Сила - это одно из важных понятий в физике. Она является причиной изменения состояния любых объектов. В данной статье рассмотрим, что собой представляет эта величина, какие силы бывают, а также покажем, как находить проекцию силы на ось и на плоскость.

Сила и ее физический смысл

В физике сила - это которая показывает изменение количества движения тела за единицу времени. Данное определение полагает силу динамической характеристикой. С точки зрения же статики сила в физике - это мера упругой или пластической деформации тел.

Международная система СИ выражает силу в ньютонах (Н). Что такое 1 ньютон, проще всего понять на примере второго закона классической механики. Математическая запись его следующая:

Здесь F¯ - некоторая внешняя сила, действующая на тело массой m, и приводящая к ускорению a¯. Из формулы следует количественное определение одного ньютона: 1 Н - это такая сила, которая приводит к изменению скорости тела массой 1 кг на 1 м/с за каждую секунду.

Примерами динамического проявления силы являются ускорение автомобиля или свободно падающего тела в гравитационном земном поле.

Статическое проявление силы, как было отмечено, связано с явлениями деформации. Здесь следует привести следующие формулы:

Первое выражение связывает силу F с давлением P, которое она оказывает на некоторую площадку S. Через эту формулу 1 Н можно определить как давление в 1 паскаль, прилагаемое к площадке 1 м 2 . Например, столб атмосферного воздуха на уровне моря давит на площадку 1 м 2 с силой 10 5 Н!

Второе выражение является классической формой записи закона Гука. Например, растяжение или сжатие пружины на линейную величину x приводит к возникновению противодействующей силы F (в выражении k - коэффициент пропорциональности).

Какие силы бывают

Выше уже было показано, что силы могут быть статические и динамические. Здесь скажем, что помимо этой их особенности, они могут быть силами контакта или дальнодействующие. Например, сила трения, - это контактные силы. Причина их появления заключается в справедливости принципа Паули. Последний гласит, что два электрона не могут занимать одно и то же состояние. Именно поэтому прикосновение двух атомов приводит к их отталкиванию.

Дальнодействующие силы появляются в результате взаимодействия тел через некоторое поле-носитель. Например, такими являются сила гравитации или электромагнитное взаимодействие. Обе силы имеют бесконечный радиус действия, однако, их интенсивность падает, как квадрат расстояния (законы Кулона и всемирного тяготения).

Сила - векторная величина

Разобравшись со смыслом рассматриваемой физической величины, можно перейти к изучению вопроса проекции силы на ось. В первую очередь заметим, что данная величина является векторной, то есть она характеризуется модулем и направлением. Покажем, как рассчитывать модуль силы и ее направление.

Известно, что любой вектор можно задать однозначно в данной системе координат, если известны значения координат его начала и конца. Предположим, что имеется некоторый направленный отрезок MN¯. Тогда его направление и модуль можно определить с помощью следующих выражений:

MN¯ = (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1);

|MN¯| = √((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2).

Здесь координаты с индексами 2 соответствуют точке N, с индексами 1 - точке M. Вектор MN¯ направлен из M в N.

Для общности мы показали, как находить модуль и координаты (направление) вектора в трехмерном пространстве. Аналогичные формулы без третьей координаты справедливы для случая на плоскости.

Таким образом, модуль силы - это ее абсолютная величина, выраженная в ньютонах. С точки зрения геометрии, модуль - это длина направленного отрезка.

Что такое проекция силы на ось?

Речь о проекциях направленных отрезков на координатные оси и плоскости удобнее всего вести, если предварительно расположить соответствующий вектор в начале координат, то есть в точке (0; 0; 0). Предположим, что у нас имеется некоторый вектор силы F¯. Поместим его начало в точку (0; 0; 0), тогда координаты вектора можно записать так:

F¯ = ((x 1 - 0); (y 1 - 0); (z 1 - 0)) = (x 1 ; y 1 ; z 1).

Вектор F¯ показывает направление силы в пространстве в данной координатной системе. Теперь проведем перпендикулярные отрезки из конца F¯ к каждой из осей. Расстояние от точки пересечения перпендикуляра с соответствующей осью до начала координат называется проекцией силы на ось. Не трудно догадаться, что в случае с силой F¯ ее проекции на оси x, y и z будут равны x 1 , y 1 и z 1 , соответственно. Заметим, что эти координаты показывают модули проекций силы (длину отрезков).

Углы между силой и ее проекциями на координатные оси

Вычисление этих углов не является сложной задачей. Все, что требуется для ее решения, - это знание свойств тригонометрических функций и умение применять теорему Пифагора.

Например, определим угол между направлением силы и ее проекцией на ось x. Соответствующий прямоугольный треугольник будет образован гипотенузой (вектор F¯) и катетом (отрезок x 1). Второй катет - это дистанция от конца вектора F¯ до оси x. Угол α между F¯ и осью x вычисляется по формуле:

α = arccos(|x 1 |/|F¯|) = arccos(x 1 /√(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2)).

Как видим, для определения угла между осью и вектором необходимо и достаточно знать координаты конца направленного отрезка.

Для углов с другими осями (y и z) можно записать аналогичные выражения:

β = arccos(|y 1 |/|F¯|) = arccos(y 1 /√(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2));

γ = arccos(|z 1 |/|F¯|) = arccos(z 1 /√(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2)).

Заметим, что во всех формулах стоят модули в числители, что исключает появление тупых углов. Между силой и ее осевыми проекциями углы всегда меньше или равны 90 o .

Сила и ее проекции на плоскости координат

Определение проекции силы на плоскость не отличается от такового для оси, только в данном случае перпендикуляр следует опускать не на ось, а на плоскость.

В случае пространственной прямоугольной системы координат мы имеем три взаимно перпендикулярные плоскости xy (горизонтальная), yz (фронтальная вертикальная), xz (боковая вертикальная). Точки пересечения опущенных из конца вектора перпендикуляров к названным плоскостям равны:

(x 1 ; y 1 ; 0) для xy;

(x 1 ; 0 ; z 1) для xz;

(0 ; y 1 ; z 1) для zy.

Если каждую из отмеченных точек соединить с началом координат, то мы получим проекцию силы F¯ на соответствующую плоскость. Чему равен модуль силы, мы знаем. Чтобы найти модуль каждой проекции, необходимо применить теорему Пифагора. Обозначим проекции на плоскости как F xy , F xz и F zy . Тогда для их модулей будут справедливы равенства:

F xy = √(x 1 2 +y 1 2);

F xz = √(x 1 2 + z 1 2);

F zy = √(y 1 2 + z 1 2).

Углы между проекциями на плоскость и вектором силы

В пункте выше были приведены формулы для модулей проекций на плоскость рассматриваемого вектора F¯. Эти проекции вместе с отрезком F¯ и расстоянием от его конца до плоскости образуют прямоугольные треугольники. Поэтому, как и в случае с проекциями на ось, можно воспользоваться определением тригонометрических функций, чтобы вычислить рассматриваемые углы. Можно записать следующие равенства:

α = arccos(F xy /|F¯|) = arccos(√(x 1 2 +y 1 2) /√(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2));

β = arccos(F xz /|F¯|) = arccos(√(x 1 2 +z 1 2)/√(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2));

γ = arccos(F zy /|F¯|) = arccos(√(y 1 2 +z 1 2)/√(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2)).

Важно понимать, что угол между направлением силы F¯ и соответствующей ее проекцией на плоскость равен углу между F¯ и этой плоскостью. Если рассматривать эту задачу с точки зрения геометрии, то можно сказать, что направленный отрезок F¯ является наклонной по отношению к плоскостям xy, xz и zy.

Где используются проекции сил?

Приведенные формулы для проекций силы на оси координат и на плоскости представляют не только теоретический интерес. Они часто используются при решении физических задач. Сам процесс нахождения проекций называется разложением силы на ее составляющие. Последние представляют собой вектора, сумма которых должна дать исходный вектор силы. В общем случае можно разложить силу на произвольные составляющие, однако, для решения задач удобно пользоваться именно проекциями на перпендикулярные оси и плоскости.

Задачи, где применяются понятие проекций сил, могут быть самыми разными. Например, тот же второй закон Ньютона предполагает, что внешняя сила F¯, действующая на тело, должна быть направлена так же, как вектор скорости v¯. Если их направления различаются на некоторый угол тогда, чтобы равенство оставалось справедливым, подставлять в него следует уже не саму силу F¯, а ее проекцию на направление v¯.

Задача на определение проекций силы на плоскости и на оси координат

Предположим, что имеется некоторая сила F¯, которая представлена вектором, имеющим следующие координаты конца и начала:

Необходимо определить модуль силы, а также все ее проекции на координатные оси и плоскости и углы между F¯ и каждой ее проекцией.

Начнем решать задачу с вычисления координат вектора F¯. Имеем:

F¯ = (-1; 4; -1) - (2; 0; 1) = (-3; 4; -2).

Тогда модуль силы будет равен:

|F¯| = √(9 + 16 + 4) = √29 ≈ 5,385 Н.

Проекции на оси координат равны соответствующим координатам вектора F¯. Рассчитаем углы между ними и направлением F¯. Имеем:

α = arccos(|-3 |/5,385) ≈ 56,14 o ;

β = arccos(|4|/5,385) ≈ 42,03 o ;

γ = arccos(|-2|/5,385) ≈ 68,20 o .

Поскольку координаты вектора F¯ известны, можно рассчитать модули проекций силы на плоскости координат. Пользуясь приведенными выше формулами, получаем:

F xy = √(9 +16) = 5 Н;

F xz = √(9 + 4) = 3,606 Н;

F zy = √(16 + 4) = 4,472 Н.

Наконец, остается вычислить углы между найденными проекциями на плоскость и вектором силы. Имеем:

α = arccos(F xy /|F¯|) = arccos(5/5,385) ≈ 21,8 o ;

β = arccos(F xz /|F¯|) = arccos(3,606/5,385) ≈ 48,0 o ;

γ = arccos(F zy /|F¯|) = arccos(4,472/5,385) ≈ 33,9 o .

Таким образом, вектор F¯ ближе всего наклонен к координатной плоскости xy.

Задача со скользящим бруском по наклонной плоскости

Теперь решим физическую задачу, где необходимо будет применить концепцию проекции силы. Пусть дана деревянная наклонная плоскость. Угол ее наклона к горизонту равен 45 o . На плоскости находится деревянный брусок, имеющий массу 3 кг. Необходимо определить, с каким ускорением будет перемещаться этот брусок по плоскости вниз, если известно, что коэффициент трения скольжения равен 0,7.

Для начала составим тела. Поскольку на него будут действовать всего две силы (проекция силы тяжести на плоскость и сила трения), то уравнение примет вид:

F g - F f = m*a =>

a = (F g - F f)/m.

Здесь F g , F f - проекция силы тяжести и сила трения, соответственно. То есть задача сводится к вычислению их значений.

Поскольку угол, под которым плоскость наклонена к горизонту, равен 45 o , то несложно показать, что проекция силы тяжести F g вдоль поверхности плоскости будет равна:

F g = m*g*sin(45 o) = 3*9,81/√2 ≈ 20,81 Н.

Эта проекция силы стремится вывести из состояния покоя деревянный брусок и придать ему ускорение.

Согласно определению, сила трения скольжения равна:

Где μ = 0,7 (см. условие задачи). Сила реакции опоры N равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, то есть:

Тогда сила трения равна:

F f = μ*m*g*cos(45 o) = 0,7*3*9,81/√2 ≈ 14,57 Н.

Подставляем найденные силы в уравнение движения, получаем:

a = (F g - F f)/m = (20,81 - 14,57)/3 = 2,08 м/с 2 .

Таким образом, брусок будет спускаться по наклонной плоскости, увеличивая за каждую секунду свою скорость на 2,08 м/с.

Аналитический метод решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.

Если этот угол острый, - проекция положительна, если тупой, - отрицательна, а если сила перпендикулярна оси, - ее проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображенных на рис. 18,

Проекцией силы F на плоскость называется вектор заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 19). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своими числовыми значениями, но и направлением в плоскости По модулю где - угол между направлением силы F и ее проекции

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 19, найдем таким способом, что

Аналитический способ задания сил. Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Oxyz, по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.

В механике мы будем пользоваться правой системой координат, т. е. такой системой, в которой кратчайшее совмещение оси с осью происходит, если смотреть с положительного конца оси против хода часовой стрелки (рис. 20).

Вектор, изображающий силу F, можно построить, если известны модуль этой силы и углы , которые сила образует с координатными осями. Таким образом, величины и задают силу F. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами .

Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями на координатные оси. Зная эти проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:

Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, то каждую из сил можно задать ее проекциями на две оси Тогда формулы, определяющие силу по ее проекциям, примут вид:

Аналитический способ сложения сил. Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно этой теореме, если R есть сумма сил то

Зная по формулам (6) находим:

Формулы (8), (9) и позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид:

Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.

Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси. Рисунок 1.13):

F x = Fcosα ;

P x = Pcosβ= P⋅ cos90 o =0 ;

R x =Rcosγ = -R⋅ cos(180 o -γ) .

Рисунок 1.13

Проекция силы на ось может быть положительной, рис. 1.13а (0 ≤ α < π/2 ), равной нулю, рис. 1.13б (β = π/2 ) и отрицательной, рис. 1.13в (π/2 < γ ≤ π ).

Иногда для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось (рисунок 1.14):

P z = P sinα ;

P x = (P cosα)cosβ ;

Py= (P cosα)cosγ = P cosα⋅ cos(90 o -β) .

Рисунок 1.14

4. Сосре­доточенными считаются силы, приложенные к малой поверхности, размеры которой малы по сравнению с размерами тела. Однако при расчете напряжений вблизи зоны приложения силы нагрузку следует считать распределенной. К сосредоточенным нагрузкам относят не только сосредоточенные силы, но и пары сил, примером которых можно счи­тать нагрузку, создаваемую гаечным ключом при закручивании гайки. Сосредоточенные усилия измеряются в кН.

Распределенные нагрузки бывают распределенными по длине и по площади. К распределенным нагрузкам относят давление жидкости, газа или другого тела. Распределенные силы измеряются, как правило, в кН/м (распределенные по длине) и кН/м2 (распределенные по площади).

ИНТЕНСИВНОСТЬ НАГРУЗКИ нагрузка, приходящаяся на единицу нагруженной площади или длины

5.Сложение сходящихся сил. Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке,

называется системой с х о д я щ и х с я с и л.

Сложить две или несколько сил - это значит заменить эти силы одной силой, им эквивалентной, т.е.

найти их равнодействующую.

Из ADC: т.к.

Разложить силу - значит найти ее составляющие. Две равные силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются, тело при действии этих сил находится в равновесии, т. е. в состоянии покоя.

6. Момент силы относительно центра (или точки).

Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее момен­том

Рассмотрим силу , приложенную в точке А твердого тела (рис. 20). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О . Перпендикуляр h , опущенный из центра O на линию действия силы , на­зывается плечом силы от­носительно центра О . Так как точку приложения силы можно произвольно переме­щать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 1) от модуля силы F и длины плеча h ; 2) от поло­жения плоскости поворота ОАВ , проходящей через центр О и силуF ; 3) от направления поворота к этой плоскости.

Рис.20

Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается.

Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Момент силы относительно центра О будем обозначать сим­волом m 0 (F ). Следовательно,

В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода ча­совой стрелки, и знак минус, - если по ходу часовой стрелки. Так, для силы , изображенной на рис.20,а , момент относительно центра О имеет знак плюс, а для силы, показанной на рис.20,б , - знак ми­нус.

Отметим следующие свойства момента силы:

1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдольее линии действия.

2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью тре­угольника ОАВ (рис. 20,б )

Этот результат следует из того, что

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым

перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля си­лы на косинус угла между вектором силы и положительным напра­влением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика

Теоретическая механика.. лекция.. тема основные понятия и аксиомы статики..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Задачи теоретической механики
Теоретическая механика - наука о механическом движении материальных твердых тел и их взаимодействии. Механическое дви­жение понимается как перемещение тела в пространстве и во време­ни по от

Третья аксиома
Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешенную систему сил (принцип отбрасывания систе­мы сил, эквивалентной нулю) (рис. 1.3). Р,=Р2 Р,=Р.

Следствие из второй и третьей аксиом
Силу, действующую на твер­дое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).

Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела. Все тела делятся на свободные и связанные. Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.

Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толсто сплошной линией (рис. 1.9). Стержень може

Неподвижный шарнир
Точка крепления пере­мещаться не может. Стер­жень может свободно повора­чиваться вокруг оси шарни­ра. Реакция такой опоры про­ходит через ось шарнира, но

Плоская система сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пе­ресекаются в одной точке, называется сходя­щейся (рис. 2.1).

Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде­лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак­сиома) (вис. 2.2).

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого. Если

Решение задач на равновесие геометрическим способом
Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим). Порядок решения задач:

Решение
1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а). Определяем возможные направления реакций связе

Сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме­трическим способом. Выберем систему координат, определим про­екции всех зада

Сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим: Усл

Пара сил, момент пары сил
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направлен­ных в разные стороны. Рассмотрим систему сил (Р; Б"), образую­щих пару.

Момент силы относительно точки
Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вра­щение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом. Момент силы отн

Теорема Пуансо о параллельном переносе сил
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Расположенных сил
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произ­вольно вы

Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. При изменении поло­жения точки приведения величина главного вектора не изменится. Величина главного момента при переносе точки приведения из­менится,

Плоской системы сил
1. При равновесии главный вектор системы равен нулю. Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной

Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1 а). MOO

Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер­пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век­тор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2

Пространственная сходящаяся система сил
Пространственная сходящаяся система сил - система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересе­каются в одной точке. Равнодействующую пространственной системы си

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О. Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен

Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур) Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V =

Определение координат центра тяжести плоских фигур
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии. Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Поло­жения центров тяжести простых геометрических фигур могут

Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.Знать способы задания движения точки (естественный и координатный). Знать обозначения, едини

Пройденный путь
Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение - S, единицы измерения - метры. Уравнение движения точки: Уравнение, определяющ

Скорость движения
Векторная величина, характеризующая в данный момент бы­строту и направление движения по траектории, называется скоро­стью. Скорость - вектор, в любой момент направленный по к

Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки. Скорость точки при перемещении из точки М1

Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоро­стью: v = const. Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1 а)

Равнопеременное движение
Равнопеременное движение - это движение с постоянным ка­сательным ускорением: at = const. Для прямолинейного равнопеременного движения

Поступательное движение
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается парал­лельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2). При

Вращательное движение
При вращательном движении все точки тела описывают окруж­ности вокруг общей неподвижной оси. Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.

Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна): ω =const Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид:

Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки A , расположенной на расстоянии RA от оси вращения (рис. 11.6, 11.7). Путь

Решение
1. Участок 1 - неравномерное ускоренное движение, ω = φ’ ; ε = ω’ 2. Участок 2 - скорость постоянна - движение равномерное, . ω = const 3.

Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разло­жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту­пательное и вращательное. Для рассмотрения сложного движения точ

Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал­лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета

Поступа­тельное и вращательное
Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное от­носительно этого полюса. Разложение используют для опред

Центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред­ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров. Задача

Аксиомы динамики
Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были и

Понятие о трении. Виды трения
Трение - сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел воз­никает трение скольжения, при качении - трение качения. Природа сопро

Трение качения
Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения. Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном дефор­мируется грунт, и

Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики. Материальные то

Сила инерции
Инертность - способность сохранять свое состояние неизмен­ным, это внутреннее свойство всех материальных тел. Сила инерции - сила, возникающая при разгоне или торможе­нии тел

Решение
Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Ре­акция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускоре­ния сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу

Работа равнодействующей силы
Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М1 в положение M 2 (рис. 15.7). В случае движения под действием системы сил пользуютс

Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты соверше­ния работы введено понятие мощности. Мощность - работа, выполненная в единицу времени:

Мощность при вращении
Рис. 16.2 Тело движется по дуге радиуса из точки М1 в точку М2 М1М2 = φr Работа силы

Коэффициент полезного действия
Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений. Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает еще и дополнитель

Теорема об изменении количества движения
Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость mv. Вектор количества движения совпадает по

Теорема об изменении кинетической энергии
Энергией называется способность тела совершать механиче­скую работу. Существуют две формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия,

Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая

Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Оz с угловой скоростью

Напряжения
Метод сечений позволяет определить величину внутреннего си­лового фактора в сечении, но не дает возможности установить за­кон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочно­сти н

Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных на­пряжениях в поперечных сечениях. Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения

Продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а). Делим брус на участки нагружения. Участком нагружения с

Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке опре­деления осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1). Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать получе

Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая ковсей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой реи, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния

Полярный момент инерции сечения
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произве­дений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2) Представим прямо

Полярный момент инерции круга
Для круга вначале вычисляют поляр­ный момент инерции, затем - осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Деформации при кручении
Кручение круглого бруса происходит при нагружении его па­рами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ,

Гипотезы при кручении
1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпен- дикулярное продольной оси, после деформацииостается плоским и перпендикулярным продольной оси.

Внутренние силовые факторы при кручении
Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две про

Эпюры крутящих моментов
Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бру­са сетку из продольных и попе­речных линий и рассмотрим рису­нок, образовавшийся на поверхно­сти после Рис. 27.1а деформации (рис. 27.1а). Поп

Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности. Определим максимальное напряж

Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность 1. Проектировочный расчет - определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

Расчет на жесткость
При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

Основные определения
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в по­перечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор -изгибающий момент. Брус, работающий на

Внутренние силовые факторы при изгибе
Пример 1.Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения вну­тренних силовых факторов пользуемся методом с

Изгибающих моментов
Поперечная сила в сече­нии считается положитель­ной, если она стремится раз­вернуть се

Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов су­щественно упрощается при использовании дифференциальных зави­симостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интен­сивностью равномерн

Методом сечения Полученное выражение можно обобщить
Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на балку до рассматриваемого сечения: Q = ΣFi Поскольку речь идет

Напряжения
Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 33.1).

Напряженное состояние в точке
Напряженное состояние в точке характеризуется нормальны­ми и касательными напряжениями, возникающими на всех площад­ках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточ­но определить напр

Понятие о сложном деформированном состоянии
Совокупность деформаций, возникающих по различным напра­влениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, опре­деляют деформированное состояние в этой точке. Сложное деформи

Расчет круглого бруса на изгиб с кручением
В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кру­чения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих слу­чаях возника

Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии
Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под дей

Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускае­мой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

Расчет по формуле Эйлера
Задачу определения критической силы математиче­ски решил Л. Эйлер в 1744 г. Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид

Критические напряжения
Критическое напряжение - напряжение сжатия, соответству­ющее критической силе. Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих де­формаций. Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала. Пред