Pratimas.
Raskite x reikšmę at.
Sprendimas.
Funkcijos argumento reikšmės, kuriai esant ji lygi bet kuriai reikšmei, radimas reiškia, kad reikia nustatyti, kurių argumentų sinuso reikšmė bus lygiai tokia pati, kaip nurodyta sąlygoje.
Tokiu atveju turime išsiaiškinti, kokiomis vertėmis sinuso vertė bus lygi 1/2. Tai galima padaryti keliais būdais.
Pavyzdžiui, naudokite, kad nustatytumėte, kokiomis x reikšmėmis sinuso funkcija bus lygi 1/2.
Kitas būdas yra naudoti. Leiskite jums priminti, kad sinusų reikšmės yra Oy ašyje.
Dažniausias būdas yra nurodyti, ypač kai kalbama apie tokias standartines šios funkcijos reikšmes kaip 1/2.
Visais atvejais nepamirškite apie vieną svarbiausių sinuso savybių – jo periodą.
Lentelėje raskime sinuso reikšmę 1/2 ir pažiūrėkime, kurie argumentai ją atitinka. Argumentai, kurie mus domina, yra Pi / 6 ir 5Pi / 6.
Užrašykime visas šaknis, kurios tenkina pateiktą lygtį. Norėdami tai padaryti, užrašome mus dominantį nežinomą argumentą x ir vieną iš argumento reikšmių, gautų iš lentelės, tai yra Pi / 6. Parašykime jį, atsižvelgdami į sinusinį periodą , visos argumento reikšmės:
Paimkime antrąją reikšmę ir atlikime tuos pačius veiksmus, kaip ir ankstesniu atveju:
Visas pradinės lygties sprendimas būtų toks: 
ir 
q gali būti bet koks sveikasis skaičius.
| BD | - apskritimo, kurio centras yra taške A, lanko ilgis.
α yra kampas, išreikštas radianais.
Tangentas ( tg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp stačiojo trikampio hipotenuzės ir kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui | iki gretimos kojos ilgio | AB | ...
Kotangentas ( ctg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp stačiojo trikampio hipotenuzės ir kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB | iki priešingos kojos ilgio | BC | ...
Tangentas
Kur n- visas.
Vakarų literatūroje tangentas žymimas taip:
.
;
;
.
Liestinės funkcijos grafikas, y = tg x
Kotangentas
Kur n- visas.
Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat priimami šie pavadinimai:
;
;
.
Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x
Tangentinės ir kotangentinės savybės
Periodiškumas
Funkcijos y = tg x ir y = ctg x periodinis su π periodu.
Paritetas
Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra nelyginės.
Domenai ir vertybės, didėja, mažėja
Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra ištisinės savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- visas).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Apibrėžimo ir tęstinumo sritis | ||
| Vertybių diapazonas | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Kylantis | - | |
| Mažėjantis | - | |
| Kraštutinumai | - | - |
| Nuliai, y = 0 | ||
| Sankirtos taškai su y ašimi, x = 0 | y = 0 | - |
Formulės
Išraiškos sinuso ir kosinuso terminais
;
;
;
;
;
Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės
Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti
Tangentų sandauga
Tangentų sumos ir skirtumo formulė
Šioje lentelėje parodytos kai kurių argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės. 
Išraiškos kompleksiniais skaičiais
Išraiškos pagal hiperbolines funkcijas
;
;
Dariniai
; .
.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento formulių išvedimas>>>; kotangentui>>>
Integralai
Serijos išplėtimai
Norėdami gauti x laipsnių liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų laipsnių eilutės plėtimosi terminų. nuodėmė x ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni iš kitų,. Taip gaunamos tokios formulės.
Prie .
adresu .
kur B n- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
kur .
Arba pagal Laplaso formulę: 
Atvirkštinės funkcijos
Tangento ir kotangento atvirkštinės funkcijos yra atitinkamai lanko tangentas ir lanko kotangentas.
Arktangentas, arktg
, kur n- visas.
Arkotangentas, arcctg
, kur n- visas.
Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir technikos institucijų studentams, „Lan“, 2009 m.
G. Kornas, „Matematikos vadovas mokslininkams ir inžinieriams“, 2012 m.
Šiame puslapyje rasite visas pagrindines trigonometrines formules, kurios padės išspręsti daugybę pratimų, labai supaprastindamos pačią išraišką.
Trigonometrinės formulės yra matematinės lygybės trigonometrinėms funkcijoms, kurios atliekamos visoms galiojančioms argumento reikšmėms.
Formulės nustato ryšį tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės, kotangento.
Kampo sinusas yra vienetinio apskritimo taško (ordinatės) y koordinatė. Kampo kosinusas yra taško x koordinatė (abscisė).
Tangentas ir kotangentas yra atitinkamai sinuso ir kosinuso santykis ir atvirkščiai.
"sin \ \ alfa, \ cos \ \ alfa".
`tg \ \ alfa = \ frac (sin \ \ alfa) (cos \ \ alfa), `\ alfa \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n, \ n \ in Z`
`ctg \ \ alfa = \ frac (cos \ \ alfa) (sin \ \ alfa), `\ alfa \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ in Z`
Ir du, kurie naudojami rečiau – sekantas, kosekantas. Jie reiškia santykį iš 1 su kosinusu ir sinusu.
`sec \ \ alfa = \ frac (1) (cos \ \ alfa),` `\ alfa \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n, \ n \ in Z`
`cosec \ \ alfa = \ frac (1) (sin \ \ alfa), `\ alfa \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ in Z`
Iš trigonometrinių funkcijų apibrėžimų galite pamatyti, kokius ženklus jos turi kiekviename ketvirtyje. Funkcijos ženklas priklauso tik nuo to, kuriame ketvirtyje yra argumentas.
Kai argumento ženklas pasikeičia iš „+“ į „-“, tik kosinuso funkcija nekeičia savo reikšmės. Jis vadinamas net. Jo grafikas yra simetriškas ordinačių ašiai.
Likusios funkcijos (sinusas, liestinė, kotangentas) yra nelyginės. Pakeitus argumento ženklą iš „+“ į „-“, jų reikšmė taip pat pasikeičia į neigiamą. Jų siužetai yra simetriški kilmei.
`sin (- \ alfa) = - sin \ \ alfa`
„cos (- \ alfa) = cos \ \ alfa“.
„tg (- \ alfa) = - tg \ \ alfa“.
„ctg (- \ alfa) = - ctg \ \ alfa“.
Pagrindinės trigonometrinės tapatybės
Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra formulės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo trigonometrinių funkcijų (`sin \ \ alfa, \ cos \ \ alpha, \ tg \ \ alpha, \ ctg \ \ alpha`) ir leidžiančios rasti kiekviena iš šių funkcijų per bet kurią kitą žinomą.
"sin ^ 2 \ alfa + cos ^ 2 \ alfa = 1".
`tg \ \ alfa \ cdot ctg \ \ alfa = 1, \ \ alfa \ ne \ frac (\ pi n) 2, \ n \ in Z`
`1 + tg ^ 2 \ alfa = \ frac 1 (cos ^ 2 \ alfa) = sek ^ 2 \ alfa,` `\ alfa \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n, \ n \ in Z`
`1 + ctg ^ 2 \ alfa = \ frac 1 (sin ^ 2 \ alfa) = cosec ^ 2 \ alfa,` `\ alfa \ ne \ pi n, \ n \ in Z`
Trigonometrinių funkcijų kampų sumos ir skirtumo formulės
Argumentų sudėties ir atėmimo formulės išreiškia dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrines funkcijas šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis.
`sin (\ alfa + \ beta) =` `sin \ \ alfa \ cos \ \ beta + cos \ \ alfa \ sin \ \ beta
`sin (\ alfa- \ beta) =` `sin \ \ alfa \ cos \ \ beta-cos \ \ alfa \ sin \ \ beta
`cos (\ alfa + \ beta) =` `cos \ \ alfa \ cos \ \ beta-sin \ \ alfa \ sin \ \ beta
`cos (\ alfa- \ beta) =` `cos \ \ alfa \ cos \ \ beta + sin \ \ alfa \ sin \ \ beta
`tg (\ alfa + \ beta) = \ frac (tg \ \ alfa + tg \ \ beta) (1-tg \ \ alfa \ tg \ \ beta)
`tg (\ alfa- \ beta) = \ frac (tg \ \ alfa-tg \ \ beta) (1 + tg \ \ alfa \ tg \ \ beta)
`ctg (\ alfa + \ beta) = \ frac (ctg \ \ alfa \ ctg \ \ beta-1) (ctg \ \ beta + ctg \ \ alfa)
`ctg (\ alfa- \ beta) = \ frac (ctg \ \ alfa \ ctg \ \ beta + 1) (ctg \ \ beta-ctg \ \ alfa)
Dvigubo kampo formulės
`sin \ 2 \ alfa = 2 \ sin \ \ alfa \ cos \ \ alpha =` `\ frac (2 \ tg \ \ alfa) (1 + tg ^ 2 \ alfa) = \ frac (2 \ ctg \ \ alfa) ) (1 + ctg ^ 2 \ alfa) = `` \ frac 2 (tg \ \ alfa + ctg \ \ alfa) `
`cos \ 2 \ alfa = cos ^ 2 \ alfa-sin ^ 2 \ alfa =` `1-2 \ sin ^ 2 \ alfa = 2 \ cos ^ 2 \ alfa-1 =` `\ frac (1-tg ^ 2 \ alfa) (1 + tg ^ 2 \ alfa) = \ frac (ctg ^ 2 \ alfa-1) (ctg ^ 2 \ alfa + 1) = `` \ frac (ctg \ \ alfa-tg \ \ alfa) (ctg \ \ alfa + tg \ \ alfa) `
`tg \ 2 \ alfa = \ frac (2 \ tg \ \ alfa) (1-tg ^ 2 \ alfa) =` `\ frac (2 \ ctg \ \ alfa) (ctg ^ 2 \ alfa-1) =` `\ frac 2 (\ ctg \ \ alfa-tg \ \ alfa)
`ctg \ 2 \ alfa = \ frac (ctg ^ 2 \ alfa-1) (2 \ ctg \ \ alpha) =` `\ frac (\ ctg \ \ alfa-tg \ \ alfa) 2
Trijų kampų formulės
"sin \ 3 \ alfa = 3 \ sin \ \ \ alfa-4sin ^ 3 \ alfa"
„cos \ 3 \ alfa = 4cos ^ 3 \ alfa-3 \ cos \ \ alfa“
`tg \ 3 \ alfa = \ frac (3 \ tg \ \ alfa-tg ^ 3 \ alfa) (1–3 \ tg ^ 2 \ alfa)
`ctg \ 3 \ alfa = \ frac (ctg ^ 3 \ alfa-3 \ ctg \ \ alfa) (3 \ ctg ^ 2 \ alfa-1)
Pusės kampo formulės
`sin \ \ frac \ alfa 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1-cos \ \ alfa) 2)
`cos \ \ frac \ alfa 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1 + cos \ \ alfa) 2)
`tg \ \ frac \ alfa 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1-cos \ \ alfa) (1 + cos \ \ alfa)) =` `\ frac (sin \ \ alfa) (1 + cos \ \ alfa) = \ frac (1-cos \ \ alfa) (sin \ \ alfa) `
`ctg \ \ frac \ alfa 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1 + cos \ \ alfa) (1-cos \ \ alfa)) =` `\ frac (sin \ \ alfa) (1-cos \ \ alfa) = \ frac (1 + cos \ \ alfa) (sin \ \ alfa) `
Pusinių, dvigubų ir trigubų argumentų formulės išreiškia šių argumentų funkcijas `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` (` \ frac (\ alfa) 2, \ 2 \ alfa, \ 3 \ alfa, ... ` ) per šių funkcijų argumentą „\ alfa“.
Jų išvestį galima gauti iš ankstesnės grupės (argumentų pridėjimas ir atėmimas). Pavyzdžiui, dvigubo kampo tapatybes galima lengvai gauti pakeitus „\ beta“ į „ \ alfa“.
Laipsnio mažinimo formulės
Trigonometrinių funkcijų kvadratų (kubų ir kt.) formulės leidžia pereiti nuo 2,3, ... laipsnių į pirmojo laipsnio trigonometrines funkcijas, tačiau keli kampai (`\ alfa, \ 3 \ alfa, \ ... ` arba `2 \ alfa, \ 4 \ alfa, \ ... `).
"sin ^ 2 \ alfa = \ frac (1-cos \ 2 \ alfa) 2, " (sin ^ 2 \ frac \ alfa 2 = \ frac (1-cos \ \ alfa) 2)"
"cos ^ 2 \ alfa = \ frac (1 + cos \ 2 \ alfa) 2, " (cos ^ 2 \ frac \ alfa 2 = \ frac (1 + cos \ \ alfa) 2)"
`sin ^ 3 \ alfa = \ frac (3sin \ \ alfa-sin \ 3 \ alfa) 4
„cos ^ 3 \ alfa = \ frac (3 cos \ \ alfa + cos \ 3 \ alfa) 4“
„sin ^ 4 \ alfa = \ frac (3–4 cos \ 2 \ alfa + cos \ 4 \ alfa) 8“
„cos ^ 4 \ alfa = \ frac (3 + 4 cos \ 2 \ alfa + cos \ 4 \ alfa) 8
Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės
Formulės – tai skirtingų argumentų trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo transformacijos į sandaugą.
`sin \ \ alfa + sin \ \ beta =` `2 \ sin \ frac (\ alfa + \ beta) 2 \ cos \ frac (\ alfa- \ beta) 2
`sin \ \ alfa-sin \ \ beta =` `2 \ cos \ frac (\ alfa + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ alfa- \ beta) 2
`cos \ \ alfa + cos \ \ beta =` `2 \ cos \ frac (\ alfa + \ beta) 2 \ cos \ frac (\ alfa- \ beta) 2
`cos \ \ alfa-cos \ \ beta =` `-2 \ sin \ frac (\ alfa + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ alfa- \ beta) 2 =` `2 \ sin \ frac (\ alfa + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ beta- \ alfa) 2
`tg \ \ alfa \ pm tg \ \ beta = \ frac (sin (\ alfa \ pm \ beta)) (cos \ \ alfa \ cos \ \ beta)
`ctg \ \ alfa \ pm ctg \ \ beta = \ frac (sin (\ beta \ pm \ alfa)) (sin \ \ alfa \ sin \ \ beta)
`tg \ \ alfa \ pm ctg \ \ beta =` `\ pm \ frac (cos (\ alfa \ mp \ beta)) (cos \ \ alfa \ sin \ \ beta)
Čia vieno argumento funkcijų pridėjimas ir atėmimas paverčiamas sandauga.
`cos \ \ alfa + sin \ \ alfa = \ sqrt (2) \ cos (\ frac (\ pi) 4- \ alfa)
"cos \ \ alfa-sin \ \ alfa = \ sqrt (2) \ sin (\ frac (\ pi) 4- \ alfa)"
`tg \ \ alfa + ctg \ \ alfa = 2 \ cosec \ 2 \ alfa; `tg \ \ alfa-ctg \ \ alfa = -2 \ ctg \ 2 \ alfa
Šios formulės paverčia vieneto ir trigonometrinės funkcijos sumą ir skirtumą sandauga.
`1 + cos \ \ alfa = 2 \ cos ^ 2 \ frac (\ alfa) 2
`1-cos \ \ alfa = 2 \ sin ^ 2 \ frac (\ alfa) 2
"1 + sin \ \ alfa = 2 \ cos ^ 2 (\ frac (\ pi) 4- \ frac (\ alfa) 2)"
"1-sin \ \ alfa = 2 \ sin ^ 2 (\ frac (\ pi) 4 - \ frac (\ alfa) 2)"
`1 \ pm tg \ \ alfa = \ frac (sin (\ frac (\ pi) 4 \ pm \ alfa)) (cos \ frac (\ pi) 4 \ cos \ \ alfa) =` `\ frac (\ sqrt (2) sin (\ frac (\ pi) 4 \ pm \ alfa)) (cos \ \ alfa)
`1 \ pm tg \ \ alfa \ tg \ \ beta = \ frac (cos (\ alfa \ mp \ beta)) (cos \ \ alfa \ cos \ \ beta);` `\ ctg \ \ alfa \ ctg \ \ beta \ pm 1 = \ frac (cos (\ alfa \ mp \ beta)) (sin \ \ alfa \ sin \ \ beta)
Funkcijų sandaugų konvertavimo formulės
Formulės, skirtos trigonometrinių funkcijų sandaugai su argumentais „\ alfa“ ir „ \ beta“ konvertuoti į šių argumentų sumą (skirtumą).
`sin \ \ alfa \ sin \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alfa - \ beta) -cos (\ alfa + \ beta)) (2)
`sin \ alfa \ cos \ beta =` `\ frac (sin (\ alfa - \ beta) + sin (\ alfa + \ beta)) (2)
`cos \ \ alfa \ cos \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alfa - \ beta) + cos (\ alfa + \ beta)) (2)
`tg \ \ alfa \ tg \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alfa - \ beta) -cos (\ alfa + \ beta)) (cos (\ alfa - \ beta) + cos (\ alfa + \ beta)) = `` \ frac (tg \ \ alfa + tg \ \ beta) (ctg \ \ alfa + ctg \ \ beta) `
`ctg \ \ alfa \ ctg \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alfa - \ beta) + cos (\ alfa + \ beta)) (cos (\ alfa - \ beta) -cos (\ alfa + \ beta)) = `` \ frac (ctg \ \ alfa + ctg \ \ beta) (tg \ \ alfa + tg \ \ beta) `
`tg \ \ alfa \ ctg \ \ beta =` `\ frac (sin (\ alfa - \ beta) + sin (\ alfa + \ beta)) (sin (\ alfa + \ beta) -sin (\ alfa - \ beta))“.
Bendrasis trigonometrinis pakeitimas
Šios formulės išreiškia trigonometrines funkcijas pusės kampo liestine.
`sin \ \ alfa = \ frac (2tg \ frac (\ alfa) (2)) (1 + tg ^ (2) \ frac (\ alfa) (2)),` `\ alfa \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ in Z`
`cos \ \ alfa = \ frac (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alfa) (2)) (1 + tg ^ (2) \ frac (\ alfa) (2)),` `\ alfa \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ in Z`
`tg \ \ alfa = \ frac (2tg \ frac (\ alfa) (2)) (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alfa) (2)),` `\ alfa \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ in Z, `` \ alfa \ ne \ frac (\ pi) (2) + \ pi n, n \ in Z`
`ctg \ \ alfa = \ frac (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alfa) (2)) (2tg \ frac (\ alfa) (2)),` `\ alfa \ ne \ pi n, n \ in Z, `` \ alfa \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`
Liejimo formulės
Liejimo formules galima gauti naudojant tokias trigonometrinių funkcijų savybes kaip periodiškumas, simetrija, savybė pasislinkti tam tikru kampu. Jie leidžia savavališko kampo funkcijas konvertuoti į funkcijas, kurių kampas yra nuo 0 iki 90 laipsnių.
Jei kampas (`\ frac (\ pi) 2 \ pm \ alpha`) arba (` 90 ^ \ circ \ pm \ alfa`):
"sin (\ frac (\ pi) 2 - \ alfa) = cos \ \ alfa;" "sin (\ frac (\ pi) 2 + \ alfa) = cos \ \ alfa"
"cos (\ frac (\ pi) 2 - \ alfa) = sin \ \ alfa;" "cos (\ frac (\ pi) 2 + \ alfa) = - sin \ \ alfa"
`tg (\ frac (\ pi) 2 - \ alfa) = ctg \ \ alfa; `tg (\ frac (\ pi) 2 + \ alfa) = - ctg \ \ alfa
"ctg (\ frac (\ pi) 2 - \ alfa) = tg \ \ alfa; " ctg (\ frac (\ pi) 2 + \ alfa) = - tg \ \ alfa"
Jei kampas (`\ pi \ pm \ alfa`) arba (` 180 ^ \ circ \ pm \ alfa`):
`sin (\ pi - \ alfa) = sin \ \ alfa;` `sin (\ pi + \ alfa) = - sin \ \ alfa
"cos (\ pi - \ alfa) = - cos \ \ alfa;" "cos (\ pi + \ alfa) = - cos \ \ alfa"
`tg (\ pi - \ alfa) = - tg \ \ alfa; `tg (\ pi + \ alfa) = tg \ \ alfa
"ctg (\ pi - \ alfa) = - ctg \ \ alfa;" "ctg (\ pi + \ alfa) = ctg \ \ alfa"
Jei kampas (`\ frac (3 \ pi) 2 \ pm \ alpha`) arba (` 270 ^ \ circ \ pm \ alfa`):
`sin (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alfa) = - cos \ \ alfa;` `sin (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alfa) = - cos \ \ alfa
"cos (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alfa) = - sin \ \ alfa;" "cos (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alfa) = sin \ \ alfa"
`tg (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alfa) = ctg \ \ alfa; `tg (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alfa) = - ctg \ \ alfa
`ctg (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alfa) = tg \ \ alfa;` `ctg (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alfa) = - tg \ \ alfa
Kampui (`2 \ pi \ pm \ alfa`) arba (` 360 ^ \ circ \ pm \ alfa`):
"sin (2 \ pi - \ alfa) = - nuodėmė \ \ alfa; " nuodėmė (2 \ pi + \ alfa) = nuodėmė \ \ alfa"
"cos (2 \ pi - \ alfa) = cos \ \ alfa;" "cos (2 \ pi + \ alfa) = cos \ \ alfa"
"tg (2 \ pi - \ alfa) = - tg \ \ alfa; " tg (2 \ pi + \ alfa) = tg \ \ alfa"
"ctg (2 \ pi - \ alfa) = - ctg \ \ alfa;" "ctg (2 \ pi + \ alfa) = ctg \ \ alfa"
Vienų trigonometrinių funkcijų išraiška kitomis
`sin \ \ alfa = \ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alfa) =` `\ frac (tg \ \ alfa) (\ pm \ sqrt (1 + tg ^ 2 \ alfa)) = \ frac 1 ( \ pm \ sqrt (1 + ctg ^ 2 \ alfa))
`cos \ \ alfa = \ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alfa) =` `\ frac 1 (\ pm \ sqrt (1 + tg ^ 2 \ alfa)) = \ frac (ctg \ \ alfa) ( \ pm \ sqrt (1 + ctg ^ 2 \ alfa))
`tg \ \ alfa = \ frac (sin \ \ alfa) (\ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alfa)) =` `\ frac (\ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alfa)) ( cos \ \ alfa) = \ frac 1 (ctg \ \ alfa) `
`ctg \ \ alfa = \ frac (\ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alfa)) (sin \ \ alfa) =` `\ frac (cos \ \ alfa) (\ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alfa)) = \ frac 1 (tg \ \ alfa) `
Trigonometrija pažodžiui verčiama kaip „trikampių matavimas“. Ji pradeda mokytis mokykloje, o išsamiau tęsia universitetuose. Todėl reikalingos pagrindinės trigonometrijos formulės, pradedant nuo 10 klasės, taip pat norint išlaikyti egzaminą. Jie žymi ryšius tarp funkcijų, o kadangi šių ryšių yra daug, yra daug ir pačių formulių. Visus juos prisiminti nelengva, o ir nebūtina – prireikus galite visus parodyti.
Trigonometrinės formulės naudojamos integraliniame skaičiavime, taip pat trigonometriniuose supaprastinimuose, skaičiavimuose, transformacijose.
Sinuso reikšmės yra įtrauktos į intervalą [-1; 1], ty -1 ≤ sin α ≤ 1. Todėl, jei | a | > 1, tada lygtis sin x = a neturi šaknų. Pavyzdžiui, lygtis sin x = 2 neturi šaknų.
Pereikime prie kai kurių užduočių.
Išspręskite lygtį sin x = 1/2.
Sprendimas.
Atkreipkite dėmesį, kad sin x yra vienetinio apskritimo taško ordinatė, kuri gaunama pasukus tašką P (1; 0) kampu x aplink pradžios tašką.
Ordinatės, lygios ½, yra dviejuose apskritimo taškuose M 1 ir M 2.
Kadangi 1/2 = sin π / 6, taškas M 1 gaunamas iš taško P (1; 0), pasukus kampu x 1 = π / 6, taip pat kampais x = π / 6 + 2πk, kur k = +/- 1, +/- 2, ...
Taškas М 2 gaunamas iš taško Р (1; 0) dėl sukimosi kampu х 2 = 5π / 6, taip pat per kampus х = 5π / 6 + 2πk, kur k = +/- 1, + /- 2, ... , t.y. kampuose х = π - π / 6 + 2πk, kur k = +/- 1, +/- 2,….
Taigi visas lygties sin x = 1/2 šaknis galima rasti pagal formules x = π / 6 + 2πk, x = π - π / 6 + 2πk, kur k € Z.
Šios formulės gali būti sujungtos į vieną: x = (-1) n π / 6 + πn, kur n € Z (1).
Išties, jei n yra lyginis skaičius, t.y. n = 2k, tai iš (1) formulės gauname х = π / 6 + 2πk, o jei n yra nelyginis skaičius, t.y. n = 2k + 1, tada iš (1) formulės gauname х = π - π / 6 + 2πk.
Atsakymas. х = (-1) n π / 6 + πn, kur n € Z.
Išspręskite lygtį sin x = -1/2.
Sprendimas.
Ordinatėje -1/2 yra du vienetinio apskritimo taškai M 1 ir M 2, kur x 1 = -π / 6, x 2 = -5π / 6. Todėl visas lygties sin x = -1/2 šaknis galima rasti pagal formules x = -π / 6 + 2πk, x = -5π / 6 + 2πk, k € Z.
Šias formules galime sujungti į vieną: x = (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Iš tiesų, jei n = 2k, tai pagal formulę (2) gauname x = -π / 6 + 2πk, o jei n = 2k - 1, tai pagal (2) formulę randame x = -5π / 6 + 2πk.
Atsakymas. x = (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Taigi kiekviena iš lygčių sin x = 1/2 ir sin x = -1/2 turi begalinį šaknų skaičių.
Intervale -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 kiekviena iš šių lygčių turi tik vieną šaknį:
x 1 = π / 6 yra lygties sin x = 1/2 šaknis, o x 1 = -π / 6 yra lygties sin x = -1/2 šaknis.
Skaičius π / 6 vadinamas skaičiaus 1/2 arcsinusu ir rašomas: arcsin 1/2 = π / 6; skaičius -π / 6 vadinamas skaičiaus -1/2 arcsinusu ir rašomas: arcsin (-1/2) = -π / 6.
Apskritai lygtis sin x = a, kur -1 ≤ a ≤ 1, intervale -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 turi tik vieną šaknį. Jei a ≥ 0, tada šaknis yra intervale; jeigu< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Taigi skaičiaus a arcsinusas € [–1; 1] toks skaičius vadinamas € [–π / 2; π / 2], kurio sinusas lygus a.
arcsin а = α, jei sin α = а ir -π / 2 ≤ х ≤ π / 2 (3).
Pavyzdžiui, arcsin √2 / 2 = π / 4, nes sin π / 4 = √2 / 2 ir - π / 2 ≤ π / 4 ≤ π / 2;
arcsin (-√3 / 2) = -π / 3, nes sin (-π / 3) = -√3 / 2 ir - π / 2 ≤ 
- π / 3 ≤ π / 2.
Panašiai kaip tai buvo daroma sprendžiant 1 ir 2 uždavinius, galima parodyti, kad lygties šaknys sin x = a, kur | a | ≤ 1, išreiškiami formule
х = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).
Taip pat galime įrodyti, kad už bet kurį € [-1; 1] formulė arcsin (-a) = -arcsin a galioja.
Iš (4) formulės išplaukia, kad lygties šaknys
sin x = a, kai a = 0, a = 1, a = -1, galima rasti naudojant paprastesnes formules:
sin х = 0 х = πn, n € Z (5)
sin x = 1 x = π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x = -1 x = -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Trigonometrijoje yra daug formulių.
Mechaniškai juos įsiminti labai sunku, beveik neįmanoma. Klasėse daugelis moksleivių ir studentų naudoja spaudinius ant vadovėlių ir sąsiuvinių lapelių, plakatų ant sienų, lovelių ir galiausiai. O kaip su egzaminu?
Tačiau jei atidžiau pažvelgsite į šias formules, pamatysite, kad jos visos yra tarpusavyje susijusios ir turi tam tikrą simetriją. Išanalizuokime jas, atsižvelgdami į trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir savybes, siekdami nustatyti minimumą, kurį tikrai verta mokytis mintinai.
I grupė. Pagrindinės tapatybės
sin 2 α + cos 2 α = 1;
tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;
tgα · ctgα = 1;
1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α = _____ 1 nuodėmė 2 α.
Šioje grupėje yra paprasčiausios ir populiariausios formulės. Dauguma mokinių juos žino. Bet jei vis dar yra sunkumų, norėdami prisiminti pirmąsias tris formules, mintyse įsivaizduokite stačiakampį trikampį, kurio hipotenuzė yra lygi vienetui. Tada jo kojos bus lygios atitinkamai sinα pagal sinuso apibrėžimą (priešingos kojos santykis su hipotenuze) ir cosα pagal kosinuso apibrėžimą (gretimos kojos ir hipotenuzės santykis).
Pirmoji formulė yra Pitagoro teorema tokiam trikampiui - kojelių kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui (1 2 = 1), antroji ir trečioji yra liestinės apibrėžimai (santykis priešinga kojelė su gretima) ir kotangentas (gretimos kojos ir priešingos kojos santykis).
Liestinės ir kotangento sandauga yra 1, nes kotangentas, parašytas trupmena (trečia formulė), yra atvirkštinė liestinė (antra formulė). Pastarasis svarstymas, beje, leidžia iš formulių, kurias reikia įsiminti, skaičiaus neįtraukti visų paskesnių ilgų formulių su kotangentu. Jei atlikdami kokią nors sudėtingą užduotį susidursite su ctgα, tiesiog pakeiskite ją trupmena ___ 1 tgα ir naudokite liestinės formules.
Dviejų pastarųjų formulių nereikia įsiminti iš anksto simboliškai. Jie yra mažiau paplitę. Ir jei reikia, visada galite juos iš naujo atspausdinti ant juodraščio. Norėdami tai padaryti, pakanka vietoj jų apibrėžimų liestinės ar konstantento pakeisti trupmena (atitinkamai antroji ir trečioji formulės) ir suvesti išraišką į bendrą vardiklį. Tačiau svarbu atsiminti, kad egzistuoja tokios formulės, jungiančios liestinės ir kosinuso kvadratus bei kotangento ir sinuso kvadratus. Priešingu atveju galite neatspėti, kokių transformacijų reikia norint išspręsti konkrečią problemą.
II grupė. Sudėjimo formulės
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;
cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;
cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;
tg (α + β) = tgα + tgβ _____________ 1 - tgα · tgβ;
tg (α - β) =
Prisiminkite nelygines / lygines trigonometrinių funkcijų pariteto savybes:
sin (−α) = - nuodėmė (α); cos (−α) = cos (α); tg (-α) = - tg (α).
Iš visų trigonometrinių funkcijų tik kosinusas yra lyginė funkcija ir nekeičia savo ženklo pasikeitus argumento (kampo) ženklui, likusios funkcijos yra nelyginės. Funkcijos keistumas iš tikrųjų reiškia, kad minuso ženklą galima įvesti ir pašalinti už funkcijos ženklo ribų. Todėl, jei susidursite su trigonometrine išraiška su dviejų kampų skirtumu, visada galite ją suprasti kaip teigiamų ir neigiamų kampų sumą.
Pavyzdžiui, nuodėmė ( x-30º) = nuodėmė ( x+ (–30º)).
Toliau naudojame dviejų kampų sumos formulę ir nagrinėjame ženklus:
nuodėmė ( x+ (−30º)) = nuodėmė x· Cos (−30º) + cos x Nuodėmė (-30º) =
= nuodėmė x· Cos30º – cos x· Sin30º.
Taigi visas formules, kuriose yra kampų skirtumas, galima tiesiog praleisti per pirmąjį įsiminimą. Tada verta išmokti juos atkurti bendra forma, pirmiausia pagal juodraštį, o paskui mintyse.
Pavyzdžiui, įdegis (α - β) = tan (α + (−β)) = tgα + tg (-β) _______________ 1 - tgα · tg (-β) = tgα - tgβ _____________ 1 + tgα · tgβ.
Tai padės ateityje greitai atspėti, kokias transformacijas reikia pritaikyti norint išspręsti konkrečią trigonometrijos užduotį.
Sh grupė. Kelių argumentų formulės
sin2α = 2 sinα cosα;
cos2α = cos 2 α - sin 2 α;
tg2α = 2tgα _______ 1 - tg 2 α;
sin3α = 3sinα - 4sin 3 α;
cos3α = 4cos 3 α - 3cosα.
Poreikis naudoti dvigubo kampo sinuso ir kosinuso formules iškyla labai dažnai, tangentei taip pat gana dažnai. Šios formulės turėtų būti žinomos mintinai. Be to, nekyla sunkumų juos įsiminti. Pirma, formulės yra trumpos. Antra, juos lengva valdyti pagal ankstesnės grupės formules, remiantis tuo, kad 2α = α + α.
Pavyzdžiui:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.
Tačiau jei greitai išmokote šias formules, o ne ankstesnes, galite pasielgti priešingai: galite prisiminti dviejų kampų sumos formulę naudodami atitinkamą dvigubo kampo formulę.
Pavyzdžiui, jei jums reikia dviejų kampų sumos kosinuso formulės:
1) prisiminkite dvigubo kampo kosinuso formulę: cos2 x= cos 2 x- nuodėmė 2 x;
2) dažome ilgai: cos ( x + x) = cos x Cos x- nuodėmė x Nuodėmė x;
3) pakeisti vieną NSα, antrasis β: cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.
Atlikite pratimą tuo pačiu būdu, norėdami atkurti sumos sinuso ir sumos liestinės formules. Kritiniais atvejais, pavyzdžiui, USE, patikrinkite atkurtų formulių tikslumą naudodami žinomą pirmąjį ketvirtį: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.
Ankstesnės formulės tikrinimas (gautas pakeitus 3 eilutę):
leisti būti α = 60 °, β = 30 °, α + β = 90 °,
tada cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _
/ 2, sinα = sin60 ° = √3 _
/ 2, sinβ = sin30 ° = 1/2;
reikšmes pakeičiame į formulę: 0 = (1/2) √3_
/2) − (√3_
/ 2) (1/2);
0 ≡ 0, klaidų nerasta.
Trigubo kampo formulių, mano nuomone, specialiai „grūsti“ nereikia. Tokie egzaminai kaip egzaminas yra gana reti. Jie lengvai išvedami iš aukščiau pateiktų formulių, nes sin3α = sin (2α + α). O tiems mokiniams, kuriems dėl kažkokių priežasčių vis tiek reikia išmokti šias formules mintinai, patariu atkreipti dėmesį į jų tam tikrą „simetriją“ ir įsiminti ne pačias formules, o mnemonines taisykles. Pavyzdžiui, eilės tvarka, kuria skaičiai išdėstyti dviejose formulėse „33433433“ ir kt.
IV grupė. Suma / skirtumas - į produktą
sinα + sinβ = 2 nuodėmė α + β ____ 2 Cos α – β ____ 2 ;
sinα - sinβ = 2 nuodėmė α – β ____ 2 Cos α + β ____ 2 ;
cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2 Cos α – β ____ 2 ;
cosα - cosβ = −2 sin α – β ____ 2 Nuodėmė α + β ____ 2 ;
tgα + tgβ = sin (α + β) ________ cosα cosβ ;
tgα - tgβ = sin (α - β) ________ cosα cosβ .
Naudojant nelygines sinuso ir liestinės funkcijų savybes: sin (−α) = - nuodėmė (α); tg (-α) = - tg (α),
galima redukuoti dviejų funkcijų skirtumų formules į jų sumų formules. Pavyzdžiui,
sin90º - sin30º = sin90º + sin (−30º) = 2 · sin 90º + (-30º) __________ 2 Cos 90º – (–30º) __________ 2 =
2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.
Taigi sinusų ir liestinių skirtumo formulės nebūtinai turi būti iškart įsimenamos.
Su kosinusų suma ir skirtumu situacija yra sudėtingesnė. Šios formulės nėra keičiamos. Bet vėlgi, naudodamiesi kosinuso paritetu, galite prisiminti šias taisykles.
Suma cosα + cosβ negali pakeisti savo ženklo bet kokiam kampų ženklo pokyčiui, todėl sandauga taip pat turi susidėti iš lyginių funkcijų, t.y. du kosinusai.
Skirtumo ženklas cosα - cosβ priklauso nuo pačių funkcijų reikšmių, o tai reiškia, kad sandaugos ženklas turėtų priklausyti nuo kampų santykio, todėl sandauga turėtų susidėti iš nelyginių funkcijų, t.y. du sinusai.
Ir vis dėlto šią formulių grupę nėra lengviausia įsiminti. Taip būna, kai geriau susigrūsti mažiau, bet daugiau tikrinti. Kad atsakingo egzamino formulėje nebūtų klaidų, pirmiausia užrašykite ją ant juodraščio ir patikrinkite dviem būdais. Pirma, pakeitimais β = α ir β = −α, tada žinomomis pirminių kampų funkcijų reikšmėmis. Tam geriausia paimti 90º ir 30º, kaip buvo padaryta aukščiau esančiame pavyzdyje, nes šių reikšmių pusė sumos ir pusės skirtumo vėl suteikia paprastus kampus, ir jūs galite lengvai pamatyti, kaip lygybė tampa tapatybe. už teisingą variantą. Arba, priešingai, jis nevykdomas, jei suklydote.
Pavyzdys tikrinant formulę cosα - cosβ = 2 sin α – β ____ 2 Nuodėmė α + β ____ 2 kosinusų skirtumui su klaida !
1) Tegu β = α, tada cosα - cosα = 2 sin α – α _____ 2 Nuodėmė α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.
2) Tegul β = - α, tada cosα - cos (- α) = 2 sin α – (−α) _______ 2 Nuodėmė α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (- α) = cosα - cosα ≡ 0.
Šie patikrinimai parodė, kad formulėje esančios funkcijos buvo panaudotos teisingai, tačiau dėl to, kad tapatybė pasirodė esanti 0 ≡ 0 formos, klaida su ženklu arba koeficientu gali būti praleista. Mes atliekame trečią patikrinimą.
3) Tegul α = 90º, β = 30º, tada cos90º - cos30º = 2 · sin 90º–30º ________ 2 Nuodėmė 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.
cos90 – cos30 = 0 – √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.
Klaida tikrai buvo ženkle ir tik ženkle prieš darbą.
V grupė. Prekė – suma/skirtumas
sinα · sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));
cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));
sinα cosβ = 1 _ 2 (Nuodėmė (α - β) + nuodėmė (α + β)).
Pats penktosios formulių grupės pavadinimas rodo, kad šios formulės yra priešingos ankstesnei grupei. Akivaizdu, kad tokiu atveju lengviau atkurti formulę juodraštyje nei išmokti ją iš naujo, padidinant riziką susikurti „netvarką galvoje“. Vienintelis dalykas, į kurį prasminga sutelkti dėmesį, norint greičiau atkurti formulę, yra šios lygybės (patikrinkite jas):
α = α + β ____ 2 + α – β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α – β ____ 2.
Apsvarstykite pavyzdys: reikia transformuoti sandaugą sin5 x Cos3 xį dviejų trigonometrinių funkcijų sumą.
Kadangi sandaugoje yra ir sinusas, ir kosinusas, iš ankstesnės grupės paimame jau išmoktą sinusų sumos formulę ir užrašome ant juodraščio.
sinα + sinβ = 2 nuodėmė α + β ____ 2 Cos α – β ____ 2
Tegul 5 x = α + β ____ 2 ir 3 x = α – β ____ 2, tada α = α + β ____ 2 + α – β ____ 2 = 5x + 3x = 8x, β = α + β ____ 2 − α – β ____ 2 = 5x − 3x = 2x.
Projekto formulėje kampų reikšmes, išreikštas kintamaisiais α ir β, pakeičiame kampų reikšmėmis, išreikštomis kintamuoju. x.
Mes gauname nuodėmė8 x+ nuodėmė2 x= 2 sin5 x Cos3 x
Padalinkite abi lygybės dalis iš 2 ir užrašykite ant švarios kopijos iš dešinės į kairę nuodėmė5 x Cos3 x = 1 _ 2 (nuodėmė 8 x+ nuodėmė2 x). Atsakymas paruoštas.
Kaip pratimas: Paaiškinkite, kodėl vadovėlyje yra tik 3 formulės, skirtos sumai / skirtumui paversti sandaugą iš 6, o atvirkštinė (sumos ar skirtumo pavertimui) - tik 3?VI grupė. Laipsnio mažinimo formulės
cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;
sin 2 α = 1 – cos2α _________ 2;
cos 3 α = 3cosα + cos3α ________________ 4;
sin 3 α = 3sinα – sin3α ____________ 4.
Labai reikalingos pirmosios dvi šios grupės formulės. Jie dažnai naudojami sprendžiant trigonometrines lygtis, įskaitant unifikuoto egzamino lygį, taip pat skaičiuojant integralus, kuriuose yra trigonometrinio tipo integrandų funkcijų.
Gali būti lengviau juos prisiminti kitoje „vienos istorijos“ formoje.
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 - cos2α,
ir jūs visada galite dalyti iš 2 savo galvoje arba juodraštyje.
Kur kas rečiau egzaminuose reikia naudoti šias dvi formules (su funkcijų kubeliais). Kitoje aplinkoje visada turėsite laiko panaudoti juodraštį. Šiuo atveju galimos šios parinktys:
1) Jei prisimenate paskutines dvi III grupės formules, naudokite jas sin 3 α ir cos 3 α išreikšti paprastomis transformacijomis.
2) Jei paskutinėse dviejose šios grupės formulėse pastebite simetrijos elementus, kurie prisideda prie jų įsiminimo, tada užrašykite formulių „eskizus“ ant juodraščio ir patikrinkite juos pagal pagrindinių kampų reikšmes.
3) Jei, be to, kad egzistuoja tokios laipsnio mažinimo formulės, jūs nieko apie jas nežinote, tada spręskite uždavinį etapais, remdamiesi tuo, kad nuodėmė 3 α = sin 2 α · sinα ir kiti išmokti formules. Reikės laipsnio mažinimo formulės kvadratui ir formulės sandaugai paversti suma.
VII grupė. Pusiau argumentas
nuodėmė α_ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____
cos α_ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____
tg α_ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____
Nematau prasmės įsiminti šią formulių grupę tokia forma, kokia jos pateikiamos vadovėliuose ir žinynuose. Jei tai supranti α yra pusė 2α, tada to pakanka norint greitai išvesti reikiamą pusės argumento formulę, remiantis pirmomis dviem laipsnio mažinimo formulėmis.
Tai taip pat taikoma pusės kampo tangentei, kurios formulė gaunama padalijus sinuso išraišką iš atitinkamos kosinuso išraiškos.
Nepamirškite ženklo įdėti tik ištraukdami kvadratinę šaknį ± .
VIII grupė. Universalus pakaitalas
sinα = 2 tg (α / 2) _________ 1 + tan 2 (α / 2);
cosα = 1 - įdegis 2 (α / 2) __________ 1 + įdegis 2 (α / 2);
tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).
Šios formulės gali būti labai naudingos sprendžiant visų rūšių trigonometrines problemas. Jie leidžia įgyvendinti principą „vienas argumentas – viena funkcija“, leidžiantį atlikti kintamuosius pakeitimus, kurie sumažina sudėtingas trigonometrines išraiškas į algebrines. Ne be reikalo šis pakeitimas vadinamas universaliu.
Turime išmokti pirmąsias dvi formules. Trečiąjį galima gauti pirmuosius du padalijus vienas iš kito pagal liestinės apibrėžimą tgα = sinα ___ cosα
IX grupė. Liejimo formulės.
Norėdami suprasti šią trigonometrinių formulių grupę, pradėkiteX grupė. Pagrindo kampų vertės.
Pateikiamos pirmojo ketvirčio pagrindinių kampų trigonometrinių funkcijų reikšmėsTaip ir darome išvestis: Trigonometrijos formules reikia žinoti. Kuo didesnis, tuo geriau. Tačiau kam skirti savo laiką ir pastangas – įsiminti formules ar jas susigrąžinti problemų sprendimo procese, kiekvienas turi nuspręsti pats.
Trigonometrijos formulių naudojimo užduoties pavyzdys
Išspręskite lygtį nuodėmė5 x Cos3 x- nuodėmė8 x Cos6 x = 0.Turime dvi skirtingas funkcijas sin () ir cos () ir keturias! skirtingi argumentai 5 x, 3x, 8x ir 6 x... Be išankstinių transformacijų nepavyks redukuoti iki paprasčiausių trigonometrinių lygčių tipų. Todėl pirmiausia stengiamės produktus pakeisti funkcijų sumomis arba skirtumais.
Tai darome taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame pavyzdyje (žr. skyrių).
nuodėmė (5 x + 3x) + nuodėmė (5 x − 3x) = 2 sin5 x Cos3 x
nuodėmė8 x+ nuodėmė2 x= 2 sin5 x Cos3 x
nuodėmė (8 x + 6x) + nuodėmė (8 x − 6x) = 2 sin8 x Cos6 x
nuodėmė14 x+ nuodėmė2 x= 2 nuodėmė8 x Cos6 x
Išreikšdami šių lygčių sandaugas, pakeičiame jas į lygtį. Mes gauname:
(nuodėmė 8 x+ nuodėmė2 x) / 2 - (sin14 x+ nuodėmė2 x)/2 = 0.
Abi lygties puses padauginame iš 2, atidarome skliaustus ir pateikiame panašius terminus
Nuodėmė8 x+ nuodėmė2 x- nuodėmė14 x- nuodėmė2 x = 0;
nuodėmė8 x- nuodėmė14 x = 0.
Lygtis tapo daug paprastesnė, bet išspręskite ją kaip ši nuodėmė8 x= nuodėmė14 x, todėl 8 x = 14x+ T, kur T yra laikotarpis, yra neteisinga, nes mes nežinome šio laikotarpio reikšmės. Todėl naudosime faktą, kad dešinėje lygybės pusėje yra 0, su kuriuo lengva palyginti veiksnius bet kurioje išraiškoje.
Norėdami išplėsti nuodėmę8 x- nuodėmė14 x pagal veiksnius reikia pereiti nuo skirtumo prie produkto. Norėdami tai padaryti, galite naudoti sinusų skirtumo formulę arba vėlgi sinusų sumos ir sinuso funkcijos nelygybės formulę (žr. pavyzdį skyriuje).
nuodėmė8 x- nuodėmė14 x= nuodėmė8 x+ nuodėmė (−14 x) = 2 nuodėmė 8x + (−14x) __________ 2 Cos 8x − (−14x) __________ 2 = nuodėmė (−3 x) Cos11 x= −sin3 x Cos11 x.
Taigi lygtis sin8 x- nuodėmė14 x= 0 atitinka sin3 lygtį x Cos11 x= 0, o tai, savo ruožtu, yra ekvivalentiška dviejų paprasčiausių lygčių sin3 deriniui x= 0 ir cos11 x= 0. Išspręsdami pastarąjį, gauname dvi atsakymų serijas
x 1 = π n/3, nϵZ
x 2 = π / 22 + π k/11, kϵZ
Jei tekste radote klaidą ar rašybos klaidą, praneškite apie tai el. pašto adresu [apsaugotas el. paštas] ... Aš būčiau labai dėkingas.
Dėmesio, © matematika... Draudžiama tiesiogiai kopijuoti medžiagą kitose svetainėse. Pridėti nuorodas.