथी संकेत को लागू किया:

यहाँ आप दो हैं। और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है, एक संख्या अभिसरण या विचलन (स्थिति मेरे लिए बेहद दुर्लभ है)। तुलना का आवश्यक संकेत? विशेष उम्मीदों के बिना, भले ही संख्याकार और denominator में वृद्धि के आदेश से निपटने के लिए एक असंभव तरीका, यह पारिश्रमिक की गारंटी नहीं देता है।

पूर्ण दाब, लेकिन बहुत बुरी बात यह है कि पंक्ति को हल करने की जरूरत है। करने की जरूरत है। आखिरकार, जब मैं आत्मसमर्पण करता हूं तो यह पहली बार होगा। और फिर मुझे याद आया कि ऐसा लगता है कि इसमें कुछ और मजबूत संकेत हैं। मेरे सामने अब एक भेड़िया नहीं था, एक तेंदुए नहीं और बाघ नहीं था। यह एक बड़ा हाथी एक बड़ा ट्रंक था। मुझे ग्रेनेड लॉन्चर लेना पड़ा:

रायबे का संकेत

एक सकारात्मक संख्यात्मक श्रृंखला पर विचार करें।
अगर कोई सीमा है , तब फिर:
a) एक संख्या के साथ हट जाना। और परिणामी मूल्य शून्य या नकारात्मक हो सकता है
b) एक संख्या के साथ एकाग्र। विशेष रूप से, श्रृंखला में अभिसरण होता है।
ग) के लिए राबे साइन एक प्रतिक्रिया नहीं देता है.

हम सीमा और सावधानी से अंश को सरल बनाते हैं:

हां, एक तस्वीर, इसे हल्के ढंग से, एक अप्रिय डाल करने के लिए, लेकिन मैं अब आश्चर्यचकित नहीं था। इस तरह की सीमाएं विभाजित हैं लोपाइटल नियमऔर पहला विचार, जैसा कि यह निकला, सही साबित हुआ। लेकिन सबसे पहले, एक घंटे के आसपास कहीं भी "सामान्य" विधियों की सीमा को जोड़ दिया, लेकिन अनिश्चितता हल नहीं करना चाहती थी। और एक सर्कल में चलना, जैसा अनुभव बताता है - एक सामान्य संकेत जिसे गलत समाधान चुना जाता है।

मुझे रूसी लोक ज्ञान का उल्लेख करना था: "यदि कुछ भी मदद नहीं करता है, तो निर्देशों को पढ़ें।" और जब मैंने दूसरा टॉम फिहटेंडुल्ज़ खोला, तो मुझे एक समान खुशी के लिए एक समान पंक्ति का अध्ययन मिला। और फिर नमूना पर चला गया।

प्रकार का प्रतीक डब्ल्यू 1 + डब्ल्यू 2 +…+ डब्ल्यू एन +…= (1), कहा पे डब्ल्यू एन = यू एन + मैं।· वी एन (एन = 1, 2, …) जटिल संख्या (अनुक्रम जटिल संख्या) कहा जाता है एकीकृत संख्या के पास.

नंबर डब्ल्यू एन (एन = 1, 2, …) बुला हुआ रे के सदस्यसदस्य डब्ल्यू एन बुला हुआ पंक्ति का आम सदस्य.

नंबर एस एन = डब्ल्यू 1 + डब्ल्यू 2 +…+ डब्ल्यू एन (2) (एन = 1, 2, …) बुला हुआ पंक्ति के आंशिक रकम (1).

परिमित या अंतहीन सीमा एस दृश्यों एस एन बुला हुआ इस पंक्ति का योग.

अगर सीमा एस परिमित, फिर एक नंबर कहा जाता है संमिलितयदि सीमा अनंत है, या बिल्कुल मौजूद नहीं है, तो एक पंक्ति विभिन्न.

यदि एक एस पंक्ति का योग (1), फिर लिखें
.

रहने दो
, लेकिन अ
। ज़ाहिर σ एन = यू 1 + यू 2 +…+ यू एन , τ एन = वी 1 + वी 2 +…+ वी एन । हम समानता कैसे जानते हैं
(एस बेशक) दो समानता के बराबर
तथा
। नतीजतन, श्रृंखला का अभिसरण (1) दो वास्तविक श्रृंखला के अभिसरण के बराबर है: तथा । इसलिए, अभिसरण जटिल पंक्तियों को संख्यात्मक पंक्तियों को परिवर्तित करने के मूल गुणों के अधीन हैं।

उदाहरण के लिए, जटिल पंक्तियों के लिए, कौची मानदंड सत्य है: पंक्ति (1) तब परिवर्तित होती है और केवल जब किसी के लिए

उस परएन > एन और कोई भीपी \u003d 1, 2, ... असमानता का प्रदर्शन किया जाता है.

इस मानदंड से सीधे श्रृंखला के अभिसरण के आवश्यक संकेत का पालन करता है: पंक्ति (1) के लिए अभिसरण करने के लिए और यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि उसके साझा डिकडब्ल्यू एन → 0 .

अभिसरण श्रृंखला के उचित गुण: अगर पंक्तियाँ तथा उनकी रकम में अभिसरणएस तथाडी, फिर पंक्तियाँ
तथा
क्रमशः रकम के लिए अभिसरणएस ± डी और λ ·एस .

जटिल संख्याओं की बिल्कुल अभिसरण पंक्तियां।

कई जटिल संख्या (1) कहा जाता है बिल्कुल अभिसरणयदि कोई संख्या अभिसरण करती है
(2).

प्रमेय।

जटिल संख्याओं का कोई भी बिल्कुल अभिसरण संख्या (1) अभिसरण।

साक्ष्य।

जाहिर है, हम एक श्रृंखला के लिए पर्याप्त रूप से स्थापित करते हैं (1) श्रृंखला के अभिसरण के कौविज के मानदंड की शर्तों का प्रदर्शन किया जाता है। कोई भी ले जाओ
। श्रृंखला (1) के पूर्ण अभिसरण के आधार पर, पंक्ति (2) अभिसरण। इसलिए, चयनित के लिए

किसी में एन > एन तथा पी \u003d 1,2, ... असमानता की जाएगी
, लेकिन अ

इसके अलावा, असमानता का प्रदर्शन किया जाएगा
किसी के साथ एन > एन तथा पी=1,2,… इसलिए, एक संख्या (1) के लिए, एकीकृत श्रृंखला के कौची मानदंड की स्थितियों का प्रदर्शन किया जाता है। इसलिए, पंक्ति (1) अभिसरण। प्रमेय मान्य है।

प्रमेय।

कई जटिल संख्याओं के लिए (1) बिल्कुल अभिसरण था, यह आवश्यक है और पूरी तरह से वास्तविक रैंकों को एकत्रित करने के लिए पर्याप्त है (3) और (4) कहाँडब्ल्यू एन = यू एन + मैं।· वी एन (एन = 1, 2,…).

साक्ष्य,

निम्नलिखित स्पष्ट असमानताओं पर निर्भर करता है

(5)

आवश्यकता। पंक्ति (1) बिल्कुल अभिसरण करने दें, हम दिखाते हैं कि सीमा (3) और (4) बिल्कुल अभिसरण है, यानी रैंक सहमत हैं
तथा
(6)। श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण से (1) यह एक संख्या (2) का अनुसरण करता है
यह अभिसरण करता है, फिर पंक्तियों (6) की बाईं ओर (6) के बाईं ओर के कारण अभिसरण किया जाएगा, यानी, रैंक (3) और (4) बिल्कुल एकत्रित हैं।

पर्याप्तता। पंक्तियों (3) और (4) को बिल्कुल अभिसरण करने दें, हम दिखाएंगे कि पंक्ति (1) भी पूरी तरह से एकत्रित है, यानी, यह एक संख्या अभिसरण (2)। श्रृंखला (3) और (4) के पूर्ण अभिसरण से यह इस प्रकार है कि रैंक (6) सहमत हैं, इसलिए पंक्ति एकत्रित होती है
। नतीजतन, असमानता के दाईं ओर (5) के कारण, एक संख्या (2) अभिसरण, यानी एक संख्या (1) बिल्कुल अभिसरण।

तो, जटिल पंक्ति (1) का पूर्ण अभिसरण वास्तविक संख्यात्मक पंक्तियों (3) और (4) के पूर्ण अभिसरण के बराबर है। इसलिए, वास्तविक रूप से अभिसरण संख्यात्मक श्रृंखला के सभी मूल गुण पूरी तरह से जटिल पंक्तियों को लागू करने के लिए लागू होते हैं। विशेष रूप से, एक बिल्कुल अभिसरण जटिल श्रृंखला के लिए, इसके सदस्यों के क्रमपरिवर्तन पर प्रमेय मान्य है, यानी एक बिल्कुल अभिसरण संख्या में सदस्यों का क्रमपरिवर्तन संख्या की मात्रा को प्रभावित नहीं करता है।। एक जटिल पंक्ति के पूर्ण अभिसरण को स्थापित करने के लिए, सकारात्मक श्रृंखला के अभिसरण का कोई भी संकेत लागू किया जा सकता है।

कौची साइन।

एक पंक्ति (1) के लिए एक सीमा है
, तो अगरप्र < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если प्र\u003e 1, फिर पंक्ति (1) विचलन.