Kampas tarp plokštumų. Plokštumų statmenumas


Šis straipsnis yra apie kampą tarp plokštumų ir kaip jį rasti. Pirma, pateikiamas kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas ir pateikiama grafinė iliustracija. Po to analizuojamas kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo koordinačių metodu principas ir gaunama formulė, leidžianti apskaičiuoti kampą tarp susikertančių plokštumų naudojant žinomas šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates. Pabaigoje parodyta detalūs sprendimai būdingos užduotys.

Puslapio naršymas.

Kampas tarp plokštumų – apibrėžimas.

Pateiksime argumentus, kurie leis palaipsniui priartėti prie kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo.

Leiskite mums pateikti dvi susikertančias plokštumas ir . Šios plokštumos susikerta išilgai tiesės, kurią žymime raide c. Sukonstruokime plokštumą, einančią per tiesės c tašką M ir statmeną tiesei c. Tokiu atveju plokštuma susikirs su plokštumais ir. Tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta, pažymėkime kaip a, o tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta, kaip b. Akivaizdu, kad tiesės a ir b susikerta taške M.


Nesunku parodyti, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b nepriklauso nuo taško M vietos tiesėje c, per kurią eina plokštuma.

Sukonstruokime plokštumą, statmeną tiesei c ir skirtingą nuo plokštumos. Plokštumą kerta plokštumos ir išilgai tiesių linijų, kurias atitinkamai žymime kaip a 1 ir b 1.

Iš plokštumų konstravimo metodo išplaukia, kad tiesės a ir b yra statmenos tiesei c, o tiesės a 1 ir b 1 yra statmenos tiesei c. Kadangi tiesės a ir a 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, tada jos yra lygiagrečios. Panašiai tiesės b ir b 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, todėl yra lygiagrečios. Taigi galima atlikti lygiagretų plokštumos perkėlimą į plokštumą, kurioje tiesė a 1 sutampa su tiese a, o tiesė b su tiese b 1. Todėl kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a 1 ir b 1 lygus kampui tarp susikertančių tiesių a ir b.


Tai įrodo, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b, esančių susikertančiose plokštumose, nepriklauso nuo taško M, per kurį eina plokštuma, pasirinkimo. Todėl logiška šį kampą laikyti kampu tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Dabar galite išreikšti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir.

Apibrėžimas.

Kampas tarp dviejų plokštumų, susikertančių tiesia linija ir- tai kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a ir b, išilgai kurių plokštumos ir susikerta su plokštuma, statmena tiesei c.


Kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas gali būti pateiktas šiek tiek kitaip. Jei tiesėje c, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkite tašką M ir per jį nubrėžkite tieses a ir b, statmenas tiesei c ir gulinčias atitinkamai plokštumose, tada kampas tarp tiesių a ir b yra kampas tarp plokštumų ir. Dažniausiai praktikoje atliekamos būtent tokios konstrukcijos, kad būtų gautas kampas tarp plokštumų.

Kadangi kampas tarp susikertančių tiesių neviršija , iš pateikto apibrėžimo išplaukia, kad kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų laipsnio matas išreiškiamas realus skaičius iš intervalo . Šiuo atveju vadinamos susikertančios plokštumos statmenai, jei kampas tarp jų yra devyniasdešimt laipsnių. Kampas tarp lygiagrečios plokštumos arba jie jo visai nenustato, arba laiko lygų nuliui.

Kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymas.

Dažniausiai, ieškant kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, pirmiausia reikia atlikti papildomas konstrukcijas, kad pamatytumėte susikertančias tieses, kurių kampas lygus norimam kampui, o po to šį kampą susieti su pirminiais duomenimis naudojant lygybės testus, panašumą. testai, kosinuso teorema arba kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimai. Geometrijos eigoje vidurinę mokyklą kyla panašių problemų.

Kaip pavyzdį pateikiame 2012 m. Vieningo valstybinio matematikos egzamino C2 uždavinio sprendimą (sąlyga buvo tyčia pakeista, bet tai neturi įtakos sprendimo principui). Jame tereikėjo rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Pirma, padarykime piešinį.

Atlikime papildomas konstrukcijas, kad „pamatytų“ kampas tarp plokštumų.

Pirmiausia apibrėžkime tiesę, išilgai kurios susikerta plokštumos ABC ir BED 1. Taškas B yra vienas iš jų bendrų taškų. Raskime antrą bendrą šių plokštumų tašką. Tiesės DA ir D 1 E yra toje pačioje plokštumoje ADD 1 ir nėra lygiagrečios, todėl susikerta. Kita vertus, tiesė DA yra plokštumoje ABC, o tiesė D 1 E yra plokštumoje BED 1, todėl tiesių DA ir D 1 E susikirtimo taškas bus bendras plokštumų ABC ir BED 1 taškas. Taigi, tęskime eilutes DA ir D 1 E iki jų sankirtos, pažymėdami jų susikirtimo tašką su raide F. Tada BF yra tiesi linija, išilgai kurios susikerta plokštumos ABC ir BED 1.

Belieka sukonstruoti dvi tieses, esančias atitinkamai plokštumose ABC ir BED 1, einančias per vieną tašką tiesėje BF ir statmenas tiesei BF - kampas tarp šių linijų pagal apibrėžimą bus lygus norimam kampui tarp lėktuvai ABC ir BED 1. Padarykime tai.

Taškas A yra taško E projekcija į plokštumą ABC. Nubrėžkime tiesę, kertančią tiesę BF stačiu kampu taške M. Tada tiesė AM yra tiesės EM projekcija į plokštumą ABC ir pagal trijų statmenų teoremą.

Taigi reikalingas kampas tarp plokštumų ABC ir BED 1 lygus .

Šio kampo (taigi ir paties kampo) sinusą, kosinusą arba liestinę galime nustatyti iš stačiakampis trikampis AEM, jei žinome jo dviejų kraštinių ilgius. Iš sąlygos nesunku rasti ilgį AE: kadangi taškas E dalija kraštinę AA 1 santykiu 4 su 3, skaičiuojant nuo taško A, o kraštinės AA 1 ilgis yra 7, tai AE = 4. Raskime ilgį AM.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačią trikampį ABF su stačiu kampu A, kur AM yra aukštis. Pagal sąlygą AB = 2. Kraštinės AF ilgį galime rasti pagal stačiųjų trikampių DD 1 F ir AEF panašumą:

Naudodami Pitagoro teoremą randame iš trikampio ABF. Ilgį AM randame per trikampio ABF plotą: vienoje pusėje trikampio ABF plotas lygus , kitoje pusėje , kur .

Taigi iš dešiniojo trikampio AEM turime .

Tada reikalingas kampas tarp plokštumų ABC ir BED 1 yra lygus (atkreipkite dėmesį, kad ).

Atsakymas:

Kai kuriais atvejais norint rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, patogu nustatyti Oxyz ir naudoti koordinačių metodą. Sustokime čia.

Iškelkime užduotį: raskite kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir . Norimą kampą pažymėkime kaip .

Darysime prielaidą, kad duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz žinome susikertančių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates ir arba turime galimybę jas rasti. Leiskite yra normalusis plokštumos vektorius, ir yra normalusis plokštumos vektorius. Parodysime, kaip rasti kampą tarp susikertančių plokštumų ir per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates.

Tiesią liniją, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkime kaip c. Per tašką M tiesėje c nubrėžiame tiesei c statmeną plokštumą. Plokštuma kerta plokštumas ir išilgai tiesių a ir b atitinkamai tiesės a ir b susikerta taške M. Pagal apibrėžimą kampas tarp susikertančių plokštumų ir yra lygus kampui tarp susikertančių tiesių a ir b.

Nubraižykime normaliuosius vektorius ir plokštumas bei nuo taško M plokštumoje. Šiuo atveju vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei a, o vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei b. Taigi plokštumoje vektorius yra normalusis tiesės a vektorius, yra tiesės b normalusis vektorius.


Straipsnyje apie kampą tarp susikertančių tiesių gavome formulę, kuri leidžia apskaičiuoti kampo tarp susikertančių tiesių kosinusą naudojant normaliųjų vektorių koordinates. Taigi kampo tarp tiesių a ir b kosinusas ir, atitinkamai, kampo tarp susikertančių plokštumų kosinusas ir randama pagal formulę, kur Ir yra plokštumų ir atitinkamai normalieji vektoriai. Tada jis apskaičiuojamas kaip .

Išspręskime ankstesnį pavyzdį naudodami koordinačių metodą.

Pavyzdys.

Duotas stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kuriame AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ir taškas E dalija kraštinę AA 1 santykiu nuo 4 iki 3, skaičiuojant nuo taško A. Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir BED 1.

Sprendimas.

Nuo šonų stačiakampis gretasienis jei viena viršūnė statmena poromis, tai stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz patogu įvesti taip: pradžią sulygiuoti su viršūne C, o koordinačių ašis Ox, Oy ir Oz nukreipti atitinkamai išilgai šonų CD, CB ir CC 1 .

Kampą tarp ABC ir BED 1 plokštumų galima rasti per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates, naudojant formulę , kur ir yra atitinkamai ABC ir BED 1 plokštumų normalieji vektoriai. Nustatykime normaliųjų vektorių koordinates.

Kampo tarp plokštumų matas yra smailusis kampas, sudarytas iš dviejų šiose plokštumose esančių tiesių, nubrėžtų statmenai jų susikirtimo linijai.

Konstravimo algoritmas

  1. Iš savavališko taško K į kiekvieną nurodytą plokštumą nubrėžiami statmenys.
  2. Sukant aplink lygio liniją, nustatomas kampas γ° su viršūne taške K.
  3. Apskaičiuokite kampą tarp plokštumų ϕ° = 180 – γ°, jei γ° > 90°. Jei γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Paveiksle parodytas atvejis, kai plokštumos α ir β pateiktos pėdsakais. Visos reikalingos konstrukcijos buvo atliktos pagal algoritmą ir aprašytos žemiau.

Sprendimas

  1. Savavališkoje brėžinio vietoje pažymėkite tašką K. Nuo jo atitinkamai nuleidžiame statmenis m ir n į plokštumas α ir β. Projekcijų m ir n kryptis yra tokia: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
  2. Mes nustatome tikrąjį dydį ∠γ° tarp eilučių m ir n. Norėdami tai padaryti, aplink frontalinę f kampo plokštumą su viršūne K pasukame į padėtį, lygiagrečią priekinei projekcijos plokštumai. Taško K sukimosi spindulys R lygus stačiojo trikampio O""K""K 0, kurio kraštinė yra K""K 0 = y K – y O, hipotenuzės dydžiui.
  3. Norimas kampas yra ϕ° = ∠γ°, nes ∠γ° yra smailusis.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas problemos sprendimas, kai reikia rasti kampą γ° tarp plokštumų α ir β, nurodytą atitinkamai lygiagrečiomis ir susikertančiomis tiesėmis.

Sprendimas

  1. Rodyklėmis nurodyta tvarka nustatome horizontalių h 1, h 2 ir plokštumoms α ir β priklausančių frontų f 1, f 2 projekcijų kryptį. Iš savavališko taško K kvadrate. α ir β praleidžiame statmenus e ir k. Šiuo atveju e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 ir k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
  2. Tarp eilučių e ir k apibrėžiame ∠γ°. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite horizontalią liniją h 3 ir aplink ją pasukime tašką K į padėtį K 1, kurioje △CKD taps lygiagreti horizontaliai plokštumai ir atsispindės joje natūraliu dydžiu - △C"K" 1 D ". Sukimosi centro O" projekcija yra nubrėžtoje į h" 3, statmenai K"O". Spindulys R nustatomas iš stačiojo trikampio O"K"K 0, kurio kraštinė K"K 0 = Z O – Z K.
  3. Norimos reikšmės reikšmė yra ∠ϕ° = ∠γ°, nes kampas γ° yra smailus.

\(\blacktriangleright\) Dvikampis kampas yra kampas, sudarytas iš dviejų pusplokštumų ir tiesės \(a\), kuri yra jų bendra riba.

\(\blacktriangleright\) Norėdami rasti kampą tarp plokštumų \(\xi\) ir \(\pi\) , turite rasti tiesinį kampą (ir aštrus arba tiesioginis) dvikampis kampas, sudarytas iš plokštumų \(\xi\) ir \(\pi\) :

1 veiksmas: tegul \(\xi\cap\pi=a\) (plokštumų susikirtimo linija). Plokštumoje \(\xi\) pažymime savavališką tašką \(F\) ir nubrėžiame \(FA\perp a\) ;

2 veiksmas: atlikite \(FG\perp \pi\) ;

3 žingsnis: pagal TTP (\(FG\) – statmena, \(FA\) – įstrižinė, \(AG\) – projekcija) turime: \(AG\perp a\) ;

4 veiksmas: kampas \(\kampas FAG\) vadinamas dvikampio kampo, kurį sudaro plokštumos \(\xi\) ir \(\pi\) , tiesiniu kampu.

Atkreipkite dėmesį, kad trikampis \(AG\) yra stačiakampis.
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu sukonstruota plokštuma \(AFG\) yra statmena abiem plokštumoms \(\xi\) ir \(\pi\) . Todėl galime pasakyti kitaip: kampas tarp plokštumų\(\xi\) ir \(\pi\) yra kampas tarp dviejų susikertančių tiesių \(c\in \xi\) ir \(b\in\pi\), sudarančių plokštumą, statmeną ir \(\xi\ ) ir \(\pi\) .

1 užduotis #2875

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Dana keturkampė piramidė, kurio visos briaunos lygios, o pagrindas yra kvadratas. Raskite \(6\cos \alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp gretimų šoninių paviršių.

Tegul \(SABCD\) yra duotoji piramidė (\(S\) yra viršūnė), kurios briaunos lygios \(a\) . Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Raskime kampą tarp paviršių \(SAD\) ir \(SCD\) .

Atlikime \(CH\perp SD\) . Nes \(\triangle SAD=\triangle SCD\), tada \(AH\) taip pat bus \(\triangle SAD\) aukštis. Todėl pagal apibrėžimą \(\angle AHC=\alpha\) yra dvikampio kampo tiesinis kampas tarp paviršių \(SAD\) ir \(SCD\) .
Kadangi pagrindas yra kvadratas, tada \(AC=a\sqrt2\) . Taip pat atkreipkite dėmesį, kad \(CH=AH\) yra lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra \(a\), aukštis, todėl \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Tada pagal kosinuso teoremą iš \(\trikampis AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Atsakymas: -2

2 užduotis #2876

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Plokštumos \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikerta kampu, kurio kosinusas lygus \(0,2\). Plokštumos \(\pi_2\) ir \(\pi_3\) susikerta stačiu kampu, o plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikirtimo linija yra lygiagreti plokštumos \(\pi_2\) ir \(\ pi_3\) . Raskite kampo tarp plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_3\) sinusą.

Tegul \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikirtimo linija yra tiesi \(a\), o \(\pi_2\) ir \(\pi_3\) susikirtimo linija yra tiesė linija \(b\), o susikirtimo linija \(\pi_3\) ir \(\pi_1\) – tiesė \(c\) . Kadangi \(a\parallel b\) , tada \(c\parallel a\parallel b\) (pagal teoremą iš teorinės nuorodos skyriaus „Geometrija erdvėje“ \(\rightarrow\) „Įvadas į stereometriją, paralelizmas“).

Pažymėkime taškus \(A\in a, B\in b\), kad \(AB\perp a, AB\perp b\) (tai įmanoma, nes \(a\parallel b\) ). Pažymėkime \(C\in c\), kad \(BC\perp c\) , taigi \(BC\perp b\) . Tada \(AC\perp c\) ir \(AC\perp a\) .
Iš tiesų, kadangi \(AB\perp b, BC\perp b\) , tada \(b\) yra statmena plokštumai \(ABC\) . Kadangi \(c\parallel a\parallel b\), tai tiesės \(a\) ir \(c\) taip pat yra statmenos plokštumai \(ABC\), taigi bet kuriai tiesei iš šios plokštumos, ypač , eilutė \ (AC\) .

Iš to išplaukia \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\kampas (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Pasirodo, \(\trikampis ABC\) yra stačiakampis, o tai reiškia \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Atsakymas: 0,2

3 užduotis #2877

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duotos tiesės \(a, b, c\), susikertančios viename taške, o kampas tarp bet kurių dviejų yra lygus \(60^\circ\) . Raskite \(\cos^(-1)\alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp plokštumos, kurią sudaro tiesės \(a\) ir \(c\), ir plokštumos, kurią sudaro tiesės \( b\ ) ir \(c\) . Atsakymą pateikite laipsniais.

Tegul tiesės susikerta taške \(O\) . Kadangi kampas tarp bet kurių dviejų yra lygus \(60^\circ\), visos trys tiesės negali būti toje pačioje plokštumoje. Pažymėkime tašką \(A\) tiesėje \(a\) ir nubrėžkime \(AB\perp b\) ir \(AC\perp c\) . Tada \(\trikampis AOB=\trikampis AOC\) kaip stačiakampis išilgai hipotenuzės ir smailiojo kampo. Todėl \(OB=OC\) ir \(AB=AC\) .
Atlikime \(AH\perp (BOC)\) . Tada pagal teoremą apie tris statmenus \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Kadangi \(AB=AC\) , tada \(\trikampis AHB=\trikampis AHC\) kaip stačiakampis išilgai hipotenuzės ir kojos. Todėl \(HB=HC\) . Tai reiškia, kad \(OH\) ​​yra kampo \(BOC\) pusiausvyra (nes taškas \(H) yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių).

Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu mes taip pat sukūrėme dvisienio kampo, kurį sudaro plokštuma, sudaryta iš tiesių \(a\) ir \(c\), linijinį kampą ir plokštumą, kurią sudaro tiesės \(b\) ir \(c \) . Tai kampas \(ACH\) .

Raskime šį kampą. Kadangi tašką \(A\) pasirinkome savavališkai, parinksime jį taip, kad \(OA=2\) . Tada stačiakampiu \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Kadangi \(OH\) ​​​​on pusiausvyra, tada \(\angle HOC=30^\circ\) , todėl stačiakampyje \(\triangle HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Tada iš stačiakampio \(\trikampis ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Atsakymas: 3

4 užduotis #2910

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Plokštumos \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikerta išilgai tiesės \(l\), kurioje yra taškai \(M\) ir \(N\). Atkarpos \(MA\) ir \(MB\) yra statmenos tiesei \(l\) ir yra atitinkamai \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) plokštumose ir \(MN = 15) \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Raskite \(3\cos\alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) .

Trikampis \(AMN\) yra stačiakampis, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), iš kur \ Trikampis \(BMN\) yra stačiakampis, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), iš kurio \Rašome trikampio \(AMB\) kosinuso teoremą: \ Tada \ Kadangi kampas \(\alpha\) tarp plokštumų yra smailus kampas, o \(\kampas AMB\) buvo bukas, tada \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Tada \

Atsakymas: 1.25

5 užduotis #2911

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) yra gretasienis, \(ABCD\) yra kvadratas, kurio kraštinė yra \(a\), taškas \(M\) yra statmens, numesto iš taško \(A_1\) į plokštumą ((ABCD)\) , be to, \(M\) yra kvadrato \(ABCD\) įstrižainių susikirtimo taškas. Yra žinoma, kad \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Raskite kampą tarp plokštumų \((ABCD)\) ir \((AA_1B_1B)\) . Atsakymą pateikite laipsniais.

Pastatykime \(MN\) statmeną \(AB\), kaip parodyta paveikslėlyje.


Kadangi \(ABCD\) yra kvadratas su kraštinėmis \(a\) ir \(MN\perp AB\) ir \(BC\perp AB\) , tada \(MN\parallel BC\) . Kadangi \(M\) yra kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(M\) yra \(AC\) vidurio taškas, todėl \(MN\) yra vidurio linija Ir \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) yra \(A_1N\) projekcija į plokštumą \((ABCD)\), o \(MN\) yra statmena \(AB\), tada pagal trijų statmenų teoremą \ (A_1N\) yra statmena \(AB \), o kampas tarp plokštumų \((ABCD)\) ir \((AA_1B_1B)\) yra \(\kampas A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\kampas A_1NM = 60^(\circ)\]

Atsakymas: 60

6 užduotis #1854

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Kvadrate \(ABCD\) : \(O\) – įstrižainių susikirtimo taškas; \(S\) – nėra kvadrato plokštumoje, \(SO \perp ABC\) . Raskite kampą tarp plokštumų \(ASD\) ir \(ABC\), jei \(SO = 5\) ir \(AB = 10\) .

Statieji trikampiai \(\triangle SAO\) ir \(\triangle SDO\) yra lygūs iš dviejų kraštinių, o kampas tarp jų (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , nes \(O\) – kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(SO\) – bendroji pusė) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\trikampis ASD\) – lygiašonis. Taškas \(K\) yra \(AD\) vidurys, tada \(SK\) yra trikampio aukštis \(\triangle ASD\), o \(OK\) yra trikampio aukštis \( AOD\) \(\ Rightarrow\) plokštuma \(SOK\) yra statmena plokštumoms \(ASD\) ir \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – tiesinis kampas, lygus norimam dvikampis kampas.


\(\trikampis SKO\) : \(Gerai = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – lygiašonis stačiakampis trikampis \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Atsakymas: 45

7 užduotis #1855

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Kvadrate \(ABCD\) : \(O\) – įstrižainių susikirtimo taškas; \(S\) – nėra kvadrato plokštumoje, \(SO \perp ABC\) . Raskite kampą tarp plokštumų \(ASD\) ir \(BSC\), jei \(SO = 5\) ir \(AB = 10\) .

Statieji trikampiai \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ir \(\triangle SOC\) yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų (\(SO \perp ABC) \) \(\rodyklė dešinėn\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), nes \(O\) – kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(SO\) – bendroji pusė) \(\Rodyklė dešinėn\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \trikampis ASD\) ir \(\trikampis BSC\) yra lygiašoniai. Taškas \(K\) yra \(AD\) vidurys, tada \(SK\) yra trikampio aukštis \(\triangle ASD\), o \(OK\) yra trikampio aukštis \( AOD\) \(\ Rodyklė dešinėn\) plokštuma \(SOK\) yra statmena plokštumai \(ASD\) . Taškas \(L\) yra \(BC\) vidurys, tada \(SL\) yra trikampio aukštis \(\triangle BSC\), o \(OL\) yra trikampio aukštis \( BOC\) \(\ Rodyklė dešinėn\) plokštuma \(SOL\) (dar žinoma kaip plokštuma \(SOK\)) yra statmena plokštumai \(BSC\) . Taigi gauname, kad \(\kampas KSL\) yra tiesinis kampas, lygus norimam dvikampio kampui.


\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rodyklė dešinėn\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – vienodi aukščiai lygiašoniai trikampiai, kurią galima rasti naudojant Pitagoro teoremą: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Galima pastebėti, kad \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) trikampiui \(\trikampis KSL\) atvirkštinė Pitagoro teorema galioja \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – stačiakampis trikampis \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .

Atsakymas: 90

Mokinių paruošimas laikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą, kaip taisyklė, prasideda kartojant pagrindines formules, įskaitant tas, kurios leidžia nustatyti kampą tarp plokštumų. Nepaisant to, kad ši geometrijos dalis yra pakankamai išsamiai aprašyta mokyklos mokymo programa, daugeliui absolventų reikia pakartoti pagrindinę medžiagą. Suprasdami, kaip rasti kampą tarp plokštumų, gimnazistai galės greitai apskaičiuoti teisingą atsakymą spręsdami problemą ir tikėtis, kad gaus neblogus balus išlaikę vieningą valstybinį egzaminą.

Pagrindiniai niuansai

    Siekiant užtikrinti, kad klausimas, kaip rasti dvitaškį kampą, nesukeltų sunkumų, rekomenduojame vadovautis sprendimo algoritmu, kuris padės susidoroti su vieningo valstybinio egzamino užduotimis.

    Pirmiausia turite nustatyti tiesią liniją, išilgai kurios plokštumos susikerta.

    Tada reikia pasirinkti tašką šioje tiesėje ir nubrėžti jam du statmenis.

    Kitas žingsnis yra surasti trigonometrinė funkcija dvikampis kampas, suformuotas statmenų. Patogiausia tai padaryti naudojant gautą trikampį, kurio dalis yra kampas.

    Atsakymas bus kampo reikšmė arba jo trigonometrinė funkcija.

Pasiruošimas egzamino testui su Shkolkovo yra jūsų sėkmės raktas

Dieną prieš pamokas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą Daugelis moksleivių susiduria su apibrėžimų ir formulių, leidžiančių apskaičiuoti kampą tarp 2 plokštumų, problema. Mokyklinis vadovėlis ne visada būna po ranka tiksliai tada, kai reikia. Ir norint rasti reikiamas formules ir jų teisingo taikymo pavyzdžius, įskaitant kampo tarp plokštumų nustatymą internete, kartais reikia praleisti daug laiko.

Matematikos portalas „Shkolkovo“ siūlo naujas požiūris pasirengti valstybiniam egzaminui. Užsiėmimai mūsų svetainėje padės mokiniams patiems atpažinti sunkiausius skyrius ir užpildyti žinių spragas.

Viską paruošėme ir aiškiai pristatėme reikalingos medžiagos. Pagrindiniai apibrėžimai o formulės pateiktos skyriuje „Teorinė informacija“.

Norint geriau suprasti medžiagą, taip pat siūlome atlikti atitinkamus pratimus. Didelis pasirinkimas Pavyzdžiui, įvairaus sudėtingumo užduotys pateikiamos skyriuje „Katalogas“. Visose užduotyse yra išsamus teisingo atsakymo paieškos algoritmas. Svetainėje esantis pratimų sąrašas nuolat pildomas ir atnaujinamas.

Praktikuodami sprendžiant problemas, kuriose reikia rasti kampą tarp dviejų plokštumų, mokiniai turi galimybę išsaugoti bet kurią užduotį internete kaip „Mėgstamiausius“. Dėl to jie galės grįžti prie jo reikiamą skaičių kartų ir aptarti jo sprendimo eigą su mokyklos mokytoju ar mokytoju.

Teorema

Kampas tarp plokštumų nepriklauso nuo pjovimo plokštumos pasirinkimo.

Įrodymas.

Tegul yra dvi plokštumos α ir β, kurios susikerta išilgai tiesės c. Nubrėžkime plokštumą γ statmeną tiesei c. Tada plokštuma γ kerta plokštumas α ir β išilgai tiesių a ir b atitinkamai. Kampas tarp plokštumų α ir β lygus kampui tarp tiesių a ir b.
Paimkime kitą pjovimo plokštumą γ`, statmeną c. Tada plokštuma γ` kerta plokštumas α ir β išilgai tiesių a` ir b` atitinkamai.
Lygiagrečiai transliuojant, plokštumos γ susikirtimo su tiese c taškas eis į plokštumos γ` susikirtimo tašką su tiesia linija c. šiuo atveju, pagal lygiagrečio vertimo savybę, eilutė a pateks į eilutę a`, b - į eilutę b. todėl kampai tarp tiesių a ir b, a` ir b` yra lygūs. Teorema įrodyta.

Šis straipsnis yra apie kampą tarp plokštumų ir kaip jį rasti. Pirma, pateikiamas kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas ir pateikiama grafinė iliustracija. Po to analizuojamas kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo koordinačių metodu principas ir gaunama formulė, leidžianti apskaičiuoti kampą tarp susikertančių plokštumų naudojant žinomas šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates. Pabaigoje pateikiami išsamūs tipinių problemų sprendimai.

Puslapio naršymas.

Kampas tarp plokštumų – apibrėžimas.

Pateikdami medžiagą naudosime straipsniuose pateiktus apibrėžimus ir sąvokas: plokštuma erdvėje ir linija erdvėje.

Pateiksime argumentus, kurie leis palaipsniui priartėti prie kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo.

Leiskite mums pateikti dvi susikertančias plokštumas ir . Šios plokštumos susikerta išilgai tiesės, kurią žymime raide c. Sukonstruokime plokštumą, kertančią tašką M tiesioginis c ir statmenai tiesei c. Tokiu atveju plokštuma susikirs su plokštumais ir. Pažymime tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta ir kaip a, ir tiesi linija, išilgai kurios plokštumos susikerta ir kaip b. Aišku tiesiai a Ir b susikerta taške M.

Nesunku parodyti, kad kampas tarp susikertančių linijų a Ir b nepriklauso nuo taško vietos M tiesioje linijoje c pro kurią skrenda lėktuvas.

Sukonstruokime tiesei statmeną plokštumą c ir skiriasi nuo lėktuvo. Plokštumą kerta plokštumos ir išilgai tiesių linijų, kurias žymime a 1 Ir b 1 atitinkamai.

Iš plokštumų konstravimo metodo išplaukia, kad tiesios linijos a Ir b statmenai tiesei c, ir tiesiai a 1 Ir b 1 statmenai tiesei c. Kadangi tiesiai a Ir a 1 c, tada jie yra lygiagrečiai. Lygiai taip pat tiesiai b Ir b 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, todėl jie yra lygiagretūs. Taigi, galima atlikti lygiagretų plokštumos perkėlimą į plokštumą, kurioje tiesi linija a 1 sutampa su tiesia linija a, ir tiesi linija b su tiesia linija b 1. Todėl kampas tarp dviejų susikertančių linijų a 1 Ir b 1 lygus kampui tarp susikertančių tiesių a Ir b.

Tai įrodo, kad kampas tarp susikertančių linijų a Ir b, esantis susikertančiose plokštumose ir , nepriklauso nuo taško pasirinkimo M pro kurią skrenda lėktuvas. Todėl logiška šį kampą laikyti kampu tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Dabar galite išreikšti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir.

Apibrėžimas.

Kampas tarp dviejų susikertančių tiesių c lėktuvai ir– kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a Ir b, išilgai kurios plokštumos ir susikerta su tiesei statmena plokštuma c.

Kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas gali būti pateiktas šiek tiek kitaip. Jei tiesia linija Su, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkite tašką M ir per jį nubrėžkite tiesias linijas A Ir b, statmena linijai c ir gulėti plokštumose ir atitinkamai tada kampas tarp tiesių A Ir b reiškia kampą tarp plokštumų ir . Dažniausiai praktikoje atliekamos būtent tokios konstrukcijos, kad būtų gautas kampas tarp plokštumų.

Kadangi kampas tarp susikertančių tiesių neviršija , iš pateikto apibrėžimo matyti, kad kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų laipsnio matas išreiškiamas realiuoju skaičiumi iš intervalo. Šiuo atveju vadinamos susikertančios plokštumos statmenai, jei kampas tarp jų yra devyniasdešimt laipsnių. Kampas tarp lygiagrečių plokštumų arba visai nenustatomas, arba laikomas lygiu nuliui.

Puslapio viršuje

Kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymas.

Dažniausiai, ieškant kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, pirmiausia reikia atlikti papildomas konstrukcijas, kad pamatytumėte susikertančias tieses, kurių kampas lygus norimam kampui, o po to šį kampą susieti su pirminiais duomenimis naudojant lygybės testus, panašumą. testai, kosinuso teorema arba kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimai. Vidurinės mokyklos geometrijos kursuose iškyla panašių problemų.

Kaip pavyzdį pateikiame 2012 m. Vieningo valstybinio matematikos egzamino C2 uždavinio sprendimą (sąlyga buvo tyčia pakeista, bet tai neturi įtakos sprendimo principui). Jame tereikėjo rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kuriame AB=3, AD=2, AA 1 =7 ir laikotarpis E dalija pusę AA 1 dėl 4 Į 3 , skaičiuojant nuo taško A ABC Ir LOVA 1.

Pirma, padarykime piešinį.

Atlikime papildomas konstrukcijas, kad „pamatytų“ kampas tarp plokštumų.

Pirma, apibrėžkime tiesią liniją, išilgai kurios plokštumos susikerta ABC Ir LOVA 1. Taškas IN– tai vienas iš jų bendrų dalykų. Raskime antrą bendrą šių plokštumų tašką. Tiesioginis D.A. Ir D 1 E gulėti toje pačioje plokštumoje PRIDĖTI 1, ir jie nėra lygiagrečiai, bet todėl susikerta. Kita vertus, tiesiai D.A. guli plokštumoje ABC, ir tiesi linija D 1 E– lėktuve LOVA 1, taigi, tiesių susikirtimo taškas D.A. Ir D 1 E bus bendras plokštumų taškas ABC Ir LOVA 1. Taigi tęskime tiesiai D.A. Ir D 1 E prieš jiems susikertant, jų susikirtimo tašką pažymime raide F. Tada B.F.– tiesi linija, išilgai kurios plokštumos susikerta ABC Ir LOVA 1.

Belieka sukonstruoti dvi tiesias linijas, esančias plokštumose ABC Ir LOVA 1 atitinkamai einantis per vieną linijos tašką B.F. ir statmenai tiesei B.F., - kampas tarp šių tiesių pagal apibrėžimą bus lygus norimam kampui tarp plokštumų ABC Ir LOVA 1. Padarykime tai.

Taškas A yra taško projekcija Eį lėktuvą ABC. Nubrėžkite liniją, kertančią liniją stačiu kampu VF taške M. Tada tiesiai AM yra linijos projekcija EMį lėktuvą ABC, o pagal trijų statmenų teoremą.

Taigi, norimas kampas tarp plokštumų ABC Ir LOVA 1 lygus .

Šio kampo sinusą, kosinusą arba liestinę (taigi ir patį kampą) galime nustatyti iš stačiojo trikampio AEM, jei žinome jo dviejų kraštinių ilgius. Iš būklės nesunku rasti ilgį AE: nuo taško E dalija pusę AA 1 dėl 4 Į 3 , skaičiuojant nuo taško A, ir šono ilgis AA 1 lygus 7 , Tai AE=4. Raskime kitą ilgį AM.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį ABF su stačiu kampu A, Kur AM yra aukštis. Pagal sąlygą AB=2. Šono ilgis AF galime rasti iš stačiųjų trikampių panašumo DD 1F Ir AEF:

Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio ABF randame. Ilgis AM rasti per trikampio plotą ABF: vienoje pusėje trikampio plotas ABF lygus Kita vertus, iš kur .

Taigi iš stačiojo trikampio AEM mes turime.

Tada norimas kampas tarp plokštumų ABC Ir LOVA 1 yra lygus (atkreipkite dėmesį, kad ).

Kai kuriais atvejais norint rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, patogu nurodyti stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz ir naudoti koordinačių metodą. Sustokime čia.

Iškelkime užduotį: raskite kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir . Norimą kampą pažymėkime kaip .

Darysime prielaidą, kad tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyzžinome susikertančių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates ir arba turime galimybę jas rasti. Leisti būti normalus plokštumos vektorius ir tegul būti normalus plokštumos vektorius. Parodysime, kaip rasti kampą tarp susikertančių plokštumų ir per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates.

Pažymime tiesę, išilgai kurios plokštumos ir susikerta kaip c. Per tašką M tiesioje linijoje c nubrėžkite tiesei statmeną plokštumą c. Plokštuma kerta plokštumas ir išilgai tiesių a Ir b atitinkamai tiesiai a Ir b susikerta taške M. Pagal apibrėžimą kampas tarp susikertančių plokštumų ir yra lygus kampui tarp susikertančių linijų a Ir b.

Atidėkime nuo taško M plokštumoje normalieji vektoriai ir plokštumos ir . Šiuo atveju vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei a, o vektorius yra tiesėje, kuri yra statmena tiesei b. Taigi plokštumoje vektorius yra normalusis linijos vektorius a, - normaliosios linijos vektorius b.

Straipsnyje apie kampą tarp susikertančių tiesių gavome formulę, kuri leidžia apskaičiuoti kampo tarp susikertančių tiesių kosinusą naudojant normaliųjų vektorių koordinates. Taigi kampo tarp eilučių kosinusas a Ir b, ir dėl to kampo tarp susikertančių plokštumų kosinusas ir randama pagal formulę , kur ir yra atitinkamai plokštumų ir normalieji vektoriai. Tada kampas tarp susikertančių plokštumų apskaičiuojamas kaip.

Išspręskime ankstesnį pavyzdį naudodami koordinačių metodą.

Duotas stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kuriame AB=3, AD=2, AA 1 =7 ir laikotarpis E dalija pusę AA 1 dėl 4 Į 3 , skaičiuojant nuo taško A. Raskite kampą tarp plokštumų ABC Ir LOVA 1.

Kadangi stačiakampio gretasienio kraštinės vienoje viršūnėje yra statmenos poromis, patogu įvesti stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz taip: pradžia lygiuojama su viršumi SU, ir koordinačių ašys Jautis, Oy Ir Ozas nukreipti į šonus CD, C.B. Ir CC 1 atitinkamai.

Kampas tarp plokštumų ABC Ir LOVA 1 galima rasti per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates naudojant formulę , kur ir yra plokštumų normalieji vektoriai ABC Ir LOVA 1 atitinkamai. Nustatykime normaliųjų vektorių koordinates.

Nuo lėktuvo ABC sutampa su koordinačių plokštuma Oxy, tada jo normalusis vektorius yra koordinačių vektorius, tai yra, .

Kaip normalus plokštumos vektorius LOVA 1 galima priimti vektorinis produktas vektoriai ir , savo ruožtu, vektorių koordinates ir galima rasti per taškų koordinates IN, E Ir D 1(kaip parašyta straipsnyje, vektoriaus koordinatės per jo pradžios ir pabaigos taškų koordinates), o taškų koordinates IN, E Ir D 1įvestoje koordinačių sistemoje iš uždavinio sąlygų nustatome.

Akivaizdu,. Kadangi , randame iš taškų koordinačių (jei reikia, žr. atkarpos skirstymą į tam tikrą santykį). Tada irOxyz lygtys ir .

Kai mokėmės bendroji lygtis tiesioginė forma , tada išsiaiškinome, kad koeficientai A, IN Ir SU vaizduoja atitinkamas plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates. Taigi, ir yra normalūs plokštumų ir atitinkamai vektoriai.

Norėdami apskaičiuoti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, formulėje pakeičiame plokštumų normaliųjų vektorių koordinates:

Tada . Kadangi kampas tarp dviejų susikertančių plokštumų nėra bukas, tai naudojant pagrindinį trigonometrinė tapatybė raskite kampo sinusą: .

Apsvarstykite dvi plokštumas r 1 ir r 2 su normaliaisiais vektoriais n 1 ir n 2. Kampas φ tarp plokštumų r 1 ir r 2 išreiškiamas kampu ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) taip: jei ψ < 90°, tada φ = ψ (202 pav., a); jei ψ > 90°, tai ψ = 180° - ψ (202.6 pav.).

Akivaizdu, kad bet kuriuo atveju lygybė yra tiesa

cos φ = |cos ψ|

Kadangi kampo tarp nulinių vektorių kosinusas lygus skaliarinis produktasšių vektorių, padalytų iš jų ilgių sandaugos, turime

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

ir todėl kampo φ kosinusas tarp plokštumų r 1 ir r 2 galima apskaičiuoti naudojant formulę

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Jei plokštumos pateiktos bendrosiomis lygtimis

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ir A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0,

tada jų normaliųjų vektorių galime imti vektorius n 1 = (A1; B1; C1) ir n 2 = (A 2; B 2; C 2).

Užrašę dešinę (1) formulės pusę koordinatėmis, gauname

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

1 užduotis. Apskaičiuokite kampą tarp plokštumų

X - √2 y + z- 2 = 0 ir x+ √2 y - z + 13 = 0.

IN šiuo atveju A 1 = 1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 = 1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Iš (2) formulės gauname

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Todėl kampas tarp šių plokštumų yra 60°.

Plokštumos su normaliaisiais vektoriais n 1 ir n 2:

a) yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai vektoriai n 1 ir n 2 yra kolineariniai;

b) statmenas tada ir tik tada, kai vektoriai n 1 ir n 2 yra statmenos, t.y. kai n 1 n 2 = 0.

Iš čia gauname būtinas ir pakankamas sąlygas dviejų plokštumų, pateiktų bendromis lygtimis, lygiagretumui ir statmenumui.

Į lėktuvą

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ir A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

buvo lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad lygybės galiotų

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3) $$

Jei kuris nors iš koeficientų A 2 , B 2 , C 2 lygus nuliui, daroma prielaida, kad atitinkamas koeficientas A 1 , B 1 , C 1 yra lygus nuliui

Bent vienos iš šių dviejų lygybių gedimas reiškia, kad plokštumos nėra lygiagrečios, tai yra, jos susikerta.

Dėl plokštumų statmenumo

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ir A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

būtina ir pakanka, kad būtų galima lygybė

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

2 užduotis. Tarp šių lėktuvų porų:

2X + 5adresu + 7z- 1 = 0 ir 3 X - 4adresu + 2z = 0,

adresu - 3z+ 1 = 0 ir 2 adresu - 6z + 5 = 0,

4X + 2adresu - 4z+ 1 = 0 ir 2 X + adresu + 2z + 3 = 0

nurodyti lygiagrečiai arba statmenai. Pirmajai lėktuvų porai

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

y., statmenumo sąlyga tenkinama. Plokštumos statmenos.

Antrajai lėktuvų porai

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), nes \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

o koeficientai A 1 ir A 2 lygūs nuliui. Todėl antrosios poros plokštumos lygiagrečios. Dėl trečios poros

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), nes \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

ir A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, t.y. trečiosios poros plokštumos nėra nei lygiagrečios, nei statmenos.