परिभाषा गैर-कोलिनियर वेक्टर (गुणक) द्वारा एक (गुणक) वेक्टर का वेक्टर उत्पाद तीसरा वेक्टर सी (उत्पाद) है, जिसका निर्माण निम्नानुसार किया गया है:

1) इसका मॉड्यूल अंकीय रूप से अंजीर में समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है। 155), वैक्टर पर बनाया गया, यानी, यह उल्लेखित समांतरभुज के तल के लंबवत दिशा के बराबर है;

3) इस मामले में, वेक्टर सी की दिशा (दो संभव से) चुना जाता है ताकि वैक्टर सी सही प्रणाली (right 110) बना।

पदनाम: या

परिभाषा में जोड़। यदि वैक्टर टकराने लगे हैं, तो आकृति (सशर्त रूप से) को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में देखते हुए, शून्य क्षेत्र को विशेषता देना स्वाभाविक है। इसलिए, कोलिनियर वैक्टर के वेक्टर उत्पाद को एक नल वेक्टर के बराबर माना जाता है।

चूंकि किसी भी दिशा को शून्य वेक्टर के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, इसलिए यह समझौता परिभाषा के खंड 2 और 3 का खंडन नहीं करता है।

टिप्पणी 1. "वेक्टर उत्पाद" शब्द में, पहला शब्द इंगित करता है कि कार्रवाई का परिणाम एक वेक्टर है (एक स्केलर उत्पाद के विपरीत; cf., 104, टिप्पणी 1)।

उदाहरण 1. वेक्टर उत्पाद ढूंढें जहां सही समन्वय प्रणाली के मुख्य वैक्टर (चित्र। 156)।

1. चूंकि मुख्य वैक्टर की लंबाई पैमाने की एक इकाई के बराबर होती है, समांतर चतुर्भुज (वर्ग) का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक के बराबर होता है। इसलिए, वेक्टर उत्पाद का मापांक एकता के बराबर है।

2. चूंकि विमान के लंबवत अक्ष है, वांछित वेक्टर उत्पाद वेक्टर के लिए एक वेक्टर कोलिनियर है; और चूंकि दोनों में मॉड्यूल 1 है, वांछित वेक्टर उत्पाद या तो k या -k है।

3. इन दो संभावित वैक्टर में से, हमें पहला चुनना होगा, क्योंकि वैक्टर k सही प्रणाली बनाते हैं (और वैक्टर बचे हैं)।

उदाहरण 2. एक वेक्टर उत्पाद खोजें

फेसला। उदाहरण 1 में, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि वेक्टर या तो k या -k है। लेकिन अब आपको -k चुनने की जरूरत है, क्योंकि वैक्टर सही प्रणाली बनाते हैं (और वैक्टर बचे हैं)। इसलिए,

उदाहरण 3. वैक्टर में क्रमशः 80 और 50 सेमी की लंबाई होती है, और 30 डिग्री के कोण का निर्माण होता है। मीटर को लंबाई की इकाई के रूप में लेते हुए, वेक्टर उत्पाद की लंबाई का पता लगाएं

फेसला। वैक्टर पर बनाया गया एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वांछित वेक्टर उत्पाद की लंबाई के बराबर है

उदाहरण 4. लंबाई के एक इकाई के रूप में एक सेंटीमीटर लेते हुए, एक ही वैक्टर के एक वेक्टर उत्पाद की लंबाई का पता लगाएं।

फेसला। चूंकि वैक्टर पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल बराबर है, इसलिए वेक्टर उत्पाद की लंबाई 2000 सेमी है, अर्थात्।

उदाहरण 3 और 4 की तुलना से पता चलता है कि वेक्टर की लंबाई न केवल कारकों की लंबाई पर निर्भर करती है, बल्कि लंबाई की इकाई की पसंद पर भी निर्भर करती है।

वेक्टर उत्पाद का भौतिक अर्थ। वेक्टर उत्पाद द्वारा प्रस्तुत कई भौतिक मात्राओं में से, हम केवल बल के क्षण पर विचार करते हैं।

आज्ञा देना बल के अनुप्रयोग का बिंदु है। बिंदु O के संबंध में बल का क्षण वेक्टर उत्पाद है। चूँकि इस सदिश उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से समांतर चतुर्भुज (छवि 157) के क्षेत्रफल के बराबर होता है, क्षण मापांक आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, यानी बिंदु O से दूरी का बल। एक सीधी रेखा में जिसके साथ बल कार्य करता है।

यांत्रिकी में, यह साबित हो जाता है कि एक ठोस के संतुलन के लिए, यह आवश्यक है कि न केवल शरीर पर लागू बलों का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर का योग शून्य के बराबर हो, बल्कि बलों के क्षणों का योग भी हो। मामले में जब सभी बल एक विमान के समानांतर होते हैं, तो क्षणों का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर को जोड़कर उनके मॉड्यूल के जोड़ और घटाव को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। लेकिन बलों की मनमानी दिशाओं के साथ, ऐसा प्रतिस्थापन असंभव है। इसके अनुसार, एक वेक्टर उत्पाद को वेक्टर के रूप में सटीक रूप से परिभाषित किया जाता है, और एक संख्या के रूप में नहीं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

वेक्टर उत्पाद की अवधारणा देने से पहले, हम तीन आयामी स्थान में एक वैक्टर →, बी →, सी → के आदेशित ट्रिपल के अभिविन्यास के प्रश्न की ओर मुड़ते हैं।

शुरुआत के लिए, हम एक बिंदु से वैक्टर → ए, बी →, सी → पोस्टपोन करते हैं। ट्रिपल ए →, बी →, सी → का अभिविन्यास या तो दाएं या बाएं है, जो वेक्टर सी → की दिशा पर निर्भर करता है। जिस दिशा में सबसे छोटा घुमाव सदिश से → a से b → सदिश c → के अंत से किया जाता है, ट्रिपल a, b →, c → का रूप निर्धारित किया जाएगा।

यदि सबसे छोटा रोटेशन वामावर्त किया जाता है, तो वैक्टर का ए →, बी →, सी → सहीयदि दक्षिणावर्त - बाएं.

अगला, हम दो गैर-कोलीनियर वैक्टर एक → और बी → लेते हैं। फिर हम बिंदु ए वेक्टर ए बी → \u003d ए → और ए सी → \u003d बी → से सुरक्षित करते हैं। हम वेक्टर ए डी → \u003d सी → का निर्माण करते हैं, जो एक साथ ए बी → और ए सी → दोनों के लिए लंबवत है। इस प्रकार, वेक्टर A D → \u003d c → स्वयं का निर्माण करते समय, हम दो तरीकों से कार्य कर सकते हैं, इसे या तो एक दिशा या विपरीत (चित्रण देखें) दे सकते हैं।

वेक्टरों की एक आदेशित ट्रिपल → ए, बी →, सी → हो सकती है, जैसा कि हमने वेक्टर की दिशा के आधार पर पता लगाया है, दाएं या बाएं।

पूर्वगामी से, हम एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा पेश कर सकते हैं। यह परिभाषा तीन-आयामी अंतरिक्ष के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो वैक्टर के लिए दी गई है।

परिभाषा १

दो वैक्टर a & b → का वेक्टर उत्पाद हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए वेक्टर को इस तरह कहेंगे:

• यदि वैक्टर एक → और बी → कोलिनियर हैं, तो यह शून्य होगा;
• यह सदिश a → और वेक्टर b → अर्थात दोनों के लिए लंबवत होगा। → a → c → \u003d → b → c → \u003d; 2;
• इसकी लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: c → \u003d a → b → · sin → a →, b →;
• वैक्टर के ट्रिपल ए, बी →, सी → में दिए गए समन्वय प्रणाली के समान अभिविन्यास है।

वैक्टर के वेक्टर उत्पाद a → और b → में निम्नलिखित संकेतन हैं: a → × b →।

वेक्टर निर्देशांक

चूंकि किसी भी सदिश के निर्देशांक प्रणाली में कुछ निर्देशांक हैं, आप वेक्टर उत्पाद की दूसरी परिभाषा दर्ज कर सकते हैं, जो आपको वैक्टर के दिए गए निर्देशांक द्वारा इसके निर्देशांक खोजने की अनुमति देगा।

परिभाषा २

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद एक → \u003d (ए; एक्स; ए; जेड) और बी → \u003d (बी; बी; वाई; बी जेड); वे वेक्टर c → \u003d a → × b → \u003d (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) - k → → कहते हैं। जहाँ मैं →, j →, k → समन्वयक वैक्टर हैं।

वेक्टर उत्पाद को तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां पहली पंक्ति इकाई वैक्टर i → j, → →, k → है, दूसरी पंक्ति में वेक्टर के निर्देशांक a → हैं, और तीसरे में वेक्टर b → के निर्देशांक हैं जो दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में हैं, यह मैट्रिक्स निर्धारक है। यह इस तरह दिखता है: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz

पहली पंक्ति के तत्वों में इस निर्धारक का विस्तार करते हुए, हम समानता प्राप्त करते हैं: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d ayazbybz · i → - axazazxbz · j → + axaybxby · k → \u003d \u003d a → × b \u003d \u003d (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k →

एक वेक्टर उत्पाद के गुण

यह ज्ञात है कि निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद मैट्रिक्स c के निर्धारक के रूप में दर्शाया जाता है c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → a x a z a z b x b y b z, फिर पर आधारित मैट्रिक्स निर्धारक गुण निम्नलिखित वेक्टर उत्पाद के गुण:

1. anticommutativity एक → × b → \u003d - b → × a →;
2. वितरणशीलता a (1) → + a (2) → × b \u003d (1) → × b → + (2) → × b → या → × b (1) → + b (2) → \u003d a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. संबद्धता λ · एक → × b → \u003d λ · एक → × b → या एक → × (λ · b →) \u003d λ · एक → × b →, जहाँ λ एक मनमाना वास्तविक संख्या है।

इन गुणों का कोई जटिल प्रमाण नहीं है।

उदाहरण के लिए, हम एक वेक्टर उत्पाद की एंटीकोमूलेटिविटी संपत्ति साबित कर सकते हैं।

एंटीकोमूलेटिविटी का प्रमाण

परिभाषा के अनुसार, एक → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z और b → × a → i → j → k → b x b y z a x a z a z। और यदि आप मैट्रिक्स की दो पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो मैट्रिक्स के निर्धारक का मान उलटा होना चाहिए, इसलिए, एक → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d - i → j → bxbybzaxayaz \u003d - b → × a →, जो और सदिश उत्पाद के एंटीकोमूलेटिविटी को साबित करता है।

वेक्टर उत्पाद - उदाहरण और समाधान

ज्यादातर मामलों में, तीन प्रकार के कार्य हैं।

पहले प्रकार की समस्याओं में, दो वैक्टर की लंबाई और उनके बीच का कोण आमतौर पर दिया जाता है, लेकिन वेक्टर उत्पाद की लंबाई मिलनी चाहिए। इस स्थिति में, निम्न सूत्र c → \u003d a → · b → · sin, a →, b → का उपयोग करें।

उदाहरण 1

वैक्टर एक → और बी → के वेक्टर उत्पाद की लंबाई का पता लगाएं, अगर यह एक → \u003d 3, बी → \u003d 5, 5 → एक, बी → \u003d। 4 ज्ञात है।

फेसला

वैक्टर a & b → के वेक्टर उत्पाद की लंबाई निर्धारित करके, हम इस समस्या को हल करते हैं: a → × b → \u003d a → b · · sin → a →, b → \u003d 3 · 5 · sin \u003d 4 \u003d 15 2 2।

उत्तर: 15 2 2 .

दूसरे प्रकार के कार्य वैक्टर के निर्देशांक से संबंधित हैं, उनमें वेक्टर उत्पाद, इसकी लंबाई, आदि। दिए गए वैक्टर के ज्ञात निर्देशांक के माध्यम से खोजे जाते हैं a → \u003d (a x; y, z) तथा बी → \u003d (बी एक्स; बी वाई; बी जेड) .

इस प्रकार की समस्या के लिए, आप कार्यों के लिए बहुत सारे विकल्प हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, वैक्टर के निर्देशांक a → और b → निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं, लेकिन फॉर्म के समन्वयित वैक्टर में उनके विघटन b → \u003d b x · i → + b y · j → + b z · k → और c → \u003d a → × b → \u003d (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k →, या वैक्टर a → और b → उनके आरंभ और अंत के बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा दिया जा सकता है।

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2

दो वैक्टर एक → \u003d (2; 1; - 3), बी → \u003d (0; - 1; 1) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए हैं। उनके वेक्टर उत्पाद का पता लगाएं।

फेसला

दूसरी परिभाषा के अनुसार, हम दिए गए निर्देशांक में दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद पाते हैं: a → × b → \u003d (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j + + (ax · by - ay) Bx) k → \u003d \u003d (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → \u003d \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →।

यदि हम मैट्रिक्स के निर्धारक के माध्यम से वेक्टर उत्पाद लिखते हैं, तो इस उदाहरण का समाधान इस प्रकार है: a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 i → - 2 जे → - 2 के →।

उत्तर: a → × b → \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →।

उदाहरण 3

वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई का पता लगाएं i → - j → और i → j → + k →, जहां i →, j →, k → आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की इकाई वैक्टर हैं।

फेसला

सबसे पहले, किसी दिए गए वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → इस आयताकार निर्देशांक प्रणाली के निर्देशांक ढूंढें।

यह ज्ञात है कि वैक्टर i → - j → और i → j → + k → में निर्देशांक (1; - 1; 0) और (1; 1; 1) क्रमशः हैं। मैट्रिक्स के निर्धारक का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद की लंबाई का पता लगाएं, फिर हमारे पास i → - j → × i + + j → + k → i \u003d j → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - i → - j → + 2 + → ।

इसलिए, वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → में एक निर्देशांक प्रणाली में निर्देशांक (- 1; - 1; 2) है।

हम सूत्र द्वारा वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाते हैं (वेक्टर की लंबाई खोजने पर अनुभाग देखें): i → - j → × i → j + + k → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6।

उत्तर: i → - j → × i → + j → + k → \u003d 6। ।

उदाहरण 4

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, तीन बिंदुओं ए (1, 0, 1), बी (0, 2, 3), सी (1, 4, 2) के निर्देशांक निर्दिष्ट हैं। एक ही समय में ए बी → और ए सी → के लिए कुछ वेक्टर लंबवत खोजें।

फेसला

वैक्टर A B → और A C → में निम्नलिखित निर्देशांक (- 1; 2; 2) और (0; 4; 1;) क्रमशः हैं। वैक्टर A B → और A C → के वेक्टर उत्पाद को प्राप्त करने के बाद, यह स्पष्ट है कि यह A B → और A C → दोनों की परिभाषा के अनुसार लंबवत वेक्टर है, अर्थात यह हमारी समस्या का समाधान है। इसे A B → × A C → \u003d i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 i → + j → - 4 k → खोजें।

उत्तर: - 6 i → + j → - 4 k →। - लंबवत वैक्टर में से एक।

तीसरे प्रकार के कार्य वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के गुणों के उपयोग पर केंद्रित हैं। जिसे लागू करने के बाद, हम किसी दिए गए समस्या का समाधान प्राप्त करेंगे।

उदाहरण 5

वैक्टर एक → और बी → लंबवत हैं और उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 4 है। वेक्टर उत्पाद की लंबाई 3 · a → - b → × a → - 2 · b \u003d 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → \u003d 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →।

फेसला

एक वेक्टर उत्पाद की वितरणशील संपत्ति के द्वारा, हम 3 · a - b → × → a - 2 · b → \u003d 3 · a → × a - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → \u003d लिख सकते हैं। 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →

सहानुभूति की संपत्ति के द्वारा, हम अंतिम अभिव्यक्ति में वेक्टर उत्पादों के संकेत के लिए संख्यात्मक गुणांक बाहर निकालते हैं: 3 · एक → × a → 3 · a → × - 2 · b → + b - × → a + - b → × - 2 · b \u003d \u003d 3 · a → × a → 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → (- 1) · (- 2) · b → × b → \u003d \u003d 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →

वेक्टर उत्पाद एक → × a → और b → × b → 0 के बराबर हैं, चूंकि a → × a → \u003d a → · पाप 0 \u003d 0 और b → × b → \u003d b → b → · पाप 0 \u003d 0, फिर 3 · a → × a → 6 · a → × b → - b → × a + 2 · b → × b → \u003d - 6 · a → × b → - b → × → a। ।

वेक्टर उत्पाद की एंटीकोमुटेटिटी का अर्थ है - 6 · a → × b → - b → × a → \u003d - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → \u003d - 5 · a → × b →। ।

वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम समानता 3 · a - b → × a → - 2 · b → \u003d \u003d - 5 · a → × b → प्राप्त करते हैं।

परिकल्पना द्वारा, वैक्टर एक → और बी → लंबवत होते हैं, अर्थात, उनके बीच का कोण the 2 के बराबर होता है। अब यह केवल पाए गए मानों को संबंधित सूत्रों में स्थानापन्न करने के लिए बना रहता है: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → \u003d - 5 · a → × b → \u003d \u003d 5 · a → × b → \u003d 5 · a → b → · पाप (a →, b →) \u003d 5 · 3 · 4 · पाप 60 2 \u003d 60।

उत्तर: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → \u003d 60।

विभाजन के संदर्भ में वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई एक → × b → \u003d a → b → · sin → a →, b → है। चूंकि यह पहले से ही (स्कूल के पाठ्यक्रम से) ज्ञात है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल इन दोनों पक्षों के बीच के कोण के साइन की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर है। इसलिए, वेक्टर उत्पाद की लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर होती है - दोगुनी त्रिकोण, अर्थात्, वैक्टर के रूप में पक्षों के उत्पाद एक → और बी →, एक बिंदु से अलग, कोण के साइन द्वारा उनके लिए पाप ∠ एक →, बी →।

यह वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ है।

वेक्टर उत्पाद का भौतिक अर्थ

यांत्रिकी में, भौतिकी की शाखाओं में से एक, एक वेक्टर उत्पाद के लिए धन्यवाद, अंतरिक्ष में एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण को निर्धारित करना संभव है।

परिभाषा 3

बल के क्षण तक F → बिंदु A के संबंध में बिंदु B पर लागू होता है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित वेक्टर उत्पाद A B → × F →।

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अंत में, मुझे एक व्यापक और लंबे समय से प्रतीक्षित विषय पर हाथ मिला विश्लेषणात्मक ज्यामिति। सबसे पहले, उच्च गणित के इस खंड के बारे में थोड़ा ...। निश्चित रूप से अब आपको कई प्रमेयों, उनके प्रमाणों, रेखाचित्रों, आदि के साथ स्कूल ज्यामिति का पाठ्यक्रम याद आ गया। छात्रों के एक महत्वपूर्ण अनुपात के लिए क्या छिपाना, एक अप्रकाशित और अक्सर अस्पष्ट विषय। अजीब लग सकता है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति अधिक रोचक और सुलभ लग सकती है। विशेषण "विश्लेषणात्मक" का क्या अर्थ है? दो मुद्रांकित गणितीय मोड़ तुरंत दिमाग में आते हैं: "ग्राफिक समाधान विधि" और "विश्लेषणात्मक समाधान विधि"। चित्रमय विधिबेशक, रेखांकन, चित्र के निर्माण के साथ जुड़ा हुआ है। विश्लेषणात्मकवही तरीका समस्याओं को हल करना शामिल है मुख्य रूप से बीजीय कार्यों के माध्यम से। इस संबंध में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति की लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म सरल और पारदर्शी है, अक्सर आवश्यक सूत्र काफी सटीक रूप से लागू होते हैं और जवाब तैयार होता है! नहीं, निश्चित रूप से, यह यहां चित्र के बिना नहीं करेगा, इसके अलावा, सामग्री की बेहतर समझ के लिए मैं उन्हें आवश्यकता से परे लाने की कोशिश करूंगा।

ज्यामिति में पाठ का खुला पाठ्यक्रम सैद्धांतिक होने का दिखावा नहीं करता है, यह व्यावहारिक समस्याओं को हल करने पर केंद्रित है। मैं अपने व्याख्यान में केवल वही शामिल करूंगा, जो मेरे दृष्टिकोण से, व्यावहारिक दृष्टि से महत्वपूर्ण है। यदि आपको किसी भी उपधारा पर अधिक पूर्ण सहायता की आवश्यकता है, तो मैं निम्नलिखित काफी सुलभ साहित्य की सलाह देता हूं:

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और अब हम क्रमिक रूप से विचार करेंगे: वेक्टर की अवधारणा, वैक्टर के साथ क्रियाएं, वेक्टर निर्देशांक। आगे पढ़ने की सलाह देते हैं महत्वपूर्ण लेख वैक्टर का स्केलर उत्पादसाथ ही साथ वेक्टर और मिश्रित उत्पाद वैक्टर। स्थानीय कार्य - इस संबंध में एक सेगमेंट का विभाजन शानदार नहीं होगा। उपरोक्त जानकारी के आधार पर, आप मास्टर कर सकते हैं समतल समीकरण से समाधान के सरल उदाहरणवह अनुमति देगा ज्यामिति की समस्याओं को हल करना सीखें। निम्नलिखित लेख भी उपयोगी हैं: अंतरिक्ष में एक समतल का समीकरण, अंतरिक्ष में एक रेखा के समीकरण, लाइन और विमान पर मुख्य समस्याएं, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्य अनुभाग। स्वाभाविक रूप से, जिस तरह से, वे विशिष्ट कार्यों पर विचार करेंगे।

वेक्टर की अवधारणा। मुक्त वेक्टर

सबसे पहले, एक वेक्टर की स्कूल परिभाषा को दोहराएं। वेक्टर बुलाया निर्देशित एक ऐसा खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत का संकेत दिया गया है:

इस मामले में, खंड की शुरुआत एक बिंदु है, खंड का अंत एक बिंदु है। सदिश द्वारा ही निरूपित किया जाता है। दिशा महत्वपूर्ण है, यदि आप तीर को खंड के दूसरे छोर पर पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो आपको एक वेक्टर मिलता है, और यह पहले से ही है पूरी तरह से अलग वेक्टर। वेक्टर की अवधारणा को भौतिक शरीर के आंदोलन के साथ आसानी से पहचाना जाता है: सहमत हैं, संस्थान के दरवाजों में जाना या संस्थान के दरवाजों से बाहर जाना पूरी तरह से अलग चीजें हैं।

विमान के व्यक्तिगत बिंदुओं पर विचार करना और अंतरिक्ष को तथाकथित करना सुविधाजनक है शून्य वेक्टर । इस तरह के एक वेक्टर के लिए, अंत और शुरुआत मेल खाती है।

!!! ध्यान दें: इसके बाद, आप मान सकते हैं कि वैक्टर एक ही विमान में हैं या आप मान सकते हैं कि वे अंतरिक्ष में स्थित हैं - प्रस्तुत सामग्री का सार विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए मान्य है।

पदनाम: कई ने तुरंत पदनाम में एक तीर के बिना छड़ी पर ध्यान आकर्षित किया और कहा, शीर्ष पर एक ही स्थान पर, उन्होंने तीर रखा! सच है, आप तीर से लिख सकते हैं :, लेकिन भविष्य में मैं इसका उपयोग करूंगा। क्यों? जाहिरा तौर पर, इस तरह की आदत व्यावहारिक विचारों से विकसित हुई है, स्कूल और विश्वविद्यालय में मेरे तीर बहुत विविध और जर्जर हो गए हैं। शैक्षिक साहित्य में, कभी-कभी वे क्यूनिफॉर्म लेखन से बिल्कुल भी परेशान नहीं होते, बल्कि अक्षरों को बोल्ड में हाइलाइट करते हैं: जिससे कि यह एक वेक्टर है।

यह शैली थी, और अब वैक्टर लिखने के तरीकों के बारे में:

1) वैक्टर को दो कैपिटल लैटिन अक्षरों में लिखा जा सकता है:
आदि। इस मामले में, पहला पत्र अनिवार्य रूप से वेक्टर के प्रारंभ बिंदु को दर्शाता है, और दूसरा अक्षर वेक्टर के अंतिम बिंदु को इंगित करता है।

2) वेक्टर्स भी निचले अक्षरों में लिखे गए हैं:
विशेष रूप से, संक्षिप्तता के लिए, हमारे वेक्टर का नाम छोटे लैटिन अक्षर के साथ दिया जा सकता है।

लंबा या मापांक एक नॉनजरो वेक्टर को खंड की लंबाई कहा जाता है। शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य है। तार्किक है।

वेक्टर की लंबाई मॉड्यूल के संकेत द्वारा इंगित की जाती है :,

वेक्टर की लंबाई कैसे पता करें हम सीखेंगे (या किसके लिए, कैसे, कैसे) थोड़ी देर बाद।

सभी छात्रों के लिए परिचित वेक्टर के बारे में प्रारंभिक जानकारी थी। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, तथाकथित मुक्त वेक्टर.

यदि बहुत सरल है - वेक्टर को कहीं से भी देरी हो सकती है:

हम ऐसे वैक्टर को बराबर कहते थे (समान वैक्टर की परिभाषा नीचे दी गई है), लेकिन विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से यह एक और समान क्षेत्र है या मुक्त वेक्टर। मुफ्त क्यों? क्योंकि समस्याओं को हल करने के दौरान आप किसी विमान या स्थान के किसी भी बिंदु पर इस या उस वेक्टर को "संलग्न" कर सकते हैं। यह एक बहुत ही शांत संपत्ति है! मनमाना लंबाई और दिशा के एक वेक्टर की कल्पना करें - यह कई बार और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर "क्लोन" किया जा सकता है, वास्तव में, यह हर जगह मौजूद है। एक छात्र का कहना है: वेक्टर द्वारा w ** y में प्रत्येक व्याख्याता के लिए। यह सिर्फ तुकबंदी नहीं है, सब कुछ गणितीय रूप से सही है - एक वेक्टर भी वहां संलग्न किया जा सकता है। लेकिन आनन्दित होने के लिए जल्दी मत करो, अधिक बार छात्र खुद को पीड़ित करते हैं \u003d)

इसलिए, मुक्त वेक्टर - ये है गुच्छा समान निर्देशित खंड। पैराग्राफ की शुरुआत में दिए गए एक वेक्टर की स्कूल परिभाषा: "एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है ..." का अर्थ है विशिष्ट एक दिए गए सेट से लिया गया एक निर्देशित खंड जो एक विमान या अंतरिक्ष में एक विशिष्ट बिंदु से बंधा होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भौतिकी के दृष्टिकोण से, एक मुक्त वेक्टर की अवधारणा आम तौर पर गलत है, और वेक्टर मामलों के अनुप्रयोग का बिंदु। वास्तव में, नाक या माथे पर एक ही बल का एक सीधा झटका मेरे बेवकूफ उदाहरण को विकसित करने के लिए पर्याप्त है जिसमें विभिन्न परिणाम शामिल हैं। तथापि, खाली नहीं वैक्टर उच्च शिक्षा के दौरान भी पाए जाते हैं (वहां मत जाओ :))।

वैक्टर के साथ क्रिया। वैक्टर की Collinearity

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, वैक्टर के साथ कार्यों और नियमों की एक श्रृंखला पर विचार किया जाता है: इसके अलावा त्रिकोण नियम के अनुसार, समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, वैक्टर के अंतर का नियम, एक संख्या से एक वेक्टर का गुणन, वैक्टर के स्केलर उत्पाद, आदि। बीज के लिए, हम दो नियमों को दोहराते हैं जो विशेष रूप से विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए प्रासंगिक हैं।

त्रिकोणों के नियम द्वारा वैक्टरों को जोड़ने का नियम

दो अनियंत्रित नॉनज़रो वैक्टर पर विचार करें और:

इन वैक्टरों का योग खोजना आवश्यक है। इस तथ्य के कारण कि सभी वैक्टर को स्वतंत्र माना जाता है, हम वेक्टर से बचाव करते हैं समाप्त वेक्टर:

वैक्टर का योग और एक वेक्टर है। नियम की बेहतर समझ के लिए, इसमें भौतिक अर्थ लगाने की सलाह दी जाती है: कुछ शरीर को वेक्टर के साथ एक रास्ता बनाते हैं, और फिर वेक्टर के साथ। फिर वैक्टर का योग प्रस्थान बिंदु पर शुरुआत और आगमन बिंदु पर अंत के साथ परिणामी पथ का वेक्टर है। किसी भी संख्या में वैक्टर के योग के लिए एक समान नियम तैयार किया जाता है। जैसा कि कहा जाता है, शरीर बहुत ज़िग कर सकता है, और शायद ऑटोपायलट पर - परिणामी राशि वेक्टर।

वैसे, अगर वेक्टर से देरी हो रही है शुरुआत सदिश, तो हम समतुल हो जाते हैं समांतर चतुर्भुज नियम वैक्टर के अलावा।

सबसे पहले, वैक्टर की मिलीभगत। दो वैक्टर कहते हैं समरेखअगर वे एक ही लाइन पर या समानांतर लाइनों पर झूठ बोलते हैं। मोटे तौर पर, हम समानांतर वैक्टर के बारे में बात कर रहे हैं। लेकिन उनके संबंध में वे हमेशा विशेषण "कोलिनियर" का उपयोग करते हैं।

दो कोलियर वैक्टर की कल्पना करें। यदि इन वैक्टर के तीर को एक ही दिशा में निर्देशित किया जाता है, तो ऐसे वैक्टर को कहा जाता है सह-निर्देशन किया। यदि तीर अलग-अलग दिशाओं में देखते हैं, तो वैक्टर होंगे विपरीत निर्देशन किया.

पदनाम: वैक्टर की संपुष्टि सामान्य समानता आइकन के साथ लिखी गई है:, इस मामले में, ग्रैन्युलैरिटी संभव है: (वैक्टर कोडिरेक्शनल हैं) या (वैक्टर विपरीत निर्देशित हैं)।

काम एक संख्या द्वारा एक नॉनजरो वेक्टर एक वेक्टर है जिसकी लंबाई बराबर, इसके अलावा, वैक्टर और सह-दिशात्मक है और इसके विपरीत निर्देशित है।

एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करने का नियम आंकड़ा का उपयोग करके समझना आसान है:

हम और अधिक विस्तार से समझते हैं:

1 दिशा। यदि कारक नकारात्मक है, तो वेक्टर दिशा बदलती है इसके विपरीत।

2) लंबाई। यदि कारक भीतर या है, तो वेक्टर की लंबाई कम हो जाती है। तो, वेक्टर की लंबाई वेक्टर की लंबाई से आधी है। यदि मॉडुलो कारक एकता से अधिक है, तो वेक्टर की लंबाई बढ़ती जा रही है समय के भीतर।

3) कृपया ध्यान दें सभी वैक्टर कोलिनियर हैं, जबकि एक वेक्टर दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए,। इसका उलटा भी सच है: यदि एक वेक्टर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, तो इस तरह के वैक्टर आवश्यक रूप से मिलनसार होते हैं। इस प्रकार: यदि हम वेक्टर को एक संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें एक कोलियर मिलता है (मूल के संबंध में) वेक्टर.

4) वैक्टर कोडायरेक्शनल हैं। वैक्टर और कोडेक्शनल भी। पहले समूह का कोई भी वेक्टर दूसरे समूह के किसी भी वेक्टर के संबंध में है।

कौन से वैक्टर बराबर हैं?

दो वैक्टर समान होते हैं यदि वे कोडनिर्देशित होते हैं और उनकी लंबाई समान होती है। ध्यान दें कि सह-दिशात्मकता का अर्थ है वैक्टरों की मिलीभगत। यदि आप कहते हैं कि परिभाषा गलत (निरर्थक) होगी: "दो वैक्टर बराबर होते हैं यदि वे कोलीनियर, कोडनिर्देशित होते हैं और उनकी लंबाई समान होती है।"

एक नि: शुल्क वेक्टर की अवधारणा के दृष्टिकोण से, समान वैक्टर एक और एक ही वेक्टर हैं, जो पहले से ही पिछले अनुभाग में चर्चा की गई थी।

विमान और अंतरिक्ष में वेक्टर के निर्देशांक

पहला आइटम विमान में वैक्टर पर विचार करेगा। हम एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली तैयार करेंगे और इसे मूल से स्थगित करेंगे एक वैक्टर और:

वैक्टर और ओर्थोगोनल। ऑर्थोगोनल \u003d लंब। मैं धीरे-धीरे शब्दों का उपयोग करने की सलाह देता हूं: समानांतरवाद और लंबवतता के बजाय, हम क्रमशः शब्दों का उपयोग करते हैं समरैखिकता तथा ओर्थोगोनालिटी.

पदनाम: वैक्टर की orthogonality सामान्य लंबवत आइकन के साथ लिखी जाती है, उदाहरण के लिए:।

विचाराधीन वैक्टर को कहा जाता है वैक्टर का समन्वय करें या orts। ये वैक्टर बनते हैं आधार सतह पर। एक आधार क्या है, मुझे लगता है, बहुत से लोग सहज रूप से समझते हैं, अधिक विस्तृत जानकारी लेख में मिल सकती है रैखिक (गैर) वैक्टर की निर्भरता। वैक्टर का आधारसरल शब्दों में, आधार और उत्पत्ति पूरी प्रणाली को निर्धारित करते हैं - यह एक प्रकार की नींव है जिस पर एक पूर्ण और संतृप्त ज्यामितीय फोड़े होते हैं।

कभी-कभी निर्मित आधार कहा जाता है orthonormal विमान के आधार: "ऑर्थो" - क्योंकि समन्वित वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं, विशेषण "सामान्यीकृत" का अर्थ है इकाई, अर्थात। आधार वैक्टर की लंबाई एकता के बराबर होती है।

पदनाम: आधार आमतौर पर कोष्ठक में लिखा जाता है, जिसके अंदर सख्त अनुक्रम में बुनियादी वैक्टर सूचीबद्ध हैं, उदाहरण के लिए:। वैक्टर को समन्वित करें अनुमति नहीं हैं को पुनर्व्यवस्थित।

कोई भी विमान वेक्टर विशिष्ट इसके रूप में बताया गया:
कहाँ पे - संख्याएँजिसे कहा जाता है वेक्टर निर्देशांक इस आधार में। और अभिव्यक्ति ही बुलाया वेक्टर अपघटन आधार से .

रात का खाना परोसा:

अक्षर के पहले अक्षर से शुरू करते हैं:। ड्राइंग स्पष्ट रूप से दिखाती है कि जब वेक्टर को आधार के साथ विघटित किया जाता है, तो माना जाता है कि उपयोग किया जाता है:
1) वेक्टर को संख्या से गुणा करने का नियम: और;
2) त्रिकोण नियम के अनुसार वैक्टरों को जोड़ना:।

अब मानसिक रूप से वेक्टर को विमान के किसी अन्य बिंदु से दूर रखें। यह स्पष्ट है कि इसका अपघटन "लगातार उसका अनुसरण करेगा।" यहाँ यह है, वेक्टर की स्वतंत्रता - वेक्टर "सब कुछ अपने आप से करता है।" यह संपत्ति, निश्चित रूप से, किसी भी वेक्टर के लिए मान्य है। यह मज़ेदार है कि बेस (मुक्त) वैक्टर खुद को मूल से स्थगित नहीं करना पड़ता है, एक को खींचा जा सकता है, उदाहरण के लिए, नीचे बाईं ओर, और दूसरा शीर्ष दाईं ओर, और कुछ भी नहीं बदलेगा! सच है, आपको ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि शिक्षक भी मौलिकता दिखाएगा और आपको अप्रत्याशित स्थान पर "क्रेडिट" करेगा।

वैक्टर बिल्कुल एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करने के नियम का वर्णन करते हैं, वेक्टर को बेस वेक्टर के साथ गठबंधन किया जाता है, वेक्टर को बेस वेक्टर के विपरीत निर्देशित किया जाता है। इन वैक्टरों के लिए, निर्देशांक में से एक शून्य है, सावधानीपूर्वक निम्नानुसार लिखा जा सकता है:


और मूल वैक्टर, वैसे हैं: (वास्तव में, वे खुद के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं)।

और अंत में:। वैसे, वैक्टर का घटाव क्या है, और मैं घटाव के नियम के बारे में बात क्यों नहीं करता? कहीं-कहीं रैखिक बीजगणित में, मुझे यह याद नहीं है कि, मैंने कहाँ उल्लेख किया है कि घटाव इसके अतिरिक्त होने का एक विशेष मामला है। तो, वैक्टर "डी" और "ई" के विघटन शांति से योग के रूप में लिखे गए हैं: । शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें और ड्राइंग का पालन करें, इन नियमों में त्रिकोण नियम के अनुसार स्पष्ट रूप से पुराने अच्छे वैक्टर शामिल हैं।

रूप का अपघटन माना जाता है कभी-कभी वेक्टर अपघटन कहा जाता है ऑर्ट सिस्टम में (यानी, यूनिट वैक्टर की प्रणाली में)। लेकिन यह सदिश लिखने का एकमात्र तरीका नहीं है, निम्न विकल्प आम है:

या बराबर चिह्न के साथ:

मूल वैक्टर स्वयं इस प्रकार लिखे गए हैं: और

यही है, वेक्टर के निर्देशांक कोष्ठक में इंगित किए गए हैं। व्यावहारिक कार्यों में, सभी तीन रिकॉर्डिंग विकल्पों का उपयोग किया जाता है।

मुझे संदेह था कि क्या बोलूं, लेकिन फिर भी मैं कहूंगा: वेक्टर निर्देशांक को पुन: व्यवस्थित नहीं किया जा सकता है. पहली जगह में सख्ती समन्वय को लिखें जो इकाई वेक्टर से मेल खाती है, दूसरे स्थान पर सख्ती समन्वय को लिखें जो इकाई वेक्टर से मेल खाती है। दरअसल, और - ये दो अलग-अलग वैक्टर हैं।

हमने विमान पर लगे निर्देशांक का पता लगाया। अब तीन आयामी स्थान में वैक्टर पर विचार करें, यहां सब कुछ लगभग समान है! केवल एक और समन्वय जोड़ा जाएगा। तीन आयामी चित्र प्रदर्शन करना मुश्किल है, इसलिए मैं खुद को एक वेक्टर तक सीमित करूंगा, जो सादगी के लिए मैं मूल से स्थगित कर दूंगा:

कोई भी तीन आयामी अंतरिक्ष के वेक्टर कर सकते हैं एक ही रास्ता एक असामान्य आधार पर विस्तार:
, जहां इस आधार में वेक्टर (संख्या) के निर्देशांक हैं।

चित्र से उदाहरण: । आइए देखें कि वैक्टर के साथ क्रियाओं के नियम यहां कैसे काम करते हैं। सबसे पहले, वेक्टर को एक संख्या से गुणा करें: (लाल तीर), (हरा तीर) और (रास्पबेरी तीर)। दूसरे, इससे पहले कि आप कई के जोड़ का एक उदाहरण है, इस मामले में तीन, वैक्टर:। सदिश राशि प्रस्थान के प्रारंभिक बिंदु (सदिश की शुरुआत) पर शुरू होती है और आगमन के अंतिम बिंदु (सदिश के अंत) से चिपक जाती है।

तीन-आयामी अंतरिक्ष के सभी वैक्टर, निश्चित रूप से स्वतंत्र हैं, किसी भी अन्य बिंदु से वेक्टर को मानसिक रूप से स्थगित करने का प्रयास करें, और आप महसूस करेंगे कि इसका अपघटन "इसके साथ रहेगा।"

एक फ्लैट मामले के समान, रिकॉर्डिंग के अलावा कोष्ठक के साथ संस्करणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: या तो।

यदि विस्तार में एक (या दो) समन्वित वैक्टर नहीं होते हैं, तो शून्य को उनके स्थान पर रखा जाता है। उदाहरण:
वेक्टर (सावधानीपूर्वक) ) - हम लिखेंगे;
वेक्टर (सावधानीपूर्वक) ) - हम लिखेंगे;
वेक्टर (सावधानीपूर्वक) ) - नीचे लिखें।

बेस वैक्टर निम्नानुसार लिखे गए हैं:

यहाँ, शायद, सभी न्यूनतम सैद्धांतिक ज्ञान है जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। शायद बहुत सारी शर्तें और परिभाषाएँ, इसलिए डमी इस जानकारी को फिर से पढ़ने और समझने की सलाह देते हैं। हां, और यह किसी भी पाठक के लिए समय-समय पर बेहतर सीखने के लिए एक मूल पाठ को चालू करने के लिए उपयोगी होगा। Collinearity, orthogonality, orthon असामान्य आधार, वेक्टर अपघटन - इन और अन्य अवधारणाओं का उपयोग अक्सर भविष्य में किया जाएगा। मैं ध्यान देता हूं कि साइट सामग्री सैद्धांतिक स्टैंडिंग, ज्यामिति में बोलचाल को पारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि मैं ध्यान से सभी प्रमेयों (सबूत के बिना भी) को प्रस्तुत करता हूं - प्रस्तुति की वैज्ञानिक शैली के नुकसान के लिए, लेकिन विषय की आपकी समझ के लिए। एक विस्तृत सैद्धांतिक पृष्ठभूमि के लिए, कृपया प्रोफेसर अतनसैनन को प्रणाम करें।

और हम व्यावहारिक हिस्से की ओर बढ़ते हैं:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याएं।
निर्देशांक में वैक्टर के साथ क्रिया

जिन कार्यों पर विचार किया जाएगा, यह जानने के लिए अत्यधिक वांछनीय है कि पूर्ण मशीन पर कैसे हल किया जाए, और सूत्र याद, विशेष रूप से याद नहीं है, वे खुद को याद किया जाएगा \u003d) यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्य कार्य सरलतम प्राथमिक उदाहरणों पर आधारित हैं, और प्यादे खाने के लिए अतिरिक्त समय बिताना कष्टप्रद होगा। शर्ट पर शीर्ष बटन को जकड़ने की आवश्यकता नहीं है, कई चीजें आपको स्कूल से परिचित हैं।

सामग्री की प्रस्तुति एक समानांतर पाठ्यक्रम में जाएगी - दोनों विमान और अंतरिक्ष के लिए। इस कारण से कि सभी सूत्र ... आप अपने लिए देखेंगे।

दो बिंदुओं से एक वेक्टर कैसे खोजें?

यदि विमान के दो बिंदु और दिए गए हैं, तो वेक्टर में निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

यदि अंतरिक्ष के दो बिंदु दिए गए हैं, और फिर वेक्टर में निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

अर्थात, वेक्टर के अंत के निर्देशांक से आपको इसी निर्देशांक को घटाना होगा वेक्टर शुरू करो.

काम: उसी बिंदुओं के लिए, वेक्टर के निर्देशांक खोजने के लिए सूत्र लिखें। पाठ के अंत में सूत्र।

उदाहरण 1

विमान के दो बिंदु और दिए गए हैं। वेक्टर निर्देशांक का पता लगाएं

फेसला: इसी सूत्र के अनुसार:

वैकल्पिक रूप से, आप निम्नलिखित प्रविष्टि का उपयोग कर सकते हैं:

एस्थेट इस तरह तय करेंगे:

व्यक्तिगत रूप से, मुझे रिकॉर्डिंग के पहले संस्करण में उपयोग किया जाता है।

उत्तर:

शर्त के अनुसार, एक ड्राइंग का निर्माण करना आवश्यक नहीं था (जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं के लिए विशिष्ट है), लेकिन डमी को कुछ बिंदुओं को समझाने के लिए, मैं आलसी नहीं होगा:

समझना चाहिए बिंदुओं के निर्देशांक और वैक्टर के निर्देशांक के बीच अंतर:

बिंदु निर्देशांक - ये एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में सामान्य निर्देशांक हैं। मुझे लगता है कि हर कोई जानता है कि 5-6 वीं कक्षा के बाद से समन्वय विमान पर अंक कैसे स्थगित करें। प्रत्येक बिंदु का विमान पर एक सख्त स्थान है, और आप उन्हें कहीं भी स्थानांतरित नहीं कर सकते।

वेक्टर के निर्देशांक - यह इस मामले में, आधार पर इसका अपघटन है। कोई भी वेक्टर मुक्त है, इसलिए यदि आवश्यक हो, तो हम इसे आसानी से विमान में किसी अन्य बिंदु से स्थगित कर सकते हैं। यह दिलचस्प है कि वैक्टर के लिए यह बिल्कुल आवश्यक नहीं है कि वे कुल्हाड़ियों का निर्माण करें, एक आयताकार समन्वय प्रणाली, आपको केवल एक आधार की आवश्यकता है, इस मामले में विमान का एक असामान्य आधार है।

बिंदुओं के निर्देशांक और वैक्टर के निर्देशांक के रिकॉर्ड समान हैं :, और निर्देशांक की भावना पूर्ण रूप से विभिन्न, और आपको इस अंतर को अच्छी तरह से समझना चाहिए। यह अंतर, ज़ाहिर है, अंतरिक्ष के लिए भी सही है।

देवियों और सज्जनों, हम अपना हाथ भरते हैं:

उदाहरण 2

a) दिए गए बिंदु और वैक्टर और खोजें।
b) अंक दिए गए तथा। वैक्टर और खोजें।
ग) अंक और वैक्टर और खोजें।
d) डॉट्स दिए गए हैं। वैक्टर खोजें .

शायद काफी है। ये एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण हैं, उन्हें उपेक्षित न करने की कोशिश करें, यह भुगतान करेगा ;-)। ड्रॉइंग करने की आवश्यकता नहीं है। पाठ के अंत में निर्णय और उत्तर।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करते समय क्या महत्वपूर्ण है? कार्यशाला त्रुटि "दो प्लस दो शून्य है" को रोकने के लिए अत्यधिक महत्वपूर्ण होना आवश्यक है। अगर मैंने गलती की तो मैं तुरंत माफी मांगता हूं \u003d)

खंड की लंबाई कैसे पता करें?

लंबाई, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, मॉड्यूल के संकेत द्वारा इंगित किया गया है।

यदि विमान के दो बिंदु और दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

यदि अंतरिक्ष के दो बिंदु दिए गए हैं, और तब खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

ध्यान दें: यदि आप संबंधित निर्देशांक को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो सूत्र सही रहेंगे: और पहला विकल्प अधिक मानक है

उदाहरण 3

फेसला: इसी सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

स्पष्टता के लिए, मैं एक ड्राइंग बनाऊंगा

अनुभाग - यह एक वेक्टर नहीं है, और निश्चित रूप से आप इसे कहीं भी स्थानांतरित नहीं कर सकते। इसके अलावा, यदि आप स्केल में ड्राइंग का पालन करते हैं: 1 इकाई। \u003d 1 सेमी (दो टेट्राड कोशिकाएं), फिर प्राप्त उत्तर को सीधे खंड की लंबाई को मापकर एक साधारण शासक के साथ जांचा जा सकता है।

हां, समाधान कम है, लेकिन इसमें अभी भी कुछ महत्वपूर्ण बिंदु हैं जिन्हें मैं स्पष्ट करना चाहूंगा:

सबसे पहले, उत्तर में हम आयाम डालते हैं: "इकाइयाँ"। स्थिति यह नहीं कहती है कि यह क्या है, मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर या किलोमीटर। इसलिए, एक गणितीय रूप से सक्षम समाधान सामान्य शब्दांकन होगा: "इकाइयां" - संक्षिप्त "इकाइयां"।

दूसरे, हम स्कूल सामग्री को दोहराएंगे, जो न केवल समस्या के लिए उपयोगी है:

पर ध्यान दें महत्वपूर्ण तकनीक – कारक को जड़ के नीचे से हटाना। गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें परिणाम मिला और एक अच्छी गणितीय शैली में कारक को मूल (यदि संभव हो) के तहत बाहर निकालना शामिल है। अधिक प्रक्रिया इस तरह दिखती है: । बेशक, फॉर्म में जवाब छोड़ना कोई गलती नहीं होगी - लेकिन शिक्षक द्वारा किए गए नाइट-पिकिंग के लिए दोष निश्चित रूप से एक शक्तिशाली तर्क है।

यहाँ अन्य सामान्य मामले हैं:

उदाहरण के लिए अक्सर रूट के तहत एक काफी बड़ी संख्या प्राप्त की जाती है। ऐसे मामलों में क्या करना है? कैलकुलेटर पर, हम जांचते हैं कि संख्या 4 से विभाजित है या नहीं। हाँ, यह पूरी तरह से विभाजित है, इस प्रकार: । या शायद संख्या को फिर से 4 से विभाजित किया जा सकता है? । इस प्रकार: । संख्या में अंतिम अंक विषम है, इसलिए स्पष्ट रूप से इसे तीसरी बार 4 से विभाजित करना सफल नहीं होगा। नौ से विभाजित करने की कोशिश:। नतीजतन:
किया हुआ।

आउटपुट: यदि रूट के तहत एक पूरी तरह से गैर-निष्कर्षण योग्य संख्या प्राप्त की जाती है, तो हम कारक को रूट के नीचे से निकालने की कोशिश करते हैं - कैलकुलेटर पर हम जांचते हैं कि क्या संख्या द्वारा विभाज्य है: 4, 9, 16, 25, 36, 49, आदि।

विभिन्न समस्याओं को हल करने के दौरान, जड़ों को अक्सर पाया जाता है, हमेशा शिक्षक की टिप्पणी के अनुसार अपने निर्णयों के शोधन के साथ कम रेटिंग और अनावश्यक परेशानियों से बचने के लिए रूट के नीचे से कारकों को निकालने का प्रयास करें।

चलो एक ही समय में जड़ों और अन्य डिग्री के वर्ग को दोहराते हैं:

सामान्य रूप से डिग्री से निपटने के नियम स्कूल की पाठ्यपुस्तक में बीजगणित पर पाए जा सकते हैं, लेकिन, मुझे लगता है कि दिए गए उदाहरणों से, सब कुछ या लगभग सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है।

अंतरिक्ष में एक खंड के साथ एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उदाहरण 4

अंक और दिए गए हैं। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।

पाठ के अंत में निर्णय और उत्तर दें।

वेक्टर की लंबाई कैसे पता करें?

यदि एक विमान वेक्टर दिया जाता है, तो इसकी लंबाई सूत्र द्वारा गणना की जाती है।

यदि एक अंतरिक्ष वेक्टर दिया जाता है, तो इसकी लंबाई सूत्र द्वारा गणना की जाती है .

इकाई वेक्टर - ये है वेक्टरजिसका पूर्ण मूल्य (मॉड्यूल) एकता के बराबर है। यूनिट वेक्टर को निरूपित करने के लिए हम सबस्क्रिप्ट ई का उपयोग करेंगे तथातब इसकी इकाई वेक्टर एक वेक्टर होगी तथा e। इस इकाई वेक्टर को वेक्टर के समान दिशा में निर्देशित किया जाता है। तथा, और इसका मॉड्यूल एकता के बराबर है, जो कि एक ई \u003d 1 है।

जाहिर है तथा \u003d ए तथा ई (ए) - वेक्टर मॉड्यूल तथा)। यह उस नियम से होता है जिसके द्वारा एक वेक्टर द्वारा स्केलर को गुणा करने का ऑपरेशन किया जाता है।

यूनिट वैक्टर अक्सर समन्वय प्रणाली के समन्वय अक्षों के साथ जुड़ा हुआ है (विशेष रूप से, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों के साथ)। इन की दिशाएँ वैक्टर इसी कुल्हाड़ियों की दिशा के साथ मेल खाता है, और उनकी शुरुआत अक्सर समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के साथ संयुक्त होती है।

मैं आपको याद दिला दूं कार्तीय समन्वय प्रणाली अंतरिक्ष में, एक बिंदु पर पारस्परिक रूप से लंबवत कुल्हाड़ियों के तिर्यक को मूल कहा जाता है जिसे पारंपरिक रूप से कहा जाता है। कोर्डिनेट कुल्हाड़ियों को आमतौर पर X, Y, Z अक्षर से दर्शाया जाता है और क्रमशः एब्सिस्सा एक्सिस, ऑर्डिनेट एक्सिस और एप्लेट एक्सिस कहा जाता है। डेसकार्टेस ने स्वयं केवल एक अक्ष का उपयोग किया, जिस पर एब्सिस जमा हो गए थे। उपयोग की योग्यता प्रणाली कुल्हाड़ी उसके छात्रों की है। इसलिए मुहावरा कार्तीय समन्वय प्रणाली ऐतिहासिक रूप से गलत है। बेहतर बात करते हैं आयताकार समन्वय प्रणाली या ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली। फिर भी, हम परंपराओं को नहीं बदलेंगे और यह मानते रहेंगे कि कार्टेशियन और आयताकार (ऑर्थोगोनल) समन्वय प्रणाली एक और एक ही हैं।

इकाई वेक्टरएक्स अक्ष के साथ निर्देशित द्वारा निरूपित किया जाता है मैं, इकाई वेक्टरy अक्ष के साथ निर्देशित द्वारा निरूपित किया जाता है जे, तथा इकाई वेक्टरz अक्ष के साथ निर्देशित द्वारा निरूपित किया जाता है क। वैक्टर मैं, जे, क कहा जाता है orts (छवि। 12, बाएं), उनके पास यूनिट मॉड्यूल हैं, अर्थात।
i \u003d 1, j \u003d 1, k \u003d 1।

अक्ष और orts आयताकार समन्वय प्रणाली कुछ मामलों में अन्य नाम और पदनाम हैं। तो, x- अक्ष को स्पर्शरेखा अक्ष कहा जा सकता है, और इसकी इकाई वेक्टर को निरूपित किया जाता है τ (ग्रीक लोअरकेस लेटर ताऊ), ऑर्डिनेट अक्ष सामान्य अक्ष है, इसकी इकाई को इंगित किया गया है n , एप्टीट्यूड एक्सिसल एक्सिम्नल एक्सिस है, इसकी यूनिट वेक्टर द्वारा निरूपित की जाती है ख। यदि सार समान रहता है तो नाम क्यों बदलें?

तथ्य यह है कि, उदाहरण के लिए, यांत्रिकी में, निकायों की गति का अध्ययन करते समय, एक आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग अक्सर किया जाता है। इसलिए, यदि निर्देशांक प्रणाली स्वयं स्थिर है, और किसी गतिशील वस्तु के निर्देशांक में परिवर्तन इस निश्चित प्रणाली में ट्रैक किया जाता है, तो आमतौर पर एक्स एक्स, वाई, जेड और उनके होते हैं orts क्रमश: मैं, जे, क.

लेकिन अक्सर, जब कोई वस्तु घुमावदार पथ के साथ चलती है (उदाहरण के लिए, एक सर्कल के साथ) तो इस ऑब्जेक्ट के साथ चलती समन्वय प्रणाली में यांत्रिक प्रक्रियाओं पर विचार करना अधिक सुविधाजनक होता है। यह इस तरह के एक चलती समन्वय प्रणाली के लिए है कि कुल्हाड़ियों और उनकी इकाई वैक्टर के अन्य नामों का उपयोग किया जाता है। बस इतना स्वीकार है। इस स्थिति में, एक्स अक्ष उस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र को स्पर्शरेखा निर्देशित किया जाता है जिस पर यह ऑब्जेक्ट वर्तमान में स्थित है। और फिर इस अक्ष को अब एक्स अक्ष नहीं कहा जाता है, लेकिन स्पर्शरेखा अक्ष, और इसकी इकाई वेक्टर अब नहीं है मैं, तथा τ । वाई अक्ष को प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या के साथ निर्देशित किया जाता है (एक सर्कल के साथ आंदोलन के मामले में, सर्कल के केंद्र में)। और चूंकि त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है, इसलिए अक्ष को सामान्य अक्ष कहा जाता है (लंब और सामान्य समान हैं)। इस अक्ष की इकाई वेक्टर अब नहीं है जे, तथा n। तीसरा अक्ष (पूर्व Z) दो पिछले वाले के लंबवत है। यह एक ऑर्थ के साथ द्विपद है ख (चित्र 12, दाएं)। वैसे, इस मामले में, ऐसे आयताकार समन्वय प्रणाली जिसे अक्सर "प्राकृतिक" या प्राकृतिक कहा जाता है।

परिभाषा (X 1, x 2, ..., x n) n वास्तविक संख्याओं का एक आदेशित संग्रह कहा जाता है n- आयामी वेक्टर, और संख्याएँ x i (i \u003d) - अवयव या निर्देशांक

उदाहरण। यदि, उदाहरण के लिए, एक कार कारखाने में 50 कारों, 100 ट्रकों, 10 बसों, कारों के लिए 50 भागों और ट्रकों और बसों के लिए 150 सेटों का उत्पादन करना है, तो इस संयंत्र के उत्पादन कार्यक्रम को एक वेक्टर (50, 100) के रूप में लिखा जा सकता है , 10, 50, 150) पांच घटक होते हैं।

पदनाम। क्षेत्रों को बोल्ड लोअरकेस अक्षरों या शीर्ष पर एक बार या तीर के साथ अक्षरों में इंगित किया जाता है, उदाहरण के लिए, एया। दो वैक्टर कहते हैं बराबरी कायदि उनके पास समान घटकों की संख्या है और उनके संबंधित घटक समान हैं।

वेक्टर के घटकों को परस्पर नहीं जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, (3, 2, 5, 0, 1)और (2, 3, 5, 0, 1) विभिन्न वैक्टर।
वैक्टर पर संचालन।काम एक्स \u003d (x 1, x 2, ..., x n) प्रति वास्तविक संख्याλ वेक्टर कहा जाता हैλ एक्स \u003d (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n)।

रकम एक्स \u003d (x 1, x 2, ..., x n) और y \u003d (y 1, y 2, ..., y n) वेक्टर है x + y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n)।

वैक्टर का स्थान। एन -आयामी वेक्टर अंतरिक्ष आर n को सभी एन-डायमेंशनल वैक्टर के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके लिए वास्तविक संख्या और जोड़ द्वारा गुणा के संचालन को परिभाषित किया गया है।

आर्थिक चित्रण। एन-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस का आर्थिक चित्रण: माल की जगह (अच्छे के लिए) के अंतर्गत मालहम कुछ अच्छी या सेवा को समझेंगे जो एक निश्चित समय में एक विशिष्ट समय पर बिक्री पर चली गई थी। मान लें कि नकदी वस्तुओं की एक परिमित संख्या है n; उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए उनमें से प्रत्येक की मात्रा माल के एक सेट की विशेषता है

एक्स \u003d (x 1, x 2, ..., x n),

जहाँ x मैं उपभोक्ता द्वारा अर्जित की गई i-th अच्छी की राशि को दर्शाता है। हम मानते हैं कि सभी उत्पादों में मनमानी विभाजन की संपत्ति है, ताकि उनमें से प्रत्येक की कोई भी गैर-नकारात्मक मात्रा खरीदी जा सके। फिर सभी संभावित उत्पाद सेट उत्पाद स्पेस वैक्टर C \u003d (हैं एक्स \u003d (x 1, x 2, ..., x n) x i, 0, i \u003d)।

रैखिक स्वतंत्रता। प्रणाली इ 1 , इ 2 , ... , इ मीटर n- आयामी वैक्टर कहा जाता है रैखिक रूप से निर्भरअगर ऐसी संख्याएँ हैंλ 1, λ 2, ..., λ m , जिसमें से कम से कम एक नोनज़रो है, जोλ १ इ 1 + λ 2 इ 2 + ... + λ एम इ मी 0 है; अन्यथा, वैक्टर की इस प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र, अर्थात्, इंगित समानता केवल मामले में ही संभव है । में वैक्टर के रैखिक निर्भरता का ज्यामितीय अर्थ आर 3, निर्देशित खंडों के रूप में व्याख्या की गई, निम्नलिखित प्रमेयों की व्याख्या करें।

प्रमेय १ एक वेक्टर से मिलकर एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है अगर और केवल अगर यह वेक्टर शून्य है।

प्रमेय २ दो वैक्टर के लिए रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक है और पर्याप्त है कि वे कोलिनियर (समानांतर) हैं।

प्रमेय ३ । तीन वैक्टरों के रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे कॉपलनार (एक ही विमान में पड़े हुए) हैं।

वैक्टर के बाएँ और दाएँ ट्रिपल्स। तीन गैर-कोपलानर वैक्टर ए, बी, सी बुलाया सहीयदि उनकी सामान्य शुरुआत से पर्यवेक्षक वैक्टर के छोर को पीछे छोड़ देता है ए, बी, सीदिखाए गए क्रम में दक्षिणावर्त लगता है। अन्यथा ए, बी, सी - तीन को छोड़ दिया। वैक्टर के सभी दाएं (या बाएं) त्रिक को कहा जाता है समान रूप से उन्मुख।

आधार और निर्देशांक। ट्रोइका इ 1, इ 2 , इ 3 गैर-कोपलानर वैक्टर आर 3 कहा जाता है आधार, और खुद वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 - बुनियादी। कोई भी सदिश एआधार वैक्टर में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है, अर्थात, प्रपत्र में प्रस्तुत किया गया है

तथा \u003d एक्स 1 इ 1 + x 2 इ 2 + x ३ इ 3, (1.1)

विस्तार में संख्या x 1, x 2, x 3 को (1.1) कहा जाता है निर्देशांकए आधार में इ 1, इ 2 , इ 3 और नामित हैं ए(x 1, x 2, x 3)।

असाधारण आधार। अगर वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 जोड़ीदार लंबवत हैं और उनमें से प्रत्येक की लंबाई एक के बराबर है, फिर आधार कहा जाता है orthonormal, और निर्देशांक x 1, x 2, x 3 हैं आयताकार। अलंकारिक आधार के आधार वैक्टर को निरूपित किया जाएगा मैं, जे, के।

हम अंतरिक्ष में मान लेंगे आर 3 कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक की सही प्रणाली का चयन किया गया है (0, मैं, जे, के}.

वेक्टर कलाकृति। वेक्टर कलाकृति तथा वेक्टर पर ख वेक्टर कहा जाता है सी, जो निम्नलिखित तीन स्थितियों से निर्धारित होता है:

1. वेक्टर लंबाई सी संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर निर्मित एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर ए तथा खअर्थात।
सी= | ए || बी | पाप ( ए^ख).

2. वेक्टर सी प्रत्येक वैक्टर में लंबवत ए तथा ख।

3. वैक्टर ए, ख तथा सीइस क्रम में लिया गया सही तीन है।

वेक्टर कलाकृति के लिए सी पदनाम पेश किया है ग \u003d[अब] या है
सी \u003d ए × ख।

अगर वैक्टर ए तथा ख कोलिनियर, फिर पाप ( ए ^ बी) \u003d 0 और [ अब] \u003d 0, विशेष रूप से, [ आ] \u003d 0. यूनिट वैक्टर के वेक्टर उत्पाद: [ ij]= क [जेके] = मैं, [की]= जे.

अगर वैक्टर ए तथा ख आधार में दिए गए हैं मैं, जे, के निर्देशांक ए(1, 2, 3) ख(बी 1, बी 2, बी 3), फिर

मिश्रित कार्य। यदि दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद तथा तथा खतीसरे वेक्टर द्वारा स्केलरली गुणा किया जाता है सी फिर तीन वैक्टर के ऐसे उत्पाद को कहा जाता है मिश्रित कार्य और द्वारा इंगित किया गया है ए बी सी।

अगर वैक्टर ए, बी तथा सी आधार में मैं, जे, के उनके निर्देशांक द्वारा निर्धारित
ए(1, 2, 3) ख(बी १, बी २, बी ३), सी(सी 1, सी 2, सी 3), फिर

.

एक मिश्रित उत्पाद की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है - यह एक स्केलर है, इन तीन वैक्टरों पर बनाए गए समानांतर चतुर्भुज की मात्रा के बराबर पूर्ण मूल्य में।

यदि वैक्टर सही ट्रिपल बनाते हैं, तो उनका मिश्रित उत्पाद इंगित मात्रा के बराबर एक सकारात्मक संख्या है; अगर ट्रिपल ए, बी, सी - फिर छोड़ दिया a b c<0 и V = - a b cइसलिए वी \u003d| ए बी सी |.

पहले अध्याय की समस्याओं में सामना किए गए वैक्टर के निर्देशांक को सही ऑर्थोनॉमिक आधार के सापेक्ष माना जाता है। वेक्टर के लिए यूनिट वेक्टर सह-दिशात्मक तथा,संकेतक तथा के बारे में। प्रतीक आर=ओम बिंदु M की त्रिज्या वेक्टर को प्रतीक a, AB या के द्वारा निरूपित किया जाता है| ए |, | एबी | वैक्टर के मॉड्यूल निर्दिष्ट हैं तथा तथा एबी।

उदाहरण 1.2. वैक्टर के बीच का कोण ज्ञात करें ए= 2म+4nतथा ख= एम-एनकहाँ पे म तथा n -यूनिट वैक्टर और बीच का कोण म तथा n120 के बराबर।

फेसला। हमारे पास: cos φ = अब/ ab, ab \u003d(2म+4n) (एम-एन) = 2 म 2 - 4n 2 +2एम.एन.=
\u003d 2 - 4 + 2cos120 ओ \u003d - 2 + 2 (-0.5) \u003d -3; a \u003d ; ए 2 = (2म+4n) (2म+4n) =
= 4 म 2 +16एम.एन.+16 n 2 \u003d 4 + 16 (-0.5) + 16 \u003d 12, इसलिए a \u003d। बी \u003d ; ख 2 =
\u003d (एम-एन)(एम-एन) = म 2 -2एम.एन.+ n 2 = 1-2 (-0.5) +1 \u003d 3, इसलिए बी \u003d। अंत में हमारे पास है: cosφ \u003d -1/2, 2 \u003d 120 ओ।

उदाहरण १.३वैक्टरों को जानना Ab(-3, -2.6) और ईसा पूर्व(-2,4,4), त्रिभुज ABC की ऊंचाई लंबाई AD की गणना करें।

फेसला। एस द्वारा त्रिकोण एबीसी के क्षेत्र को नकारते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
एस \u003d १/२ ईसा पूर्व ई। फिर AD \u003d 2S / BC, BC \u003d \u003d = 6,
एस \u003d 1/2 | एबी ×एसी |. एसी \u003d एबी + बीसीवेक्टर का मतलब है एसी निर्देशांक है
. .

उदाहरण 1.4 । दो वैक्टर दिए गए हैं ए(11,10,2) और ख(4.0.3)। इकाई वेक्टर का पता लगाएं सी वैक्टरों को ऑर्थोगोनल ए तथा ख और निर्देशित किया ताकि वैक्टर के एक आदेशित ट्रिपल ए, बी, सी सही था।

फेसला।वेक्टर के निर्देशांक को अस्वीकार करें सीx, y, z द्वारा दिए गए सही ऑर्थोनॉमिक आधार के संबंध में।

जहां तक \u200b\u200bकि सी ⊥ एसी ⊥ खफिर सीए= 0सीबी\u003d 0. समस्या की स्थिति से, यह आवश्यक है कि सी \u003d 1 और a b c >0.

हमारे पास x, y, z: 11x + 10y + 2z \u003d 0, 4x + 3z \u003d 0, x 2 + y 2 + z 2 \u003d 0 होने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली है।

सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण से हम z \u003d -4/3 x, y \u003d -5/6 x प्राप्त करते हैं। तीसरे समीकरण में y और z को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है: x 2 \u003d 36/125, whence
x \u003d± । शर्त का उपयोग करना ए बी सी\u003e0, हम असमानता प्राप्त करते हैं

Z और y के भावों को ध्यान में रखते हुए, हम परिणाम में असमानता को फिर से लिखते हैं: 625/6 x\u003e 0, जिसका अर्थ है कि x\u003e 0। तो x \u003d, y \u003d -, z \u003d -।