関数 NS （NS ) と呼ばれる 不定積分 機能のために NS （NS) すべての場合、指定された間隔で NS この間隔から、平等
NS "（NS ) = NS(NS ) .
たとえば、関数 F（x）= x 2 NS （NS ) = 2NS 、 なぜなら
F "（x）=（x 2 )" = 2x = f（x）。 ◄
不定積分の主な特性
もしも F（x） -機能の不定積分 f（x） 与えられた間隔で、次に関数 f（x） には無限に多くの不定積分があり、これらすべての不定積分は次のように書くことができます。 F（x）+ C、 どこ と 任意の定数です。
例えば。 関数 F（x）= x 2 + 1 関数の不定積分です NS （NS ) = 2NS 、 なぜなら F "（x）=（x 2 + 1 )" = 2 x = f（x）; 関数 F（x）= x 2 - 1 関数の不定積分です NS （NS ) = 2NS 、 なぜなら F "（x）=（x 2 - 1)" = 2x = f（x） ; 関数 F（x）= x 2 - 3 関数の不定積分です NS （NS) = 2NS 、 なぜなら F "（x）=（x 2 - 3)" = 2 x = f（x）; 任意の機能 F（x）= x 2 + と 、 どこ と -任意の定数であり、そのような関数のみが関数の不定積分です NS （NS) = 2NS . ◄ |
不定積分の計算規則
- もしも F（x） -不定積分 f（x） 、 NS G（x） -不定積分 g（x） 、 それから F（x）+ G（x） -不定積分 f（x）+ g（x） ..。 言い換えると、 合計の不定積分は、不定積分の合計に等しい .
- もしも F（x） -不定積分 f（x） 、 と k -定数、その後 k · F（x） -不定積分 k · f（x） ..。 言い換えると、 定数係数は導関数の符号の外に移動できます .
- もしも F（x） -不定積分 f（x） 、 と k,NS-さらに、永続的 k≠ 0 、 それから 1 / k NS （ k x + NS ) -不定積分 NS(k x + NS) .
不定積分
不定積分 関数から f（x） 式と呼ばれる F（x）+ C、つまり、特定の関数のすべての不定積分の全体 f（x） ..。 不定積分は次のように表されます。
∫ f（x）dx = F（x）+С ,
f（x）- 電話 被積分関数 ;
f（x）dx- 電話 被積分関数 ;
NS - 電話 積分の変数 ;
F（x） -関数の不定積分の1つ f（x） ;
と 任意の定数です。
例えば、 ∫ 2 x dx =NS 2 + と , ∫ cosx dx =罪 NS + と NS。 ◄
「インテグラル」という言葉はラテン語から来ています 整数 これは「再生品」を意味します。 の不定積分を考慮する 2 NS、関数を復元します NS 2 その導関数は等しい 2 NS..。 その導関数からの関数の再構成、または同じである、与えられた被積分関数上で不定積分を見つけることは、と呼ばれます。 統合 この関数。 積分は微分の逆関数です。積分が正しいかどうかを確認するには、結果を微分して被積分関数を取得するだけで十分です。
不定積分の基本的な性質
- 不定積分の導関数は被積分関数に等しい：
- 被積分関数の定数係数は、積分記号の外側で取ることができます。
- 関数の合計（差）の積分は、これらの関数の積分の合計（差）に等しくなります。
- もしも k,NS-さらに、永続的 k≠ 0 、 それから
(∫ f（x）dx )" = f（x） .
∫ k · f（x）dx = k · ∫ f（x）dx .
∫ ( f（x）±g（x ) ) dx = ∫ f（x）dx ± ∫ g（x ) dx .
∫ NS （ k x + NS) dx = 1 / k NS （ k x + NS ) + C .
不定積分と不定積分の表
| f（x）
| F（x）+ C
| ∫
f（x）dx = F（x）+С
|
|
| 私。 | $$0$$ | $$ C $$ | $$ \ int 0dx = C $$ |
| II。 | $$ k $$ | $$ kx + C $$ | $$ \ int kdx = kx + C $$ |
| III。 | $$ x ^ n〜（n \ neq-1）$$ | $$ \ frac（x ^（n + 1））（n + 1）+ C $$ | $$ \ int x ^ ndx = \ frac（x ^（n + 1））（n + 1）+ C $$ |
| IV。 | $$ \ frac（1）（x）$$ | $$ \ ln | x | + C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（x）= \ ln | x | + C $$ |
| V。 | $$ \ sin x $$ | $$-\ cos x + C $$ | $$ \ int \ sin x〜dx =-\ cos x + C $$ |
| Vi。 | $$ \ cos x $$ | $$ \ sin x + C $$ | $$ \ int \ cos x〜dx = \ sin x + C $$ |
| Vii。 | $$ \ frac（1）（\ cos ^ 2x）$$ | $$ \ textrm（tg）〜x + C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（\ cos ^ 2x）= \ textrm（tg）〜x + C $$ |
| VIII。 | $$ \ frac（1）（\ sin ^ 2x）$$ | $$-\ textrm（ctg）〜x + C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（\ sin ^ 2x）=-\ textrm（ctg）〜x + C $$ |
| IX。 | $$ e ^ x $$ | $$ e ^ x + C $$ | $$ \ int e ^ xdx = e ^ x + C $$ |
| NS。 | $$ a ^ x $$ | $$ \ frac（a ^ x）（\ ln a）+ C $$ | $$ \ int a ^ xdx = \ frac（a ^ x）（\ ln a）+ C $$ |
| XI。 | $$ \ frac（1）（\ sqrt（1-x ^ 2））$$ | $$ \ arcsin x + C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（\ sqrt（1-x ^ 2））= \ arcsin x + C $$ |
| XII。 | $$ \ frac（1）（\ sqrt（a ^ 2-x ^ 2））$$ | $$ \ arcsin \ frac（x）（a）+ C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（\ sqrt（a ^ 2-x ^ 2））= \ arcsin \ frac（x）（a）+ C $$ |
| XIII。 | $$ \ frac（1）（1 + x ^ 2）$$ | $$ \ textrm（arctg）〜x + C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（1 + x ^ 2）= \ textrm（arctg）〜x + C $$ |
| XIV。 | $$ \ frac（1）（a ^ 2 + x ^ 2）$$ | $$ \ frac（1）（a）\ textrm（arctg）〜\ frac（x）（a）+ C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（a ^ 2 + x ^ 2）= \ frac（1）（a）\ textrm（arctg）〜\ frac（x）（a）+ C $$ |
| XV。 | $$ \ frac（1）（\ sqrt（a ^ 2 + x ^ 2））$$ | $$ \ ln | x + \ sqrt（a ^ 2 + x ^ 2）| + C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（\ sqrt（a ^ 2 + x ^ 2））= \ ln | x + \ sqrt（a ^ 2 + x ^ 2）| + C $$ |
| Xvi。 | $$ \ frac（1）（x ^ 2-a ^ 2）〜（a \ neq0）$$ | $$ \ frac（1）（2a）\ ln \ begin（vmatrix）\ frac（x-a）（x + a）\ end（vmatrix）+ C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（x ^ 2-a ^ 2）= \ frac（1）（2a）\ ln \ begin（vmatrix）\ frac（xa）（x + a）\ end（vmatrix）+ C $$ |
| XVII。 | $$ \ textrm（tg）〜x $$ | $$-\ ln | \ cos x | + C $$ | $$ \ int \ textrm（tg）〜x〜dx =-\ ln | \ cos x | + C $$ |
| Xviii。 | $$ \ textrm（ctg）〜x $$ | $$ \ ln | \ sin x | + C $$ | $$ \ int \ textrm（ctg）〜x〜dx = \ ln | \ sin x | + C $$ |
| XIX。 | $$ \ frac（1）（\ sin x）$$ | $$ \ ln \ begin（vmatrix）\ textrm（tg）〜\ frac（x）（2）\ end（vmatrix）+ C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（\ sin x）= \ ln \ begin（vmatrix）\ textrm（tg）〜\ frac（x）（2）\ end（vmatrix）+ C $$ |
| XX。 | $$ \ frac（1）（\ cos x）$$ | $$ \ ln \ begin（vmatrix）\ textrm（tg）\ left（\ frac（x）（2）+ \ frac（\ pi）（4）\ right）\ end（vmatrix）+ C $$ | $$ \ int \ frac（dx）（\ cos x）= \ ln \ begin（vmatrix）\ textrm（tg）\ left（\ frac（x）（2）+ \ frac（\ pi）（4）\ right ）\ end（vmatrix）+ C $$ |
| この表に示されている不定積分と不定積分は通常、 表形式の不定積分
と 表形式の積分
. |
|||
定積分
間隔を空けて [NS; NS] 連続関数が与えられます y = f（x） 、 それから aからbまでの定積分 関数 f（x） 不定積分の増分と呼ばれます F（x） この関数、つまり
$$ \ int_（a）^（b）f（x）dx = F（x）|（_a ^ b）= ~~ F（a）-F（b）。$$
数字 NSと NSそれに応じて名前が付けられます 低い と 上 統合の限界。
定積分を計算するための基本的なルール
1. \（\ int_（a）^（a）f（x）dx = 0 \）;
2. \（\ int_（a）^（b）f（x）dx =-\ int_（b）^（a）f（x）dx \）;
3. \（\ int_（a）^（b）kf（x）dx = k \ int_（a）^（b）f（x）dx、\）ここで、 k - 絶え間ない;
4. \（\ int_（a）^（b）（f（x）±g（x））dx = \ int_（a）^（b）f（x）dx±\ int_（a）^（b） g（x）dx \）;
5. \（\ int_（a）^（b）f（x）dx = \ int_（a）^（c）f（x）dx + \ int_（c）^（b）f（x）dx \） ;
6. \（\ int _（-a）^（a）f（x）dx = 2 \ int_（0）^（a）f（x）dx \）、ここで f（x） -偶関数;
7. \（\ int _（-a）^（a）f（x）dx = 0 \）、ここで f（x） 奇妙な機能です。
コメント ..。 すべての場合において、被積分関数は数値間隔で積分可能であり、その境界が積分の限界であると想定されています。
定積分の幾何学的および物理的意味
| 幾何平均 定積分 | 肉体的感覚
定積分 |
 |  |
四角 NS曲線台形（区間内の連続正のグラフで囲まれた図 [NS; NS] 関数 f（x） 、軸 牛 そしてまっすぐ x = a , x = b ）は次の式で計算されます $$ S = \ int_（a）^（b）f（x）dx。$$ | 仕方 NS、質点が克服した、法則に従って変化する速度で直線的に移動する v（t）
、時間間隔a ;
NS]、次に、これらの関数のグラフと直線によって制限された図の領域 x = a
, x = b
、式で計算 $$ S = \ int_（a）^（b）（f（x）-g（x））dx。$$ |
 | 例えば。 線で囲まれた図形の面積を計算します y = x 2 と y = 2- NS . これらの関数のグラフを概略的に描き、その領域が異なる色で見つかる形状を強調してみましょう。 積分の限界を見つけるために、次の方程式を解きます。 NS 2 = 2- NS ; NS 2 + NS - 2 = 0 ; NS 1 = -2、 NS 2 = 1 . $$ S = \ int _（-2）^（1）（（2-x）-x ^ 2）dx = $$ |
$$ = \ int _（-2）^（1）（2-xx ^ 2）dx = \ left（2x- \ frac（x ^ 2）（2）-\ frac（x ^ 3）（2）\右）\ bigm |（_（-2）^（〜1））= 4 \ frac（1）（2）。 $$ ◄ |
|
回転体の体積
 | 軸を中心とした回転の結果としてボディが取得された場合 牛 区間内の連続および非負のグラフで囲まれた曲線台形 [NS; NS] 関数 y = f（x） そしてまっすぐ x = aと x = b それからそれは呼ばれます 回転体 . 回転体の体積は次の式で計算されます $$ V = \ pi \ int_（a）^（b）f ^ 2（x）dx。$$ 関数のグラフによって上下に囲まれた図形の回転の結果として回転体が得られる場合 y = f（x） と y = g（x） 、それぞれ、その後 $$ V = \ pi \ int_（a）^（b）（f ^ 2（x）-g ^ 2（x））dx。$$ |
 | 例えば。 半径のある円錐の体積を計算します NS
と高さ NS
. 円錐を直交座標系に配置して、その軸が軸と一致するようにします。 牛
、およびベースの中心は原点にありました。 発電機の回転 AB円錐を定義します。 方程式以来 AB $$ \ frac（x）（h）+ \ frac（y）（r）= 1、$$ $$ y = r- \ frac（rx）（h）$$ |
| そして私達が持っている円錐の容積のために $$ V = \ pi \ int_（0）^（h）（r- \ frac（rx）（h））^ 2dx = \ pi r ^ 2 \ int_（0）^（h）（1- \ frac（ x）（h））^ 2dx =-\ pi r ^ 2h \ cdot \ frac（（1- \ frac（x）（h））^ 3）（3）|（_0 ^ h）=-\ pi r ^ 2h \左（0- \ frac（1）（3）\右）= \ frac（\ pi r ^ 2h）（3）。$$ ◄ |
|
不定積分機能 f（x）間に （a; b）そのような関数は呼び出されます F（x）その平等はどんなものにも当てはまります NS与えられた間隔から。
定数の導関数が とがゼロに等しい場合、等式は真です。 だから関数 f（x）多くの不定積分があります F（x）+ C、任意の定数の場合 と、およびこれらの不定積分は、任意の定数値によって互いに異なります。
不定積分の定義。
不定積分の全セット f（x）この関数の不定積分と呼ばれ、 
.
式は呼ばれます 被積分関数、 NS f（x） – 被積分関数..。 被積分関数は関数の微分です f（x）.
与えられた微分に対して未知の関数を見つけるアクションはと呼ばれます 不確か統合の結果は複数の機能であるため、統合 F（x）、およびその不定積分の多く F（x）+ C.
不定積分の幾何平均。 不定積分D（x）のグラフは積分曲線と呼ばれます。 x0y座標系では、特定の関数のすべての不定積分のグラフは、定数Cの値に依存し、0y軸に沿った平行シフトによって相互に取得される一連の曲線を表します。 上記の例では、次のようになります。
J 2 x ^ x = x2 + C。
不定積分のファミリー（x + C）は、放物線のセットとして幾何学的に解釈されます。
不定積分のファミリーの1つを見つける必要がある場合は、定数Cを決定できるようにする追加の条件が設定されます。通常、この目的のために、初期条件が設定されます。引数x = x0の値に対して、関数値はD（x0）= y0です。
例。 関数y = 2 xの不定積分を見つける必要があります。これは、x0 = 1で値3を取ります。
望ましい不定積分：D（x）= x2 +2。
解決。 ^ 2x ^ x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2。
2.不定積分の基本的な性質
1.不定積分の導関数は、被積分関数に等しくなります。
2.不定積分の微分は、被積分関数に等しくなります。
3.ある関数の微分の不定積分は、この関数自体と任意の定数の合計に等しくなります。
4.定数係数は、積分記号から取り出すことができます。
5.合計（差）の積分は、積分の合計（差）に等しくなります。
6.プロパティは、プロパティ4と5の組み合わせです。
7.不定積分の不変性の性質：
もしも 
、 それから
8.プロパティ：
もしも 
、 それから
実際、このプロパティは、変数変更メソッドを使用した統合の特殊なケースです。これについては、次のセクションで詳しく説明します。
例を考えてみましょう：
3. 統合方法、この積分は、被積分関数（または式）の同一の変換と不定積分のプロパティの適用によって1つ以上の表形式の積分に縮小されます。 直接統合..。 この積分を表形式の積分に変換する場合、次の微分変換がよく使用されます（演算 " 微分記号»):
一般的、 f '（u）du = d（f（u））。これ（この式は、積分を計算するときに非常によく使用されます。
積分を見つける
解決。積分の特性を使用して、この積分をいくつかの表形式のものに減らします。
4. 置換法による統合。
この方法の本質は、新しい変数を導入し、この変数を介して被積分関数を表現することです。その結果、積分の表形式（またはより単純な形式）になります。
三角関数や関数を部首と統合する場合、置換方法が役立つことがよくあります。
例。
不定積分を見つける 
.
解決。
新しい変数を紹介しましょう。 表現しましょう NS横切って z:
得られた式を元の積分に代入します。 
不定積分の表から 
.
元の変数に戻るために残っています NS:
答え：
不定積分を見つけるための3つの基本的なルールがあります。 それらは、対応する微分法則と非常によく似ています。
ルール1
Fが関数fの不定積分であり、Gが関数gの不定積分である場合、F + Gはf + gの不定積分になります。
定義により、不定積分F '= f。 G '= g。 そして、これらの条件が満たされているので、関数の合計の導関数を計算するためのルールに従って、次のようになります。
（F + G） '= F' + G '= f + g。
ルール2
Fが関数fの不定積分であり、kが定数である場合。 その場合、k * Fは関数k * fの不定積分です。 この規則は、複素関数の導関数を計算するための規則に従います。
（k * F） ’= k * F’ = k * fです。
ルール3
F（x）が関数f（x）の不定積分であり、kとbがいくつかの定数であり、kがゼロに等しくない場合、（1 / k）* F *（k * x + b）は次のようになります。関数f（k * x + b）の不定積分。
この規則は、複素関数の導関数を計算するための規則に従います。
（（1 / k）* F *（k * x + b）） ’=（1 / k）* F’（k * x + b）* k = f（k * x + b）。
これらのルールがどのように適用されるかのいくつかの例を見てみましょう。
例1..。 関数f（x）= x ^ 3 + 1 / x ^ 2の不定積分の一般的な形式を見つけます。 関数x ^ 3の場合、不定積分の1つは関数（x ^ 4）/ 4になり、関数1 / x ^ 2の場合、不定積分の1つは関数-1 / xになります。 最初のルールを使用すると、次のようになります。
F（x）= x ^ 4 / 4-1 / x + C。
例2..。 関数f（x）= 5 * cos（x）の不定積分の一般的な形式を見つけましょう。 関数cos（x）の場合、不定積分の1つは関数sin（x）になります。 2番目のルールを使用すると、次のようになります。
F（x）= 5 * sin（x）。
例3。関数y = sin（3 * x-2）の不定積分の1つを見つけます。 sin（x）関数の場合、不定積分の1つは-cos（x）関数になります。 ここで3番目のルールを使用すると、不定積分の式が得られます。
F（x）=（-1/3）* cos（3 * x-2）
例4..。 f（x）= 1 /（7-3 * x）^ 5の不定積分を見つける
関数1 / x ^ 5の不定積分は、関数（-1 /（4 * x ^ 4））になります。 ここで、3番目のルールを使用して、を取得します。
不定積分。
不定積分は例で理解しやすいです。
関数を取りましょう y = x 3.3。 前のセクションからわかるように、 NS 3は3です NS 2:
(NS 3)" = 3NS 2 .
したがって、関数から y = x 3新しい関数を取得します。 で = 3NS 2 .
比喩的に言えば、関数 で = NS 3発射された機能 で = 3NS 2そしてその「親」です。 数学では、「親」という言葉はありませんが、関連する概念があります。それは不定積分です。
つまり：関数 y = x 3は関数の不定積分です で = 3NS 2 .
不定積分の定義：
私たちの例では（ NS 3)" = 3NS 2、したがって y = x 3-不定積分 で = 3NS 2 .
統合。
ご存知のように、与えられた関数の導関数を見つけるプロセスは微分と呼ばれます。 そして、その逆の操作は統合と呼ばれます。
明確化の例:
で = 3NS 2+罪 NS.
解決 ：
3の不定積分は NS 2は NS 3 .
罪の不定積分 NSは–cos NS.
2つの不定積分を追加し、指定された関数の不定積分を取得します。
y = x 3 +（– cos NS),
y = x 3-cos NS.
答え ：
機能のために で = 3NS 2+罪 NS y = x 3-cos NS.
明確化の例:
関数の不定積分を見つける で= 2罪 NS.
解決 ：
k = 2であることに注意してください。罪の不定積分 NSは–cos NS.
したがって、機能のために で= 2罪 NS不定積分は機能です で= –2 cos NS.
関数y = 2sinの係数2 NSこの関数が形成された不定積分の係数に対応します。
明確化の例:
関数の不定積分を見つける y= sin 2 NS.
解決 ：
ご了承ください k= 2。罪の不定積分 NSは–cos NS.
関数の不定積分を見つけるときに式を適用します y= cos 2 NS:
1
y=-・（–cos 2 NS),
2
cos 2 NS
y = – ----
2
cos 2 NS
回答：機能について y= sin 2 NS不定積分は機能です y = – ----
2
(4)
明確化の例.
前の例の関数を見てみましょう。 y= sin 2 NS.
この関数の場合、すべての不定積分は次のとおりです。
cos 2 NS
y = – ---- + NS.
2
説明。
最初の行を見てみましょう。 次のようになります。関数y = f（ NS）が0に等しい場合、その不定積分は1です。なぜですか？ 導出された単位がゼロであるため：1 "= 0。
残りの行は同じ順序で読み取られます。
テーブルからデータを書き出す方法は？ 8行目を見てみましょう：
（-cos NS） "=罪 NS
2番目の部分を導関数記号で記述し、次に等号と導関数を記述します。
私達は読む：罪の機能のための不定積分 NS-cos関数です NS.
または：-cos関数 NS罪の不定積分です NS.
このチュートリアルは、統合に関する一連のビデオの最初のチュートリアルです。 その中で、関数の不定積分が何であるかを分析し、これらの非常に不定積分を計算するための基本的な手法も研究します。
実際、ここでは複雑なことは何もありません。本質的に、それはすべて、あなたがすでに精通しているはずの導関数の概念に要約されます。:)
これは新しいトピックの最初のレッスンであるため、今日は複雑な計算や数式はありませんが、今日学習する内容は、複雑な積分や面積を計算する際のはるかに複雑な計算や構築の基礎となることにすぐに気付きます。 。
さらに、特に積分と積分の研究を開始すると、学生はすでに導関数の概念に少なくとも精通しており、それらを計算する上で少なくとも基本的なスキルを持っていると暗黙のうちに想定しています。 これを明確に理解していなければ、統合には何の関係もありません。
ただし、これは最も一般的で陰湿な問題の1つです。 事実、最初の不定積分を計算し始めると、多くの学生がそれらを導関数と混同します。 その結果、試験や独立した仕事で愚かで不快な間違いが起こります。
したがって、ここでは不定積分の明確な定義を示しません。 その見返りとして、簡単な具体例を使用してどのように計算されるかを確認することをお勧めします。
不定積分とは何ですか、そしてそれはどのように数えられますか
私たちはこの公式を知っています：
\ [（（\ left（（（x）^（n））\ right））^（\ prime））= n \ cdot（（x）^（n-1））\]
この導関数は基本的なものと見なされます。
\ [（f） "\ left（x \ right）=（（\ left（（（x）^（3））\ right））^（\ prime））= 3（（x）^（2））\ ]
結果の式を注意深く見て、$（（x）^（2））$を表現しましょう：
\ [（（x）^（2））= \ frac（（（\ left（（（x）^（3））\ right））^（\ prime）））（3）\]
しかし、導関数の定義によれば、次のように書くことができます。
\ [（（x）^（2））=（（\ left（\ frac（（（x）^（3）））（3）\ right））^（\ prime））\]
ここで注意：私たちが今書き留めたのは、不定積分の定義です。 しかし、それを正しく書き留めるには、次のように書く必要があります。
同様の方法で次の式を書き留めましょう。
このルールを一般化すると、次の式を導き出すことができます。
\ [（（x）^（n））\ to \ frac（（（x）^（n + 1）））（n + 1）\]
これで、明確な定義を作成できます。
関数の不定積分は、その導関数が元の関数と等しい関数です。
不定積分の質問
かなり単純でわかりやすい定義のように思われます。 しかし、それを聞くと、気配りのある学生はすぐにいくつかの質問をします：
- わかりました、この式は正しいとしましょう。 ただし、この場合、$ n = 1 $の場合、問題が発生します。分母に「ゼロ」が表示され、「ゼロ」で除算することはできません。
- 数式は度のみに制限されています。 不定積分、たとえば、正弦、余弦、その他の三角法、および定数をカウントする方法。
- 実存的な質問：不定積分を見つけることは常に可能ですか？ もしそうなら、原始的な合計、差、積などはどうですか？
最後の質問にすぐに答えます。 残念ながら、誘導体とは対照的に、不定積分は常に考慮されているわけではありません。 最初の構造から、この同様の構造に等しい関数を取得するような普遍的な公式はありません。 度と定数については、それについて説明します。
電源機能の問題を解決する
\ [（（x）^（-1））\ to \ frac（（（x）^（-1 + 1）））（-1 + 1）= \ frac（1）（0）\]
ご覧のとおり、この式は$（（x）^（-1））$では機能しません。 疑問が生じます：それでは何が機能するのでしょうか？ $（（x）^（-1））$を数えられませんか？ もちろん、我々はできます。 最初にこれを覚えておきましょう：
\ [（（x）^（-1））= \ frac（1）（x）\]
ここで考えてみましょう：その関数の導関数は$ \ frac（1）（x）$です。 明らかに、このトピックを少なくとも少し勉強したことのある学生なら誰でも、自然対数の導関数がこの式に等しいことを覚えているでしょう。
\ [（（\ left（\ ln x \ right））^（\ prime））= \ frac（1）（x）\]
したがって、自信を持って次のように書くことができます。
\ [\ frac（1）（x）=（（x）^（-1））\ to \ ln x \]
べき関数の導関数と同じように、この式を知る必要があります。
だから私たちが現時点で知っていること：
- べき関数の場合-$（（x）^（n））\ to \ frac（（（x）^（n + 1）））（n + 1）$
- 定数の場合-$ = const \ to \ cdot x $
- べき関数の特殊なケース-$ \ frac（1）（x）\ to \ ln x $
そして、最も単純な関数を乗算および除算し始めた場合、製品または商の不定積分をどのように計算できますか。 残念ながら、作品または特定の派生物との類似性はここでは機能しません。 標準的な公式はありません。 場合によっては、トリッキーな特別な数式があります。これらについては、今後のビデオチュートリアルで説明します。
ただし、商と積の導関数を計算する式に似た一般式はありません。
実際の問題を解決する
問題番号1
それぞれのべき関数を個別に計算してみましょう。
\ [（（x）^（2））\ to \ frac（（（x）^（3）））（3）\]
私たちの表現に戻って、私たちは一般的な構造を書きます：
問題番号2
すでに述べたように、原始的な作品とプライベートは「完全に」とは見なされません。 ただし、ここでは次のように進めることができます。
分数を2つの分数の合計に分割しました。
数えてみよう：
良いニュースは、不定積分を計算するための式を知ることによって、より複雑な構成を頼りにすることができるということです。 しかし、先に進んで、私たちの知識をもう少し広げましょう。 事実、一見$（（x）^（n））$とは関係のない多くの構造と式は、有理指数の累乗として表すことができます。
\ [\ sqrt（x）=（（x）^（\ frac（1）（2）））\]
\ [\ sqrt [n]（x）=（（x）^（\ frac（1）（n）））\]
\ [\ frac（1）（（（x）^（n）））=（（x）^（-n））\]
これらすべての手法を組み合わせることができ、組み合わせる必要があります。 力の表現はできます
- 掛ける（力が足し合わされる）;
- 除算（度が減算されます）;
- 定数を掛けます。
- NS。
有理指数のべき乗で式を解く
例1
各ルートを個別に数えましょう：
\ [\ sqrt（x）=（（x）^（\ frac（1）（2）））\ to \ frac（（（x）^（\ frac（1）（2）+1）））（\ frac（1）（2）+1）= \ frac（（（x）^（\ frac（3）（2））））（\ frac（3）（2））= \ frac（2 \ cdot（（ x）^（\ frac（3）（2））））（3）\]
\ [\ sqrt（x）=（（x）^（\ frac（1）（4）））\ to \ frac（（（x）^（\ frac（1）（4））））（\ frac（ 1）（4）+1）= \ frac（（（x）^（\ frac（5）（4））））（\ frac（5）（4））= \ frac（4 \ cdot（（x）） ^（\ frac（5）（4））））（5）\]
全体として、私たちの全体の構造は次のように書くことができます：
例2
\ [\ frac（1）（\ sqrt（x））=（（\ left（\ sqrt（x）\ right））^（-1））=（（\ left（（（x）^（\ frac（ 1）（2）））\ right））^（-1））=（（x）^（-\ frac（1）（2）））\]
したがって、次のようになります。
\ [\ frac（1）（（（x）^（3）））=（（x）^（-3））\ to \ frac（（（x）^（-3 + 1）））（-3 +1）= \ frac（（（x）^（-2）））（-2）=-\ frac（1）（2（（x）^（2）））\]
したがって、すべてを1つの式にまとめると、次のように書くことができます。
例3
まず、すでに$ \ sqrt（x）$を検討していることに注意してください。
\ [\ sqrt（x）\ to \ frac（4（（x）^（\ frac（5）（4））））（5）\]
\ [（（x）^（\ frac（3）（2）））\ to \ frac（（（x）^（\ frac（3）（2）+1）））（\ frac（3）（2 ）+1）= \ frac（2 \ cdot（（x）^（\ frac（5）（2））））（5）\]
書き直してみましょう：
私たちが今研究したのは、最も基本的な構造である不定積分の最も単純な計算であると言っても、誰も驚かないことを願っています。 ここで、もう少し複雑な例を考えてみましょう。ここでは、表形式の不定積分に加えて、学校のカリキュラム、つまり省略された乗算式も思い出す必要があります。
より複雑な例を解く
問題番号1
差の二乗の式を思い出してみましょう。
\ [（（\ left（a-b \ right））^（2））=（（a）^（2））-ab +（（b）^（2））\]
関数を書き直してみましょう。
ここで、そのような関数の不定積分を見つける必要があります。
\ [（（x）^（\ frac（2）（3）））\ to \ frac（3 \ cdot（（x）^（\ frac（5）（3））））（5）\]
\ [（（x）^（\ frac（1）（3）））\ to \ frac（3 \ cdot（（x）^（\ frac（4）（3））））（4）\]
すべてを共通の設計にまとめる：
問題番号2
この場合、差分キューブを展開する必要があります。 覚えておきましょう：
\ [（（\ left（ab \ right））^（3））=（（a）^（3））-3（（a）^（2））\ cdot b + 3a \ cdot（（b）^ （2））-（（b）^（3））\]
この事実を考慮に入れると、次のように書くことができます。
関数を少し変換してみましょう。
私たちはいつものように数えます-用語ごとに別々に：
\ [（（x）^（-3））\ to \ frac（（（x）^（-2）））（-2）\]
\ [（（x）^（-2））\ to \ frac（（（x）^（-1）））（-1）\]
\ [（（x）^（-1））\ to \ ln x \]
結果の構造を書いてみましょう：
問題番号3
上部に合計の2乗があり、それを展開してみましょう。
\ [\ frac（（（\ left（x + \ sqrt（x）\ right））^（2）））（x）= \ frac（（（x）^（2））+ 2x \ cdot \ sqrt（ x）+（（\ left（\ sqrt（x）\ right））^（2）））（x）= \]
\ [= \ frac（（（x）^（2）））（x）+ \ frac（2x \ sqrt（x））（x）+ \ frac（x）（x）= x + 2（（x） ^（\ frac（1）（2）））+ 1 \]
\ [（（x）^（\ frac（1）（2）））\ to \ frac（2 \ cdot（（x）^（\ frac（3）（2））））（3）\]
最終的な解決策を書いてみましょう：
今注目！ 非常に重要なことであり、これはエラーや誤解の大部分に関連しています。 事実、これまで、導関数の助けを借りて不定積分を数え、変換をもたらし、定数の導関数が何であるかについて考えていませんでした。 しかし、定数の導関数は「ゼロ」に等しい。 これは、次のオプションを書き留めることができることを意味します。
- $（（x）^（2））\ to \ frac（（（x）^（3）））（3）$
- $（（x）^（2））\ to \ frac（（（x）^（3）））（3）+ 1 $
- $（（x）^（2））\ to \ frac（（（x）^（3）））（3）+ C $
これを理解することは非常に重要です。関数の導関数が常に同じである場合、同じ関数には無限に多くの不定積分があります。 不定積分に定数を追加して、新しいものを取得できるというだけです。
今解決した問題の説明に「不定積分の概観を書き留めて」と書かれていたのは偶然ではありません。 それらの。 すでに1つではなく、多数あると事前に想定されています。 しかし、実際には、それらは最後に定数$ C $だけが異なります。 したがって、タスクでは、完了していないものを修正します。
構造をもう一度書き直します。
このような場合、$ C $は定数-$ C = const $であることを追加する必要があります。
2番目の関数では、次の構造が得られます。
そして最後のもの：
そして今、私たちは問題の初期状態で私たちに必要なものを本当に手に入れました。
与えられた点で不定積分を見つける問題を解決する
さて、定数と不定積分の記述の特殊性について知っているとき、次のタイプの問題が非常に論理的に発生します。すべての不定積分のセットから、特定のポイントを通過する唯一の不定積分を見つける必要がある場合です。 このタスクは何ですか？
事実、この関数のすべての不定積分は、それらが垂直方向にある数だけシフトされているという点でのみ異なります。 そしてこれは、座標平面上のどの点をとっても、必ず1つの不定積分が通過し、さらに1つだけが通過することを意味します。
したがって、これから解決するタスクは次のように定式化されます。元の関数の式を知っている不定積分を見つけるだけでなく、特定の点を通過する不定積分を1つだけ選択します。その座標は、問題文。
例1
まず、各用語を数えましょう。
\ [（（x）^（4））\ to \ frac（（（x）^（5）））（5）\]
\ [（（x）^（3））\ to \ frac（（（x）^（4）））（4）\]
次に、これらの式を構造に代入します。
この関数は、点$ M \ left（-1; 4 \ right）$を通過する必要があります。 ポイントを通過するとはどういう意味ですか？ つまり、$ x $の代わりに$ -1 $をどこにでも配置し、$ F \ left（x \ right）$-$ -4 $の代わりに、正しい数値の等式を取得する必要があります。 これをやろう：
$ C $の方程式があることがわかるので、それを解いてみましょう。
私たちが探していたまさにその解決策を書き留めましょう：
例2
まず、省略された乗算式を使用して、差の2乗を開く必要があります。
\ [（（x）^（2））\ to \ frac（（（x）^（3）））（3）\]
元の構造は次のように記述されます。
ここで$ C $を見つけましょう：点の座標を代入します$ M $：
\ [-1 = \ frac（8）（3）-12 + 18 + C \]
$ C $の表現：
最終的な式を表示するために残っています：
三角関数の問題の解決
今分析したことの最後のコードとして、三角法を含む2つのより複雑な問題を検討することを提案します。 それらの中で、同じように、すべての関数の不定積分を見つける必要があります。次に、このセットから、座標平面上の点$ M $を通過する唯一の不定積分を選択します。
今後、三角関数の不定積分を見つけるためにこれから使用する手法は、実際、自己テストのための普遍的な手法であることに注意したいと思います。
問題番号1
次の式を覚えておきましょう。
\ [（（\ left（\ text（tg）x \ right））^（\ prime））= \ frac（1）（（（\ cos）^（2））x）\]
これに基づいて、次のように書くことができます。
$ M $の座標を式にプラグインしましょう。
\ [-1 = \ text（tg）\ frac（\ text（）\！\！\ Pi \！\！\ Text（））（\ text（4））+ C \]
この事実を念頭に置いて式を書き直してみましょう。
問題番号2
ここではもう少し難しいでしょう。 これで、その理由がわかります。
この式を覚えておきましょう：
\ [（（\ left（\ text（ctg）x \ right））^（\ prime））=-\ frac（1）（（（\ sin）^（2））x）\]
「マイナス」を取り除くには、次のことを行う必要があります。
\ [（（\ left（-\ text（ctg）x \ right））^（\ prime））= \ frac（1）（（（\ sin）^（2））x）\]
これが私たちの構造です
点の座標を$ M $に置き換えましょう。
合計で、最終的な構造を書き留めます。
今日お話ししたかったのはそれだけです。 非常に用語の不定積分、初等関数からそれらを数える方法、および座標平面上の特定の点を通過する不定積分を見つける方法を研究しました。
このチュートリアルが、この複雑なトピックを少なくとも少し理解するのに役立つことを願っています。 いずれにせよ、不定積分と不定積分が構築されるのは不定積分であるため、それらを数えることが絶対に必要です。 それが私にとってすべてです。 次回まで！