समस्याओं को हल करने के तरीके
समाधान पर
क्रॉस नियम

कई कारणों से रसायन विज्ञान के पाठ्यक्रम का अध्ययन करने के कई महत्वपूर्ण मुद्दों को स्कूल कार्यक्रम से बाहर रखा गया है। उनमें से, समकक्षों का कानून, समाधान की एकाग्रता, क्रॉस का नियम और कई अन्य लोगों के कानून। हालांकि, वैकल्पिक कक्षाओं में, ओलंपियाड्स के लोगों की तैयारी में, उनके बिना नहीं कर सका। हां, और लोगों के जीवन में, वे उपयोगी होंगे, खासकर जो लोग भविष्य के पेशे को रसायन विज्ञान (कारखाने प्रयोगशालाओं, फार्मेसियों, अनुसंधान कार्य, और रोजमर्रा की जिंदगी में सिर्फ रसायन शास्त्र) से जोड़ देंगे।
इस संबंध में युवा शिक्षकों के लिए विशेष रूप से मुश्किल है - उनके पास अतिरिक्त साहित्य का द्रव्यमान नहीं है जो पुराने शिक्षकों ने स्कूल में दर्जनों वर्षों से अधिक जमा किया है, और आधुनिक बुकप्रिंट उद्योग क्या बनाता है, यह सभी के लिए जाना जाता है। इसलिए, क्रॉस नियम के आवेदन के साथ समस्याओं को हल करने की प्रस्तावित विधि, ऐसा लगता है कि कम से कम कोई इस मामले में युवा सहकर्मियों की मदद करेगा।

"लिफाफा पियर्सन"

प्रयोगशाला अभ्यास में और ओलंपिक को हल करते समय, एक विघटित पदार्थ के एक निश्चित द्रव्यमान अंश के साथ समाधान की तैयारी के मामलों के साथ मिलना आवश्यक है, विभिन्न सांद्रता के दो समाधानों का मिश्रण या एक मजबूत जल समाधान के कमजोर पड़ने के मामलों के साथ मिलना आवश्यक है। कुछ मामलों में, एक जटिल अंकगणितीय गणना करना संभव है। हालांकि, यह कम उत्पादक रूप से है। इसके लिए अक्सर, मिश्रण नियम (पियरसन लिफाफे का विकर्ण मॉडल, या वही, क्रॉस का नियम) लागू करना बेहतर होता है।
मान लीजिए कि आपको एक निश्चित एकाग्रता का समाधान तैयार करने की आवश्यकता है, जो आपके निपटान के दो समाधानों पर एक उच्च और कम उच्च सांद्रता के साथ होने की आवश्यकता है। फिर, यदि आप पहले समाधान के द्रव्यमान को नामित करते हैं म। 1, और दूसरा - के माध्यम से म। 2, मिश्रण करते समय, मिश्रण का कुल द्रव्यमान इन जनता के योग से बनाया जाएगा। पहले समाधान में विघटित पदार्थ के द्रव्यमान अंश को दें - 1, दूसरे - 2 में, और उनके मिश्रण में - 3। फिर मिश्रण में विघटित पदार्थ का कुल द्रव्यमान प्रारंभिक समाधानों में विघटित पदार्थ के द्रव्यमान से बनाया जाएगा:

म। 1 1 + म। 2 2 = 3 (म। 1 + म। 2) .

यहां से

m 1 (1 - 3) \u003d म। 2 ( 3 – 2),

म। 1 /म। 2 = ( 3 – 2)/( 1 – 3).

यह देखा जा सकता है कि दूसरे समाधान के द्रव्यमान के लिए पहले समाधान के द्रव्यमान का अनुपात मिश्रण में विघटित पदार्थ के बड़े अंशों के अंतर और संबंधित मूल्यों के बीच अंतर के दूसरे समाधान में अनुपात है पहले समाधान में और मिश्रण में।

विभिन्न सांद्रता के साथ समाधान के साथ समस्याओं को हल करते समय, मिश्रण नियम की विकर्ण योजना का अक्सर उपयोग किया जाता है। गणनाओं में, यह प्रारंभिक समाधानों में विघटित पदार्थ के अन्य द्रव्यमान अंशों के अन्य द्रव्यमान अंशों में से एक लिखा जाता है, उनके बीच दाईं ओर - समाधान में इसका द्रव्यमान अंश तैयार किया जाना चाहिए, और अधिक छोटे मूल्य से तिरछे कटौती की जाती है। उनके घटकों के मतभेद वांछित समाधान की तैयारी के लिए आवश्यक पहले और दूसरे समाधानों के लिए बड़े पैमाने पर अंश दिखाते हैं।

इस नियम को समझाने के लिए, मैं पहले सबसे सरल कार्य को हल करता हूं।

कार्य 1।

30% के 150 ग्राम और किसी भी नमक के समाधान के 10% के 250 ग्राम के संलयन के दौरान प्राप्त समाधान की एकाग्रता निर्धारित करें।

दिया हुआ:

m 1 \u003d 150 ग्राम,
म। 2 \u003d 250 ग्राम,
1 = 30%,
2 = 10%.

ढूँढ़ने के लिए:

फेसला

पहली विधि (अनुपात की विधि)।

समाधान का कुल द्रव्यमान:

म। 3 = म। 1 + म। 2 \u003d 150 + 250 \u003d 400 ग्राम।

हमें परिभाषा के आधार पर अनुपात की विधि से पहले समाधान में पदार्थों का एक द्रव्यमान मिलता है: समाधान की प्रतिशत एकाग्रता से पता चलता है कि विघटित पदार्थ के कितने ग्राम समाधान के 100 ग्राम में हैं:

100 ग्राम 30% आर-रा - वीए में 30 ग्राम,

150 ग्राम 30% आरआर - एच वी में जी,

एच \u003d 150 30/100 \u003d 45

एक दूसरे समाधान के लिए, हम एक समान अनुपात बनाते हैं:

100 ग्राम 10% आर-आरए - वीए में 10 ग्राम,

250 ग्राम 10% आरआर - वाई वी में जी,

वाई \u003d 250 10/100 \u003d 25 ग्राम।

नतीजतन, नए समाधान के 400 ग्राम में विघटित पदार्थ के 45 + 25 \u003d 70 ग्राम शामिल हैं।

अब आप एक नए समाधान की एकाग्रता निर्धारित कर सकते हैं:

400 ग्राम आर-आरए - वीए में 70 ग्राम,

100 ग्राम आरआर - जेड वी में जी,

जेड \u003d 100 70/400 \u003d 17.5 ग्राम, या 17.5%।

दूसरी विधि (बीजगणितीय)।

म। 1 1 + म। 2 2 = 3 (म। 1 + म। 2).

3 = (म। 1 1 + म। 2 2)/(म। 1 + म। 2).

नतीजतन, हम पाते हैं:

3 = (150 30 + 250 10)/(150 + 250) = 17,5%.

तीसरा विधि (क्रॉस नियम)।

( 3 – 10)/(30 – 3) = 150/250.

(30 – 3) 150 = ( 3 – 10) 250,

4500 – 150 3 = 250 3 – 2500,

4500 – 2500 = 250 3 – 150 3 ,

7000 = 400 3 , 3 = 7000/400 = 17,5%.

उत्तर। जब समाधान जुड़े होते हैं, तो 3 \u003d 17.5% की एकाग्रता के साथ एक नया समाधान प्राप्त किया जाता है।

अब हम कार्य को और अधिक व्यापक हल करते हैं।

कार्य 2।

यह निर्धारित करें कि 20% समाधान के 500 ग्राम की तैयारी के लिए 10% नमक समाधान और एक ही नमक का 30% समाधान लेने के लिए कितना आवश्यक है।

दिया हुआ:

1 = 10%,
2 = 30%,
3 = 20%,
म। 3 \u003d 500 ग्राम

ढूँढ़ने के लिए:

म। 1 , म। 2 .

फेसला

हम क्रॉस के नियम का उपयोग करते हैं।

नमक समाधान के 20% के 500 ग्राम की तैयारी के लिए, आपको प्रारंभिक सांद्रता के समाधान के 10 भागों को लेने की आवश्यकता है।
हमारे निर्णय की शुद्धता की जांच करें, यह दिया गया है कि 1 भाग 500 / (10 + 10) \u003d 25 ग्राम है।

250 ग्राम 10% आरआर - एच जी नमक,

एच \u003d 250 10/100 \u003d 25 ग्राम।

250 ग्राम 30% आरआर - वाई जी नमक,

100 ग्राम 30% आर-आरए - नमक के 30 ग्राम,

वाई \u003d 250 30/100 \u003d 75 ग्राम

म।(पी-आरए) \u003d 250 + 250 \u003d 500 ग्राम।

म।(लवण) \u003d 25 + 75 \u003d 100 ग्राम।

यहां से हमें 3 मिलते हैं:

500 ग्राम आरआर - नमक के 100 ग्राम,

100 ग्राम आरआर - 3 ग्राम लवण,

3 \u003d 100 100/500 \u003d 20 ग्राम, या 20%।

उत्तर. 20% समाधान के 500 ग्राम की तैयारी के लिए आपको 250 ग्राम के शुरुआती समाधान लेने की आवश्यकता है
(म। 1 \u003d 250 ग्राम, म। 2 \u003d 250 ग्राम)।

कार्य 3।

यह निर्धारित करें कि 25% एकाग्रता के समाधान के 300 ग्राम की तैयारी के लिए 60% और 10% सांद्रता के समाधान लेने के लिए कितना आवश्यक है।

दिया हुआ:

1 = 60%,
2 = 10%,
3 = 25%,
3 \u003d 300 ग्राम

ढूँढ़ने के लिए:

म। 1 , म। 2 .

फेसला

एक भाग का द्रव्यमान: 300/50 \u003d 6 ग्राम।

म। 1 \u003d 6 15 \u003d 90 ग्राम, म। 2 \u003d 6 35 \u003d 210

आर-आरए का 60% का 100 ग्राम - नमक के 60 ग्राम,

90 जी 60% आरआर - एच जी नमक,

एच \u003d 54

100 ग्राम 10% आर-आरए - नमक के 10 ग्राम,

210 ग्राम आरआर का 30% - वाई जी नमक,

वाई \u003d 21

म।(लवण) \u003d 54 + 21 \u003d 75

हमें एक नए समाधान की एकाग्रता मिलती है:

300 ग्राम आरआर - नमक के 75 ग्राम,

100 ग्राम आरआर - जेड जी नमक,

जेड\u003d 100 75/300 \u003d 25 ग्राम, या 25%।

उत्तर. म। 1 \u003d 90 ग्राम, म। 2 \u003d 210

अब हम और भी जटिल कार्यों में बदल जाते हैं।

कार्य 4।

समाधान का द्रव्यमान निर्धारित करेंएनए 2 सीओ 3 शुष्क क्रिस्टलीय के 10% एकाग्रता और द्रव्यमान ना 2 सीओ 3 10 एच 2 ओ 15% एकाग्रता के समाधान के 540 ग्राम तैयार करने के लिए इसे लेने की आवश्यकता है.

दिया हुआ:

1 = 10%,
3 = 15%,
म। 3 \u003d 540

ढूँढ़ने के लिए:

म। 1 , म। 2 .

फेसला

पहली विधि (दो अज्ञात के साथ समीकरणों की एक प्रणाली के माध्यम से)।

हम समाधान के 15% के 540 ग्राम में नमक ना 2 सीओ 3 का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं:

100 ग्राम 15% आर-रा - 15 ग्राम नमक,

540 ग्राम 15% आरआर - जेड जी नमक,

जेड \u003d 540 15/100 \u003d 81

हम समीकरणों की प्रणाली का अनुपालन करते हैं:

हमें दाढ़ी द्रव्यमान मिलते हैं:

अज्ञात अज्ञात से छुटकारा पाएं:

म। 2 = 286वाई/106;

100 ग्राम 10% आर-आरए - नमक के 10 ग्राम,

म। आरआर का 1 ग्राम 10% - एच जी नमक,

म। 1 = 100एच/10 = 10एच.

विकल्प म। 2 I. म। 1 समीकरणों की प्रणाली में:

उस पर विचार करना एच = 81 – वाई, दूसरे अज्ञात से छुटकारा पाएं:

10(81 – वाई) + 286वाई/106 = 540.

वाई\u003d 270 / 7.3 \u003d 37 जी।

फिर म। 2 = 286वाई/ 106 \u003d 2.7 37 100 ग्राम क्रिस्टल हाइड्रेट एनए 2 सीओ 3 10 एच 2 ओ की आवश्यक राशि का द्रव्यमान है।
इसके बाद, हम पाते हैं: एच = 81 – वाई \u003d 81 - 37 \u003d 44 जी 10% समाधान के नमक का एक द्रव्यमान है।
हमें समाधान का 10% का एक द्रव्यमान मिलता है:

100 ग्राम 10% आर-आरए - नमक के 10 ग्राम,

म। 1 ग्राम 10% आरआर - नमक के 44 ग्राम,

म। 1 \u003d 100 44/10 \u003d 440

यह देखा जा सकता है कि इस कार्य को हल किया जा सकता है - विधि विश्वसनीय है, लेकिन दुर्भाग्य से, एक लंबे, भारी और जटिल। वे पर्याप्त रूप से विकसित तार्किक सोच वाले छात्रों का सफलतापूर्वक उपयोग कर सकते हैं। दूसरों के लिए, यह जटिल होगा।

दूसरी विधि (क्रॉस नियम)।

मान लीजिए कि ना 2 सीओ 3 10 एच 2 ओ एक "शुष्क समाधान" है (आखिरकार, इसमें पानी होता है)। फिर हम इसे "एकाग्रता" पाते हैं:

286 जी - 106 ग्राम लवण,

100 ग्राम - एच जी नमक,

एच \u003d 100 106/286 \u003d 37 जी, या 37%।

क्रॉस नियम लागू करें।

हमें एक हिस्से और पदार्थों के द्रव्यमान का द्रव्यमान मिलता है:

म। 1 \u003d 20 22 \u003d 440 ग्राम, म। 2 \u003d 20 5 \u003d 100 ग्राम

उत्तर। एनए 2 सीओ 3 15% एकाग्रता के समाधान के 540 ग्राम तैयार करने के लिए, 10% समाधान के 440 ग्राम और CrystallohyDrate के 100 ग्राम लेना आवश्यक है।
इस प्रकार, इस तरह के कार्यों को हल करते समय क्रॉस के नियमों का आवेदन अधिक सुविधाजनक और आसान है। यह विधि समय और कम समय लेने में अधिक किफायती है।
क्रॉस नियम भी उन मामलों में लागू किया जा सकता है जहां एक अधिक केंद्रित समाधान के पानी के साथ कम करके या प्रारंभिक समाधान में सूखे मिश्रण को जोड़कर अधिक केंद्रित समाधान प्राप्त करके छोटी एकाग्रता का समाधान प्राप्त करना आवश्यक है। इस उदाहरण पर विचार करें।

कार्य 5।

45% से 10% तक इसकी एकाग्रता को कम करने के लिए 250 ग्राम नमक समाधान में कितना पानी जोड़ा जाना चाहिए?

दिया हुआ:

1 = 45%,
3 = 10%,
म। 1 \u003d 250 ग्राम

ढूँढ़ने के लिए:

फेसला

हम मानते हैं कि अतिरिक्त पानी के लिए एकाग्रता 2 \u003d 0% है। हम क्रॉस के नियम का उपयोग करते हैं।

हम पहले समाधान के माध्यम से एक भाग का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं: 250/10 \u003d 25
फिर आवश्यक पानी का द्रव्यमान बराबर है:

म। 2 \u003d 25 35 \u003d 875

निर्णय की शुद्धता की जांच करें।
एक नए समाधान का द्रव्यमान:

म। 3 \u003d 250 + 875 \u003d 1125

250 ग्राम 45% आरआर - एच जी नमक,

100 ग्राम 45% आर-आरए - नमक के 45 ग्राम,

एच\u003d 250 45/100 \u003d 112.5 ग्राम।

3 खोजें:

1125 जी आरआर - 112.5 ग्राम नमक,

100 ग्राम आरआर - वाई जी नमक,

वाई\u003d 100 112.5 / 1125 \u003d 10 ग्राम, या 10%।

उत्तर. म। 2 \u003d 875

कार्य 6।

45% तक बढ़ाने के लिए 10% एकाग्रता के समाधान के 250 ग्राम में कितने सूखे नमक को जोड़ा जाना चाहिए?

दिया हुआ:

1 = 10%,
म। 1 \u003d 250 ग्राम,
3 = 45%.

ढूँढ़ने के लिए:

म।(एस। पी।)।

फेसला

हम स्वीकार करते हैं कि शुष्क नमक 2 \u003d 100% का समाधान है। हम क्रॉस के नियम का उपयोग करते हैं।

हम पहले समाधान के माध्यम से एक हिस्से का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं: 250/55 \u003d 4.5 ग्राम
हम शुष्क नमक का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं:

म।(एस। पी।) \u003d 4,5 35 \u003d 158

निर्णय की शुद्धता की जांच करें।
एक नए समाधान का द्रव्यमान:

म। 3 \u003d 250 + 158 \u003d 408

प्रारंभिक समाधान में नमक वजन:

100 ग्राम 10% आर-आरए - नमक के 10 ग्राम,

250 ग्राम 10% आरआर - एच जी नमक,

एच\u003d 250 10/100 \u003d 25 ग्राम।

एक नए समाधान में कुल नमक द्रव्यमान:

25 + 158 \u003d 183

एक नए समाधान की एकाग्रता:

408 जी आरआर - 183 ग्राम लवण,

100 ग्राम आरआर - वाईजी नमक,

वाई\u003d 100 183/408 \u003d 45 ग्राम, या 45%।

उत्तर. म।(एस। पी।) \u003d 158

ऐसा लगता है कि एक अनुभवी शिक्षक को हमेशा किसी भी कार्य को हल करने के कई तरीके मिलेंगे। लेकिन स्कूल नंबर 17, इरकुत्स्क में क्लाउडिया मकारोवना की रसायन शास्त्र में मुझे अपने पहले शिक्षक द्वारा कैसे सिखाया गया था, इसलिए मैं अपने छात्रों को सिखाने की कोशिश करता हूं: हमेशा गहरी सोच और कार्य के रासायनिक सार को समझना और इसे हल करने के लिए सबसे तर्कसंगत तरीका ढूंढना , और सिर्फ देर से पाठ्यपुस्तक को अनुकूलित नहीं करते हैं।

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इस समीकरण को सरल बनाने के लिए सबसे छोटा आम डेनोमिनेटर का उपयोग किया जाता है। यह विधि इस मामले में लागू होती है जब इस समीकरण को समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के साथ नहीं लिखा जा सकता है (और क्रॉसवाइज की गुणा विधि का उपयोग करें)। इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब तीन या अधिक अंशों के साथ एक तर्कसंगत समीकरण दिया जाता है (दो भिन्नताओं के मामले में क्रॉसवाइज के गुणा को लागू करना बेहतर होता है)।

अंशों का सबसे छोटा समग्र संप्रदाय (या सबसे छोटी आम पसंद) खोजें। एनओएस सबसे छोटी संख्या है, जो प्रत्येक denominator पर एक फोकस द्वारा विभाजित है।

• कभी-कभी नाक एक स्पष्ट संख्या है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण दिया गया है: x / 3 + 1/2 \u003d (3x +1) / 6, यह स्पष्ट है कि संख्या 3, 2 और 6 के लिए सबसे छोटा आम एकाधिक 6 होगा।
• यदि नाक स्पष्ट नहीं है, तो सबसे बड़े denominator के बहुमत को लिखें और उनमें से एक के बीच खोजें जो कई और अन्य denominators के लिए होगा। अक्सर नाक पाया जा सकता है, बस दो denominator चल रहा है। उदाहरण के लिए, यदि एक समीकरण x / 8 + 2/6 \u003d (x - 3) / 9 दिया जाता है, तो नाक \u003d 8 * 9 \u003d 72।
• यदि एक या अधिक संप्रदायों में एक चर होता है, तो प्रक्रिया कुछ हद तक जटिल होती है (लेकिन यह असंभव नहीं बनती है)। इस मामले में, नाक एक अभिव्यक्ति है (एक चर युक्त), जो प्रत्येक denominator में विभाजित है। उदाहरण के लिए, समीकरण 5 / (x - 1) \u003d 1 / x + 2 / (3x) नाक \u003d 3x (x - 1) में, क्योंकि यह अभिव्यक्ति प्रत्येक denominator में विभाजित है: 3x (x - 1) / (x- 1) \u003d 3x; 3x (x - 1) / 3x \u003d (x - 1); 3x (x - 1) / x \u003d 3 (x-1)।

प्रत्येक अंश के संबंधित संप्रदाय पर नाक अलगाव के परिणाम के बराबर संख्या पर प्रत्येक अंश के संख्यात्मक को गुणा करें। चूंकि आप गुणा करते हैं और अंकक, और एक ही संख्या के लिए denominator, तो वास्तव में आप 1 पर अंश को गुणा करते हैं (उदाहरण के लिए, 2/2 \u003d 1 या 3/3 \u003d 1)।

• इस प्रकार, हमारे उदाहरण में, 2x / 6 प्राप्त करने के लिए 2/2 से x / 3 गुणा करें, और 3/6 प्राप्त करने के लिए 3/3 से गुणा करें (अंश 3x +1/6 गुणा करने के लिए आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह denominator है 6)।
• मामले में उसी तरह कार्य करें जब चर desominator में है। हमारे दूसरे उदाहरण में, नाक \u003d 3 एक्स (एक्स -1), इसलिए 5 / (एक्स -1) गुणा (3 एक्स) / (3 एक्स) गुणा करें और 5 (3 एक्स) / (3 एक्स) (एक्स -1) प्राप्त करें; 1 / x गुणा 3 (x-1) / 3 (x-1) से गुणा करें और 3 (x-1) / 3x (x-1) प्राप्त करें; 2 / (3x) गुणा (x - 1) / (x-1) और 2 (x-1) / 3x (x-1) प्राप्त करें।

"एक्स" खोजें। अब जब आपने एक सामान्य denominator के लिए अंश का नेतृत्व किया है, तो आप denominator से छुटकारा पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, समग्र संप्रदाय पर समीकरण के प्रत्येक पक्ष को गुणा करें। फिर प्राप्त समीकरण तय करें, यानी, "एक्स" खोजें। ऐसा करने के लिए, समीकरण की पार्टियों में से एक पर चर को अलग करें।

• हमारे उदाहरण में: 2x / 6 + 3/6 \u003d (3x +1) / 6। आप एक ही denominator के साथ दो अंशों को फोल्ड कर सकते हैं, इसलिए समीकरण के रूप में लिखें: (2x + 3) / 6 \u003d (3x + 1) / 6। समीकरण के दोनों हिस्सों को 6 तक गुणा करें और denominators से छुटकारा पाएं: 2x + 3 \u003d 3x +1। निर्णय लें और x \u003d 2 प्राप्त करें।
• हमारे दूसरे उदाहरण में (denominator में एक चर के साथ), समीकरण में एक फॉर्म है (एक आम denominator लाने के बाद): 5 (3x) / (3x) (x - 1) \u003d 3 (x - 1) / 3x ( एक्स - 1) + 2 (एक्स - 1) / 3 एक्स (एक्स -1)। नाक पर समीकरण के दोनों किनारों को गुणा करना, आप denominator से छुटकारा पाते हैं और प्राप्त करते हैं: 5 (3x) \u003d 3 (x - 1) + 2 (x - 1), या 15x \u003d 3x - 3 + 2x -2, या 15x \u003d x - 5। निर्णय लें और प्राप्त करें: x \u003d -5/14।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। वे कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक \u200b\u200bकि खेलों में भी उपयोग किए जाते हैं। पुरातनता में इस्तेमाल किए गए व्यक्ति के समीकरण और तब से उनका आवेदन केवल बढ़ रहा है। यदि आप एक संख्यात्मक / denominator में एक चर के साथ एक अंश अभिव्यक्ति देखते हैं, तो अभिव्यक्ति से पहले, गणित में एक तर्कसंगत समीकरण के रूप में जाना जाता है। आम तौर पर, तर्कसंगत समीकरणों को अपनी संरचना 1 तर्कसंगत अभिव्यक्ति में सभी समीकरणों का नाम देना संभव है। तर्कसंगत समीकरणों के समाधान के लिए, वे निम्नानुसार हल किए जाते हैं: ऑपरेशन बाएं और दाएं तरफ तब तक उत्पादित होते हैं जब तक कि चर एक तरफ अलग नहीं होता है। ऐसे समीकरणों को हल करने के दो तरीके हैं:

क्रॉस का गुणा

नाक (सबसे छोटा आम denominator)।

पहली विधि का उपयोग किया जाता है यदि इसके बाद एक पुनर्लेखन समीकरण था, तो प्रत्येक पक्ष पर एक अंश बनाया गया था। उदाहरण के लिए:

\\ [\\ Frac (x + 3) (4) - \\ frac (x) (2) \u003d 0 \\]

गुणा विधि का उपयोग करने के लिए, क्रॉस को समीकरण में रूपांतरित किया जाएगा:

\\ [\\ Frac (x + 3) (4) \u003d \\ frac (x) (- 2) \\]

दूसरी विधि का उपयोग तब किया जा सकता है जब आप अपने सामने 3 / अधिक समीकरण हों। उदाहरण के लिए:

\\ [\\ Frac (x) (3) + \\ frac (1) (2) \u003d \\ frac (3x + 1) (6) \\]

इस समीकरण के लिए, सबसे छोटा आम एकाधिक संख्या 6 होगी, जो इस समीकरण को हल करना आसान बना देगा।

मैं एक तर्कसंगत समीकरण ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?

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आज हम गणित में परीक्षा से ब्याज के हितों के लिए समर्पित वीडियो ट्यूटोरियल की श्रृंखला जारी रखते हैं। विशेष रूप से, हम परीक्षा से दो बहुत ही वास्तविक कार्यों का विश्लेषण करेंगे और एक बार फिर सुनिश्चित करें कि कार्य की स्थिति को ध्यान से पढ़ना और इसे सही ढंग से समझना कितना महत्वपूर्ण है।

तो, पहला कार्य:

एक कार्य। शहर के केवल 95% और 37,500 स्नातकों ने बी 1 को सही ढंग से हल किया। कितने लोगों ने बी 1 की समस्या को सही तरीके से हल किया?

पहली नज़र में ऐसा लगता है कि यह सीईपी के लिए किसी प्रकार का काम है। पसंद:

एक कार्य। पेड़ पर 7 पक्षियों को बैठा था। उनमें से 3 उड़ गए। कितने पक्षी उड़ गए?

फिर भी, परवाह नहीं है। हम अनुपात की विधि से निर्णय लेंगे। तो, हमारे पास 37,500 छात्र हैं - यह 100% है। साथ ही साथ एक्स छात्रों की एक निश्चित संख्या है, जो उन लोगों में से 95% है जो बी 1 को सही ढंग से हल करते हैं। हम इसे लिखते हैं:

37 500 — 100%
एक्स - 95%

अनुपात बनाना और एक्स ढूंढना आवश्यक है। हम पाते हैं:

हमारे सामने क्लासिक अनुपात है, लेकिन मुख्य संपत्ति का उपयोग करने से पहले और इसके क्रॉसवार को गुणा करने से पहले, मैं समीकरण के दोनों हिस्सों को 100 से विभाजित करने का प्रस्ताव करता हूं। दूसरे शब्दों में, आप प्रत्येक अंश के दो शून्य के अंकों में पार हो जाएंगे। हम परिणामी समीकरण को फिर से लिखते हैं:

अनुपात की मुख्य संपत्ति से, चरम सदस्यों का उत्पाद औसत सदस्यों के उत्पाद के बराबर है। दूसरे शब्दों में:

x \u003d 375 · 95

यह काफी बड़ी संख्या है, इसलिए आपको उनके कॉलम को गुणा करना होगा। मैं आपको गणित में परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए स्पष्ट रूप से निषिद्ध है। हम पाते हैं:

x \u003d 35 625

कुल उत्तर: 35 625. शुरुआती 37,500 के इतने सारे लोग समस्या बी 1 को सही ढंग से हल करते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, ये संख्याएं बहुत करीबी हैं, जो काफी तार्किक है, क्योंकि 95% भी 100% के करीब हैं। आम तौर पर, पहला कार्य हल हो जाता है। दूसरे पर जाएं।

ब्याज संख्या 2 के लिए कार्य

एक कार्य। शहर के केवल 80% स्नातकों ने सही ढंग से समस्या का सही निर्णय लिया। कितने लोगों ने गलत तरीके से बी 9 के कार्य का फैसला किया?

हम एक ही योजना पर निर्णय लेते हैं। प्रारंभ में, यह 45,000 स्नातक थे - यह 100% है। फिर इस मात्रा से एक्स स्नातकों का चयन करना आवश्यक है, जो प्रारंभिक राशि का 80% होना चाहिए। हम एक अनुपात बनाते हैं और निर्णय लेते हैं:

45 000 — 100%
x - 80%

आइए एक को एक शून्य से एक शून्य से और दूसरे अंश के संप्रदाय में कम करें। एक बार फिर, परिणामी डिजाइन को फिर से लिखें:

अनुपात की मुख्य संपत्ति: चरम सदस्यों का उत्पाद औसत के उत्पाद के बराबर है। हम पाते हैं:

45 000 · 8 \u003d x · 10

यह सबसे सरल रैखिक समीकरण है। चर एक्स को एक्सप्रेस करें:

x \u003d 45 000 · 8: 10

हम 45,000 और 10 से एक शून्य से एक को कम करते हैं, एक इकाई denominator में बनी हुई है, इसलिए हमें जो कुछ भी चाहिए वह अभिव्यक्ति के मूल्य को ढूंढना है:

x \u003d 4500 · 8

आप निश्चित रूप से, आखिरी बार के समान ही कर सकते हैं, और इन नंबरों को मंच से गुणा कर सकते हैं। लेकिन चलो अपने जीवन को स्वयं जटिल न करें, और कॉलम को गुणा करने के बजाय, हम आठ कारकों को विघटित करेंगे:

x \u003d 4500 · 2 · 2 · 2 \u003d 9000 · 2 · 2 \u003d 36 000

और अब - सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मैंने सबक की शुरुआत में क्या बात की थी। आपको सावधानी से कार्य की स्थिति को पढ़ने की आवश्यकता है!

आप हमसे क्या जानना चाहते हैं? कितने लोगों ने बी 9 कार्य करने का फैसला किया गलत। और हमने अभी उन लोगों को पाया जिन्होंने सही फैसला किया। प्रारंभिक संख्या का 80%, यानी थे। 36,000। इसका मतलब है कि अंतिम प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए छात्रों की प्रारंभिक संख्या से 80% घटाना आवश्यक है। हम पाते हैं:

45 000 − 36 000 = 9000

परिणामी संख्या 9000 कार्य का उत्तर है। 9,000 लोगों के 45,000 स्नातकों में से इस शहर में कुल समस्या ने गलत तरीके से समस्या का फैसला किया। सब, कार्य हल हो गया है।

मुझे उम्मीद है कि यह वीडियो उन लोगों की मदद करेगा जो स्वतंत्र रूप से गणित में परीक्षा के लिए तैयारी कर रहे हैं। और मेरे पास सब कुछ है। तुम्हारे साथ पावेल पक्षी था। नई बैठकों के लिए! :)