पहले क्रम के विभेदक समीकरण। समाधान के उदाहरण

सबसे पहले, आइए सामान्य रूप से समस्या के निर्माण के बारे में थोड़ी बात करें, और फिर हम प्रतिस्थापन के एकीकरण के उदाहरणों को बदल दें। मान लीजिए कि हमारे पास एक निश्चित अभिन्न $ \\ int g (x) \\; DX $। हालांकि, वांछित सूत्र की अभिन्न तालिका में, कोई नहीं है, और आप कई तालिकाओं में निर्दिष्ट अभिन्न को तोड़ नहीं सकते (यानी, प्रत्यक्ष एकीकरण गायब हो जाता है)। हालांकि, अगर हम कुछ प्रतिस्थापन $ u \u003d \\ varphi (x) $ को खोजने के लिए प्रबंधन को हल किया जाएगा, जो हमारे अभिन्न $ \\ int g (x) को कम करेगा; एक टैब्यूलर अभिन्न $ \\ int f (u) के लिए DX $ डीयू \u003d एफ (यू) + सी $। $ \\ Int f (u) सूत्र लागू करने के बाद; डीयू \u003d एफ (यू) + सी $ हमें केवल $ एक्स $ वैरिएबल को वापस करने के लिए छोड़ दिया जाएगा। औपचारिक रूप से, यह इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$ $ \\ int g (x) \\; DX \u003d | u \u003d \\ Varphi (x) | \u003d \\ int f (u) \\; du \u003d f (u) + c \u003d f (\\ Varphi (x)) + c। $ $

समस्या यह है कि इस तरह के एक प्रतिस्थापन $ U $ कैसे चुनें। ऐसा करने के लिए, आपको ज्ञान, सबसे पहले, डेरिवेटिव की तालिकाओं और जटिल कार्यों को अलग करने के लिए इसे लागू करने की क्षमता, और दूसरी बात, अनिश्चित इंटीग्रल की तालिकाओं की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, हम सूत्र के लिए बेहद जरूरी होंगे जो मैं नीचे लिखूंगा। यदि $ y \u003d f (x) $, तो:

\\ BEGIN (समीकरण) DI \u003d Y "DX \\ END (समीकरण)

वे। कुछ फ़ंक्शन का अंतर एक स्वतंत्र चर के अंतर से गुणा इस समारोह के व्युत्पन्न के बराबर है। यह नियम बहुत महत्वपूर्ण है, और यह प्रतिस्थापन विधि को लागू करने की अनुमति देगा। यहां हम सूत्र (1) से प्राप्त कुछ विशेष मामलों को भी इंगित करते हैं। $ Y \u003d x + C $, जहां $ C $ एक निश्चित स्थिर (संख्या, बस बोलते हुए) है। फिर, $ y $ अभिव्यक्ति $ x + C $ के बजाय फॉर्मूला (1) में प्रतिस्थापित करना, हमें निम्नलिखित मिलता है:

$ $ D (x + c) \u003d (x + c) "DX $$

$ (X + c) "\u003d x" + c "\u003d 1 + 0 \u003d 1 $ के बाद से, उपरोक्त सूत्र इस तरह होगा:

$ $ D (x + c) \u003d (x + c) "DX \u003d 1 \\ CDOT DX \u003d DX। $ $

हम परिणामस्वरूप परिणाम अलग से लिखते हैं, यानी

\\ BEGIN (समीकरण) dx \u003d d (x + c) \\ end (समीकरण)

परिणामी सूत्र का अर्थ है कि अंतर के तहत निरंतर के अतिरिक्त अंतर को बदल नहीं देता है, यानी। $ DX \u003d D (x + 10) $, $ DX \u003d D (X-587) $ और इतने पर।

फॉर्मूला (1) के लिए एक और विशेष मामले पर विचार करें। $ Y \u003d cx $, जहां $ C $, फिर से, कुछ स्थिर है। हमें इस फ़ंक्शन का अंतर मिलता है, जो $ y $ के बजाय फॉर्मूला (1) में $ CX $ अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करता है:

$ $ D (cx) \u003d (cx) "DX $ $

$ (CX) "\u003d c \\ cdot (x)" \u003d c \\ cdot 1 \u003d C $, फिर सूत्र $ d (cx) \u003d (cx) "DX $ होगा: $ D (CX) \u003d CDX $। यदि हम इस सूत्र के दोनों हिस्सों को $ सी $ (शर्त के तहत $ c \\ neq 0 $) पर विभाजित करते हैं, तो हम $ \\ frac (d (cx)) (c) \u003d dx $ प्राप्त करते हैं। इस परिणाम को एक में फिर से लिखा जा सकता है थोड़ा अलग रूप:

\\ BEGIN (समीकरण) dx \u003d \\ frac (1) (c) (c) \\ cdot d (cx) \\; \\; \\; (c \\ neq 0) \\ end (समीकरण)

परिणामी सूत्र से पता चलता है कि एक निश्चित गैर-शून्य निरंतर के लिए अंतर के तहत अभिव्यक्ति का गुणा इस तरह के गुणा के लिए उचित गुणक क्षतिपूर्ति की शुरूआत की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, $ DX \u003d \\ FRAC (1) (5) d (5x) $, $ DX \u003d - \\ FRAC (1) (19) D (-19x) $।

उदाहरण संख्या 1 और सूत्र (2) और (3) के नंबर 2 को विस्तार से माना जाएगा।

सूत्रों के बारे में नोट

इस विषय का उपयोग अनिश्चित इंटीग्रल की तालिका से सूत्र 1-3 और सूत्र दोनों का उपयोग किया जाएगा, जिसमें उनकी संख्या भी होती है। उलझन में नहीं होने के क्रम में, हम निम्नलिखित पर सहमत हैं: यदि विषय "सूत्र संख्या 1 का उपयोग करके" पाठ का सामना करता है, तो इसका सचमुच निम्नलिखित "फॉर्मूला नंबर 1 का उपयोग करना" इस पृष्ठ पर स्थित है"अगर हमें इंटीग्रल टेबल से सूत्र की आवश्यकता है, तो इसे हर बार अलग-अलग स्टाइल किया जाएगा। उदाहरण के लिए, निम्नानुसार है:" हम अभिन्न तालिका से फॉर्मूला नंबर 1 का उपयोग करते हैं। "

और एक और छोटा नोट

उदाहरण के साथ काम शुरू करने से पहले, अनिश्चितकालीन अभिन्न और के अवधारणा पर पिछले विषयों में निर्धारित सामग्री के साथ खुद को परिचित करने की सिफारिश की जाती है। इस विषय में सामग्री की प्रस्तुति उल्लिखित विषयों में निर्दिष्ट जानकारी पर आधारित है।

उदाहरण №1

$ \\ Int \\ frac (dx) (x + 4) $ खोजें।

अगर हम जाते हैं, तो हम एक सूत्र नहीं ढूंढ पाएंगे जो बिल्कुल $ \\ int \\ frac अभिन्न (डीएक्स) (x + 4) $ के अनुरूप है। अभिन्न टेबल के इस अभिन्न सूत्र संख्या 2 के सबसे नज़दीक, यानी $ \\ int \\ frac (du) (u) \u003d \\ ln | u | + c $। समस्या निम्नानुसार है: फॉर्मूला $ \\ int \\ frac (du) (u) \u003d \\ ln | u | + c $ मानता है कि अभिन्न $ \\ int \\ frac (du) (u) में संप्रदाय में और नीचे अंतर समान होना चाहिए (और वहां और वहां एक पत्र $ U $ है)। हमारे मामले में, $ \\ int \\ frac (dx) (x + 4) $ के तहत $ के तहत $ $ x $ है, और denominator में - एक अभिव्यक्ति $ x + $ 4, यानी टैब्यूलर फॉर्मूला में एक स्पष्ट असंगतता है। आइए तालिका के नीचे हमारे अभिन्न अंग को "फिट" करने का प्रयास करें। क्या होता है यदि $ x $ विकल्प $ x + $ 4 के बजाय अंतर के तहत? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम आवेदन करते हैं, $ y $ के बजाय $ x + $ 4 अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

$ $ D (x + 4) \u003d (x + 4) "DX $ $

$ (X + 4) "\u003d x" + (4) "\u003d 1 + 0 \u003d 1 $, फिर समानता $ d (x + 4) \u003d (x + 4)" DX $ बन जाएगा:

$ $ D (x + 4) \u003d 1 \\ cdot dx \u003d dx $ $

तो, $ DX \u003d D (x + 4) $। ईमानदार होने के लिए, एक ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, बस एक स्थिर के बजाय $ 4 $ संख्या $ 4 $ को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। भविष्य में, हम यह करेंगे, और पहली बार जब वे समानता $ DX \u003d D (x + 4) $ को विस्तार से प्राप्त करने की प्रक्रिया को अलग कर देंगे। लेकिन हमें $ dx \u003d d (x + 4) $ की समानता क्या है?

और यह हमें निम्नलिखित निष्कर्ष देता है: यदि $ dx \u003d d (x + 4) $, तो $ DX $ के बजाय $ \\ int \\ frac अभिन्न (x + 4) $ में आप $ d (x + 4) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं $ और अभिन्न इस से नहीं बदलेगा:

$$ \\ int \\ frac (dx) (x + 4) \u003d \\ int \\ frac (d (x + 4)) (x + 4) $$

हमने यह परिवर्तन केवल यह सुनिश्चित करने के लिए किया है कि परिणामी अभियान तालिका फॉर्मूला $ \\ int \\ frac (du) (u) \u003d \\ ln | u | + c $ के अनुरूप होना शुरू हुआ। ताकि इस तरह का अनुपालन पूरी तरह से स्पष्ट हो गया हो, अभिव्यक्ति $ x + 4 $ लेटर $ U $ (यानी हम करेंगे) को प्रतिस्थापित करें प्रतिस्थापन $ U \u003d x + $ 4):

$$ \\ int \\ frac (dx) (x + 4) \u003d \\ int \\ frac (d (x + 4)) (x + 4) \u003d | u \u003d x + 4 | \u003d \\ int \\ frac (du) (यू ) \u003d \\ ln | u | + c। $ $

संक्षेप में, कार्य पहले ही हल हो चुका है। यह केवल $ x $ चर को वापस करने के लिए बना हुआ है। याद रखना कि $ u \u003d x + $ 4, हमें मिलता है: $ \\ ln | u | + c \u003d \\ ln | x + 4 | + C $। स्पष्टीकरण के बिना पूरा समाधान इस तरह दिखता है:

$$ \\ int \\ frac (dx) (x + 4) \u003d \\ int \\ frac (d (x + 4)) (x + 4) \u003d | u \u003d x + 4 | \u003d \\ int \\ frac (du) (यू ) \u003d \\ ln | u | + c \u003d \\ ln | x + 4 | + c। $ $

उत्तर: $ \\ int \\ frac (dx) (x + 4) \u003d \\ ln | x + 4 | + C $।

उदाहरण संख्या 2।

$ \\ Int e ^ (3x) DX $ खोजें।

यदि हम अनिश्चित इंटीग्रल की तालिका में बदल जाते हैं, तो हम एक सूत्र नहीं ढूंढ पाएंगे जो बिल्कुल अभिन्न $ \\ int e ^ (3x) डीएक्स $ का अनुपालन करता है। अभिन्न तालिका से इस अभिन्न सूत्र संख्या 4 के सबसे नज़दीक, यानी $ \\ int e ^ u du \u003d e ^ u + c $। समस्या निम्नानुसार है: फॉर्मूला $ \\ int e ^ u du \u003d e ^ u + c $ मानता है कि $ \\ int e ^ u du $ a अभिव्यक्ति की अभिव्यक्ति संख्या $ E $ की डिग्री और अंतर के तहत वही हो (और वहां और वहां एक पत्र $ U $ है)। हमारे मामले में, अंतर के तहत $ \\ int e ^ (3x) डीएक्स $ पत्र $ x $, और $ e $ की डिग्री के लिए - $ 3x $ की अभिव्यक्ति, यानी टैब्यूलर फॉर्मूला में एक स्पष्ट असंगतता है। आइए तालिका के नीचे हमारे अभिन्न अंग को "फिट" करने का प्रयास करें। क्या होता है यदि $ x $ विकल्प $ 3x $ के बजाय अंतर के तहत? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम इस प्रश्न पर आवेदन करते हैं, $ y $ के बजाय $ 3x $ अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

$ $ D (3x) \u003d (3x) "DX $$

$ (3x) "\u003d 3 \\ cdot (x)" \u003d 3 \\ cdot 1 \u003d $ 3, फिर समानता $ d (3x) \u003d (3x) "DX $ बन जाएगा:

$ $ D (3x) \u003d 3DX $$

$ 3 $ द्वारा प्राप्त समानता के दोनों हिस्सों को साझा करना, हमारे पास होगा: $ \\ frac (d (3x)) (3) \u003d DX $, यानी। $ DX \u003d \\ FRAC (1) (3) \\ CDOT D (3X) $। असल में, $ dx \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot d (3x) $ की समानता प्राप्त की जा सकती है, बस एक स्थिर के बजाय $ 3 $ संख्या को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। भविष्य में, हम ऐसा करेंगे, और पहली बार वे समानता $ DX \u003d \\ FRAC (1) (3) (3) \\ cdot d (3x) $ प्राप्त करने के लिए प्रक्रिया को अलग कर देंगे।

$ DX \u003d \\ FRAC (1) (3) \\ CDOT D (3x) $ की समानता क्या हुई? इसका मतलब है कि $ DX $ के बजाय $ \\ int e ^ (3x) dx $ का अभिन्न $ \\ frac (1) (3) \\ cdot d (3x) $ को प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और अभिन्न इस से नहीं बदलेगा:

$$ \\ int e ^ (3x) dx \u003d \\ int e ^ (3x) \\ cdot \\ frac (1) (3) d (3x) $$

मैं अभिन्न के संकेत के लिए एक स्थिर $ \\ FRAC (1) (3) $ लाऊंगा और अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने के लिए $ 3x $ LATTER $ U $ (IE.E.E.E.EO DO होगा प्रतिस्थापन $ u \u003d 3x $), जिसके बाद हम तालिका फॉर्मूला $ \\ int e ^ u du \u003d e ^ u + c $ लागू करते हैं:

$$ \\ int e ^ (3x) dx \u003d \\ int e ^ (3x) \\ cdot \\ frac (1) (3) d (3x) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ int e ^ (3x) d (3x) \u003d | u \u003d 3x | \u003d \\ frac (1) (3) (3) \\ cdot \\ int e ^ u du \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot e ^ u + c. $$

पिछले उदाहरण के रूप में, आपको $ x $ के बैक स्रोत चर को वापस करने की आवश्यकता है। $ U \u003d 3x $ के बाद से, फिर $ \\ frac (1) (3) \\ cdot e ^ u + c \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot e ^ (3x) + C $। बिना किसी टिप्पणी के एक पूर्ण समाधान इस तरह दिखता है:

$$ \\ int e ^ (3x) dx \u003d \\ int e ^ (3x) \\ cdot \\ frac (1) (3) d (3x) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ int e ^ (3x) डी (3x) \u003d | u \u003d 3x | \u003d \\ frac (1) (3) (3) \\ cdot \\ int e ^ u du \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot e ^ u + c \u003d \\ frac (1) ( 3) \\ cdot e ^ (3x) + c। $ $

उत्तर: $ \\ int e ^ (3x) dx \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot e ^ (3x) + C $।

उदाहरण संख्या 3।

$ \\ Int (3x + 2) ^ 2 DX $ खोजें।

इस अभिन्न को खोजने के लिए, हम दो तरीकों से लागू होंगे। पहली विधि में ब्रैकेट और प्रत्यक्ष एकीकरण का खुलासा करने में शामिल हैं। दूसरा तरीका प्रतिस्थापन विधि को लागू करना है।

पहली विधि

$ (3x + 2) ^ 2 \u003d 9x ^ 2 + 12x + $ 4, फिर $ \\ int (3x + 2) ^ 2 dx \u003d \\ int (9x ^ 2 + 12x + 4) DX $। अभिन्न $ \\ int (9x ^ 2 + 12x + 4) डीएक्स $ का प्रतिनिधित्व तीन इंटीग्रल के योग के रूप में और संबंधित इंटीग्रल के संकेतों के लिए स्थिरांक बनाना, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \\ int (9x ^ 2 + 12x + 4) dx \u003d \\ int 9x ^ 2 dx + \\ int 12x dx + \\ int 4 dx \u003d 9 \\ cdot \\ int x ^ 2 dx + 12 \\ cdot \\ int x dx + 4 \\ cdot \\ int 1 डीएक्स $$

$ \\ Int x ^ 2 dx $ खोजने के लिए हम इंटीग्रल टेबल के सूत्र संख्या 1 में $ u \u003d x $ और $ \\ अल्फा \u003d 2 $ को प्रतिस्थापित करते हैं: $ \\ int x ^ 2 dx \u003d \\ frac (x ^ (2 +) 1)) (2 + 1) + सी \u003d \\ frac (x ^ 3) (3) + सी $। इसी तरह, तालिका से उसी सूत्र में $ u \u003d x $ और $ \\ अल्फ़ा \u003d 1 $ को प्रतिस्थापित करना, हमारे पास होगा: $ \\ int x ^ 1 dx \u003d \\ frac (x ^ (1 + 1)) (1 + 1 ) + C \u003d \\ frac (x ^ 2) (2) + C $। $ \\ Int 1 dx \u003d x + c $ के बाद से:

$$ 9 \\ cdot \\ int x ^ 2 dx + 12 \\ cdot \\ int x dx + 4 \\ cdot \\ int 1 dx \u003d 9 \\ cdot \\ frac (x ^ 3) (3) +12 \\ cdot \\ frac (x ^ 2) (2) +4 \\ cdot x + c \u003d 3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + c. $ $

$$ \\ int (9x ^ 2 + 12x + 4) dx \u003d \\ int 9x ^ 2 dx + \\ int 12x dx + \\ int 4 dx \u003d 9 \\ cdot \\ int x ^ 2 dx + 12 \\ cdot \\ int x dx + 4 \\ cdot \\ int 1 dx \u003d \\\\ \u003d 9 \\ cdot \\ frac (x ^ 3) (3) +12 \\ cdot \\ frac (x ^ 2) (2) +4 \\ cdot x + c \u003d 3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + c। $ $

दूसरा तरीका

हम ब्रैकेट का खुलासा नहीं करेंगे। आइए इसे बनाने की कोशिश करें ताकि $ x $ के बजाय अंतर के तहत $ 3x + $ 2 की अभिव्यक्ति दिखाई दी। यह आपको एक नया चर दर्ज करने और तालिका सूत्र लागू करने की अनुमति देगा। हमें अलग-अलग गुणक $ 3 $ उत्पन्न होने की आवश्यकता है, इसलिए $ c \u003d $ 3 के मान को प्रतिस्थापित करना, हम $ d (x) \u003d \\ frac (1) (3) डी (3x) $ प्राप्त करते हैं। इसके अलावा, $ 2 $ की कमी के तहत पर्याप्त नहीं है। निरंतर के अतिरिक्त, अंतर चिह्न अंतर को नहीं बदलता है, यानी। $ \\ Frac (1) (3) डी (3x) \u003d \\ frac (1) (3) डी (3x + 2) $। शर्तों से $ d (x) \u003d \\ frac (1) (3) d (3x) $ और $ \\ frac (1) (3) d (3x) \u003d \\ frac (1) (3) d (3x + 2) हमारे पास है: $ dx \u003d \\ frac (1) (3) डी (3x + 2) $।

मैं ध्यान देता हूं कि समानता $ dx \u003d \\ frac (1) (3) डी (3x + 2) $ एक अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है:

$$ डी (3 एक्स +2) \u003d (3 एक्स +2) "डीएक्स \u003d ((3 एक्स)" + (2) ") डीएक्स \u003d (3 \\ सीडीओटी एक्स" +0) डीएक्स \u003d 3 \\ सीडीओटी 1 डीएक्स \u003d 3 डीएक्स; \\ \\ Dx \u003d \\ frac (1) (3) डी (3x + 2)। $ $

हम प्राप्त समानता $ dx \u003d \\ frac (1) (3) डी (3x + 2) $ का उपयोग करते हैं, अभिन्न $ \\ int (3x + 2) ^ 2 dx $ अभिव्यक्ति $ \\ frac (1) (3) में प्रतिस्थापित डी (3x +2) $ $ DX $ के बजाय $। निरंतर $ \\ FRAC (1) (3) $ मैं प्राप्त अभिन्न का संकेत लेगा:

$$ \\ int (3x + 2) ^ 2 dx \u003d \\ int (3x + 2) ^ 2 \\ cdot \\ frac (1) (3) d (3x + 2) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ Int (3x + 2) ^ 2 d (3x + 2)। $ $

एक और समाधान $ u \u003d 3x + 2 $ के प्रतिस्थापन और अभिन्न तालिका से फॉर्मूला नंबर 1 के आवेदन को पूरा करना है:

$$ \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ int (3x + 2) ^ 2 d (3x + 2) \u003d | u \u003d 3x + 2 | \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ int u ^ 2 du \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (u ^ (2 + 1)) (2 + 1) + c \u003d \\ frac (u ^ 3) (9) + c। $ $

$ U $ अभिव्यक्ति $ 3x + $ 2 के बजाय लौट रहा है, हमें मिलता है:

$$ \\ frac (u ^ 3) (9) + c \u003d \\ frac ((3x + 2) ^ 3) (9) + c। $ $

स्पष्टीकरण के बिना एक पूर्ण समाधान है:

$$ \\ int (3x + 2) ^ 2 dx \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ int (3x + 2) ^ 2 d (3x + 2) \u003d | u \u003d 3x + 2 | \u003d \\\\ \u003d \\ Frac (1) (3) \\ cdot \\ int u ^ 2 du \u003d \\ frac (u ^ 3) (9) + c \u003d \\ frac ((3x + 2) ^ 3) (9) + c। $ $

मैं कुछ सवालों का पूर्वाभास करता हूं, इसलिए मैं जवाब देने के लिए उन्हें तैयार करने की कोशिश करूंगा।

प्रश्न संख्या 1।

यहां कुछ अभिसरण नहीं होता है। जब हमने पहला तरीका तय किया कि हमें $ \\ int (9x ^ 2 + 12x + 4) DX \u003d 3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + C $ मिला। दूसरे तरीके को हल करते समय, उत्तर था: $ \\ int (3x + 2) ^ 2 dx \u003d \\ frac ((3x + 2) ^ 3) (9) + C $। हालांकि, दूसरे उत्तर से पहले एक काम नहीं करता है! यदि आप ब्रैकेट प्रकट करते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

$$ \\ frac ((3x + 2) ^ 3) (9) + c \u003d \\ frac (27x ^ 3 + 54x ^ 2 + 36x + 8) (9) + c \u003d \\ frac (27x ^ 3) (9) + \\ Frac (54x ^ 2) (9) + \\ frac (36x) (9) + \\ frac (8) (9) + c \u003d 3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + \\ frac (8) (9) + सी। $ $

उत्तर संयोग नहीं करते हैं! $ \\ FRAC (8) (9) $ का अतिरिक्त अंश कहाँ से आया?

यह प्रश्न बताता है कि आपको पिछले विषयों से संपर्क करना चाहिए। अनिश्चित अभिन्न (पृष्ठ के अंत में समस्या संख्या 2 पर विशेष ध्यान देने) और प्रत्यक्ष एकीकरण की अवधारणा के बारे में विषय खरीदें (प्रश्न संख्या 4 पर ध्यान देने योग्य है)। इन विषयों में, यह समस्या विस्तार से कवर की गई है। यदि यह बहुत छोटा है, तो $ सी $ अभिन्न निरंतर विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हमारे मामले में, $ C_1 \u003d C + \\ FRAC (8) (9) $ को जारी किया, हमें मिलता है:

$ $ 3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + \\ frac (8) (9) + c \u003d 3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + C_1। $ $

कोई विरोधाभास नहीं है कि कोई विरोधाभास नहीं है, जवाब $ 3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + c $ के रूप में दर्ज किया जा सकता है और फॉर्म $ \\ FRAC ((3x + 2) ^ 3) (9) + सी $।

प्रश्न 2।

यह दूसरे तरीके को हल करने के लिए क्यों था? यह एक अत्यधिक जटिलता है! उत्तर खोजने के लिए अनावश्यक सूत्रों का एक गुच्छा क्यों लागू करें जो कुछ कार्यों में पहला तरीका है? बस यह आवश्यक है कि ब्रैकेट स्कूल फॉर्मूला को लागू करते हुए खुलासा करते हैं।

खैर, सबसे पहले, यह जटिलता नहीं है। जब आप प्रतिस्थापन विधि में पता लगाते हैं, तो ऐसे उदाहरणों के समाधान एक पंक्ति में किए जाएंगे: $ \\ int (3x + 2) ^ 2 dx \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ int (3x + 2) ^ 2 डी (3x + 2) \u003d \\ frac ((3x + 2) ^ 3) (9) + C $। हालांकि, आइए इस उदाहरण को देखें। कल्पना करें कि आपको $ \\ int (3x + 2) ^ 2 DX $, और $ \\ int (3x + 2) ^ (200) डीएक्स $ की गणना करने की आवश्यकता है। दूसरे तरीके को हल करते समय, इसे केवल पुनर्वितरण के लिए आवश्यक होगा और उत्तर तैयार हो जाएगा:

$$ \\ int (3x + 2) ^ (200) dx \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ int (3x + 2) ^ (200) d (3x + 2) \u003d | u \u003d 3x + 2 | \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ in u ^ (200) du \u003d \\ frac (u ^ (201)) (603) + c \u003d \\ frac ((3x + 2) ^ (201) ) (603) + सी। $ $

अब कल्पना करें कि एक ही अभिन्न $ \\ int (3x + 2) ^ (200) डीएक्स $ का पहला तरीका लेने के लिए आवश्यक है। शुरू करने के लिए, ब्रैकेट $ (3x + 2) ^ (200) $ को प्रकट करना आवश्यक होगा, जिसे दो सौ एक शब्द में राशि प्राप्त हुई है! और फिर प्रत्येक व्यक्ति और एकीकृत एकीकृत होना होगा। इसलिए, यहां निष्कर्ष यह है: बड़ी डिग्री के लिए, प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि उपयुक्त नहीं है। प्रतीत जटिलता के बावजूद दूसरा तरीका, अधिक व्यावहारिक है।

उदाहरण संख्या 4।

$ \\ Int \\ sin2x डीएक्स $ खोजें।

इस उदाहरण का समाधान तीन अलग-अलग तरीकों से खर्च करेगा।

पहली विधि

अभिन्न तालिका को देखें। इस तालिका से सूत्र संख्या 5 के हमारे उदाहरण के करीब नहीं, यानी $ \\ int \\ sin u du \u003d - \\ cos u + c $। $ \\ Int \\ sin2x डीएक्स $ इंटीग्रल को $ \\ int \\ sin u du $ के रूप में समायोजित करने के लिए, हम अंतर के संकेत के तहत एक गुणक $ 2 $ बनाते हैं। असल में, हमने इसे पहले से ही नंबर 2 में किया है, इसलिए हम विस्तृत टिप्पणियों के बिना जाएंगे:

$$ \\ int \\ sin 2x dx \u003d \\ lefp | dx \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot d (2x) \\ राइट | \u003d \\ int \\ sin 2x \\ cdot \\ frac (1) (2) डी (2x) ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (2) \\ int \\ sin 2x d (2x) \u003d | u \u003d 2x | \u003d \\ frac (1) (1) (2) \\ int \\ sin u du \u003d - \\ frac (1) (2) \\ cos u + c \u003d - \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c। $ $

उत्तर: $ \\ int \\ sin2x dx \u003d - \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c $।

दूसरा तरीका

दूसरे तरीके को हल करने के लिए, हम एक साधारण त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं: $ \\ sin 2x \u003d 2 \\ sin x \\ cos x $। $ 2 $ 2x $ अभिव्यक्ति $ 2 \\ sin x \\ cos x $ के बजाय $ 2 $ स्थिर के साथ सबस्टिट्यूट, मैं एक अभिन्न संकेत लाऊंगा:

इस तरह के परिवर्तन का उद्देश्य क्या है? $ \\ Int \\ sin x \\ cos x dx $ NO की अभिन्न तालिका में, लेकिन हम $ \\ int \\ sin x \\ cos x dx $ की भविष्यवाणी कर सकते हैं ताकि यह एक टेबल की तरह हो। ऐसा करने के लिए, हमें $ d (\\ cos x) $ का उपयोग करना पाता है। $ Y $ के बजाय $ \\ Cos X $ के उल्लिखित सूत्र में सबस्टिट्यूट करें:

$ $ D (\\ cos x) \u003d (\\ cos x) "dx \u003d - \\ sin x dx। $ $

$ D (\\ cos x) \u003d - \\ sin x dx $ के बाद से, फिर $ \\ sin x dx \u003d -d (\\ cos x) $। $ \\ Sin x dx \u003d -d (\\ cos x) $ के बाद से, तो हम $ \\ sin x dx $ विकल्प $ -D (\\ cos x) $ के बजाय $ \\ int \\ si \\ cos x dx $ में कर सकते हैं। अभिन्न का मूल्य नहीं बदलता है:

$$ 2 \\ cdot \\ int \\ sin x \\ cos x dx \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ cos x \\ cdot (-d (\\ cos x)) \u003d - 2 \\ int \\ cos x d (\\ cos x) $$

दूसरे शब्दों में, हम अंतर के तहत पेश किया गया $ \\ Cos x $। अब, $ u \u003d \\ cos x $ का प्रतिस्थापन कर रहा है, हम अभिन्न तालिका से फॉर्मूला नंबर 1 लागू करने में सक्षम होंगे:

$$ -2 \\ int \\ cos xd (\\ cos x) \u003d | u \u003d \\ cos x | \u003d -2 \\ int u du \u003d -2 \\ cdot \\ frac (u ^ 2) (2) + c \u003d -u ^ 2 + सी \u003d - \\ cos ^ 2x + c। $ $

जवाब प्राप्त किया गया है। आम तौर पर, आप $ U $ अक्षर दर्ज नहीं कर सकते हैं। जब आप इस तरह के अभिन्न हल करने में पर्याप्त कौशल प्राप्त करते हैं, तो अतिरिक्त नोटेशन की आवश्यकता गायब हो जाएगी। स्पष्टीकरण के बिना एक पूर्ण समाधान है:

$$ \\ int \\ sin 2x dx \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ sin x \\ cos x dx \u003d | \\ sin x dx \u003d -d (\\ cos x) | \u003d -2 \\ int \\ cos xd (\\ cos x) \u003d | U \u003d \\ cos x | \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int u du \u003d -2 \\ cdot \\ frac (u ^ 2) (2) + c \u003d -u ^ 2 + c \u003d - \\ cos ^ 2x + c। $ $

उत्तर: $ \\ int \\ sin2x dx \u003d - \\ cos ^ 2x + C $।

तीसरा रास्ता

तीसरे तरीके को हल करने के लिए, एक ही त्रिकोणमितीय सूत्र लागू है: $ \\ sin 2x \u003d 2 \\ sin x \\ cos x $। $ 2 $ 2x $ अभिव्यक्ति $ 2 \\ sin x \\ cos x $ के बजाय $ 2 $ स्थिर के साथ सबस्टिट्यूट, मैं एक अभिन्न संकेत लाऊंगा:

$$ \\ int \\ sin 2x dx \u003d \\ int 2 \\ sin x \\ cos x dx \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ sin x \\ cos x dx $ $

$ D (\\ sin x) $ का उपयोग करें। $ Y $ के बजाय उल्लिखित सूत्र $ \\ Sin x $ में सबस्टिट्यूट करें:

$ $ D (\\ sin x) \u003d (\\ sin x) "dx \u003d \\ cos x dx। $ $

तो, $ d (\\ sin x) \u003d \\ cos x dx $। समानता प्राप्त करने से यह निम्नानुसार है कि हम $ \\ int \\ sin x \\ cos x dx $ $ \\ cos x dx $ विकल्प $ d (\\ sin x) $ के बजाय कर सकते हैं। अभिन्न का मूल्य नहीं बदलता है:

$$ 2 \\ cdot \\ int \\ sin x \\ cos x dx \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ sin x \\ cdot d (\\ sin x) $$

दूसरे शब्दों में, हम अंतर के तहत पेश किया गया $ \\ SIN X $। अब, $ u \u003d \\ sin x $ की प्रतिस्थापन करके, हम अभिन्न तालिका से फॉर्मूला नंबर 1 को लागू करने में सक्षम होंगे:

$$ 2 \\ int \\ sin xd (\\ sin x) \u003d | u \u003d \\ sin x | \u003d 2 \\ int u du \u003d 2 \\ cdot \\ frac (u ^ 2) (2) + c \u003d u ^ 2 + c \u003d \\ sin ^ 2x + c। $ $

जवाब प्राप्त किया गया है। स्पष्टीकरण के बिना पूरा समाधान है:

$$ \\ int \\ sin 2x dx \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ sin x \\ cos x dx \u003d | \\ cos x dx \u003d d (\\ sin x) | \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ sin x \\ cdot d (\\ sin) x) \u003d | u \u003d \\ sin x | \u003d \\\\ \u003d 2 \\ int u du \u003d 2 \\ cdot \\ frac (u ^ 2) (2) + c \u003d u ^ 2 + c \u003d \\ sin ^ 2x + c। $ $

उत्तर: $ \\ int \\ sin2x dx \u003d \\ sin ^ 2x + c $।

यह संभव है कि इस उदाहरण को पढ़ने के बाद, विशेष रूप से तीन अलग (पहली नज़र में) उत्तर, सवाल उठ जाएगा। गौर किजिए।

प्रश्न संख्या 3।

रुको। जवाबों का सामना करना चाहिए, लेकिन वे प्रतिष्ठित हैं! उदाहरण संख्या 3 में, अंतर केवल $ \\ frac (8) स्थिर (9) $ में था, लेकिन यहां बाहरी रूप से उत्तर भी समान नहीं हैं: $ - \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c $, $ - \\ cos ^ 2x + C $, $ \\ SIN ^ 2x + C $। क्या यह वास्तव में $ C $ अभिन्न स्थिरता में फिर से सभी मामला है?

हां, यह इस स्थिर में है। आइए एक फॉर्म के सभी उत्तरों को कम करें, जिसके बाद स्थिरांक में यह अंतर पूरी तरह से स्पष्ट होगा। आइए $ - \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c $ के साथ शुरू करें। हम एक साधारण त्रिकोणमितीय समानता का उपयोग करते हैं: $ \\ cos 2x \u003d 1-2 \\ sin ^ 2 x $। फिर अभिव्यक्ति $ - \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c $ होगा:

$$ - \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c \u003d - \\ frac (1) (2) \\ cdot (1-2 \\ sin ^ 2 x) + c \u003d - \\ frac (1) (2) + \\ Frac (1) (2) \\ cdot 2 \\ sin ^ 2x + c \u003d \\ sin ^ 2 x + c- \\ frac (1) (2)। $ $

अब हम दूसरे उत्तर के साथ काम करेंगे, यानी $ - \\ cos ^ 2x + C $। चूंकि $ \\ cos ^ 2 x \u003d 1- \\ sin ^ 2x $, तो:

$$ - \\ cos ^ 2x + c \u003d - (1- \\ sin ^ 2x) + c \u003d -1 + \\ sin ^ 2x + c \u003d \\ sin ^ 2x + c-1 $$

उदाहरण के तीन उत्तरों जो हमें प्राप्त हुए थे №4 ऐसे थे: $ \\ sin ^ 2 x + c- \\ frac (1) (2) $, $ \\ sin ^ 2x + c-1 $, $ \\ sin ^ 2x + c $ । मुझे लगता है कि अब यह देखा जा सकता है कि वे केवल कुछ संख्या में एक-दूसरे से अलग हैं। वे। मामला फिर से अभिन्न स्थिरता में था। जैसा कि आप देख सकते हैं, अभिन्न निरंतर में एक छोटा सा अंतर सक्षम है, सिद्धांत रूप में, प्रतिक्रिया की उपस्थिति को दृढ़ता से बदल देता है - लेकिन यह उत्तर सही नहीं होगा। मैं क्या करता हूं: यदि आप एक प्रतिक्रिया देखते हैं जो आपके कार्यों से मेल नहीं खाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपका उत्तर गलत है। यह संभव है कि आप बस कार्य के लेखक की तुलना में एक अलग तरीके से जवाब देने आए थे। और सुनिश्चित करें कि प्रतिक्रिया एक अनिश्चित अभिन्न अंग की परिभाषा के आधार पर परीक्षण में मदद करेगी। उदाहरण के लिए, यदि अभिन्न $ \\ int \\ sin2x dx \u003d - \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c $ सही ढंग से पाया जाता है, तो समानता $ \\ बाएं (- \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c \\ दाएं) "\u003d \\ sin 2x $। तो जांचें कि $ \\ Left (- \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c \\ राइट) का व्युत्पन्न $ ajecand समारोह $ \\ Sin के बराबर है 2x $:

$$ \\ बाएं (- \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c \\ right) "\u003d \\ Left (- \\ frac (1) (2) \\ cos 2x \\ right)" + c "\u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot (\\ cos 2x) "+ 0 \u003d \\\\ \u003d - \\ frac (1) (2) \\ cdot (- \\ sin 2x) \\ cdot (2x)" \u003d - \\ frac (1) (2) \\ cdot (- \\ sin 2x) \\ cdot 2 \u003d \\ sin 2x। $ $

चेक सफलतापूर्वक पूरा हो गया है। समानता $ \\ बाएं (- \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c \\ right) "\u003d \\ sin 2x $ बनाया गया है, इसलिए सूत्र $ \\ int \\ sin2x dx \u003d - \\ frac (1) (2) \\ cos 2x + c $ verne। उदाहरण संख्या 5 में, हम इसकी शुद्धता सुनिश्चित करने के लिए परिणाम का परिणाम भी पूरा करेंगे। निरीक्षण की उपस्थिति अनिवार्य नहीं है, हालांकि परिणाम की जांच करने की आवश्यकता है कुछ विशिष्ट गणनाओं में मौजूद है।

अंतर समीकरण

विभेदक समीकरण एक समीकरण है जिसमें परिवर्तनीय चर, निरंतर गुणांक, किसी भी क्रम के कार्य से वांछित समारोह और डेरिवेटिव होते हैं। साथ ही, व्युत्पन्न समारोह का अधिकतम क्रम, जो समीकरण में मौजूद है, पूरे अंतर समीकरण के क्रम को निर्धारित करता है। Diff समीकरण हल करें वांछित फ़ंक्शन को चर पर निर्भरता के रूप में निर्धारित करना है।

आधुनिक कंप्यूटर संख्यात्मक रूप से सबसे जटिल डीफा समीकरण को हल करना संभव बनाता है। एक विश्लेषणात्मक समाधान ढूँढना एक चुनौती है। कई प्रकार के समीकरण हैं और प्रत्येक सिद्धांत के लिए इसकी समाधान विधियां प्रदान की जाती हैं। साइट पर साइट पर अलग समीकरण इसे ऑनलाइन गणना की जा सकती है, और लगभग किसी भी प्रकार और आदेश: विभाजित या अपरिवर्तित चर, बर्नौली समीकरण इत्यादि के साथ रैखिक अंतर समीकरण। साथ ही, आपके पास सामान्य रूप में समीकरणों को हल करने या प्रारंभिक (सीमा) स्थितियों के अनुरूप एक विशेष समाधान प्राप्त करने का अवसर है। हम दो फ़ील्ड को पूरा करने का प्रस्ताव करते हैं: समीकरण स्वयं ही और, यदि आवश्यक हो, तो प्रारंभिक स्थितियां (कौची कार्य) - यानी, वांछित समारोह की सीमा स्थितियों पर जानकारी। आखिरकार, जैसा कि यह ज्ञात है, समीकरण की धुंध की असीमित समाधान है, क्योंकि प्रतिक्रिया में निरंतरता है जो एक मनमानी मूल्य ले सकती है। कौची कार्य को सेट करना, हम समाधान के पूरे सेट से निजी समाधान चुनते हैं।

विभेदक समीकरण (DU)। ये दो शब्द आमतौर पर औसत औसत व्यक्ति के डरावने होते हैं। विभेदक समीकरण कुछ अनुकरणीय और मास्टर और कई छात्रों के लिए मुश्किल लगते हैं। Uuuuuu ... अंतर समीकरण, मैं यह सब कैसे जाऊंगा?!

इस तरह की राय और ऐसा मनोदशा गलत है, क्योंकि वास्तव में विभेदक समीकरण सरल और यहां तक \u200b\u200bकि रोमांचक भी हैं। आपको क्या जानने और अंतर समीकरणों को हल करने में सक्षम होना चाहिए? फैलाने का सफलतापूर्वक अध्ययन करने के लिए, आपको अच्छी तरह से एकीकृत करने और अंतर करने में सक्षम होना चाहिए। बेहतर विषयों का अध्ययन किया एक चर का व्युत्पन्न कार्य तथा अनिश्चित अभिन्नजिस तरह से अंतर समीकरणों को समझना आसान हो जाएगा। यदि आपके पास कम या ज्यादा सभ्य एकीकरण कौशल है तो मैं और अधिक कहूंगा, तो विषय लगभग महारत हासिल है! विभिन्न प्रकार के अधिक इंटीग्रल आप तय कर सकते हैं - बेहतर। क्यों? क्योंकि आपको बहुत कुछ एकीकृत करना है। और अंतर। भी बहुत अधिक सिफारिश की जाती है खोजना सीखें निर्दिष्ट समारोह से व्युत्पन्न.

9 5% मामलों में, 3 प्रकार के पहले क्रम वाले अंतर समीकरण पाए जाते हैं: इस पाठ में विचार करने वाले चर के साथ समीकरण जिन्हें हम मानते हैं; समान समीकरण तथा रैखिक अमानवीय समीकरण। फैलाव सीखने के लिए मैं आपको इस आदेश में पाठों से परिचित होने की सलाह देता हूं। अंतर समीकरणों के और भी दुर्लभ प्रकार हैं: पूर्ण अंतर में समीकरण, बर्नौली समीकरण और कुछ अन्य। आखिरी दो प्रजातियों में से सबसे महत्वपूर्ण पूर्ण अंतर में समीकरण हैं, क्योंकि इस डीयू के अलावा मैं नई सामग्री - निजी एकीकरण पर विचार करता हूं।

पहले सामान्य समीकरणों को याद करें। उनमें चर और संख्याएं होती हैं। सबसे सरल उदाहरण :. सामान्य समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब है कई संख्याएंजो इस समीकरण को संतुष्ट करता है। यह देखना आसान है कि बच्चों के समीकरण में एकमात्र रूट है :. एक स्पर्श के लिए, एक चेक करें, हम अपने समीकरण में पाए गए रूट को प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त की जाती है, इसका मतलब है कि समाधान सही ढंग से पाया जाता है।

भिन्न तरीके से भिन्नता की व्यवस्था की जाती है!

अंतर समीकरण पहले के आदेश, शामिल:
1) स्वतंत्र चर;
2) आश्रित चर (समारोह);
3) पहला व्युत्पन्न कार्य :.

कुछ मामलों में, "ix" या (और) "igrek" पहले आदेश समीकरण में गायब हो सकता है महत्वपूर्ण डु में करने के लिए था पहला व्युत्पन्न, और नहीं था उच्च आदेशों के डेरिवेटिव्स - इत्यादि।

क्या मतलब ?अंतर समीकरण हल करें - इसका मतलब है खोजने के लिए कई कार्य जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है। ऐसे बहुत सारे कार्यों को बुलाया जाता है अंतर समीकरण का सामान्य समाधान.

उदाहरण 1।

विभेदक समीकरण हल करें

पूर्ण गोला बारूद। पहले आदेश के किसी भी अंतर समीकरण को हल करना क्यों शुरू करें?

सबसे पहले, आपको किसी अन्य रूप में एक अलग व्युत्पन्न को फिर से लिखना होगा। हमें बोझिल पदनाम व्युत्पन्न याद है :. आप में से कई के लिए एक व्युत्पन्न का एक पदनाम शायद हास्यास्पद और अनावश्यक लग रहा था, लेकिन यह बिल्कुल फैलाने में ड्राइव करेगा!

तो, पहले चरण में, हमारे द्वारा आवश्यक रूप में व्युत्पन्न को फिर से लिखें:

दूसरे चरण में हमेशा हम देखते हैं कि यह असंभव है या नहीं स्प्लिट वैरिएबल्स? चर को विभाजित करने का क्या अर्थ है? मोटे तौर पर बोल, बाईं ओर हमें छोड़ने की जरूरत है केवल "igrek", लेकिन अ दाहिने भाग में व्यवस्थित केवल "ikers"। चर को अलग करने के लिए "स्कूल" हेरफेर की मदद से किया जाता है: ब्रैकेट को सबमिशन, भाग से भाग तक घटकों का हस्तांतरण चिह्न के परिवर्तन के साथ, भाग से भाग तक गुणक के हस्तांतरण के अनुसार नियम नियम, आदि

भिन्नताओं में विभेदक और सक्रिय प्रतिभागी और सक्रिय प्रतिभागी हैं। उदाहरण के उदाहरण में, चर के नियम द्वारा गुणों को गुणक मिलिंग द्वारा आसानी से विभाजित किया जाता है:

चर अलग हो जाते हैं। बाईं तरफ - केवल "अज्ञानता", सही भाग में - केवल "xers"।

अगला पड़ाव - विभेदक समीकरण का एकीकरण। सब कुछ सरल है, दोनों भागों पर इंटीग्रल से प्रेरित है:

बेशक, इंटीग्रल को लेने की जरूरत है। इस मामले में, वे सारणीबद्ध हैं:

जैसा कि हमें याद है, निरंतर किसी भी आदिम को जिम्मेदार ठहराया जाता है। यहां दो अभिन्न हैं, लेकिन निरंतर एक बार लिखने के लिए पर्याप्त है। लगभग हमेशा, यह सही हिस्से के लिए जिम्मेदार है।

कड़ाई से बोलते हुए, इंटीग्रल के बाद, अंतर समीकरण हल माना जाता है। एकमात्र चीज, हम "igrek" "एक्स" के माध्यम से व्यक्त नहीं किए जाते हैं, यानी, निर्णय प्रस्तुत किया जाता है निहित प्रपत्र। एक निहित रूप में अंतर समीकरण का समाधान कहा जाता है अंतर समीकरण का सामान्य अभिन्न। यही है, यह एक आम अभिन्न है।

अब आपको एक सामान्य समाधान खोजने की कोशिश करने की आवश्यकता है, यानी, एक फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करें।

कृपया पहली तकनीकी तकनीक को याद रखें, यह बहुत आम है और अक्सर व्यावहारिक कार्यों में उपयोग किया जाता है। जब एकीकरण के बाद दाईं ओर लॉजरिदम दिखाई देता है, तो निरंतर हमेशा लॉगरिदम के तहत रिकॉर्ड करने की सलाह देता है।

अर्थात, बजायरिकॉर्ड्स आमतौर पर लिखते हैं .

यहां एक ही पूर्ण स्थिरांक है। तुम्हें यह क्यों चाहिए? और "igarek" को व्यक्त करना आसान बनाने के लिए। हम लॉगरिदम की स्कूल संपत्ति का उपयोग करते हैं: । इस मामले में:

अब दोनों हिस्सों से एक स्वच्छ विवेक के साथ लॉगरिदम और मॉड्यूल को हटाया जा सकता है:

समारोह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है। यह एक सामान्य समाधान है।

कई विशेषताएं यह एक अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान है।

निरंतर विभिन्न मूल्यों को देना, आप असीम रूप से बहुत कुछ प्राप्त कर सकते हैं निजी समाधान अंतर समीकरण। कोई भी कार्य, इत्यादि। अंतर समीकरण को संतुष्ट करेगा।

कभी-कभी एक सामान्य निर्णय कहा जाता है समारोह परिवार। इस उदाहरण में, सामान्य समाधान - यह रैखिक कार्यों का एक परिवार है, या बल्कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक परिवार है।

कई अलग-अलग समीकरणों को जांचना काफी आसान है। यह बहुत सरलता से किया जाता है, समाधान मिला और व्युत्पन्न खोजने के लिए:

हम अपने समाधान और मूल समीकरण में पाए गए पाए गए व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त की जाती है, इसका मतलब है कि समाधान सही ढंग से पाया जाता है। दूसरे शब्दों में, सामान्य समाधान समीकरण को संतुष्ट करता है।

पहले उदाहरण के विस्तृत चबाने के बाद, अंतर समीकरणों के बारे में कई बेवकूफ प्रश्नों का जवाब देना उचित है।

1) इस उदाहरण में, हम चर को विभाजित करने में कामयाब रहे :. क्या ऐसा करना हमेशा संभव है? नहीं हमेशा। और यहां तक \u200b\u200bकि अक्सर, चर को विभाजित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, में समरूप पहला आदेश समीकरण, आपको पहले बदलना होगा। उदाहरण के लिए, अन्य प्रकार के समीकरणों में, रैखिक अमानवीय पहले आदेश समीकरण मेंआपको एक सामान्य समाधान खोजने के लिए विभिन्न तकनीकों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता है। अलग-अलग चर के साथ समीकरण, जिसे हम पहले पाठ में मानते हैं - अलग-अलग समीकरणों का सबसे सरल प्रकार।

2) अंतर समीकरण को एकीकृत करना हमेशा संभव है? नहीं हमेशा। एक "छंटनी" समीकरण के साथ आना बहुत आसान है जिसे एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसके अलावा, अनगिनत इंटीग्रल हैं। लेकिन इस तरह के डू को विशेष तरीकों की मदद से लगभग हल किया जा सकता है। दावत और कौची गारंटी। ... उह, लुर्कमोर.रू डेवेचा ने पढ़ा है।

3) इस उदाहरण में, हमें एक आम अभिन्न के रूप में एक समाधान मिला । क्या यह सामान्य अभिन्न अंग से हमेशा एक सामान्य समाधान खोजने के लिए संभव है, यानी, "igarek" को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने के लिए? नहीं हमेशा। उदाहरण के लिए: । खैर, "igrek" कैसे व्यक्त करें?! ऐसे मामलों में, उत्तर एक आम अभिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, कभी-कभी आप एक सामान्य निर्णय पा सकते हैं, लेकिन यह इतना बोझिल और अनाड़ी लिखा गया है, जो एक सामान्य अभिन्न अंग के रूप में उत्तर छोड़ने के लिए बेहतर है

हम जल्दी नहीं करेंगे। एक और सरल डु और एक और नमूना निर्णय।

उदाहरण 2।

प्रारंभिक स्थिति को पूरा करने वाले एक अंतर समीकरण का एक निजी समाधान खोजें

इस शर्त के तहत आपको खोजने की जरूरत है निजी समाधान प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट न करें। इस सवाल को भी कहा जाता है कौची कार्य.

सबसे पहले हम एक सामान्य समाधान पाते हैं। समीकरण में कोई "एक्स" चर नहीं है, लेकिन इसे शर्मिंदा नहीं किया जाना चाहिए, मुख्य बात यह है कि इसमें पहला व्युत्पन्न है।

सही रूप में व्युत्पन्न को रिवाइंड करें:

जाहिर है, चर को विभाजित किया जा सकता है, लड़के - बाएं, लड़कियां - दाएं:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

आम अभिन्न प्राप्त किया जाता है। यहां मैंने अचानक तारांकन के साथ एक स्थिर चित्रित किया, तथ्य यह है कि यह जल्द ही एक और स्थिर में बदल जाएगा।

अब सामान्य समाधान (एक्सप्रेस "igrek" स्पष्ट रूप से कनवर्ट करने के लिए समग्र अभिन्न आज़माएं)। हमें पुरानी, \u200b\u200bदयालु, स्कूल याद है: । इस मामले में:

संकेतक में निरंतर किसी भी तरह से ध्यान देने योग्य दिखता है, इसलिए यह आमतौर पर स्वर्ग से पृथ्वी तक उतरता है। यदि विस्तार से, ऐसा होता है। डिग्री संपत्ति का उपयोग करके, फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखें:

यदि यह एक स्थिर है, तो - कुछ स्थिर भी, जिसे पत्र के माध्यम से दर्शाया गया है:

निरंतर विध्वंस को याद रखें, यह दूसरी तकनीकी तकनीक है, जिसे अक्सर अंतर समीकरणों को हल करने के दौरान उपयोग किया जाता है।

तो, सामान्य समाधान :. ऐसा घातीय कार्यों का एक सुंदर परिवार है।

अंतिम चरण में आपको एक निजी समाधान खोजने की आवश्यकता है जो निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थिति को पूरा करता है। यह भी आसान है।

कार्य क्या है? लेने की जरूरत है उस निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थिति के लिए निरंतर मूल्य।

आप अलग-अलग व्यवस्था कर सकते हैं, लेकिन शायद यह होगा, शायद, ऐसा होगा। सामान्य रूप से, "इक्सा" के बजाय समाधान हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, और "गेम" के बजाय दो:

अर्थात,

डिजाइन का मानक संस्करण:

सामान्य समाधान में, हम निरंतर मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:
- यह आपको आवश्यक विशेष निर्णय है।

एक चेक करें। एक निजी समाधान की जांच में दो चरण शामिल हैं।

सबसे पहले आपको जांच करने की आवश्यकता है, और क्या पाया गया विशेष समाधान प्रारंभिक स्थिति को पूरा करता है? "Iksa" के बजाय हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:
- हां, एक ड्यूस वास्तव में प्राप्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक स्थिति का प्रदर्शन किया जाता है।

दूसरा चरण पहले से ही परिचित है। हम प्राप्त निजी समाधान लेते हैं और एक व्युत्पन्न पाते हैं:

हम मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

- विश्वसनीय समानता प्राप्त की जाती है।

निष्कर्ष: निजी समाधान सही पाया।

अधिक सार्थक उदाहरणों पर जाएं।

उदाहरण 3।

विभेदक समीकरण हल करें

फेसला: हमारे द्वारा आवश्यक फॉर्म में व्युत्पन्न को फिर से लिखें:

हम अनुमान लगाते हैं कि चर को विभाजित करना संभव है या नहीं? कर सकते हैं। साइन के परिवर्तन के साथ हम दूसरी अवधि को दाईं ओर ले जाते हैं:

और अनुपात के नियम से गुणक फेंक दें:

दोनों भागों को एकीकृत करते हुए चर अलग हो जाते हैं:

चेतावनी देनी चाहिए, दिन आ रहा है। यदि आपने खराब सीखा है अनिश्चित अभिन्न, कुछ उदाहरण हैं, उनके पास कहीं भी नहीं है - आपको अब उन्हें मास्टर करना होगा।

बाईं ओर का अभिन्न अंग को ढूंढना आसान है, कोथान्से से अभिन्न अंग के साथ, हमें उस मानक तकनीक से निपटाया जाता है जिसे हमने सबक में माना जाता है त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करना पिछले साल:

दाएं हाथ की तरफ, हमने अपनी पहली तकनीकी सिफारिश के अनुसार लॉगरिदम निकला, इस मामले में स्थापन भी लॉगरिदम के तहत रिकॉर्ड किया जाना चाहिए।

अब हम समग्र अभिन्न को सरल बनाने की कोशिश करते हैं। चूंकि हमारे पास कुछ लॉगरिदम हैं, इसलिए इससे छुटकारा पाने के लिए यह काफी संभव है (और आवश्यक)। अधिकतम "पैक" Logarithms। पैकेजिंग तीन गुणों की मदद से किया जाता है:

फैलाने के दौरान, कृपया कार्यपुस्तिका में इन तीन सूत्रों को अपने आप को फिर से लिखें, वे अक्सर उपयोग किए जाते हैं।

समाधान बहुत विस्तृत में बीमार:

पैकेजिंग पूरा हो गया, लॉगरिदम हटाएं:

क्या यह "igrek" व्यक्त करना संभव है? कर सकते हैं। हमें दोनों भागों को वर्ग में बनाना चाहिए। लेकिन ऐसा करना जरूरी नहीं है।

तीसरी तकनीकी परिषद: यदि एक सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए आपको जड़ों को उठाने या निकालने की आवश्यकता है, तो ज्यादातर मामलों में आपको इन कार्यों से बचना चाहिए और एक सामान्य अभिन्न अंग के रूप में प्रतिक्रिया छोड़नी चाहिए। तथ्य यह है कि सामान्य निर्णय बहुत ही भयानक लगेगा - बड़ी जड़ों, संकेतों के साथ।

इसलिए, उत्तर एक सामान्य अभिन्न के रूप में लिखेंगे। एक अच्छा स्वर फॉर्म में एक आम अभिन्न प्रस्तुत करने के लिए माना जाता है, जो कि दाईं ओर, यदि संभव हो, तो केवल एक स्थिर छोड़ दें। ऐसा करना आवश्यक नहीं है, लेकिन प्रोफेसरों को खुश करने के लिए हमेशा फायदेमंद ;-)

उत्तर: सामान्य अभिन्न:

ध्यान दें: किसी भी समीकरण के समग्र अभिन्न अंग को एकमात्र तरीके से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, यदि आप एक पूर्व ज्ञात उत्तर के साथ मेल नहीं खाते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपने समीकरण को गलत तरीके से हल किया है।

सामान्य अभिन्न भी आसानी से जांच की जाती है, मुख्य बात यह है कि मुख्य बात यह है कि संक्षेप में निर्दिष्ट कार्य से डेरिवेटिव। उत्तर को अलग करना:

हम दोनों शर्तों को गुणा करते हैं:

और विभाजित करें:

प्रारंभिक विभेदक समीकरण बिल्कुल प्राप्त किया जाता है, इसका मतलब है कि आम अभिन्न सही ढंग से पाया जाता है।

उदाहरण 4।

प्रारंभिक स्थिति को पूरा करने वाले एक अलग समीकरण का एक निजी समाधान खोजें। जाँच करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। मैं आपको याद दिलाता हूं कि कौची के कार्य में दो चरण होते हैं:
1) एक सामान्य समाधान ढूँढना।
2) एक निजी समाधान ढूँढना।

चेक दो चरणों में भी किया जाता है (उदाहरण 2 का नमूना भी देखें), आपको इसकी आवश्यकता है:
1) सुनिश्चित करें कि पाया गया निजी समाधान वास्तव में प्रारंभिक स्थिति को पूरा करता है।
2) जांचें कि निजी समाधान सभी अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है।

सबक के अंत में पूरा समाधान और उत्तर।

उदाहरण 5।

अंतर समीकरण का एक निजी समाधान खोजें प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करना। जाँच करें।

फेसला:हम पहले एक सामान्य समाधान पाएंगे। समीकरण में पहले से ही तैयार भिन्नताएं हैं और इसका मतलब है कि समाधान सरलीकृत है। हम चर साझा करते हैं:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

इंटीग्रल बाएं - टैब्यूलर, अभिन्न राइट - ले लो अंतर के हस्ताक्षर के तहत एक समारोह को संक्षेप में:

सामान्य अभिन्न प्राप्त किया गया है कि क्या सामान्य समाधान सफलतापूर्वक व्यक्त करना असंभव है? कर सकते हैं। टेस्ट लॉगरिदम:

(मुझे उम्मीद है कि हर कोई परिवर्तन को समझता है, ऐसी चीजों को जानना होगा)

तो, सामान्य समाधान:

हमें एक निजी समाधान मिलेगा जो निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थिति को पूरा करता है। सामान्य रूप से, "इक्सा" के बजाय समाधान हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, और दोनों के "गेम" लॉगरिदम के बजाय:

अधिक परिचित डिजाइन:

हम सामान्य समाधान में स्थिर के पाए गए मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं।

उत्तर: निजी समाधान:

जांचें: सबसे पहले, जांचें कि प्रारंभिक स्थिति बनाई गई है या नहीं:
- सब कुछ अच्छा है।

अब जांचें, और क्या विशेष समाधान सामान्य रूप से विभेदक समीकरण संतोषजनक है। व्युत्पन्न खोजें:

हम प्रारंभिक समीकरण को देखते हैं: - यह अंतर में दर्शाया गया है। जांचने के दो तरीके हैं। आप पाए गए व्युत्पन्न से अंतर व्यक्त कर सकते हैं:

हम पाए गए निजी समाधान और मूल समीकरण में प्राप्त अंतर को प्रतिस्थापित करते हैं :

हम मुख्य लॉगरिदमिक पहचान का उपयोग करते हैं:

सही समानता प्राप्त की जाती है, इसका मतलब है कि निजी समाधान सही ढंग से पाया जाता है।

दर्पण की जांच करने का दूसरा तरीका और अधिक आदी है: समीकरण से व्युत्पन्न व्यक्त करें, इसके लिए हम सभी चीजों को विभाजित करते हैं:

और परिवर्तित डीयू में हम प्राप्त निजी समाधान और व्युत्पन्न के विकल्प को प्रतिस्थापित करते हैं। सरलीकरण के परिणामस्वरूप, यह भी समानता होना चाहिए।

उदाहरण 6।

विभेदक समीकरण हल करें। एक आम अभिन्न के रूप में प्रतिनिधित्व।

यह एक स्वतंत्र समाधान, सबक के अंत में एक पूर्ण समाधान और प्रतिक्रिया के लिए एक उदाहरण है।

चर को अलग करने के साथ अंतर समीकरणों को हल करते समय क्या कठिनाइयां झूठ बोलती हैं?

1) हमेशा स्पष्ट नहीं (विशेष रूप से, टीपोट) कि चर को विभाजित किया जा सकता है। एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें :. यहां आपको कोष्ठक के लिए गुणक बनाने की आवश्यकता है: और जड़ों को अलग करें :. आगे कैसे कार्य करें - समझने योग्य।

2) एकीकरण में कठिनाइयों ही। इंटीग्रल अक्सर सबसे सरल नहीं होते हैं, और यदि खोजने के कौशल में त्रुटियां होती हैं अनिश्चित अभिन्न, कई विसारक के साथ तंग करना होगा। इसके अलावा, संग्रह और विधियों की संकलन "एक अलग समीकरण सरल होने के बाद लोकप्रिय है, फिर इंटीग्रल को अधिक जटिल होने दें।"

3) निरंतर के साथ रूपांतरण। जैसा कि सभी ने नोट किया, अलग-अलग समीकरणों में निरंतरता के साथ आप लगभग जो भी कर सकते हैं। और हमेशा ऐसे परिवर्तन एक नवागंतुक को स्पष्ट नहीं करते हैं। एक और सशर्त उदाहरण पर विचार करें: । सभी शर्तों को गुणा करने की सलाह दी जाती है 2: । परिणामी स्थिर भी कुछ स्थिर है जिसे दर्शाया जा सकता है: । हां, और चूंकि लॉगरिदम जल्द ही सही है, तो एक और स्थिर के रूप में निरंतर फिर से लिखने की सलाह दी जाती है: .

दुर्भाग्य यह है कि यह अक्सर सूचकांक से ऊब नहीं होता है, और उसी पत्र का उपयोग करता है। और नतीजतन, निर्णय की रिकॉर्डिंग निम्न फ़ॉर्म लेती है:

किस प्रकार का कूड़ा? तुरंत गलतियाँ। औपचारिक रूप से हाँ। और अनौपचारिक रूप से - कोई त्रुटि नहीं, यह समझा जाता है कि एक स्थिर रूपांतरित करते समय अभी भी कुछ अन्य निरंतरता को बदल देता है।

या ऐसा उदाहरण, मान लें कि समीकरण के समाधान के दौरान, एक आम अभिन्न प्राप्त किया गया था। ऐसा कोई जवाब बदसूरत दिखता है, इसलिए सभी गुणक से संकेतों को बदलने की सलाह दी जाती है: । औपचारिक रूप से, यहां रिकॉर्ड पर, एक त्रुटि दर्ज की जानी चाहिए। लेकिन यह अनौपचारिक रूप से निहित है - यह अभी भी कुछ अन्य निरंतर है (यह अधिक है इसलिए यह कोई अर्थ ले सकता है), इसलिए संकेत के संकेत में परिवर्तन कोई समझ नहीं आता है और एक ही अक्षर का उपयोग किया जा सकता है।

मैं एक लापरवाह दृष्टिकोण से बचने की कोशिश करूंगा, और फिर भी उन्हें परिवर्तित करते समय स्थिरांक से अलग-अलग सूचकांक लगाएंगे।

उदाहरण 7।

विभेदक समीकरण हल करें। जाँच करें।

फेसला: यह समीकरण चर को अलग करने की अनुमति देता है। हम चर साझा करते हैं:

हम एकीकृत करते हैं:

लॉगरिदम के तहत निर्धारित करने के लिए यहां निरंतर आवश्यक नहीं है, क्योंकि इससे कुछ भी संभव नहीं है।

उत्तर: सामान्य अभिन्न:

जाँच करें: उत्तर को अलग करना (निहित समारोह):

हम अंशों से छुटकारा पा लेते हैं, इसके लिए हम दोनों शर्तों को गुणा करते हैं:

प्रारंभिक विभेदक समीकरण प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि सामान्य अभिन्न सही ढंग से पाया जाता है।

उदाहरण 8।

डु का एक निजी निर्णय खोजें।
,

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। यहां एकमात्र टिप्पणी एक आम अभिन्न है, और, अधिक सही ढंग से, आपको एक विशेष निर्णय ढूंढना होगा, लेकिन निजी अभिन्न। सबक के अंत में पूरा समाधान और उत्तर।

जैसा कि उल्लेख किया गया है, अलग-अलग चर के साथ विसारक में, सरल इंटीग्रल अक्सर पहचाने जाते हैं। और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए ऐसे कुछ उदाहरण हैं। मैं तैयारी के स्तर के बावजूद सभी को 9-10 के उदाहरणों को तोड़ने की सलाह देते हैं, इससे इंटीग्रल खोजने या ज्ञान में अंतर को भरने के कौशल को वास्तविक बनाना संभव हो जाएगा।

उदाहरण 9।

विभेदक समीकरण हल करें

उदाहरण 10।

विभेदक समीकरण हल करें

याद रखें कि आम अभिन्न को एकमात्र तरीके से लिखा नहीं जा सकता है, और आपके उत्तरों की उपस्थिति मेरे उत्तरों की उपस्थिति से भिन्न हो सकती है। सबक के अंत में समाधान और उत्तरों का एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम।

सफल पदोन्नति!

उदाहरण 4:फेसला: एक सामान्य समाधान खोजें। हम चर साझा करते हैं:

हम एकीकृत करते हैं:

आम अभिन्न प्राप्त किया जाता है, इसे सरल बनाने की कोशिश कर रहा है। हम लॉगरिदम पैक करते हैं और उनसे छुटकारा पा सकते हैं:

इसे एक अभिन्न को खोजने की आवश्यकता हो

जहां एकीकृतता निरंतर हैं। प्रतिस्थापन
, प्राप्त

परिणामी सूत्र एक अंतर संकेत को संक्षेप में रखने की विधि को रेखांकित करता है। आइए हम इस विधि को इंटीग्रल की गणना के उदाहरणों पर दिखाएं।

उदाहरण के लिए।

अभिन्न खोजें एस:

निरूपित
, तब फिर

इसलिये

निरूपित
, फिर अभिन्न दृश्य लेंगे

उपरोक्त संकेतित इंटीग्रल में किए गए इंटीग्रेंट्स को कनवर्ट करना अलग-अलग संकेत का सारांश कहा जाता है।

तो: यदि इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को इस फ़ंक्शन से कुछ फ़ंक्शन और व्युत्पन्न के उत्पाद के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, या इस फ़ंक्शन के मध्यवर्ती तर्क से, फिर, सबमिशन द्वारा, अंतर चिह्न के व्युत्पन्न, अभिन्न गणना सीधे की जाती है।

भागों में एकीकरण।

भागों में एकीकरण सूत्र का रूप है

फॉर्मूला की निष्पक्षता इस तथ्य से बहती है कि

हमारे द्वारा प्राप्त दोनों भागों को एकीकृत करना

से

एकीकरण एकीकरण सूत्र अभिन्न गणना को कम करता है
अभिन्न की गणना के लिए
। भागों में एकीकरण विधि का उपयोग तब किया जाता है जब इंटीग्रैंड दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है, कार्यों में से एक के व्युत्पन्न के साथ, सबसे निर्दिष्ट फ़ंक्शन के लिए आसान होता है।

उदाहरण के लिए:

मानना
तथा

फिर
तथा

इसलिये

मानना
तथा

तब फिर
तथा

इसलिये

दो बार भागों में एकीकरण सूत्र लागू करें

पहले रखो
तथा

तब फिर
तथा

प्राप्त किए गए अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करना होगा

अगला, हम मानते हैं
तथा

तब फिर
तथा

मानना
तथा

तब फिर
तथा

इसलिये

सही भाग में अभिन्न अंग के लिए, फिर भागों में एकीकरण सूत्र लागू करें

मानना
तथा

तब फिर
तथा

सूत्र में पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करना, हमारे पास होगा

इस प्रकार, हम स्रोत अभिन्न के संबंध में एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त करते हैं

से

स्क्वायर थ्री वाले कुछ कार्यों से इंटीग्रल

दृश्य के इंटीग्रल पर विचार करें

एक वर्ग ट्रिपल युक्त इंटीग्रल की गणना करने के लिए, निम्नानुसार लागू किया जाता है:

1. संप्रदाय में खड़े तीन-शटर के पूर्ण वर्ग को भरें 2. निरूपित करें

3. अभिन्न तालिका पर सीधे सूत्रों (12) - (16) के साथ इंटीग्रल बनाएं

उदाहरण के लिए:

दृश्य के इंटीग्रल पर विचार करें

Denominator में एक वर्ग तीन-टुकड़े युक्त इंटीग्रल की गणना करने के लिए, और निम्नलिखित परिवर्तन ट्विन-डिग्री संख्या में उपयोग किए जाते हैं:

1. Biccins के संख्यात्मक में, एक वर्ग के एक व्युत्पन्न का एक व्युत्पन्न संप्रदाय में खड़े तीन decar प्रतिष्ठित है

इस प्रकार प्राप्त अभिन्न दो इंटीग्रल के योग के रूप में होता है, जिनमें से पहला विभेदक संकेत पर जमा करने की विधि से गणना की जाती है; इस पैराग्राफ की शुरुआत में दूसरा तरीका

उदाहरण के लिए:

तर्कसंगत कार्यों को एकीकृत करना

उच्चतम बीजगणित से यह ज्ञात है कि किसी भी तर्कसंगत कार्य को तर्कसंगत अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, यानी, दो बहुपदों के संबंध हैं

सही यदि संख्या में खड़े बहुपद की डिग्री बैनर बॉडी में बहुपद की डिग्री से कम है

तर्कसंगत अंश कहा जाता है गलत यदि संख्यात्मक में बहुपद खड़े होने की डिग्री denominator में बहुपद की डिग्री से अधिक या बराबर है

यदि अंश गलत है, तो बहुपद के नियम के अनुसार संख्यात्मक को संख्यात्मक में विभाजित करना, इस अंश को बहुपद और सही अंश की मात्रा के रूप में सबमिट करना संभव है।

यहाँ
- बहुपद, उचित अंश

चूंकि बहुपदों का एकीकरण सीधे किया जाता है और भविष्य में कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है, भविष्य में तर्कसंगत कार्यों के एकीकरण के बारे में हमारे सभी तर्क सही तर्कसंगत अंशों से संबंधित होंगे।

फॉर्म के सही अंश:

सबसे सरल अंश कहा जाता है।

सबसे सरल अंशों I, II, iiitips को एकीकृत करने के लिए, हमें पहले ही पहले माना जा चुका है।

प्रमेय

यदि गुणक पर सही तर्कसंगत अंश का decompinator विघटित है:

फिर अंश सबसे सरल अंशों के योग के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है

गुणांक निर्धारित करने के लिए
अनिश्चित गुणांक की विधि लागू करें। विधि का सार निम्नानुसार है:

तर्कसंगत अंश के अपघटन के दाहिने भाग में सबसे सरल अंश एक आम denominator के लिए नेतृत्व करते हैं जो बहुपद है
, जिसके बाद denominator
समानता के बाएं और दाएं भागों में, बाहर फेंकना। हम पहचान प्राप्त करते हैं, बाएं हिस्से में जिसमें एक बहुपद है
, और सही बहुपद में अनिश्चित गुणांक युक्त
। पहचान के बाएं और दाएं भागों में अभिव्यक्तियों में समान डिग्री वाले गुणांक को समान रूप से, हम वांछित गुणांक पर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं
.

उदाहरण के लिए:

अभिन्न खोजें

इस मामले में एकीकृत समारोह एक अनियमित अंश है। इसलिए, पहले इसे बहुपद और उचित अंश की मात्रा के रूप में पेश करें। ऐसा करने के लिए, बहुपद विभाजित करें
बहुपद पर: