संख्या के पूर्णांक घातांक से, एक परिमेय घातांक का संक्रमण स्वयं पता चलता है। नीचे हम एक तर्कसंगत संकेतक के साथ एक डिग्री को परिभाषित करते हैं, और हम इसे इस तरह से करेंगे कि पूर्णांक सूचक के साथ डिग्री के सभी गुण संरक्षित हैं। यह आवश्यक है क्योंकि पूर्णांक तर्कसंगत संख्याओं का हिस्सा हैं।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्या को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री निर्धारित की है, इसलिए, तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें संख्या की डिग्री का अर्थ देने की आवश्यकता है एक  आंशिक संकेतक के साथ एम / एनजहाँ मीटर  एक पूर्णांक है, और n  - प्राकृतिक। चलो करते हैं।

फार्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। मान्य रहने के लिए डिग्री में संपत्ति की संपत्ति के लिए, समानता   । यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने nth डिग्री की जड़ को कैसे निर्धारित किया है, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिया गया हो मीटर, n  और एकअभिव्यक्ति समझ में आता है।

यह सत्यापित करना आसान है कि जब पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण सत्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की संपत्ति के अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित करने की अनुमति देता है निष्कर्ष: अगर दिया गया मीटर, n  और एक  अभिव्यक्ति समझ में आता है तो संख्या की डिग्री एक  आंशिक संकेतक के साथ एम / एन  जड़ कहलाता है nकी डिग्री एक  हद तक मीटर.

यह कथन हमें एक भिन्नात्मक संकेतक के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए सीधे ले जाता है। यह केवल पेंट करने के लिए बनी हुई है मीटर, n  और एक  अभिव्यक्ति समझ में आता है। पर लगे प्रतिबंधों के आधार पर मीटर, n  और एक  दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

1. प्रतिबंध लगाने का सबसे आसान तरीका एकस्वीकार करके a≥0  सकारात्मक के लिए मीटरऔर ए\u003e 0  नकारात्मक के लिए मीटर  (के बाद से m≤0  की डिग्री 0 मी  परिभाषित नहीं है)। फिर हम एक अंशीय घातांक के साथ निम्नलिखित डिग्री परिभाषा प्राप्त करते हैं।

परिभाषा।

सकारात्मक संख्या की डिग्री एक  आंशिक संकेतक के साथ एम / एन जहाँ मीटर  - पूरा, और n  - एक प्राकृतिक संख्या, जिसे जड़ कहा जाता है nके बीच से एक  हद तक मीटर, वह है,।

शून्य का आंशिक अंश भी कैविएट के साथ निर्धारित किया जाता है कि संकेतक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

सकारात्मक भिन्नात्मक शून्य एम / एन जहाँ मीटर- पूरा सकारात्मक है, और n  एक प्राकृतिक संख्या है, जिसे परिभाषित किया गया है .
जब डिग्री निर्धारित नहीं होती है, अर्थात, एक भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक भिन्नात्मक संकेतक के साथ डिग्री के इस निर्धारण के साथ, एक नकारात्मकता है: कुछ नकारात्मक के लिए एक  और कुछ मीटर  और nअभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने इन मामलों को स्थिति का परिचय देते हुए त्याग दिया a≥0। उदाहरण के लिए, यह लिखने के लिए समझ में आता है   या, और उपर्युक्त परिभाषा हमें यह कहती है कि फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री   मतलब नहीं है, क्योंकि आधार नकारात्मक नहीं होना चाहिए।

2. एक भिन्नात्मक संकेतक के साथ डिग्री का निर्धारण करने के लिए एक और दृष्टिकोण एम / एनसम और विषम रूट सूचकांकों का एक अलग विचार है। इस दृष्टिकोण को एक अतिरिक्त स्थिति की आवश्यकता है: संख्या की डिग्री एकका सूचक, जो अनुबंधित साधारण अंश है, की शक्ति माना जाता है एकका सूचक, जो कि अनुत्क्रमणीय अप्रासंगिक अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे बताया गया है)। वह है, अगर एम / एन  एक अप्रासंगिक अंश है, फिर किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए कश्मीर  डिग्री पहले से बदल दिया गया है।

सम के साथ n  और सकारात्मक मीटर  अभिव्यक्ति किसी भी गैर-नकारात्मक के लिए समझ में आता है एक  (एक ऋणात्मक संख्या से एक समान डिग्री की जड़ का कोई मतलब नहीं है), नकारात्मक के साथ मीटर  संख्या एक  शून्य से इतर होना चाहिए (अन्यथा शून्य से विभाजन होगा)। और विषम के साथ n  और सकारात्मक मीटर  संख्या एकयह कुछ भी हो सकता है (एक विषम जड़ को किसी भी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया गया है), और नकारात्मक के लिए मीटर  संख्या एक  नॉनजरो होना चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो)।

उपरोक्त तर्क हमें एक अंश की ऐसी परिभाषा के लिए एक आंशिक सूचक के साथ ले जाता है।

परिभाषा।

चलो एम / एन  - अप्रासंगिक अंश, मीटर  - पूरा, और n  एक प्राकृतिक संख्या है। किसी भी अनुबंधित अंश के लिए, डिग्री द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। संख्या की डिग्री एक  irreducible भिन्नात्मक घातांक के साथ एम / एन  - यह के लिए है

ओ किसी भी वास्तविक संख्या एकपूरी तरह से सकारात्मक मीटर  और विषम प्राकृतिक nउदाहरण के लिए ;

किसी भी गैर-वास्तविक संख्या को ओ एकसंपूर्ण नकारात्मक मीटर  और विषम nउदाहरण के लिए ;

ओ किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या एकपूरी तरह से सकारात्मक मीटर  और भी nउदाहरण के लिए ;

ओ किसी भी सकारात्मक एकसंपूर्ण नकारात्मक मीटर  और भी nउदाहरण के लिए ;

अन्य मामलों में, एक अंश सूचक के साथ एक डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है, उदाहरण के लिए डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है   .A हम रिकॉर्ड के लिए कोई अर्थ नहीं देते हैं, हम सकारात्मक भिन्नात्मक संकेतकों के लिए संख्या शून्य की डिग्री निर्धारित करते हैं एम / एन  कैसे   , नकारात्मक भिन्नात्मक संकेतकों के लिए संख्या शून्य की डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित करते हैं कि दशमलव अंश या मिश्रित संख्या के रूप में एक भिन्नात्मक घातांक लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, । इस तरह के अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना करने के लिए, आपको घातांक को एक साधारण अंश के रूप में लिखने की आवश्यकता है, और फिर एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री परिभाषा का उपयोग करें। इन उदाहरणों के लिए, हमारे पास है   और

इस लेख में हम समझेंगे कि क्या है संख्या की डिग्री। यहां हम एक संख्या की डिग्री की परिभाषा देते हैं, जबकि हम एक प्राकृतिक संकेतक से एक तर्कहीन एक तक सभी संभावित विस्तारकों पर विस्तार से विचार करते हैं। सामग्री में आपको सभी उभरती सूक्ष्मताओं को कवर करने वाली डिग्री के उदाहरणों का एक टन मिलेगा।

पेज नेविगेशन।

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री, वर्ग संख्या, घन संख्या

शुरू करने के लिए, आइए दें। आगे देखते हुए, हम कहते हैं कि एक प्राकृतिक घातांक n के साथ डिग्री की परिभाषा a के लिए दी गई है, जिसे हम कॉल करेंगे डिग्री का आधार, और n, जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक। हम यह भी ध्यान देते हैं कि उत्पाद के माध्यम से एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए, आपको संख्याओं के गुणन के बारे में विचार करना होगा।

परिभाषा।

एक प्राकृतिक घातांक की शक्ति n  फॉर्म की एक अभिव्यक्ति है n जिसका मूल्य n कारकों के उत्पाद के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक एक के बराबर है, अर्थात।
  विशेष रूप से, एक घातांक 1 की डिग्री एक संख्या ही है, अर्थात 1 \u003d ए।

डिग्री पढ़ने के नियमों का उल्लेख करने के तुरंत बाद। एन को पढ़ने का सार्वभौमिक तरीका इस प्रकार है: "एन की शक्ति के लिए"। कुछ मामलों में, निम्नलिखित विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "a से nth पावर" और "nth पावर ऑफ़"। उदाहरण के लिए, 8 12 की डिग्री लें, यह "बारह की शक्ति से आठ" है, या "आठ से बारहवीं शक्ति", या "आठ की बारहवीं शक्ति।"

संख्या की दूसरी शक्ति, साथ ही संख्या की तीसरी शक्ति के नाम हैं। संख्या की दूसरी शक्ति को कहा जाता है चुकता संख्याउदाहरण के लिए, 7 2 "सात वर्ग" या "चुकता सात" के रूप में पढ़ता है। संख्या की तीसरी शक्ति को कहा जाता है संख्या का घनउदाहरण के लिए, 5 3 को "एक घन में पाँच" या "संख्या 5 का घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

यह लाने का समय है प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के उदाहरण। चलो डिग्री 5-7 से शुरू करते हैं, यहां 5 डिग्री का आधार है, और 7 घातांक है। हम एक और उदाहरण देते हैं: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 (4.32) 9 का प्रतिपादक है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले उदाहरण में, डिग्री 4.32 का आधार कोष्ठक में लिखा गया है: विसंगतियों से बचने के लिए, हम डिग्री के सभी आधारों को ब्रैकेट करेंगे जो प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न हैं। एक उदाहरण के रूप में, हम प्राकृतिक संकेतकों के साथ निम्नलिखित डिग्री देते हैं , उनके आधार प्राकृतिक संख्या नहीं हैं, इसलिए उन्हें कोष्ठक में लिखा गया है। खैर, पूर्ण स्पष्टता के लिए, इस बिंदु पर, हम फॉर्म ()2) 3 और .2 3 की प्रविष्टियों में किए गए अंतर को दिखाते हैं। अभिव्यक्ति (expression2) 3 प्राकृतिक घातांक 3 के साथ डिग्री the2 है, और अभिव्यक्ति 32 3 (इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है - (2 3)) संख्या 2 3 के मान से मेल खाती है।

ध्यान दें कि प्रपत्र ए ^ एन के एक प्रतिपादक एन के साथ की डिग्री के लिए एक अंकन है। इसके अलावा, यदि n एक बहु-मूल्यवान धनात्मक पूर्णांक है, तो घातांक कोष्ठक में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 ^ 9 डिग्री 4 9 की एक और प्रविष्टि है। और यहाँ "^" प्रतीक: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155) का उपयोग करके डिग्री लिखने के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं। निम्न में से, हम मुख्य रूप से प्रपत्र की डिग्री के अंकन का उपयोग करेंगे n।

कार्यों में से एक, एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री तक बढ़ाने का विलोम, डिग्री के ज्ञात मूल्य और ज्ञात संकेतक द्वारा डिग्री के आधार को खोजने की समस्या है। यह कार्य होता है।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्या को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक के साथ डिग्री निर्धारित की है, इसलिए, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री की परिभाषा को समाप्त करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ डिग्री का अर्थ देने की आवश्यकता है, जहां m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है। चलो करते हैं।

फार्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। मान्य रहने के लिए डिग्री में संपत्ति की संपत्ति के लिए, समानता । यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने कैसे निर्धारित किया है, तो इसे स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए मी, एन और अभिव्यक्ति के लिए समझ हो।

यह सत्यापित करना आसान है कि जब पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण सत्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की संपत्ति के अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित करने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि दिए गए मीटर के लिए, n और एक अभिव्यक्ति समझ में आता है, तो एक अंशीय घातांक m / n के साथ n की डिग्री की जड़ a से m की शक्ति है।

यह कथन हमें एक भिन्नात्मक संकेतक के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए सीधे ले जाता है। यह केवल पेंट करने के लिए रहता है जिसके तहत एम, एन और अभिव्यक्ति समझ में आता है। मी, एन और ए पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर, दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

सबसे आसान तरीका एक पर प्रतिबंध लगाना है, सकारात्मक m के लिए a≤0 और ऋणात्मक m के लिए a\u003e 0 (क्योंकि m (0 के लिए डिग्री 0 m परिभाषित नहीं है)। फिर हम एक अंशीय घातांक के साथ निम्नलिखित डिग्री परिभाषा प्राप्त करते हैं।

परिभाषा।

एक आंशिक संख्या एम / एन के साथ एक सकारात्मक संख्या की डिग्री, जहाँ m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृतिक संख्या है, को n संख्या का मूल a से m की शक्ति तक कहा जाता है, अर्थात।

शून्य का आंशिक अंश भी कैविएट के साथ निर्धारित किया जाता है कि संकेतक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

एक आंशिक सकारात्मक घातांक m / n के साथ शून्य की डिग्री, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है, और n एक धनात्मक पूर्णांक है, के रूप में परिभाषित किया गया है .
जब डिग्री निर्धारित नहीं होती है, अर्थात, एक भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक भिन्नात्मक संकेतक के साथ डिग्री के इस तरह के निर्धारण के साथ एक कैविएट है: कुछ नकारात्मक ए और कुछ मीटर और एन के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने इन मामलों को स्थिति a .0 शुरू करके त्याग दिया। उदाहरण के लिए, यह लिखने के लिए समझ में आता है   या, और उपर्युक्त परिभाषा हमें यह कहती है कि फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री   मतलब नहीं है, क्योंकि आधार नकारात्मक नहीं होना चाहिए।

एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ डिग्री का निर्धारण करने के लिए एक और दृष्टिकोण अलग से जड़ के सम और विषम घातांक पर विचार करना है। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त स्थिति की आवश्यकता होती है: संख्या की संख्या a, जिसका सूचक है, को संख्या की डिग्री माना जाता है, जिसका सूचक संबंधित इरेड्यूसबल अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे बताया गया है)। यही है, यदि m / n एक अप्रासंगिक अंश है, तो किसी भी प्राकृतिक संख्या k के लिए डिग्री को पहले से बदल दिया जाता है।

यहां तक \u200b\u200bकि n और धनात्मक m के लिए, अभिव्यक्ति किसी भी गैर-ऋणात्मक a के लिए समझ में आती है (नकारात्मक संख्या से समान डिग्री का अर्थ समझ में नहीं आता है), ऋणात्मक m के लिए संख्या भी गैर-शून्य होनी चाहिए (अन्यथा शून्य से विभाजन होगा)। और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या कोई भी हो सकती है (विषम संख्या की जड़ को किसी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया जाता है), और ऋणात्मक m के लिए संख्या गैर-शून्य होनी चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो)।

उपरोक्त तर्क हमें एक अंश की ऐसी परिभाषा के लिए एक आंशिक सूचक के साथ ले जाता है।

परिभाषा।

बता दें कि m / n एक इरेडिअसेबल अंश है, m एक पूर्णांक, और n एक धनात्मक पूर्णांक हो सकता है। किसी भी अनुबंधित अंश के लिए, डिग्री द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। Irreducible भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ की शक्ति है



आइए हम बताते हैं कि रिड्यूसियल फ्रैक्शनल इंडिकेटर के साथ डिग्री को एक इरेड्यूसबल इंडिकेटर के साथ डिग्री से क्यों बदला जाता है। यदि हमने केवल डिग्री को इस रूप में परिभाषित किया है, और अंश m / n की अनियमितता के बारे में कोई आरक्षण नहीं किया है, तो हम निम्नलिखित के समान स्थितियों का सामना करेंगे: चूंकि 6/10 \u003d 3/5, फिर समानता लेकिन , ए।

वीडियो सबक "एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" में इस विषय पर एक पाठ आयोजित करने के लिए दृश्य प्रशिक्षण सामग्री शामिल है। वीडियो ट्यूटोरियल में तर्कसंगत संकेतक, गुण, ऐसी डिग्री, साथ ही उदाहरणों के साथ डिग्री की अवधारणा के बारे में जानकारी है जो व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करते हैं। इस वीडियो सबक का उद्देश्य शैक्षिक सामग्री की कल्पना करना और समझना है, छात्रों द्वारा इसकी महारत और यादगार बनाने की सुविधा है, और सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता का निर्माण करना है।

वीडियो ट्यूटोरियल के मुख्य लाभ नेत्रहीन रूप से परिवर्तित और गणना करने की क्षमता है, प्रशिक्षण की प्रभावशीलता में सुधार करने के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता। आवाज मार्गदर्शन सही गणितीय भाषण को विकसित करने में मदद करता है, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को बदलने के लिए भी संभव बनाता है, जिससे वह व्यक्तिगत कार्य करने के लिए मुक्त हो जाता है।

वीडियो पाठ विषय की प्रस्तुति के साथ शुरू होता है। पहले से अध्ययन की गई सामग्री के साथ एक नए विषय के अध्ययन को जोड़ना, यह याद रखना प्रस्तावित है कि n is a को प्राकृतिक n और धनात्मक a के लिए 1 / n द्वारा निरूपित किया जाता है। एन-डिग्री रूट का यह प्रतिनिधित्व स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। यह आगे विचार करने के लिए प्रस्तावित है कि अभिव्यक्ति क्या है m / n का अर्थ है, जिसमें एक सकारात्मक संख्या है और m / n एक अंश है। एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री / m \u003d n \u003d n is m के रूप में एक डिग्री परिभाषा फ्रेम में दी गई है। यह नोट किया गया था कि n एक प्राकृतिक संख्या और मीटर पूर्णांक हो सकता है।

एक तर्कसंगत संकेतक के साथ एक डिग्री निर्धारित करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों से पता चलता है: (5/100) 3/7 \u003d 7) (5/100) 3। एक उदाहरण भी प्रदर्शित किया जाता है जिसमें दशमलव अंश द्वारा दर्शाई गई डिग्री को मूल रूट में बदलने के लिए एक मानक अंश में परिवर्तित किया जाता है: (1/7) 1.7 \u003d (1/7) 17/10 \u003d 10 √ (1/7) 17 और नकारात्मक डिग्री मान के साथ एक उदाहरण: 3 -1/8 \u003d 8 .3 -1।

एक विशेष मामले की ख़ासियत जब डिग्री का आधार शून्य होता है, तो अलग से संकेत दिया जाता है। यह ध्यान दिया जाता है कि यह डिग्री केवल एक सकारात्मक भिन्नात्मक संकेतक के साथ समझ में आता है। इस स्थिति में, इसका मान शून्य है: 0 m / n \u003d 0।

एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री की एक और विशेषता नोट की जाती है - कि एक भिन्नात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री को एक भिन्नात्मक संकेतक के साथ नहीं माना जा सकता है। गलत डिग्री रिकॉर्डिंग के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

वीडियो सबक में आगे, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के गुणों पर विचार किया जाता है। यह ध्यान दिया जाता है कि पूरे घातांक के साथ एक डिग्री के गुण भी तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री के लिए मान्य होंगे। यह उन संपत्तियों की सूची को याद करने का प्रस्ताव है जो इस मामले में भी मान्य हैं:

1. जब डिग्री को एक ही आधार से गुणा किया जाता है, तो उनके संकेतक जोड़ते हैं: एक p एक q \u003d a p + q।
2. एक ही आधार के साथ डिग्री का विभाजन किसी दिए गए आधार के साथ एक डिग्री तक कम हो जाता है और घातांक में अंतर होता है: a p: a q \u003d a p-q।
3. यदि आप एक डिग्री को एक निश्चित डिग्री तक बढ़ाते हैं, तो अंत में हमें इस नींव और संकेतकों के उत्पाद के साथ एक डिग्री मिलती है: (a p) q \u003d a pq।

ये सभी गुण तर्कसंगत घातांक p, q और धनात्मक आधार a\u003e 0 के साथ डिग्री के लिए मान्य हैं। कोष्ठक खोलते समय डिग्री परिवर्तन भी सही रहता है:

1. (ab) p \u003d a p b p - दो संख्याओं के गुणनफल के तर्कसंगत माप के साथ एक शक्ति तक बढ़ाने से संख्याओं के गुणन में कमी आती है, जिनमें से प्रत्येक को एक दी गई डिग्री तक उठाया जाता है।
2. (ए / बी) पी \u003d एक पी / बी पी - एक अंश के तर्कसंगत संकेतक के साथ एक शक्ति को बढ़ाने से एक अंश कम हो जाता है जिसका अंश और भाजक इस डिग्री तक बढ़ाए जाते हैं।

वीडियो ट्यूटोरियल उन उदाहरणों के समाधान पर चर्चा करता है जिसमें तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के विचार किए गए गुणों का उपयोग किया जाता है। पहले उदाहरण में, यह अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने के लिए प्रस्तावित है, जिसमें एक अंश अंश में चर x है: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1)। अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, यह काफी सरल रूप से हल किया जाता है। कार्य का समाधान अभिव्यक्ति के सरलीकरण के साथ शुरू होता है जिसमें एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने का नियम उपयोग किया जाता है, साथ ही उसी आधार के साथ डिग्री का गुणन भी होता है। निर्धारित मूल्य x \u003d 8 को सरलीकृत अभिव्यक्ति x 1/3 +48 में प्रतिस्थापित करने के बाद, मान प्राप्त करना आसान है - 50।

दूसरे उदाहरण में, उस अंश को कम करना आवश्यक है जिसके अंश और हर में एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री होती है। डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतर से कारक x 1/3 का चयन करते हैं, जो तब अंश और हर में घटाया जाता है, और वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके, अंश को कारकों में विस्तारित किया जाता है, जो अंश और भाजक में समान कारकों को भी कम करता है। ऐसे परिवर्तनों का परिणाम एक छोटा अंश x 1/4 +3 है।

पाठ के नए विषय की व्याख्या करने वाले शिक्षक के बजाय वीडियो पाठ "एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" का उपयोग किया जा सकता है। साथ ही, इस मैनुअल में छात्र द्वारा स्वतंत्र अध्ययन के लिए पर्याप्त रूप से पूरी जानकारी है। सामग्री दूरस्थ शिक्षा में उपयोगी हो सकती है।