Tikslai:

• edukacinis:
  • duoti simetrijos idėją;
  • supažindinti su pagrindiniais simetrijos tipais plokštumoje ir erdvėje;
  • ugdyti stiprius simetriškų figūrų konstravimo įgūdžius;
  • plėsti idėjas apie garsias figūras, supažindindama jas su savybėmis, susijusiomis su simetrija;
  • parodyti simetrijos panaudojimo galimybes sprendžiant įvairios užduotys;
  • įtvirtinti įgytas žinias;
• bendrasis išsilavinimas:
  • išmokti pasiruošti darbui;
  • mokyti valdyti save ir kaimyną ant stalo;
  • išmokyti vertinti save ir kaimyną ant savo stalo;
• kuriant:
  • aktyvinti savarankišką veiklą;
  • vystytis pažintinė veikla;
  • išmokti apibendrinti ir sisteminti gautą informaciją;
• edukacinis:
  • ugdyti mokinius „peties jausmu“;
  • ugdyti bendravimą;
  • ugdyti bendravimo kultūrą.

UŽSIĖMIMŲ METU

Prieš kiekvieną yra žirklės ir popieriaus lapas.

1 pratimas(3 min.).

- Paimkite popieriaus lapą, perlenkite jį per pusę ir iškirpkite kokią nors figūrėlę. Dabar išskleiskite lapą ir pažiūrėkite į lenkimo liniją.

Klausimas: Kokia šios linijos funkcija?

Siūlomas atsakymas:Ši linija padalija figūrą per pusę.

Klausimas: Kaip visi figūros taškai yra dviejose gautose pusėse?

Siūlomas atsakymas: Visi pusių taškai yra vienodu atstumu nuo lenkimo linijos ir tame pačiame lygyje.

- Taigi, lenkimo linija padalija figūrą per pusę, kad 1 pusė būtų 2 pusių kopija, t.y. ši linija nėra paprasta, ji turi puikią savybę (visi taškai jos atžvilgiu yra vienodu atstumu), ši linija yra simetrijos ašis.

2 užduotis (2 minutės).

- Iškirpkite snaigę, suraskite simetrijos ašį, apibūdinkite ją.

3 užduotis (5 minutės).

- Nubrėžkite ratą sąsiuvinyje.

Klausimas: Nustatykite, kaip eina simetrijos ašis?

Siūlomas atsakymas: Kitaip.

Klausimas: Taigi kiek simetrijos ašių turi apskritimas?

Siūlomas atsakymas: Lot.

– Taip, apskritimas turi daug simetrijos ašių. Ta pati nuostabi figūra yra rutulys (erdvinė figūra)

Klausimas: Kokios kitos figūros turi daugiau nei vieną simetrijos ašį?

Siūlomas atsakymas: Kvadratas, stačiakampis, lygiašonis ir lygiakraštis trikampis.

– Apsvarstykite trimatės figūros: kubas, piramidė, kūgis, cilindras ir kt. Šios figūros taip pat turi simetrijos ašį.Nustatykite, kiek simetrijos ašių turi kvadratas, stačiakampis, lygiakraštis trikampis ir siūlomos trimatės figūros?

Mokiniams išdalinu plastilino figūrėlių puses.

4 užduotis (3 min.).

- Naudodamiesi gauta informacija, užbaikite trūkstamą figūros dalį.

Pastaba: figūrėlė gali būti ir plokščia, ir trimatė. Svarbu, kad mokiniai nustatytų, kaip eina simetrijos ašis, ir užpildytų trūkstamą elementą. Vykdymo teisingumą nustato kaimynas ant stalo, įvertina, kaip gerai atliktas darbas.

Iš tos pačios spalvos nėrinių ant darbastalio nutiesiama linija (uždara, atvira, su savaime susikerta, be savaiminio kirtimo).

5 užduotis (darbas grupėje 5 min.).

- Vizualiai nustatykite simetrijos ašį ir jos atžvilgiu užbaikite antrąją dalį iš kitos spalvos nėrinių.

Atlikto darbo teisingumą nustato patys mokiniai.

Mokiniams pristatomi piešinių elementai

6 užduotis (2 minutės).

Raskite simetriškas šių brėžinių dalis.

Siekdamas konsoliduoti nagrinėjamą medžiagą, siūlau šias 15 minučių užduotis:

Pavadinkite visus vienodus trikampio KOR ir KOM elementus. Kokie yra šių trikampių tipai?

2. Sąsiuvinyje nupieškite kelis lygiašonius trikampius, kurių bendras pagrindas lygus 6 cm.

3. Nubraižykite atkarpą AB. Sukurkite tiesę, statmeną atkarpai AB ir kertančią jos vidurio tašką. Jame pažymėkite taškus C ir D, kad keturkampis ACBD būtų simetriškas tiesės AB atžvilgiu.

– Mūsų pradinės idėjos apie formą priklauso labai tolimam senovės akmens amžiaus – paleolito – erai. Šimtus tūkstančių šio laikotarpio metų žmonės gyveno urvuose, sąlygomis, kurios mažai skyrėsi nuo gyvūnų gyvenimo. Žmonės gamino įrankius medžioklei ir žvejybai, kūrė bendravimo tarpusavyje kalbą, o vėlyvojo paleolito epochoje savo egzistenciją puošė kurdami meno kūrinius, figūrėles, piešinius, atskleidžiančius nuostabų formos pojūtį.
Kai nuo paprasto maisto rinkimo pereinama prie aktyvios jo gamybos, nuo medžioklės ir žvejybos prie žemės ūkio, žmonija pereina į naują. akmens amžius, neolite.
Neolito žmogus puikiai jautė geometrinę formą. Molinių indų deginimas ir dažymas, nendrinių kilimėlių, krepšių, audinių gamyba, vėliau metalo apdirbimas kūrė idėjas apie plokštumines ir erdvines figūras. Neolito ornamentai džiugino akį, atskleidė lygybę ir simetriją.
Kur gamtoje yra simetrija?

Siūlomas atsakymas: drugelių, vabalų, medžių lapų sparnai...

„Simetrija matyti ir architektūroje. Statydami pastatus, statybininkai aiškiai laikosi simetrijos.

Štai kodėl pastatai yra tokie gražūs. Taip pat simetrijos pavyzdys yra žmogus, gyvūnai.

Namų darbai:

1. Sugalvokite savo ornamentą, pavaizduokite jį A4 lape (galite nupiešti kilimo pavidalu).
2. Nupieškite drugelius, pažymėkite, kur yra simetrijos elementų.

Mokslinė ir praktinė konferencija

SM „Vidutinis Bendrojo lavinimo mokyklos Nr. 23"

Vologdos miestas

skyrius: gamtinis – mokslinis

projektavimo ir tyrimo darbai

SIMETRIJOS RŪŠYS

Darbus atliko 8 „a“ klasės mokinė

Krenevos Margarita

Vadovas: aukštosios matematikos mokytojas

2014 metai

Projekto struktūra:

1. Įvadas.

2. Projekto tikslai ir uždaviniai.

3. Simetrijos tipai:

3.1. Centrinė simetrija;

3.2. Ašinė simetrija;

3.3. Veidrodinė simetrija (simetrija plokštumos atžvilgiu);

3.4. Sukimosi simetrija;

3.5. Nešiojama simetrija.

4. Išvados.

Simetrija yra idėja, per kurią žmogus šimtmečius bandė suvokti ir sukurti tvarką, grožį ir tobulumą.

G. Weilas

Įvadas.

Mano darbo tema pasirinkta išstudijavus kurso „Geometrijos 8 klasė“ skyrių „Ašinė ir centrinė simetrija“. Mane labai domino ši tema. Norėjau sužinoti: kokie simetrijos tipai egzistuoja, kuo jie skiriasi vienas nuo kito, kokie yra kiekvieno tipo simetriškų figūrų konstravimo principai.

Tikslas : Įvadas į skirtingus simetrijos tipus.

Užduotys:

Studijuokite literatūrą šia tema.

Apibendrinti ir susisteminti studijuotą medžiagą.

Paruoškite pristatymą.

Senovėje žodis „SIMETRIJA“ buvo vartojamas kaip „harmonija“, „grožis“. Išvertus iš graikų kalbos, šis žodis reiškia „proporcingumą, proporcingumą, vienodumą ko nors dalių išdėstyme priešingose ​​taško, linijos ar plokštumos pusėse.

Yra dvi simetrijos grupės.

Pirmoji grupė apima pozicijų, formų, struktūrų simetriją. Tai yra simetrija, kurią galima pamatyti tiesiogiai. Tai galima pavadinti geometrine simetrija.

Antroji grupė apibūdina simetriją fizikiniai reiškiniai ir gamtos dėsniai. Ši simetrija slypi pačiame gamtos mokslų pasaulio paveikslo pagrinde: ją galima pavadinti fizine simetrija.

Sustoju mokytisgeometrinė simetrija .

Savo ruožtu taip pat yra keletas geometrinės simetrijos tipų: centrinė, ašinė, veidrodinė (simetrija plokštumos atžvilgiu), radialinė (arba sukamoji), nešiojama ir kt. Šiandien apsvarstysiu 5 simetrijos tipus.

Centrinė simetrija

Du taškai A ir A 1 vadinami simetriniais taško O atžvilgiu, jei yra tiesėje, einančioje per m O, ir yra priešingose ​​jos pusėse tokiu pat atstumu. Taškas O vadinamas simetrijos centru.

Figūra vadinama simetriška taško atžvilgiuO , jei kiekvienam figūros taškui taško atžvilgiu jam simetriškas taškasO taip pat priklauso šiai figūrai. TaškasO vadinama figūros simetrijos centru, sakoma, kad figūra turi centrinę simetriją.

Centrinės simetrijos figūrų pavyzdžiai yra apskritimas ir lygiagretainis.

Skaidrėje pavaizduotos figūros yra simetriškos tam tikro taško atžvilgiu

2. Ašinė simetrija

Du taškaiX ir Y vadinama simetriška tiesės atžvilgiut , jeigu ši tiesė eina per atkarpos XY vidurio tašką ir yra jai statmena. Taip pat reikėtų pasakyti, kad kiekvienas linijos taškast laikomas simetrišku sau pačiam.

Tiesiait yra simetrijos ašis.

Teigiama, kad figūra yra simetriška tiesios linijos atžvilgiu.t, jei kiekvienam figūros taškui tiesės atžvilgiu jam simetriškas taškast taip pat priklauso šiai figūrai.

Tiesiaitvadinama figūros simetrijos ašimi, sakoma, kad figūra turi ašinę simetriją.

Ašinę simetriją turi neišplėtotas kampas, lygiašoniai ir lygiakraščiai trikampiai, stačiakampis ir rombas,laiškai (žr. pristatymą).

Veidrodinė simetrija (simetrija apie plokštumą)

Du P taškai 1 ir P vadinami simetriniais plokštumos a atžvilgiu, jei jie yra tiesėje, statmenoje plokštumai a ir yra vienodu atstumu nuo jos

Veidrodinė simetrija visiems gerai žinomas. Jis sujungia bet kokį objektą ir jo atspindį plokščiame veidrodyje. Sakoma, kad viena figūra yra veidrodiškai simetriška kitai.

Plokštumoje figūra su begaliniu simetrijos ašių skaičiumi buvo apskritimas. Erdvėje begalinis skaičius simetrijos plokštumų turi rutulį.

Bet jei apskritimas yra vienintelis tokio pobūdžio, tai trimačiame pasaulyje yra visa eilė kūnų, turinčių begalinį skaičių simetrijos plokštumų: tiesus cilindras su apskritimu prie pagrindo, kūgis su apskritas pagrindas, rutulys.

Nesunku nustatyti, kad kiekvienas būtų simetriškas plokščia figūra veidrodžio pagalba galima derinti su savimi. Stebina tai, kad tokios sudėtingos figūros kaip penkiakampė žvaigždė ar lygiakraštis penkiakampis taip pat yra simetriškos. Kaip matyti iš ašių skaičiaus, jos išsiskiria būtent didele simetrija. Ir atvirkščiai: ne taip lengva suprasti, kodėl toks iš pažiūros teisinga figūra, kaip įstrižas lygiagretainis, nėra simetriškas.

4. P sukimosi simetrija (arba radialinė simetrija)

Sukimosi simetrija yra simetrija, išsauganti objekto formąkai sukasi aplink kokią ašį kampu, lygiu 360 ° /n(arba šios vertės kartotinis), kurn= 2, 3, 4, … Nurodyta ašis vadinama sukimosi ašimin– įsakymas.

Atn=2 visi figūros taškai pasukti 180 kampu 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) aplink ašį, tuo tarpu išsaugoma figūros forma, t.y. kiekvienas figūros taškas eina į tos pačios figūros tašką (figūra transformuojama į save). Ašis vadinama antros eilės ašimi.

2 paveiksle pavaizduota trečios eilės ašis, 3 paveiksle – 4 eilės tvarka, 4 paveiksle – 5 eilės tvarka.

Objektas gali turėti daugiau nei vieną sukimosi ašį: 1 pav. - 3 sukimosi ašys, 2 pav. - 4 ašys, 3 pav. - 5 ašys, pav. 4 - tik 1 ašis

Visi žinomi laiškai"I" ir "F" turi sukimosi simetriją. Jei pasukate raidę "I" 180 ° aplink ašį, statmeną raidės plokštumai ir einančios per jos centrą, raidė bus lygiuojama su savimi. Kitaip tariant, raidė „I“ yra simetriška pasukimo 180°, 180°= 360° atžvilgiu: 2,n=2, taigi ji turi antros eilės simetriją.

Atkreipkite dėmesį, kad raidė "F" taip pat turi antros eilės sukimosi simetriją.

Be to, raidė ir turi simetrijos centrą, o raidė Ф turi simetrijos ašį

Grįžkime prie pavyzdžių iš gyvenimo: stiklinė, kūgio formos svaras ledų, vielos gabalas, pypkė.

Jei pažvelgsime į šiuos kūnus atidžiau, pastebėtume, kad visi jie vienaip ar kitaip susideda iš apskritimo, per kurį eina begalinis skaičius simetrijos ašių, iš kurių eina begalinis skaičius simetrijos plokštumų. Dauguma šių kūnų (jie vadinami sukimosi kūnais), žinoma, turi ir simetrijos centrą (apskritimo centrą), per kurį eina bent viena sukamoji simetrijos ašis.

Pavyzdžiui, aiškiai matoma ledų kūgio ašis. Jis eina nuo apskritimo vidurio (išlindęs iš ledų!) iki aštraus funky kūgio galo. Kūno simetrijos elementų rinkinį suvokiame kaip tam tikrą simetrijos matą. Kamuolys, be jokios abejonės, simetrijos prasme yra neprilygstamas tobulumo įsikūnijimas, idealas. Senovės graikai suvokė jį kaip tobuliausią kūną, o apskritimą, žinoma, kaip tobuliausią plokščią figūrą.

Norint apibūdinti konkretaus objekto simetriją, būtina nurodyti visas sukimosi ašis ir jų tvarką, taip pat visas simetrijos plokštumas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, geometrinį kūną, sudarytą iš dviejų vienodų taisyklingų keturkampių piramidžių.

Jame yra viena 4-os eilės sukimosi ašis (ašis AB), keturios 2-os eilės sukimosi ašys (ašys CE,D.F., MP, NQ), penkios simetrijos plokštumos (plokštumosCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Nešiojama simetrija

Kita simetrijos rūšis yranešiojamas su simetrija.

Jie kalba apie tokią simetriją, kai figūra perkeliama tiesia linija tam tikru atstumu „a“ arba atstumu, kuris yra šios reikšmės kartotinis, ji sujungiama su savimi. Tiesi linija, pagal kurią atliekamas perkėlimas, vadinama perdavimo ašimi, o atstumas "a" vadinamas elementariu perkėlimu, periodu arba simetrijos žingsniu.

a

Periodiškai pasikartojantis raštas ant ilgos juostelės vadinamas krašteliu. Praktikoje apvadai randami įvairių formų (sienų tapyba, ketaus, gipso bareljefai ar keramika). Kraštines naudoja tapytojai ir menininkai dekoruodami kambarį. Šiems ornamentams atlikti yra pagamintas trafaretas. Trafaretą judiname apversdami ar neapversdami, nubrėžiame kontūrą, kartodami raštą ir gauname ornamentą (vaizdinis demonstravimas).

Kraštą lengva sukurti naudojant trafaretą (originalus elementas), jį perkeliant arba apverčiant ir kartojant raštą. Paveikslėlyje pavaizduoti penki trafaretų tipai:a ) asimetriškas;b, c ) turinčios vieną simetrijos ašį: horizontalią arba vertikalią;G ) centrinis simetriškas;d ) turinčios dvi simetrijos ašis: vertikalią ir horizontalią.

Sienoms kurti naudojamos šios transformacijos:

a ) lygiagretus perdavimas;b ) simetrija vertikalios ašies atžvilgiu;in ) centrinė simetrija;G ) simetrija horizontalios ašies atžvilgiu.

Panašiai galite pastatyti lizdus. Tam ratas yra padalintas įn lygūs sektoriai, viename iš jų atliekamas pavyzdinis raštas, o po to pastarasis nuosekliai kartojamas likusiose apskritimo dalyse, kiekvieną kartą pasukant raštą 360 ° kampu /n .

Geras ašinės ir transliacinės simetrijos panaudojimo pavyzdys yra nuotraukoje parodyta tvora.

Išvada: Taigi, yra įvairių simetrijos tipų, simetriški taškai kiekviename iš šių simetrijos tipų yra statomi pagal tam tikrus dėsnius. Gyvenime visur sutinkame vienokią ar kitokią simetrijos rūšį, o dažnai mus supančius objektus galima pastebėti iš karto kelis simetrijos tipus. Tai sukuria tvarką, grožį ir tobulumą mus supančiame pasaulyje.

LITERATŪRA:

Elementariosios matematikos vadovas. M.Ya. Vygodskis. – Leidykla „Mokslas“. - Maskva 1971 m. – 416 p.

Šiuolaikinis svetimžodžių žodynas. - M.: Rusų kalba, 1993 m.

Matematikos istorija mokyklojeIX - Xklases. G.I. Glaseris. – Leidykla „Švietimas“. – Maskva 1983 m – 351 p.

Vizualinė geometrija 5 - 6 klasės. I.F. Šaryginas, L.N. Erganžijevas. - Leidykla „Drofa“, Maskva, 2005 m. - 189 p.

Enciklopedija vaikams. Biologija. S. Ismailova. – Leidykla „Avanta+“. – Maskva 1997 m – 704 p.

Urmantsevas Yu.A. Gamtos simetrija ir simetrijos prigimtis – M.: Mintis architektūra / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

aš . Simetrija matematikoje :

Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai.

Ašinė simetrija (apibrėžimai, konstrukcijos planas, pavyzdžiai)

Centrinė simetrija (apibrėžimai, konstrukcijos planas, supriemonės)

Suvestinė lentelė (visos savybės, funkcijos)

II . Simetrijos programos:

1) matematikoje

2) chemijoje

3) biologijos, botanikos ir zoologijos srityse

4) mene, literatūroje ir architektūroje

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Pagrindinės simetrijos sąvokos ir jos rūšys.

Simetrijos samprata n R eina per visą žmonijos istoriją. Jis randamas jau žmogaus žinių ištakose. Jis atsirado dėl gyvo organizmo, būtent žmogaus, tyrinėjimo. O skulptoriai jį naudojo jau V amžiuje prieš Kristų. e. Žodis „simetrija“ yra graikiškas, reiškia „proporcingumas, proporcingumas, dalių išdėstymo vienodumas“. Jis plačiai naudojamas visose be išimties šiuolaikinio mokslo srityse. Daugelis puikių žmonių pagalvojo apie šį modelį. Pavyzdžiui, L. N. Tolstojus sakė: „Stovint prieš juodą lentą ir kreida ant jos piešiant įvairias figūras, staiga šovė į galvą mintis: kodėl akiai aiški simetrija? Kas yra simetrija? Tai įgimtas jausmas, atsakiau sau. Kuo ji pagrįsta?" Simetrija tikrai džiugina akį. Kas nesižavėjo gamtos kūrinių simetrija: lapais, gėlėmis, paukščiais, gyvūnais; arba žmogaus kūriniai: pastatai, technologijos, – visa tai, kas mus supa nuo vaikystės, kas siekia grožio ir harmonijos. Hermannas Weylas sakė: „Simetrija yra idėja, per kurią žmogus šimtmečius bandė suvokti ir sukurti tvarką, grožį ir tobulumą“. Hermann Weyl yra vokiečių matematikas. Jo veikla patenka į XX amžiaus pirmąją pusę. Būtent jis suformulavo simetrijos apibrėžimą, pagal kokius ženklus galima pamatyti simetrijos buvimą ar, atvirkščiai, nebuvimą konkrečiu atveju. Taigi matematiškai griežtas vaizdavimas susiformavo palyginti neseniai – XX amžiaus pradžioje. Tai gana sudėtinga. Atsiversime ir dar kartą prisiminsime apibrėžimus, kurie mums pateikiami vadovėlyje.

2. Ašinė simetrija.

2.1 Pagrindiniai apibrėžimai

Apibrėžimas. Du taškai A ir A 1 vadinami simetriškais tiesės a atžvilgiu, jei ši tiesė eina per atkarpos AA 1 vidurio tašką ir yra jai statmena. Kiekvienas tiesės a taškas laikomas simetrišku sau pačiam.

Apibrėžimas. Teigiama, kad figūra yra simetriška tiesios linijos atžvilgiu. a, jei kiekvienam figūros taškui taškas yra simetriškas tiesės atžvilgiu a taip pat priklauso šiai figūrai. Tiesiai a vadinama figūros simetrijos ašimi. Taip pat teigiama, kad figūra turi ašinę simetriją.

2.2 Statybos planas

Taigi, norėdami sukurti simetrišką figūrą tiesios linijos atžvilgiu iš kiekvieno taško, nubrėžiame statmeną šiai tiesei ir pratęsiame ją tokiu pačiu atstumu, pažymime gautą tašką. Tai darome su kiekvienu tašku, gauname simetriškas naujos figūros viršūnes. Tada sujungiame juos nuosekliai ir gauname simetrišką šios santykinės ašies figūrą.

2.3 Ašinės simetrijos figūrų pavyzdžiai.

3. Centrinė simetrija

3.1 Pagrindiniai apibrėžimai

Apibrėžimas. Du taškai A ir A 1 vadinami simetriškais taško O atžvilgiu, jei O yra atkarpos AA 1 vidurio taškas. Taškas O laikomas simetrišku sau pačiam.

Apibrėžimas. Figūra vadinama simetriška taško O atžvilgiu, jei kiekvienam figūros taškui taško O atžvilgiu jai simetriškas taškas taip pat priklauso šiai figūrai.

3.2 Statybos planas

Simetriško trikampio sudarymas duotam centro O atžvilgiu.

Sukurti tašką, simetrišką taškui BET taško atžvilgiu O, pakanka nubrėžti tiesią liniją OA(46 pav ) o kitoje taško pusėje O atidėti atkarpą, lygią atkarpai OA. Kitaip tariant , taškai A ir ; Į ir ; C ir yra simetriški tam tikro taško O atžvilgiu. Fig. 46 pastatė trikampį, simetrišką trikampiui ABC taško atžvilgiu O.Šie trikampiai yra lygūs.

Simetrinių taškų apie centrą konstravimas.

Paveiksle taškai M ir M 1, N ir N 1 yra simetriški taškui O, o taškai P ir Q nėra simetriški šiam taškui.

Apskritai figūros, kurios yra simetriškos tam tikram taškui, yra lygios .

3.3 Pavyzdžiai

Pateiksime centrinės simetrijos figūrų pavyzdžius. Paprasčiausios figūros su centrine simetrija yra apskritimas ir lygiagretainis.

Taškas O vadinamas figūros simetrijos centru. Tokiais atvejais figūra turi centrinę simetriją. Apskritimo simetrijos centras yra apskritimo centras, o lygiagretainio simetrijos centras yra jo įstrižainių susikirtimo taškas.

Tiesė taip pat turi centrinę simetriją, tačiau, skirtingai nuo apskritimo ir lygiagretainio, kurių simetrijos centras yra tik vienas (paveikslėlyje O taškas), tiesė turi begalinį jų skaičių – bet kuris tiesės taškas yra jos taškas. simetrijos centras.

Figūrose pavaizduotas kampas, simetriškas viršūnės atžvilgiu, atkarpa, simetriška kitai atkarpai apie centrą BET o jo viršūnei simetriškas keturkampis M.

Figūros, neturinčios simetrijos centro, pavyzdys yra trikampis.

4. Pamokos santrauka

Apibendrinkime įgytas žinias. Šiandien pamokoje susipažinome su dviem pagrindiniais simetrijos tipais: centrine ir ašine. Pažiūrėkime į ekraną ir susisteminkime įgytas žinias.

Suvestinė lentelė

	Ašinė simetrija	Centrinė simetrija
Ypatingumas	Visi figūros taškai turi būti simetriški tam tikros tiesės atžvilgiu.	Visi figūros taškai turi būti simetriški taškui, pasirinktam kaip simetrijos centras.
Savybės	1. Simetriniai taškai yra ant tiesės statmenų. 3. Tiesios virsta tiesiomis linijomis, kampai lygiais kampais. 4. Išsaugomi figūrų dydžiai ir formos.	1. Simetriški taškai yra tiesėje, einančioje per figūros centrą ir nurodytą tašką. 2. Atstumas nuo taško iki tiesės lygus atstumui nuo tiesės iki simetrinio taško. 3. Išsaugomi figūrų dydžiai ir formos.

II. Simetrijos taikymas

Matematika	Algebros pamokose nagrinėjome funkcijų y=x ir y=x grafikus Paveiksluose pavaizduoti įvairūs paveikslėliai, pavaizduoti naudojant parabolių šakas. a) oktaedras, b) rombinis dodekaedras, c) šešiakampis oktaedras.
rusų kalba	Spausdintos raidės Rusų abėcėlė taip pat turi įvairių tipų simetrijų. Rusų kalboje yra „simetriški“ žodžiai - palindromai, kurią galima skaityti vienodai abiem kryptimis.	A D L M P T V- vertikali ašis B E W K S E Yu – horizontalioji ašis W N O X- tiek vertikaliai, tiek horizontaliai B G I Y R U C W Y Z- nėra ašies Radaro namelis Alla Anna
Literatūra	Sakiniai taip pat gali būti palindromiški. Bryusovas parašė eilėraštį „Mėnulio balsas“, kuriame kiekviena eilutė yra palindromas. Pažvelkite į A. S. Puškino ketvertukus " Bronzinis raitelis“. Jei po antrosios linijos nubrėžtume liniją, pamatytume ašinės simetrijos elementus	Ir rožė užkrito Azorui ant letenos. Einu su teisėjo kardu. (Deržavinas) „Ieškok taksi“ „Argentina vilioja juodaodį“, „Vertina argentinietį negrą“, – Lesha lentynoje rado klaidą. Neva apsirengusi granitu; Virš vandenų kabojo tiltai; Tamsiai žali sodai Salos buvo padengtos juo ...

Biologija

Žmogaus kūnas yra sukurtas remiantis dvišalės simetrijos principu. Daugelis iš mūsų mano, kad smegenys yra viena struktūra, iš tikrųjų jos yra padalintos į dvi dalis. Šios dvi dalys – du pusrutuliai – puikiai dera. Visiškai laikantis bendros žmogaus kūno simetrijos, kiekvienas pusrutulis yra beveik tikslus kito veidrodinis vaizdas. Pagrindinių žmogaus kūno judesių ir jutimo funkcijų valdymas yra tolygiai paskirstytas tarp dviejų smegenų pusrutulių. Kairysis pusrutulis valdo dešinę smegenų pusę, o dešinysis – kairę.

Botanika

Gėlė laikoma simetriška, kai kiekvienas žiedas susideda iš vienodo skaičiaus dalių. Gėlės, turinčios suporuotas dalis, laikomos gėlėmis su dviguba simetrija ir kt. Triguba simetrija būdinga vienaląsčiams, penkios – dviskilčiams. būdingas bruožas augalų struktūra ir jų vystymasis yra heliumas. Atkreipkite dėmesį į lapų išdėstymą ūgliai - tai taip pat yra spiralės natūra - sraigtinė. Net Goethe, kuris buvo ne tik puikus poetas, bet ir gamtininkas, vienu iš jų laikė heliumą būdingi bruožai visų organizmų – slapčiausios gyvybės esmės apraiška. Augalų ūseliai sukasi spirale, audiniai auga spirale medžių kamienuose, sėklos saulėgrąžoje išsidėsto spirale, spiraliniai judesiai stebimi augant šaknims ir ūgliams.

Būdingas augalų sandaros ir jų vystymosi bruožas yra sraigtiškumas. Pažiūrėkite į pušies kankorėžį. Žvyneliai ant jo paviršiaus išsidėstę griežtai taisyklingai – išilgai dviejų spiralių, kurios susikerta maždaug stačiu kampu. Tokių spiralių skaičius kankorėžiuose yra 8 ir 13 arba 13 ir 21.

Zoologija

Gyvūnų simetrija suprantama kaip dydžio, formos ir kontūro atitikimas, taip pat santykinė kūno dalių, esančių priešingose ​​skiriamosios linijos pusėse, vieta. Esant radialinei arba radiacinei simetrijai, kūnas yra trumpo arba ilgo cilindro arba indo su centrine ašimi pavidalu, iš kurio radialine tvarka išeina kūno dalys. Tai koelenteratai, dygiaodžiai, jūros žvaigždės. Esant dvišalei simetrijai, yra trys simetrijos ašys, bet tik viena simetriškų kraštinių pora. Nes kitos dvi pusės – pilvinė ir nugarinė – nėra panašios viena į kitą. Tokia simetrija būdinga daugumai gyvūnų, įskaitant vabzdžius, žuvis, varliagyvius, roplius, paukščius ir žinduolius.

Ašinė simetrija

	Skirtingos rūšys fizikinių reiškinių simetrijos: elektrinių ir magnetinių laukų simetrija (1 pav.) Viena kitai statmenose plokštumose sklidimas yra simetriškas elektromagnetines bangas(2 pav.)	pav.1 pav.2
Art	Dailiniuose kūriniuose dažnai galima pastebėti veidrodinę simetriją. Veidrodinė "simetrija plačiai aptinkama pirmykščių civilizacijų meno kūriniuose ir senovės tapyboje. Tokia simetrija būdinga ir viduramžių religinei tapybai. Vienas geriausių ankstyvųjų Rafaelio kūrinių „Marijos sužadėtuvė“ buvo sukurtas 1504 m. Po saulėtu mėlynu dangumi driekiasi slėnis, kurio viršuje yra balto akmens šventykla. Pirmame plane – sužadėtuvių ceremonija. Vyriausiasis kunigas suartina Marijos ir Juozapo rankas. Už Marijos – būrys merginų, už Juozapo – būrys jaunų vyrų. Abi simetriškos kompozicijos dalis laiko kartu artėjantis veikėjų judėjimas. Šiuolaikiniam skoniui tokio paveikslo kompozicija yra nuobodi, nes simetrija pernelyg akivaizdi.

Chemija	Vandens molekulė turi simetrijos plokštumą (tiesią vertikalią liniją).DNR molekulės (dezoksiribonukleino rūgštis) atlieka nepaprastai svarbų vaidmenį laukinės gamtos pasaulyje. Tai dvigrandis didelės molekulinės masės polimeras, kurio monomeras yra nukleotidai. DNR molekulės turi dvigubos spiralės struktūrą, sukurtą komplementarumo principu.
architektasPSO	Nuo seniausių laikų žmogus architektūroje naudojo simetriją. Senovės architektai ypač puikiai panaudojo simetriją architektūrinėse konstrukcijose. Be to, senovės graikų architektai buvo įsitikinę, kad savo darbuose vadovaujasi gamtą valdančiais dėsniais. Pasirinkęs simetriškas formas, menininkas taip išreiškė savo supratimą apie natūralią harmoniją kaip stabilumą ir pusiausvyrą. Norvegijos sostinės Oslo miestas turi išraiškingą gamtos ir meno ansamblį. Tai Frognerio parkas – kraštovaizdžio sodininkystės skulptūrų kompleksas, kuriamas per 40 metų.	Paškovo namas Luvras (Paryžius)

© Sukhačiova Elena Vladimirovna, 2008-2009

Judėjimo samprata

Pirmiausia panagrinėkime tokią sąvoką kaip judėjimas.

1 apibrėžimas

Plokštumos atvaizdavimas vadinamas plokštumos judėjimu, jei atvaizdavimas išlaiko atstumus.

Yra keletas su šia koncepcija susijusių teoremų.

2 teorema

Trikampis, judėdamas, pereina į lygų trikampį.

3 teorema

Bet kuri figūra judant pereina į jai lygią figūrą.

Ašinė ir centrinė simetrija yra judėjimo pavyzdžiai. Panagrinėkime juos išsamiau.

Ašinė simetrija

2 apibrėžimas

Teigiama, kad taškai $A$ ir $A_1$ yra simetriški tiesės $a$ atžvilgiu, jei ši linija yra statmena atkarpai $(AA)_1$ ir eina per jos centrą (1 pav.).

1 paveikslas.

Apsvarstykite ašinę simetriją naudodami problemą kaip pavyzdį.

1 pavyzdys

Nurodytam trikampiui sukurkite simetrišką trikampį bet kurios jo kraštinės atžvilgiu.

Sprendimas.

Pateikiame trikampį $ABC$. Sukursime jo simetriją kraštinės $BC$ atžvilgiu. Pusė $BC$ ties ašinė simetrija transformuojasi į save (išplaukia iš apibrėžimo). Taškas $A$ eis į tašką $A_1$ taip: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Trikampis $ABC$ pateks į trikampį $A_1BC$ (2 pav.).

2 pav.

3 apibrėžimas

Figūra vadinama simetriška tiesės $a$ atžvilgiu, jei kiekvienas šios figūros simetriškas taškas yra toje pačioje figūroje (3 pav.).

3 pav

$3$ paveiksle pavaizduotas stačiakampis. Jis turi ašinę simetriją kiekvieno skersmens atžvilgiu, taip pat dviejų tiesių linijų, einančių per nurodyto stačiakampio priešingų kraštinių centrus, atžvilgiu.

Centrinė simetrija

4 apibrėžimas

Teigiama, kad taškai $X$ ir $X_1$ yra simetriški taško $O$ atžvilgiu, jei taškas $O$ yra atkarpos $(XX)_1$ centras (4 pav.).

4 pav

Panagrinėkime centrinę simetriją problemos pavyzdyje.

2 pavyzdys

Nurodytam trikampiui bet kurioje jo viršūnėje sukurkite simetrišką trikampį.

Sprendimas.

Pateikiame trikampį $ABC$. Sukursime jo simetriją viršūnės $A$ atžvilgiu. Viršūnė $A$ pagal centrinę simetriją pateks į save (iš apibrėžimo). Taškas $B$ pateks į tašką $B_1$ taip $(BA=AB)_1$, o taškas $C$ į tašką $C_1$ taip: $(CA=AC)_1$. Trikampis $ABC$ pereina į trikampį $(AB)_1C_1$ (5 pav.).

5 pav

5 apibrėžimas

Figūra yra simetriška taško $O$ atžvilgiu, jei kiekvienas šios figūros simetriškas taškas yra toje pačioje figūroje (6 pav.).

6 pav

$6$ paveiksle parodytas lygiagretainis. Ji turi centrinę simetriją apie įstrižainių susikirtimo tašką.

Užduoties pavyzdys.

3 pavyzdys

Pateikiame segmentą $AB$. Sukurkite jos simetriją tiesės $l$, kuri nekerta duotosios atkarpos, ir taško $C$, esančio tiesėje $l$, atžvilgiu.

Sprendimas.

Leiskite mums schematiškai pavaizduoti problemos būklę.

7 pav

Pirmiausia pavaizduokime ašinę simetriją tiesės $l$ atžvilgiu. Kadangi ašinė simetrija yra judėjimas, tai pagal teoremą $1$ atkarpa $AB$ bus susieta su jai lygia dalimi $A"B"$. Norėdami jį sukonstruoti, darome taip: per taškus $A\ ir\ B$ nubrėžkite tieses $m\ ir\ n$, statmenas tiesei $l$. Tegu $m\cap l=X,\n\cap l=Y$. Tada nubrėžkite segmentus $A"X=AX$ ir $B"Y=BY$.

8 pav

Dabar pavaizduokime centrinę simetriją taško $C$ atžvilgiu. Kadangi centrinė simetrija yra judėjimas, tai pagal teoremą $1$ atkarpa $AB$ bus priskirta jai lygiai atkarpai $A""B""$. Norėdami jį sukurti, atliksime šiuos veiksmus: nubrėžsime linijas $AC\ ir\ BC$. Tada nubrėžkite segmentus $A^("")C=AC$ ir $B^("")C=BC$.

9 pav

Šioje pamokoje apžvelgsime dar vieną kai kurių figūrų savybę – ašinę ir centrinę simetriją. Su ašine simetrija susiduriame kiekvieną dieną žiūrėdami į veidrodį. Centrinė simetrija labai paplitusi laukinėje gamtoje. Tuo pačiu metu figūros, turinčios simetriją, turi daugybę savybių. Be to, vėliau sužinome, kad ašinis ir centrinė simetrija yra judesių tipai, kurių pagalba išsprendžiama visa klasė problemų.

Ši pamoka yra apie ašinę ir centrinę simetriją.

Apibrėžimas

Du taškai ir vadinami simetriškas tiesės atžvilgiu, jei:

Ant Fig. 1 rodo pavyzdžius taškų, simetriškų tiesios linijos atžvilgiu ir , ir .

Ryžiai. vienas

Taip pat atkreipiame dėmesį į tai, kad bet kuris linijos taškas yra simetriškas sau šios linijos atžvilgiu.

Figūros taip pat gali būti simetriškos tiesios linijos atžvilgiu.

Suformuluokime griežtą apibrėžimą.

Apibrėžimas

Figūra vadinama simetriškas tiesei linijai, jei kiekvienam figūros taškui šios tiesės atžvilgiu jam simetriškas taškas taip pat priklauso figūrai. Šiuo atveju linija vadinama simetrijos ašis. Figūra turi ašinė simetrija.

Apsvarstykite keletą ašinės simetrijos figūrų ir jų simetrijos ašių pavyzdžių.

1 pavyzdys

Kampas yra ašies simetriškas. Kampo simetrijos ašis yra pusiausvyra. Išties: numeskime statmeną bisektoriui iš bet kurio kampo taško ir pratęskime, kol susikirs su kita kampo puse (žr. 2 pav.).

Ryžiai. 2

(nes - bendra pusė, (pusiauklės savybė), o trikampiai yra stačiakampiai). Reiškia,. Todėl taškai ir yra simetriški kampo pusiausvyros atžvilgiu.

Iš to išplaukia, kad lygiašonis trikampis turi ašinę simetriją pusiausvyros (aukštis, mediana), nubrėžtos į metmenis, atžvilgiu.

2 pavyzdys

Lygiakraštis trikampis turi tris simetrijos ašis (kiekvieno iš trijų kampų pusiausvyros / medianos / aukščiai (žr. 3 pav.).

Ryžiai. 3

3 pavyzdys

Stačiakampis turi dvi simetrijos ašis, kurių kiekviena eina per dviejų priešingų kraštinių vidurio taškus (žr. 4 pav.).

Ryžiai. 4

4 pavyzdys

Rombas taip pat turi dvi simetrijos ašis: tiesias linijas, kuriose yra jo įstrižainės (žr. 5 pav.).

Ryžiai. 5

5 pavyzdys

Kvadratas, kuris yra ir rombas, ir stačiakampis, turi 4 simetrijos ašis (žr. 6 pav.).

Ryžiai. 6

6 pavyzdys

Apskritimo simetrijos ašis yra bet kuri tiesi linija, einanti per jo centrą (tai yra, kurioje yra apskritimo skersmuo). Todėl apskritimas turi be galo daug simetrijos ašių (žr. 7 pav.).

Ryžiai. 7

Dabar apsvarstykite koncepciją centrinė simetrija.

Apibrėžimas

Taškai ir vadinami simetriškas taško atžvilgiu , jei: - atkarpos vidurys .

Pažvelkime į keletą pavyzdžių: pav. 8 paveiksle pavaizduoti taškai ir , taip pat ir , kurie yra simetriški taško atžvilgiu, o taškai ir nėra simetriški šio taško atžvilgiu.

Ryžiai. aštuoni

Kai kurios figūros tam tikru tašku yra simetriškos. Suformuluokime griežtą apibrėžimą.

Apibrėžimas

Figūra vadinama simetriškas taško atžvilgiu, jei kuriam nors figūros taškui, šiai figūrai priklauso ir jam simetriškas taškas. Taškas vadinamas simetrijos centras, o figūra turi centrinė simetrija.

Apsvarstykite centrinės simetrijos figūrų pavyzdžius.

7 pavyzdys

Apskritimui simetrijos centras yra apskritimo centras (tai nesunku įrodyti prisiminus apskritimo skersmens ir spindulio savybes) (žr. 9 pav.).

Ryžiai. devynios

8 pavyzdys

Lygiagretainio simetrijos centras yra įstrižainių susikirtimo taškas (žr. 10 pav.).

Ryžiai. dešimt

Išspręskime keletą ašinės ir centrinės simetrijos uždavinių.

1 užduotis.

Kiek simetrijos ašių turi linijos atkarpa?

Segmentas turi dvi simetrijos ašis. Pirmasis iš jų yra linija, kurioje yra atkarpa (nes bet kuris linijos taškas yra simetriškas sau pačiam šios tiesės atžvilgiu). Antrasis yra segmentui statmenas vidurys, tai yra tiesi linija, statmena segmentui ir einanti per jos vidurį.

Atsakymas: 2 simetrijos ašys.

2 užduotis.

Kiek simetrijos ašių turi linija?

Tiesi linija turi be galo daug simetrijos ašių. Vienas iš jų yra pati linija (kadangi bet kuris linijos taškas yra simetriškas sau pačiam šios linijos atžvilgiu). Taip pat simetrijos ašys yra bet kokios tiesės, statmenos nurodytai linijai.

Atsakymas: simetrijos ašių yra be galo daug.

3 užduotis.

Kiek simetrijos ašių turi spindulys?

Spindulys turi vieną simetrijos ašį, kuri sutampa su linija, kurioje yra spindulys (nes bet kuris šios linijos taškas yra simetriškas sau pačiam šios linijos atžvilgiu).

Atsakymas: viena simetrijos ašis.

4 užduotis.

Įrodykite, kad tiesės, kuriose yra rombo įstrižainės, yra jo simetrijos ašys.

Įrodymas:

Apsvarstykite rombą. Pavyzdžiui, įrodykime, kad tiesė yra jos simetrijos ašis. Akivaizdu, kad taškai ir yra simetriški sau, nes jie guli šioje linijoje. Be to, taškai ir yra simetriški šios linijos atžvilgiu, nes . Dabar pasirinkime savavališką tašką ir įrodykime, kad jo atžvilgiu simetriškas taškas taip pat priklauso rombui (žr. 11 pav.).

Ryžiai. vienuolika

Nubrėžkite statmeną linijai per tašką ir pratęskite ją iki susikirtimo su . Apsvarstykite trikampius ir . Šie trikampiai yra stačiakampiai (pagal konstrukciją), be to, juose: - bendra kojelė ir (kadangi rombo įstrižainės yra jo pusiausvyros). Taigi šie trikampiai yra lygūs: . Tai reiškia, kad visi juos atitinkantys elementai taip pat yra lygūs, todėl: . Iš šių atkarpų lygybės matyti, kad taškai ir yra simetriški tiesės atžvilgiu. Tai reiškia, kad tai yra rombo simetrijos ašis. Panašiai šį faktą galima įrodyti ir antrajai įstrižainei.

Įrodyta.

5 užduotis.

Įrodykite, kad lygiagretainio įstrižainių susikirtimo taškas yra jo simetrijos centras.

Įrodymas:

Apsvarstykite lygiagretainį. Įrodykime, kad taškas yra jo simetrijos centras. Akivaizdu, kad taškai ir Ir yra simetriški taško atžvilgiu, nes lygiagretainio įstrižainės yra padalintos iš susikirtimo taško per pusę. Dabar pasirinkime savavališką tašką ir įrodykime, kad lygiagretainiui priklauso ir jam simetriškas taškas (žr. 12 pav.).