Figūros ašinė simetrija yra susijusi su tiesia linija. Ašinė ir centrinė simetrija

simetrijos architektūrinio fasado pastatas

Simetrija – tai sąvoka, atspindinti gamtoje egzistuojančią tvarką, proporcingumą ir proporcingumą tarp bet kurios sistemos ar gamtos objekto elementų, tvarkingumą, sistemos pusiausvyrą, stabilumą, t.y. tam tikras harmonijos elementas.

Praėjo tūkstantmečiai, kol žmonija, vykdydama savo visuomeninę ir gamybinę veiklą, suvokė būtinybę tam tikromis sąvokomis išreikšti dvi tendencijas, kurias ji pirmiausia buvo įtvirtinusi gamtoje: griežto tvarkingumo, proporcingumo, pusiausvyros buvimą ir jų pažeidimą. Žmonės nuo seno atkreipė dėmesį į taisyklingą kristalų formą, korių struktūros geometrinį griežtumą, šakų ir lapų išdėstymo ant medžių, žiedlapių, gėlių ir augalų sėklų seką bei pakartojamumą ir šią tvarkingumą atspindėjo savo praktikoje. veikla, mąstymas ir menas.

Gyvosios gamtos objektai ir reiškiniai turi simetriją. Tai ne tik džiugina akį ir įkvepia visų laikų ir tautų poetus, bet leidžia gyviems organizmams geriau prisitaikyti prie aplinkos ir tiesiog išgyventi.

Gyvojoje gamtoje didžioji dauguma gyvų organizmų pasižymi įvairiomis simetrijomis (forma, panašumas, santykinė vieta). Be to, skirtingų organizmų anatominė struktūra gali turėti tokio paties tipo išorinę simetriją.

Simetrijos principas teigia, kad jei erdvė yra vienalytė, sistemos kaip visumos perkėlimas erdvėje nekeičia sistemos savybių. Jei visos kryptys erdvėje yra lygiavertės, tai simetrijos principas leidžia erdvėje suktis visai sistemai. Pakeitus laiko pradžią, laikomasi simetrijos principo. Pagal principą galima pereiti prie kitos atskaitos sistemos, judančios šios sistemos atžvilgiu pastoviu greičiu. Negyvas pasaulis yra labai simetriškas. Dažnai simetrijos lūžis kvantinėje dalelių fizikoje yra dar gilesnės simetrijos pasireiškimas. Asimetrija yra struktūrą formuojantis ir kūrybinis gyvenimo principas. Gyvose ląstelėse funkciškai reikšmingos biomolekulės yra asimetriškos: baltymai susideda iš į kairę besisukančių aminorūgščių (L formos) ir nukleino rūgštys Juose, be heterociklinių bazių, yra dešinėn sukančių angliavandenių – cukrų (D forma), be to, pačios DNR – paveldimumo pagrindas yra dešiniarankė dviguba spiralė.

Simetrijos principai yra reliatyvumo teorijos, kvantinės mechanikos ir fizikos pagrindas. kietas, atomų ir branduolių fizika, dalelių fizika. Šie principai aiškiausiai išreiškiami gamtos dėsnių nekintamumo savybėmis. Kalbame ne tik apie fizikinius dėsnius, bet ir kitus, pavyzdžiui, biologinius. Biologinio išsaugojimo dėsnio pavyzdys yra paveldėjimo dėsnis. Jis pagrįstas nekintamumu biologines savybes kalbant apie perėjimą iš vienos kartos į kitą. Visiškai akivaizdu, kad be gamtosaugos dėsnių (fizinių, biologinių ir kitų), mūsų pasaulis tiesiog negalėtų egzistuoti.

Taigi simetrija išreiškia kažko išsaugojimą nepaisant kai kurių pakeitimų arba kažko išsaugojimą nepaisant pasikeitimo. Simetrija suponuoja ne tik paties objekto, bet ir bet kokių jo savybių nekintamumą objekte atliekamų transformacijų atžvilgiu. Tam tikrų objektų nekintamumas gali būti stebimas įvairių operacijų – sukimų, vertimų, tarpusavio dalių keitimo, atspindžių ir kt.

Panagrinėkime simetrijos tipus matematikoje:

  • * centrinis (taško atžvilgiu)
  • * ašinis (palyginti tiesus)
  • * veidrodis (plokštumos atžvilgiu)
  • 1. Centrinė simetrija (1 priedas)

Sakoma, kad figūra yra simetriška taško O atžvilgiu, jei kiekvienam figūros taškui taško O atžvilgiu simetriškas taškas taip pat priklauso šiai figūrai. Taškas O vadinamas figūros simetrijos centru.

Su simetrijos centro samprata pirmą kartą buvo susidurta XVI a. Vienoje iš Klavijaus teoremų, kuri teigia: „Jei gretasienį perpjauna plokštuma, einanti per centrą, tada ji padalijama per pusę ir, atvirkščiai, jei gretasienis perpjaunamas per pusę, tada plokštuma eina per centrą“. Legendre'as, pirmasis įvedęs simetrijos doktrinos elementus į elementariąją geometriją, rodo, kad dešinysis gretasienis turi 3 simetrijos plokštumas, statmenas kraštams, o kubas turi 9 simetrijos plokštumas, iš kurių 3 yra statmenos kraštams, kiti 6 praeina per veidų įstrižaines.

Figūrų, turinčių centrinę simetriją, pavyzdžiai yra apskritimas ir lygiagretainis.

Algebroje, tiriant lygines ir nelygines funkcijas, nagrinėjami jų grafikai. Sudarytas lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu, o nelyginės – pradžios atžvilgiu, t.y. taškas O. Tai reiškia nelyginė funkcija turi centrinę simetriją, o lygioji funkcija yra ašinė.

2. Ašinė simetrija(2 priedas)

Figūra vadinama simetriška tiesės a atžvilgiu, jei šiai figūrai kiekvienam figūros taškui priklauso ir taškas, simetriškas tiesės a atžvilgiu. Tiesi linija a vadinama figūros simetrijos ašimi. Taip pat teigiama, kad figūra turi ašinę simetriją.

Siauresne prasme simetrijos ašis vadinama antros eilės simetrijos ašimi ir kalba apie „ašinę simetriją“, kurią galima apibrėžti taip: figūra (arba kūnas) turi ašinę simetriją apie tam tikrą ašį, jei kiekviena iš jo taškai E atitinka tašką F, priklausantį tai pačiai figūrai, kad atkarpa EF yra statmena ašiai, kerta ją ir susikirtimo taške dalijama pusiau.

Pateiksiu ašinės simetrijos figūrų pavyzdžių. Neišvystytas kampas turi vieną simetrijos ašį – tiesę, ant kurios yra kampo pusiausvyra. Lygiašonis (bet ne lygiakraštis) trikampis taip pat turi vieną simetrijos ašį, o lygiakraštis – tris simetrijos ašis. Stačiakampis ir rombas, kurie nėra kvadratai, turi dvi simetrijos ašis, o kvadratas turi keturias simetrijos ašis. Apskritimas turi begalinį jų skaičių – bet kuri tiesi linija, einanti per jo centrą, yra simetrijos ašis.

Yra figūrų, kurios neturi vienos simetrijos ašies. Tokios figūros apima lygiagretainį, kuris skiriasi nuo stačiakampio, ir skalės trikampį.

3. Veidrodinė simetrija (3 priedas)

Veidrodinė simetrija (simetrija plokštumos atžvilgiu) yra erdvės susiejimas su savimi, kai bet kuris taškas M patenka į tašką M1, kuris yra simetriškas jam šios plokštumos atžvilgiu.

Veidrodinė simetrija yra gerai žinoma kiekvienam žmogui iš kasdienio stebėjimo. Kaip rodo pats pavadinimas, veidrodinė simetrija jungia bet kurį objektą ir jo atspindį plokščiame veidrodyje. Sakoma, kad viena figūra (arba kūnas) yra veidrodiškai simetriška kitai, jei jos kartu sudaro veidrodinę simetrišką figūrą (arba kūną).

Biliardo žaidėjai jau seniai yra susipažinę su refleksijos veiksmu. Jų „veidrodžiai“ yra žaidimo lauko pusės, o šviesos spindulio vaidmenį atlieka kamuoliukų trajektorijos. Atsitrenkęs į šoną šalia kampo, kamuolys rieda į šoną, esantį stačiu kampu, ir, atsispindėjęs nuo jos, juda atgal lygiagrečiai pirmojo smūgio krypčiai.

Reikia pažymėti, kad du simetriškos figūros arba dvi simetriškos vienos figūros dalys, nepaisant visų jų panašumų, tūrių ir paviršiaus plotų lygybė, bendru atveju, yra nelygios, t.y. jie negali būti derinami vienas su kitu. Tai skirtingos figūros, jų negalima pakeisti viena kita, pavyzdžiui, tinkama pirštinė, bagažinė ir pan. netinka kairei rankai ar kojai. Daiktai gali turėti vieną, du, tris ir kt. simetrijos plokštumos. Pavyzdžiui, tiesi piramidė, kurios pagrindas yra lygiašonis trikampis, yra simetriška vienai plokštumai P. Prizmė su tuo pačiu pagrindu turi dvi simetrijos plokštumas. Taisyklinga šešiakampė prizmė jų turi septynis. Sukimosi kūnai: rutulys, toras, cilindras, kūgis ir kt. turi begalinį skaičių simetrijos plokštumų.

Senovės graikai tikėjo, kad visata yra simetriška vien todėl, kad simetrija yra graži. Remdamiesi simetrija, jie padarė keletą spėjimų. Taigi Pitagoras (V a. pr. Kr.), laikydamas sferą simetriškiausia ir tobuliausia forma, padarė išvadą, kad Žemė yra sferinė ir apie jos judėjimą išilgai sferos. Tuo pačiu metu jis tikėjo, kad Žemė juda tam tikros „centrinės ugnies“ sferoje. Pasak Pitagoro, šešios tuo metu žinomos planetos, taip pat Mėnulis, Saulė ir žvaigždės, turėjo suktis aplink tą pačią „ugnį“.

Simetrija aš Simetrija (iš graikų kalbos simetrija - proporcingumas)

matematikoje,

1) simetrija (siaurąja prasme) arba atspindys (veidrodis) plokštumos α atžvilgiu erdvėje (tiesės atžvilgiu) A plokštumoje), yra erdvės (plokštumos) transformacija, kurioje kiekvienas taškas M eina į tašką M" toks, kad segmentas MM" statmena plokštumai α (tiesi A) ir padalija ją per pusę. Plokštuma α (tiesi A) vadinama plokštuma (ašiu) C.

Atspindys yra stačiakampės transformacijos pavyzdys (žr. stačiakampę transformaciją), kuri keičia orientaciją (žr. Orientacija) (priešingai nei tinkamas judėjimas). Bet kokia stačiakampė transformacija gali būti atlikta nuosekliai atliekant baigtinį atspindžių skaičių - šis faktas vaidina svarbų vaidmenį tiriant S. geometrines figūras.

2) Simetrija (in plačiąja prasme) – geometrinės figūros savybė F, apibūdinantis tam tikrą formos dėsningumą F, jo nekintamumas veikiant judesiams ir atspindžiams. Tiksliau, figūra F turi S. (simetriškas), jei yra netapati stačiakampė transformacija, kuri perima šią figūrą į save. Visų stačiakampių transformacijų, sujungiančių figūrą, rinkinys F su savimi, yra grupė (žr. grupę), vadinama šios figūros simetrijos grupe (kartais pačios šios transformacijos vadinamos simetrijomis).

Taigi plokščia figūra, kuri atsispindi transformuojasi į save, yra simetriška tiesios linijos – C ašies (. ryžių. 1 ); čia simetrijos grupė susideda iš dviejų elementų. Jei figūra F plokštumoje yra toks, kad sukimasis bet kurio taško O atžvilgiu 360° kampu n, n- sveikasis skaičius ≥ 2, tada konvertuokite jį į save F turi S. n- taško atžvilgiu tvarka APIE- centras C. Tokių figūrų pavyzdys yra taisyklingi daugiakampiai ( ryžių. 2 ); grupė S. čia – vadinamasis. ciklinė grupė n– įsakymas. Apskritimas turi begalinės tvarkos apskritimą (kadangi jį galima sujungti su savimi sukant bet kokiu kampu).

Paprasčiausi erdvinės sistemos tipai, be atspindžių generuojamos sistemos, yra centrinė sistema, ašinė sistema ir perdavimo sistema.

a) Esant centrinei simetrijai (inversijai) taško O atžvilgiu, figūra Ф sujungiama su savimi po nuoseklių atspindžių iš trijų viena kitai statmenų plokštumų, kitaip tariant, taškas O yra atkarpos, jungiančios simetriškus taškus Ф vidurys. ( ryžių. 3 ). b) Esant ašinei simetrijai arba S. tiesės atžvilgiu n eilės, figūra uždedama ant savęs, sukant aplink tam tikrą tiesią liniją (C. ašį) 360° kampu/ n. Pavyzdžiui, kubas turi tiesią liniją AB C ašis yra trečios eilės, o tiesi linija CD- ketvirtos eilės C ašis ( ryžių. 3 ); Paprastai taisyklingi ir pusiau taisyklingi daugiakampiai yra simetriški tam tikrų linijų atžvilgiu. C ašių grojimo vieta, skaičius ir tvarka svarbus vaidmuo kristalografijoje (žr. kristalų simetriją), c) figūra, uždėta ant savęs nuosekliai sukant 360°/2 kampu k aplink tiesią liniją AB o atspindys jam statmenoje plokštumoje, turi veidrodinę ašinę C. Tiesioginė linija AB, vadinama veidrodžio sukimosi ašimi C. 2 eilės k, yra eilės C ašis k (ryžių. 4 ). 2 eilės veidrodinis ašies išlygiavimas yra lygiavertis centriniam išlygiavimui. d) Perkėlimo simetrijos atveju figūra uždedama ant savęs, perkeliant išilgai tam tikros tiesės (vertimo ašies) į bet kurį segmentą. Pavyzdžiui, figūra su viena transliacijos ašimi turi begalinį C plokštumų skaičių (nes bet koks vertimas gali būti atliktas dviem nuosekliais atspindžiais iš plokštumų, statmenų transliacijos ašiai) ( ryžių. 5 ). Figūros su keliomis vertimo ašimis vaidina svarbų vaidmenį tyrime kristalinės grotelės(Žr. Kristalinis tinklelis).

Dailėje kompozicija plačiai paplito kaip viena iš harmoningos kompozicijos rūšių (žr. Kompoziciją). Jis būdingas architektūros kūriniams (būdamas nepakeičiama savybė, jei ne visos konstrukcijos, tai jos dalims ir detalėms – planui, fasadui, kolonoms, kapitams ir kt.) bei dekoratyvinei ir taikomajai dailei. S. taip pat naudojamas kaip pagrindinė rėmelių ir ornamentų konstravimo technika ( plokščios figūros turintys atitinkamai vieną ar daugiau perdavimo mechanizmų kartu su atspindžiais) ryžių. 6 , 7 ).

Simbolių deriniai, sukurti atspindžių ir sukimų metu (išnaudojantys visų tipų geometrinių figūrų simbolius), taip pat vertimai yra įdomūs ir yra tyrimų objektas. įvairiose srityse gamtos mokslai. Pavyzdžiui, spiralinis S., atliekamas sukant tam tikru kampu aplink ašį, papildytas perkėlimu išilgai tos pačios ašies, stebimas augalų lapų išdėstyme ( ryžių. 8 ) (daugiau informacijos rasite straipsnyje. Simetrija biologijoje). C. molekulių konfigūracija, daranti įtaką jų fizinei ir cheminės savybės, yra svarbus teorinei junginių struktūros, jų savybių ir elgsenos analizei įvairios reakcijos(žr. Simetrija chemijoje). Galiausiai, į fiziniai mokslai Apskritai, be jau nurodytos geometrinės kristalų ir gardelių sandaros, svarbią reikšmę įgyja struktūros samprata bendrąja prasme (žr. toliau). Taigi fizinės erdvės-laiko simetrija, išreikšta jo homogeniškumu ir izotropija (žr. Reliatyvumo teoriją), leidžia nustatyti vadinamąją. Apsaugos įstatymai; apibendrinta simetrija vaidina svarbų vaidmenį formuojant atomų spektrus ir klasifikuojant elementariąsias daleles (žr. fizikoje).

3) Simetrija (bendrąja prasme) reiškia matematinio (arba fizinio) objekto struktūros nekeičiamumą jo transformacijų atžvilgiu. Pavyzdžiui, reliatyvumo teorijos dėsnius lemia jų nekintamumas Lorenco transformacijų atžvilgiu (žr. Lorenco transformacijas). Transformacijų, kurios nepakeičia visus objekto struktūrinius ryšius, aibės apibrėžimas, t.y. grupės apibrėžimas G jo automorfizmai tapo pagrindinis principasšiuolaikinės matematikos ir fizikos, leidžiančios giliai įžvelgti vidinė struktūra objektas kaip visuma ir jo dalys.

Kadangi tokį objektą galima pavaizduoti kokios nors erdvės elementais R, turintis atitinkamą jam būdingą struktūrą, kiek objekto transformacijos yra transformacijos R. Tai. gaunamas grupinis atstovavimas G transformacijos grupėje R(arba tiesiog viduje R), o S. objekto tyrimas nusileidžia veiksmo tyrimui Gįjungta R ir rasti šio veiksmo invariantus. Lygiai taip pat S. fiziniai dėsniai, valdantis tiriamą objektą ir paprastai apibūdinamas lygtimis, kurias tenkina erdvės elementai R, lemia veiksmas G tokioms lygtims.

Taigi, pavyzdžiui, jei kuri nors lygtis yra tiesinė tiesinėje erdvėje R ir lieka nekintamas kai kurios grupės transformacijos metu G, tada kiekvienas elementas g iš G atitinka tiesinę transformaciją Tg tiesinėje erdvėje Ršios lygties sprendiniai. Susirašinėjimas g → Tg yra linijinis vaizdas G o žinios apie visas tokias jo reprezentacijas leidžia mums nustatyti įvairių savybių sprendimus, taip pat padeda daugeliu atvejų (iš „simetrijos svarstymų“) rasti pačius sprendimus. Tai ypač paaiškina matematikos ir fizikos išvystytos teorijos poreikį linijiniai vaizdiniai grupės. Konkretūs pavyzdžiaižr. str. Simetrija fizikoje.

Lit.:Šubnikovas A.V., Simetrija. (Simetrijos dėsniai ir jų taikymas moksle, technikoje ir taikomosios dailės), M. - L., 1940 m.; Coxeter G.S.M., Geometrijos įvadas, vert. iš anglų k., M., 1966; Weil G., Simetrija, vert. iš anglų k., M., 1968; Wigner E., Simetrijos studijos, vert. iš anglų k., M., 1971 m.

M. I. Voitsekhovskis.

Ryžiai. 3. Kubas, kurio trečios eilės simetrijos ašis yra tiesė AB, ketvirtos eilės simetrijos ašis yra tiesė CD, o simetrijos centras yra O taškas. Kubo taškai M ir M" yra simetriški tiek ašių AB ir CD, tiek centro O atžvilgiu.

II Simetrija

fizikoje. Jei dėsniai, nustatantys ryšius tarp dydžių, apibūdinančių fizikinę sistemą, arba lemiantys šių dydžių kitimą laikui bėgant, nesikeičia atliekant tam tikras sistemas operacijas (transformacijas), tai sakoma, kad šie dėsniai turi S (arba yra nekintami) duomenų transformacijų atžvilgiu. Matematiškai S. transformacijos sudaro grupę (žr. grupę).

Patirtis rodo, kad fizikiniai dėsniai yra simetriški šių bendriausių transformacijų atžvilgiu.

Nuolatinė transformacija

1) Sistemos, kaip visumos, perkėlimas (perkėlimas) erdvėje. Šią ir vėlesnes erdvės-laiko transformacijas galima suprasti dviem prasmėmis: kaip aktyvią transformaciją – realų fizinės sistemos perkėlimą pasirinktos atskaitos sistemos atžvilgiu arba kaip pasyvią transformaciją – lygiagretų atskaitos sistemos perkėlimą. Fizinių dėsnių, susijusių su poslinkiais erdvėje, simbolis reiškia visų erdvės taškų lygiavertiškumą, tai yra, kad erdvėje nėra jokių išskirtinių taškų (erdvės homogeniškumas).

2) Sistemos kaip visumos sukimasis erdvėje. S. fizikiniai dėsniai, susiję su šia transformacija, reiškia visų erdvės krypčių lygiavertiškumą (erdvės izotropiją).

3) Laiko pradžios keitimas (laiko pakeitimas). S. dėl šios transformacijos reiškia, kad fiziniai dėsniai laikui bėgant nekinta.

4) Perėjimas prie atskaitos sistemos, judančios tam tikros sistemos atžvilgiu pastoviu (kryptimi ir dydžiu) greičiu. S. šios transformacijos atžvilgiu visų pirma reiškia visų inercinių atskaitos sistemų lygiavertiškumą (Žr. Inercinė atskaitos sistema) (Žr. Reliatyvumo teorija).

5) Matuoklio transformacijos. Dėsniai, apibūdinantys dalelių sąveiką su bet kokiu krūviu (elektros krūvis (žr. Elektros krūvis), bariono krūviu (žr. Bariono krūvį), leptoniniu krūviu (žr. Leptono krūvį), Hiperkrūvis), yra simetriški 1-osios rūšies matuoklio transformacijų atžvilgiu. Šios transformacijos susideda iš to, kad visų dalelių bangų funkcijos (žr. bangų funkciją) vienu metu gali būti padaugintos iš savavališko fazės koeficiento:

kur ψ j- dalelių bangų funkcija j, z j yra dalelę atitinkantis krūvis, išreikštas elementariojo krūvio vienetais (pavyzdžiui, elementarus elektros krūvis e), β yra savavališkas skaitinis koeficientas.

A→A + f, , (2)

Kur f(x,adresu, z, t) – savavališka koordinačių funkcija ( X,adresu,z) ir laikas ( t), Su- šviesos greitis. Kad transformacijos (1) ir (2) elektromagnetinių laukų atveju būtų atliekamos vienu metu, būtina apibendrinti 1 tipo matuoklių transformacijas: būtina reikalauti, kad sąveikos dėsniai būtų simetriški transformacijų atžvilgiu. (1) su reikšme β, kuri yra savavališka koordinačių ir laiko funkcija: η – Planko konstanta. Ryšys tarp 1-ojo ir 2-ojo tipo matuoklių transformacijų elektromagnetinėms sąveikoms atsiranda dėl dvigubo elektros krūvio vaidmens: viena vertus, elektros krūvis yra užkonservuotas dydis, kita vertus, jis veikia kaip sąveikos konstanta, charakterizuojanti. elektromagnetinio lauko ryšys su įkrautomis dalelėmis.

Transformacijos (1) atitinka įvairių krūvių išsaugojimo dėsnius (žr. toliau), taip pat kai kurias vidines sąveikas. Jei krūviai yra ne tik išsilaikantys dydžiai, bet ir laukų šaltiniai (kaip elektros krūvis), tai juos atitinkantys laukai taip pat turi būti matuokliai (panašūs į elektromagnetinius laukus), o transformacijos (1) apibendrinamos tuo atveju, kai dydžiai β yra savavališkos koordinačių ir laiko funkcijos (ir netgi operatoriai (žr. operatorius), transformuojantys vidinės sistemos būsenas). Šis požiūris į sąveikaujančių laukų teoriją veda prie įvairių stipriosios ir silpnosios sąveikos teorijų (vadinamoji Yang-Mills teorija).

Diskrečiosios transformacijos

Aukščiau išvardyti sistemų tipai pasižymi parametrais, kurie gali nuolat keistis tam tikrame verčių diapazone (pavyzdžiui, erdvės poslinkis apibūdinamas trimis poslinkio parametrais išilgai kiekvienos koordinačių ašies, pasukimas trimis pasukimo kampais aplink šias ašis ir pan.). Kartu su nuolatiniu S. didelę reikšmę fizikoje jie turi diskrečiuosius S. Pagrindiniai yra šie.

Simetrija ir išsaugojimo dėsniai

Pagal Noeterio teoremą (žr. Noeterio teoremą), kiekviena sistemos transformacija, kuriai būdingas vienas nuolat kintantis parametras, atitinka vertę, kuri yra išsaugota (nekinta laikui bėgant) sistemai, kuri turi šią sistemą dėsniai, susiję su uždaros sistemos poslinkiu erdvėje, sukant ją kaip visumą ir keičiant laiko pradžią, atitinkamai vadovaujasi impulso, kampinio momento ir energijos išsaugojimo dėsniais. Iš sistemos, susijusios su 1 tipo matuoklio transformacijomis - krūvių išsaugojimo dėsniai (elektrinis, barionas ir kt.), Iš izotopų invariancijos - izotopinio sukimosi išsaugojimas (žr. Izotopinis sukinys) stiprios sąveikos procesuose. Kalbant apie diskrečiąjį S., tada į klasikinė mechanika jie nelemia jokių gamtosaugos įstatymų. Tačiau kvantinėje mechanikoje, kurioje sistemos būsena apibūdinama bangų funkcija, arba bangų laukams (pavyzdžiui, elektromagnetiniam laukui), kur galioja superpozicijos principas, diskrečiųjų sistemų egzistavimas reiškia kai kurių sistemų išsaugojimo dėsnius. specifiniai dydžiai, neturintys analogų klasikinėje mechanikoje. Tokių dydžių egzistavimą galima parodyti erdvinio pariteto pavyzdžiu (žr. Paritetą), kurio išsaugojimas išplaukia iš sistemos erdvės inversijos atžvilgiu. Iš tiesų, tegul ψ 1 yra banginė funkcija, apibūdinanti tam tikrą sistemos būseną, o ψ 2 yra sistemos banginė funkcija, atsirandanti iš erdvių. inversija (simboliškai: ψ 2 = Rψ 1, kur R- erdvių operatorius. inversija). Tada, jei yra sistema erdvinės inversijos atžvilgiu, ψ 2 yra viena iš galimų sistemos būsenų ir pagal superpozicijos principą galimos sistemos būsenos yra superpozicijos ψ 1 ir ψ 2: simetriškas derinys. ψ s = ψ 1 + ψ 2 ir antisimetrinis ψ a = ψ 1 - ψ 2. Inversinių transformacijų metu ψ 2 būsena nesikeičia (nes Pψ s = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), o būsena ψ a keičia ženklą ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Pirmuoju atveju jie sako, kad sistemos erdvinis paritetas yra teigiamas (+1), antruoju - neigiamas (-1). Jei sistemos banginė funkcija nurodoma naudojant dydžius, kurie nesikeičia erdvinės inversijos metu (pvz., kampinis momentas ir energija), tai sistemos paritetas taip pat turės labai apibrėžtą reikšmę. Sistema bus būsenoje su teigiamu arba neigiamu paritetu (ir perėjimai iš vienos būsenos į kitą, veikiami simetriškų erdvinės inversijos atžvilgiu jėgų, yra visiškai draudžiami).

Kvantinių mechaninių sistemų ir stacionarių būsenų simetrija. Degeneracija

Dydžių, atitinkančių įvairias kvantines mechanines sistemas, išsaugojimas yra pasekmė to, kad juos atitinkantys operatoriai komutuoja su sistemos Hamiltonu, jei jis tiesiogiai nepriklauso nuo laiko (žr. Kvantinė mechanika, Komutavimo ryšiai). Tai reiškia, kad šie dydžiai yra išmatuojami kartu su sistemos energija, t. y. jie gali įgyti visiškai apibrėžtas reikšmes tam tikrai energijos vertei. Todėl iš jų galima sudaryti vadinamąją. visas dydžių rinkinys, lemiantis sistemos būseną. Taigi sistemos stacionarios būsenos (žr. Stacionarioji būsena) (būsenos su tam tikra energija) nustatomos dydžiais, atitinkančiais nagrinėjamos sistemos stabilumą.

S. buvimas lemia tai, kad įvairios kvantinės mechaninės sistemos judėjimo būsenos, gaunamos viena iš kitos transformuojant S. tos pačios vertybės fiziniai dydžiai, kurios dėl šių transformacijų nesikeičia. Taigi sistemų sistema, kaip taisyklė, veda į degeneraciją (žr. Degeneracija). Pavyzdžiui, tam tikra vertė Sistemos energija gali atitikti kelias skirtingas būsenas, kurios transformuojasi viena per kitą transformacijų C metu. Matematiškai šios būsenos yra sistemos C grupės neredukuojamo vaizdavimo pagrindas (žr. Grupę). Tai lemia grupių teorijos metodų taikymo kvantinėje mechanikoje vaisingumą.

Be energijos lygių degeneracijos, susijusios su aiškiu sistemos valdymu (pavyzdžiui, atsižvelgiant į visos sistemos sukimąsi), daugelyje problemų yra papildomas degeneracija, susijusi su vadinamuoju. paslėpta S. sąveika. Tokie paslėpti generatoriai egzistuoja, pavyzdžiui, Kulono sąveikai ir izotropiniam osciliatoriui.

Jei sistema, turinti bet kurią sistemą, yra jėgų lauke, kuris pažeidžia šią sistemą (bet yra pakankamai silpnas, kad būtų laikomas nedideliu trikdžiu), įvyksta pradinės sistemos išsigimusių energijos lygių skilimas: skirtingos būsenos, kurios dėl sistemos turėjo vienodą energiją, veikiamos „asimetrinių“ trikdžių įgyja skirtingus energijos poslinkius. Tais atvejais, kai trikdantis laukas turi tam tikrą vertę, kuri yra pradinės sistemos vertės dalis, energijos lygių degeneracija nėra visiškai pašalinta: kai kurie lygiai lieka išsigimę pagal sąveikos vertę, kuri „apima“ nerimą keliantis laukas.

Energijos išsigimusių būsenų buvimas sistemoje savo ruožtu rodo sisteminės sąveikos egzistavimą ir leidžia iš esmės rasti šią sistemą, kai ji iš anksto nežinoma. Pastaroji aplinkybė vaidina lemiamą vaidmenį, pavyzdžiui, elementariųjų dalelių fizikoje. Dalelių grupių, turinčių panašią masę ir tomis pačiomis kitomis charakteristikomis, buvimas, tačiau skirtingos elektros krūviai(vadinamieji izotopiniai multipletai) leido nustatyti stiprių sąveikų izotopų invarianciją, o galimybė sujungti daleles su tomis pačiomis savybėmis į platesnes grupes paskatino atradimą. S.U.(3)-C. stipri sąveika ir sąveika, kuri pažeidžia šią sistemą (žr. Stipri sąveika). Yra požymių, kad stipri sąveika turi dar platesnę C grupę.

Vadinamojo koncepcija yra labai vaisinga. dinaminė sistema, kuri atsiranda, kai atsižvelgiama į transformacijas, įskaitant perėjimus tarp sistemos būsenų su skirtingos energijos. Neredukuojamas dinaminės sistemos grupės vaizdas bus visas stacionarių sistemos būsenų spektras. Dinaminės sistemos sąvoka taip pat gali būti išplėsta į tuos atvejus, kai sistemos Hamiltonas aiškiai priklauso nuo laiko, ir šiuo atveju visos kvantinės mechaninės sistemos būsenos, kurios nėra stacionarios (ty neturi tam tikros energijos), yra sujungti į vieną neredukuojamą sistemos dinaminės grupės atvaizdą.

Lit.: Wigner E., Simetrijos studijos, vert. iš anglų k., M., 1971 m.

S. S. Geršteinas.

III Simetrija

chemijoje pasireiškia geometrine molekulių konfigūracija, kuri turi įtakos fizikinei ir cheminės savybės molekulės izoliuotoje būsenoje, in išorinis laukas o kai sąveikauja su kitais atomais ir molekulėmis.

Dauguma paprastų molekulių turi pusiausvyros konfigūracijos erdvinės simetrijos elementus: simetrijos ašis, simetrijos plokštumas ir kt. (žr. Simetrija matematikoje). Taigi, amoniako molekulė NH 3 turi teisingą simetriją trikampė piramidė, metano molekulės CH 4 - tetraedrinė simetrija. Sudėtingose ​​molekulėse pusiausvyros konfigūracijos kaip visumos simetrijos paprastai nėra, tačiau atskirų jos fragmentų simetrija yra maždaug išsaugota (vietinė simetrija). Dauguma Pilnas aprašymas tiek pusiausvyros, tiek nepusiausvyros molekulių konfigūracijų simetrija pasiekiama remiantis idėjomis apie vadinamąsias. dinaminės simetrijos grupės – grupės, apimančios ne tik branduolinės konfigūracijos erdvinės simetrijos operacijas, bet ir identiškų branduolių pertvarkymo skirtingose ​​konfigūracijose operacijas. Pavyzdžiui, NH 3 molekulės dinaminės simetrijos grupė apima ir šios molekulės inversijos operaciją: N atomo perėjimą iš vienos H atomų suformuotos plokštumos pusės į kitą.

Molekulėje esančių branduolių pusiausvyros konfigūracijos simetrija reiškia tam tikrą šios molekulės būsenų banginių funkcijų simetriją (žr. Bangos funkciją), todėl būsenas galima klasifikuoti pagal simetrijos tipus. Perėjimas tarp dviejų būsenų, susijusių su šviesos absorbcija arba spinduliavimu, priklausomai nuo būsenų simetrijos tipų, gali atsirasti molekuliniame spektre (žr. Molekuliniai spektrai) arba būti draudžiamas, todėl linija arba juosta, atitinkanti šį perėjimą spektre nebus. Būsenų, tarp kurių galimi perėjimai, simetrijos tipai turi įtakos linijų ir juostų intensyvumui, taip pat jų poliarizacijai. Pavyzdžiui, homobranduolinėse dviatominėse molekulėse perėjimai tarp to paties pariteto elektroninių būsenų, kurių elektroninės bangos funkcijos inversijos operacijos metu elgiasi vienodai, yra draudžiamos ir spektruose neatsiranda; benzeno molekulėse ir panašiuose junginiuose draudžiami perėjimai tarp neišsigimusių tos pačios simetrijos elektroninių būsenų ir kt. Perėjimams tarp skirtingų būsenų simetrijos atrankos taisyklės yra papildytos atrankos taisyklėmis, susijusiomis su šių būsenų sukimu.

Molekulėms su paramagnetiniais centrais šių centrų aplinkos simetrija sukelia tam tikrą anizotropijos tipą g-faktorius (Lande multiplikatorius), kuris veikia elektronų paramagnetinio rezonanso spektrų struktūrą (žr. Elektronų paramagnetinis rezonansas), o molekulėse, kurių atomų branduolių sukinys yra ne nulinis, atskirų vietinių fragmentų simetrija lemia tam tikrą energijos padalijimą. skirtingų projekcijų būsenų branduolio sukinys, turintis įtakos branduolinio magnetinio rezonanso spektrų struktūrai (žr. Branduolinis magnetinis rezonansas).

Apytiksliais kvantinės chemijos metodais, naudojant molekulinių orbitalių idėją, klasifikuoti pagal simetriją galima ne tik visos molekulės bangos funkcijai, bet ir atskiroms orbitoms. Jei molekulės pusiausvyros konfigūracija turi simetrijos plokštumą, kurioje yra branduoliai, tada visos šios molekulės orbitalės yra suskirstytos į dvi klases: simetrinę (σ) ir antisimetrinę (π) atspindžio veikimo šioje plokštumoje atžvilgiu. Molekulės, kuriose didžiausios (energijos) orbitos yra π-orbitalės, sudaro specifines nesočiųjų ir konjuguotų junginių klases, turinčias joms būdingų savybių. Žinios apie atskirų molekulių fragmentų vietinę simetriją ir šiuose fragmentuose lokalizuotas molekulines orbitales leidžia spręsti, kurie fragmentai lengviau sužadinami ir stipriau keičiasi vykstant cheminėms transformacijoms, pavyzdžiui, vykstant fotocheminėms reakcijoms.

Simetrijos sąvokos svarbios teorinei kompleksinių junginių sandaros, jų savybių ir elgesio įvairiose reakcijose analizei. Nustato kristalų lauko teoriją ir ligandų lauko teoriją tarpusavio susitarimas kompleksinio junginio užimtos ir laisvos orbitos, pagrįstos duomenimis apie jo simetriją, energijos lygių padalijimo pobūdį ir laipsnį, kai pasikeičia ligando lauko simetrija. Vien komplekso simetrijos žinojimas labai dažnai leidžia kokybiškai spręsti apie jo savybes.

1965 metais P. Woodwardas ir R. Hoffmanas iškėlė orbitos simetrijos išsaugojimo cheminėse reakcijose principą, kuris vėliau buvo patvirtintas plačia eksperimentine medžiaga ir turėjo įtakos. didelę įtaką apie parengiamųjų organinė chemija. Šis principas (Woodward-Hoffman taisyklė) teigia, kad atskiri elementarūs veiksmai cheminės reakcijos praeiti išlaikant molekulinių orbitų simetriją arba orbitos simetriją. Kuo labiau elementaraus veiksmo metu pažeidžiama orbitų simetrija, tuo sunkesnė reakcija.

Atsižvelgti į molekulių simetriją svarbu ieškant ir atrenkant medžiagas, naudojamas kuriant cheminius lazerius ir molekulinius lygintuvus, konstruojant organinių superlaidininkų modelius, analizuojant kancerogenines ir farmakologines medžiagas. veikliosios medžiagos ir tt

Lit.: Hochstrasser R., Molekuliniai simetrijos aspektai, vert. iš anglų k., M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f.. Grupių teorija ir jos taikymas kvantinėje molekulių mechanikoje, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Orbitinės simetrijos išsaugojimas, vert. iš anglų k., M., 1971 m.

N. F. Stepanovas.

 IV Simetrija

biologijoje (biosimetrija). S. fenomenas gyvojoje gamtoje buvo pastebėtas dar m Senovės Graikija pitagoriečiai (V a. pr. Kr.), susiję su jų harmonijos doktrinos plėtra. XIX amžiuje Pasirodė keletas darbų apie augalų (prancūzų mokslininkai O. P. Decandolle ir O. Bravo), gyvūnų (vok. E. Haeckel), biogeninių molekulių (prancūzų mokslininkai – A. Vechan, L. Pasteur ir kt.) sintezę. XX amžiuje biologiniai objektai buvo tiriami bendrosios kristalizacijos teorijos (sovietų mokslininkai Yu. V. Wulfas, V. N. Beklemiševas, B. K. Weinsteinas, olandų fizikinis chemikas F. M. Yegeris, anglų kristalografai, vadovaujami J. Bernalo) ir dešiniųjų bei kairiųjų doktrinos požiūriu. (sovietų mokslininkai V.I.Vernadskis, V.V.Alpatovas, G.F.Gause ir kiti; vokiečių mokslininkas W.Ludwigas). Dėl šių darbų 1961 m. buvo nustatyta ypatinga S. tyrimo kryptis – biosimetrija.

Intensyviausiai tyrinėta biologinių objektų struktūrinė struktūra. Biostruktūrų – molekulinių ir supramolekulinių – tyrimas struktūrinės sandaros požiūriu leidžia iš anksto nustatyti galimus jų struktūros tipus, taigi ir galimų modifikacijų skaičių bei tipą, griežtai apibūdinti išorinę formą ir vidinę struktūrą. bet kokių erdvinių biologinių objektų. Tai paskatino plačiai naudoti struktūrinio S. sąvokas zoologijoje, botanikoje ir molekulinėje biologijoje. Struktūrinė S. pirmiausia pasireiškia vienokiu ar kitokiu taisyklingu pasikartojimu. IN klasikinė teorija struktūrinė struktūra, sukurta vokiečių mokslininkų I. F. Hesselio, E. S. Fedorovo (žr. Fedorovą) ir kitų, objekto struktūros išvaizdą galima apibūdinti jo struktūros elementų rinkiniu, tai yra tokiais geometriniais elementais (taškais, linijomis). , plokštumos), kurių atžvilgiu išdėstytos identiškos objekto dalys (žr. Simetrija matematikoje). Pavyzdžiui, rūšis S. flokso gėlė ( ryžių. 1 , c) - viena 5 eilės ašis, einanti per gėlės centrą; pagaminta per savo veikimą - 5 apsisukimai (72, 144, 216, 288 ir 360°), su kiekvienu gėlė sutampa su savimi. S. drugelio figūros vaizdas ( ryžių. 2 , b) - viena plokštuma, dalijanti ją į 2 dalis - kairę ir dešinę; per plokštumą atliekama operacija yra veidrodinis atspindys, „paverčiantis“ kairiąją pusę dešinę, dešinę pusę į kairę, o drugelio figūra susijungia su savimi. Rūšis S. radiolaria Lithocubus geometricus ( ryžių. 3 , b), be sukimosi ašių ir atspindžio plokštumų, joje taip pat yra centras C. Bet kuri tiesi linija, nubrėžta per tokį vieną tašką radiolarijos viduje, sutinka identiškus (atitinkamus) figūros taškus abiejose jos pusėse ir ties tašku. vienodais atstumais. Per S. centrą atliekamos operacijos yra atspindžiai taške, po kurių radiolarijos figūra taip pat derinama su savimi.

Gyvojoje gamtoje (kaip ir negyvojoje gamtoje) dėl įvairių apribojimų S. rūšių dažniausiai aptinkama žymiai mažiau nei teoriškai įmanoma. Pavyzdžiui, žemesniuose gyvosios gamtos vystymosi etapuose randami visų taškinės struktūros klasių atstovai - iki organizmų, kuriems būdinga taisyklingo daugiakampio ir rutulio struktūra (žr. ryžių. 3 ). Tačiau aukštesnėse evoliucijos stadijose augalai ir gyvūnai randami daugiausia vadinamųjų. ašinis (tipas n) ir aktinomorfinis (tipas n(m)SU. (abiem atvejais n gali gauti reikšmes nuo 1 iki ∞). Biologiniai objektai su ašine S. (žr. ryžių. 1 ) apibūdinami tik eilės C ašimi n. Saktinomorfinio S. bioobjektai (žr. ryžių. 2 ) pasižymi viena eilės ašimi n ir plokštumos, susikertančios išilgai šios ašies m. Labiausiai paplitusios rūšys laukinėje gamtoje yra S. spp. n = 1 ir 1. m = m, vadinamas atitinkamai asimetrija (Žr. Asimetrija) ir dvišale, arba dvišale, S. Asimetrija būdinga daugumos augalų rūšių lapams, dvišalė S. – tam tikru mastu žmonių, stuburinių gyvūnų kūno išorinei formai, ir daug bestuburių. Mobiliuose organizmuose toks judėjimas, matyt, yra susijęs su jų judėjimo aukštyn ir žemyn bei pirmyn ir atgal skirtumais, o judesiai į dešinę ir į kairę yra vienodi. Jų dvišalio S. pažeidimas neišvengiamai lemtų vienos iš pusių judėjimo slopinimą ir transliacinio judėjimo transformaciją į žiedinį. 50-70-aisiais. 20 amžiaus Taip vadinamas nesimetriški biologiniai objektai ( ryžių. 4 ). Pastarasis gali egzistuoti bent dviem modifikacijomis – originalo ir jo veidrodinio vaizdo (antipodo) pavidalu. Be to, viena iš šių formų (nesvarbu, kuri) vadinama dešine arba D (iš lot. dextro), kita – kairiąja arba L (iš lot. laevo). Tiriant D- ir L-bioobjektų formą ir struktūrą, buvo sukurta disimetrinių veiksnių teorija, įrodanti galimybę bet kuriam D ar L objektui atlikti dvi ar daugiau (iki begalinio skaičiaus) modifikacijų (taip pat žr. ryžių. 5 ); kartu jame buvo formulės pastarųjų skaičiui ir tipui nustatyti. Ši teorija paskatino atrasti vadinamąjį. biologinė izomerija (žr. izomeriją) (skirtingi tos pačios sudėties biologiniai objektai; toliau ryžių. 5 Parodyta 16 liepų lapų izomerų).

Tiriant biologinių objektų atsiradimą, nustatyta, kad vienais atvejais vyrauja D, kitais L formos, kitose jos vaizduojamos vienodai dažnai. Bechamp ir Pasteur (XIX a. 40-ieji), o 30-aisiais. 20 amžiaus Sovietų mokslininkas G. F. Gause ir kiti parodė, kad organizmų ląstelės yra sudarytos tik arba daugiausia iš L-amino rūgščių, L-baltymų, D-dezoksiribonukleino rūgščių, D-cukrų, L-alkaloidų, D- ir L-terpenų ir kt. Toks esminis ir būdingas gyvų ląstelių bruožas, kurį Pasteur pavadino protoplazmos disimetrija, suteikia ląstelei, kaip buvo nustatyta XX amžiuje, aktyvesnę medžiagų apykaitą ir palaikoma per sudėtingus biologinius ir fizikinius bei cheminius mechanizmus, kurie atsirado šio proceso metu. evoliucijos. Sov. 1952 m. mokslininkas V. V. Alpatovas, naudodamas 204 kraujagyslių augalų rūšis, nustatė, kad 93,2% augalų rūšių priklauso tipui, turinčiam L-, 1,5% - su D eiga kraujagyslių sienelių spiraliniais sustorėjimais, 5,3% rūšių - iki raceminio tipo (D kraujagyslių skaičius yra maždaug lygus L kraujagyslių skaičiui).

Tiriant D- ir L-bioobjektus, buvo nustatyta, kad lygybė tarp D ir L formos kai kuriais atvejais jis pažeidžiamas dėl jų fiziologinių, biocheminių ir kitų savybių skirtumų. Šis gyvosios gamtos bruožas buvo vadinamas gyvybės disimetrija. Taigi, jaudinantis L-amino rūgščių poveikis plazmos judėjimui augalų ląstelės dešimtis ir šimtus kartų pranašesni už tą patį jų D formų poveikį. Daugelis antibiotikų (penicilino, gramicidino ir kt.), kurių sudėtyje yra D-amino rūgščių, yra labiau baktericidiniai nei jų formos su L-aminorūgštimis. Dažniau paplitę sraigtiniai L-kop cukriniai runkeliai yra 8-44% (priklausomai nuo veislės) sunkesni ir juose yra 0,5-1% daugiau cukraus nei D-kop.

aš . Simetrija matematikoje :

    Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai.

    Ašinė simetrija (apibrėžimai, konstrukcijos planas, pavyzdžiai)

    Centrinė simetrija (apibrėžimai, statybos planas, kadapriemonės)

    Suvestinė lentelė (visos savybės, funkcijos)

II . Simetrijos pritaikymas:

1) matematikoje

2) chemijoje

3) biologijos, botanikos ir zoologijos srityse

4) mene, literatūroje ir architektūroje

    /dict/bse/article/00071/07200.htm

    /html/simmetr/index.html

    /sim/sim.ht

    /index.html

1. Pagrindinės simetrijos sąvokos ir jos rūšys.

Simetrijos samprata R siekia visą žmonijos istoriją. Jis randamas jau žmogaus žinių ištakose. Jis atsirado dėl gyvo organizmo, būtent žmogaus, tyrinėjimo. O skulptoriai jį naudojo dar V amžiuje prieš Kristų. e. Žodis „simetrija“ yra graikiškas ir reiškia „proporcingumas, proporcingumas, dalių išdėstymo vienodumas“. Jis plačiai naudojamas visose be išimties šiuolaikinio mokslo srityse. Daugelis puikių žmonių pagalvojo apie šį modelį. Pavyzdžiui, L.N.Tolstojus pasakė: „Stovėdamas prieš juodą lentą ir kreida ant jos piešdamas įvairias figūras, mane netikėtai užklupo mintis: kodėl akiai aiški simetrija? Kas yra simetrija? Tai įgimtas jausmas, atsakiau sau. Kuo ji pagrįsta?" Simetrija tikrai džiugina akį. Kas nesižavėjo gamtos kūrinių simetrija: lapais, gėlėmis, paukščiais, gyvūnais; arba žmogaus kūriniai: pastatai, technologijos, viskas, kas mus supa nuo vaikystės, viskas, kas siekia grožio ir harmonijos. Hermannas Weylas sakė: „Simetrija yra idėja, per kurią žmogus per amžius bandė suvokti ir sukurti tvarką, grožį ir tobulumą“. Hermann Weyl yra vokiečių matematikas. Jo veikla apima XX amžiaus pirmąją pusę. Būtent jis suformulavo simetrijos apibrėžimą, pagal kokius kriterijus galima nustatyti simetrijos buvimą arba, atvirkščiai, nebuvimą konkrečiu atveju. Taigi matematiškai griežta koncepcija susiformavo palyginti neseniai – XX amžiaus pradžioje. Tai gana sudėtinga. Atsigręžkime ir dar kartą prisiminkime apibrėžimus, kurie mums buvo pateikti vadovėlyje.

2. Ašinė simetrija.

2.1 Pagrindiniai apibrėžimai

Apibrėžimas. Du taškai A ir A 1 vadinami simetriškais tiesės a atžvilgiu, jei ši tiesė eina per atkarpos AA 1 vidurį ir yra jai statmena. Kiekvienas tiesės a taškas laikomas simetrišku sau pačiam.

Apibrėžimas. Sakoma, kad figūra yra simetriška tiesei linijai A, jei kiekvienam figūros taškui yra simetriškas taškas tiesės atžvilgiu A taip pat priklauso šiai figūrai. Tiesiai A vadinama figūros simetrijos ašimi. Taip pat teigiama, kad figūra turi ašinę simetriją.

2.2 Statybos planas

Taigi, norėdami sukurti simetrišką figūrą tiesės atžvilgiu, iš kiekvieno taško nubrėžiame statmeną šiai tiesei ir pratęsiame iki to paties atstumo, pažymime gautą tašką. Tai darome su kiekvienu tašku ir gauname simetriškas naujos figūros viršūnes. Tada sujungiame juos nuosekliai ir gauname simetrišką tam tikros santykinės ašies figūrą.

2.3 Ašinės simetrijos figūrų pavyzdžiai.


3. Centrinė simetrija

3.1 Pagrindiniai apibrėžimai

Apibrėžimas. Du taškai A ir A 1 vadinami simetriškais taško O atžvilgiu, jei O yra atkarpos AA 1 vidurys. Taškas O laikomas simetrišku sau pačiam.

Apibrėžimas. Sakoma, kad figūra yra simetriška taško O atžvilgiu, jei kiekvienam figūros taškui taško O atžvilgiu simetriškas taškas taip pat priklauso šiai figūrai.

3.2 Statybos planas

Simetriško trikampio konstravimas duotajam centro O atžvilgiu.

Sukurti tašką, simetrišką taškui A taško atžvilgiu APIE, pakanka nubrėžti tiesią liniją OA(46 pav ) o kitoje taško pusėje APIE atidėti segmentui lygų segmentą OA. Kitaip tariant , taškai A ir ; Į ir ; C ir simetriškas tam tikram taškui O. Pav. 46 sudarytas trikampis, kuris yra simetriškas trikampiui ABC taško atžvilgiu APIE.Šie trikampiai yra lygūs.

Simetriškų taškų sukūrimas centro atžvilgiu.

Paveiksle taškai M ir M 1, N ir N 1 yra simetriški taško O atžvilgiu, tačiau taškai P ir Q nėra simetriški šio taško atžvilgiu.

Apskritai tam tikram taškui simetriškos figūros yra lygios .

3.3 Pavyzdžiai

Pateiksime centrinę simetriją turinčių figūrų pavyzdžių. Paprasčiausios centrinės simetrijos figūros yra apskritimas ir lygiagretainis.

Taškas O vadinamas figūros simetrijos centru. Tokiais atvejais figūra turi centrinę simetriją. Apskritimo simetrijos centras yra apskritimo centras, o lygiagretainio simetrijos centras yra jo įstrižainių susikirtimo taškas.

Tiesė taip pat turi centrinę simetriją, tačiau skirtingai nuo apskritimo ir lygiagretainio, kurių simetrijos centras yra tik vienas (paveikslėlyje O taškas), tiesė turi begalinį jų skaičių – bet kuris tiesės taškas yra jos centras. simetrijos.

Paveikslėliai rodo kampą, simetrišką viršūnės atžvilgiu, segmentą, simetrišką kitam segmentui centro atžvilgiu A o jo viršūnei simetriškas keturkampis M.

Figūros, neturinčios simetrijos centro, pavyzdys yra trikampis.

4. Pamokos santrauka

Apibendrinkime įgytas žinias. Šiandien klasėje sužinojome apie du pagrindinius simetrijos tipus: centrinę ir ašinę. Pažiūrėkime į ekraną ir susisteminkime įgytas žinias.

Suvestinė lentelė

Ašinė simetrija

Centrinė simetrija

Ypatingumas

Visi figūros taškai turi būti simetriški tam tikros tiesės atžvilgiu.

Visi figūros taškai turi būti simetriški taško, pasirinkto kaip simetrijos centro, atžvilgiu.

Savybės

    1. Simetriniai taškai yra ant tiesės statmenų.

    3. Tiesios virsta tiesiomis linijomis, kampai lygiais kampais.

    4. Išsaugomi figūrų dydžiai ir formos.

    1. Simetriški taškai yra tiesėje, einančioje per figūros centrą ir nurodytą tašką.

    2. Atstumas nuo taško iki tiesės lygus atstumui nuo tiesės iki simetrinio taško.

3. Išsaugomi figūrų dydžiai ir formos.

II. Simetrijos taikymas

Matematika

Algebros pamokose nagrinėjome funkcijų y=x ir y=x grafikus

Paveiksluose pavaizduoti įvairūs paveikslėliai, pavaizduoti naudojant parabolių šakas.

a) oktaedras,

b) rombinis dodekaedras, c) šešiakampis oktaedras.

rusų kalba

Spausdintos rusiškos abėcėlės raidės taip pat turi įvairių simetrijų tipų.

Rusų kalboje yra „simetriškų“ žodžių - palindromai, kurią vienodai galima skaityti abiem kryptimis.

A D L M P T F W- vertikali ašis

V E Z K S E Y - horizontalioji ašis

F N O X- tiek vertikaliai, tiek horizontaliai

B G I Y R U C CH SCHY- nėra ašies

Radaro namelis Alla Anna

Literatūra

Sakiniai taip pat gali būti palindromiški. Bryusovas parašė eilėraštį „Mėnulio balsas“, kuriame kiekviena eilutė yra palindromas.

Pažvelkite į A. S. Puškino ketvertus. Bronzinis raitelis“ Nubrėžę liniją po antrosios linijos, pastebėsime ašinės simetrijos elementus

Ir rožė užkrito Azorui ant letenos.

Ateinu su teisėjo kardu. (Deržavinas)

„Ieškok taksi“

„Argentina vilioja negrą“

„Argentinietis vertina juodaodį“,

„Lesha lentynoje rado klaidą“.

Neva yra apsirengusi granitu;

Virš vandenų kabojo tiltai;

Tamsiai žali sodai

Jį apėmė salos...

Biologija

Žmogaus kūnas yra sukurtas remiantis dvišalės simetrijos principu. Daugelis iš mūsų smegenis vertina kaip vieną struktūrą, iš tikrųjų jos yra padalintos į dvi dalis. Šios dvi dalys – du pusrutuliai – tvirtai priglunda viena prie kitos. Visiškai pagal bendrą žmogaus kūno simetriją kiekvienas pusrutulis yra beveik tikslus kito veidrodinis atvaizdas.

Pagrindinių žmogaus kūno judesių ir jutimo funkcijų valdymas yra tolygiai paskirstytas tarp dviejų smegenų pusrutulių. Kairysis pusrutulis valdo dešinę smegenų pusę, o dešinysis – kairę.

Botanika

Gėlė laikoma simetriška, kai kiekvienas žiedas susideda iš vienodo skaičiaus dalių. Gėlės, turinčios porines dalis, laikomos gėlėmis su dviguba simetrija ir kt. Triguba simetrija būdinga vienakilčiams, o penkiakilčiams – dviskilčiams. Būdingas bruožas Augalų sandara ir jų vystymasis yra heliumas.

Atkreipkite dėmesį į ūglių lapų išdėstymą - tai taip pat yra savotiškas spiralės tipas - spiralė. Net Gėtė, kuris buvo ne tik puikus poetas, bet ir gamtos mokslininkas, laikė heliumą vienu iš būdingi bruožai visų organizmų – slapčiausios gyvybės esmės apraiška. Augalų ūseliai sukasi spirale, medžių kamienuose audiniai auga spirale, saulėgrąžoje sėklos išsidėsto spirale, spiraliniai judesiai stebimi augant šaknims ir ūgliams.

Būdingas augalų sandaros ir jų vystymosi bruožas yra spirališkumas.

Pažiūrėkite į pušies kankorėžį. Jo paviršiuje esančios svarstyklės yra išdėstytos griežtai reguliariai - išilgai dviejų spiralių, kurios susikerta maždaug stačiu kampu. Tokių spiralių skaičius kankorėžiuose yra 8 ir 13 arba 13 ir 21.

Zoologija

Gyvūnų simetrija reiškia dydžio, formos ir kontūro atitikimą, taip pat santykinį kūno dalių, esančių priešingose ​​skiriamosios linijos pusėse, išdėstymą. Esant radialinei arba radialinei simetrijai, kūnas turi trumpo arba ilgo cilindro arba indo formą su centrine ašimi, iš kurios kūno dalys tęsiasi radialiai. Tai koelenteratai, dygiaodžiai, jūros žvaigždės. Esant dvišalei simetrijai, yra trys simetrijos ašys, bet tik viena simetriškų kraštinių pora. Nes kitos dvi pusės – pilvinė ir nugarinė – nėra panašios viena į kitą. Šis simetrijos tipas būdingas daugumai gyvūnų, įskaitant vabzdžius, žuvis, varliagyvius, roplius, paukščius ir žinduolius.

Ašinė simetrija

Skirtingos rūšys simetrija fiziniai reiškiniai: elektrinių ir magnetinių laukų simetrija (1 pav.)

Pasiskirstymas yra simetriškas vienas kitam statmenose plokštumose elektromagnetines bangas(2 pav.)


1 pav.2 pav

Art

Dailės kūriniuose dažnai galima pastebėti veidrodinę simetriją. Veidrodinė" simetrija plačiai aptinkama pirmykščių civilizacijų meno kūriniuose ir senoviniuose paveiksluose. Viduramžių religiniai paveikslai taip pat pasižymi tokio tipo simetrija.

Vienas geriausių ankstyvųjų Rafaelio kūrinių „Marijos sužadėtuvė“ buvo sukurtas 1504 m. Po saulėtu mėlynu dangumi yra slėnis, kurio viršuje yra balto akmens šventykla. Pirmame plane – sužadėtuvių ceremonija. Vyriausiasis kunigas sujungia Marijos ir Juozapo rankas. Už Marijos – būrys merginų, už Juozapo – būrys jaunų vyrų. Abi simetriškos kompozicijos dalis kartu laiko priešpriešinis veikėjų judesys. Šiuolaikiniam skoniui tokio paveikslo kompozicija yra nuobodi, nes simetrija yra pernelyg akivaizdi.



Chemija

Vandens molekulė turi simetrijos plokštumą (tiesią vertikalią liniją). DNR molekulės (dezoksiribonukleino rūgštis) vaidina nepaprastai svarbų vaidmenį gyvosios gamtos pasaulyje. Tai dvigubos grandinės didelės molekulinės masės polimeras, kurio monomeras yra nukleotidai. DNR molekulės turi dvigubos spiralės struktūrą, sukurtą komplementarumo principu.

Architetaskultūra

Žmogus nuo seno naudojasi simetrija architektūroje. Senovės architektai ypač puikiai panaudojo simetriją architektūrinėse struktūrose. Negana to, senovės graikų architektai buvo įsitikinę, kad savo darbuose vadovaujasi gamtą valdančiais dėsniais. Pasirinkdamas simetriškas formas, menininkas taip išreiškė natūralios harmonijos, kaip stabilumo ir pusiausvyros, supratimą.

Norvegijos sostinės Oslo miestas turi išraiškingą gamtos ir meno ansamblį. Tai Frogner – parkas – sodo ir parko skulptūrų kompleksas, sukurtas per 40 metų.


Paškovo namas Luvras (Paryžius)

© Elena Vladimirovna Sukhačiova, 2008-2009.

Pamokos tikslas:

  • „simetriškų taškų“ sąvokos formavimas;
  • mokyti vaikus konstruoti duomenims simetriškus taškus;
  • išmokti konstruoti duomenims simetriškus segmentus;
  • to, kas išmokta, įtvirtinimas (skaičiavimo įgūdžių formavimas, daugiaženklio skaičiaus padalijimas iš vienženklio skaičiaus).

Ant stendo „už pamoką“ kortelės:

1. Organizacinis momentas

Sveikinimai.

Mokytojas atkreipia dėmesį į stendą:

Vaikai, pradėkime pamoką planuodami savo darbus.

Šiandien matematikos pamokoje keliausime į 3 karalystes: aritmetikos, algebros ir geometrijos karalystę. Pamoką pradėkime nuo šiandien mums svarbiausio dalyko – nuo ​​geometrijos. Papasakosiu tau pasaką, bet „Pasaka yra melas, bet joje yra užuomina – pamoka geriems bičiuliams“.

": Vienas filosofas, vardu Buridanas, turėjo asilą. Kartą, ilgam išvykdamas, filosofas prieš asilą padėjo dvi identiškas rankas šieno. Pastatė suolą, o kairėje nuo suolo ir dešinėje nuo jo. , tuo pačiu atstumu, jis padėjo visiškai identiškas šieno rankas.

1 paveikslas lentoje:

Asilas vaikščiojo nuo vienos šieno rankos prie kitos, bet vis tiek neapsisprendė, nuo kurios rankos pradėti. Ir galiausiai jis mirė iš bado“.

Kodėl asilas nenusprendė, nuo kurios šieno rankos pradėti?

Ką galite pasakyti apie šiuos šieno glėbius?

(Šieno rankos lygiai tokios pačios, jos buvo vienodu atstumu nuo suolo, vadinasi, simetriškos).

2. Atlikime nedidelį tyrimą.

Paimkite popieriaus lapą (kiekvienas vaikas ant savo stalo turi spalvoto popieriaus lapą), sulenkite jį per pusę. Pradurkite jį kompaso koja. Išskleisti.

Ką tu gavai? (2 simetriški taškai).

Kaip galite būti tikri, kad jie tikrai simetriški? (lankstome lapą, taškai sutampa)

3. Ant stalo:

Ar manote, kad šie taškai yra simetriški? (Ne). Kodėl? Kaip galime tuo įsitikinti?

3 pav.

Ar šie taškai A ir B yra simetriški?

Kaip mes galime tai įrodyti?

(Išmatuokite atstumą nuo tiesės iki taškų)

Grįžkime prie savo spalvoto popieriaus lapų.

Iš pradžių išmatuokite atstumą nuo lenkimo linijos (simetrijos ašies) iki vieno, o paskui iki kito taško (bet pirmiausia sujunkite juos atkarpa).

Ką galite pasakyti apie šiuos atstumus?

(Tas pats)

Raskite savo segmento vidurį.

Kur tai yra?

(Ar atkarpos AB susikirtimo taškas su simetrijos ašimi)

4. Atkreipkite dėmesį į kampus, susidaręs dėl atkarpos AB susikirtimo su simetrijos ašimi. (Kiekvienas vaikas dirba savo darbo vietoje, vienas mokosi prie lentos).

Vaikų išvada: atkarpa AB yra stačiu kampu į simetrijos ašį.

To nežinodami, mes atradome matematinę taisyklę:

Jei taškai A ir B yra simetriški tiesei arba simetrijos ašiai, tai atkarpa, jungianti šiuos taškus, yra stačiu kampu arba statmena šiai tiesei. (Ant stovo atskirai rašomas žodis „statmenas“). Žodį „statmenai“ ištariame garsiai choru.

5. Atkreipkime dėmesį į tai, kaip ši taisyklė parašyta mūsų vadovėlyje.

Darbas pagal vadovėlį.

Raskite simetriškus taškus tiesės atžvilgiu. Ar taškai A ir B bus simetriški šiai tiesei?

6. Darbas su nauja medžiaga.

Išmoksime statyti taškus, simetriškus duomenims, palyginti su tiesia linija.

Mokytojas moko samprotauti.

Norėdami sukurti tašką, simetrišką taškui A, turite perkelti šį tašką iš tiesios linijos į tą patį atstumą į dešinę.

7. Išmoksime statyti simetriškus duomenims atkarpas tiesios linijos atžvilgiu. Darbas pagal vadovėlį.

Mokiniai samprotauja prie lentos.

8. Skaičiavimas žodžiu.

Čia baigsime viešnagę „Geometrijos“ karalystėje ir atliksime nedidelį matematinį apšilimą apsilankę „Aritmetikos“ karalystėje.

Kol visi dirba žodžiu, du studentai dirba prie atskirų lentų.

A) Atlikite padalijimą su patikrinimu:

B) Įvedę reikiamus skaičius, išspręskite pavyzdį ir patikrinkite:

Žodinis skaičiavimas.

  1. Beržo gyvenimo trukmė – 250 metų, o ąžuolo – 4 kartus ilgesnė. Kiek laiko gyvena ąžuolas?
  2. Papūga vidutiniškai gyvena 150 metų, o dramblys – 3 kartus mažiau. Kiek metų gyvena dramblys?
  3. Meška pakvietė pas save svečių: ežiuką, lapę ir voverę. O dovanų jam padovanojo garstyčių puodą, šakutę ir šaukštą. Ką ežiukas davė lokiui?

Į šį klausimą galime atsakyti, jei vykdome šias programas.

  • Garstyčios - 7
  • Šakė - 8
  • Šaukštas - 6

(Ežiukas davė šaukštą)

4) Apskaičiuokite. Raskite kitą pavyzdį.

  • 810: 90
  • 360: 60
  • 420: 7
  • 560: 80

5) Raskite modelį ir padėkite užrašyti reikiamą skaičių:

3 9 81
2 16
5 10 20
6 24

9. Dabar šiek tiek pailsėkime.

Pasiklausykime Bethoveno „Mėnesienos sonatos“. Klasikinės muzikos minutė. Mokiniai padeda galvas ant stalo, užsimerkia ir klausosi muzikos.

10. Kelionė į algebros karalystę.

Atspėk lygties šaknis ir patikrink:

Mokiniai sprendžia uždavinius lentoje ir sąsiuviniuose. Jie paaiškina, kaip tai atspėjo.

11. "Blitz turnyras" .

a) Asya nusipirko 5 beigelius už rublį ir 2 kepalus už b rublius. Kiek kainuoja visas pirkinys?

Patikrinkime. Pasidalinkime savo nuomone.

12. Apibendrinant.

Taigi, mes baigėme savo kelionę į matematikos karalystę.

Kas tau buvo svarbiausia pamokoje?

Kam patiko mūsų pamoka?

Buvo malonu dirbti su jumis

Ačiū už pamoką.

Tegu g yra fiksuota linija (191 pav.). Paimkime savavališką tašką X ir numeskime statmeną AX tiesei g. Statmeno tęsinyje už taško A nubrėžiame atkarpą AX", lygią atkarpai AX. Taškas X" vadinamas simetrišku taškui X tiesės g atžvilgiu.

Jei taškas X yra tiesėje g, tada jam simetriškas taškas yra pats taškas X. Akivaizdu, kad taškas, simetriškas taškui X“, yra taškas X.

Figūros F pavertimas figūra F", kurioje kiekvienas jos taškas X eina į tašką X", simetrišką duotosios tiesės g atžvilgiu, vadinamas simetrijos transformacija tiesės g atžvilgiu. Šiuo atveju figūros F ir F" vadinamos simetrinėmis tiesės g atžvilgiu (192 pav.).

Jeigu simetrijos transformacija tiesės g atžvilgiu paima figūrą F į save, tai ši figūra vadinama simetriška tiesės g atžvilgiu, o tiesė g – figūros simetrijos ašimi.

Pavyzdžiui, tiesės, einančios per stačiakampio, lygiagrečios jo kraštinėms, įstrižainių susikirtimo tašką, yra stačiakampio simetrijos ašys (193 pav.). Tiesios linijos, ant kurių yra rombo įstrižainės, yra jo simetrijos ašys (194 pav.).

9.3 teorema. Simetrijos transformacija apie tiesią liniją yra judėjimas.


Įrodymas. Paimkime šią tiesę Dekarto koordinačių sistemos y ašimi (195 pav.). Tegul savavališkas figūros F taškas A (x; y) eina į figūros F tašką A" (x"; y"). Iš simetrijos apibrėžimo tiesės atžvilgiu išplaukia, kad taškai A ir A" turi lygias ordinates, o abscisės skiriasi tik ženklu:

x"= -x.
Paimkime du savavališkus taškus A(x 1; y 1) ir B (x 2; y 2) – jie pateks į taškus A" (- x 1, y 1) ir B" (-x 2; y 2).

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

Iš to aišku, kad AB = A "B". O tai reiškia, kad simetrijos transformacija apie tiesią liniją yra judėjimas. Teorema įrodyta.

SUSIJĘ STRAIPSNIAI