Когда на дороге происходит авария, специалисты измеряют тормозной путь. Зачем? Чтобы определить скорость движения автомобиля в начале торможения и ускорение при торможении. Все это нужно для выяснения причин аварии: или водитель превысил скорость, или были неисправны тормоза, или с автомобилем все в порядке, а виноват нарушивший правила дорожного движения пешеход. Как, зная время торможения и тормозной путь, определить скорость и ускорение движения тела?
Узнаём о геометрическом смысле проекции перемещения
В 7 классе вы узнали, что для любого движения путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости модуля скорости движения от времени наблюдения. Аналогичная ситуация и с определением проекции перемещения (рис. 29.1).
Получим формулу для вычисления проекции перемещения тела за интервал времени от t: = 0 до t 2 = t. Рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение, при котором начальная скорость и ускорение имеют одинаковое направление с осью OX. В этом случае график проекции скорости имеет вид, представленный на рис. 29.2, а проекция перемещения численно равна площади трапеции OABC:
На графике отрезок OAсоответствует проекции начальной скорости v 0 x, отрезок BC — проекции конечной скорости v x , а отрезок OC — интервалу времени t. Заменив данные отрезки соответствующими физическими величинами и учитывая, что s x = S OABC , получим формулу для определения проекции перемещения:
Формулу (1) применяют для описания любого равноускоренного прямолинейного движения.
Определите перемещение тела, график движения которого представлен на рис. 29.1, б, за 2 с и за 4 с после начала отсчета времени. Поясните ответ.
Записываем уравнение проекции перемещения
Исключим переменную v x из формулы (1). Для этого вспомним, что при равноускоренном прямолинейном движении v x = v 0 x + a x t. Подставив выражение для v x в формулу (1), получим:
Таким образом, для равноускоренного прямолинейного движения получено уравнение проекции перемещения:
Рис. 29.3. График проекции перемещения при равноускоренном прямолинейном движении — парабола, проходящая через начало координат: если a x > 0, ветви параболы направлены вверх (а); если a x <0, ветви параболы направлены вниз (б)
Рис. 29.4. Выбор оси координат в случае прямолинейного движения
Итак, график проекции перемещения при равноускоренном прямолинейном движении — парабола (рис. 29.3), вершина которой соответствует точке разворота:
Поскольку величины v 0 x и a x не зависят от времени наблюдения, зависимость s x (ί) является квадратичной. Например, если
можно получить еще одну формулу для вычисления проекции перемещения при равноускоренном прямолинейном движении:
Формулой (3) удобно пользоваться, если в условии задачи не идет речь о времени движения тела и не нужно его определять.
Выведите формулу (3) самостоятельно.
Обратите внимание: в каждой формуле (1-3) проекции v x , v 0 x и a x могут быть как положительными, так и отрицательными — в зависимости от того, как направлены векторы v, v 0 и a относительно оси OX.
Записываем уравнение координаты
Одна из основных задач механики — определение положения тела (координат тела) в любой момент времени. Мы рассматриваем прямолинейное движение, поэтому достаточно выбрать одну ось координат (например, ось OX), которую следует
направить вдоль движения тела (рис. 29.4). Из данного рисунка видим, что независимо от направления движения координату х тела можно определить по формуле:
Рис. 29.5. При равноускоренном прямолинейном движении график зависимости координаты от времени — парабола, пересекающая ось х в точке х 0
где х 0 — начальная координата (координата тела в момент начала наблюдения); s x — проекция перемещения.
поэтому для такого движения уравнение координаты имеет вид:
Для равноускоренного прямолинейного движения
Проанализировав последнее уравнение, делаем вывод, что зависимость х(ί) — квадратичная, поэтому график координаты — парабола(рис. 29.5).
Учимся решать задачи
Основные этапы решения задач на равноускоренное прямолинейное движение рассмотрим на примерах.
Пример решения задачи
Последовательность
действий
1. Внимательно прочитайте условие задачи. Определите, какие тела принимают участие в движении, каков характер движения тел, какие параметры движения известны.
Задача 1. После начала торможения поезд прошел до остановки 225 м. Какой была скорость движения поезда перед началом торможения? Считайте, что во время торможения ускорение поезда неизменно и равно 0,5 м/с 2 .
На пояснительном рисунке направим ось ОХ в направлении движения поезда. Так как поезд уменьшает свою скорость, то
2. Запишите краткое условие задачи. При необходимости переведите значения физических величин в единицы СИ. 2
Задача 2. По прямолинейному участку дороги идет пешеход с постоянной скоростью 2 м/с. Его догоняет мотоцикл, который увеличивает свою скорость, двигаясь с ускорением 2 м/с 3 . Через какое время мотоцикл обгонит пешехода, если на момент начала отсчета времени расстояние между ними было 300 м, а мотоцикл двигался со скоростью 22 м/с? Какое расстояние проедет мотоцикл за это время?
1. Внимательно прочитайте условие задачи. Выясните характер движения тел, какие параметры движения известны.
Подводим итоги
Для равноускоренного прямолинейного движения тела: проекция перемещения численно равна площади фигуры под графиком проекции скорости движения — графиком зависимости v x (ί):
3. Выполните пояснительный рисунок, на котором покажите ось координат, положения тел, направления ускорений и скоростей.
4. Запишите уравнение координаты в общем виде; воспользовавшись рисунком, конкретизируйте это уравнение для каждого тела.
5. Учитывая, что в момент встречи (обгона) координаты тел одинаковы, получите квадратное уравнение.
6. Решите полученное уравнение и найдите время встречи тел.
7. Вычислите координату тел в момент встречи.
8. Найдите искомую величину и проанализируйте результат.
9. Запишите ответ.
в этом состоит геометрический смысл перемещения;
уравнение проекции перемещения имеет вид:
Контрольные вопросы
1. С помощью каких формул можно найти проекцию перемещения s x для равноускоренного прямолинейного движения? Выведите эти формулы. 2. Докажите, что график зависимости перемещения тела от времени наблюдения — парабола. Как направлены ее ветви? Какому моменту движения соответствует вершина параболы? 3. Запишите уравнение координаты для равноускоренного прямолинейного движения. Какие физические величины связывает это уравнение?
Упражнение № 29
1. Лыжник, движущийся со скоростью 1 м/с, начинает спускаться c горы. Определите длину спуска, если лыжник проехал его за 10 с. Считайте, что ускорение лыжника было неизменным и составляло 0,5 м/с 2 .
2. Пассажирский поезд изменил свою скорость от 54 км/ч до 5 м/с. Определите расстояние, которое проехал поезд во время торможения, если ускорение поезда было неизменным и составляло 1 м/с 2 .
3. Тормоза легкового автомобиля исправны, если при скорости 8 м/с его тормозной путь — 7,2 м. Определите время торможения и ускорение автомобиля.
4. Уравнения координат двух тел, движущихся вдоль оси OX, имеют вид:
1) Для каждого тела определите: а) характер движения; б) начальную координату; в) модуль и направление начальной скорости; г) ускорение.
2) Найдите время и координату встречи тел.
3) Для каждого тела запишите уравнения v x (t) и s x (t), постройте графики проекций скорости и перемещения.
5. На рис. 1 представлен график проекции скорости движения для некоторого тела.
Определите путь и перемещение тела за 4 с от начала отсчета времени. Запишите уравнение координаты, если в момент времени t = 0 тело было в точке с координатой -20 м.
6. Два автомобиля начали движение из одного пункта в одном направлении, причем второй автомобиль выехал на 20 с позже. Оба автомобиля движутся равноускоренно с ускорением 0,4 м/с 2 . Через какой интервал времени после начала движения первого автомобиля расстояние между автомобилями будет 240 м?
7. На рис. 2 представлен график зависимости координаты тела от времени его движения.
Запишите уравнение координаты, если известно, что модуль ускорения 1,6 м/с 2 .
8. Эскалатор в метро поднимается со скоростью 2,5 м/с. Может ли человек на эскалаторе находиться в состоянии покоя в системе отсчета, связанной с Землей? Если может, то при каких условиях? Можно ли при этих условиях движение человека считать движением по инерции? Обоснуйте свой ответ.
Это материал учебника
Равноускоренное движение - это движение с ускорением, вектор которого не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту.
Рассмотрим последний случай более подробно. В любой точке траектории на камень действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.
Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y - равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.
Формула для скорости при равноускоренном движении:
Здесь v 0 - начальная скорость тела, a = c o n s t - ускорение.
Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v (t) имеет вид прямой линии.
Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.
a = v - v 0 t = B C A C
Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.
Для первого графика: v 0 = - 2 м с; a = 0 , 5 м с 2 .
Для второго графика: v 0 = 3 м с; a = - 1 3 м с 2 .
По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?
Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .
Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t .
Мы знаем, что v - v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:
s = v 0 t + a t 2 2
Для того, чтобы найти координату нахождения тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты при равноускоренном движении выражает закон равноускоренного движения.
Закон равноускоренного движения
Закон равноускоренного движенияy = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Еще одна распространенная задача, которая возникает при анализе равноускоренного движения - нахождение перемещения при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.
Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:
s = v 2 - v 0 2 2 a .
По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:
v = v 0 2 + 2 a s .
При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s
Важно!
Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Как, зная тормозной путь, определить начальную скорость автомобиля и как, зная характеристики движения, такие как начальная скорость, ускорение, время, определить перемещение автомобиля? Ответы мы получим после того, как познакомимся с темой сегодняшнего урока: «Перемещение при равноускоренном движении, зависимость координаты от времени при равноускоренном движении»
При равноускоренном движении график имеет вид прямой линии, уходящей вверх, так как его проекция ускорения больше нуля.
При равномерном прямолинейном движении площадь численно будет равна модулю проекции перемещения тела. Оказывается, этот факт можно обобщить для случая не только равномерного движения, но и для любого движения, то есть показать, что площадь под графиком численно равна модулю проекции перемещения. Это делается строго математически, но мы воспользуемся графическим способом.
Рис. 2. График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении ()
Разобьем график проекции скорости от времени для равноускоренного движения на небольшие промежутки времени Δt. Предположим, что они так малы, что на их протяжении скорость практически не менялась, то есть график линейной зависимости на рисунке мы условно превратим в лесенку. На каждой ее ступеньке мы считаем, что скорость практически не поменялась. Представим, что промежутки времени Δt мы сделаем бесконечно малыми. В математике говорят: совершаем предельный переход. В этом случае площадь такой лесенки будет неограниченно близко совпадать с площадью трапеции, которую ограничивает график V x (t). А это значит, что и для случая равноускоренного движения можно сказать, что модуль проекции перемещения численно равен площади, ограниченной графиком V x (t): осями абсцисс и ординат и перпендикуляром, опущенным на ось абсцисс, то есть площади трапеции ОАВС, которую мы видим на рисунке 2.
Задача из физической превращается в математическую задачу - поиск площади трапеции. Это стандартная ситуация, когда ученые физики составляют модель, которая описывает то или иное явление, а затем в дело вступает математика, которая обогащает эту модель уравнениями, законами - тем, что превращает модель в теорию.
Находим площадь трапеции: трапеция является прямоугольной, так как угол между осями - 90 0 , разобьем трапецию на две фигуры - прямоугольник и треугольник. Очевидно, что общая площадь будет равна сумме площадей этих фигур (рис. 3). Найдем их площади: площадь прямоугольника равна произведению сторон, то есть V 0x · t, площадь прямоугольного треугольника будет равна половине произведения катетов - 1/2АD·BD, подставив значения проекций, получим: 1/2t·(V x - V 0x), а, вспомнив закон изменения скорости от времени при равноускоренном движении: V x (t) = V 0x + а х t, совершенно очевидно, что разность проекций скоростей равна произведению проекции ускорения а х на время t, то есть V x - V 0x = а х t.
Рис. 3. Определение площади трапеции (Источник)
Учитывая тот факт, что площадь трапеции численно равна модулю проекции перемещения, получим:
S х(t) = V 0 x t + а х t 2 /2
Мы с вами получили закон зависимости проекции перемещения от времени при равноускоренном движении в скалярной форме, в векторной форме он будет выглядеть так:
(t) = t + t 2 / 2
Выведем еще одну формулу для проекции перемещения, в которую не будет входить в качестве переменной время. Решим систему уравнений, исключив из нее время:
S x (t) = V 0 x + а х t 2 /2
V x (t) = V 0 x + а х t
Представим, что время нам неизвестно, тогда выразим время из второго уравнения:
t = V x - V 0x / а х
Подставим полученное значение в первое уравнение:
Получим такое громоздкое выражение, возведем в квадрат и приведем подобные:
Мы получили очень удобное выражение проекции перемещения для случая, когда нам неизвестно время движения.
Пусть у нас начальная скорость автомобиля, когда началось торможение, составляет V 0 = 72 км/ч, конечная скорость V = 0, ускорение а = 4 м/с 2 . Узнаем длину тормозного пути. Переведя километры в метры и подставив значения в формулу, получим, что тормозной путь составит:
S x = 0 - 400(м/с) 2 / -2 · 4 м/с 2 = 50 м
Проанализируем следующую формулу:
S x = (V 0 x + V x) / 2 · t
Проекция перемещения- это полусумма проекций начальной и конечной скоростей, умноженная на время движения. Вспомним формулу перемещения для средней скорости
S x = V ср · t
В случае равноускоренного движения средняя скорость будет:
V ср = (V 0 + V к) / 2
Мы вплотную подошли к решению главной задачи механики равноускоренного движения, то есть получению закона, по которому меняется координата со временем:
х(t) = х 0 + V 0 x t + а х t 2 /2
Для того чтобы научиться пользоваться этим законом, разберем типичную задачу.
Автомобиль, двигаясь из состояния покоя, приобретает ускорение 2 м/с 2 . Найти путь, который прошел автомобиль за 3 секунды и за третью секунду.
Дано: V 0 x = 0
Запишем закон, по которому меняется перемещение со временем при
равноускоренном движении: S х = V 0 x t + а х t 2 /2. 2 c < Δt 2 < 3.
Мы можем ответить на первый вопрос задачи, подставив данные:
t 1 = 3 c S 1х = а х t 2 /2 = 2· 3 2 / 2 = 9 (м) - это путь, который прошел
c автомобиль за 3 секунды.
Узнаем сколько он проехал за 2 секунды:
S х (2 с) = а х t 2 /2 = 2· 2 2 / 2 = 4 (м)
Итак, мы с вами знаем, что за две секунды автомобиль проехал 4 метра.
Теперь, зная два эти расстояния, мы можем найти путь, который он прошел за третью секунду:
S 2х = S 1х + S х (2 с) = 9 - 4 = 5 (м)
График зависимости V(t) для этого случая показан на рис.1.2.1. Промежуток времени Δt в формуле (1.4) можно брать любой. Отношение ΔV/Δt от этого не зависит. Тогда ΔV=аΔt . Применяя эту формулу к промежутку от t о = 0 до некоторого момента t , можно написать выражение для скорости:
V(t)=V 0 + at. (1.5)
Здесь V 0 – значение скорости при t о = 0. Если направления скорости и ускорения противоположны, то говорят о равнозамедленном движении (рис. 1.2.2).
При равнозамедленном движении аналогично получаем
V(t) = V 0 – at.
Разберём вывод формулы перемещения тела при равноускоренном движении. Заметим, что в этом случае перемещение и пройденный путь – одно и тоже число.
Рассмотрим малый промежуток времени Δt . Из определения средней скорости V cp = ΔS/Δt можно найти пройденный путь ΔS = V cp Δt. На рисунке видно, что путь ΔS численно равен площади прямоугольника с шириной Δt и высотой V cp . Если промежуток времени Δt выбрать достаточно малым, средняя скорость на интервале Δt совпадет с мгновенной скоростью в средней точке. ΔS ≈ VΔt . Это соотношение тем точнее, чем меньше Δt . Разбивая полное время движения на такие малые интервалы и учитывая, что полный путь S складывается из путей, пройденных за эти интервалы, можно убедиться, что на графике скорости он численно равен площади трапеции:
S= ½·(V 0 + V)t ,
подставляя (1.5), получим для равноускоренного движения:
S = V 0 t + (at 2 /2) (1.6)
Для равнозамедленного движения перемещение L вычисляется так:
L= V 0 t–(at 2 /2).
Разберем задачу 1.3.
Пусть график скорости имеет вид, изображенный на рис. 1.2.4. Нарисуйте качественно синхронные графики пути и ускорения от времени.
Студент: – Мне не приходилось встречаться с понятием «синхронные графики», я также не очень представляю, что значит «нарисовать качественно».
– Синхронные графики имеют одинаковые масштабы по оси абсцисс, на которой отложено время. Расположены графики один под другим. Удобны синхронные графики для сопоставления сразу нескольких параметров в один момент времени. В этой задаче мы будем изображать движение качественно, т. е. без учета конкретных числовых значений. Для нас вполне достаточно установить: убывает функция или возрастает, какой вид она имеет, есть ли у нее разрывы или изломы и т. д. Думаю, для начала нам следует рассуждать вместе.
Разделим все время движения на три промежутка ОВ , BD , DE . Скажите, какой характер носит движение на каждом из них и по какой формуле будем вычислять пройденный путь?
Студент: – На участке ОВ тело двигалось равноускоренно с нулевой начальной скоростью, поэтому формула для пути имеет вид:
S 1 (t) = at 2 /2.
Ускорение можно найти, разделив изменение скорости, т.е. длину АВ , на промежуток времени ОВ .
Студент: – На участке ВD тело движется равномерно со скоростью V 0 , приобретенной к концу участка ОВ . Формула пути – S = Vt . Ускорения нет.
S 2 (t) = at 1 2 /2 + V 0 (t– t 1).
Учитывая это пояснение, напишите формулу для пути на участке DE .
Студент: – На последнем участке движение равнозамедленное. Буду рассуждать так. До момента времени t 2 тело уже прошло расстояние S 2 = at 1 2 /2 + V(t 2 – t 1).
К нему надо добавить выражение для равнозамедленного случая, учитывая, что время отсчитывается от значения t 2 получаем пройденный путь, за время t – t 2:
S 3 =V 0 (t–t 2)–/2.
Предвижу вопрос о том, как найти ускорение a 1 . Оно равно СD/DE . В итоге получаем путь, пройденный за время t>t 2
S (t)= at 1 2 /2+V 0 (t–t 1)– /2.
Студент: – На первом участке имеем параболу с ветвями, направленными вверх. На втором – прямую, на последнем – тоже параболу, но с ветвями вниз.
– Ваш рисунок имеет неточности. График пути не имеет изломов, т. е. параболы следует плавно сопрягать с прямой. Мы уже говорили, что скорость определяется тангенсом угла наклона касательной. По Вашему чертежу получается, что в момент t 1 скорость имеет сразу два значения. Если строить касательную слева, то скорость будет численно равна tg α, а если подходить к точке справа, то скорость равна tg β. Но в нашем случае скорость – непрерывная функция. Противоречие снимается, если график построить так.
Есть еще одно полезное соотношение между S , a, V и V 0 . Будем предполагать, что движение происходит в одну сторону. В этом случае перемещение тела от начальной точки совпадает с пройденным путём. Используя (1.5), выразите время t и исключите его из равенства (1.6). Так Вы получите эту формулу.
Студент: – V(t) = V 0 + at , значит,
t = (V– V 0)/a,
S = V 0 t + at 2 /2 = V 0 (V– V 0)/a + a[(V– V 0)/a] 2 = .
Окончательно имеем:
S = . (1.6а)
История .
Однажды во время обучения в Геттингене Нильс Бор плохо подготовился к коллоквиуму, и его выступление оказалось слабым. Бор, однако, не пал духом и в заключение с улыбкой сказал:
– Я выслушал здесь столько плохих выступлений, что прошу рассматривать моё как месть.
Выведем формулу, с помощью которой можно рассчитать проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за любой промежуток времени. Для этого обратимся к рисунку 14. Как на рисунке 14, а, так и на рисунке 14, б отрезок АС представляет собой график проекции вектора скорости тела, движущегося с постоянным ускорением а (при начальной скорости v 0).
Рис. 14. Проекция вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, численно равна площади S под графиком
Напомним, что при прямолинейном равномерном движении тела проекция вектора перемещения, совершенного этим телом, определяется по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключённого под графиком проекции вектора скорости (см. рис. 6). Поэтому проекция вектора перемещения численно равна площади этого прямоугольника.
Докажем, что и в случае прямолинейного равноускоренного движения проекцию вектора перемещения s x можно определять по той же формуле, что и площадь фигуры, заключённой между графиком АС, осью Ot и отрезками ОА и ВС, т. е. что и в этом случае проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры под графиком скорости. Для этого на оси Ot (см. рис. 14, а) выделим маленький промежуток времени db. Из точек d и b проведём перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции вектора скорости в точках а и с.
Таким образом, за промежуток времени, соответствующий отрезку db, скорость тела меняется от v ах до v cx .
За достаточно малый промежуток времени проекция вектора скорости меняется очень незначительно. Поэтому движение тела в течение этого промежутка времени мало отличается от равномерного, т. е. от движения с постоянной скоростью.
На такие полоски можно разбить всю площадь фигуры ОАСВ, являющейся трапецией. Следовательно, проекция вектора перемещения sx за промежуток времени, соответствующий отрезку ОВ, численно равна площади S трапеции ОАСВ и определяется по той же формуле, что и эта площадь.
Согласно правилу, приведённому в школьных курсах геометрии, площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Из рисунка 14, б видно, что основаниями трапеции ОАСВ являются отрезки ОА = v 0x и ВС = v x , а высотой - отрезок OB = t. Следовательно,
Поскольку v x = v 0x + a x t, a S = s x , то можно записать:
Таким образом, мы получили формулу для расчёта проекции вектора перемещения при равноускоренном движении.
По этой же формуле рассчитывают проекцию вектора перемещения и при движении тела с уменьшающейся по модулю скоростью, только в этом случае векторы скорости и ускорения будут направлены в противоположные стороны, поэтому их проекции будут иметь разные знаки.
Вопросы
- Пользуясь рисунком 14, а, докажите, что проекция вектора перемещения при равноускоренном движении численно равна площади фигуры ОАСВ.
- Запишите уравнение для определения проекции вектора перемещения тела при его прямолинейном равноускоренном движении.