Teoremos, nustatančios ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmens plokštumai. 2 teorema: jei dvi tiesės yra statmenos plokštumai, tada jos yra lygiagrečios viena kitai. 1 teorema: jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tada kita tiesė yra statmena šiai plokštumai.

8 skaidrė nuo pristatymo "Tiesės ir plokštumos statumo sąlyga"... Archyvo su pristatymu dydis yra 415 KB.

Geometrijos 10 klasė

kitų pristatymų santraukos

„Simetrijos pavyzdžiai gamtoje“ - Simetrija geologijoje. Cilindro simetrija. Simetrija biologijoje. Simetrijos tipai. Simetrija geografijoje. Simetrinio pasiskirstymo pavyzdžiai. Simetrija gamtoje. Kas yra simetrija. Diskretiška simetrija. Žmogus, daugelis gyvūnų ir augalų turi dvišalę simetriją. Gamtos objektai. Simetrija yra pagrindinė gamtos savybė. Išorinės kristalo formos simetrija. Simetrija fizikoje.

Skyrius Problemos - Tetraedras. Viduriniai šonkauliai. Taškai. Taškas. Sekcijų statyba. Lygiagretainio pjūvis. Lygis. Meniu. Lygiagretainio pjūvis plokštuma. Skerspjūvio plotas. Sukurkite tetraedro pjūvį. Raskite tiesės susikirtimo tašką. Kubo pjūvis. kubas Tetraedro pjūvis. Taškų duomenys. Daugiakampis. Pageidaujamas skyrius. Vidurys. Sukurkite plokščią kubo sekciją.

„Stereometrijos aksiomų pasekmės“ - Sukurkite kubo vaizdą. Diktantas. Savarankiškas darbas. Suformuluokite teoremą. Raskite plokštumų susikirtimo liniją. Stereometrijos aksiomos ir paprasčiausios jų pasekmės. Geometrijos skaidrės. Paaiškinkite atsakymą. Įvairūs lėktuvai. Kiek veidų eina per vieną, du, tris, keturis taškus. Lėktuvo buvimas. Tiesios linijos susikirtimas su plokštuma. Pavadinkite šių plokštumų susikirtimo liniją. Taškai susikertančios linijos.

„Simetrija aplinkiniame pasaulyje“ - Dauguma paprastų molekulių turi erdvinės simetrijos elementus. Geometrija spalvomis. Pitagoras. Simetrija matematikoje. Gyvybės gėlė. Radialinė simetrija. Platoninės kietosios medžiagos. Simetrija gamtoje. Senovės graikai. Simetrija chemijoje. Šventoji geometrija. Aktinomorfinė simetrija. Bioobjektai su tobula taškų simetrija. Veža. Simetrija aplink mus. Simetrija.

„Pagrindinės stereometrijos aksiomos“ - senovės kinų patarlė. Geometrinės kietosios medžiagos. Stereometrijos dalykas. Geometrija. Keturi lygiakraščiai trikampiai. Aksiomų pasekmės. Cheopso piramidė. Tiesios linijos taškai yra plokštumoje. Pagrindinės figūros erdvėje. Lėktuvas. Pirmosios stereometrijos pamokos. Stereometrijos aksiomų pasekmės. Aksioma. Lėktuvai turi bendrą tašką. Šaltiniai ir nuorodos. Erdvinių figūrų atvaizdai. Stereometrijos aksiomos.

„Dėžutė“ - į dėžutę galima įrašyti tetraedrą. Stačiakampio gretasienio tūrio formulės išvedimas. Segmentas, jungiantis dvi viršūnes. Lygiagretainis turi priešingus veidus, lygiagrečius ir lygius. Savavališkas gretasienis. Taip lygiagrečiai atrodo lygiagrečiai. Stačiakampio gretasienio paviršiaus plotas. Stačiakampis gretasienis. „Zalcburgo paralelepipedas“. Gretasienis yra simetriškas apie įstrižainės vidurį.

Šis skyrius skirtas sąsajų tarp lygiagretumo ir statmenų tiesėms ir plokštumoms, kurios plačiai naudojamos geometrijoje ir jos taikymuose, nustatymui.

Ryšių tarp lygiagretumo ir

Statmenumą erdvėje liudija mūsų patirtis. Iš tiesų, statramsčiai, sumontuoti vertikaliai, yra lygiagrečiai vienas kitam (394 pav.); vertikaliai nukreipti ledo varvekliai lygiagretūs (395 pav.), vertikalūs

pastatus puošiančios kolonos (396 pav.) ir kt.

Panašių obligacijų turinys planimetrijoje yra gerai žinomas: du statmenys vienai tiesei yra lygiagrečiai vienas kitam, ir atvirkščiai, tiesi linija, statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, yra statmena kitai. Tačiau tiesios linijos erdvėje šie teiginiai ne visada yra teisingi (pabandykite patys pateikti tinkamus pavyzdžius). Tuo pačiu metu galima ištirti situacijas, susijusias su tiesių linijų ir plokštumų lygiagretumu ir statmenumu erdvėje.

Išsamiau apsvarstykime ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų plokštumos statmenumo. Šie ryšiai atspindi mūsų naudojamų tikrų objektų santykį

	Tiesių ir plokštumų statmenumas
	mes kasdieniame gyvenime. Tikrai,
	jei viena tvoros lenta yra vertikaliai
	gerai, tada antroji lenta yra pakankamai išdėstyta
	gyvena lygiagrečiai pirmajai, kad ji taip pat
	buvo vertikalus (397 pav.). Tokiu būdu
	tvoros statyba grindžiama šiais dalykais
	tokia teorema.

1 teorema (apie dvi lygiagrečias tieses, iš kurių viena yra statmena plokštumai).

Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai antroji yra statmena šiai plokštumai.

Aukščiau pateikta teorema yra tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas, tai yra, jos pagalba nustatomas tiesės ir plokštumos statmenumas. Jis plačiai naudojamas ne tik geometrijoje, bet ir praktikoje. Pastato sienų statyba su

naudojant svambalą yra ryški šio linijos ir plokštumos statmenumo ženklo naudojimo iliustracija. Išties srieginė linija yra vertikali, o jei konstrukcijos kraštas lygiagretus linijai, tai ji taip pat yra vertikali (398 pav.).

Svarstant 1 teoremą natūraliai kyla klausimas: ar dvi tiesės, statmenos vienai plokštumai, bus lygiagrečios? Patirtis mums atsako į tai (du vertikaliai sumontuoti stulpai yra lygiagrečiai!), Ir tai patvirtina ši teorema, priešinga 1 teoremai.

2 teorema (dėl statmenų plokštumai statmenų tiesių lygiagretumo).

Jei dvi tiesės yra statmenos tai pačiai plokštumai, tada jos yra lygiagrečios.

Aukščiau pateikta teorema taip pat yra ypatybė. Su jo pagalba nustatomas tiesių linijų lygiagretumas erdvinėse struktūrose. Juk vertikalumas arba statmenumas

391

plokštumus kartais lengviau patikrinti (ypač ant didelių gabaritų objektų) nei lygiagretumą. Pavyzdžiui, mes kalbame apie skersinių sijų vietą statant pastato lubas, geometrinių konfigūracijų tiesių linijų lygiagretumo pripažinimą ir kt.

Geometrijoje ir jos taikymuose ne mažiau svarbūs yra ryšiai tarp plokštumų lygiagretumo ir jų statmenumo tiesiai linijai. Mes kalbame apie du lėktuvus ir vieną tiesią liniją. Jei dvi plokštumos yra lygiagrečios ir viena iš jų yra statmena tiesiai linijai, tai kaip bus antroji plokštuma šios tiesės atžvilgiu? Kaip išdėstytos dvi plokštumos, jei jos abi statmenos

ar mes tiesūs? Praktinė patirtis taip pat rodo atsakymus į šiuos klausimus. Jei į lentą įkaliate vinį statmenai vienai lentos pusei, tai ji bus statmena ir priešinga (399 pav.). Jei ratai dedami abiejose aširačio ašies pusėse taip, kad jų plokštumos būtų statmenos ašiai, tada šių ratų plokštumos bus lygiagrečios (400 pav.).

Suformuluokime du tarpusavyje atvirkštinius teiginius, atspindinčius ryšį tarp plokštumų lygiagretumo ir jų statmenumo tiesiai linijai.

3 teorema (lygiagrečiose plokštumose, iš kurių viena yra statmena tiesiai linijai).

Jei viena iš dviejų lygiagrečių plokštumų yra statmena tiesiai linijai, tai antroji plokštuma yra statmena tai pačiai tiesei.

4 teorema (dviejose plokštumose, statmenose tiesiai linijai).

Jei dvi plokštumos yra statmenos vienai tiesei, tada jos yra lygiagrečios.

Atkreipiamas dėmesys į dviejų pateiktų teoremų porų santykį. Kiekvieną iš jų galima suformuluoti terminą „tiesiai“ pakeičiant „plokštuma“ ir atvirkščiai.

3 ir 4 teoremos taip pat yra savybės.

392 Tiesių ir plokštumų statmenumas

Tiesios linijos ir plokštumos statmenumo ženklą (3 teorema) iliustruoja atraminių kolonų vieta grindų ir lubų atžvilgiu. Jei lubų ir grindų plokštumos yra lygiagrečios, pakanka pastatyti koloną statmenai grindims,

ar jis būtų statmenas luboms

Praktinę 4 teoremoje išreikštos savybės vertę iliustruoja gelžbetoninės stačiakampės plokštės gabenimas horizontalioje padėtyje naudojant kraną. Norėdami tai padaryti, naudokite

naudokite keturis identiškus kabelius, kurių galai pritvirtinti taškuose A 1, A 2, A 3, A 4

plokštes ir su kabliuku taške S (402 pav.). Iki

Kadangi plokštė laisvai kabo, kabelis, ant kurio pritvirtintas kabliukas, yra statmenas žemei ir yra tiesioje linijoje, einančioje per plokštės masės centrą (vienalytės plokštės atveju). Jei nepaisysime plokštės storio, tada jos centras yra stačiakampio A 1 A 2 A 3 A 4 įstrižainių sankirtoje. Kadangi SA 1 = SA 2 = SA 3 = = SA 4, tada tiesė, jungianti tašką S su įstrižainių susikirtimo tašku, yra statmena plokštės plokštumai (1 uždavinys, 18 punktas). Todėl, remiantis 4 teorema, plokštė yra horizontaliai.

Pateikti pavyzdžiai neišsemia visų nagrinėjamų funkcijų pritaikymo sprendžiant praktines problemas. Šie ženklai taip pat svarbūs vėlesniam geometrinių žinių gilinimui.

1 problema. Per šį tašką nubrėžkite statmeną tiesę
tam tikros plokštumos kreivumas.
Case atvejis, kai duotas taškas A yra
duotoje plokštumoje α mes apsvarstėme
ankstesnę pastraipą. Dabar tegul taškas
Ir guli už lėktuvo	α. Per savavališkai
taškas Plokštumoje	α nubrėžkite tiesią liniją
b, statmena plokštumai α (403 pav.).
Tada per tašką A brėžiame tiesią liniją,
lygiagreti tiesė b	(kaip tai padaryti?).
Tai bus pageidaujamas, nes jis yra statmenas plokštumai
toks α yra dėl 1 teoremos. ■

393

1 PAVYZDYS. Iš kvadrato ABCD viršūnės A brėžiamas segmentas AM, statmenas plokštumai ABC. Sukurti:

1) plokštuma, einanti per tašką M, statmena tiesei AC;

2) tiesė, einanti per segmento MC vidurio tašką, statmena plokštumai ABC.

 Pavaizduokime pavyzdinę būklę fig. 404, a.

1) Apsvarstykite MAS plokštumą. Pagal sąlygą tiesė MA yra statmena tiesei AC. Norint sukonstruoti norimą plokštumą, pakanka per tašką A nubrėžti kitą tiesę, statmeną tiesei AC. Kadangi tiesė BD yra statmena tiesei AC, ieškoma linija turi būti lygiagreti tiesei BD.

Statyba. Per tašką A brėžiame tiesę AK lygiagrečią tiesei BD (404 pav., B). Jis statmenas tiesiam AC. Plokštuma MAK yra statmena tiesei AC, atsižvelgiant į tiesės ir plokštumos statmenumo kriterijų (18 straipsnio 1 teorema).

2) Tegul N yra MC segmento vidurys (405 pav., A). Ieškoma tiesė yra lygiagreti tiesei MA, lygiagretumo teorema, skirta tiesėms, statmenoms plokštumai (2 teorema). Tai būtina sąlyga.

Teorema pakanka dviejų lygiagrečių tiesių, iš kurių viena yra statmena plokštumai (1 teorema).

Statyba. Nubrėžkite tiesią liniją per tašką N, lygiagrečią tiesei MA (405 pav., B). Jo susikirtimo taškas su kvadrato plokštuma yra kvadrato centras, nes tiesė NO yra plokštumoje MAC ir eina per atkarpos AC vidurį (pagal Thaleso teoremą). ■

Apsvarstykite aukščiau pateiktų teoremų apie ryšius tarp lygiagretumo ir statmenų linijoms ir plokštumoms įrodymą. Nurodytas ryšys tarp dviejų teoremų porų ir tarpusavyje poromis

leidžia tikėtis, kad vienos iš teoremų įrodymas palengvins kitų įrodymą. Pradėkime nuo 1 teoremos. Parašykime ją simboline forma.

Teorema 1. Pateikta: a 1 || a 2, a 1 α.

Įrodykite: a 2 α.

 Teoremai įrodyti naudojame pirmosios testą

tiesės ir plokštumos svyravimas.

Tegul O 1 žymi tiesės a 1 ir plokštumos α susikirtimo tašką. Remiantis teorema apie plokštumos susikirtimą lygiagrečiomis tiesėmis (6 teorema 8 § 8), tiesė a 2, lygiagreti tiesei a 1, taip pat kerta plokštumą α tam tikrame taške O 2 (406 pav., A).

Paimkite tiesias a 1 ir 2 taškus A 1 ir A 2 vienoje plokštumos α pusėje, kad segmentai O 1 A 1 ir O 2 A 2 būtų lygūs. Keturkampis О 1 А 1 А 2 О 2 (406 pav., B) yra lygiagretainis, nes О 1 А 1 || О 2 А 2, О 1 А 1 = О 2 А 2. Panašiai mes statome gramo О 1 В 1 В 2 О 2 lygiagretę savavališkai kryptimi plokštumoje α. Norėdami tai padaryti, per taškus О 1 ir О 2 plokštumoje α nubrėžkite savavališkas lygiagrečias tieses, ant kurių mes pasirenkame taškus В 1 ir В 2 panašiai kaip pasirinkdami taškus А 1 ir А 2 (406 pav., C ).

395

Iš aukščiau pateiktų konstrukcijų matyti, kad keturkampis А 1 В 1 В 2 А 2 yra lygiagretainis. Tiesą sakant, segmentai А 1 А 2 ir В 1 В 2 - yra lygiagretūs ir lygūs, atsižvelgiant į tiesių lygiagretumo ir ilgių lygybės santykių tranzityvumo savybes

(A 1A 2 || O 1O 2, O 1O 2 || B 1B 2, A 1A 2 = O 1O 2, O 1O 2 = B 1B 2).

Dabar apsvarstykite trikampius A 1 O 1 B 1 ir A 2 O 2 B 2. Jie yra lygūs trims kraštinėms: A 1 O 1 = A 2 O 2, O 1 B 1 = O 2 B 2, konstrukcijoje, A 1 B 1 = A 2 B 2 kaip priešingos lygiagretainio kraštinės. Todėl atitinkami šių trikampių kampai yra lygūs, ypač A 1 O 1 B 1 = = A 2 O 2 B 2. Bet kampas A 1 O 1 B 1 pagal sąlygą yra tiesi linija. Todėl kampas A 2 O 2 B 2 taip pat bus teisingas. O tai reiškia, kad tiesė a 2 yra statmena kiekvienai plokštumos α, einančios per tašką O 2, tiesei. Pagal apibrėžimą jis yra statmenas α plokštumai. ■

Teorema 2. Duota: a 1 α, a 2 α.

Įrodyti: a 1 || a 2.

 Tegul tiesės a 1 ir a 2 yra statmenos plokštumai α, O 1, O 2 - jų susikirtimo su plokštuma α taškai (407 pav., A). Per tašką O 2 brėžiame tiesę b lygiagrečią tiesei a 1 (407 pav., B). Pagal 1 teoremą, b α. Jei tiesė b nesutampa su tiesia a 2, tada per jas galima nubrėžti plokštumą β, kertančią plokštumą α išilgai tiesės c (407 pav., C). Tiesės a 2 ir b yra statmenos c linijai, pagal linijos ir plokštumos statmenumą. Tačiau plokštumoje per šį tašką galite nubrėžti tik vieną tiesią statmeną šiai tiesei. Gautas prieštaravimas reiškia, kad tiesės a 2 ir b sutampa, tai yra a 1 || a 2. ■

3 ir 4 teoremų įrodymas atitinka tą pačią schemą kaip ir 1 ir 2 teoremų įrodymai. Padarykite tai patys, naudodamiesi instrukcijomis, pateiktomis po 3 ir 4 teoremų teiginių.

Kaip jau minėta, svarstomų teoremų svarba stereometrijai ir taikymui yra susijusi su tuo, kad kiekvienas iš jų yra ženklas: pirmasis ir trečiasis yra tiesios linijos ir plokštumos statmenumo požymiai, antrasis - lygiagrečios tiesės, o ketvirtoji - plokštumų lygiagretumo ženklas. Tai praplečia mūsų galimybes tiriant abipusį linijų ir plokštumų išdėstymą, vykdant konstrukcijas.

Ši teorema yra 1 problemos rezultato apibendrinimas.

5 teorema (tiesia linija, statmena tam tikrai plokštumai).

Tiesi linija, statmena tam tikrai plokštumai, eina per savavališką erdvės tašką, be to, tik vieną.

 Pirmoji teoremos dalis apie tokios linijos egzistavimą yra pagrįsta sprendžiant problemą

1. Norėdami įrodyti tokios linijos unikalumą, manykite priešingai, būtent:

per tam tikrą tašką A yra dvi skirtingos tiesės a 1 ir 2, statmenos plokštumai α (408 pav.). Pagal 2 teoremą jie yra lygiagretūs, tai yra, jie neturi bendrų taškų.

Šis prieštaravimas patvirtina teiginį. ■

Ankstesniame skyriuje pateiktos 2 problemos rezultatas yra panašus.

6 teorema (plokštumoje, statmenoje duotai tiesei).

Bet kurį erdvės tašką kerta plokštuma, statmena duotai tiesei, be to, tik viena.

 Tokios plokštumos egzistavimas yra pateisinamas sprendžiant ankstesnio skyriaus 3 užduotį. Belieka įrodyti plokštumos unikalumą, tenkinantį teoremos sąlygas. Kaip įprasta tokiais atvejais, mes pripažįstame priešingai, būtent: per duotą

397

dvi skirtingos plokštumos α1 ir α2, statmenos tiesiai a (409 pav.), eina per tašką A. Pagal 4 teoremą jie yra lygiagretūs. Tačiau šie lėktuvai turi bendrą tašką A. Šis prieštaravimas patvirtina teiginį. ■

2 PAVYZDYS. Iš kvadrato ABCD viršūnės A brėžiama tiesė, statmena kvadrato plokštumai, ir ant jos paimamas taškas S. Sukurti:

1) tiesė, einanti per kvadrato centrą O statmenai jo plokštumai;

2) plokštuma, einanti per statmeną jai segmento AS vidurį P;

3) plokštuma, einanti per tašką A statmena BD linijai;

4) tiesė, einanti per tašką A, statmena SBD plokštumai.

 1) Darant prielaidą, tiesė AS yra statmena kvadrato plokštumai. Bet kuri kita tiesė, statmena šiai plokštumai, bus lygiagreti tiesei AS pagal 2 teoremą, tai yra, tiesės AS lygiagretumas yra būtina sąlyga ieškomos tiesios plokštumos statmenumui. Tai taip pat pakankama sąlyga pagal 1 teoremą.

Statyba. Per tašką O brėžiame tiesią liniją OE, lygiagrečią tiesei AS (410 pav.). Tiesi linija OE yra statmena kvadrato plokštumai pagal dviejų parametrų teoremą

lygiagrečios tiesės, iš kurių viena yra statmena plokštumai.

2) Pagal sąlygas tiesė АS yra statmena

ABCD plokštumoje. Bet kuri kita plokštuma, statmena tiesiai linijai AS, bus lygiagreti plokštumai ABCD pagal 4 teoremą. 3 teorema yra norimos plokštumos lygiagretumas plokštumai ABCD.

Statyba. Per tašką P nubrėžkite plokštumą, lygiagrečią plokštumai ABCD.

Norėdami tai padaryti, nubrėžkite tiesias linijas per tašką P

РK ir РL, lygiagrečiai atitinkamai tiesėms АD ir AB (411 pav.). Lėktuvas РKL

yra lygiagreti plokštumai ABCD, plokštumų lygiagretumo ženklu, todėl

yra norimas.

398 Tiesių ir plokštumų statmenumas

3) Kvadrato įstrižainės yra statmenos, tai yra, VO AO (žr. 410 pav.). Todėl tiesi linija AO yra norimoje plokštumoje. Jei per tašką O, statmeną VO, nubrėžkime kitą tiesią OE, tai tiesė VO bus statmena plokštumai AOE pagal tiesės ir plokštumos statmenumo kriterijų (1 teorema, § 18). Šioje plokštumoje yra taškas A.

Statyba. Nubrėžkime tiesią liniją OE per tašką O, lygiagrečią tiesei AS. Jis bus statmenas ABCD plokštumai (412 pav.). OE linija yra statmena

tiesė VO, pagal tiesės ir plokštumos statmenumą. AOE lėktuvas yra pageidaujamas.

4) Apsvarstykite trikampius ABD ir SBD

(413 pav., A). Nuo tada jie yra lygiašoniai

AD = AB pagal sąlygą, o lygybė SB = SD išplaukia iš stačiakampių trikampių ASD ir ASB lygybės. Jų vidurkiai SO ir AO yra aukščiai, todėl tiesė BD yra statmena plokštumai AOS, atsižvelgiant į tiesės ir plokštumos statmenumo kriterijų (1 teorema). Stačiakampiame trikampyje AOS iš stačiojo kampo A viršūnės brėžiame aukštį AE (413 pav., B). Pageidautinas tiesioginis AE. Iš tiesų, nubrėžkime plokštumoje SBD per tašką E tiesę EF, lygiagrečią tiesei BD. Ši tiesė bus statmena plokštumai AOS pagal 1 teoremą. Tai reiškia, kad ji yra statmena tiesei AE. Pagal tiesės ir plokštumos statmenumo kriterijų (1 teorema 18 §) tiesė AE yra statmena plokštumai SBD. ■

399. kas iš tikrųjų yra lygiagretumas

9 9 Testo klausimai

1. Ar tiesa, kad toje pačioje plokštumoje yra dvi tiesios statmenos tam tikrai plokštumai?

2. Ar du piramidės šoniniai kraštai gali būti statmeni- piramidės pagrindo plokštuma?

3. Ar galima nubrėžti tiesią liniją, statmeną dviem sankirtoms?- į atgailaujančius lėktuvus?

4. Ar yra ryšys tarp šimto kojų vietos- la apie jo paviršių ir grindis, ant kurių jis stovi?

5. Ar yra kubo pjūvis, esantis plokštumoje, statmenoje tiksliai dviem jo kraštams?

6. Ar galima tuo pačiu metu nubrėžti statmeną plokštumą- tik dvi kirtos tiesios linijos?

7. Kodėl pavasarį nuo stogo kabančius ledo varveklius galima laikyti lygiagrečiais vienas kitam (neatsižvelgiant į jų storį)- Nojaus)?

8. Ant lubų yra kabliukas. Virvių pagalba būtina pakabinti platformą prie jos taip, kad jos plokštuma būtų- rizontalinis. Kaip tai padaryti?

9. Ar įmanoma per tam tikrą erdvės tašką nubrėžti tris nuorodas?- labai statmenos tiesios linijos? Ir keturi?

10. Kiek skirtingų plokštumų apibrėžia keturios tiesios linijos, statmenos vienai plokštumai?

Grafiniai pratimai

1. Fig. 414			pavaizduotas stačiakampis
lygiagretainis				ABCDA1 B1 C1 D1 su keturiais -
ABCD bazė, taškai M, N,
P, Q - atitinkamai kraštų vidurio taškai
BC, B1 C1, AB,			D 1 C 1, taškai O, O 1 - centrai
susiduria su ABCD			ir A 1 B 1 C 1 D 1. Nustatyti
tiksli nurodytos tiesės vieta
ir lėktuvas:					OM ir ADD 1;
		ir ABC;
	OC ir DBB1;					ir NQO 1;
	B1 C	ir BAD 1;			A1 C1	ir MNQ;
		ir BDD 1;			QN ir NPM.

400 Tiesių ir plokštumų statmenumas

2. Fig. 415 parodytas Ozette trikampis ABC, O yra jo centras, OS yra

segmentas, statmenas trikampio plokštumai, taškai M, N - atitinkamai kraštinių AB, BC vidurio taškai. Burna-

Nauja santykinė padėtis: 1) tiesė AB ir plokštuma SOC;

2) tiesi linija MN ir plokštuma SOB;

3) tiesios kintamosios srovės ir plokštumos MNS.

3. Fig. 416 pavaizduotas apskritimas su centru O, AB ir CD - jo tarpusavio statmena

garbanotieji skersmenys, MV - apskritimo liestinė, gerai, BL - lygūs segmentai,

statmena apskritimo plokštumai. Nustatykite abipusį susitarimą:

1) tiesė BL ir plokštuma AOC;

2) tiesė BM ir plokštuma LOK;

3) tiesi BM ir plokštuma COK;

4) tiesi linija KL ir plokštumos DOK;

5) lėktuvai DOK ir MBL;

6) tiesė BK ir plokštuma CLD.

4. Naudodami pateiktus duomenis sukurkite figūrą.

1) Lėktuvas, einantis per kraštą AB yra taisyklingas tetraedras SABC, statmenas kraštui SC.

2) Plokštuma, statmena AC, eina per tašką M, kuris yra ant taisyklingos keturkampės piramidės SABCD įstrižainės AC.

407. Iš viršaus stačiu kampu Iš stačiakampio stačiakampio trikampio ABC statmenai šio trikampio plokštumai nubrėžta tiesė, ant jos paimtas taškas S. Sukurti:

1 °) plokštuma, einanti per tašką S, statmena tiesei AB;

2 °) tiesė, einanti per segmento AS vidurio tašką, statmena plokštumai ABC;

3 °) plokštuma, einanti per tašką A, lygiagreti BCS plokštumai;

401

4) tiesė, einanti per tašką C, statmena plokštumai ABS, jei AC = 2 3 CS.

408. Iš lygiašonio stačiakampio trikampio ABC hipotenuzės BC vidurio K nubrėžta tiesi linija, statmena šio trikampio plokštumai, ir ant jo imamas taškas M.

1 °) plokštuma, einanti per tašką M, statmena AC linijai;

2 °) tiesė, einanti per AM atkarpos vidurio tašką, statmena plokštumai ABC;

3 °) plokštuma, einanti per tašką A, lygiagreti plokštumai BCM;

4) plokštuma, einanti per tašką K statmena tiesiai AM, jei MK = CK.

409. Iš taisyklingojo trikampio ABC centro O brėžiama tiesi linija, statmena trikampio plokštumai, ir ant jos paimamas taškas S.

1 °) plokštuma, einanti per tašką O statmena tiesei BC;

2 °) tiesė, einanti per segmento AS vidurį, statmena plokštumai ABC;

3) plokštuma, einanti per segmento AS vidurio tašką, statmena tiesiai OS;

4 *) tiesė, einanti per tašką A, statmena BCS plokštumai.

410. Duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Sukurti:

1 °) tiesi linija, einanti per veido centrą A1 B1 C1 D1 juosta - statmena priešingam veidui; 2 °) plokštuma, einanti per viršūnę Ir statmena įstrižainei BD;

3) tiesi linija, einanti per veido centrą AA 1 B 1 B statmena plokštumai BDD 1;

4 *) plokštuma, einanti per tašką D statmena BD 1 linijai.

411. Tetraedre SABC visi veidai yra taisyklingi trikampiai, taškas O yra ABC centras, D yra krašto BC vidurys, taškas N priklauso kraštui SA.

1 °) Nustatykite santykinę tiesės SO ir plokštumos ABC padėtį.

2 °) Nustatykite santykinę BC linijos ir ASD plokštumos padėtį.

3) Nubrėžkite tiesią liniją per tašką N, statmeną veidui ABC.

4 *) Sukurkite tetraedro pjūvį su plokštuma, einančia per tašką N, statmenai tiesei OS.

412 °. Du elektros laidai turi būti ištempti nuo 7 m aukščio stulpo iki 4 m aukščio pastato. Kiek laidų jums reikia, jei atstumas nuo pastato iki stulpo yra 10 m ir prie jo reikia pridėti 3% jo apskaičiuoto ilgio laidas nukrito?

413. Vienoje iš stačiakampio viršūnių įrengtas sargybos bokštas, skirtas stačiakampio ploto apsaugai. Atstumai nuo bokšte stovinčio stebėtojo iki likusių stačiakampio viršūnių yra lygūs a, b, c ir a> b> c. Koks yra bokšto aukštis?

414. Trys lygiagrečios tiesės a, b, c nėra toje pačioje plokštumoje. Per tašką M, gulintį tiesėje a, statmenys brėžiami tiesėms b ir c, atitinkamai kertant jas taškuose P ir Q. Įrodykite, kad tiesė PQ yra statmena tiesėms b ir c.

415. Per tašką O, esantį trikampio ABC aukštyje CD, į jo plokštumą nubrėžtas statmenas OM. Įrodykite, kad plokštuma, einanti per linijas CD ir OM, yra statmena tiesei AB.

416 *. Duota plokštuma α ir tiesi linija, kertanti plokštumą taške M, o ne statmena α. Įrodykite, kad plokštumoje α per tašką M yra tiesė, statmena tiesiai a, ir, be to, tik viena.

417. Tiesia linija, statmena plokštumai α, imami du taškai A ir B, nesantys plokštumoje α, o plokštumoje α - du taškai X ir Y. Yra žinoma, kad XA> XB. Palyginkite segmentus

YA ir YB.

403

Kartojimo pratimai

418. Įrodykite, kad visos plokštumos tiesios, statmenos duotai tiesiai plokštumai, sudaro šią plokštumą.

419. Kaip padalinti segmentą per pusę, naudojant tik šabloną: a) stačiu kampu; b) smailusis kampas?

420. Lygiagretainio kraštinės yra 2 m ir 16 dm; atstumas tarp didelių pusių yra 8 dm. Nustatykite atstumą tarp mažesnių pusių.

Pagrindiniai teiginiai

Dviejų teorema	Jei vienas iš dviejų
lygiagretus	lygiagretus
tiesioginis, vienas iš	statmenas
kuris statmenas	lėktuvas, tada antrasis
garbanotas į lėktuvą		statmenas		a || b, a α b α
	poliškumas šiai plokštumai.
Paralelė	Jei dvi tiesios linijos
tiesių linijų lojalumas,	yra pasvirę į vieną
statmenas	ir tada ta pati plokštuma
lėktuvas	jie yra lygiagretūs.
				a α, b α a || b
Paralelė	Jei vienas iš dviejų
plokščias plokščias	lygiagretus		butas
kaulai, vienas iš	tei yra statmena
kuris statmenas	tiesiai, tada antra
kular tiesiai	lėktuvas	statmenai
	įdomu šiai eilutei.			α || β, α l β l
Dviejų teorema			lėktuvas
lėktuvai,	statmenas vienam
pendikulinis	Nojus tiesiai, tada jie
	yra lygiagrečios.
				α l, β l α || β

Pamokos tikslai:

1) įtvirtinti teorijos klausimus tema „Tiesės ir plokštumos statmenumas“;

2) lavinti įgūdžius sprendžiant pagrindinių tipų problemas tiesės ir plokštumos statmenumui.

Užsiėmimų metu

I. Organizacinis momentas

Praneškite apie temą ir pamokos planą.

II. Mokinių žinių atnaujinimas

1) Teorinė apklausa.

Suformuluokite ir įrodykite teoremą tiesia linija, statmena plokštumai (paruoškite prie vieno iš mokinių lentos, tada su visa klase klausykite jo atsakymo).

2) Individualios rašytinės užduotys:

Įrodykite teoremą apie dviejų lygiagrečių tiesių statmenumą trečiajam (1 mokinys);

Įrodyti teoremą, nustatančią ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmens plokštumai (1 studentas);

Įrodykite priešingą teoremai teoremą, nustatančią ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmenumo plokštumai (1 studentas);

Įrodykite tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą (1 mokinys).

3) Nepriklausomas užduočių sprendimas, pagrįstas paruoštais brėžiniais, po to patikrinimas ir prireikus aptarimas.

I lygis: Nr. 1, 2, 5.

II lygis: Nr. 3, 4, 6.

Taškas M yra už plokštumos ABC.

1. Pav. 1. Įrodykite: tiesė АС yra statmena plokštumai АМВ.

2. Pav. 2. BMDC yra stačiakampis. Įrodyti: tiesė CD yra statmena plokštumai ABC.

3. Pav. 3. ABCD yra stačiakampis. Įrodyti: AD ⊥ AM.

1-6 problemų sprendimas.

4. Pav. 4. Įrodyti: ВС ⊥ DE.

5. Pav. 5. ABCD - lygiagretainis. Įrodykite: tiesė MO yra statmena plokštumai ABC.

6. Pav. 6. ABCD - rombas. Įrodykite, kad BD linija yra statmena AMC plokštumai.

Įrodymas:

AC ⊥ AB (pagal sąlygą), AC ⊥ AM (pagal sąlygą),

Įrodymas:

Kadangi BMDC yra stačiakampis, tada ∠MBC = 90 °, o tai reiškia

MB ⊥ (ABC) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu).

MB || DC (pagal stačiakampio kraštinių ypatybę). Vadinasi, DC ⊥ (ABC) (pagal teoremą apie ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmens plokštumai).

Įrodymas:

1) Kadangi ABCD yra stačiakampis, tada ∠ABC = 90 °, taigi BC ⊥ AB, AB ⊂ (ABM)

ВС ⊥ (АМВ) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu).

2) prieš Kristų || AD (pagal stačiakampio kraštinių ypatybę). Todėl AD ⊥ (AMB) (pagal teoremą apie ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmenumo plokštumai).

3) AD ⊥ AM (pagal tiesę, statmeną plokštumai).

Nr. 4 (7 pav.)

Įrodymas: Kadangi ΔСМВ yra lygiašonis (pagal sąlygą), o MD - aukštis, tai MD yra mediana (pagal lygiašonio trikampio aukščio savybę).

Taigi CD = BD (pagal medianos apibrėžimą).

1) Kadangi ΔABC yra lygiašonis (pagal sąlygą), o AD yra mediana (pagal apibrėžimą), tai AD yra aukštis (pagal lygiašonio trikampio mediana). Vadinasi, pr. Kr.

2) ВС ⊥ (AMD) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu).

3) ВС ⊥ DE (pagal tiesę, statmeną plokštumai).

Įrodymas:

1) AC ∩ BD = О; AO = OS, BO = OD (pagal lygiagretainio įstrižainių savybę).

2) ΔBMD yra lygiašonis (pagal sąlygą), o MO yra mediana (pagal apibrėžimą), o tai reiškia, kad MO yra aukštis (pagal lygiašonio trikampio vidurio savybę).

Todėl MO ⊥ BD.

3) ΔАМС: MO ⊥ АС (tai įrodyta panašiai kaip 2 punktas).

4) MO ⊥ (AVS) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu).

Nr. 6 (8 pav.)

Įrodymas: AC ⊥ BD ir AO = OC, BO = OD (pagal rombo įstrižainių savybę). ΔBMD yra lygiašonis (pagal sąlygą), o MO yra mediana (pagal apibrėžimą), o tai reiškia, kad MO yra aukštis (pagal lygiašonio trikampio vidurio savybę).

Todėl MO ⊥ BD.

(remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu).

III. Spręsti problemas

Sprendimas raštu ant lentos ir 130 užduočių sąsiuviniuose (išsamus sprendimas vadovėlyje), Nr. 134 (padedant mokytojui), pakvieskite stiprų mokinį prie lentos.

(Prieš tęsdami problemos sprendimą, pakartokite sąvokas: atstumas tarp dviejų taškų ir atstumas nuo taško iki tiesės. Suformuluokite šių sąvokų apibrėžimus.)

Duota: ABCD - kvadratas; MB - tiesiai (9 pav.).

Raskite: a) MA, MD, MS; b) ρ (M; AC), ρ (M; BD).

1) AB = BC = CD = AD = n (pagal kvadrato kraštinių savybę).

2) ΔАВМ ir ΔСВМ yra stačiakampiai, nes ∠MBA = ∠МВС = 90 °.

Pagal Pitagoro teoremą: mes gauname

3) Kadangi BD yra kvadrato įstrižainė, tada

4) Kadangi ∠MBA = ∠MBC = 90 °, tada

MB ⊥ (ABC) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu). Taigi, MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) (pagal plokštumai statmenos linijos apibrėžimą).

5) ΔMBD - stačiakampis (kadangi MB ⊥ BD, tada ∠MBD = 90 °). Pagal Pitagoro teoremą:

6) ρ (M; BD) = MB (pagal atstumo nuo taško iki tiesės apibrėžimą). Taigi, ρ (M; BD) = m.

7) AO = OC, BO = OD (pagal kvadratinių įstrižainių savybę). Kaip tada ΔAMC yra lygiašonis (pagal apibrėžimą), o MO yra mediana (pagal apibrėžimą), o tai reiškia, kad MO yra aukštis (pagal lygiašonio trikampio, nubrėžto iki jo pagrindo, mediana). Todėl MO ⊥ AC.

„6 klasės statmenos linijos“ - M. Tiesė b eina per tašką M, esantį tiesėje a. 1 pamoka 6 klasė. Statmenos tiesios linijos.

„Statumas“ - apibrėžimas. 4. Užduotis 3. Įrodykite, kad trikampis EDS yra stačiakampis, ir raskite AE. E. Taigi, pradėkime verslą! Teoremos. A. Kokias teoremas galima iliustruoti šiomis nuotraukomis? 3. 2 uždavinysSkaidrė 16. 5. Užduotis 4. C. Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas! Statmenumas. Problemų sprendimas.

„Statmenumas erdvėje“ - a. Baigta: I. Kosmose. Tiesiai. Pagal sąlygą b || a, o pagal konstrukciją a || MA, todėl b || MA. Statmenos tiesios linijos. Ryžiai. 2. Įrodykime lemmą apie dviejų lygiagrečių tiesių statmenumą trečiajai linijai.

„Dviejų plokštumų statmenumo ženklas“ - Atsakymas: Taip. Kadangi tiesė a yra statmena plokštumai?, Tada a ir b suformuotas kampas yra tiesus. Lėktuvas? statmena plokštumai ?. Ar plokštumoje bus tiesi linija? statmena plokštumai ?? Pratimas 7. Pratimas 8. Pratimas 4. Plokštuma ir tiesė yra lygiagrečios. Lėktuvų statmenumas.

„Statumas erdvės geometrijoje“ - a. Cherepanovo savivaldybės švietimo įstaiga - 4 -oji vidurinė mokykla. Problemos: Lemma apie tiesių linijų statmenumą. Tikslas: išanalizuoti įvairius šaltinius šia tema. Tyrimo metodai: paryškinti pagrindinius statmenumo erdvėje svarstymo metodus. Susipažinkite su statmenumu erdvėje.

„Tiesiai statmena plokštumai“ - sienų susikirtimo linijos grindų plokštumos atžvilgiu ir kt. Statmenos linijos erdvėje. Netrikdomas telegrafo stulpas stovi tiesiai, t.y. statmenai žemės plokštumai. Statmenos linijos gali kirsti ir jas kirsti. Tiesių ir plokštumų statmenumas. Def.

Iš viso yra 20 pristatymų