Sąvokos „aibė“, „elementas“, „elemento priklausymas aibei“ yra pagrindinės matematikos sąvokos. Krūva- bet kokia daiktų kolekcija (kolekcija) .
A yra rinkinio B pogrupis, jei kiekvienas aibės A elementas yra aibės B elementas, t.y. AÌB Û (xÎA Þ xÎB).
Du rinkiniai yra lygūs jei jie susideda iš tų pačių elementų. Tai apie aibių teorinę lygybę (nepainioti su skaičių lygybe): A = B Û AÌB Ù BÌA.
Dviejų rinkinių sąjunga susideda iš elementų, priklausančių bent vienam iš rinkinių, t.y. хÎАÈВ Û хÎАÚ хÎВ.
Kryžminimas susideda iš visų elementų, vienu metu priklausančių A ir B rinkiniams: xÎAÇB Û xÎA Ù xÎB.
Skirtumas susideda iš visų A elementų, kurie nepriklauso B, t.y. xÎ A \ B Û xÎA ÙxÏB.
Dekarto produktas C = A´B rinkiniai A ir B vadinami visų galimų porų rinkiniu ( x, y), kur yra pirmasis elementas NS kiekviena pora priklauso A ir jos antrasis elementas ne priklauso V.
Dekarto sandaugos A´B pogrupis vadinamas aibę A susieti su aibe B jei sąlyga įvykdyta: (" NSОА) ($! Pora ( xy) F). Tuo pačiu metu jie rašo: A.
Sąvokos „ekranas“ ir „funkcija“ yra sinonimai. Jei ("хÎА) ($! УÎВ): ( x, y) ÎF, tada elementas neÎ IN paskambino būdu NS rodydami F ir parašykite taip: ne= F ( NS). Elementas NS tuo pat metu yra prototipas (vienas iš galimų) elementas y.
Apsvarstykite racionaliųjų skaičių aibė Q - visų sveikųjų skaičių rinkinys ir visų trupinių (teigiamų ir neigiamų) rinkinys. Kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip koeficientas, pavyzdžiui, 1 = 4/3 = 8/6 = 12/9 =…. Tokių idėjų yra daug, tačiau tik viena iš jų yra neišvengiama. .
IN Bet koks racionalusis skaičius gali būti unikaliai pavaizduotas kaip trupmena p / q, kur pÎZ, qÎN, skaičiai p, q yra bendriniai.
Rinkinio Q savybės:
1. Uždarumas aritmetinių operacijų atžvilgiu. Racionaliųjų skaičių pridėjimo, atėmimo, daugybos, pakėlimo į natūraliąją galią, padalijimo (išskyrus padalijimą iš 0) rezultatas yra racionalusis skaičius :; ; 
.
2. Užsakymas: (" x, yÎQ, labas)®( x
Be to: 1) a> b, b> c Þ a> c; 2)a -b.
3. Tankis... Tarp bet kurių dviejų racionalių skaičių x, y yra trečias racionalus skaičius (pvz. c = ):
("x, yÎQ, x<y) ($ cÎQ): ( NS
Aibėje Q galite atlikti 4 aritmetines operacijas, spręsti tiesinių lygčių sistemas, bet kvadratines formos lygtis x 2 = a, aÎ N ne visada yra sprendžiami aibėje Q.
Teorema. Skaičiaus nėra xÎQ kurio kvadratas yra 2.
g Tegul egzistuoja trupmena NS= p / q, kur skaičiai p ir q yra bendriniai ir NS 2 = 2. Tada (p / q) 2 = 2. Vadinasi,
Dešinė (1) pusė dalijasi iš 2, todėl p 2 yra lyginis skaičius. Taigi, p = 2n (n-sveikasis skaičius). Tada q turi būti nelyginis.
Grįžtant prie (1), turime 4n 2 = 2q 2. Todėl q 2 = 2n 2. Panašiai įsitikiname, kad q dalijasi iš 2, t.y. q yra lyginis skaičius. Teorema įrodoma prieštaravimu.N
racionalių skaičių geometrinis vaizdas. Atjungę vienetų segmentą nuo 1, 2, 3… kartų koordinačių pradžios į dešinę, mes gauname koordinačių tiesės taškus, atitinkančius natūralius skaičius. Panašiai atidėję į kairę, gauname taškus, atitinkančius neigiamus sveikuosius skaičius. Paimkime 1 / q(q = 2,3,4 … ) vieneto segmento dalis ir atidėsime ją abiem kilmės pusėms R kartą. Gauname tiesios linijos taškus, atitinkančius formos skaičius ± p / q (pÎZ, qÎN). Jei p, q eina per visas „coprime“ skaičių poras, tada tiesėje turime visus taškus, atitinkančius trupmeninius skaičius. Taigi, pagal priimtą metodą, kiekvienas koordinačių tiesės taškas atitinka kiekvieną racionalų skaičių.
Ar bet kuriam taškui galima nurodyti vieną racionalų skaičių? Ar tiesi linija visiškai užpildyta racionaliais skaičiais?
Pasirodo, kad koordinačių tiesėje yra taškų, kurie neatitinka jokių racionalių skaičių. Ant vieneto segmento statome stačiakampį stačiakampį. Taškas N neatitinka racionalaus skaičiaus, nes jei ĮJUNGTA = x- tada racionaliai x 2 = 2, kuris negali būti.
Tiesiai tiesėje yra be galo daug taškų, panašių į tašką N. Paimkite racionalias segmento dalis x = ĮJUNGTA, tie. NS... Jei atidėsime juos į dešinę, tada racionalus skaičius neatitiks kiekvieno iš tokių segmentų galų. Darant prielaidą, kad segmento ilgis išreiškiamas racionaliu skaičiumi x =, mes tai suprantame x =- racionalus. Tai prieštarauja tam, kas buvo įrodyta aukščiau.
Racionalių skaičių nepakanka, kad su kiekvienu koordinačių tiesės tašku susietumėte racionalų skaičių.
Kurkime realiųjų skaičių aibė R skersai begalinės dešimtainės trupmenos.
Pagal „kampinio“ padalijimo algoritmą bet koks racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinė arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Kai trupmena p / q neturi kitų pirminių veiksnių, išskyrus 2 ir 5, t.y. q = 2 m × 5 k, tada rezultatas bus galutinė dešimtainė trupmena p / q = a 0, a 1 a 2… a n. Likusios trupmenos gali būti išplėstos tik be galo.
Žinodami begalinę periodinę dešimtainę trupmeną, galite rasti racionalų skaičių, kurį jis atstovauja. Bet kuri galutinė dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota kaip begalinė dešimtainė trupmena vienu iš šių būdų:
a 0, a 1 a 2… a n = a 0, a 1 a 2… a n 000… = a 0, a 1 a 2… (a n -1) 999… (2)
Pavyzdžiui, begalinis dešimtainis NS= 0, (9) turime 10 NS= 9, (9). Jei iš 10 kartų atimame pradinį skaičių, gauname 9 NS= 9 arba 1 = 1, (0) = 0, (9).
Tarp visų racionaliųjų skaičių aibės ir visų begalinių periodinių dešimtainių trupmenų rinkinio nustatomas individualus atitikimas, jei begalinė dešimtainė trupmena yra identifikuojama su skaitmeniu 9 per laikotarpį su atitinkama begaline dešimtaine dalimi su skaitmeniu 0 laikotarpis pagal taisyklę (2).
Sutikime naudoti tokias begalines periodines trupmenas, kurių laikotarpyje nėra skaičiaus 9. Jei samprotavimo procese atsiranda begalinė periodinė dešimtainė trupmena su skaičiumi 9 tam tikru laikotarpiu, tai mes ją pakeisime begaline dešimtaine trupmena su nuliu laikotarpyje, t.y. vietoj 1.999 ... imsim 2.000 ...
Neracionalaus skaičiaus apibrėžimas. Be begalinių dešimtainių periodinių trupmenų, yra ir neperiodinių dešimtainių trupmenų. Pavyzdžiui, 0.1010010001 ... arba 27.1234567891011 ... (natūralieji skaičiai yra nuosekliai po kablelio).
Apsvarstykite begalinę dešimtainę trupmenos formą ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... (3)
Ši trupmena nustatoma nurodant ženklą „+“ arba „-“, neneigiamą sveikąjį skaičių a 0 ir dešimtainių skaičių seką 1, 2, ..., an, ... (dešimtainių skaičių rinkinys susideda iš dešimties skaičių: 0, 1, 2, ..., devyni).
Vadinama bet kokia formos (3) trupmena tikrasis (realusis) skaičius. Jei prieš trupmeną (3) yra ženklas „+“, jis paprastai praleidžiamas ir parašomas 0, a 1 a 2 ... a n ... (4)
Bus iškviestas formos (4) numeris neneigiamas tikrasis skaičius, ir tuo atveju, kai bent vienas iš skaičių a 0, a 1, a 2, ..., a n skiriasi nuo nulio, - teigiamas realusis skaičius... Jei (3) išraiškoje imamas ženklas „-“, tai yra neigiamas skaičius.
Racionaliųjų ir neracionaliųjų skaičių aibių sąjunga sudaro realiųjų skaičių aibę (QÈJ = R). Jei begalinė dešimtainė trupmena (3) yra periodinė, tai yra racionalusis skaičius, kai trupmena yra neperiodinė, ji yra neracionali.
Du neneigiami tikrieji skaičiai a = a 0, a 1 a 2… a n…, b = b 0, b 1 b 2… b n…. yra vadinami lygus(rašyk a = b), jei a n = b n ne n = 0,1,2 ... Skaičius a yra mažesnis už skaičių b(rašyk a<b), jei kas a 0 arba a 0 = b 0 ir yra toks skaičius m, ką a k = b k (k = 0,1,2, ... m-1), bet esu , t.y. a Û (a 0 Ú ($mÎN: a k = b k (k =), a m ). Sąvoka „ bet>b».
Norėdami palyginti savavališkus tikruosius skaičius, pristatome sąvoką „ skaičiaus a modulis» . Pagal realaus skaičiaus modulį a = ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... vadinamas toks neneigiamas tikrasis skaičius, vaizduojamas ta pačia begaline dešimtaine trupmena, bet imamas su ženklu „+“, t.y. ½ bet½= a 0, a 1 a 2 ... a n ... ir 1/2 bet½³0. Jei bet - neneigiamas, b- neigiamas skaičius, tada apsvarstykite a> b... Jei abu skaičiai neigiami ( a<0, b<0 ), tada manysime, kad: 1) a = b jei ½ bet½ = ½ b½; 2) bet jei ½ bet½ > ½ b½.
Rinkinio R savybės:
I. Užsakymo ypatybės:
1. Kiekvienai realių skaičių porai bet ir b yra tik vienas ryšys: a = b, a
2. Jei a
3. Jei a , tada yra skaičius c toks, kad a< с .
II. Sudėjimo ir atėmimo veiksmų savybės:
4. a + b = b + a(pakeičiamumas).
5. (a + b) + c = a + (b + c) (asociatyvumas).
6. a + 0 = a.
7. a + (- a) = 0.
8.nuo a Þ a + c
III. Dauginimo ir padalijimo veiksmų ypatybės:
9. a × b = b × a .
10. (a × b) × c = a × (b × c).
11. a × 1 = a.
12. a × (1 / a) = 1 (a¹0).
13. (a + b) × c = ac + bc(paskirstymas).
14. jei a ir c> 0, tada a × c
IV. Archimedo turtas(„cÎR) ($ nÎN): (n> c).
Kad ir koks būtų skaičius cÎR, yra nÎN toks, kad n> c.
V. Tikrųjų skaičių tęstinumo savybė. Tegul dvi tuščios aibės АÌR ir BÌR yra tokios, kad bet kuris elementas bet More Daugiau nebus ( a£ b) bet kurio elemento bÎB. Tada Dedekindo tęstinumo principas tvirtina, kad toks skaičius egzistuoja visiems betОА ir bÎB būklė a£ c £ b:
("AÌR, BÌR) :(" aÎA, bÎB ® a£ £) ($ cÎR): (" aÎA, bÎB® a£ c £ b).
Mes nustatysime aibę R su tikrosios tiesės taškų rinkiniu ir vadinsime tikruosius skaičius taškais.
Yra šios sudėtingų skaičių formos: algebrinis(x + iy), trigonometrinis(r (cos + isin 
)),
orientacinis(pakartotinai 
).
Bet koks kompleksinis skaičius z = x + iy gali būti pavaizduotas XOU plokštumoje kaip taškas A (x, y).
Plokštuma, kurioje pavaizduoti kompleksiniai skaičiai, vadinama kompleksinio kintamojo z plokštuma (ant plokštumos dedame simbolį z).
OX ašis yra tikroji ašis, t.y. jame yra realūs skaičiai. OU - įsivaizduojama ašis su įsivaizduojamais skaičiais.
x + yy- algebrinis kompleksinio skaičiaus žymėjimas.
Išveskime kompleksoninio skaičiaus trigonometrinę žymėjimo formą.
Pakeiskite gautas reikšmes į pradinę formą :, t.y.
r (cos
+ isinas
)
- kompleksinio skaičiaus trigonometrinis žymėjimas.
Eksponentinis kompleksinio skaičiaus žymėjimas išplaukia iš Eulerio formulės: 
, tada 
z = re i 
- eksponentinis sudėtinio skaičiaus žymėjimas.
Veiksmai su sudėtingais skaičiais.
1. papildymas. z 1 + z 2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
2 ... atimtis. z 1 -z 2 = (x1 + iy1) -(x2 + iy2) = (x1 -x2) + i (y1 -y2);
3. daugyba. z 1 z 2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1x2 + i (x1y2 + x2y1 + iy1y2) = (x1x2-y1y2) + i (x1y2 + x2y1);
4
... padalijimas. z 1 / z 2 = (x1 + iy1) / (x2 + iy2) = [(x1 + iy1) * (x2-iy2)] / [(x2 + iy2) * (x2-iy2)] = 
Du kompleksiniai skaičiai, kurie skiriasi tik įsivaizduojamo vieneto ženklu, t.y. z = x + iy (z = x-iy) vadinami konjugatais.
Darbas.
z1 = r (cos 
+ isinas 
); z2 = r (cos 
+ isinas 
).
Tada kompleksinių skaičių sandauga z1 * z2 yra :, t.y. produkto modulis yra lygus modulių sandaugai, o produkto argumentas lygus veiksnių argumentų sumai.
;
;
Privatus.
Jei kompleksiniai skaičiai yra trigonometrinės formos.
Jei sudėtingi skaičiai yra eksponentiniai.
Eksponavimas.
1. Pateikiamas kompleksinis skaičius algebrinis forma.
z = x + iy, tada z n randamas iš binominė Niutono formulė:
- kiekvienos m elementų kombinacijų skaičius (būdų skaičius, kiek n elementų galima paimti iš m).
; n! = 1 * 2 * ... * n; 0! = 1; 
.
Mes kreipiamės dėl sudėtingo numerio.
Gautoje išraiškoje turite pakeisti i galias jų reikšmėmis:
i 0 = 1 Vadinasi, paprastai gauname: i 4k = 1
i 1 = i i 4k + 1 = i
i 2 = -1 i 4k + 2 = -1
i 3 = -i i 4k + 3 = -i
Pavyzdys.
i 31 = i 28 i 3 = -i
i 1063 = i 1062 i = i
2. trigonometrinis forma.
z = r (cos 
+ isinas 
), tada
- Moivre formulė.
Čia n gali būti „+“ arba „-“ (sveikasis skaičius).
3. Jei nurodomas kompleksinis skaičius orientacinis forma:
Šaknies ištraukimas.
Apsvarstykite lygtį: 
.
Jo sprendimas bus n -toji komplekso skaičiaus z šaknis: 
.
Kompleksinio skaičiaus z šaknis n yra tiksliai n sprendinių (reikšmių). Efektyvaus n-ojo laipsnio šaknis turi tik vieną sprendimą. Sudėtinguose sprendimuose.
Jei nurodomas kompleksinis skaičius trigonometrinis forma:
z = r (cos 
+ isinas 
), tada n-toji z šaknis randama pagal formulę:
, kur k = 0,1 ... n-1.
Eilutės. Skaičių serija.
Tegul kintamasis a paeiliui ima reikšmes a 1, a 2, a 3,…, a n. Šis pernumeruotas skaičių rinkinys vadinamas seka. Jis begalinis.
Skaičių eilutė yra išraiška a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = 
... Skaičiai a 1, 2, 3,… ir n yra serijos nariai.
Pavyzdžiui.
ir 1 yra pirmasis serijos narys.
ir n yra n-tas arba bendras serijos terminas.
Serija laikoma duota, jei žinoma n-toji (bendra serijos sąvoka).
Skaitinė serija turi begalinį narių skaičių.
Skaitikliai - aritmetinė progresija (1,3,5,7…).
n-tasis terminas randamas pagal formulę a n = a 1 + d (n-1); d = a n -a n -1.
Vardiklis - geometrinė progresija... b n = b 1 q n-1; 
.
Apsvarstykite serijos pirmųjų n narių sumą ir pažymėkite ją Sn.
Sn = a1 + a2 +… + a n.
Sn yra n-toji dalinė serijos suma.
Apsvarstykite ribą: 
S yra serijos suma.
Nemažai susiliejantis jei ši riba yra baigtinė (egzistuoja baigtinė riba S).
Eilutė skirtingas jei ši riba yra begalinė.
Ateityje mūsų užduotis yra tokia: nustatyti, kuri eilutė.
Viena iš paprasčiausių, bet dažnai sutinkamų serijų yra geometrinė progresija.
, C = konst.
Geometrinė progresija yrasusiliejantis
netoli, jei 
ir skiriasi, jei 
.
Taip pat rasta harmoninė serija(eilutė 
). Ši eilutė skirtingas
.
TIKRI SKAIČIAI II
§ 37 Racionaliųjų skaičių geometrinis vaizdavimas
Leisti būti Δ yra segmentas, laikomas ilgio vienetu, ir l - savavališka tiesė (51 pav.). Pažvelkime į tai ir pažymėkime jį raide O.
Į kiekvieną teigiamą racionalų skaičių m / n į korespondenciją įrašome tiesios linijos tašką l guli dešinėje nuo C atstumu m / n ilgio vienetų.
Pavyzdžiui, skaičius 2 atitiks tašką A, esantį dešinėje nuo O, esant 2 ilgio vienetams, ir skaičių 5/4, tašką B, esantį dešinėje nuo O, esantį 5/4 ilgio vienetai. Į kiekvieną neigiamą racionalų skaičių k / l į korespondenciją įtraukiame tiesios linijos tašką, esantį į kairę nuo O atstumu | k / l | ilgio vienetų. Taigi skaičius - 3 atitiks tašką C, esantį į kairę nuo O 3 ilgio vienetų atstumu, ir skaičių - 3/2 tašką D, esantį kairėje nuo O, esant 3/ 2 vienetai ilgio. Galiausiai prie racionalaus skaičiaus „nulis“ susiejame tašką O.
Akivaizdu, kad pasirinkus atitikimą, vienodi racionalūs skaičiai (pavyzdžiui, 1/2 ir 2/4) atitiks tą patį tašką, o ne vienodi skaičiai, skirtingi tiesios linijos taškai. Tarkime, kad skaičius m / n atitinka tašką P ir skaičių k / l punktas K. Tada jei m / n > k / l , tada taškas P guls į dešinę nuo taško Q (52 pav., a); jei m / n < k / l , tada taškas P bus kairėje nuo taško Q (52 pav., b).
Taigi bet koks racionalus skaičius gali būti geometriškai pavaizduotas kaip gerai apibrėžtas taškas tiesioje linijoje. Ar atvirkščiai tiesa? Ar bet kuris tiesios linijos taškas gali būti laikomas tam tikro racionalaus skaičiaus geometriniu atvaizdu? Atidėsime šio klausimo sprendimą iki 44 straipsnio.
Pratimai
296. Pagal tiesios linijos taškus nubrėžkite šiuos racionaliuosius skaičius:
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297. Yra žinoma, kad taškas A (53 pav.) Tarnauja kaip racionaliojo skaičiaus 1/3 geometrinis vaizdas. Kokie skaičiai žymi taškus B, C ir D?
298. Tiesia linija duoti du taškai, kurie tarnauja kaip geometrinis racionaliųjų skaičių atvaizdavimas bet ir b a + b ir a - b .
299. Tiesia linija duodami du taškai, kurie tarnauja kaip geometrinis racionaliųjų skaičių atvaizdavimas a + b ir a - b ... Šioje eilutėje raskite taškus, vaizduojančius skaičius bet ir b .
BILIETAS 1
Racionalu skaičiai yra skaičiai, parašyti kaip p / q, kur q yra natūralus. skaičius, o p yra sveikasis skaičius.
Du skaičiai a = p1 / q1 ir b = p2 / q2 vadinami lygiais, jei p1q2 = p2q1, ir p2q1 ir a> b, jei p1q2
BILIETAS 2
Sudėtingi skaičiai. Sudėtingi skaičiai
Algebrinė lygtis yra tokios formos lygtis: P n ( x) = 0, kur P n ( x) - daugianaris n- O laipsnis. Pora realių skaičių x ir ne bus vadinamas užsakytu, jei bus nurodyta, kuris iš jų laikomas pirmuoju, o kuris - antruoju. Užsakytos poros žymėjimas: ( x, y). Sudėtingas skaičius yra savavališkai užsakyta realiųjų skaičių pora. z = (x, y)-sudėtingas skaičius.
x-medžiaga z, y-įsivaizduojama dalis z... Jei x= 0 ir y= 0, tada z= 0. Apsvarstykite z 1 = (x 1, y 1) ir z 2 = (x 2, y 2).
1 apibrėžimas. z 1 = z 2, jei x 1 = x 2 ir y 1 = y 2.
Sąvokos> ir< для комплексных чисел не вводятся.
Kompleksinių skaičių geometrinis atvaizdavimas ir trigonometrinė forma.
M ( x, y) « z = x + iy.
½ OM½ = r = ½ z½ =. (Nuotrauka)
r vadinamas kompleksinio skaičiaus moduliu z.
j vadinamas kompleksinio skaičiaus argumentu z... Jis nustatomas ± 2p tikslumu n.
NS= rcosj, y= rsinj.
z= x+ iy= r (cosj + i sinj) yra kompleksinių skaičių trigonometrinė forma.
3 teiginys.
= (cos + i nuodėmė),
= (cos + i nuodėmė), tada
= (cos ( +) + i nuodėmė (+)),
= (cos (-) + i sin (-)) už ¹0.
4 teiginys.
Jei z= r (cosj + i sinj), tada „natūralus n:
= (cos nj + i nuodėmė nj),
BILIETAS 3
Leisti būti X-skaitmeninis rinkinys, kuriame yra bent vienas skaičius (ne tuščias rinkinys).
xÎ X- x esančios NS. ; xÏ X- x nepriklausyti NS.
Apibrėžimas: Krūva NS vadinamas ribotu aukščiau (žemiau), jei yra skaičius M(m) taip, kad bet kam x Î X nelygybė galioja x £ M (x ³ m), o skaičius M vadinama viršutine (apatine) aibės riba NS... Krūva NS vadinama ribota iš viršaus, jei $ M, " x Î NS: x £ M. Apibrėžimas nustatyti neribotą iš viršaus. Krūva X vadinama neapribota iš viršaus, jei " M $ x Î NS: x> M. Apibrėžimas krūva X vadinamas ribotu, jei jis yra apribotas aukščiau ir žemiau, tai yra, $ M, m toks kad " x Î NS: m £ x £ M. Lygiavertis ogre mn-va apibrėžimas: rinkinys X vadinamas ribotu, jei $ A > 0, " x Î X: ½ x½£ A... Apibrėžimas: mažiausia iš aukščiau esančių rinkinių viršutinių ribų NS vadinama tikslia viršutine jos riba ir žymima Sup NS
(viršenybė). = Sup NS... Panašiai galite tiksliai nustatyti
apatinis kraštas. Lygiavertis apibrėžimas tikslus viršutinis kraštas:
Skaičius vadinamas tikslia viršutine aibės riba NS, jei: 1) " x Î X: NS Svarų sterlingų (ši sąlyga rodo, kad tai yra viena iš viršutinių ribų). 2) " < $ x Î X: NS> (ši sąlyga rodo, kad -
mažiausias iš viršutinių veidų).
Sup X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) yra tikslus apatinis kraštas. Užduokime klausimą: ar kiekvienas ribotas rinkinys turi aštrius kraštus?
Pavyzdys: NS= {x: x> 0) neturi mažiausio skaičiaus.
Teorema apie tikslaus viršutinio (apatinio) veido egzistavimą... Bet kuri tuščia viršutinė (apatinė) aibės xÎR riba turi viršutinę (apatinę) ribą.
Skaitinio mn atskyrimo teorema:▀▀▄
4 SEZONAS
Jei kiekvienam prigimtiniam skaičiui n (n = 1,2,3 ..) priskiriamas tam tikras skaičius Xn, tada jie sako, kad jis yra apibrėžtas ir pateiktas posekis x1, x2 ..., parašykite (Xn), (Xn). Pavyzdys: Xn = ( -1) ^ n: -1,1, -1,1, ... Tada pavadinimas yra ribotas. viršuje (apačioje), jei daug taškų x = x1, x2,… xn, esančių skaitmeninėje ašyje, yra apriboti iš viršaus (apačios), t.y. С: Xn £ C " Sekos apribojimas: skaičius a vadinamas paskutiniojo riba, jei ε> 0 $: N (N = N / (ε)). "n> N nelygybė | Xn-a |<ε. Т.е. – ε
ne n> N..
Apriboti unikalumą ribota ir susiliejanti seka
Ypatybė1: Susiliejanti seka turi tik vieną ribą.
Įrodymas: prieštaraudamas, tegul bet ir b sueinančios sekos ribos (x n), o a nėra lygus b. apsvarstykite begalines mažiausias sekas (α n) = (x n -a) ir (β n) = (x n -b). Kadangi visi elementai yra b.m. sekos (α n -β n) turi tą pačią reikšmę b -a, tada pagal b.m. savybę. sekos b-a = 0 t.y. b = a ir prieiname prie prieštaravimo.
2 savybė: susiliejanti seka yra ribota.
Įrodymas: Tegul a yra susiliejančios sekos riba (x n), tada α n = x n -a yra begalinės mažosios vietos elementas. seka. Imame ε> 0 ir iš jo randame N ε: / x n -a /< ε при n>N ε. Tegul b žymi didžiausią iš skaičių ε + / a /, / x1 /, / x2 /, ..., / x N ε-1 /, x N ε. Akivaizdu, kad / x n /
Pastaba: apribota seka gali būti ne konvergentiška.
6 SEZONAS
Seka a n vadinama begaline maža, o tai reiškia, kad šios sekos riba po yra lygi 0.
a n yra begalinis mažiausias Û lim (n ® + ¥) a n = 0, tai yra, bet kuriam ε> 0 egzistuoja N taip, kad bet kuriam n> N | a n |<ε
Teorema. Begalybės suma yra begalinė.
a n b n ®infinitesimal Þ a n + b n - begalinis.
Įrodymas.
a n - begalinis mažiausias Û "ε> 0 $ N 1:" n> N 1 Þ | a n |<ε
b n - begalinis mažiausias Û "ε> 0 $ N 2:" n> N 2 Þ | b n |<ε
Mes įdedame N = max (N 1, N 2), tada bet kuriam n> N Þ abi nelygybės galioja vienu metu:
| a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Mes nustatome "ε 1> 0, dedame ε = ε 1/2. Tada bet kuriam ε 1> 0 $ N = maxN 1 N 2:" n> N Þ | a n + b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
yra a n + b n - begalinis maţumas.
Teorema Begalinio mažo sandauga yra begalinė.
a n, b n - begalybė Þ a n b n - begalinė.
Įrodymas:
Mes nustatome "ε 1> 0, dedame ε = Öε 1, nes a n ir b n yra begaliniai maži šiam ε> 0, tada yra N 1:" n> N Þ | a n |<ε
$ N 2: "n> N 2 Þ | b n |<ε
Paimkite N = max (N 1; N 2), tada "n> N = | a n |<ε
| a n b n | = | a n || b n |<ε 2 =ε 1
"ε 1> 0 $ N:" n> N | a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n = 0 Û a n b n yra be galo mažas, kaip reikalaujama.
Teorema Ribotos sekos sandauga iš be galo mažos sekos yra be galo maža seka
ir n yra ribota seka
a n yra be galo maža seka Þ a n a n yra be galo maža seka.
Įrodymas: Kadangi a n yra ribotas Û $ С> 0: "nÎ NÞ | a n | £ C
Mes nustatome "ε 1> 0; put ε = ε 1 / C; kadangi a n yra begalinis mažumas, tada ε> 0 $ N:" n> NÞ | a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1> 0 $ N:" n> N Þ | a n a n | = Cε = ε 1 Þ lim (n ® ¥) a n a n = 0 a n a n - begalinis mažumas Seka vadinama BBP(iš eilės), jei rašyti. Akivaizdu, kad BBP nėra ribojamas. Apskritai, priešingas teiginys nėra teisingas (pavyzdys). Jei už didelius n narių, tada parašykite tai reiškia, kad kuo greičiau. Žymėjimo reikšmė apibrėžta panašiai Be galo didelės sekos a n = 2 n ;
b n = ( - 1) n 2 n; c n = -2 n Apibrėžimas(be galo didelės sekos) 1) lim (n ® ¥) a n = + ¥, jei "ε> 0 $ N:" n> N Þ a n> ε, kur ε yra savavališkai maža. 2) lim (n ® ¥) a n = - ¥, jei "ε> 0 $ N:" n> N Þ a n<-ε 3) lim (n ® ¥) a n = ¥ Û "ε> 0 $ N:" n> N Þ | a n |> ε 7 SEZONAS Teorija „Apie monotonišką konvergenciją. paskutinis " Bet kokia monotoniška žinia suartėja, t.y. turi ribas. Doc Tegul paskutinis (xn) yra monotoniškai didėjantis. ir ribojamas iš viršaus. X - visi skaičiai, gaunantys šios žinutės el. Laišką pagal konv. Teoremos yra daug ribotos., Todėl, pagal Teoremoje jis turi ribotą tikslią viršutinę dalį. supX xn®supX (supX žymime x *). Kadangi x * tikslus viršus. veidas, tada xn £ x * "n." e> 0 išvestis yra $ xm (tegul m yra n su dangteliu): xm> x * -e, jei "n> m => iš nurodytų 2 nelygybių, gauname antroji nelygybė x * -e £ xn £ x * + e, jei n> m yra lygi 1 xn -x * 1 8 SEZONAS Eksponentas arba skaičius e R ratlankio numeris. siųsti bendru terminu xn = (1 + 1 / n) ^ n (į galią n) (1). Pasirodo, kad paskutinis (1) kyla monotoniškai, yra apribotas iš viršaus ir lėtai susilieja, šio posto riba vadinama eksponentu ir žymima simboliu e "2.7128 ... Skaičius e 9 SEZONAS Įdėtos linijos principas Tegul eilučių segmentų skaičius nurodomas skaičių eilutėje ,, ... ,, ... Be to, šie segmentai patenkina sl. konv.: 1) kiekvienas paskutinis yra įdėtas į ankstesnįjį, t.y. Ì, "n = 1,2, ...; 2) segmentų ®0 ilgiai didėjant n, tai yra, lim (n® ¥) (bn-an) = 0. Siųskite su nurodytu sv-būsite vadinami lizdu. Teorema Bet kuriame paskutiniame įterptame segmente yra vienas t-ku, priklausantis visiems segmentams paskutinis tuo pačiu metu, turintis bendrą visų segmentų, su kuriais jie susitraukia, tašką. Doc(an) -atsiųskite kairiuosius segmentų yavl galinius taškus. monotoniškai nemažėjantis ir iš viršaus ribojamas skaičiumi b1. (bn) -dešiniųjų galų seka monotoniškai nedidėja, todėl šios sekos yra susilieja, t.y. yra skaičiai с1 = lim (n® ¥) an ir c2 = lim (n® ¥) bn => c1 = c2 => c - jų bendra reikšmė. Iš tikrųjų jis turi ribą lim (n® ¥) (bn -an) = lim (n® ¥) (bn) - lim (n® ¥) (an) pagal 2 sąlygą) o = lim (n® ¥) ( bn- an) = c2-c1 => c1 = c2 = c Akivaizdu, kad m. C. yra būdingas visiems segmentams, nes „n n £ c £ mlrd. Dabar įrodysime, kad jis yra vienas. Tarkime, kad $ skiriasi nuo ', į kurį traukiami visi segmentai. Jei imame bet kokius atskirtus segmentus su ir c ', tai, viena vertus, visa (an), (bn) „uodega“ turi būti šalia t-ki c' '(nes an ir bn susilieja su c ir c 'tuo pačiu metu). Prieštaravimas įrodo t-mu. 10 SEZONAS Bolzano-Weierstrass teorema
Iš bet kokio aspekto. po to galite pasirinkti išėjimą. paklusnus. 1. Kadangi paskutinis yra ribotas, tada $ m ir M, toks, kad "m £ xn £ M", n. D1 = - segmentas, kuriame yra visi paskutiniai taškai. Padalinkime jį per pusę. Bent vienoje iš pusių bus begalinis skaičius t-k paskutinių. D2-ta pusė, kurioje yra begalinis skaičius t-to-last. Mes padalijame jį per pusę. Išilgai kraštų, bent vienoje neg pusėje. D2 nah-Xia begalinis skaičius t-iki paskutinio. Ši pusė yra D3. Mes padalijame segmentą D3 ... ir pan. gauname paskutinius įdėtus segmentus, kurių ilgiai linkę į 0. Pagal n-ąjį įdėtąjį segmentą, $ vienetai. t-ka C, kat. priedai visiems segmentams D1, bet kokiems m-ku Dn1. Segmente D2 renkuosi t-ku xn2, kad n2> n1. Segmente D3 ... ir kt. Dėl to aš jį išsiųsiu į xnkÎDk. 11 SEZONAS 12 SEZONAS esminis Pabaigoje apsvarstykime skaitinės sekos konvergencijos kriterijaus klausimą. Tegul tai: Gavome tokį teiginį: Jei seka susilieja, sąlyga Kaukė: Vadinama skaitinė seka, tenkinanti Cauchy sąlygą esminis... Galima įrodyti, kad ir atvirkščiai. Taigi, mes turime sekos suartėjimo kriterijų (būtiną ir pakankamą sąlygą). Cauchy kriterijus. Kad seka turėtų ribą, ji yra būtina ir pakankama, kad ji būtų esminė. Antroji Cauchy kriterijaus reikšmė. Sekos nariai ir kur n ir m- bet koks be galo susiliejantis. 13 SEZONAS Vienpusės ribos. Apibrėžimas 13.11. Skaičius BET vadinama funkcijos riba y = f (x) NS siekdamas x 0 kairėn (dešinėn), jei tokia | f (x) -A|<ε при x 0 - x< δ
(x - x 0< δ
). Legenda: 13.1 teorema (antrasis ribos apibrėžimas). Funkcija y = f (x) turi NS, siekdamas NS 0, riba lygi BET, jei ir tik tada, kai abi jo vienpusės ribos šiuo metu egzistuoja ir yra lygios BET. Įrodymas. 1) Jei, tada x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ
|f (x) - A|<ε, то есть 1) Jei, tada yra δ 1: | f (x) - A| < ε при x 0 - x< δ 1 и δ 2: |f (x) - A| < ε при x - x 0<
δ 2. Pasirinkę mažesnįjį skaičių δ 1 ir δ 2 ir imdami jį kaip δ, gauname, kad | x - x 0| < δ |f (x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentuoti. Kadangi buvo įrodytas 13.7 punkto apibrėžties reikalavimų ir vienašališkų ribų egzistavimo bei lygybės sąlygų lygiavertiškumas, ši sąlyga gali būti laikoma antrąja ribos apibrėžtimi. 4 apibrėžimas (pagal Heine) Skaičius BET vadinama funkcijos riba, jei bet kuris argumento reikšmių BBP, atitinkamų funkcijos reikšmių seka susilieja su BET. 4 apibrėžimas (pagal Cauchy). Skaičius BET paskambino, jei. Įrodyta, kad šie apibrėžimai yra lygiaverčiai. BILIETAS 14 ir 15 Ribinės f-savybės taške 1) Jei riba egzistuoja t-ke, tai ji yra vienintelė 2) Jei ties x0 funkcijos f (x) limitas lim (x®x0) f (x) = A lim (x®x0) g (x) £ B => tada šiame m-k $ sumos, skirtumo, sandaugos ir koeficiento riba. Šių 2 f-šakų šaka. a) lim (x®x0) (f (x) ± g (x)) = A ± B b) lim (x®x0) (f (x) * g (x)) = A * B c) lim (x®x0) (f (x): g (x)) = A / B d) lim (x®x0) C = C e) lim (x®x0) C * f (x) = C * A 3 teorema. Jei ( resp ) tada $ kaimynystėje, kurioje yra nelygybė > B (resp Nustatymas 3 teoremoje B = 0, gauname: jei ( resp), tada $, visuose taškuose, kurie bus > 0 (atitinkamai<0),
tie. funkcija išlaiko savo ribos ženklą. 4 teorema(dėl perėjimo prie nelygybės ribos). Jei tam tikroje taško kaimynystėje (išskyrus gal šį tašką) sąlyga yra įvykdyta ir šios funkcijos turi ribas taške. Kalba ir. Pristatome funkciją. Aišku, kad šalia esančios vadinamosios. Tada pagal funkcijos išsaugojimo teoremą mes turime jos ribos vertę, bet 5 teorema.(apie tarpinės funkcijos ribą). (1) Jei 16 SEZONAS Apibrėžimas 14.1. Funkcija y = α (x) vadinamas begaliniu mažumu x → x 0, jei Be galo mažų savybių. 1. Dviejų begalybės sumų suma yra begalinė. Įrodymas. Jei α (x) ir β (x) Yra be galo mažos x → x 0, tada yra δ 1 ir δ 2 taip, kad | α (x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α (x) + β (x) | ≤ | α (x) | + | β (x)|<ε, то есть |(α (x) + β (x))-0|<ε. Следовательно, Komentuoti. Iš to išplaukia, kad bet kurio baigtinio begalybės skaičiaus suma yra begalinė. 2. Jei α ( NS) Yra be galo mažas x → x 0, bet f (x) Ar funkcija yra apribota kai kuriose apylinkėse x 0, tada α (x) f (x) Yra be galo mažas x → x 0. Įrodymas. Rinkimės skaičių M toks, kad | f (x) | Išvada 1. Be galo mažo galutiniu skaičiumi sandauga yra begalinė mažuma. Išvada 2. Dviejų ar daugiau begalybės mažumų sandauga yra begalinė. Išvada 3. Tiesinis begalinio mažo derinys yra begalinis. 3. (Trečias ribos apibrėžimas). Jei, tada būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad funkcija f (x) gali būti pavaizduotas kaip f (x) = A + α (x), kur α (x) Yra be galo mažas x → x 0. Įrodymas. 1)
Tegu tada | f (x) -A|<ε при x → x 0, t.y α (x) = f (x) -A- be galo mažas x → x 0. Vadinasi , f (x) = A + α (x). 2) Tegul f (x) = A + α (x). Tada Komentuoti. Taigi gaunamas kitas ribos apibrėžimas, kuris yra lygiavertis dviem ankstesniems. Be galo didelės funkcijos. Apibrėžimas 15.1. Funkcija f (x) vadinama be galo didele x x 0, jei Be galo dideliems galite įvesti tą pačią klasifikavimo sistemą kaip ir begaliniam mažam, būtent: 1. Be galo dideli f (x) ir g (x) laikomi tos pačios eilės kiekiais, jei 2. Jei, tada f (x) laikomas be galo dideliu, aukštesnės eilės nei g (x). 3. Be galo didelis f (x) vadinamas k-ta tvarka begalinio dydžio g (x) atžvilgiu, jei. Komentuoti. Atkreipkite dėmesį, kad x yra be galo didelė (jei> 1 ir x) eilė yra aukštesnė nei x k bet kuriai k, o log a x yra be galo didelė žemesnė tvarka nei bet kuri x k galia. 15.1 teorema. Jei α (x) yra be galo mažas kaip x → x 0, tai 1 / α (x) yra be galo didelis kaip x → x 0. Įrodymas. Įrodykime, kad | x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, | 1 / α (x) |> M. Vadinasi, 1 / α (x) yra be galo didelis kaip x → x 0. 17 SEZONAS 14.7 teorema (pirmoji nuostabi riba). ... Įrodymas. Apsvarstykite vieneto spindulio apskritimą, nukreiptą į pradžią, ir tarkime, kad AOB kampas yra x (radianas). Palyginkime AOB trikampio, AOB sektoriaus ir AOC trikampio sritis, kur tiesė OS yra apskritimo, einančio per tašką (1; 0), liestinė. Akivaizdu, kad. Naudodamiesi atitinkamomis figūrų sričių geometrinėmis formulėmis, iš čia gauname tai Išraiškingas racionaliųjų skaičių sistemos geometrinis vaizdas gali būti gautas taip. Ant kai kurios tiesios linijos, „skaitinės ašies“, pažymėkite segmentą nuo 0 iki 1 (8 pav.). Taip nustatomas vienetų segmento ilgis, kurį paprastai galima pasirinkti savavališkai. Tada teigiami ir neigiami sveikieji skaičiai vaizduojami kaip vienodai išdėstytų taškų rinkinys skaitmeninėje ašyje, tai yra teigiami skaičiai, pažymėti dešinėje, o neigiami - kairėje nuo 0 taško. n, kiekvieną gautą vieneto ilgio segmentą padalijame į n lygias dalis; padalijimo taškai žymės trupmenas, kurių vardiklis yra n. Jei tai darysime n reikšmėms, atitinkančioms visus natūralius skaičius, tada kiekvienas racionalusis skaičius bus pavaizduotas tam tikru skaitmeninės ašies tašku. Sutiksime šiuos punktus vadinti „racionaliais“; apskritai terminai „racionalusis skaičius“ ir „racionalusis taškas“ bus naudojami kaip sinonimai. I skyriaus 1 skirsnyje nelygybės santykis buvo apibrėžtas bet kuriai racionaliųjų taškų porai, natūralu bandyti apibendrinti aritmetinį nelygybės santykį taip, kad būtų išsaugota nagrinėjamų taškų geometrinė tvarka. Tai pavyksta, jei sutinkame su tokiu apibrėžimu: sakoma, kad racionalusis skaičius A mažiau nei racionalusis skaičius B (jis yra didesnis už skaičių A (B> A), jei skirtumas B-A yra teigiamas. Iš to išplaukia (A atveju) tarp A ir B yra tie, kurie vienu metu yra> A ir segmentas (arba segmentas) ir žymimas [A, B] (o tik tarpinių taškų rinkinys yra intervalas(arba tarp), žymimas (A, B)). Vadinamas savavališko taško A atstumas nuo kilmės 0, laikomas teigiamu skaičiumi absoliučioji vertė A ir pažymėtas simboliu „Absoliutinės vertės“ sąvoka apibrėžiama taip: jei A≥0, tai | A | = A; jeigu | A + B | ≤ | A | + | B |, tai tiesa, neatsižvelgiant į A ir B ženklus. Esminės svarbos faktas išreiškiamas tokiu sakiniu: racionalūs taškai yra tankiai išdėstyti skaičių tiesėje. Šio teiginio prasmė yra ta, kad per bet kurį intervalą, kad ir koks mažas jis būtų, yra racionalių taškų. Norėdami patikrinti pateikto teiginio pagrįstumą, pakanka paimti tokį skaičių n, kad intervalas būtų mažesnis už nurodytą intervalą (A, B); tada bent vienas iš požiūrio taškų bus šiame intervale. Taigi skaičių ašyje nėra tokio intervalo (net ir mažiausio, kokį tik galima įsivaizduoti), per kurį nebūtų racionalių taškų. Iš to išplaukia dar viena išvada: kiekviename intervale yra begalinis racionalių taškų rinkinys. Iš tiesų, jei tam tikrame intervale būtų tik baigtinis racionalių taškų skaičius, tada intervale, kurį sudaro du gretimi tokie taškai, nebūtų racionalių taškų, ir tai prieštarauja ką tik įrodytajam.
kartu su natūraliu skaičiumi kitą natūralųjį skaičių galima pakeisti paskutine nelygybe 
, tada
ir sąlyga (2) yra įvykdyta tam tikroje m kaimynystėje (išskyrus gal m), tada funkcija turi ribą ties m ir ši riba yra lygi BET. pagal sąlygą (1) $ už (čia yra mažiausia taško kaimynystė). Bet tada, atsižvelgiant į (2) sąlygą, vertė taip pat bus taško kaimynystėje BET, tie. ...
, t.y α (x) + β (x) Yra be galo mažas.
reiškia, | f (x) -A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
arba sinx