पाई सबसे लोकप्रिय गणितीय अवधारणाओं में से एक है। उनके बारे में चित्र लिखे जाते हैं, फिल्में बनाई जाती हैं, उन्हें संगीत वाद्ययंत्रों पर बजाया जाता है, कविताएं और छुट्टियां उन्हें समर्पित की जाती हैं, उन्हें खोजा जाता है और पवित्र ग्रंथों में पाया जाता है।

पाई की खोज किसने की?

नंबर की खोज किसने और कब की यह अभी भी एक रहस्य है। यह ज्ञात है कि प्राचीन बाबुल के निर्माता पहले से ही इसे डिजाइन करते समय ताकत और मुख्य के साथ इस्तेमाल करते थे। क्यूनिफॉर्म गोलियों पर जो हजारों साल पुरानी हैं, यहां तक ​​​​कि जिन समस्याओं को की मदद से हल करने का प्रस्ताव दिया गया था, उन्हें भी संरक्षित किया गया है। सच है, तब यह माना जाता था कि तीन के बराबर है। इसका प्रमाण बाबुल से दो सौ किलोमीटर दूर सुसा शहर में मिली एक गोली से है, जहाँ संख्या को 3 1/8 के रूप में दर्शाया गया था।

की गणना की प्रक्रिया में, बेबीलोनियों ने पाया कि एक वृत्त की त्रिज्या एक जीवा के रूप में इसमें छह बार प्रवेश करती है, और उन्होंने वृत्त को 360 डिग्री में विभाजित किया। और साथ ही उन्होंने सूर्य की कक्षा के साथ भी ऐसा ही किया। इस प्रकार, उन्होंने यह विचार करने का निर्णय लिया कि एक वर्ष में 360 दिन होते हैं।

प्राचीन मिस्र में पाई 3.16 थी।
प्राचीन भारत में - 3,088।
इटली में, युगों के मोड़ पर, यह माना जाता था कि 3.125 के बराबर था।

पुरातनता में, का सबसे पहला उल्लेख वृत्त को चुकता करने की प्रसिद्ध समस्या को संदर्भित करता है, अर्थात, एक कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ एक वर्ग के निर्माण की असंभवता, जिसका क्षेत्रफल इसके क्षेत्रफल के बराबर है एक निश्चित चक्र। आर्किमिडीज ने को भिन्न 22/7 के बराबर किया।

के सटीक मान के सबसे निकट चीन में आया। इसकी गणना 5वीं शताब्दी ई. इ। प्रसिद्ध चीनी खगोलशास्त्री ज़ू चुन ज़ी। की गणना करना काफी सरल है। विषम संख्याओं को दो बार लिखना आवश्यक था: 11 33 55, और फिर, उन्हें आधे में विभाजित करते हुए, पहले को अंश के हर में और दूसरे को अंश में: 355/113। परिणाम सातवें अंक तक की आधुनिक गणनाओं के अनुरूप है।

क्यों - ?

अब स्कूली बच्चे भी जानते हैं कि संख्या एक गणितीय स्थिरांक है जो एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास की लंबाई के अनुपात के बराबर है और π 3.1415926535 ... और दशमलव बिंदु के बाद - अनंत के बराबर है।

संख्या ने अपने पदनाम π को एक जटिल तरीके से प्राप्त किया: सबसे पहले, गणितज्ञ आउट्रेड ने 1647 में इस ग्रीक अक्षर के साथ परिधि को बुलाया। उन्होंने ग्रीक शब्द περιφέρεια - "परिधि" का पहला अक्षर लिया। 1706 में, अंग्रेजी शिक्षक विलियम जोन्स ने अपनी गणित की प्रगति की समीक्षा में पहले से ही अक्षर को एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात कहा था। और यह नाम 18वीं सदी के गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा तय किया गया था, जिनके अधिकार के आगे बाकी लोगों ने अपना सिर झुका लिया था। तो पाई पाई बन गई।

संख्या विशिष्टता

पाई वास्तव में एक अद्वितीय संख्या है।

1. वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि अंक में वर्णों की संख्या अनंत होती है। उनका क्रम दोहराया नहीं जाता है। इसके अलावा, कोई भी कभी भी दोहराव नहीं ढूंढ पाएगा। चूंकि संख्या अनंत है, इसमें पूरी तरह से सब कुछ शामिल हो सकता है, यहां तक ​​​​कि एक राचमानिनोव सिम्फनी, पुराना नियम, आपका फोन नंबर और वह वर्ष जिसमें सर्वनाश आएगा।

2. अराजकता सिद्धांत से संबंधित है। बेली के कम्प्यूटेशनल प्रोग्राम को बनाने के बाद वैज्ञानिक इस निष्कर्ष पर पहुंचे, जिससे पता चला कि में संख्याओं का क्रम बिल्कुल यादृच्छिक है, जो सिद्धांत से मेल खाता है।

3. संख्या को अंत तक गणना करना लगभग असंभव है - इसमें बहुत अधिक समय लगेगा।

4. एक अपरिमेय संख्या है, अर्थात इसका मान भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

5. एक पारलौकिक संख्या है। इसे पूर्णांकों पर कोई बीजीय संक्रिया करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

6. संख्या में उनतालीस दशमलव स्थान हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या में त्रुटि के साथ ब्रह्मांड में ज्ञात अंतरिक्ष वस्तुओं को घेरने वाले वृत्त की लंबाई की गणना करने के लिए पर्याप्त है।

7. संख्या "गोल्डन सेक्शन" की अवधारणा से जुड़ी है। गीज़ा के महान पिरामिड को मापने की प्रक्रिया में, पुरातत्वविदों ने पाया कि इसकी ऊंचाई इसके आधार की लंबाई से संबंधित है, जैसे कि एक वृत्त की त्रिज्या इसकी लंबाई से संबंधित है।

से संबंधित रिकॉर्ड

2010 में, Yahoo गणितज्ञ निकोलस Zhe में दो क्वाड्रिलियन दशमलव स्थानों (2x10) की गणना करने में सक्षम था। इसमें 23 दिन लगे, और गणितज्ञ को बहुत सारे सहायकों की आवश्यकता थी, जो हजारों कंप्यूटरों पर काम करते थे, जो बिखरी हुई कंप्यूटिंग तकनीक से एकजुट थे। विधि ने इतनी अभूतपूर्व गति से गणना करने की अनुमति दी। एक कंप्यूटर पर इसकी गणना करने में 500 साल से अधिक का समय लगेगा।

इसे केवल कागज पर लिखने के लिए दो अरब किलोमीटर से अधिक लंबे पेपर टेप की आवश्यकता होगी। यदि आप इस तरह के रिकॉर्ड का विस्तार करते हैं, तो इसका अंत सौर मंडल से आगे निकल जाएगा।

चीनी लियू चाओ ने संख्या के अंकों के अनुक्रम को याद रखने का रिकॉर्ड बनाया। 24 घंटे और 4 मिनट के भीतर, लियू चाओ ने एक भी गलती किए बिना 67,890 दशमलव स्थानों का नाम दिया।

पाई के बहुत सारे प्रशंसक हैं। यह संगीत वाद्ययंत्रों पर बजाया जाता है, और यह पता चलता है कि यह उत्कृष्ट रूप से "ध्वनि" करता है। वे इसे याद रखते हैं और इसके लिए विभिन्न तकनीकों के साथ आते हैं। मनोरंजन के लिए, वे इसे अपने कंप्यूटर पर डाउनलोड करते हैं और अधिक डाउनलोड करने वाले एक-दूसरे की बड़ाई करते हैं। उसके लिए स्मारक बनाए गए हैं। उदाहरण के लिए, सिएटल में ऐसा एक स्मारक है। यह कला संग्रहालय के सामने सीढ़ियों पर स्थित है।

का उपयोग सजावट और आंतरिक सज्जा में किया जाता है। कविताएँ उन्हें समर्पित हैं, उन्हें पवित्र पुस्तकों और खुदाई में खोजा जाता है। यहां तक ​​​​कि एक "क्लब " भी है।
की श्रेष्ठ परंपराओं में एक नहीं, बल्कि साल में पूरे दो दिन संख्या के लिए समर्पित होते हैं! पहली बार पाई दिवस 14 मार्च को मनाया जाता है। ठीक 1 घंटा 59 मिनट 26 सेकेंड में एक दूसरे को बधाई देना जरूरी है. इस प्रकार, दिनांक और समय संख्या के पहले अंकों के अनुरूप हैं - 3.1415926।

दूसरी बार 22 जुलाई को मनाया जाता है। यह दिन तथाकथित "अनुमानित " से जुड़ा है, जिसे आर्किमिडीज़ ने अंश के रूप में लिखा था।
आमतौर पर इस दिन छात्र, स्कूली बच्चे और वैज्ञानिक अजीब फ्लैश मॉब और गतिविधियों की व्यवस्था करते हैं। गणितज्ञ, मस्ती करते हुए, गिरने वाले सैंडविच के नियमों की गणना करने के लिए π का ​​उपयोग करते हैं और एक दूसरे को हास्य पुरस्कार देते हैं।
और वैसे, पाई वास्तव में पवित्र पुस्तकों में पाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, बाइबिल में। और वहाँ संख्या pi है… तीन।

किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात सभी वृत्तों के लिए समान होता है। इस संबंध को आमतौर पर ग्रीक अक्षर ("pi" - ग्रीक शब्द . का प्रारंभिक अक्षर) द्वारा दर्शाया जाता है , जिसका अर्थ है "परिधि")।

आर्किमिडीज ने अपने निबंध "सर्कल को मापना" में परिधि के व्यास (संख्या) के अनुपात की गणना की और पाया कि यह 3 10/71 और 3 1/7 के बीच है।

लंबे समय तक, संख्या 22/7 का उपयोग अनुमानित मूल्य के रूप में किया जाता था, हालांकि चीन में पहले से ही 5 वीं शताब्दी में सन्निकटन 355/113 = 3.1415929 पाया गया था, जिसे केवल 16 वीं शताब्दी में यूरोप में फिर से खोजा गया था।

प्राचीन भारत में इसे = 3.1622… के बराबर माना जाता था।

फ्रांसीसी गणितज्ञ एफ. वियत ने 1579 में 9 चिन्हों के साथ गणना की।

1596 में डच गणितज्ञ लुडोल्फ वान ज़िलेन ने अपने दस साल के काम का परिणाम प्रकाशित किया - 32 अंकों के साथ गणना की गई संख्या।

लेकिन संख्या के अर्थ के ये सभी परिशोधन आर्किमिडीज द्वारा बताए गए तरीकों से किए गए थे: सर्कल को बहुभुज द्वारा बदल दिया गया था जिसमें पक्षों की बढ़ती संख्या थी। खुदा हुआ बहुभुज का परिमाप वृत्त की परिधि से कम था, और परिबद्ध बहुभुज का परिमाप बड़ा था। लेकिन साथ ही, यह स्पष्ट नहीं रहा कि संख्या परिमेय है, यानी दो पूर्णांकों का अनुपात, या अपरिमेय।

केवल 1767 में जर्मन गणितज्ञ आई.जी. लैम्बर्ट ने सिद्ध किया कि संख्या अपरिमेय है।

और 1882 में सौ से अधिक वर्षों के बाद, एक और जर्मन गणितज्ञ एफ. लिंडमैन ने अपनी श्रेष्ठता साबित की, जिसका अर्थ एक कम्पास और शासक की मदद से दिए गए वृत्त के बराबर एक वर्ग का निर्माण करना भी असंभव था।

सबसे सरल माप

मोटे गत्ते पर व्यास का एक वृत्त खींचिए डी(=15 सेमी), परिणामी सर्कल को काट लें और इसके चारों ओर एक पतला धागा लपेटें। लंबाई मापने से मैं(= 46.5 सेमी)धागे का एक पूरा मोड़, विभाजित करें मैं व्यास की लंबाई के लिए डी मंडलियां। परिणामी भागफल संख्या का अनुमानित मान होगा, अर्थात। = मैं/ डी= 46.5 सेमी / 15 सेमी = 3.1. सामान्य परिस्थितियों में, यह अपेक्षाकृत मोटा तरीका 1 की सटीकता के साथ एक संख्या का अनुमानित मूल्य देता है।

तौल कर नापना

कार्डबोर्ड के एक टुकड़े पर एक वर्ग बनाएं। आइए इसमें एक घेरा डालें। चलो एक वर्ग काटते हैं। आइए स्कूल के तराजू का उपयोग करके एक कार्डबोर्ड वर्ग का द्रव्यमान निर्धारित करें। वर्ग से एक सर्कल काट लें। आइए उसका वजन करें। वर्ग की जनता को जानना मी वर्ग (= 10 ग्राम)और उसमें खुदा हुआ घेरा एम क्रे (=7.8 ग्राम)सूत्रों का प्रयोग करें

जहां पी और एच- क्रमशः कार्डबोर्ड का घनत्व और मोटाई, एसआकृति का क्षेत्रफल है। समानता पर विचार करें:

स्वाभाविक रूप से, इस मामले में, अनुमानित मूल्य वजन सटीकता पर निर्भर करता है। यदि तौले जाने वाले कार्डबोर्ड के आंकड़े काफी बड़े हैं, तो सामान्य पैमानों पर भी ऐसे द्रव्यमान मान प्राप्त करना संभव है जो 0.1 की सटीकता के साथ संख्या के सन्निकटन को सुनिश्चित करेंगे।

अर्धवृत्त में अंकित आयतों के क्षेत्रफलों का योग

चित्र 1

मान लीजिए ए (ए; 0), बी (बी; 0)। आइए हम AB पर व्यास के रूप में एक अर्धवृत्त का वर्णन करें। हम खंड AB को n बराबर भागों में x 1 , x 2 , ..., x n-1 से विभाजित करते हैं और अर्धवृत्त के साथ चौराहे पर उनके लंबवत को पुनर्स्थापित करते हैं। ऐसे प्रत्येक लंब की लंबाई फलन f(x)= का मान है। आकृति 1 से यह स्पष्ट है कि अर्धवृत्त के क्षेत्रफल S की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

एस \u003d (बी - ए) ((एफ (एक्स 0) + एफ (एक्स 1) + ... + एफ (एक्स एन -1)) / एन।

हमारे मामले में बी = 1, ए = -1. फिर = 2 एस।

मान अधिक सटीक होंगे, खंड AB पर जितने अधिक विभाजन बिंदु होंगे। नीरस कम्प्यूटेशनल कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए कंप्यूटर को मदद मिलेगी, जिसके लिए नीचे प्रोग्राम 1 है, जिसे बेसिक में संकलित किया गया है।

कार्यक्रम 1

रेम "कंप्यूटिंग पाई"
रेम "आयत विधि"
इनपुट "आयत की संख्या दर्ज करें", n
डीएक्स = 1 / एन
के लिए मैं = 0 से n - 1
एफ = एसक्यूआर(1 - एक्स^2)
एक्स = एक्स + डीएक्स
ए = ए + एफ
अगला मैं
पी = 4*डीएक्स*ए
प्रिंट "pi का मान है", p
समाप्त

प्रोग्राम टाइप किया गया था और पैरामीटर के विभिन्न मूल्यों के साथ लॉन्च किया गया था एन. संख्या के प्राप्त मान तालिका में दर्ज हैं:

मोंटे कार्लो विधि

यह वास्तव में सांख्यिकीय परीक्षण की एक विधि है। इसे मोनाको की रियासत में मोंटे कार्लो शहर से इसका विदेशी नाम मिला, जो अपने जुआ घरों के लिए प्रसिद्ध है। तथ्य यह है कि विधि को यादृच्छिक संख्याओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, और सबसे सरल उपकरणों में से एक जो यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करता है वह रूले व्हील हो सकता है। हालाँकि, आप ... बारिश की मदद से यादृच्छिक संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।

प्रयोग के लिए, हम गत्ते का एक टुकड़ा तैयार करेंगे, उस पर एक वर्ग खींचेंगे और वर्ग में एक चौथाई वृत्त अंकित करेंगे। यदि कुछ समय के लिए इस तरह की ड्राइंग बारिश में आयोजित की जाती है, तो इसकी सतह पर बूंदों के निशान बने रहेंगे। आइए वर्ग के अंदर और वृत्त के चौथाई के अंदर निशानों की संख्या गिनें। स्पष्ट है कि इनका अनुपात इन आकृतियों के क्षेत्रफलों के अनुपात के लगभग बराबर होगा, क्योंकि चित्र के विभिन्न स्थानों पर बूंदों का गिरना समान रूप से संभावित है। होने देना एन क्रे- सर्कल में बूंदों की संख्या, एन वर्गबूंदों की संख्या चुकता है, तो

4 एन केआर / एन वर्ग।

चित्र 2

बारिश को यादृच्छिक संख्याओं की एक तालिका से बदला जा सकता है, जिसे एक विशेष कार्यक्रम का उपयोग करके कंप्यूटर का उपयोग करके संकलित किया जाता है। छोटी बूंद का प्रत्येक निशान कुल्हाड़ियों के साथ अपनी स्थिति को दर्शाने वाली दो यादृच्छिक संख्याओं से जुड़ा होता है ओहतथा कहां. यादृच्छिक संख्याओं को तालिका से किसी भी क्रम में चुना जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक पंक्ति में। मान लीजिए तालिका में पहली चार अंकों की संख्या 3265 . इससे आप संख्याओं का एक युग्म बना सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक शून्य से बड़ा और एक से छोटा है: एक्स = 0.32, वाई = 0.65. हम इन संख्याओं को बूंद के निर्देशांक के रूप में मानेंगे, यानी, ऐसा लगता है कि बूंद बिंदु (0.32; 0.65) से टकरा गई है। हम सभी चयनित यादृच्छिक संख्याओं के साथ भी ऐसा ही करते हैं। अगर यह पता चला है कि बिंदु के लिए (एक्स; वाई)असमानता धारण करती है, तो यह वृत्त के बाहर स्थित है। अगर एक्स + वाई = 1, तो बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है।

मान की गणना करने के लिए, हम फिर से सूत्र (1) का उपयोग करते हैं। इस विधि द्वारा गणना त्रुटि, एक नियम के रूप में, आनुपातिक है, जहां डी कुछ स्थिर है और एन परीक्षणों की संख्या है। हमारे मामले में, एन = एन वर्ग। यह सूत्र दर्शाता है कि त्रुटि को 10 के कारक से कम करने के लिए (दूसरे शब्दों में, उत्तर में एक और सही दशमलव स्थान प्राप्त करने के लिए), आपको एन, यानी काम की मात्रा को 100 गुना बढ़ाने की आवश्यकता है। यह स्पष्ट है कि मोंटे कार्लो पद्धति का अनुप्रयोग कंप्यूटर की बदौलत ही संभव हुआ। प्रोग्राम 2 कंप्यूटर पर वर्णित विधि को लागू करता है।

कार्यक्रम 2

रेम "कंप्यूटिंग पाई"
रेम "मोंटे कार्लो विधि"
इनपुट "बूंदों की संख्या दर्ज करें", n
एम = 0
मैं = 1 से n . के लिए
टी = आईएनटी (आरएनडी(1) * 10000)
एक्स = आईएनटी (टी \ 100)
वाई = टी-एक्स * 100
अगर x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
अगला मैं
पी = 4 * एम / एन

समाप्त

प्रोग्राम टाइप किया गया था और पैरामीटर n के विभिन्न मूल्यों के साथ चलाया गया था। संख्या के प्राप्त मान तालिका में दर्ज हैं:

एन
एन

गिरने की सुई विधि

एक साधारण सिलाई सुई और कागज की एक शीट लें। शीट पर कई समानांतर रेखाएँ खींचिए ताकि उनके बीच की दूरी समान हो और सुई की लंबाई से अधिक हो। चित्र इतना बड़ा होना चाहिए कि गलती से फेंकी गई सुई उसके बाहर न गिरे। आइए हम संकेतन का परिचय दें: ए- रेखाओं के बीच की दूरी, मैं- सुई की लंबाई।

चित्र तीन

ड्राइंग पर बेतरतीब ढंग से फेंकी गई सुई की स्थिति (चित्र 3 देखें) को उसके मध्य से निकटतम सीधी रेखा और कोण j की दूरी X द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे सुई सुई के बीच से नीचे की ओर लंबवत के साथ बनाती है। निकटतम सीधी रेखा (चित्र 4 देखें)। यह स्पष्ट है कि

चित्र 4

अंजीर पर। 5 ग्राफिक रूप से फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं y=0.5 cos. सुई के सभी संभावित स्थानों को निर्देशांक वाले बिंदुओं की विशेषता है (; वाई ) ABCD सेक्शन में स्थित है। एईडी का छायांकित क्षेत्र वह बिंदु है जो उस मामले के अनुरूप होता है जहां सुई एक सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है। घटना की संभावना ए- "सुई ने रेखा पार कर ली है" - सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

चित्र 5

संभावना पी (ए)बार-बार सुई फेंककर लगभग निर्धारित किया जा सकता है। सुई को ड्राइंग पर फेंकने दें सीबार और पीएक बार यह गिर गया, एक सीधी रेखा को पार करते हुए, फिर पर्याप्त रूप से बड़े के साथ सीअपने पास पी (ए) = पी / सी. यहां से = 2 एल एस / एक के।

टिप्पणी। वर्णित विधि सांख्यिकीय परीक्षण पद्धति का एक रूपांतर है। यह उपदेशात्मक दृष्टिकोण से दिलचस्प है, क्योंकि यह एक सरल अनुभव को एक जटिल गणितीय मॉडल के संकलन के साथ संयोजित करने में मदद करता है।

टेलर सीरीज गणना

आइए हम एक मनमाना कार्य के विचार की ओर मुड़ें एफ (एक्स)।मान लीजिए कि उसके लिए बिंदु पर X 0तक के सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं एन-वें समावेशी। फिर समारोह के लिए एफ (एक्स)टेलर श्रृंखला लिखी जा सकती है:

इस श्रंखला का उपयोग करते हुए गणना अधिक सटीक होगी, श्रृंखला के जितने अधिक सदस्य शामिल होंगे। बेशक, इस पद्धति को कंप्यूटर पर लागू करना सबसे अच्छा है, जिसके लिए आप प्रोग्राम 3 का उपयोग कर सकते हैं।

कार्यक्रम 3

रेम "कंप्यूटिंग पाई"
आरईएम "टेलर विस्तार"
इनपुट नंबर
ए = 1
मैं = 1 से n . के लिए
डी = 1 / (मैं + 2)
एफ = (-1) ^ मैं * डी
ए = ए + एफ
अगला मैं
पी = 4 * ए
प्रिंट "पाई का मान है"; पी
समाप्त

प्रोग्राम टाइप किया गया और n पैरामीटर के विभिन्न मानों के साथ चलाया गया। संख्या के प्राप्त मान तालिका में दर्ज हैं:

किसी संख्या का अर्थ याद रखने के लिए बहुत ही सरल नियम हैं:

कई शताब्दियों और यहां तक ​​​​कि, अजीब तरह से पर्याप्त, सहस्राब्दी, लोगों ने एक गणितीय स्थिरांक के विज्ञान के महत्व और मूल्य को एक वृत्त की परिधि के व्यास के अनुपात के बराबर समझा है। संख्या पीआई अभी भी अज्ञात है, लेकिन हमारे पूरे इतिहास में सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ इससे संबंधित हैं। उनमें से अधिकांश इसे एक परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करना चाहते थे।

1. शोधकर्ताओं और नंबर पाई के सच्चे प्रशंसकों ने एक क्लब का आयोजन किया है, जिसमें शामिल होने के लिए आपको इसके पात्रों की एक बड़ी संख्या को दिल से जानना होगा।

2. पाई दिवस 1988 से मनाया जा रहा है और 14 मार्च को पड़ता है। उसकी छवि के साथ सलाद, केक, कुकीज़, पेस्ट्री तैयार करें।

3. पीआई पहले से ही संगीत पर सेट हो चुका है, और यह बहुत अच्छा लगता है। उन्हें सिटी म्यूज़ियम ऑफ़ आर्ट के सामने सिएटल, अमेरिकन में एक स्मारक भी बनाया गया था।

उस दूर के समय में, उन्होंने ज्यामिति का उपयोग करके संख्या पाई की गणना करने का प्रयास किया। तथ्य यह है कि यह संख्या विभिन्न मंडलियों के लिए स्थिर है, यहां तक ​​​​कि प्राचीन मिस्र, बेबीलोन, भारत और प्राचीन ग्रीस में जियोमीटर द्वारा भी जाना जाता था, जिन्होंने अपने कार्यों में दावा किया था कि यह केवल तीन से थोड़ा अधिक था।

जैन धर्म के एक पवित्र ग्रंथ (एक प्राचीन भारतीय धर्म जो ईसा पूर्व छठी शताब्दी में उत्पन्न हुआ) में उल्लेख किया गया है कि तब पाई की संख्या को दस के वर्गमूल के बराबर माना जाता था, जो अंततः 3.162 देता है।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने एक वृत्त को एक खंड की रचना करके मापा, लेकिन एक वृत्त को मापने के लिए, उन्हें एक समान वर्ग, यानी क्षेत्रफल में इसके बराबर एक आकृति बनानी पड़ी।

जब दशमलव अंश अभी तक ज्ञात नहीं थे, महान आर्किमिडीज ने पाई का मान 99.9% की सटीकता के साथ पाया। उन्होंने एक ऐसी विधि की खोज की जो बाद की कई गणनाओं का आधार बन गई, एक वृत्त में खुदा हुआ और उसके चारों ओर नियमित बहुभुजों का वर्णन किया। नतीजतन, आर्किमिडीज ने 22/7 3.142857142857143 के अनुपात के रूप में पाई के मूल्य की गणना की।

चीन में, गणितज्ञ और दरबारी खगोलशास्त्री, ज़ू चोंगज़ी 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। इ। संख्या पाई का अधिक सटीक मान निर्दिष्ट किया, दशमलव बिंदु के बाद सात अंकों की गणना की और 3, 1415926 और 3.1415927 के बीच इसका मान निर्धारित किया। इस डिजिटल सीरीज को जारी रखने में वैज्ञानिकों को 900 साल से ज्यादा का समय लगा।

मध्य युग

प्रसिद्ध भारतीय वैज्ञानिक माधव, जो XIV - XV सदियों के मोड़ पर रहते थे, जो केरल खगोल विज्ञान और गणित स्कूल के संस्थापक बने, इतिहास में पहली बार त्रिकोणमितीय कार्यों के श्रृंखला में विस्तार पर काम करना शुरू किया। सच है, उनकी केवल दो रचनाएँ बची हैं, जबकि अन्य केवल उनके छात्रों के संदर्भों और उद्धरणों के लिए जानी जाती हैं। वैज्ञानिक ग्रंथ "महाज्ञानयान" में, जिसका श्रेय माधव को दिया जाता है, यह संकेत दिया गया है कि पाई संख्या 3.14159265359 है। और ग्रंथ "सदरत्नमाला" में और भी सटीक दशमलव स्थानों के साथ एक संख्या है: 3.14159265358979324। संकेतित संख्याओं में, अंतिम अंक सही मान के अनुरूप नहीं हैं।

15वीं शताब्दी में, समरकंद गणितज्ञ और खगोलशास्त्री अल-काशी ने दशमलव के सोलह स्थानों के साथ पाई की गणना की। उनका परिणाम अगले 250 वर्षों के लिए सबसे सटीक माना जाता था।

इंग्लैंड के गणितज्ञ डब्ल्यू जॉनसन, अक्षर के साथ एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को निर्दिष्ट करने वाले पहले व्यक्तियों में से एक थे। पाई ग्रीक शब्द "περιφέρεια" का पहला अक्षर है - सर्कल। लेकिन यह पद 1736 में अधिक प्रसिद्ध वैज्ञानिक एल। यूलर द्वारा उपयोग किए जाने के बाद ही आम तौर पर स्वीकृत होने में कामयाब रहा।

निष्कर्ष

आधुनिक वैज्ञानिक पीआई के मूल्यों की आगे की गणना पर काम करना जारी रखते हैं। इसके लिए पहले से ही सुपर कंप्यूटर का इस्तेमाल किया जा रहा है। 2011 में, शिगेरू कोंडो के एक वैज्ञानिक ने अमेरिकी छात्र अलेक्जेंडर यी के साथ मिलकर 10 ट्रिलियन अंकों के अनुक्रम की सही गणना की। लेकिन यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि पाई नंबर की खोज किसने की, जिसने सबसे पहले इस समस्या के बारे में सोचा और इस सही मायने में रहस्यमय संख्या की पहली गणना की।

जनवरी 13, 2017

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लाडा प्रियोरा के एक पहिये, शादी की अंगूठी और आपकी बिल्ली के तश्तरी के बीच क्या आम है? बेशक, आप सुंदरता और शैली कहेंगे, लेकिन मैं आपसे बहस करने की हिम्मत करता हूं। पाई!यह एक संख्या है जो सभी मंडलियों, मंडलियों और गोलाई को एकजुट करती है, जिसमें विशेष रूप से, मेरी मां की अंगूठी, और मेरे पिता की पसंदीदा कार का पहिया, और यहां तक ​​​​कि मेरी प्यारी बिल्ली मुर्ज़िक का तश्तरी भी शामिल है। मैं शर्त लगाने के लिए तैयार हूं कि सबसे लोकप्रिय भौतिक और गणितीय स्थिरांक की रैंकिंग में, संख्या Pi निस्संदेह पहली पंक्ति लेगी। लेकिन इसके पीछे क्या है? शायद गणितज्ञों के कुछ भयानक श्राप? आइए इस मुद्दे को समझने की कोशिश करते हैं।

"पाई" नंबर क्या है और यह कहां से आया है?

आधुनिक संख्या पदनाम π (पाई) 1706 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉनसन के लिए धन्यवाद प्रकट हुआ। यह ग्रीक शब्द का पहला अक्षर है περιφέρεια (परिधि, या परिधि). उन लोगों के लिए जो लंबे समय तक गणित से गुजरे हैं, और अतीत के अलावा, हम याद करते हैं कि संख्या पाई एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है। मान एक स्थिरांक है, अर्थात यह किसी भी वृत्त के लिए स्थिर है, चाहे उसकी त्रिज्या कुछ भी हो। इसके बारे में लोग प्राचीन काल से जानते हैं। तो प्राचीन मिस्र में, पाई को 256/81 के अनुपात के बराबर लिया गया था, और वैदिक ग्रंथों में 339/108 का मान दिया गया है, जबकि आर्किमिडीज ने 22/7 के अनुपात का सुझाव दिया था। लेकिन न तो इन और न ही संख्या पाई को व्यक्त करने के कई अन्य तरीकों ने सटीक परिणाम दिया।

यह पता चला कि पाई संख्या क्रमशः पारलौकिक और अपरिमेय है। इसका मतलब है कि इसे एक साधारण अंश के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है। यदि इसे दशमलव के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो दशमलव बिंदु के बाद अंकों का क्रम समय-समय पर दोहराए बिना, अनंत तक पहुंच जाएगा। इस सब का क्या मतलब है? बहुत सरल। क्या आप अपनी पसंद की लड़की का फ़ोन नंबर जानना चाहते हैं? यह निश्चित रूप से पाई के दशमलव बिंदु के बाद अंकों के क्रम में पाया जा सकता है।

फोन यहां देखा जा सकता है

पीआई संख्या 10000 वर्णों तक।

= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

नहीं मिला? फिर देखो।

सामान्य तौर पर, यह न केवल एक फ़ोन नंबर हो सकता है, बल्कि संख्याओं का उपयोग करके एन्कोड की गई कोई भी जानकारी हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम डिजिटल रूप में अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन के सभी कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो उन्हें उनके जन्म से पहले ही लिखने से पहले ही संख्या पाई में संग्रहीत किया गया था। सिद्धांत रूप में, वे अभी भी वहां संग्रहीत हैं। वैसे, गणितज्ञों के श्राप में π भी मौजूद हैं, और केवल गणितज्ञ ही नहीं। एक शब्द में, पाई के पास सब कुछ है, यहां तक ​​​​कि विचार भी हैं जो कल, परसों, एक साल में, या शायद दो में आपके उज्ज्वल सिर पर आएंगे। इस पर विश्वास करना बहुत कठिन है, लेकिन अगर हम इसे मानने का दिखावा भी करते हैं, तो वहां से जानकारी प्राप्त करना और इसे समझना और भी मुश्किल होगा। तो इन नंबरों में जाने के बजाय, अपनी पसंद की लड़की से संपर्क करना और उससे नंबर मांगना आसान हो सकता है? .. लेकिन उन लोगों के लिए जो आसान तरीकों की तलाश नहीं कर रहे हैं, ठीक है, या बस दिलचस्पी है कि पीआई नंबर क्या है, मैं गणना के कई तरीके प्रदान करता हूं। स्वास्थ्य पर भरोसा करें।

पाई का मूल्य क्या है? इसकी गणना के तरीके:

1. प्रायोगिक विधि।यदि पाई किसी वृत्त की परिधि का उसके व्यास का अनुपात है, तो शायद हमारे रहस्यमय स्थिरांक को खोजने का पहला और सबसे स्पष्ट तरीका यह होगा कि सभी मापों को मैन्युअल रूप से लिया जाए और सूत्र π=l/d का उपयोग करके pi की गणना की जाए। जहाँ l वृत्त की परिधि है और d इसका व्यास है। सब कुछ बहुत सरल है, आपको केवल परिधि निर्धारित करने के लिए एक धागे के साथ खुद को बांटने की जरूरत है, व्यास को खोजने के लिए एक शासक, और वास्तव में, धागे की लंबाई, और एक कैलकुलेटर अगर आपको कॉलम में विभाजन के साथ समस्या है . एक सॉस पैन या खीरे का जार एक मापा नमूने के रूप में कार्य कर सकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, मुख्य बात? ताकि आधार एक वृत्त हो।

माना गणना पद्धति सबसे सरल है, लेकिन, दुर्भाग्य से, इसमें दो महत्वपूर्ण कमियां हैं जो परिणामी पाई संख्या की सटीकता को प्रभावित करती हैं। सबसे पहले, माप उपकरणों की त्रुटि (हमारे मामले में, यह एक धागे के साथ एक शासक है), और दूसरी बात, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि जिस सर्कल को हम मापते हैं उसका सही आकार होगा। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि गणित ने हमें की गणना के लिए कई अन्य तरीके दिए हैं, जहां सटीक माप करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

2. लाइबनिज श्रृंखला।कई अनंत श्रृंखलाएं हैं जो आपको बड़ी संख्या में दशमलव स्थानों पर पाई की संख्या की सटीक गणना करने की अनुमति देती हैं। सबसे सरल श्रृंखला में से एक लाइबनिज़ श्रृंखला है। = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) । ..
यह सरल है: हम अंश में 4 के साथ अंश लेते हैं (यह शीर्ष पर एक है) और हर में विषम संख्याओं के अनुक्रम से एक संख्या (यह नीचे की तरफ है), क्रमिक रूप से उन्हें एक दूसरे के साथ जोड़ते और घटाते हैं और पाई नंबर प्राप्त करें। हमारे सरल कार्यों की जितनी अधिक पुनरावृत्तियाँ या दोहराव होंगे, परिणाम उतना ही सटीक होगा। सरल, लेकिन प्रभावी नहीं, वैसे, दस दशमलव स्थानों तक पाई का सटीक मान प्राप्त करने में 500,000 पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। यानी हमें दुर्भाग्यपूर्ण चार को 500,000 बार विभाजित करना होगा, और इसके अलावा, हमें प्राप्त परिणामों को 500,000 गुना घटाना और जोड़ना होगा। कोशिश करना चाहते हैं?

3. नीलकंठ श्रृंखला।आगे लाइबनिज़ के साथ खिलवाड़ करने का समय नहीं है? एक विकल्प है। नीलकंठ श्रृंखला, हालांकि यह थोड़ी अधिक जटिल है, हमें वांछित परिणाम तेजी से प्राप्त करने की अनुमति देती है। = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14)...मुझे लगता है कि यदि आप श्रृंखला के दिए गए प्रारंभिक अंश को ध्यान से देखें, तो सब कुछ स्पष्ट हो जाता है, और टिप्पणियाँ अतिश्योक्तिपूर्ण हैं। इस पर हम और आगे बढ़ते हैं।

4. मोंटे कार्लो विधिपाई की गणना के लिए एक दिलचस्प तरीका मोंटे कार्लो विधि है। ऐसा असाधारण नाम उन्हें मोनाको राज्य में इसी नाम के शहर के सम्मान में मिला। और इसका कारण आकस्मिक है। नहीं, इसे संयोग से नाम नहीं दिया गया था, यह सिर्फ इतना है कि यह विधि यादृच्छिक संख्याओं पर आधारित है, और मोंटे कार्लो कैसीनो रूले पर आने वाली संख्याओं से अधिक यादृच्छिक क्या हो सकता है? पाई की गणना इस पद्धति का एकमात्र अनुप्रयोग नहीं है, क्योंकि पचास के दशक में इसका उपयोग हाइड्रोजन बम की गणना में किया जाता था। लेकिन चलो पीछे नहीं हटते।

आइए बराबर भुजा वाला एक वर्ग लें 2r, और इसमें एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त अंकित करें आर. अब यदि आप एक वर्ग में यादृच्छिक रूप से बिंदु डालते हैं, तो प्रायिकता पीकि एक बिंदु एक वृत्त में फिट बैठता है, वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात है। पी \u003d एस सीआर / एस क्यू \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

अब यहाँ से हम संख्या Pi . को व्यक्त करते हैं =4पी. यह केवल प्रयोगात्मक डेटा प्राप्त करने और सर्कल में हिट के अनुपात के रूप में संभावना पी खोजने के लिए बनी हुई है एन क्रेचौक हिट करने के लिए एन वर्ग. सामान्य तौर पर, गणना सूत्र इस तरह दिखेगा: =4एन करोड़ / एन वर्ग।

मैं यह नोट करना चाहूंगा कि इस पद्धति को लागू करने के लिए, कैसीनो में जाने की आवश्यकता नहीं है, यह किसी भी कम या ज्यादा सभ्य प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है। खैर, परिणामों की सटीकता क्रमशः निर्धारित अंकों की संख्या पर निर्भर करेगी, जितना अधिक, उतना ही सटीक। मैं आपके अच्छे भाग्य की कामना करता हूँ

ताऊ नंबर (निष्कर्ष के बजाय)।

जो लोग गणित से दूर हैं, उन्हें शायद ही पता हो, लेकिन ऐसा हुआ कि पाई का एक भाई है जो उससे दोगुना बड़ा है। यह संख्या ताऊ (τ) है, और यदि पाई व्यास से परिधि का अनुपात है, तो ताऊ उस लंबाई का त्रिज्या से अनुपात है। और आज कुछ गणितज्ञों द्वारा संख्या पाई को छोड़ने और इसे ताऊ से बदलने के प्रस्ताव हैं, क्योंकि यह कई मायनों में अधिक सुविधाजनक है। लेकिन अभी तक ये केवल प्रस्ताव हैं, और जैसा कि लेव डेविडोविच लैंडौ ने कहा: "जब पुराने के समर्थक मर जाते हैं तो एक नया सिद्धांत हावी होने लगता है।"

14 मार्च को अपना जन्मदिन मनाने वाले गणितज्ञों को कुछ समय के लिए उत्सव का एक अतिरिक्त कारण मिला है: यह विशेष दिन (जो अमेरिकी परंपरा के आधार पर 3.14 के रूप में लिखा जाता है) को अंतर्राष्ट्रीय दिवस घोषित किया जाता है। पीआई नंबर- एक गणितीय स्थिरांक जो एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास की लंबाई के अनुपात को व्यक्त करता है: 3, 14159265358979323846 2643383279 ...

एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात की समस्या बहुत पहले उत्पन्न हुई थी (किंवदंती के अनुसार, यह इस संख्या की अपर्याप्त सटीकता थी जिसके कारण बाबेल के टॉवर का निर्माण कभी नहीं हुआ) और लंबे समय तक प्राचीन वैज्ञानिक तीन के बराबर संख्या का इस्तेमाल किया। हालांकि, इस अनुपात की संख्या प्राप्त करने के लिए गणित के साधनों का उपयोग करने वाले पहले आर्किमिडीज थे, जिन्होंने हलकों और बहुभुजों से निपटने का सुझाव दिया था कि "किसी भी सर्कल का उसके व्यास का अनुपात 3 1/7 से कम और 3 से अधिक है। 10/71", इस प्रकार 3.1419 संख्या प्राप्त करना...

वैसे, इस संख्या के वास्तविक प्रशंसक (और कुछ हैं!) अपनी छुट्टी ठीक 1 घंटा 59 मिनट और 26 सेकंड में मनाते हैं - इस संख्या के अंकों की न्यूनतम संख्या के अनुसार: 3.1415926...

भारतीय वैज्ञानिकों ने थोड़ा अलग मूल्य खोजा - 3.162 ... और अरब गणितज्ञ और खगोलशास्त्री मसूद अल-काशी पाई के 16 बिल्कुल सटीक अंकों की गणना करने में कामयाब रहे, जिसके कारण खगोल विज्ञान में एक क्रांति हुई। वैसे, एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के कुख्यात अनुपात को प्रसिद्ध आधुनिक प्रतीक पीआई अंग्रेजी गणितज्ञ डब्ल्यू जॉनसन के हल्के हाथ से केवल 1706 में प्राप्त हुआ था। यह पदनाम अक्षरों का एक प्रकार का संक्षिप्त नाम है जिसके साथ ग्रीक शब्द "परिधि" और "परिधि" शुरू होते हैं। 17वीं शताब्दी में, जर्मन गणितज्ञ लुडोल्फ वान ज़ुलेन ने आर्किमिडीज़ की पद्धति पर भरोसा करते हुए दस वर्षों तक संख्या pi को बत्तीसवें दशमलव स्थान तक लाने की कोशिश की, और उनकी दृढ़ता को इस तथ्य से पुरस्कृत किया गया कि संख्या pi के साथ दशमलव स्थानों की इस संख्या को "लुडोल्फ संख्या" कहा जाता है।

इस पौराणिक संख्या के लिए धन्यवाद, सबसे लंबे गणितीय विवादों में से एक को पूरा किया गया था: सर्कल को चुकता करने की सबसे प्रसिद्ध शास्त्रीय समस्या को हल करने की असंभवता का प्रमाण प्राप्त किया गया था। गणितज्ञ ए। लेज़ेनड्रे और एफ। लिंडमैन ने तर्कहीनता की पुष्टि प्राप्त की (एक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व करने की असंभवता, जिसका अंश एक पूर्णांक है, और हर एक प्राकृतिक संख्या है) और पारगमन (सरल समीकरणों का उपयोग करके गैर-कम्प्यूटेबिलिटी) संख्या पीआई, जिससे यह निम्नानुसार है कि कोई भी केवल एक कंपास और सीधी किनारे का उपयोग करके एक खंड बनाने के लिए मजबूर नहीं कर सकता है, जिसकी लंबाई किसी दिए गए सर्कल की लंबाई के बराबर होगी।

गणितीय विधियों में सुधार ने बाद के वैज्ञानिकों को और भी अधिक सटीकता के साथ संख्या pi की गणना करने की अनुमति दी। यूलर, जिसके लिए इस संख्या का नाम आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने लगा, "पाया" 153 सही दशमलव स्थान, शैंक्स - 527, आदि। हम आधुनिक गणितज्ञों के बारे में क्या कह सकते हैं जिन्होंने कंप्यूटर की मदद से आसानी से एक सौ अरब दशमलव स्थानों की गणना की! जापानी वैज्ञानिकों ने, 12411 ट्रिलियन संकेतों की सटीकता के साथ संख्या पाई प्राप्त करने के बाद, तुरंत खुद को गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में पाया: इस रिकॉर्ड को स्थापित करने के लिए, उन्हें न केवल एक सुपर-शक्तिशाली कंप्यूटर, बल्कि 400 घंटे के समय की भी आवश्यकता थी! चूंकि पीआई एक अनंत गणितीय अवधि है, इसलिए प्रत्येक गणितज्ञ के पास जापानी रिकॉर्ड तोड़ने का मौका होता है।

संख्या pi की विशेषताओं में से एक यह है कि इसके दशमलव भाग (दशमलव बिंदु के बाद) में संख्याएँ दोहराई नहीं जाती हैं, जो कुछ वैज्ञानिकों के अनुसार, इस बात का प्रमाण है कि संख्या pi एक उचित (!) संख्याओं में लिखी गई अराजकता है। इसके परिणामस्वरूप, अंकों का कोई भी क्रम जो केवल हमारे सिर में प्रकट हो सकता है, पाई के दशमलव भाग के अंकों में पाया जा सकता है।

अगर कोई सोचता है कि इस संख्या के अनंत दशमलव स्थानों की गणना "पागल" गणितज्ञों के लिए एक विशेष मनोरंजन है, तो वह गलत है: न केवल सांसारिक, बल्कि ब्रह्मांडीय निर्माण की सटीकता पाई की सटीकता पर निर्भर करती है।