उदाहरण (बीजगणितीय समीकरण की जड़ों की संख्या)

1) एक्स। 2 – 4एक्स। + 5 \u003d 0 - दूसरी डिग्री (वर्ग समीकरण) का बीजगणितीय समीकरण 
2।
\u003d 2। मैं। - दो जड़ें;

2) एक्स। 3 + 1 \u003d 0 - तीसरी डिग्री के बीजगणितीय समीकरण (bicked समीकरण) 

;

3) पी 3 (एक्स।) = एक्स। 3 + एक्स। 2 – एक्स। - 1 \u003d 0 - तीसरी डिग्री के बीजगणितीय समीकरण;

संख्या एक्स। 1 \u003d 1 इसकी जड़ है, तब से पी 3 (1) 0, तो प्रमेय द्वारा बिना
; हम बहुपद को विभाजित करते हैं पी 3 (एक्स।) बाउंसर पर ( एक्स। - 1) "कॉलम में":

एक्स। 2 + 2एक्स। +1

स्रोत समीकरण पी 3 (एक्स।) = एक्स। 3 + एक्स। 2 – एक्स। – 1 = 0  (एक्स। – 1)(एक्स। 2 + 2एक्स। + 1) = 0  (एक्स। – 1)(एक्स। + 1) 2 = 0  एक्स। 1 \u003d 1 - सरल जड़, एक्स। 2 \u003d -1 - दो गुना रूट।

संपत्ति 2 (वैध गुणांक के साथ एक बीजगणितीय समीकरण की जटिल जड़ों पर)

यदि वैध गुणांक के साथ बीजगणितीय समीकरण में जटिल जड़ें होती हैं, तो इन जड़ों को हमेशा व्यापक रूप से संयुग्मित किया जाता है, यानी, यदि संख्या है यह समीकरण की जड़ है , तब फिर इस समीकरण की जड़ भी है।

 साबित करने के लिए, व्यापक इंटरफ़ेस ऑपरेशन के परिभाषा और निम्नलिखित आसानी से सत्यापित गुणों का उपयोग करें:

यदि एक
टी
और वैधता समानता:

,
,
,
,

यदि एक
- एक वैध संख्या, फिर
.

जैसा
यह समीकरण की जड़ है
टी

कहा पे
- वास्तविक संख्या जब
.

अंतिम समानता के दोनों हिस्सों से संयुग्मन लें और इंटरफ़ेस ऑपरेशन के सूचीबद्ध गुणों का उपयोग करें:

, वह है, संख्या
समीकरण को भी संतुष्ट करता है
इसलिए उसकी जड़ है

उदाहरण (जटिल जड़ें बीजगणित। मान्य गुणांक के साथ समीकरण।)

वैध गुणांक के साथ बीजगणितीय समीकरण की जटिल जड़ों की एक जोड़ी की सिद्ध संपत्ति के परिणामस्वरूप, बहुपदों की एक और संपत्ति प्राप्त की जाती है।

 हम अपघटन (6) बहुपद से आगे बढ़ेंगे
रैखिक गुणक पर:

संख्या एक्स। 0 = ए। + द्वि - बहुपद की जटिल जड़ पी एन (एक्स।), यानी, यह संख्याओं में से एक है
। यदि इस बहुपद के सभी गुणांक वैध संख्या हैं, तो संख्या
इसकी जड़ भी है, यानी संख्याओं के बीच
एक संख्या भी है
.

हम बाउंसर के काम की गणना करते हैं
:

यह चौकोर तीन चरणों का पता चला मान्य गुणांक के साथ।

इस प्रकार, फॉर्मूला (6) में व्यापक रूप से संयुग्मित जड़ों के साथ बीकसिन की किसी भी जोड़ी मान्य गुणांक के साथ एक वर्ग तीन कमी की ओर ले जाती है। 

उदाहरण (मान्य गुणांक वाले कारकों के लिए बहुपदों का अपघटन।)

1) पी 3 (एक्स।) = एक्स। 3 + 1 = (एक्स। + 1)(एक्स। 2 – एक्स। + 1);

2) पी 4 (एक्स।) = एक्स। 4 – एक्स। 3 + 4एक्स। 2 – 4एक्स। = एक्स।(एक्स। –1)(एक्स। 2 + 4).

संपत्ति 3 (वैध पूरे गुणांक के साथ एक बीजगणितीय समीकरण की पूर्णांक और तर्कसंगत जड़ों के बारे में)

बीजगणितीय समीकरण दिए जाने दें , सभी गुणांक जो वैध पूर्णांक हैं,

1। एक पूर्णांक देना यह समीकरण की जड़ है

एक पूरे चिस्लो के रूप में
पूरे नंबर द्वारा प्रस्तुत किया गया और उस पर एक पूर्णांक मूल्य है।

2. बीजगणितीय समीकरण दें
यह एक तर्कसंगत जड़ है

, इसके अलावा, संख्याएं पी तथा प्रपारस्परिक रूप से सरल हैं

.

यह पहचान दो संस्करणों में दर्ज की जा सकती है:

रिकॉर्डिंग के पहले संस्करण से यह निम्नानुसार है
, और दूसरे से - वह
चूंकि संख्या पी तथा प्रपारस्परिक रूप से सरल हैं

उदाहरण (पूर्णांक गुणांक के साथ बीजगणितीय समीकरण की पूरी या तर्कसंगत जड़ों का चयन)

आदि। यह सामान्य शिक्षा है और उच्च गणित के पूरे पाठ्यक्रम के अध्ययन के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। आज हम "स्कूल" समीकरणों को दोहराते हैं, लेकिन सिर्फ "स्कूल" नहीं - और उनमें से जो हर जगह हैं, इस मुद्दे के विभिन्न कार्यों में पाए जाते हैं। हमेशा की तरह, कथा लागू कुंजी पर जाएगी, यानी। मैं परिभाषाओं, वर्गीकरणों पर ध्यान केंद्रित नहीं करूंगा, और मैं आपके साथ निर्णय के व्यक्तिगत अनुभव को साझा करूंगा। जानकारी मुख्य रूप से शुरुआती लोगों के लिए है, लेकिन अधिक प्रशिक्षित पाठकों को भी अपने लिए कई दिलचस्प क्षण मिलेंगे। और, ज़ाहिर है, एक नई सामग्री होगी जो माध्यमिक विद्यालय से परे जाती है।

तो समीकरण .... बहुत से shudders इस शब्द को याद करते हैं। जड़ों के साथ "मुश्किल" समीकरण क्या हैं ... ... उनके बारे में भूल जाओ! क्योंकि आगे आप इस प्रजाति के सबसे हानिकारक "प्रतिनिधियों" से मिलेंगे। या समाधान विधियों के दर्जनों के साथ बोर त्रिकोणमितीय समीकरण। ईमानदार होने के लिए, मैंने खुद को वास्तव में प्यार नहीं किया .... आतंक के बिना! - अगला आप मुख्य रूप से 1-2 चरणों के स्पष्ट समाधान के साथ "डंडेलियंस" की उम्मीद कर रहे हैं। हालांकि "Reurenik" निश्चित रूप से clinging है - यहां आपको उद्देश्य होना चाहिए।

विचित्र रूप से पर्याप्त, उच्च गणित में यह अक्सर बहुत ही आदिम समीकरणों से निपटता है जैसे रैखिक समीकरण।

इस समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब है - ऐसे "एक्स" मूल्य (रूट) को खोजने के लिए, जो इसे वफादार समानता में बदल देता है। हम "Troika" को सीधे साइन की शिफ्ट के साथ स्थानांतरित कर देंगे:

और दाएं तरफ "deuce" रीसेट करें (या, वही - दोनों भागों को गुणा करें) :

जांच करने के लिए, हम विजय ट्रॉफी को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:

सही समानता प्राप्त की जाती है, जिसका अर्थ है कि मूल्य वास्तव में इस समीकरण की जड़ है। या, जैसा कि वे कहते हैं, इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

कृपया ध्यान दें कि रूट को दशमलव अंश के रूप में दर्ज किया जा सकता है:
और इस बुरी शैली से चिपकने की कोशिश मत करो! कारण मैंने बार-बार दोहराया, विशेष रूप से, पहले पाठ में उच्च बीजगणित.

वैसे, समीकरण हल किया जा सकता है और "अरबी में":

और सबसे दिलचस्प बात क्या है - यह प्रविष्टि पूरी तरह से कानूनी है! लेकिन यदि आप शिक्षक नहीं हैं, तो ऐसा नहीं करना बेहतर है, क्योंकि मौलिकता यहां दंडनीय है \u003d)

और अब थोड़ा के बारे में

ग्राफिक समाधान समाधान

समीकरण में उपस्थिति और इसकी जड़ है - वहां "Iksova" समन्वय चौराहे का बिंदु रैखिक समारोह के ग्राफिक्स रैखिक समारोह अनुसूची के साथ (Abscissa अक्ष):

ऐसा लगता है कि एक उदाहरण इतना प्राथमिक है कि यहां कुछ और प्राथमिक नहीं है, हालांकि, एक और अप्रत्याशित नक्षस को "निचोड़ना" संभव है: फॉर्म में समान समीकरण की कल्पना करने और कार्यों के ग्राफ का निर्माण करने के लिए:

जिसमें, कृपया दो अवधारणाओं को भ्रमित न करें।: समीकरण एक समीकरण है, और समारोह - यह एक विशेषता है! कार्यों केवल मदद समीकरण की जड़ें पाएं। कोई दो, तीन, चार और यहां तक \u200b\u200bकि असीम रूप से बहुत कुछ हो सकता है। इस अर्थ में निकटतम उदाहरण सभी को ज्ञात है द्विघात समीकरण, जिसके समाधान के एल्गोरिदम को एक अलग अनुच्छेद से सम्मानित किया गया था "हॉट" स्कूल सूत्र। और यह मौका से नहीं है! यदि आप जानते हैं कि एक वर्ग समीकरण को कैसे हल किया जाए और जानें पाइथागोरा के प्रमेय, फिर, आप कह सकते हैं, "उच्चतम गणित की मंजिल पहले से ही अपनी जेब में है" \u003d) अतिरंजित, निश्चित रूप से, लेकिन सच्चाई से अब तक नहीं!

और इसलिए वे आलसी नहीं होंगे और कुछ वर्ग समीकरण को फिर से चालू करेंगे मानक एल्गोरिथ्म:

इसका मतलब है कि समीकरण में दो अलग हैं वैध रूट:

यह सुनिश्चित करना आसान है कि दोनों मान वास्तव में इस समीकरण को संतुष्ट कर रहे हैं:

क्या होगा यदि आप अचानक समाधान एल्गोरिदम भूल गए हैं, और हाथ में कोई धन / हाथ नहीं है? यह स्थिति हो सकती है, उदाहरण के लिए, परीक्षण या परीक्षा में। ग्राफिक विधि का उपयोग करें! और दो तरीके हैं: आप कर सकते हैं बंद करना परवलय , इस प्रकार यह पता लगाता है कि यह एक्सिस को पार करता है (यदि आम तौर पर पार हो जाता है)। लेकिन चालाक करना बेहतर है: फॉर्म में एक समीकरण की कल्पना करें, सरल कार्यों के शेड्यूल खींचें - और "Ics" निर्देशांक हथेली के रूप में चौराहे के उनके अंक!


यदि यह पता चला है कि प्रत्यक्ष पैराबोला के बारे में है, समीकरण में दो संबद्ध (एकाधिक) रूट हैं। यदि यह पता चला है कि प्रत्यक्ष पैराबोला पार नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

इसके लिए, निश्चित रूप से, आपको निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए प्राथमिक कार्यों के चार्टलेकिन दूसरी तरफ, ये कौशल भी एक स्कूलबॉय हैं।

और फिर - समीकरण समीकरण है, और कार्य कार्य होते हैं बस मदद की समीकरण हल करें!

और यहां, वैसे, यह एक और चीज़ याद रखना उचित होगा: यदि समीकरण के सभी गुणांक एक गैर-शून्य संख्या से गुणा कर रहे हैं, तो इसकी जड़ें नहीं बदलेगी.

तो, उदाहरण के लिए, समीकरण इसकी एक ही जड़ है। सबसे सरल "सबूत" के रूप में मैं कोष्ठक के लिए एक स्थिर जमा करता हूं:
और दर्द रहित इसे हटा दें (मैं दोनों भागों को "माइनस टू" पर साझा करता हूं):

लेकिन अ! अगर हम समारोह पर विचार करते हैं , तो निरंतर छुटकारा पाने के लिए असंभव है! ब्रैकेट के लिए गुणक बनाने के अलावा, यह अनुमत है: .

कई ग्राफिकल निर्णय विधि को कम आंकते हैं, इसे "असुरक्षित" के साथ विचार करते हुए, और कुछ ऐसे अवसर के बारे में भूल जाते हैं। और यह जड़ में गलत है, क्योंकि ग्राफ का निर्माण कभी-कभी स्थिति बचाता है!

एक और उदाहरण: मान लीजिए कि आपको सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों को याद नहीं है :. सामान्य सूत्र स्कूल पाठ्यपुस्तकों में है, प्राथमिक गणित पर सभी संदर्भ पुस्तकों में, लेकिन वे आपके लिए उपलब्ध नहीं हैं। हालांकि, समीकरण को हल करना महत्वपूर्ण है (अन्यथा "दो")। एक निकास है! - निर्माण विशेषताएं:


उसके बाद, हम अपने चौराहे बिंदुओं के "आईसीएस" निर्देशांक को शांत रूप से लिखते हैं:

जड़ें असीम रूप से बहुत अधिक हैं और बीजगणित में उनका मुड़ रिकॉर्ड अपनाया जाता है:
कहां है ( – कई पूर्णांक) .

और, "नकद रजिस्टर से प्रस्थान" नहीं, एक चर के साथ असमानताओं को हल करने की ग्राफिकल विधि के बारे में कुछ शब्द। सिद्धांत वही है। तो, उदाहरण के लिए, असमानता का समाधान कोई भी "एक्स" है, क्योंकि साइनसॉइड लगभग पूरी तरह से एक सीधी रेखा में निहित है। असमानता का समाधान अंतराल की बहुलता है, जिस पर साइनसॉइड साइनसॉइड प्रत्यक्ष रूप से सीधे ऊपर स्थित है (Abscissa अक्ष):

या, यदि छोटा है:

लेकिन असमानता के कई समाधान - खालीक्योंकि साइनसॉइड का कोई बिंदु सीधे ऊपर नहीं है।

क्या कुछ स्पष्ट नहीं है? तत्काल पाठ के बारे में खड़ा था सेट तथा कार्यों के चार्ट!

हम गर्म:

अभ्यास 1

ग्राफिक रूप से निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें:

पाठ के अंत में उत्तर

जैसा कि आप देख सकते हैं, सटीक विज्ञान का अध्ययन करने के लिए सूत्रों और निर्देशिकाओं को तेज करना आवश्यक नहीं है! और इसके अलावा, यह मूल रूप से दुष्चक्र है।

जैसा कि मैंने आपको पहले ही पाठ की शुरुआत में प्रोत्साहित किया है, उच्च गणित के मानक पाठ्यक्रम में जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को शायद ही कभी हल किया जाना चाहिए। सभी जटिलता, एक नियम के रूप में, समीकरणों के साथ समाप्त होता है, जिसका समाधान सबसे सरल समीकरणों से उत्पन्न जड़ों के दो समूह होते हैं और । उत्तरार्द्ध के निर्णय के साथ, चिंता न करें, पुस्तक में देखें या इंटरनेट पर खोजें \u003d)

ग्राफिकल समाधान विधि कम मामूली मामलों में मदद और कर सकती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित "अलग" समीकरण पर विचार करें:

अपने निर्णय के लिए संभावनाएं ... वे बिल्कुल नहीं देखते हैं, लेकिन यह केवल रूप में एक समीकरण प्रस्तुत करने के लिए मूल्यवान है कार्य ग्राफिक्स और सब कुछ अविश्वसनीय रूप से आसान होगा। चित्र लेख के बीच में है असीम रूप से छोटी विशेषताएं (अगले टैब पर खुलता है).

एक ही ग्राफिक विधि एक यह पता लगा सकती है कि समीकरण पहले से ही दो जड़ें हैं, और उनमें से एक शून्य है, और दूसरा, स्पष्ट रूप से, भयानक और खंड से संबंधित है। इस जड़ की गणना लगभग की जा सकती है, उदाहरण के लिए, टेंगेंशियल द्वारा। वैसे, कुछ कार्यों में, ऐसा होता है, आपको जड़ों को खोजने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन पता लगाने के लिए क्या वे सामान्य हैं। और यहां भी, ड्राइंग भी मदद कर सकता है - यदि ग्राफ छेड़छाड़ नहीं करते हैं, तो कोई जड़ें नहीं हैं।

पूरे गुणांक के साथ बहुपद की तर्कसंगत जड़ें।
गोरनर योजना

और अब मेरा सुझाव है कि आप अपने नज़र को मध्य युग में लपेटें और शास्त्रीय बीजगणित के अद्वितीय वातावरण को महसूस करें। सामग्री की बेहतर समझ के लिए, मैं कम से कम थोड़ा परिचित हूं जटिल आंकड़े.

वे सबसे अधिक हैं। बहुपद।

हमारी रुचि का उद्देश्य सबसे आम बहुपद होगा पूर्णांक गुणांक। प्राकृतिक संख्या कहा जाता है बहुपद की डिग्री, संख्या एक उच्च डिग्री के साथ गुणांक है (या सिर्फ एक वरिष्ठ गुणांक)और गुणांक - स्वतंत्र सदस्य.

इस बहुपद को मैं नामित करने के लिए तब्दील हो जाएगा।

बहुपद की जड़ें कहा जाता है रूट्स समीकरण

मुझे लोहे का तर्क पसंद है \u003d)

उदाहरण के लिए, हम लेख की शुरुआत में जाते हैं:

पहली और दूसरी डिग्री के बहुपदों की जड़ों की खोज के साथ कोई समस्या नहीं है, लेकिन चूंकि यह कार्य बढ़ता है, यह अधिक से अधिक कठिन हो रहा है। हालांकि दूसरी तरफ - अधिक से अधिक दिलचस्प! और यह सबक के दूसरे भाग के लिए समर्पित होगा।

सबसे पहले, सचमुच सिद्धांत स्क्रीन की मंजिल:

1) जांच के अनुसार बीजगणित का मुख्य प्रमेय, डिग्री बिल्कुल है व्यापक जड़ें। कुछ जड़ों (या यहां तक \u200b\u200bकि सब कुछ) विशेष रूप से हो सकता है वैध। उसी समय, वैध जड़ों के बीच, वही (एकाधिक) जड़ें मिल सकती हैं (न्यूनतम दो, अधिकतम टुकड़े).

यदि कुछ जटिल संख्या बहुपद की जड़ है, तो संयुग्म वह संख्या है - यह भी आवश्यक रूप से इस बहुपद की जड़ (संयुक्त जटिल जड़ों में एक दृश्य है).

सबसे सरल उदाहरण एक वर्ग समीकरण है जो पहले b8 से मिले (पसंद) कक्षा, और जिसे हम अंत में इस विषय में "समाप्त" करते हैं जटिल आंकड़े। मैं आपको याद दिलाता हूं: स्क्वायर समीकरण में या तो दो अलग-अलग वैध जड़ें, या एकाधिक जड़ें हैं, या कॉम्प्लेक्स जड़ों को संयोजित किया जाता है।

2) से theorems Bezu यह इस प्रकार है कि यदि संख्या समीकरण की जड़ है, तो इसी बहुपद को गुणक पर विघटित किया जा सकता है:
जहां - एक बहुपद डिग्री।

और फिर, हमारा पुराना उदाहरण: क्योंकि - समीकरण की जड़, फिर। इसके बाद एक अच्छा परिचित "स्कूल" अपघटन करना मुश्किल नहीं है।

मेटनेस प्रमेय के परिणाम का एक बड़ा व्यावहारिक मूल्य है: यदि हम तीसरे डिग्री समीकरण की जड़ जानते हैं, तो हम इसे प्रस्तुत कर सकते हैं और वर्ग समीकरण से बाकी जड़ों को ढूंढना आसान है। अगर हम 4 वें डिग्री समीकरण की जड़ जानते हैं, तो यह है कि बाएं हिस्से को काम में विघटित करने की क्षमता इत्यादि।

और यहां सवाल दो है:

पहले प्रश्न। यह बहुत रूट कैसे खोजें? सबसे पहले, चलो अपनी प्रकृति के साथ निर्णय लेते हैं: उच्च गणित की कई चुनौतियों में यह खोजना आवश्यक है युक्तिसंगत, विशेष रूप से पूरा का पूराबहुपदों की जड़ें, और इस संबंध में आगे हमें मुख्य रूप से रुचि होगी .... ... वे इतने अच्छे हैं, ऐसे शराबी, कि वे सही हैं और मैं खोजना चाहता हूं! \u003d)

सबसे पहले जो सुझाव देता है वह चयन विधि है। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें। नि: शुल्क सदस्य में स्नैग - कि अगर वह शून्य वर्ष का था, तो सबकुछ ओकरा में होगा - हम कोष्ठक के लिए "एक्स" सहन करते हैं और जड़ें सतह पर "बाहर निकलती हैं":

लेकिन हमारा नि: शुल्क सदस्य "ट्रोका" के बराबर है, और इसलिए हम "रूट" शीर्षक का दावा करते हुए समीकरण में विभिन्न संख्याओं को प्रतिस्थापित करना शुरू करते हैं। सबसे पहले, एकल मानों का प्रतिस्थापन। विकल्प:

प्राप्त किया था अमान्य समानता, इसलिए, इकाई "फिट नहीं हुई"। खैर, ठीक है, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

प्राप्त किया था वफादार समानता! यही है, मूल्य इस समीकरण की जड़ है।

बहुपद 3 डिग्री की जड़ों को खोजने के लिए विश्लेषणात्मक विधि मौजूद है (तथाकथित कार्डानो सूत्र)लेकिन अब हम कुछ हद तक अलग काम में रुचि रखते हैं।

चूंकि - हमारे बहुपद की जड़ है, फिर बहुपद के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है और उत्पन्न होता है दूसरा सवाल: "जूनियर फेलो" कैसे खोजें?

सबसे सरल बीजगणितीय विचार बताते हैं कि इसके लिए विभाजित करना आवश्यक है। बहुपद को बहुपद कैसे विभाजित करें? एक ही स्कूल विधि, जो सामान्य संख्या साझा करें - "चरण"! मैंने पाठ के पहले उदाहरणों में इस विधि को अलग किया। कठिन सीमाएं, और अब हम एक और तरीका देखेंगे जो एक नाम मिला गोरनर योजना.

सबसे पहले, "वरिष्ठ" बहुपद लिखें सभी के साथ , शून्य गुणांक सहित:
, जिसके बाद यह तालिका की शीर्ष पंक्ति में इन गुणांक (सख्ती से क्रम में) लाएगा:

बाईं ओर रूट रिकॉर्ड:

तुरंत एक आरक्षण करें कि गोरनेर योजना काम करती है और इस घटना में "लाल" संख्या नहीं यह बहुपद की जड़ है। हालांकि, हम घटनाओं को नहीं बढ़ाएंगे।

वरिष्ठ गुणांक के शीर्ष पर वाक्य:

निचली कोशिकाओं को भरने की प्रक्रिया कढ़ाई की तरह है, जहां "माइनस वन" एक प्रकार की "सुई" है, जो अगले चरणों में प्रवेश करती है। "ध्वस्त" संख्या (-1) द्वारा गुणा किया जाता है और ऊपरी सेल से एक संख्या जोड़ता है:

पाया गया मूल्य "लाल सुई" द्वारा गुणा किया जाता है और कार्य के लिए समीकरण के निम्नलिखित गुणांक को जोड़ता है:

और अंत में, मूल्य "सुई" और ऊपरी गुणांक को फिर से "प्रक्रिया" प्राप्त हुआ:

अंतिम सेल में शून्य हमें बताता है कि बहुपद में विभाजित किया गया था अवशेष के बिना (यह कैसा होना चाहिए)साथ ही, अपघटन गुणांक सीधे तालिका की निचली पंक्ति से "हटाए गए" हैं:

इस प्रकार, समीकरण से, हमने एक समकक्ष समीकरण में स्विच किया और दो शेष जड़ों के साथ सब कुछ स्पष्ट है (इस मामले में, संयुग्मित जटिल जड़ें प्राप्त की जाती हैं).

वैसे, समीकरण हल किया जा सकता है और ग्राफिक रूप से: बिल्ड "आकाशीय बिजली" और देखें कि अनुसूची ABSCISSA अक्ष को पार करती है () बिंदु पर। या वही "चालाक" रिसेप्शन - फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखें, ब्लैकस्मिथ प्राथमिक ग्राफिक्स और उनके चौराहे बिंदुओं के "ऑस्कस" समन्वय का पता लगाएं।

वैसे, तीसरी डिग्री के किसी भी समारोह-बहुपद का ग्राफ कम से कम एक बार धुरी को पार करता है, जिसका अर्थ है कि इसी समीकरण में है कम से कम एक वैध जड़। यह तथ्य विषम के किसी भी समारोह-बहुपद के लिए मान्य है।

और फिर मैं रहना चाहता हूं एक महत्वपूर्ण क्षणकौन सी चिंताएँ शब्दावली: बहुपद तथा मल्टीकून समारोह – यह समान नहीं है! लेकिन व्यावहारिक रूप से, इसे अक्सर कहा जाता है, उदाहरण के लिए, "बहुपद के ग्राफिक्स" के बारे में, जो निश्चित रूप से लापरवाही।

हालांकि, वापस गनर योजना के लिए। जैसा कि मैंने हाल ही में उल्लेख किया है, यह योजना अन्य संख्याओं के लिए काम करती है, लेकिन यदि संख्या हो नहीं यह समीकरण की जड़ है, फिर हमारे सूत्र (अवशेष) में एक गैर-शून्य योजक दिखाई देता है:

"असफल" मूल्य शहर की योजना के अनुसार "रनिंग"। यह एक ही तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक है - बाईं ओर नई "सुई" लिखें, ऊपर से वरिष्ठ गुणांक को ध्वस्त करें (हरा तीर छोड़ दिया)और पहुंचे:

एक ब्रैकेट के साथ जांच करने के लिए और हम समान शर्तें देते हैं:
, ठीक है।

यह देखना आसान है कि अवशेष (सिक्सर) बिल्कुल बहुपद का मूल्य है। और वास्तव में - तो:
, और अधिक सुखद - इस तरह:

उपर्युक्त गणना से यह समझना मुश्किल नहीं है कि गोरनेर योजना न केवल बहुपद को गुणक में विघटित करने की अनुमति देती है, बल्कि रूट के "सभ्य" चयन को भी करने की अनुमति देती है। मेरा सुझाव है कि आप स्वतंत्र रूप से गणना एल्गोरिदम को एक छोटा सा कार्य समेकित करें:

कार्य 2।

पर्वत योजना का उपयोग करके, समीकरण की पूरी जड़ को ढूंढें और गुणक के अनुरूप बहुपक्षीय विघटित करें

दूसरे शब्दों में, यहां आपको संख्या 1, -1, 2, -2, को लगातार जांचने की आवश्यकता है ... - जब तक कि शून्य अवशेष अंतिम कॉलम में "ड्रू" नहीं है। इसका मतलब यह होगा कि इस स्ट्रिंग की "सुई" बहुपद की जड़ है

गणना एक ही तालिका में व्यवस्थित करने के लिए सुविधाजनक हैं। पाठ के अंत में एक विस्तृत निर्णय और उत्तर।

जड़ों के चयन की विधि अपेक्षाकृत सरल मामलों के लिए अच्छी है, लेकिन यदि गुणांक और / या बहुपद की डिग्री बड़ी होती है, तो प्रक्रिया में देरी हो सकती है। और शायद एक ही सूची 1, -1, 2, -2 से कुछ मूल्य हैं और विचार करने का कोई मतलब नहीं है? और, इसके अलावा, जड़ें भी आंशिक हो सकती हैं, जो पूरी तरह से वैज्ञानिक रूप से नहीं होगी।

सौभाग्य से, दो शक्तिशाली प्रमेय हैं जो आपको तर्कसंगत जड़ों में "उम्मीदवारों" के मूल्यों की बस्ट को काफी कम करने की अनुमति देते हैं:

प्रमेय 1। विचार करें अस्थिर अंश कहाँ। यदि संख्या समीकरण की जड़ है, तो मुक्त सदस्य को विभाजित किया गया है, और वरिष्ठ गुणांक चालू है।

विशेष रूप सेयदि बुजुर्ग गुणांक तब यह तर्कसंगत रूट है - एक संपूर्ण:

और हम इस स्वादिष्ट विशेष के साथ प्रमेय का शोषण शुरू करते हैं:

आइए समीकरण पर लौटें। उनके वरिष्ठ गुणांक के बाद से, काल्पनिक तर्कसंगत जड़ें पूरी तरह से पूरी हो सकती हैं, और नि: शुल्क सदस्य बिना किसी अवशेष के इन जड़ों के लिए साझा करने में सक्षम होना चाहिए। और "ट्रोका" को केवल 1, -1, 3 और -3 से विभाजित किया जा सकता है। यही है, हमारे पास केवल 4 "जड़ों के लिए उम्मीदवार हैं।" और, के अनुसार प्रमेय 1।अन्य तर्कसंगत संख्या सिद्धांत रूप में इस समीकरण की जड़ें नहीं हो सकती हैं।

"आवेदकों" समीकरण में थोड़ा और अधिक: एक नि: शुल्क सदस्य 1, -1, 2, - 2, 4 और -4 में बांटा गया है।

ध्यान दें कि संख्या 1, -1 संभावित जड़ों की "नियमित" सूची हैं (प्रमेय का स्पष्ट परिणाम) और प्राथमिकता जांच के लिए सबसे अच्छा विकल्प।

अधिक जानकारीपूर्ण उदाहरणों पर जाएं:

कार्य 3।

फेसला: वरिष्ठ गुणांक के बाद, काल्पनिक तर्कसंगत जड़ें केवल पूर्णांक हो सकती हैं, जबकि वे नि: शुल्क सदस्य divisors होना चाहिए। "माइनस चालीस" संख्याओं के निम्नलिखित जोड़े में बांटा गया है:
- कुल 16 "उम्मीदवार।"

और यहां तुरंत एक मोहक विचार दिखाई देता है: क्या सभी नकारात्मक या सभी सकारात्मक जड़ों को काट देना असंभव है? कुछ मामलों में, आप कर सकते हैं! दो संकेत तैयार करें:

1) अगर हर एक चीज़ बहुपद के गुणांक गैर-नकारात्मक हैं या सभी गैर-सकारात्मक हैं, इसमें सकारात्मक जड़ें नहीं हो सकती हैं। दुर्भाग्यवश, यह हमारा मामला नहीं है (अब अगर हमें एक समीकरण दिया गया था - तो हाँ, बहुपद के किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित करते समय सख्ती से सकारात्मक है, और इसलिए सभी सकारात्मक संख्याएं हैं (और तर्कहीन भी) समीकरण समीकरण नहीं किया जा सकता है।

2) यदि विषम डिग्री वाले गुणांक गैर-नकारात्मक हैं, और सभी भागों की डिग्री के साथ (एक मुक्त सदस्य सहित) - नकारात्मक, फिर बहुपद की जड़ें नहीं हो सकती हैं। या "मिरर": विषम डिग्री वाले गुणांक गैर-सकारात्मक हैं, और जो सभी सकारात्मक हैं।

यह हमारा मामला है! थोड़ा सा नहीं देख रहा है, यह ध्यान दिया जा सकता है कि जब किसी भी नकारात्मक "एक्स" के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो बाएं भाग सख्ती से नकारात्मक होगा, और इसलिए नकारात्मक जड़ें गायब हो जाएंगी

इस प्रकार, अनुसंधान के लिए 8 नंबर बने रहे:

हॉर्नर योजना के अनुसार उन्हें लगातार "चार्ज" करें। मुझे आशा है कि आप पहले से ही मौखिक कंप्यूटिंग में महारत हासिल कर चुके हैं:

"दो" का परीक्षण करते समय अच्छी किस्मत हमारे लिए इंतजार कर रही थी। इस प्रकार, माना समीकरण की जड़ है, और

यह समीकरण का पता लगाने के लिए बनी हुई है । भेदभाव के माध्यम से करना आसान है, लेकिन मैं एक ही योजना पर एक संकेतक जांच करूंगा। सबसे पहले, हम ध्यान आकर्षित करते हैं कि एक नि: शुल्क सदस्य 20 है, और इसलिए प्रमेय 1। संभावित जड़ों की सूची से, संख्या 8 और 40 गिरती हैं, और मूल्य अध्ययन के लिए बने रहते हैं (इकाई गनर योजना के अनुसार गिरा दी गई).

नई तालिका की ऊपरी रेखा में ट्रिपल के गुणांक को रिकॉर्ड करें और हम उसी "twos" से जाँच करना शुरू करते हैं। क्यों? और क्योंकि जड़ें अधिक पेंट हो सकती हैं, कृपया: - इस समीकरण में 10 समान जड़ें हैं। लेकिन विचलित मत हो:

और यहां, ज़ाहिर है, मैं थोड़ा सा भाग गया, यह जानकर कि जड़ें तर्कसंगत हैं। आखिरकार, यदि वे तर्कहीन या जटिल थे, तो मैं सभी शेष संख्याओं की असफल जांच को चमकता हूं। इसलिए, अभ्यास में, भेदभाव का पालन करें।

उत्तर: तर्कसंगत जड़ें: 2, 4, 5

अलग-अलग कार्य में, हम भाग्य के साथ थे, क्योंकि: ए) नकारात्मक मूल्य तुरंत गिर रहे थे, और बी) हमने बहुत जल्दी रूट (और सैद्धांतिक रूप से, वे पूरी सूची की जांच कर सकते थे)।

लेकिन वास्तव में स्थिति बहुत खराब है। मैं आपको "अंतिम हीरो" नामक एक आकर्षक गेम देखने के लिए आमंत्रित करता हूं:

कार्य 4।

तर्कसंगत जड़ें समीकरण खोजें

फेसला: द्वारा द्वारा प्रमेय 1। काल्पनिक तर्कसंगत जड़ों के अंकों को स्थिति को पूरा करना चाहिए (हम "एल" द्वारा विभाजित बारह "पढ़ते हैं), और denominators - स्थिति। इसके आधार पर, हमें दो सूची मिलती हैं:

"ईएल की सूची":
और "ईएम सूची": (अच्छा, यहां प्राकृतिक संख्याएं हैं).

अब सभी संभावित जड़ों की एक सूची बनाएं। सबसे पहले, "ईएल की सूची" पर विभाजित करें। यह स्पष्ट है कि वही संख्याएं निकल जाएंगी। सुविधा के लिए, हम उन्हें तालिका में लाते हैं:

कई तरसी ने गिरावट दर्ज की, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसा मूल्य था जो पहले से ही "नायकों की सूची" में मौजूद है। हम केवल "newbies" जोड़ते हैं:

इसी तरह, हम उस पर "सूची की सूची" को विभाजित करते हैं:

और अंत में, पर

इस प्रकार, हमारे खेल में प्रतिभागियों की एक टीम सुसज्जित है:


दुर्भाग्यवश, इस कार्य का बहुपद "सकारात्मक" या "नकारात्मक" सुविधा को संतुष्ट नहीं करता है, और इसलिए हम ऊपरी या निचली रेखा को त्याग नहीं सकते हैं। हमें सभी संख्याओं के साथ काम करना होगा।

आपका मूड कैसा है? चलो, नाक के ऊपर - एक और प्रमेय है, जिसे आजकल "किलर प्रमेय" कहा जा सकता है .... ... "अभ्यर्थियों", निश्चित रूप से \u003d)

लेकिन सबसे पहले आपको कम से कम एक के लिए हॉर्नर स्कीमा को नीचे स्क्रॉल करने की आवश्यकता है पूरा का पूरा संख्या। परंपरागत रूप से, एक इकाई ले लो। ऊपरी रेखा में, हम बहुपद के गुणांक और सामान्य रूप से सबकुछ लिखते हैं:

चूंकि चार स्पष्ट रूप से शून्य नहीं हैं, तो मूल्य विचाराधीन बहुपद की जड़ नहीं है। लेकिन वह हमें बहुत मदद करेगी।

प्रमेय 2। अगर कुछ पर पूरा का पूरा बहुपद का मूल्य शून्य से अलग है:, फिर इसकी तर्कसंगत जड़ें (अगर वे हैं) स्थिति को संतुष्ट करें

हमारे मामले में, और इसलिए सभी संभावित जड़ों को स्थिति को पूरा करना चाहिए (मैं इसे स्थिति संख्या 1 कहता हूं)। यह चार कई "उम्मीदवारों" का "हत्यारा" होगा। एक प्रदर्शन के रूप में, मैं कई चेकों पर विचार करूंगा:

"उम्मीदवार" की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, कृत्रिम रूप से इसे एक अंश के रूप में कल्पना करें, जहां यह स्पष्ट रूप से देखा गया है। हम चेक अंतर की गणना करते हैं :. चार को "माइनस टू" में बांटा गया है: इसका मतलब है कि संभावित जड़ ने परीक्षा उत्तीर्ण की।

मूल्य की जाँच करें। यहां और जांच अंतर है: । बेशक, और इसलिए दूसरा "विषय" भी सूची में बनी हुई है।

बढ़ती क्षमता के निम्नलिखित क्रम में संख्याओं को सेट में विभाजित किया जा सकता है -

1. सेट प्राइम नंबरों की बहुलता है (इसमें आपके अलावा सरल विभाजक नहीं हैं)।
2. सेट - कई प्राकृतिक संख्या।
3. सेट पूर्णांक का एक सेट है (ये प्राकृतिक, शून्य, और पूरी नकारात्मक हैं)।
4. सेट्स - तर्कसंगत संख्याओं की बहुलता (ये पूर्णांक या संख्याएं हैं जो एक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य हैं, जो एक संख्यात्मक और संप्रदाय के संप्रदाय में हैं। दशमलव रिकॉर्ड तर्कसंगत या परिमित है, या एक अंश के रूप में कल्पना की जाती है जो एक आवधिक पुनरावृत्ति है)।

5. सेट वास्तविक संख्याओं का एक सबसेट है जो वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में कट्टरपंथियों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। सभी तर्कसंगत (क्यू) यहां शामिल हैं, साथ ही साथ कुछ तर्कहीन, उदाहरण के लिए, । अधिक सटीक - संख्याओं के इस सेट में जिन्हें एक डिग्री में प्रवेश प्रविष्टि के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां तर्कसंगत संख्या एक डिग्री है, और डिग्री में बनाए गए किसी भी संख्या तर्कसंगत सकारात्मक है।

6. सेट वास्तविक संख्याओं का एक सबसेट है जो जटिल संख्याओं के एक क्षेत्र में कट्टरपंथियों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। सभी तर्कसंगत (क्यू) यहां शामिल हैं, साथ ही कुछ तर्कहीन, उदाहरण के लिए, जो अंत में मान्य होगा। अधिक सटीक - संख्याओं के इस सेट में जिसे व्यायाम के साथ एक प्रविष्टि के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिस पर तर्कसंगत संख्या है, और डिग्री में खड़ी संख्या तर्कसंगत है, और नकारात्मक हो सकती है।

सेट 6 के बीच का अंतर सेट 5. उदाहरण के लिए, समीकरण की जड़ें,
बराबर हैं।
हालांकि, यह ज्यूबिक समीकरण ज्ञात है रेडिकल में सॉल्वेबल। इसका मतलब है कि समान जड़ों को संख्याओं, चटाई संचालन, और डिग्री के साथ रिकॉर्ड के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सवाल। मुझे एक धारणा है कि इस रिकॉर्ड के कुछ हिस्सों जटिल संख्याएं हैं, यानी बिना नहीं कर सकते। नकारात्मक संख्याओं से जड़ें होंगी। क्या धारणा है?

यदि धारणा सत्य है, तो हमेशा घन समीकरणों की वैध जड़ें - सेट से संबंधित हैं, लेकिन वे सेट से संबंधित नहीं हो सकते हैं। लेकिन स्क्वायर समीकरण की जड़ें हमेशा कम-शक्ति सेट से संबंधित होती हैं।

सवाल। तर्कसंगत संख्या के रूप में प्रस्तुत तर्क (डिग्री में) से साइन - सेट (या यहां तक \u200b\u200bकि), यानी से संबंधित है। क्या इसे रेडिकल में व्यक्त करना हमेशा संभव है?

लेकिन हम संख्याओं की एक भी शक्तिशाली थीम की ओर मुड़ते हैं। 5 वीं डिग्री समीकरण की वैध जड़ें, हमेशा कट्टरपंथियों में व्यक्त नहीं की जाती हैं, यानी। वे प्रवेश भी नहीं कर सकते हैं, लेकिन ऐसे कई हैं, जहां वे आते हैं -

7. सेट बीजगणितीय संख्या का एक सेट है, (वैध संख्या का एक उप-समूह)। इस सेट में सभी संभावित बीजगणितीय समीकरणों, किसी भी डिग्री, और किसी भी तर्कसंगत गुणांक के सभी संभावित मान्य जड़ें शामिल हैं।

गणित में अधिक शक्तिशाली सेट क्या हैं (व्यापक सेटों की गणना नहीं - वैध और जटिल)? मैं अधिक शक्तिशाली नहीं था, आमतौर पर यदि संख्या को इसमें शामिल नहीं किया जाता है, जिसे बस पारदर्शी कहा जाता है। और मैंने एक और सेट पेश किया होगा -

8. सेट संख्याओं का एक सेट है जो किसी भी ज्ञात कार्य (जैसे साइनस, जेता फ़ंक्शन, इंटीग्रल लॉगरिदम इत्यादि) के साथ किसी भी गणितीय समीकरण (आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं) की जरिए हो सकती है, जिसे विघटित किया जा सकता है में प्रस्तुत किया जा सकता है एक श्रृंखला या कई पंक्तियों का रूप। हम ऐसे नंबर विश्लेषणात्मक कहते हैं। सीधे शब्दों में कहें - आप अंतिम आकार का विवरण निर्धारित कर सकते हैं, जैसे कि, इस विवरण पर, आप इस संख्या के अर्धविराम के बाद कोई अंक पा सकते हैं - अनंत तक।

अब तक, सभी विचार सेट निम्नलिखित के सबसेट थे, यानी। सबसेट, आदि - सबसेट। अगला सेट अलग है (इसमें इसे शामिल नहीं किया गया है), लेकिन सबसे शक्तिशाली वाला।

9. सेट - कई अराजक संख्या। (अराजक - मेरी परिभाषा)। यह बहुत सारे वैध संख्याएं हैं जिनमें शामिल नहीं हैं। यदि संख्या में शामिल किया गया है, तो अंतिम आकार के गणितीय विवरण (महत्वपूर्ण नहीं - पंक्तियां, या कार्य इत्यादि), इस संख्या को प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, यानी अगर हम अंतिम आकार का विवरण निर्धारित करते हैं, तो हम इस संख्या के अर्धविरामों के बाद किसी भी अंक को खोजने में सक्षम नहीं होंगे - अनंत तक।

10. सेट सभी वैध संख्याओं का सेट है। यह निवासियों के सेट का एक संघ है और। इसके अलावा, सेट में सेट - इसमें शून्य का माप है। वे। विभिन्न प्रकार की वैध संख्याओं में, अधिकांश संख्या अराजक हैं, और अल्पसंख्यक विश्लेषणात्मक है।

11. सेट सभी जटिल संख्याओं का सेट है। इसे समान सबसेट (बीजगणितीय परिसर, विश्लेषणात्मक, अराजक, आदि) पर तोड़ना संभव था लेकिन पहले से ही वैकल्पिक सोच रहा है।

क्या मेरा वर्गीकरण सही है? अन्य गणितज्ञों ने ऐसे सेट किए हैं जो अनुवांशिक के सबसेट हैं, लेकिन बीजगणितीय संख्या नहीं हैं?

पृष्ठ 1
द्विघातीय समीकरण

आधुनिक बीजगणित में, वर्ग समीकरण को दृश्य समीकरण कहा जाता है

जहां गुणांक हैं
कोई वास्तविक संख्या, और

एक अपूर्ण वर्ग समीकरण प्रजाति समीकरण है

उदाहरण ए)

इस प्रकार, समीकरण में दो जड़ें हैं:

उदाहरण बी)

फेसला

समीकरण में दो जड़ें हैं:

उदाहरण से)

फेसला

समीकरण में दो जड़ें हैं:

उदाहरण डी)

फेसला

समीकरण में कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

उदाहरण इ)

फेसला

यह समीकरण एक अपूर्ण वर्ग समीकरण भी है, यह हमेशा एक जड़ है

वर्ग समीकरणों को हल करते समय, गुणक के अपघटन के विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। इसलिए समीकरण को हल करते समय बी एक सामान्य कारक बनाने के लिए एक विधि लागू की गई थी। एक और तरीका है - ग्रुपिंग विधि।

फेसला।

उत्तर:

एक ही समीकरण को विभिन्न तरीकों से हल किया जा सकता है। एक वर्ग समीकरण के उदाहरण पर उनमें से कुछ पर विचार करें।

मैं विधि। एक वर्ग threechlen पर विचार करें

इसे ग्रुपिंग विधि में कारकों पर फैलाएं, शब्द को पूर्व-प्रस्तुत करना
जैसा
है

इसका मतलब है कि निर्दिष्ट समीकरण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

इस समीकरण में दो जड़ें हैं:

द्वितीय। तरीका । एक वर्ग ट्रिपल पर विचार करें और इसे उच्च वर्ग अलगाव की विधि का उपयोग करके गुणक के लिए विघटित करें; पहले एक अंतर के रूप में 3 शब्द की कल्पना की
। है

वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके, हमें मिलता है

तो, जड़ें तीन हैं

तृतीय तरीका - ग्राफिक।

समीकरणों को हल करने की एक ग्राफिकल विधि पर विचार करें

समीकरण तय करें

हम एक फ़ंक्शन शेड्यूल का निर्माण करते हैं

शिखर के निर्देशांक:

पैराबोला एक्सिस - सीधे

Abscissa अक्ष पर दो अंक लें, पैराबोला अक्ष के प्रति सममित, जैसे कि बिंदु
इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान खोजें
अंक
और पैराबोला के ऊपर
एक समारोह ग्राफ बनाएँ।

तो, समीकरण की जड़ें Abscissa अक्ष के साथ Parabola के चौराहे के अंकों के अवशोषण हैं, यानी

समीकरण के चित्रमय समाधान के एक और संस्करण पर विचार करें

हम रूप में एक समीकरण लिखते हैं

हम कार्यों के चित्रों के निर्देशांक की एक प्रणाली में निर्माण करेंगे

तो, समीकरण की जड़ें निर्मित चार्ट के चौराहे बिंदुओं के फरार हैं

प्रारंभिक समीकरण को समीकरण को परिवर्तित करने, कई और तरीकों से हल किया जा सकता है
निरीक्षण करने के लिए # नज़रों के लिए
या देखने के लिए

फिर कार्यों को पेश किया जाता है, ग्राफ तैयार किए गए कार्यों के आलेखों के चौराहे के अवशोषण का निर्माण करते हैं।

कार्य 3 देखें (परिशिष्ट 1)।

चतुर्थ तरीका - वर्ग समीकरण की जड़ों के सूत्र के साथ।

प्रकार के एक वर्ग समीकरण को हल करने के लिए
आप निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं:

जैसा
इस वर्ग समीकरण में दो जड़ें हैं। इन जड़ों फॉर्मूला पाते हैं

अगर बी - यहां तक \u200b\u200bकि संख्या, यानी
तब फिर

समीकरण देखें
यह कम वर्ग समीकरण है।

यदि संख्या
ऐसा है कि

ये संख्या समीकरण की जड़ें हैं।
इस कथन के साथ, या अनुमोदन, वियतका के उलटा प्रमेय, आप उपरोक्त वर्ग समीकरणों को हल कर सकते हैं।

तो, समीकरण की जड़ें

यदि समीकरण में
योग
फिर समीकरण की एक जड़ हमेशा 1 होती है, और दूसरी रूट की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

समीकरण में
इसलिए राशि है

कार्य 4 (परिशिष्ट 1) देखें।
तर्कसंगत समीकरण
यदि एक
- तर्कसंगत अभिव्यक्ति, फिर समीकरण
एक तर्कसंगत समीकरण कहा जाता है।

उदाहरण

पाए गए जड़ों की जाँच करें:
वे।

मूल समीकरण की जड़ें हैं।

उदाहरण

मैं एक चर को पेश करके समीकरण हल करता हूं। रहने दो
यह फॉर्म में समीकरण को कम करेगा

समीकरण से
खोज

पाए गए जड़ों की जाँच करें

जहां तक \u200b\u200bकि
हमें दो और समीकरणों को हल करना होगा:

तथा

पहले समीकरण की जड़ें संख्या 1 और -4 हैं, दूसरी समीकरण की जड़ें - संख्या

उत्तर: 1, -4,

नए चर की परिचय विधि का उपयोग बाइकलेट समीकरणों को हल करने में भी किया जाता है।

समीकरण देखें
एक बाइकलेट समीकरण कहा जाता है।

उदाहरण

हम एक चर का परिचय देते हैं

प्राप्त करें

उत्तर: 2, -2।

कार्य 5, 6, और 7 (परिशिष्ट 1) देखें।
अपरिमेय समीकरण
यदि चर वर्ग रूट चिह्न के तहत निहित है, तो इस तरह के एक समीकरण को तर्कहीन कहा जाता है।

आइए गणित के इतिहास से पृष्ठों को चालू करें। तर्कहीन संख्याओं की अवधारणा पाइथागोरियन के लिए जाना जाता था। पाइथागोरा के प्रमेय ने गणितज्ञों को असामान्य खंडों के उद्घाटन के लिए नेतृत्व किया। उन्हें एक पूरी तरह से विरोधाभासी बयान मिला: वर्ग की विकर्ण लंबाई किसी भी प्राकृतिक संख्या से मापा नहीं जा सकता है। इस कथन ने उनकी शिक्षाओं की मुख्य थीसिस को कमजोर कर दिया: "सब कुछ एक संख्या है।"

असामान्यता के उद्घाटन ने दिखाया है कि केवल तर्कसंगत संख्याओं का स्वामित्व किसी भी सेगमेंट की लंबाई नहीं मिल सकता है। इसलिए, कई खंड तर्कसंगत संख्याओं के सेट की तुलना में काफी व्यापक हैं। यूनानियों ने गणित बनाने का फैसला किया कि वह किसी संख्या की अवधारणा का विस्तार करने के रास्ते पर न हो, जो उन्हें तर्कहीन संख्याओं पर विचार करेगा, लेकिन ज्यामितीय मानों का उपयोग करेगा। पाइथागोरियन के विपरीत, प्राचीन पूर्व के वैज्ञानिकों ने बिना किसी स्पष्टीकरण के अनुमानित संख्याओं का उपयोग किया। इसलिए उन्होंने इसके बजाय 1.41 दर्ज किए
, और संख्या के बजाय 3

आइए आधुनिक गणित में लौटें और तर्कहीन समीकरणों को हल करने के तरीकों पर विचार करें।

उदाहरण:

समीकरण के दोनों हिस्सों में निर्माण की विधि तर्कहीन समीकरणों को हल करने का मुख्य तरीका है।

एक वर्ग बनाने की विधि सरल है, लेकिन कभी-कभी परेशानी का कारण बनती है।

उदाहरण:

लेकिन मूल्य
एक तर्कसंगत समीकरण की जड़ होना
यह किसी दिए गए तर्कहीन समीकरण की जड़ नहीं है। सत्यापन इस कथन की पुष्टि करेगा।

चेक:

परिणामी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है। यहां तक \u200b\u200bकि डिग्री की जड़ के तहत नकारात्मक संख्या नहीं हो सकती है।

आउटपुट:
विदेशी जड़

निर्दिष्ट अपरिमेय समीकरण में जड़ें नहीं हैं।

उदाहरण:

चेक:

यदि एक
उस

- गलत

यदि एक
उस

- गलत

निष्कर्ष: निर्दिष्ट अपरिमेय समीकरण में जड़ें नहीं हैं।

तो, तर्कहीन समीकरण दोनों भागों को एक वर्ग में बनाने की विधि को हल करता है; परिणामी तर्कसंगत समीकरण का निर्णय लेना, निरीक्षण करना, संभावित बाहरी जड़ों को बुझाना आवश्यक है।

उदाहरण:

चेक:

यदि एक
उस

- वफादार समानता।

यदि एक
उस

- वफादार समानता।

तो, दोनों मान समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर - 4; पांच।

उदाहरण:

यह समीकरण एक नए चर की शुरूआत द्वारा हल किया गया है।

रहने दो

आइए स्रोत चर पर लौटें।

- सही,

- गलत।

कार्य 8 (परिशिष्ट 1) देखें।
सिद्धांत का एक सा
परिभाषा। दो समीकरण
तथा
समतुल्य कहा जाता है अगर उनके पास एक ही जड़ें होती हैं (या, विशेष रूप से, यदि दोनों समीकरणों में जड़ें नहीं होती हैं)।

आम तौर पर, समीकरण को हल करते समय, यह इस समीकरण को आसान होने की कोशिश कर रहा है, लेकिन इसके बराबर है। इस तरह के एक प्रतिस्थापन को समीकरण के समतुल्य परिवर्तन कहा जाता है।

समीकरण के समतुल्य परिवर्तन निम्नलिखित परिवर्तन हैं:

1. समीकरण के सदस्यों को समीकरण के एक हिस्से से विपरीत संकेतों के साथ स्थानांतरित करना।

उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन समीकरण
समीकरण
समीकरण के समतुल्य परिवर्तन है। इसका मतलब है कि समीकरण
तथा
समतुल्य।

2. प्रति समीकरण के दोनों हिस्सों के गुणा या विभाजन और शून्य से एक ही अलग संख्या।

उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन समीकरण
समीकरण
(समीकरण के दोनों हिस्सों को 10 से गुणा किया गया) समीकरण रूपांतरण के बराबर है।

निम्नलिखित परिवर्तन समीकरण के बराबर परिवर्तन नहीं हैं:

1. वैरिएबल युक्त डेनोमिनेटर से छूट।
उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन समीकरण
समीकरण
समीकरण के रूपांतरण का एक असमानकरण है। तथ्य यह है कि समीकरण
दो जड़ें हैं: 2 और -2, और एक दिया समीकरण मूल्य
यह संतुष्ट नहीं हो सकता (denominator शून्य हो जाता है)। ऐसे मामलों में वे ऐसा कहते हैं:
विदेशी जड़।
2. वर्ग में समीकरण के दोनों हिस्सों का खड़ा।

यदि, समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, निर्दिष्ट गैर-समान परिवर्तनों में से एक का उपयोग किया गया था, तो सभी जड़ों को स्रोत समीकरण पर चेक किया जाना चाहिए, क्योंकि वहां बाहरी जड़ें हो सकती हैं।

परिभाषा।

समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र
कई कहा जाता है
कहा पे
तथा
- फील्ड परिभाषा क्षेत्र एफ तथा जी.

उदाहरण

बाईं ओर भिन्नताओं को तह करना, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

समतुल्य स्रोत। बदले में एक ही समीकरण प्रणाली के बराबर है

स्क्वायर समीकरण में जड़ें हैं
कहा पे
- विदेशी जड़।

समीकरण के समाधान पर विचार करें

नतीजतन, प्रारंभिक समीकरण समग्रता के बराबर है

या
या
या

मॉड्यूल के संकेत के तहत एक चर के साथ समीकरण
1. संख्याओं की पूर्ण संख्या ए। (दर्शाता है | ए।| ) इसे संदर्भ की शुरुआत से पहले, समन्वय प्रत्यक्ष पर इस संख्या ए को दर्शाते हुए बिंदु से दूरी कहा जाता है।

परिभाषा से यह निम्नानुसार है

मॉड्यूल के मुख्य गुण

उदाहरण

यह स्पष्ट है कि यहां दो संभावनाएं हैं:
या
जहां इसे प्राप्त करना आसान है

उत्तर:
या

ध्यान दें कि फॉर्म के समीकरणों को हल करते समय

सबसे तर्कसंगत तरीका - कुल में संक्रमण

उदाहरण

यहां, उपर्युक्त स्वीकृति हमें "अप्रिय" जड़ों के साथ स्क्वायर स्क्वायर तीन स्ट्रीम किए गए अंतराल के सर्वेक्षणों को खोजने की आवश्यकता से मुक्त करती है।

हमारे पास है:

उत्तर:
या
या

कार्य 9 (परिशिष्ट 1) देखें।
पैरामीटर के साथ समीकरण
सिद्धांत का एक सा।

छात्र कुछ अवधारणाओं के परिचय के साथ पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता समारोह:

रैखिक प्रकार्य:

रेखीय समीकरण:

द्विघात समीकरण:

परिभाषा। समीकरण एक उपस्थिति और एक समाधान है जो एक या कई पैरामीटर के मानों पर निर्भर करता है जिसे पैरामीटर के समीकरण कहा जाता है।

मापदंडों के साथ समीकरण हल करें

1. पैरामीटर मानों की सभी प्रणाली खोजें जिसके तहत इस समीकरण में समाधान हैं।

2. प्रत्येक पैरामीटर मूल्य प्रणाली के सभी समाधान खोजें, यानी अज्ञात और पैरामीटर के लिए, अनुमत मानों के अपने क्षेत्रों को इंगित किया जाना चाहिए।

उदाहरण:

उत्तर: अगर
यह कोई समाधान नहीं है; उदाहरण:
ये समीकरण संयुक्त कार्य हैं, जिस प्रक्रिया में मानक समाधान समाधान लागू किए जा रहे हैं, और अनुमत मानों के क्षेत्र के साथ काम करने के कौशल और जड़ों के चयन का गठन और सुरक्षित किया जा रहा है। ये समीकरण मजबूत छात्रों के लिए व्यक्तिगत कार्यों के रूप में हैं।

समीकरणों का उपयोग।

NAVIER-STOKES समीकरण निजी डेरिवेटिव में अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है, जो एक चिपचिपा तरल पदार्थ के आंदोलन का वर्णन करता है। नवियर-स्टोक्स समीकरण हाइड्रोडायनामिक्स में सबसे महत्वपूर्ण हैं और कई प्राकृतिक घटनाओं और तकनीकी कार्यों के गणितीय मॉडलिंग में उपयोग किए जाते हैं। फ्रांसीसी भौतिकी लुई नेवियर और ब्रिटिश गणित जॉर्ज स्टोक्स के नाम से नामित।

इस प्रणाली में निरंतरता के समीकरण के समीकरण शामिल हैं।

समीकरण प्रणाली के अनुप्रयोगों में से एक भूमि मेंटल में प्रवाह का विवरण है।

समीकरण के विविधताओं का उपयोग वातावरण के वायु द्रव्यमानों के आंदोलन का वर्णन करने के लिए किया जाता है, विशेष रूप से मौसम पूर्वानुमान उत्पन्न होता है। समीकरण के समाधान का विश्लेषण खुली समस्याओं में से एक का सार है, जिसके लिए निर्णय के गणितीय संस्थान ने 1 मिलियन अमेरिकी डॉलर का पुरस्कार नियुक्त किया है। त्रि-आयामी नौयर-स्टोक्स समीकरणों के लिए कौची समस्या के लिए वैश्विक चिकनी समाधान के अस्तित्व को साबित या अस्वीकार करना आवश्यक है।
प्रयुक्त साहित्य की सूची

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   मोर्दकोविच एजी बीजगणित। 7 सीएल: दो भागों में। भाग 1: सामान्यीकरण के लिए ट्यूटोरियल। संस्थानों। - 5 वें एड। - एम।: Mnemozina, 2002. - 160 पी।: Il।
2. 
   मोर्दकोविच एजी बीजगणित। 8 सीएल: दो भागों में। भाग 1: सामान्यीकरण के लिए ट्यूटोरियल। संस्थानों। - 6 वें एड। - एम।: Mnemozina, 2004. - 223 पी।: Il।
3. 
   ए.जी. Merzlyak, वीबी पोल्स्की, एमएस याकिर बीजगणित सिम्युलेटर: स्कूली बच्चों और आवेदकों के लिए भत्ता "/ एड। Merzlyak A.G., Polonsky V.B., याकिर एमएस - एम।: Ilex, 2001 - 320s।
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वर्ग समीकरण की जड़ों के सूत्र। मान्य, एकाधिक और जटिल जड़ों के मामलों पर विचार किया जाता है। स्क्वायर तीन-श्रेय गुणक का अपघटन। ज्यामितीय व्याख्या। मल्टीप्लियर की जड़ों और अपघटन को निर्धारित करने के उदाहरण।

सामग्री

यह सभी देखें: स्क्वायर समीकरणों का समाधान ऑनलाइन

मूल सूत्र

एक वर्ग समीकरण पर विचार करें:
(1) .
रूट्स स्क्वायर समीकरण (1) सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
; .
इन सूत्रों को इस तरह जोड़ा जा सकता है:
.
जब वर्ग समीकरण की जड़ें ज्ञात होती हैं, तो दूसरी डिग्री बहुपद को कारकों के काम के रूप में दर्शाया जा सकता है (गुणक पर विघटित):
.

इसके बाद, हम मानते हैं कि - वास्तविक संख्याएं।
विचार करें विवेकपूर्ण वर्ग समीकरण:
.
यदि भेदभाव सकारात्मक है, तो वर्ग समीकरण (1) में दो अलग-अलग मान्य रूट हैं:
; .
फिर कारकों पर स्क्वायर तीन की अपघटन में फॉर्म होता है:
.
यदि भेदभाव शून्य है, तो वर्ग समीकरण (1) में दो एकाधिक (समान) मान्य रूट है:
.
कारककरण:
.
यदि भेदभाव नकारात्मक है, तो वर्ग समीकरण (1) में दो व्यापक रूप से संयुग्मित रूट हैं:
;
.
यहां - काल्पनिक इकाई;
और - जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भागों:
; .
फिर

.

ग्राफिक व्याख्या

यदि आप एक चार्ट फ़ंक्शन बनाते हैं
,
जो पैराबोला है, फिर अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे का बिंदु समीकरण की जड़ें होगी
.
जब, अनुसूची ABSCISSA एक्सिस (एक्सिस) को दो बिंदुओं पर () () पर पार करती है।
जब, ग्राफ एक बिंदु () में Abscissa अक्ष से संबंधित है।
जब, अनुसूची Abscissa अक्ष () को पार नहीं करता है।

एक वर्ग समीकरण से जुड़े उपयोगी सूत्र

(एफ.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

वर्ग समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र का उत्पादन

हम परिवर्तन करते हैं और सूत्र (एफ 1) और (एफ 3) लागू करते हैं:




,
कहा पे
; .

इसलिए, हमें फॉर्म में दूसरी डिग्री के बहुपद के लिए एक सूत्र मिला:
.
यहां से यह देखा जा सकता है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया
तथा।
यही है, वर्ग समीकरण की जड़ें जड़ें हैं
.

वर्ग समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने के उदाहरण

उदाहरण 1।

(1.1) .

.
हमारे समीकरण (1.1) की तुलना में, हमें गुणांक के मूल्य मिलते हैं:
.
हम भेदभावपूर्ण पाते हैं:
.
चूंकि भेदभाव सकारात्मक है, समीकरण में दो वैध रूट हैं:
;
;
.

यहां से हमें गुणक पर एक वर्ग तीन-दांव का अपघटन मिलता है:

.

अनुसूची समारोह y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Abscissa अक्ष को दो बिंदुओं पर पार करता है।

हम एक फ़ंक्शन शेड्यूल का निर्माण करते हैं
.
इस समारोह का कार्यक्रम पैराबोला है। वह दो बिंदुओं पर Abscissa अक्ष (एक्सिस) रखती है:
तथा।
ये बिंदु प्रारंभिक समीकरण (1.1) की जड़ें हैं।

;
;
.

उदाहरण 2।

वर्ग समीकरण की जड़ों का पता लगाएं:
(2.1) .

हम सामान्य रूप में वर्ग समीकरण लिखते हैं:
.
प्रारंभिक समीकरण (2.1) की तुलना में, हमें गुणांक के मूल्य मिलते हैं:
.
हम भेदभावपूर्ण पाते हैं:
.
चूंकि भेदभाव शून्य है, समीकरण में दो एकाधिक (समान) रूट हैं:
;
.

फिर गुणक पर तीन निर्णयों का अपघटन फॉर्म है:
.

समारोह ग्राफ y \u003d x 2 - 4 x + 4 एक बिंदु पर Abscissa अक्ष का अनुरोध करता है।

हम एक फ़ंक्शन शेड्यूल का निर्माण करते हैं
.
इस समारोह का कार्यक्रम पैराबोला है। यह एक बिंदु पर Abscissa अक्ष (एक्सिस) से संबंधित है:
.
यह बिंदु प्रारंभिक समीकरण (2.1) की जड़ है। चूंकि यह जड़ दो बार गुणक के विस्तार में प्रवेश करती है:
,
इस तरह की जड़ को एकाधिक कहा जाता है। यही है, ऐसा माना जाता है कि दो बराबर रूट हैं:
.

;
.

उदाहरण 3।

वर्ग समीकरण की जड़ों का पता लगाएं:
(3.1) .

हम सामान्य रूप में वर्ग समीकरण लिखते हैं:
(1) .
हम प्रारंभिक समीकरण (3.1) को फिर से लिखते हैं:
.
सी (1) की तुलना करें, हमें गुणांक के मूल्य मिलते हैं:
.
हम भेदभावपूर्ण पाते हैं:
.
निरोधात्मक नकारात्मक है। इसलिए, कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

आप जटिल जड़ें पा सकते हैं:
;
;
.

फिर


.

फ़ंक्शन ग्राफ Abscissa अक्ष को पार नहीं करता है। कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

हम एक फ़ंक्शन शेड्यूल का निर्माण करते हैं
.
इस समारोह का कार्यक्रम पैराबोला है। यह Abscissa अक्ष (एक्सिस) को छेड़छाड़ नहीं करता है। इसलिए, कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

कोई वैध जड़ें नहीं हैं। Roings एकीकृत हैं:
;
;
.

यह सभी देखें: