तरीकों क्रेमर और गॉस - सबसे लोकप्रिय समाधान विधियों में से एक केंचुली। इसके अलावा, कुछ मामलों में विशिष्ट तरीकों का उपयोग करना उचित है। सत्र करीब है, और अब खरोंच से उन्हें दोहराने या मास्टर करने का समय है। आज हम क्रैमर विधि का उपयोग करके समाधान के साथ सौदा करते हैं। आखिरकार, क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना एक बहुत ही उपयोगी कौशल है।
रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली
रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली फार्म के समीकरणों की एक प्रणाली है:
मूल्यों का सेट एक्स जिसमें सिस्टम के समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, सिस्टम का समाधान कहलाता है, एक और ख वास्तविक गुणांक हैं। एक सरल प्रणाली जिसमें दो अज्ञात के साथ दो समीकरण होते हैं, को दिमाग में या दूसरे के माध्यम से एक चर को व्यक्त करके हल किया जा सकता है। लेकिन SLAE में दो से अधिक चर (X) हो सकते हैं, और यहां सरल स्कूल जोड़तोड़ से बचा नहीं जा सकता है। क्या करें? उदाहरण के लिए, क्रैमर पद्धति का उपयोग करके SLAE को हल करें!
तो सिस्टम से मिलकर बनता है n के साथ समीकरण n अज्ञात।
ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है
यहां एक - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, एक्स और बी , क्रमशः, अज्ञात चर और मुक्त शब्दों के कॉलम मैट्रिसेस।
Cramer विधि द्वारा SLAE समाधान
यदि मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है (मैट्रिक्स गैर-पतित है), तो सिस्टम को क्रैमर विधि द्वारा हल किया जा सकता है।
Cramer की विधि के अनुसार, समाधान सूत्र द्वारा पाया जाता है:
यहां डेल्टा मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और डेल्टा एक्स nth - नि: शब्\u200dद के कॉलम के साथ nth कॉलम को बदलकर मुख्\u200dय मैट्रिक्स के निर्धारक से प्राप्त किया गया निर्धारक।
यह क्रैमर पद्धति का संपूर्ण बिंदु है। उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करते हुए पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करना एक्स वांछित प्रणाली में, हम अपने समाधान की शुद्धता (या इसके विपरीत) के बारे में आश्वस्त हैं। आपके लिए शीघ्रता से इस बिंदु को पकड़ने के लिए, यहाँ क्रैमर विधि द्वारा SLAE के विस्तृत समाधान का एक उदाहरण दिया गया है:
भले ही आप पहली बार सफल न हों, हतोत्साहित न हों! थोड़ा अभ्यास, और आप नट की तरह SLAU पर क्लिक करना शुरू कर देंगे। इसके अलावा, अब यह पूरी तरह से एक नोटबुक पर ताकना, भारी गणना को हल करने और एक कोर को लिखने के लिए वैकल्पिक है। समाप्त रूप में गुणांक को प्रतिस्थापित करके, केवल Cramer पद्धति का उपयोग करके SLAE को हल करना आसान है। आप क्रैमर ऑनलाइन समाधान कैलकुलेटर का प्रयास कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, इस साइट पर।
और अगर सिस्टम जिद्दी है और हार नहीं मानता है, तो आप हमेशा मदद के लिए हमारे लेखकों से पूछ सकते हैं, उदाहरण के लिए। यदि सिस्टम में कम से कम 100 अज्ञात हैं, तो हम निश्चित रूप से इसे सही ढंग से और सही समय पर हल करेंगे!
क्रैमर विधि रैखिक समीकरणों की समाधान प्रणालियों में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह निर्णय प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।
Cramer पद्धति का उपयोग कई रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात होते हैं। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में क्रैमर विधि का उपयोग किया जा सकता है; यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता है। इसके अलावा, क्रैमर विधि का उपयोग एक अद्वितीय समाधान वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने में किया जा सकता है।
परिभाषा। निर्धारक, अज्ञात के साथ गुणांक से बना है, को प्रणाली का निर्धारक कहा जाता है और निरूपित किया जाता है।
क्वालिफायर
मुक्त शब्दों के साथ संगत अज्ञात के लिए गुणांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:
;
.
क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक गैर-बीता है, तो रैखिक समीकरणों के सिस्टम में एक एकल समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। भाजक में सिस्टम का निर्धारक होता है, और अंश में, इस अज्ञात के गुणांक को मुक्त शब्दों के साथ बदलकर सिस्टम के निर्धारक से प्राप्त किया गया निर्धारक होता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए है।
उदाहरण 1 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:
के अनुसार क्रैमर का प्रमेय हमारे पास है:
तो, प्रणाली का समाधान (2):
ऑनलाइन कैलकुलेटर, निर्णायक Cramer विधि।
रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय तीन मामले
जैसा कि स्पष्ट है क्रैमर का प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:
पहला मामला: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का एक अनूठा समाधान है
(सिस्टम संयुक्त और परिभाषित)
दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में अनगिनत समाधान होते हैं
(सिस्टम संयुक्त और अनिश्चित)
** 
,
यानी अज्ञात और मुक्त शब्दों के लिए गुणांक आनुपातिक हैं।
तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई हल नहीं है
(सिस्टम असंगत)
तो प्रणाली मीटर साथ रेखीय समीकरण nजिन्हें चर कहा जाता है असंगतअगर उसके पास कोई उपाय नहीं है, और एक संयुक्तअगर वह कम से कम एक समाधान है। केवल एक समाधान वाले समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली को कहा जाता है कुछ, और एक से अधिक - ढुलमुल.
क्रैमर विधि द्वारा रेखीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण
सिस्टम को दिया जाए
.
Cramer के प्रमेय के आधार पर
………….
,
जहाँ 
-
सिस्टम पहचानकर्ता। हम इसी निश्चय चर (अज्ञात) के गुणांक वाले कॉलम को मुक्त शब्दों के साथ प्रतिस्थापित करके शेष निश्चय प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 2
.
इसलिए, प्रणाली निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं
Cramer के सूत्रों के अनुसार हम पाते हैं:
तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।
समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं जो क्रैमर विधि को हल करता है।
यदि एक या कई समीकरणों में रैखिक समीकरणों की प्रणाली में कोई चर नहीं हैं, तो निर्धारक में उनके अनुरूप तत्व शून्य के बराबर हैं! यह निम्नलिखित उदाहरण है।
उदाहरण 3 क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
.
निर्णय। हम प्रणाली के निर्धारक को खोजते हैं:
समीकरणों की प्रणाली और प्रणाली के निर्धारक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न के उत्तर को दोहराएं जिसमें मामले में निर्धारक के एक या अधिक तत्व शून्य के बराबर हैं। तो, निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए, सिस्टम परिभाषित किया गया है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं
Cramer के सूत्रों के अनुसार हम पाते हैं:
तो, सिस्टम का समाधान है (2; -1; 1)।
समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं जो क्रैमर विधि को हल करता है।
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हम एक साथ Cramer पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। हम निम्नलिखित उदाहरण का वर्णन करते हैं।
उदाहरण 6 क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
निर्णय। हम प्रणाली के निर्धारक को खोजते हैं:
प्रणाली का निर्धारक शून्य है, इसलिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं
अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।
समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं जो क्रैमर विधि को हल करता है।
रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की समस्याओं में वे भी होते हैं जहाँ, वर्णों को निरूपित करने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये पत्र एक निश्चित संख्या को इंगित करते हैं, सबसे अधिक बार एक वैध। व्यवहार में, ऐसे समीकरणों और प्रणालियों के समीकरण किसी भी घटना और वस्तुओं के सामान्य गुणों की खोज करने के लिए कार्यों के नेतृत्व में होते हैं। यही है, आपने कुछ नई सामग्री या उपकरण का आविष्कार किया है, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, एक उदाहरण के आकार या मात्रा की परवाह किए बिना, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, जहां चर, अक्षरों के लिए कुछ गुणांक के बजाय। आपको उदाहरणों के लिए दूर नहीं जाना पड़ेगा।
अगला उदाहरण एक समान समस्या के लिए है, केवल एक निश्चित वास्तविक संख्या को दर्शाते हुए समीकरणों, चर और अक्षरों की संख्या बढ़ रही है।
उदाहरण 8 क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
निर्णय। हम प्रणाली के निर्धारक को खोजते हैं:
अज्ञात के निर्धारक का पता लगाएं
2. मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) समीकरणों की प्रणालियों का समाधान।
3. समीकरणों को हल करने की विधि विधि।
क्रमर विधि।
क्रैमर विधि का उपयोग रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है ( केंचुली).
दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण पर सूत्र।
दिए गए: Cramer सिस्टम को हल करें
चरों के संबंध में एक्स और पर.
समाधान:
मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं, सिस्टम के गुणांक से बना है। निर्धारकों की गणना। : 
हम Cramer के सूत्र लागू करते हैं और चर के मान पाते हैं: 
और 
.
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
चरों के बारे में एक्स और पर.
समाधान:
इस निर्धारक में, हम सिस्टम के दायीं ओर के गुणांक कॉलम के साथ पहले कॉलम को प्रतिस्थापित करते हैं और इसका मान पाते हैं: 
हम पहले क्वालीफायर में दूसरे कॉलम की जगह एक समान कार्रवाई करेंगे: 
उपयुक्त संकट के सूत्र और चर के मूल्यों का पता लगाएं:
और।
उत्तर है: 
टिप्पणी: यह विधि अधिक से अधिक आयाम की प्रणालियों को हल कर सकती है।
टिप्पणी: यदि यह पता चला है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, तो वे कहते हैं कि सिस्टम में एक अनूठा समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम में या तो असीम रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।
उदाहरण 2 (समाधानों की अनंत संख्या):
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
चरों के बारे में एक्स और पर.
समाधान:
मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं, सिस्टम के गुणांक से बना है: 
प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान। 
सिस्टम के समीकरणों में पहला समानता है, चर के किसी भी मूल्य के लिए सच है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर है)। इसका मतलब है कि केवल एक समीकरण बना हुआ है। यह चर के बीच संबंध का समीकरण है।
हमने पाया कि प्रणाली का समाधान समानता द्वारा जुड़े चर के मूल्यों के किसी भी जोड़े हैं।
सामान्य निर्णय इस प्रकार लिखा गया है: 
विशेष समाधान y का एक मनमाना मूल्य चुनकर और इस संबंध समानता से x की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है। 
आदि
ऐसे कई समाधान अनंत हैं।
उत्तर है: सामान्य निर्णय
निजी समाधान:
उदाहरण 3 (कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
समाधान:
मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं, सिस्टम के गुणांक से बना है: 
आप Cramer के फ़ार्मुलों का उपयोग नहीं कर सकते। हम इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करते हैं 
प्रणाली का दूसरा समीकरण समानता है, जो किसी भी चर मान के लिए सही नहीं है (बेशक, चूंकि -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम के समीकरणों में से कोई भी चर के किसी भी मान के लिए सही नहीं है, तो पूरे सिस्टम में कोई समाधान नहीं है।
उत्तर है: कोई समाधान नहीं
Cramer पद्धति या तथाकथित Cramer नियम समीकरणों के सिस्टम से अज्ञात मात्रा की खोज करने का एक तरीका है। इसका उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब मांगे गए मानों की संख्या प्रणाली में बीजीय समीकरणों की संख्या के बराबर हो, अर्थात, सिस्टम से गठित मुख्य मैट्रिक्स को वर्ग होना चाहिए और इसमें शून्य रेखाएं नहीं होनी चाहिए, और यह भी कि यदि इसका निर्धारक शून्य नहीं होना चाहिए।
प्रमेय १
क्रैमर का प्रमेय यदि समीकरणों के गुणांक के आधार पर संकलित मुख्य मैट्रिक्स का मुख्य निर्धारक $ D $, शून्य के बराबर नहीं है, तो समीकरणों की प्रणाली संगत है, और इसका एक अनूठा समाधान है। इस तरह की प्रणाली के समाधान को रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए तथाकथित क्रामर फार्मूले के माध्यम से गणना की जाती है: $ x_i \u003d \\ frac (D_i) (D) $
क्रैमर विधि क्या है
Cramer विधि का सार इस प्रकार है:
- Cramer पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, सबसे पहले, हम मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक की गणना $ D $ करते हैं। जब मुख्य मैट्रिक्स के गणना किए गए निर्धारक, जब क्रैमर विधि द्वारा गणना की जाती है, तो शून्य हो जाता है, सिस्टम में कोई समाधान नहीं है या समाधान की अनंत संख्या है। इस मामले में, सिस्टम के लिए एक सामान्य या कुछ मूल उत्तर खोजने के लिए गॉस विधि का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है।
- फिर आपको मुख्य मैट्रिक्स के चरम कॉलम को मुफ्त शर्तों के कॉलम के साथ बदलने की आवश्यकता है और निर्धारक $ D_1 $ की गणना करें।
- सभी स्तंभों के लिए समान दोहराएं, $ D_1 $ से $ D_n $ तक निर्धारक प्राप्त करना, जहां $ n $ सबसे दाहिने स्तंभ की संख्या है।
- सभी निर्धारकों के बाद $ D_1 $ ... $ D_n $ पाए जाते हैं, अज्ञात चर की गणना सूत्र $ x_i \u003d \\ frac (D_i) (D) $ का उपयोग करके की जा सकती है।
मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए तकनीक
मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए 2 से 2 के आयाम के साथ, आप कई विधियों का उपयोग कर सकते हैं:
- त्रिभुजों का नियम, या सरियस का शासन, उसी नियम की याद दिलाता है। त्रिभुज विधि का सार यह है कि जब निर्धारक की गणना की जाती है, तो दाईं ओर लाल रेखा द्वारा आकृति में जुड़े सभी संख्याओं के उत्पादों को एक प्लस चिन्ह के साथ लिखा जाता है, और बाईं ओर के चित्र में उसी तरह से जुड़े सभी संख्याओं को एक शून्य चिह्न के साथ लिखा जाता है। दोनों नियम 3 x 3 मैट्रिक्स पर लागू होते हैं। सरियस नियम के मामले में, मैट्रिक्स को पहले फिर से लिखा जाता है, और इसके बगल में पहले और दूसरे कॉलम को फिर से लिखा जाता है। विकर्ण मैट्रिक्स के माध्यम से खींचे जाते हैं और इन अतिरिक्त स्तंभों पर, मुख्य विकर्ण या इसके समानांतर स्थित मैट्रिक्स के सदस्यों को एक प्लस चिह्न के साथ लिखा जाता है, और पक्ष विकर्ण या इसके समानांतर स्थित तत्व माइनस चिह्न के साथ लिखे जाते हैं।
चित्रा 1. क्रैमर विधि के लिए निर्धारक की गणना के लिए त्रिकोण का नियम
- एक विधि जिसे गॉस विधि के रूप में जाना जाता है, का उपयोग करना, इसे कभी-कभी निर्धारक का डाउनसाइज़िंग भी कहा जाता है। इस मामले में, मैट्रिक्स को एक त्रिकोणीय रूप में बदल दिया जाता है और कम किया जाता है, और फिर मुख्य विकर्ण पर खड़ी सभी संख्याओं को गुणा किया जाता है। यह याद रखना चाहिए कि निर्धारक के लिए इस तरह की खोज के साथ, पंक्तियों या स्तंभों को एक कारक या विभाजक के रूप में बाहर रखे बिना संख्याओं में गुणा या विभाजित करना असंभव है। एक निर्धारक खोज के मामले में, उनके बीच की पंक्तियों और स्तंभों को घटाना और जोड़ना संभव है, पहले से घटाई गई पंक्ति को एक गैर-कारक द्वारा गुणा किया जाता है। इसके अलावा, कुछ स्थानों पर मैट्रिक्स की पंक्तियों या स्तंभों के प्रत्येक क्रमांकन पर, किसी को मैट्रिक्स के अंतिम संकेत को बदलने की आवश्यकता को याद रखना चाहिए।
- Cramer पद्धति का उपयोग करके 4 अज्ञात के साथ SLAE को हल करते समय, खोजकर्ताओं को खोजने और खोजने के लिए या नाबालिगों की खोज के माध्यम से निर्धारकों का निर्धारण करने के लिए गॉस विधि का उपयोग करना सबसे अच्छा है।
Cramer विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों का समाधान
हम 2 समीकरणों और दो अज्ञात मात्राओं की प्रणाली के लिए क्रैमर विधि लागू करते हैं:
$ \\ start (मामले) a_1x_1 + a_2x_2 \u003d b_1 \\\\ a_3x_1 + a_4x_2 \u003d b_2 \\\\ \\ एंड (मामले) $
हम इसे सुविधा के लिए विस्तारित रूप में प्रदर्शित करते हैं:
$ A \u003d \\ start (array) (cc | c) a_1 & a_2 & b_1 \\\\ a_3 & a_4 & b_1 \\\\ a end (array) $
मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक को ढूंढें, जिसे सिस्टम का मुख्य निर्धारक भी कहा जाता है:
$ D \u003d \\ start (सरणी) (| cc |) a_1 & a_2 \\\\ a_3 & a_4 \\\\ \\ end (सरणी) \u003d a_1 \\ cdot a_4 - a_3 \\ cdot a_2 $
यदि मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो क्रामर विधि द्वारा स्लैब को हल करने के लिए, दो मैट्रिक्स से कुछ और निर्धारकों की गणना करना आवश्यक है, मुख्य नि: शुल्क शब्दों की एक पंक्ति द्वारा मुख्य मैट्रिक्स के प्रतिस्थापित कॉलम:
$ D_1 \u003d \\ start (सरणी) (| cc |) b_1 & a_2 \\\\ b_2 और a_4 \\\\ \\ end (सरणी) \u003d b_1 \\ cdot a_4 - b_2 \\ cdot a_4 $
$ D_2 \u003d \\ start (सरणी) (| cc |) a_1 & b_1 \\\\ a_3 & b_2 \\\\ \\ end (सरणी) \u003d a_1 \\ cdot b_2 - a_3 \\ cdot b_1 $
अब हम अज्ञात $ x_1 $ और $ x_2 $ पाते हैं:
$ x_1 \u003d \\ frac (D_1) (D) $
$ x_2 \u003d \\ frac (D_2) (D) $
उदाहरण 1
3 आदेशों (3 x 3) के मुख्य मैट्रिक्स और तीन आवश्यक लोगों के साथ SLAE को हल करने के लिए Cramer की विधि।
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$ \\ start (मामले) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 \u003d 21 \\\\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 \u003d 9 \\\\ 2x_1 - x_2 - x_3 \u003d 10 \\\\ \\ अंत (मामले) $
हम आइटम 1 के तहत बताए गए नियम का उपयोग करके मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक की गणना करते हैं:
$ D \u003d \\ start (सरणी) (| ccc |) 3 & -2 और 4 \\\\ 3 & 4 और -2 \\\\ 2 और -1 और 1 \\\\ \\ एंड (सरणी) \u003d 3 \\ cdot 4 \\ cdot ( -1) + 2 \\ cdot (-2) \\ cdot 2 + 4 \\ cdot 3 \\ cdot (-1) - 4 \\ cdot 4 \\ cdot 2 - 3 \\ cdot (-2) \\ cdot (-1) - (- 1) \\ cdot 2 \\ cdot 3 \u003d - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 \u003d - 64 $
और अब तीन अन्य निर्धारक:
$ D_1 \u003d \\ start (सरणी) (| ccc |) 21 & 2 & 4 \\\\ 9 & 4 & 2 \\\\ 10 & 1 & 1 \\\\ \\ end (सरणी) \u003d 21 \\ cdot 4 \\ cdot 1 + (- 2) \\ cdot 2 \\ cdot 10 + 9 \\ cdot (-1) \\ cdot 4 - 4 \\ cdot 4 \\ cdot 10 - 9 \\ cdot (-2) \\ cdot (-1) - (-1) \\ cdot 2 \\ $ D_2 \u003d \\ start (सरणी) (| ccc |) 3 और 21 & 4 \\\\ 3 & 9 और 2 \\\\ 2 और 10 & 1 \\\\ \\ एंड (सरणी) \u003d 3 \\ cdot 9 \\ cdot (- 1) + 3 \\ cdot 10 \\ cdot 4 + 21 \\ cdot 2 \\ cdot 2 - 4 \\ cdot 9 \\ cdot 2 - 21 \\ cdot 3 \\ cdot (-1) - 2 \\ cdot 10 \\ cdot 3 \u003d - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 \u003d $ 108
$ D_3 \u003d \\ start (सरणी) (| ccc |) 3 & -2 और 21 \\\\ 3 & 4 और 9 \\\\ 2 & 1 और 10 \\\\ \\ एंड (सरणी) \u003d 3 \\ cdot 4 \\ cdot 10 + 3 \\ cdot (-1) \\ cdot 21 + (-2) \\ cdot 9 \\ cdot 2 - २१ \\ cdot ४ \\ cdot 2 - (-२) \\ cdot ३ \\ cdot 10 - (-१) \\ cdot ९ \\ _ \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - $ 60
आवश्यक मान खोजें:
$ x_1 \u003d \\ frac (D_1) (D) \u003d \\ frac (- 296) (- 64) \u003d 4 \\ frac (5) (8) $
$ x_2 \u003d \\ frac (D_1) (D) \u003d \\ frac (108) (-64) \u003d - 1 \\ frac (11) (16) $
$ x_3 \u003d \\ frac (D_1) (D) \u003d \\ frac (-60) (-64) \u003d \\ frac (15) (16) $
तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें
तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करते हुए, इस तरह की प्रणाली का समाधान दो समीकरणों की प्रणाली के लिए उसी रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात।
यदि 0। यहां
(2.4)
यह है
अपराध नियम तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना उदाहरण 2.3.
क्रैमर नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें: निर्णय
। हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक पाते हैं System0 के बाद से, फिर सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, हम Cramer नियम को लागू कर सकते हैं, लेकिन पहले हम तीन और गणनाओं की गणना करते हैं:
की जाँच करें:
इसलिए, समाधान सही ढंग से पाया जाता है।
2 और 3 क्रम के रैखिक प्रणालियों के लिए प्राप्त क्रैमर नियम बताते हैं कि किसी भी क्रम के रैखिक प्रणालियों के लिए समान नियम तैयार किए जा सकते हैं। वास्तव में जगह लेता है
क्रैमर का प्रमेय।
सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों का एक वर्ग प्रणाली एक और केवल एक समाधान है और इस समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है (0) जहाँ
(2.5)
मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक – मैं, मैट्रिक्स निर्धारक – जगह से, मुख्य से प्राप्त किया, मुक्त सदस्यों के स्तंभ का स्तंभमैट्रिक्स निर्धारक{!LANG-3d92cec77e475aa921447d5b54916b98!}.
ध्यान दें कि यदि that \u003d 0 है, तो मानदंड नियम लागू नहीं है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम के पास या तो कोई समाधान नहीं है, या असीम रूप से कई समाधान हैं।
क्रैमर की प्रमेय तैयार करने के बाद, प्रश्न स्वाभाविक रूप से उच्च आदेशों के निर्धारकों की गणना करने के लिए उठता है।
2.4। Nth आदेश के निर्धारक
अतिरिक्त नाबालिग एम ij तत्त्व एक ij इसे हड़ताली द्वारा प्राप्त निर्धारक कहा जाता है मैट्रिक्स निर्धारकवें पंक्ति और jवें स्तंभ। बीजगणितीय पूरक एक ij तत्त्व एक ij इस तत्व के नाबालिग कहा जाता है, संकेत के साथ लिया (-1) मैट्रिक्स निर्धारक + j , यानी। एक ij = (–1) मैट्रिक्स निर्धारक + j एम ij .
उदाहरण के लिए, हम अवयवों के अवयस्क और बीजगणितीय संकलन पाते हैं एक 23 और एक 31 क्वालिफायर
हमें मिलता है
बीजगणितीय पूरक की अवधारणा का उपयोग करके, हम तैयार कर सकते हैं निर्धारक अपघटन प्रमेयnवें पंक्ति या स्तंभ क्रम.
प्रमेय 2.1। मैट्रिक्स निर्धारकएक उनके बीजीय परिवर्धन द्वारा एक पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर:
(2.6)
यह प्रमेय निर्धारक, तथाकथित, की गणना के लिए मुख्य तरीकों में से एक पर आधारित है डाउनग्रेड विधि। निर्धारक के अपघटन के परिणामस्वरूप nकिसी भी पंक्ति या कॉलम में एन आदेश, एन निर्धारक प्राप्त किए जाते हैं ( n—१) त आदेश। ताकि ऐसे निर्धारक कम हों, पंक्ति या स्तंभ चुनने की सलाह दी जाती है जिसमें अधिकांश शून्य हों। व्यवहार में, निर्धारक का अपघटन सूत्र आमतौर पर फॉर्म में लिखा जाता है:
यानी बीजीय परिवर्धन नाबालिगों के माध्यम से स्पष्ट रूप से लिखे गए हैं।
उदाहरण २.४। किसी भी पंक्ति या स्तंभ द्वारा पहले छँटाई करके निर्धारकों की गणना करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में, एक कॉलम या पंक्ति चुनें जिसमें अधिकांश शून्य हों। चयनित पंक्ति या स्तंभ को एक तीर से चिह्नित किया जाएगा।
2.5। निर्धारकों के प्रमुख गुण
निर्धारक को किसी भी पंक्ति या स्तंभ में रखने पर, हम n निर्धारक प्राप्त करते हैं ( n—१) त आदेश। फिर इनमें से प्रत्येक क्वालिफायर ( n-1) वें आदेश को भी निर्धारकों के योग में विघटित किया जा सकता है ( n-२) वें आदेश। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम पहले क्रम के निर्धारकों तक पहुँच सकते हैं, अर्थात्। मैट्रिक्स के उन तत्वों को जिनकी नियतांक की गणना की जाती है। तो, दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए, दो क्रमों की गणना करना आवश्यक है, तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए - 6 शब्दों का योग, चौथे क्रम के निर्धारकों के लिए - 24 पद। निर्धारक के आदेश बढ़ने के साथ शब्दों की संख्या में तेजी से वृद्धि होगी। इसका मतलब यह है कि बहुत उच्च आदेशों के निर्धारकों की गणना एक कंप्यूटर के लिए अत्यधिक श्रमसाध्य कार्य बन जाती है। हालांकि, निर्धारकों को गुणकों के गुणों का उपयोग करके अलग-अलग गणना की जा सकती है।
संपत्ति १ . यदि आप इसमें पंक्तियों और स्तंभों को स्वैप करते हैं, तो निर्धारक नहीं बदलेगा, अर्थात मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िंग करते समय:
.
यह गुण निर्धारक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, निर्धारक स्तंभों के बारे में कोई भी कथन इसकी पंक्तियों के लिए सही है और इसके विपरीत।
संपत्ति २ . दो पंक्तियों (स्तंभों) को पुन: व्यवस्थित करते समय निर्धारक परिवर्तन संकेत देता है।
परिणाम . यदि निर्धारक में दो समान पंक्तियाँ (कॉलम) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।
संपत्ति ३ . एक पंक्ति (स्तंभ) में सभी तत्वों का सामान्य कारक निर्धारक चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है.
उदाहरण के लिए
परिणाम . यदि निर्धारक की एक पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो निर्धारक स्वयं शून्य के बराबर है.
संपत्ति ४ . यदि एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के लिए निर्धारक नहीं बदलेगा, तो किसी भी संख्या में किसी अन्य पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को गुणा करें.
उदाहरण के लिए
संपत्ति ५ . मैट्रिक्स उत्पाद का निर्धारक मैट्रिक्स निर्धारक के उत्पाद के बराबर होता है: