Глава II. Отрицательные числа в других науках
§1. Отрицательные числа в физике…………………………………………………...5
1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа………………….6
1.2 С положительными и отрицательными числами по температурной шкале …7
§2. Отрицательные числа в географии
2.1 За положительными и отрицательными числами на горные вершины и в морские глубины……………………………………………………………………….8
2.2 Шкала глубин и высот в метрах…………………………………………………...9
2.3 Шкала высот в метрах……………………………………………………………..9
§3. Отрицательные числа в истории
3.1 Как в древности считали года? ……………………………………………….....10
§ 4. Отрицательные числа в биологии……………………………………………….11
Заключение…………………………………………………………………………….12
Приложение……………………………………………………………………………13
Список литературы………………...…………………………………………...........................14
Введение
«Твой ум без числа ничего не представляет». Это высказывание немецкого философа Н.Кузанского(1401 – 1464) показывает какую роль, играют любые числа в нашей жизни, поэтому тема «отрицательные числа» актуальна.
Мне поручили подготовить сообщение «История возникновения отрицательных чисел». Изучая литературу, я понял, что отрицательные числа возникли из практических нужд людей. С их появлением произошел большой толчок развития науки. В моем представлении было самое маленькое число 0, т.е. ничего, а оказывается, что есть еще числа меньше 0. Мне захотелось понять суть отрицательных чисел, для чего они нужны людям и я решил перелистать школьные учебники, выяснить применение отрицательных чисел на различных уроках.
Моя тема называется «Отрицательные числа на страницах школьных учебников».
Актуальность: любое число в жизни каждого человека играет важную роль
Цель работы: Изучить историю возникновения отрицательных чисел, и исследовать применение отрицательных чисел на различных уроках.
Объектом исследования является число.
Методом исследования – чтение и анализ используемой литературы и наблюдения.
Выборка: Учебники физики, географии, биологии, истории.
Задачи:
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Понять суть отрицательных чисел.
3. Исследовать применение отрицательных чисел в физике, географии, истории и биологии.
4. Сделать сообщение учащимся класса.
Глава 1. История возникновения отрицательных чисел.
Первые представления об отрицательных числах возникли еще до нашей эры. Так, во II в. до н.э. китайский ученый Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличии от положительных.
В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически пользовался отрицательными числами, рассматривая их как «вычитаемые», а положительные как «прибавляемые». В древности индийские ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. Если вы имеете 4000 рублей и покупаете товар на 1000 рублей, то у вас остается 4000 – 1000 = 3000 рублей. Но если вы имеете 4000 рублей и покупаете товар на 6000 рублей, то у вас образуется долг 2000 рублей. Поэтому, в этом случае считали, что совершается вычитание 4000 – 6000, результатом является число 2000 со знаком «минус», означающее «две тысячи долга». Таким образом, – 2000 это отрицательное число и в данном случае оно указывает на то, что у вас образовался долг 2000 рублей. Индийский математик Брахмагупта в VII в. сформулировал правила действий над положительными и отрицательными числами. В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться примерно лишь с XIII в. При этом они обозначались словами или сокращенными словами как наименования в именованных числах. Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.
Более современный пример можно привести, используя действия с телефонным балансом. Если на счету вашего телефона нет денег, то вы можете пользоваться услугами связи в долг, тогда на вашем телефоне может образоваться отрицательный баланс. Например: -45 рублей (минус 45 рублей).
Введение отрицательных чисел было связано с необходимостью развития математики как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательных чисел возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. В индии еще в 6-11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.
В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Французского математика Р.Декарта(1596 – 1650), давшего геометрическое истолкование отрицательным числам как направленных отрезков. В 1637 году он ввел «координатную прямую».
Глава 2. Отрицательные числа в других науках.
§1 Отрицательные числа в физике
Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах – числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-».
Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?
Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.
Например, высоту здания и расстояния от школы до дома можно измерить рулеткой (линейкой), массу тела – рычажными весами, температуру – термометром, скорость автомобиля – спидометром, объем банки – мензуркой, силу тока – амперметром или гальванометром, показатель преломления воды – рефрактометром, напряжение между электродами – вольтметром, продолжительность урока – часами, мощность ядерного взрыва – сейсмографом, электрический заряд шарика – электрометром или баллистическим гальванометром.
Итак, числа в физике возникают в результате измерения физических величин,
а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения.
§1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа
Выполним опыт.
Положите на стол несколько маленьких кусочков тонкой бумаги. Возьмите чистую сухую пластмассовую расческу и 2-3 раза проведите ею по своим волосам. Расчесывая волосы, вы должны услышать легкое потрескивание. Затем медленно поднесите расческу к клочкам бумаги. Вы увидите, что они сначала притягиваются к расческе, а потом отталкиваются от нее.
Теперь сверните из тонкой бумаги (лучше всего папиросной) две трубочки длиной 2-3см. и диаметром 0,5см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам – они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга.
Если у вас есть стеклянная палочка (или трубочка, или пробирка) и кусочек шелковой ткани, то опыты можно продолжить.
Потрите палочку о шелк и поднесите к обрывкам бумаги – они начнут «прыгать» на палочку точно так же, как и на расческу, и затем соскальзывать с нее. Струйка воды тоже отклоняется стеклянной палочкой, а бумажные трубочки, к которым вы палочкой прикоснулись, отталкиваются друг от друга.
А теперь возьмите одну палочку, к которой вы прикасались расческой, и вторую трубочку, - и поднесите друг к другу. Вы увидите, что они притягиваются друг к другу. Итак, в этих опытах проявляются силы притяжения и силы отталкивания. В опытах мы видели, что заряженные предметы (физики говорят – заряженные тела) могут притягиваться друг к другу, а могут и отталкиваться друг от друга. Это объясняется тем, что существует два вида, два сорта электрических зарядов, причем заряды одного и того же вида отталкиваются друг от друга, а заряды разных видов притягиваются.
§1.2 С положительными и отрицательными числами по температурной шкале
Посмотрим на шкалу обычного уличного термометра.
Она имеет вид, изображенный на шкале 1. На ней нанесены только положительные числа, и поэтому при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять 20 градусов тепла (выше нуля). Это для физиков неудобно – ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяется шкала с отрицательными числами (шкала 2).
Температура льда выражается отрицательным числом.
холодно тепло
(-) (+)
§2. Отрицательные числа в географии
2.1 Положительные и отрицательные числа в горных вершинах и в морских глубинах
Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет, например, такая:
2.2 Шкала глубин и высот в метрах
Глубже 5000 2000 200 0 200 1000 2000 4000 выше
На этой шкале мы видим только положительные числа и нуль. За нуль принимается высота (и глубина тоже), на которой находится поверхность воды в Мировом океане. Использование в этой шкале только неотрицательных чисел неудобно для математика или физика. У физика получается такая шкала.
2.3 Шкала высот в метрах
Меньше -5000 -2000 -200 0 200 1000 2000 4000 больше
Используя такую шкалу, достаточно указать число без всяких дополнительных слов: положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.
В рассмотренной нами шкале высот за нулевую принимается высота поверхности воды в Мировом океане. Эта шкала используется в геодезии и картографии.
В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся).
§3. Отрицательные числа в истории
3.1 Как в древности считали года?
В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее.
Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах.В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет. Рассмотрим «линию времени» на рисунке.
«Линия времени»
До нашей эры Наша эра
776 55 1380 1637 2013
Начало Строительство Куликовская битва
Античных театра Помпея P.Декарт ввел 100 лет со дня
Олимпийских в Риме координатную рождения
игр в Греции прямую поэта
С. В. Михалкова
§4. Отрицательные числа в биологии
Отрицательные числа в биологии выражают патологию глаза. Близорукость (миопия) проявляется снижением остроты зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.
Заключение
Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. Выполняя данную работу, я значительно расширил знания по математике. Подготовил реферат и презентацию по теме «Отрицательные числа в школьных учебниках», сделал сообщение в своем классе.
Работая с источниками, я выяснил, что положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно (+), а если она убывает, то изменение называют отрицательным (–).
Узнал, что больше всего отрицательные числа встречаются в точных науках, в математике и физике.
В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда: положительно заряженные атомы - протоны, отрицательно заряженные атомы – электроны.
В географии высота гор измеряется с помощью положительных чисел, а глубина воды с помощью отрицательных чисел (ниже уровня моря, выше уровня моря).
В биологии отрицательные числа в биологии выражают патологию зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.
В истории отрицательное число можно заменить словами, например: 145 лет до н.э.
Отрицательные числа появились значительно позже положительных. Отрицательными числами обычно обозначали долг. Наверно, поэтому человек воспринимает положительное – как «нечто хорошее», а отрицательное – как «нечто плохое».
В своей работе в Приложении я собрал правила действий с отрицательными и положительными числами в стихотворной форме и предложил формулу для запоминания знака при выполнении действий.
Приложение
СТИХОТВОРЕНИЕ
«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»
Если уж захочется вам сложить
Числа отрицательные, нечего тужить:
Надо сумму модулей быстренько узнать,
К ней потом знак «минус» взять да приписать.
Если числа с разными знаками дадут,
Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.
Больший модуль быстро очень выбираем.
Из него мы меньший вычитаем.
Самое же главное – знак не позабыть!
- Вы какой поставите? – мы хотим спросить
- Вам секрет откроем, проще дела нет,
Знак, где модуль больше, запиши в ответ.
Правила сложения положительных и отрицательных чисел
Минус с минусом сложить,
Можно минус получить.
Если сложишь минус, плюс,
То получится конфуз?!
Знак числа ты выбирай
Что сильнее, не зевай!
Модули их отними,
Да все числа помири!
- Правила умножения можно истолковать и таким образом:
«Друг моего друга - мой друг»: + ∙ + = + .
«Враг моего врага - мой друг»: ─ ∙ ─ = +.
«Друг моего врага - мой враг»: + ∙ ─ = ─.
«Враг моего друга – мой враг»: ─ ∙ + = ─.
Знак умножения есть точка, в ней три знака:
+
+
Прикрой из них два, третий даст ответ.
Например.
Как определить знак произведения 2∙(-3)?
Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»
Литература
Большая научная энциклопедия, 2005.
Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001.
Выговская В.В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс» - М.:ВАКО, 2008г.
Газета «Математика» №4, 2010г.
Гельфман Э.Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.
Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г
Гусев В.А., А.Г.Мордкович «Справочные материалы», «Просвещение», 1986г.
Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.
Малыгин К.А. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе», Москва, «Просвещение», 1982г
Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г
Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Выполнил: Капустин Дмитрий 6 «а» класс МБОУ «ЦО№32» Соавтор, консультанты: Белова Татьяна Евгеньевна Руководитель: Механич Галина Борисовна г. Череповец 2017г. Отрицательные числа в истории. Исследовательская работа.
2
слайд
Описание слайда:
3
слайд
Описание слайда:
Цель работы: Изучить историю возникновения отрицательных чисел, и исследовать применение отрицательных чисел в истории. Задачи: Изучить литературу по данной теме. Понять суть отрицательных чисел. Исследовать применение отрицательных чисел в истории. Создать проект по теме и защитить его. Введение: В нашей жизни любые числа играют очень важную роль, в том числе и отрицательные числа. Эти числа возникли из практических нужд людей. Раньше я думал, что самое маленькое число –это ноль, а оказывается, есть еще числа меньше 0. Это я узнал на уроках математике в нашей школе. Для чего эти числа нужны людям? Попробую выяснить применение отрицательных чисел в истории.
4
слайд
Описание слайда:
История возникновения отрицательных чисел Китайский ученый (примерно II веке до н.э.). Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые считает «долгами». В Древней Индии ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически пользовался отрицательными числами, рассматривая их как «вычитаемые», а положительные как «прибавляемые». В Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет. В Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что ничто не может быть меньше нуля - пустоты.
5
слайд
Описание слайда:
Впервые свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который ввёл их для решения финансовых задач с долгами и использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Он описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году. В XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля. В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать не считал чем -то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать. А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности
6
слайд
Описание слайда:
Отрицательные числа в истории. В исторической науке отрицательные числа необходимы для определения времени. Ведь времени тоже нужен счёт. В древности в разных странах года считали по-разному. В Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. 1-й год правления царя считался первым годом, 2-й– вторым и т. д. Когда этот царь заканчивал своё правление, к власти приходил новый правитель, вновь наступал первый год, второй, третий. В одном из древнейших городов мира-Риме, его жители считали первым Год основания своего города, следующий -вторым и так далее. Счет времени в нашей стране связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Мы ведём счёт от рождения Иисуса Христа. Было это введено царём Петром Первым триста лет назад. До этого летоисчисление велось от «сотворения мира». Во многих других странах постепенно был принят такой же счёт – от Рождества Христова. Мы называем его НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.) и говорим так: «Пифагор жил в 4 веке до нашей эры»,«Русь находилась под игом монголо -татар в течении 13-15 веков нашей эры» ,«В 2014 году зимняя олимпиада пройдёт в Сочи»,«В 2018 году пройдёт чемпионат мира по футболу».
7
слайд
Описание слайда:
8
слайд
Описание слайда:
Время в нашей личной истории жизни В повседневной жизни мы тоже часто используем «отрицательные» термины «вчера», «позавчера», «третьего дня», «4 дня назад», означающие прошедшее (отрицательное) время в нашей личной истории жизни. Мы часто берём за начало отсчёта какое-то важное событие в своей истории – Рождение, поступление в 1 класс, окончание института и т.д и делим наше время на «до» и «после» этого события. Или в определении какого-то промежутка времени в недавней истории страны, наши родители пользуемся такими выражениями как «до революции», «до войны», «до развала СССР» и сразу понятно, когда произошло то или иное событие.
9
слайд
Описание слайда:
Выводы: выполняя данную работу, я расширил свои знания по математике и истории. Древнегреческий философ Платон прав своим утверждением «Мы…никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы». Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. Работая со школьными учебниками, я выяснил, что отрицательные числа кроме математики, физики, географии. встречаются и в истории. Литература и интернет ресурсы. 1.Свободная интернет-энциклопедия http://ru.wikipedia.org/ 2.Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 3.Большая научная энциклопедия, 2005. 4.Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г. 5.Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г
Очень давняя и долгая. Так как отрицательные числа являются чем-то эфемерным, ненастоящим, люди долгое время не признавали их существования.
Все началось в Китае, примерно во II веке до н.э. Возможно, в Китае их знали и раньше, но первое упоминание относится именно к тому времени. Там стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом называли «имуществом». Той записи, которая существует сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным.
Первое упоминание отрицательных чисел мы находим в книге «Математика в девяти главах» китайского ученого Чжан Цань.
Далее, в V-VI веках отрицательные числа стали использоваться достаточно широко в Китае и Индии. Правда, в Китае к ним, все-таки относились осторожно, старались их применение свести к минимуму, а в Индии, напротив, они использовались очень широко. Там с ними производились вычисления и отрицательные числа не казались чем-то непонятным.
Известны индийские ученые Брахмагупта Бхаскара (VII-VIII века), которые в своих учениях оставили подробные объяснения работе с отрицательными числами.
А в Древности, например, в Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет.
Так и в Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля - пустоты.
Впервые в Европе свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи). И описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году.
Позже, в 1544 году Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие отрицательных чисел и подробно описал действия с ними. «Нуль находится между абсурдными и истинными числами».
А в XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля.
С этого времени отрицательные числа стали повсеместно использовать и признавать, хотя еще долгое время многие ученые отрицали их.
В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать не считал чем -то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать.
А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности.
История отрицательных чисел
Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены нуль и дробные числа.
Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Было и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Решение многих задач, особенно решаемых с помощью уравнений, приводило к вычитанию из меньшего числа большего. Это потребовало введения новых чисел.
Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и вычитать положительные и отрицательные числа, правила умножения и деления не применялись.
Во II в. до н. э. китайский ученый Чжан Цань написал книгу «Арифметика в девяти главах». Из содержания книги видно, что это не вполне самостоятельный труд, а переработка других книг, написанных задолго до Чжан Цаня. В этой книге впервые в науке встречаются отрицательные количества. Они понимаются им не так, как понимаем и применяем их мы. Полного и ясного понимания природы отрицательных величин и правил действия с ними у него нет. Каждое отрицательное число он понимал как долг, а положительное – как имущество. Действия с отрицательными числами он производил не так, как мы, а используя рассуждения о долге. Например, если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получиться долг, а не имущество (т, е. по нашему (- х) + (- х) = - 2х. Знака минус тогда не знали, поэтому, чтобы отличить числа, выражавшие долг, Чжань Цань писал их другими чернилами, чем числа, выражавшие имущество (положительные).
Положительные количества в китайской математике называли «чен» и изображали красным цветом, а отрицательные – «фу» и изображали черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Хотя китайские ученые и объяснили отрицательные количества как долг, а положительные - как имущество, всё же они избегали широкого употребления их, так как числа эти казались непонятными, действия с ними были неясны. Если же задача приводила к отрицательному решению, то старались заменить условие (как греки), чтобы в итоге получалось решение положительное.
В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. Для вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Так как знаков + и – в то время еще не было, палочками красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же - палочками черного цвета и называли «долг» и «недостача». Положительные числа толковались как «имущество». В отличие от Китая в Индии были уже известны и правила умножения, деления. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».
Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.
Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, «nullus» по - латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.
Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как “недоступный”. И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком .
Несмотря на то, что отрицательные числа использовались давно, относились к ним с некоторым недоверием, считая их не совсем реальными, истолкование их как имущество-долг вызывало недоумение: как можно «складывать» и «вычитать» имущество и долги?
В Европе признание наступило на тысячу лет позже. К идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами и пришел к мысли, что отрицательные количества надо принимать в смысле, противоположном положительным. В те годы были развиты так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому (Фибоначчи) было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг».
В 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Однако, в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.
Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными ». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…
Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.
В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!
Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками
« + » и « - » применил немецкий математик Видман.
Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно , навыворот».
После Штифеля ученые стали более уверенно производить действия с отрицательными числами.
Все чаще сохранялись и истолковывались отрицательные решения в задачах.
В XVII в. великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Нам сейчас кажется это все таким простым и понятным, но, чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта.
В трудах Декарта отрицательные числа получили, как говорят, реальное истолкование. Декарт и его последователи признавали их наравне с положительными. Но в действиях над отрицательными числами не все было ясно (например, умножение на них), поэтому многие ученые не желали признавать отрицательные числа за числа действительные. Среди ученых разгорелся большой и долгий спор о сущности отрицательных чисел о том признать отрицательные числа числами действительными или нет. Спор этот после Декарта продолжался около 200 лет. За этот период математика как наука получила очень большое развитие, и на каждом шагу в ней встречались отрицательные числа. Математика стала немыслимой, невозможной без отрицательных чисел. Все большему числу ученых становилось ясно, что отрицательные числа – это числа действительные, такие же реальные, на самом деле существующие числа, как числа положительные.
С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Как ни старались ученые избегать их. Все же удавалось это им не всегда. Жизнь ставила перед наукой новые и новые задачи, и все чаще и чаще задачи эти приводили к отрицательным решениям и в Китае, и в Индии, и в Европе. Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.
Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах – числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-».
Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?
Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, напряжение между электродами, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.
Не следует думать, что любая характеристика предмета или явление природы может быть измерена и, следовательно, является физической величиной. Это совсем не так. Например, мы говорим: «Какие красивые горы вокруг! И какое красивое озеро там, в низу! А какая красивая ель вон на той скале! Но мы не можем измерить красоту гор, озера, или этой одинокой ели!» Значит такая характеристика, как красота, не является физической величиной.
Измерения физических величин проводятся при помощи измерительных приборов, таких как линейка, часы, весы и т. д.
Итак, числа в физике возникают в результате измерения физических величин, а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения .
Посмотрим на шкалу обычного уличного термометра.
Она имеет вид, изображенный на шкале 1. На ней нанесены только положительные числа, и поэтому при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять 20 градусов тепла (выше нуля). Это для физиков неудобно – ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяется шкала с отрицательными числами.
Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет,
Используя такую шкалу, достаточно указать число без всяких дополнительных слов: положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.
В рассмотренной нами шкале высот за нулевую принимается высота поверхности воды в Мировом океане. Эта шкала используется в геодезии и картографии.
В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся).
3.1 Как в древности считали года?
В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее.
Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н. Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет.
Заключение
Большинство людей знают отрицательные числа, но есть и такие у которых представление отрицательных чисел неверное.
Отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках, в математике и физике.
В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда. В других науках, как географии и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории – 157 лет до н. э.
Литература
1. Большая научная энциклопедия, 2005.
2. Вигасин А. А,., «История древнего мира» учебник 5 класса , 2001г.
3.Выговская В. В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс » - М.:ВАКО, 2008 г
4. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.
5. Детская энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.
6.. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 г.
7. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе », Москва, «Просвещение», 1982г
8. Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г
9. «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1981 г.
Рожков ТимофейПанферов Матвей
Содержание:
Введение
Основная часть
Что такое «число»?
Отрицательные числа в Египте
Отрицательные числа в Древней Азии
Отрицательные числа в Европе
Современное истолкование отрицательных чисел
Заключение
Cписок литературы
В этом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У нас возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии мы прочитали, что отрицательное число - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля .
В итоге мы решили исследовать историю возникновения отрицательных чисел.
Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных чисел.
Объект исследования – отрицательные числа
История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла.
Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счётными палочками, а отрицательные - синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались, как имущество. Первые представления об отрицательных числах возникли еще до нашей эры. Так, во II в. до н.э. китайский ученый Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество.
Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличии от положительных.
Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» – красным, «фу» – черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.
В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.
Индийский математик Брамагупта в VII в. сформулировал правила
действий над положительными и отрицательными числами.
Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее
признание и современную форму обозначения .
.
В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически
пользовался отрицательными числами, рассматривая их как
«вычитаемые», а положительные как «прибавляемые».
В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться
примерно лишь с XIII в. При этом они обозначались словами или
сокращенными словами как наименования в именованных числах.
В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»
В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в
употребление лишь со времени Французского математика Р. Декарта (1596 – 1650), давшего геометрическое истолкование
отрицательным числам как направленных отрезков.
В 1637 году он ввел «координатную прямую».
Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию отрицательных чисел, способствовало их признанию.
В В Европе об отрицательных числах первым написал Леонард Пизанский в своей « Книге абака» 1202 году. Изначально они также трактовались, как долг. Но даже несмотря на это в
XVII
веке такой знаменитый учёный как Паскаль считал, что если из ноля вычесть какое-либо положительное число, то в результате получится ноль
.
Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.
В 1831 году Гаусс полно обосновал, что отрицательные числа абсолютно равнозначны по правам с положительными, а то, что их можно применить не во всех случаях значения не имеет. История возникновения отрицательных чисел заканчивается в XIX веке, когда Уильям Гамильтон и Герман Грассман создали полную теорию отрицательных чисел. С этого момента начинается история развития данного математического понятия.
Вывод
В своем работе я исследовала историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделала вывод:
Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.
При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:
а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;
б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.
К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.
Все эти множества чисел я постараюсь изучить.
Список литературы
Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.
М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.
Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика
Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.
История математики в школе, IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.
Википедия. Свободная энциклопедия.
Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.