Prisiminkite, kad natūralų skaičių a padalyti iš natūralaus skaičiaus b reiškia skaičių a tokiu pavidalu:

kur koeficientas c ir likusi dalis r yra neigiami sveikieji skaičiai, o likusi dalis r patenkina nelygybę:

Jei daugianariai yra padalinti vienas į kitą, susidaro panaši situacija.

Iš tiesų, atliekant polinomų sudėjimo, atėmimo ir daugybos operacijas, rezultatas visada bus daugianaris. Visų pirma, dauginant du ne nulinius daugianarius, sandaugos laipsnis bus lygus veiksnių laipsnių sumai.

Tačiau dėl to daugianarių padalijimas polinomas ne visada gaunamas.

Jie sako, kad vienas daugianaris visiškai (be liekanos) dalijasi iš kito daugianario jei padalijimo rezultatas yra daugianaris.

Jei vienas daugianaris visiškai nesidalija iš kito daugianario, tada visada gali būti padaryta daugianarių padalijimas su likučiais, todėl ir koeficientas, ir likusi dalis bus daugianariai.

Apibrėžimas . Padalintas daugianaris a(x) pagal daugianarį b(x) su likučiais- tai reiškia polinomą a(x) kaip

a(x) = b(x) c(x) + r(x) ,

kur yra daugianaris c(x) Ar yra koeficientas ir daugianaris r(x) Ar likusi dalis, be to, likusios dalies laipsnis patenkina nelygybę:

Labai svarbu pažymėti, kad formulė

a(x) = b(x) c(x) + r(x)

yra tapatybę , t.y. lygybė galioja visoms kintamojo x reikšmėms.

Dalijant (su likučiu arba be jo) daugianarį iš mažesnio laipsnio daugianario koeficiento, gaunamas daugianaris, kurio laipsnis lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio laipsnių.

Vienas iš būdų padalyti daugianarius su likučiais yra kampinis daugianarių padalijimas, tai yra visiška analogija, kaip tai daroma dalijant sveikuosius skaičius.

Dabar pereiname prie šio daugianarių dalijimo metodo aprašymo.

Pavyzdys. Iš anksto išdėstydami daugianarius mažėjančiais kintamojo laipsniais, mes padalijame daugianarį

2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1

pagal polinomą

x 2 - x + 1 .

Sprendimas. Apibūdinkime daugianarių padalijimo „kampiniais“ žingsniais algoritmą:

1. Padalinti pirmasis dividendų terminas 2x 4 iki pirmojo daliklio termino x 2. Mes gauname pirmasis eilinio narys 2x 2 .
2. Padauginti pirmasis eilinio narys 2x 2 įjungta skirstytuvas x 2 - x+ 1, ir daugybos rezultatas

2x 4 - 2x 3 + 2x 2

rašome po dividendu 2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1 .

3. Iš dividendų atimkite po juo parašytą polinomą. Mes gauname pirmasis likutis

x 3 + 3x 2 - 8x .

Jei ši liekana būtų lygi nuliui arba būtų daugianaris, kurio laipsnis yra mažesnis už daliklio laipsnį (šiuo atveju mažesnis nei 2), tada padalijimo procesas būtų baigtas. Tačiau taip nėra, ir padalijimas tęsiasi.

4. Padalinti pirmasis likusios dalies narys x 3 iki pirmojo daliklio termino x 2. Mes gauname antrasis privataus narys x.
5. Padauginti antrasis privataus narys x įjungta skirstytuvas x 2 - x + 1 , ir daugybos rezultatas

x 3 - x 2 +x

rašome po pirmąja dalimi x 3 + 3x 2 - 8x .

6. Iš pirmojo likučio atimkite po daugianario. Mes gauname antrasis likutis

4x 2 - 9x + 1 .

Jei ši liekana būtų lygi nuliui arba būtų daugianaris, kurio laipsnis yra mažesnis už daliklio laipsnį, tada padalijimo procesas būtų baigtas. Tačiau taip nėra, ir padalijimas tęsiasi.

7. Padalinti pirmoji antrojo likučio kadencija 4x 2 įjungta pirmasis daliklio terminas x 2. Mes gauname trečiasis privataus narys 4 .
8. Padauginti trečiasis privataus narys 4 įjungta skirstytuvas x 2 - x + 1 , ir daugybos rezultatas

Pateikiamas įrodymas, kad netaisyklinga trupmena, sudaryta iš daugianarių, gali būti pavaizduota kaip daugianario ir taisyklingosios trupmenos suma. Išsamiai analizuojami daugianarių padalijimo kampu ir daugybos iš stulpelio pavyzdžiai.

Turinys

Teorema

Tegul P k (x), Q n (x)- polinomai k atitinkamai k ir n laipsnių kintamajame x, kai k ≥ n. Tada daugianaris P k (x) gali būti pateiktas tik tokiu būdu:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
kur S k-n (x)- k-n laipsnio polinomas, U n- 1 (x)- daugiakampis daugiausiai n- 1 , arba nulis.

Įrodymas

Pagal polinomo apibrėžimą:
;
;
;
,
kur p i, q i yra žinomi koeficientai, s i, u i yra nežinomi koeficientai.

Pristatome žymėjimą:
.
Pakaitinis narys (1) :
;
(2) .
Pirmasis narys dešinėje yra k laipsnio polinomas. Antrojo ir trečiojo narių suma yra daugumos k polinomas 1 ... Sutapatinkime koeficientus x k:
p k = s k-n q n.
Vadinasi s k-n = p k / q n.

Mes transformuojame lygtį (2) :
.
Pristatome žymėjimą :.
Kadangi s k-n = p k / q n, koeficientas x k yra lygus nuliui. Todėl - tai daugiausiai k laipsnio polinomas 1 ,. Tada ankstesnę lygtį galima perrašyti taip:
(3) .


Ši lygtis turi tokią pačią formą kaip ir lygtis (1) , tapo tik k reikšmė 1 mažiau. Kartodami šią procedūrą k-n kartų, gauname lygtį:
,
iš kurio nustatome polinomo U n- koeficientus 1 (x).

Taigi, mes nustatėme visus nežinomus koeficientus s i, u l. Be to, s k-n ≠ 0 ... Lemma įrodyta.

Polinomų padalijimas

Dalijant abi lygties puses (1) ant Q n (x), mes gauname:
(4) .
Panašus į dešimtainius skaičius, S k-n (x) vadinama visa trupmenos dalis arba koeficientas, U n- 1 (x) yra likusi padalijimo dalis. Polinomų dalis, kurios skaitiklio polinomo laipsnis yra mažesnis už vardiklio daugianario laipsnį, vadinama taisykline trupmena. Polinomų dalis, kurios skaitiklio polinomo laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio daugianario laipsniui, vadinama netinkama dalimi.

Lygtis (4) parodo, kad bet kurią netaisyklingą daugianarių trupmeną galima supaprastinti vaizduojant ją kaip neatskiriamos dalies ir taisyklingosios trupmenos sumą.

Dešimtainiai sveikieji skaičiai yra daugianariai, kurių kintamasis yra lygus skaičiui 10 ... Pavyzdžiui, paimkime skaičių 265847. Jis gali būti pavaizduotas taip:
.
Tai yra, tai penktojo laipsnio polinomas 10 ... Skaičiai 2, 6, 5, 8, 4, 7 yra skaičiaus, kurio galia yra 10, išsiplėtimo koeficientai.

Todėl polinomams galite taikyti kampo padalijimo taisyklę (kartais vadinamą ilgiu padalijimu), kuri taikoma skaičių padalijimui. Skirtumas tik tas, kad dalijant daugianarius, nereikia išversti didesnių nei devynių skaičių į reikšmingiausius skaitmenis. Panagrinėkime daugianarių padalijimo kampu procesą, naudojant konkrečius pavyzdžius.

Polinomų padalijimo iš kampo pavyzdys


.

Skaitiklis čia yra ketvirto laipsnio daugianaris. Vardiklis yra antrojo laipsnio daugianaris. Nes 4 ≥ 2 , tada trupmena yra neteisinga. Parenkame visą dalį, padalydami daugianarius kampu (stulpelyje):





Čia yra išsamus skilimo proceso aprašymas. Kairiajame ir dešiniajame stulpeliuose rašome originalius daugianarius. Po vardiklio daugianariu dešiniajame stulpelyje nubrėžkite horizontalią liniją (kampą). Žemiau šios linijos, po kampu, bus visa trupmenos dalis.

1.1 Mes randame pirmąjį visos dalies terminą (po kampu). Norėdami tai padaryti, mes padalijame aukščiausią skaitiklio narį iš aukščiausio vardiklio nario :.

1.2 Padauginti 2 x 2 x 2 - 3 x + 5:
... Rezultatą rašome kairiajame stulpelyje:

1.3 Mes paimame polinomų skirtumą kairiajame stulpelyje:

.



Taigi, mes gavome tarpinį rezultatą:
.

Dalis dešinėje yra neteisinga, nes daugianario laipsnis skaitiklyje ( 3 ) yra didesnis arba lygus vardiklio polinomo laipsniui ( 2 ). Kartojame skaičiavimus. Tik dabar trupmenos skaitiklis yra paskutinėje kairiojo stulpelio eilutėje.
2.1 Padalinkite aukščiausią skaitiklio narį iš didžiausio vardiklio nario :;



2.2 Padauginkite iš vardiklio :;


2.3 Ir atimkite iš paskutinės kairiojo stulpelio eilutės :;


Tarpinis rezultatas:
.

Dar kartą kartojame skaičiavimus, nes dešinėje pusėje yra neteisinga trupmena.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Taigi gavome:
.
Polinomo laipsnis dešinės trupmenos skaitiklyje yra mažesnis už vardiklio daugianario laipsnį, 1 < 2 ... Todėl trupmena yra teisinga.

;
2 x 2 - 4 x + 1- tai visa dalis;
x - 8 - likusi dalis.

2 pavyzdys

Pasirinkite visą trupmenos dalį ir raskite likusią padalijimo dalį:
.

Mes atliekame tuos pačius veiksmus, kaip ir ankstesniame pavyzdyje:

Čia likusi padalijimo dalis yra lygi nuliui:
.

Polinomų dauginimas iš stulpelio

Taip pat galite dauginti daugianarius stulpelyje, panašiai kaip dauginant sveikus skaičius. Pažvelkime į konkrečius pavyzdžius.

Polinomų dauginimo iš stulpelio pavyzdys

Raskite polinomų sandaugą:
.

1

2.1
.


2.2
.


2.3
.
Rezultatą rašome stulpelyje, išlygindami x galias.

3
;
;
;
.

Atkreipkite dėmesį, kad buvo galima parašyti tik koeficientus, o kintamojo x galios galima praleisti. Tada dauginimas iš daugianarių stulpelio atrodys taip:


2 pavyzdys

Raskite polinomų sandaugą stulpelyje:
.

Padauginus daugianarius su stulpeliu, svarbu vienas po kito parašyti tas pačias kintamojo x galias. Jei trūksta kai kurių x galių, jas reikia aiškiai parašyti, padauginti iš nulio arba palikti tarpus.

Šiame pavyzdyje trūksta kai kurių laipsnių. Todėl mes juos aiškiai rašome padauginę iš nulio:
.
Mes dauginame daugianarius su stulpeliu.



1 Mes rašome originalius daugianarius vienas po kito stulpelyje ir brėžiame liniją.

2.1 Padauginame mažiausią antrojo daugianario narį iš pirmojo daugianario:
.
Rezultatą rašome stulpelyje.

2.2 Kitas antrojo daugianario narys yra nulis. Todėl jo sandauga pagal pirmąjį daugianarį taip pat yra lygi nuliui. Nulinės eilutės galima praleisti.

2.3 Kitą antrojo daugianario narį padauginame iš pirmojo daugianario:
.
Rezultatą rašome stulpelyje, išlygindami x galias.

2.3 Kitą (aukščiausią) antrojo daugianario narį padauginame iš pirmojo daugianario:
.
Rezultatą rašome stulpelyje, išlygindami x galias.

3 Po to, kai visi antrojo daugianario terminai padauginami iš pirmojo, mes nubrėžiame liniją ir pridedame tas pačias x galias:
.

Bendras monomijos vaizdas

f (x) = kirvis n, kur:

-a yra koeficientas, kuris gali priklausyti bet kuriam rinkiniui N, Z, Q, R, C.

-x- kintamasis

-n eksponentas, priklausantis aibei N

Du monomai yra panašūs, jei jie turi tą patį kintamąjį ir tą patį rodiklį.

Pavyzdžiai: 3x 2 ir -5x2; ½x 4 ir 2√3x 4

Monomijų, kurios nėra panašios viena į kitą, suma vadinama daugianariu (arba daugianariu). Šiuo atveju monomai yra daugianario sąlygos. Polinomas, kuriame yra du terminai, vadinamas binominiu (arba binominiu).
Pavyzdys: p (x) = 3x 2 -5; h (x) = 5x-1
Polinomas, kuriame yra trys terminai, vadinamas trinomiu.

Bendras daugianario vaizdas su vienu kintamuoju

kur:

• a n, n-1, n-2, ..., a 1, a 0 yra daugianario koeficientai. Jie gali būti natūralūs, sveiki, racionalūs, realūs arba sudėtingi skaičiai.
• a n- didžiausio rodiklio termino koeficientas (pagrindinis koeficientas)
• a 0- termino su mažiausiu rodikliu koeficientas (laisvasis terminas arba pastovus)
• n- daugianario laipsnis

1 pavyzdys
p (x) = 5x 3 -2x 2 + 7x -1

• trečiojo laipsnio daugianaris su koeficientais 5, -2, 7 ir -1
• 5 - pagrindinis koeficientas
• -1 - laisvas narys
• x- kintamasis

2 pavyzdys
h (x) = - 2√3x 4 + ½x -4

• ketvirto laipsnio daugianaris su koeficientais -2√3, ½ ir -4
• -2√3 - pagrindinis koeficientas
• -4 - laisvas narys
• x- kintamasis

Polinomų padalijimas

p (x) ir q (x)- du daugianariai:
p (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0
q (x) = a p x p + a p-1 x p-1 + ... + a 1 x 1 + a 0

Norėdami rasti koeficientą ir likutį p (x) ant q (x), turite naudoti šį algoritmą:


1. Laipsnis p (x) turi būti didesnis arba lygus q (x).
2. Abu polinomus turime rašyti mažėjančia laipsnio tvarka. Jei į p (x) nėra jokio laipsnio termino, jis turi būti pridėtas koeficientu 0.
3. Pagrindinis narys p (x) padalintas iš pagrindinio termino q (x), o rezultatas rašomas po skiriamąja linija (vardiklyje).
4. Padauginame rezultatą iš visų sąlygų q (x) ir parašykite rezultatą priešingais ženklais po sąlygomis p (x) su atitinkamais laipsniais.
5. Prie to paties laipsnio pridedame terminus po termino.
6. Likusius terminus priskiriame rezultatui p (x).
7. Gauto daugianario pagrindinį narį padalinkite iš pirmojo daugianario nario q (x) ir pakartokite 3-6 veiksmus.
8. Ši procedūra kartojama tol, kol naujai gautas daugianaris turi mažesnį laipsnį nei q (x)... Šis daugianaris bus likusi padalijimo dalis.
9. Po skiriamoji linija parašytas daugianaris yra padalijimo (koeficiento) rezultatas.

1 pavyzdys
1 ir 2 veiksmai) $ p (x) = x ^ 5-3x ^ 4 + 2x ^ 3 + 7x ^ 2-3x + 5 \\ q (x) = x ^ 2-x + 1 $

3) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

4) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

5) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

6) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 -x 3 + 7x 2 -3x + 5

7) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 + x 3 + 7x 2 -3x + 5

2x 4 -2x 3 + 2x 2

/ -x 3 + 9x 2 -3x + 5

8) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 -x 3 + 7x 2 -3x + 5

2x 4 -2x 3 + 2x 2

/ -x 3 + 9x 2 -3x + 5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x + 8 -> C (x) Privatus

Atsakymas: p (x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

2 pavyzdys
p (x) = x 4 + 3x 2 + 2x-8
q (x) = x 2 -3x

X 4 + 0x 3 + 3x 2 + 2x-8

/ 3x 3 + 3x 2 + 2x-8

/ 38x-8 r (x) STOP

x 2 + 3x + 12 -> C (x) Privatus

Atsakymas: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Padalijimas iš pirmojo laipsnio daugianario

Šį padalijimą galima atlikti naudojant aukščiau pateiktą algoritmą arba dar greičiau naudojant Hornerio metodą.
Jei f (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0, daugianaris gali būti perrašytas kaip f (x) = a 0 + x (a 1 + x (a 2 + ... + x (a n-1 + a n x) ...))

q (x)- pirmojo laipsnio daugianaris ⇒ q (x) = mx + n
Tada koeficiento daugianaris turės laipsnį n-1.

Hornerio metodas, $ x_0 = - \ frac (n) (m) $.
b n-1 = a n
b n-2 = x 0 .b n-1 + a n-1
b n-3 = x 0 .b n-2 + a n-2
...
b 1 = x 0 .b 2 + a 2
b 0 = x 0 .b 1 + a 1
r = x 0 .b 0 + a 0
kur b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b 1 x + b 0- privatus. Likusi dalis yra nulinio laipsnio daugianaris, nes likusios polinomo laipsnis turi būti mažesnis už daliklio laipsnį.
Padalijimas su likučiais ⇒ p (x) = q (x). c (x) + r ⇒ p (x) = (mx + n). c (x) + r jei $ x_0 = - \ frac (n) (m) $
Prisimink tai p (x 0) = 0. c (x 0) + r ⇒ p (x 0) = r

3 pavyzdys
p (x) = 5x 4 -2x 3 + 4x 2 -6x -7
q (x) = x-3
p (x) =-7 + x (-6 + x (4 + x (-2 + 5x))))
x 0 = 3

b 3 = 5
b 2 = 3,5-2 = 13
b 1 = 3,13 + 4 = 43 ⇒ c (x) = 5x 3 + 13x 2 + 43x + 123; r = 362
b 0 = 3,43-6 = 123
r = 3,123-7 = 362
5x 4 -2x 3 + 4x 2 -6x -7 = (x -3) (5x 3 + 13x 2 + 43x + 123) +362

4 pavyzdys
p (x) = - 2x 5 + 3x 4 + x 2 -4x + 1
q (x) = x + 2
p (x) = - 2x 5 + 3x 4 + 0x 3 + x 2 -4x + 1
q (x) = x + 2
x 0 = -2
p (x) = 1 + x (-4 + x (1 + x (0 + x (3-2x))))))



b 4 = -2          b 1 = (- 2). (- 14) + 1 = 29
b 3 = (- 2). (- 2) + 3 = 7 b 0 = (- 2). 29-4 = -62
b 2 = ( - 2). 7 + 0 = -14     r = (- 2). (- 62) + 1 = 125
⇒ c (x) = -2x 4 + 7x 3 -14x 2 + 29x -62; r = 125
-2x 5 + 3x 4 + x 2 -4x + 1 = (x + 2) ( -2x 4 + 7x 3 -14x 2 + 29x -62) +125

5 pavyzdys
p (x) = 3x 3 -5x 2 + 2x + 3
q (x) = 2x-1
$ x_0 = \ frac (1) (2) $
p (x) = 3 + x (2 + x (-5 + 3x))
b 2 = 3
$ b_1 = \ frac (1) (2) \ cdot 3-5 = - \ frac (7) (2) $
$ b_0 = \ frac (1) (2) \ cdot \ left ( - \ frac (7) (2) \ right) +2 = - \ frac (7) (4) + 2 = \ frac (1) (4) ) $
$ r = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (4) + 3 = \ frac (1) (8) + 3 = \ frac (25) (8) \ Dešinė rodyklė c (x) = 3x ^ 2- \ frac (7) (2) x + \ frac (1) (4) $
$ \ Dešinysis rodyklė 3x ^ 3-5x ^ 2 + 2x + 3 = (2x-1) (3x ^ 2-\ frac (7) (2) x + \ frac (1) (4)) + \ frac (25) (8) JAV dolerių
Išvada
Jei padalinsime iš polinomo, kurio laipsnis didesnis nei vienas, norėdami rasti koeficientą ir likutį, turime naudoti algoritmą 1-9 .
Jei padalinsime iš pirmo laipsnio daugianario mx + n, tada norėdami rasti koeficientą ir likutį, turite naudoti Hornerio metodą su $ x_0 = - \ frac (n) (m) $.
Jei mus domina tik likusi padalijimo dalis, pakanka rasti p (x 0).
6 pavyzdys
p (x) = - 4x 4 + 3x 3 + 5x 2 -x + 2
q (x) = x-1
x 0 = 1
r = p (1) = - 4,1 + 3,1 + 5,1 - 1 + 2 = 5
r = 5

Šiandien mes sužinosime, kaip daugianarius dalija vienas kitas, ir padalijimą atliksime kampu pagal analogiją su paprastais skaičiais. Tai labai naudinga technika, kuri, deja, nėra mokoma daugumoje mokyklų. Todėl atidžiai klausykitės šios vaizdo pamokos. Tokiame suskirstyme nėra nieko sudėtingo.

Pirma, padalinkime du skaičius vienas nuo kito:

Kaip tai galima padaryti? Visų pirma, mes nutraukiame tiek skaitmenų, kad gauta skaitinė vertė būtų didesnė už tą, iš kurios mes dalijamės. Jei nukirsime vieną bitą, gausime penkis. Akivaizdu, kad septyniolika netelpa į penkis, todėl to nepakanka. Paimame du skaitmenis - gausime 59 - tai jau daugiau nei septyniolika, todėl galime atlikti operaciją. Taigi kiek kartų septyniolika telpa į 59? Paimkime tris. Padauginame ir užrašome rezultatą iki 59. Iš viso gavome 51. Atimame ir gavome „aštuonis“. Dabar griauname kitą kategoriją - penkias. Padalinkite 85 iš septyniolikos. Imame penkis. Padauginame septyniolika iš penkių ir gauname 85. Atimame ir gauname nulį.

Mes sprendžiame realaus gyvenimo pavyzdžius

1 problema

Dabar atlikime tuos pačius veiksmus, bet ne su skaičiais, o su daugianariais. Paimkime tai kaip pavyzdį:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 8x + 15) (x + 5) = x + 3 \]

Atkreipkite dėmesį, jei dalindami skaičius vienas nuo kito turėjome omenyje, kad dividendas visada yra didesnis už daliklį, tai dalijant daugianarius kampu, būtina, kad dividendo laipsnis būtų didesnis už daliklį . Mūsų atveju viskas tvarkoje - dirbame su antrojo ir pirmojo laipsnio konstrukcijomis.

Taigi pirmas žingsnis: palyginkite pirmuosius elementus. Klausimas: ką reikia padauginti $ x $, kad gautumėte $ ((x) ^ (2)) $? Akivaizdu, kad dar vienas $ x $. Padauginkite $ x + 5 $ iš ką tik rasto skaičiaus, $ x $. Turime $ ((x) ^ (2)) + 5 $, kuriuos atimame iš dividendų. Liko 3x $. Dabar griauname kitą kadenciją - penkiolika. Dar kartą pažvelkime į pirmuosius elementus: $ 3x $ ir $ x $. Iš ko reikia padauginti $ x $, kad gautumėte $ 3x $? Akivaizdu, kad trys. Padauginkite $ x + 5 $ terminą iš trijų. Kai atimame, gauname nulį.

Kaip matote, visa padalijimo su kampu operacija buvo sumažinta lyginant didesnius dividendo ir daliklio koeficientus. Tai netgi lengviau, nei dalinti skaičius. Nereikia skirti tam tikro skaitmenų skaičiaus - mes tiesiog palyginame vyresnius elementus kiekviename žingsnyje. Tai yra visas algoritmas.

2 problema

Pabandykime dar kartą:

\ [\ frac ((((x) ^ (2)) + x-2) (x-1) = x + 2 \]

Pirmas žingsnis: pažvelkime į didesnius šansus. Kiek reikia padauginti $ x $, kad parašytumėte $ ((x) ^ (2)) $? Padauginame terminą pagal terminą. Atminkite, kad atimdami gauname lygiai 2x USD, nes

Mes griauname -2 ir vėl lyginame pirmą gautą koeficientą su pagrindiniu daliklio elementu. Apskritai gavome „malonų“ atsakymą.

Pereikime prie antrojo pavyzdžio:

\ [\ frac ((((x) ^ (3)) + 2 ((x) ^ (2)) - 9x -18) (x + 3) = ((x) ^ (2)) - x -6 \ ]

Šį kartą dividendas yra trečiojo laipsnio polinomas. Palyginkime pirmuosius elementus. Norėdami gauti $ ((x) ^ (3)) $, turite padauginti $ x $ iš $ ((x) ^ (2)) $. Atėmus, mes griauname 9x USD. Padalinkite daliklį iš $ -x $ ir atimkite. Dėl to mūsų išraiška buvo visiškai suskaidyta. Užrašome atsakymą.

3 problema

Pereikite prie paskutinės užduoties:

\ [\ frac ((((x) ^ (3)) + 3 ((x) ^ (2)) + 50) (x + 5) = ((x) ^ (2)) - 2x + 10 \]

Palyginkite $ ((x) ^ (3)) $ ir $ x $. Akivaizdu, kad reikia padauginti iš $ ((x) ^ (2)) $. Dėl to matome, kad gavome labai „gražų“ atsakymą. Mes jį užrašome.

Tai yra visas algoritmas. Čia yra du pagrindiniai punktai:

1. Visada palyginkite pirmąją dividendo ir daliklio galią - tai kartojame kiekviename žingsnyje;
2. Jei pradinėje išraiškoje trūksta galių, jos turi būti pridėtos dalijant kampu, bet nulis koeficientų, kitaip atsakymas bus neteisingas.

Šiame skirstyme nebėra išminties ir gudrybių.

Šiandienos pamokos medžiaga niekur ir niekada nerasta „gryna“ forma. Tai retai mokoma mokyklose. Tačiau galimybė padalyti daugianarius vienas kitą labai padės sprendžiant aukštesnio laipsnio lygtis, taip pat įvairias „padidinto sunkumo“ problemas. Be šios technikos turėsite apskaičiuoti daugianarius, pasirinkti koeficientus - ir rezultatas jokiu būdu nėra garantuotas. Tačiau daugianarius taip pat galima padalyti iš kampo - kaip ir paprastus skaičius! Deja, ši technika nėra mokoma mokyklose. Daugelis mokytojų mano, kad padalyti daugianarius kampu yra kažkas beprotiškai sudėtingo iš aukštosios matematikos srities. Skubu jus patikinti: taip nėra. Be to, daugianarius net lengviau padalyti nei įprastus skaičius! Stebėkite pamoką - ir įsitikinkite patys. :) Apskritai, būtinai pasinaudokite šia technika. Galimybė padalyti daugianarius vienas kitam jums bus labai naudinga sprendžiant aukštesnio laipsnio lygtis ir sprendžiant kitas nestandartines problemas.

Tikiuosi, kad šis vaizdo įrašas padės tiems, kurie dirba su daugianariais, ypač aukštesniais laipsniais. Tai taikoma tiek aukštųjų mokyklų studentams, tiek universiteto studentams. Ir man tai viskas. Iki!