直線の平行性と平面に対するそれらの垂直性の間の接続を確立する定理。 定理2：2つの直線が平面に垂直である場合、それらは互いに平行です。 定理1：2本の平行線の一方が平面に垂直である場合、もう一方の線はこの平面に垂直です。
スライド8プレゼンテーションから 「線と平面の垂線の条件」..。 プレゼンテーション付きのアーカイブのサイズは415KBです。ジオメトリグレード10
他のプレゼンテーションの要約「自然界の対称性の例」-地質学における対称性。 シリンダーの対称性。 生物学における対称性。 対称性のタイプ。 地理学における対称性。 対称分布の例。 自然界の対称性。 対称性とは何ですか。 離散対称性。 人、多くの動植物は左右対称です。 自然物。 対称性は自然の基本的な特性です。 結晶の外形の対称性。 物理学における対称性。
セクションの問題-四面体。 ミッドリブ。 ポイント。 ドット。 セクションの構築。 平行六面体のセクション。 レベル。 メニュー。 平面によって平行六面体の断面。 断面積。 四面体のセクションを作成します。 線の交点を見つけます。 立方体のセクション。 キューブ 四面体のセクション。 ポイントデータ。 多面体。 目的のセクション。 真ん中。 立方体の平面セクションを作成します。
「立体測定の公理からの結果」-立方体の画像を作成します。 ディクテーション。 独立した仕事。 定理を定式化します。 平面の交線を見つけます。 立体幾何学の公理とその最も単純な結果。 ジオメトリスライド。 答えを説明してください。 さまざまな飛行機。 1、2、3、4ポイントを通過する面の数。 飛行機の存在。 直線と平面の交点。 これらの平面の交線に名前を付けます。 ある点で交差する線。
「周囲の世界の対称性」-ほとんどの単純な分子には、空間対称性の要素があります。 色の幾何学。 ピタゴラス。 数学の対称性。 フラワーオブライフ。 放射状の対称性。 正多面体。 自然界の対称性。 古代ギリシャ人。 化学における対称性。 神聖幾何学。 放線型対称性。 完全な点対称のバイオオブジェクト。 キャリー。 私たちの周りの対称性。 対称。
「立体幾何学の基本的な公理」-古代中国のことわざ。 幾何学的な立体。 立体測定の主題。 ジオメトリ。 4つの正三角形。 公理からの結果。 クフ王のピラミッド。 直線の点は平面にあります。 宇宙の基本的な数字。 飛行機。 立体幾何学の最初のレッスン。 立体測定の公理からの結果。 公理。 平面には共通点があります。 ソースとリンク。 空間図の画像。 立体測定の公理。
「ボックス」-四面体をボックスに内接させることができます。 直方体の体積の公式の導出。 2つの頂点を接続するセグメント。 平行六面体には、平行で等しい反対側の面があります。 任意の平行六面体。 これは、平行六面体が平らなパターンでどのように見えるかです。 直方体の表面積。 直方体。 「ザルツブルク平行六面体」。 平行六面体は、対角線の中央を中心に対称です。
このセクションでは、直線と平面の平行度と垂直度の間の接続を確立することに専念します。これらは、ジオメトリとそのアプリケーションで広く使用されています。
並列処理との間のリンクの存在
空間の垂直性は、私たちの経験によって証明されています。 実際、垂直に設置された柱は互いに平行です（図394）。 垂直に向けられた氷のつららは平行であり（図395）、垂直
建物を飾る柱（図396）など
面積測定における同様の結合の内容はよく知られています。1つの直線に垂直な2つの垂線は互いに平行であり、逆に、2つの平行な直線の1つに垂直な直線は他の直線に垂直です。 ただし、空間内の直線の場合、これらのステートメントは常に正しいとは限りません（適切な例を自分で示すようにしてください）。 同時に、空間内の直線や平面の平行性や垂直性に関連する状況を研究することも可能です。
直線の平行度とそれらの平面の垂直度との関係をより詳細に考えてみましょう。 これらの接続は、使用する実際のオブジェクト間の関係を反映しています
線と平面の垂直性 |
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私たちは日常生活の中にいます。 本当、 |
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1枚の柵板が垂直に配置されている場合 |
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わかりました、2番目のボードは十分に配置されています |
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最初のものと並行して生きるので、彼女も |
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垂直でした（図397）。 こちらです |
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フェンスの構築は以下に基づいています |
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次の定理。 |
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定理1（約2本の平行線。そのうちの1本は平面に垂直です）。
2本の平行線の1つが平面に垂直である場合、2番目の線はこの平面に垂直です。
上記の定理は、直線と平面の垂直性の符号です。つまり、その助けを借りて、直線と平面の垂直性が確立されます。 幾何学だけでなく、実際にも広く使用されています。 と建物の壁の建設
下げ振りの線を使用することは、線と平面の垂直性のこの記号の使用の鮮明な図解です。 確かに、下げ振りの線は垂直であり、構造の端が線と平行である場合、それも垂直です（図398）。
定理1を考慮すると、当然のことながら疑問が生じます。1つの平面に垂直な2本の直線は平行になるのでしょうか。 経験からその答えがわかります（垂直に設置された2本の柱は平行です！）。そして、次の定理、定理1の逆によって確認されます。
定理2（平面に垂直な直線の平行性について）。
2本の直線が同じ平面に垂直である場合、それらは平行です。
上記の定理も特徴です。 その助けを借りて、空間構造における直線の平行性が確立されます。 結局のところ、垂直性または垂直性
直線面の平行度と垂直度の関係391
平面は、平行度よりもチェックしやすい場合があります（特にかさばるオブジェクトの場合）。 たとえば、建物の天井の建設中の横梁の位置、幾何学的構成での直線の平行性の認識などについて話します。
幾何学とその応用において同様に重要なのは、平面の平行性と直線に対するそれらの垂直性の間の関係です。 私たちは2つの平面と1つの直線について話している。 2つの平面が平行で、そのうちの1つが直線に垂直である場合、2番目の平面はこの直線に対してどのように配置されますか？ 両方が垂直である場合、2つの平面はどのように配置されますか
私たちはまっすぐですか？ 実務経験からも、これらの質問に対する答えがわかります。 ボードの片側に垂直に釘をボードに打ち込むと、釘は垂直で反対になります（図399）。 ホイールがホイールセットの車軸の両側に配置され、それらの平面が軸に垂直になると、これらのホイールの平面は平行になります（図400）。
平面の平行性と直線に対する垂直性の関係を反映した、相互に逆の2つのステートメントを作成してみましょう。
定理3（平行平面上で、そのうちの1つは直線に垂直です）。
2つの平行な平面の1つが直線に垂直である場合、2番目の平面は同じ直線に垂直です。
定理4（直線に垂直な2つの平面上）。
2つの平面が1つの直線に垂直である場合、それらは平行です。
提示された2組の定理間の関係に注意が向けられます。 それらのそれぞれは、「直線」という用語を「平面」に置き換えることによって、またはその逆によって定式化することができます。
定理3と4も機能です。
392線と平面の垂直性
直線と平面の垂直性の符号（定理3）は、床と天井に対する支柱の位置によって示されます。 天井と床の平面が平行である場合、柱を床に対して垂直に配置するだけで十分です。
天井に垂直になりますか
定理4で表される特徴の実用的な価値は、クレーンを使用して水平位置で鉄筋コンクリートの長方形スラブを輸送することによって示されます。 これを行うには、
4本の同一のケーブルを使用します。その両端はポイントA1、A 2、A 3、A4に固定されています。
プレートとポイントSにフックが付いています（図402）。 に
スラブは自由にぶら下がっているため、フックが固定されているケーブルは地面に垂直で、スラブの重心を通る直線上に配置されます（均質なスラブの場合）。 スラブの厚さを無視すると、その中心は長方形A 1 A 2 A 3 A4の対角線の交点になります。 SA 1 = SA 2 = SA 3 = = SA 4であるため、点Sと対角線の交点を結ぶ線はスラブの平面に垂直です（問題1§18）。 したがって、定理4によれば、プレートは水平に配置されます。
与えられた例は、実際の問題を解決する際に考慮された機能のさまざまなアプリケーションをすべて網羅しているわけではありません。 これらの兆候は、その後の幾何学的知識の深化にとっても重要です。
問題1。 この点を垂直に通る直線を描く |
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特定の平面の曲率。 |
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与えられた点Aが存在する場合 |
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与えられた平面αで、 |
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前の段落。 今ポイントをしましょう |
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Aは飛行機の外にあります |
α。 任意を通して |
ポイント面内 |
αは直線を描く |
b、平面αに垂直（図403）。 |
|
次に、点Aを通り、直線を描きます。 |
|
平行直線b |
（どうやってするの？）。 |
平面の垂直性のため、それは望ましいものになります |
|
このようなαは定理1によるものです。■ |
|
直線面の平行度と垂直度の関係393
例1。 正方形ABCDの頂点Aから、平面ABCに垂直な線分AMが描画されます。 建てる：
1）線ACに垂直な点Mを通過する平面。
２）平面ＡＢＣに垂直なセグメントＭＣの中点を通る直線。
図の条件の例を示しましょう。 404、a。
1）MAS平面を検討します。 条件により、線MAは線ACに垂直です。 目的の平面を作成するには、直線ACに垂直な点Aを通る別の直線を描くだけで十分です。 線BDは線ACに垂直であるため、求める線は線BDに平行である必要があります。
工事。 点Aを通り、直線BDに平行な直線AKを描きます（図404、b）。 ストレートACに垂直です。 平面MAKは、直線と平面の垂直性の基準に従って、直線ACに垂直です（§18の定理1）。
2）NをMCセグメントの中点とします（図405、a）。 求められる直線は、平面に垂直な直線の平行性定理（定理2）により、直線MAに平行です。 これは必要条件です。
2本の平行線の定理により、そのうちの1本は平面に垂直であるだけで十分です（定理1）。
工事。 線MAに平行な点Nを通る直線を描きます（図405、b）。 線分NOは平面MAC内にあり、セグメントACの中央を通過するため（タレスの定理による）、正方形の平面との交点Oは正方形の中心です。 ■■
線と平面の平行性と垂直性の間の接続に関する上記の定理の証明を検討してください。 2組の定理間およびペアでのそれらの間の示された接続
ある定理の証明が他の定理の証明を容易にすることを期待することができます。 定理1から始めましょう。それを記号形式で書いてみましょう。
定理1。与えられた：a 1 || a 2、a1α。
証明：2α。
定理を証明するために、最初の基準を使用します
直線と平面の振り子。
O1が直線a1と平面αの交点を表すとします。 平面と平行線の交点に関する定理（定理6§8）によれば、線a1に平行な線a2も、ある点O 2で平面αと交差します（図406、a）。
セグメントO1 A1とO2 A 2が等しくなるように、平面αの片側で直線a1と2の点A1とA2を取ります。 四角形О1А1А2О2（図406、b）は平行四辺形です。なぜなら、О1А1|| О2А2、О1А1=О2А2。 同様に、平面αの任意の方向に対してグラムО1×1×2О2の平行線を作成します。 これを行うには、平面αの点O1とO2を介して、任意の平行な直線を描きます。その上で、点A1とA2の選択と同様に、点B1とB2を選択します（図406、c ）。
直線面の平行度と垂直度の関係395
上記の構成から、四角形А1×1×2А2は平行四辺形であることがわかります。 確かに、セグメントА1А2とÂ1Â2-は、直線の平行性と長さの同等性の関係の推移性の特性に従って、平行で等しくなります。
（A 1A 2 || O 1O 2、O 1O 2 || B 1B 2、A 1A 2 = O 1O 2、O 1O 2 = B 1B 2）。
ここで、三角形A 1 O 1 B1とA2 O 2 B2について考えます。 それらは3つの辺に等しい：平行四辺形の反対側としてA 1 O 1 = A 2 O 2、O 1 B 1 = O 2 B 2、構造上、A 1 B 1 = A 2 B2。 したがって、これらの三角形の対応する角度は等しく、特にA 1 O 1 B 1 = = A 2 O 2 B2です。 しかし、条件による角度A 1 O 1 B1は直線です。 したがって、角度A 2 O 2 B2も正しくなります。 そしてこれは、直線a2が点O2を通る平面αの各直線に垂直であることを意味します。 定義上、それはα平面に垂直です。 ■■
定理2。与えられた：a1α、a2α。
証明：a 1 || a2。
直線a1とa2を平面α、O 1、O 2に垂直にします-平面αとの交点（図407、a）。 点O2を通して、直線a 1に平行な直線bを描きます（図407、b）。 定理1により、bα。 直線bが直線a2と一致しない場合、平面βはそれらを通り、直線cに沿って平面αと交差するように描くことができます（図407、c）。 直線a2とbは、直線と平面の垂直性の定義により、直線cに垂直です。 ただし、この点を通る平面では、この直線に垂直な直線を1本しか描くことができません。 結果として生じる矛盾は、直線a 2とbが一致すること、つまりa 1 || a2であることを意味します。 ■■
定理3と4の証明は、それぞれ定理1と2の証明と同じスキームに従います。 定理3と4のステートメントの後に与えられた指示を使用して、自分でそれを行います。
すでに述べたように、立体測定と応用のために考慮された定理の重要性は、それらのそれぞれが符号であるという事実に関連しています。1番目と3番目は直線と平面の垂直性の符号であり、2番目は平行線、そして4番目は平面の平行性の兆候です。 これにより、線と平面の相互配置の研究、建設の実施における能力が拡張されます。
次の定理は、問題1の結果を一般化したものです。
定理5（与えられた平面に垂直な直線上）。
与えられた平面に垂直な直線は、空間内の任意の点を通過し、さらに1つだけを通過します。
そのような線の存在に関する定理の最初の部分は、問題を解決する際に実証されます
1.そのような線の一意性を証明するために、反対のことを仮定します。
ある点Aを通って、平面αに垂直な2つの異なる直線a1とa2があります（図408）。 定理2により、それらは平行です。つまり、共通点はありません。
この矛盾はその声明を証明しています。 ■■
前のセクションの問題2の結果は、同様の一般化を持っています。
定理6（与えられた線に垂直な平面上）。
空間内の任意の点は、指定された線に垂直な平面と交差し、さらに1つだけ交差します。
このような平面の存在は、前のセクションの問題3を解決する際に正当化されます。 定理の条件を満たす平面の一意性を証明することは残っています。 そのような場合のいつものように、私たちは反対を認めます、すなわち：与えられたを通して
直線面の平行度と垂直度の関係397
直線a（図409）に垂直な2つの異なる平面α1とα2が点Aを通過します。 定理4により、それらは平行です。 しかし、これらの平面には共通の点Aがあります。 この矛盾はその声明を証明しています。 ■■
例2。 正方形ABCDの頂点Aから、正方形の平面に垂直な直線が引かれ、その上に点Sが取られます。 建てる：
1）正方形の平面に垂直な中心Oを通る直線。
2）セグメントASの中央Pを垂直に通過する平面。
3）線BDに垂直な点Aを通過する平面。
4）SBD平面に垂直な点Aを通る直線。
1）仮定により、線ASは正方形の平面に垂直です。 定理2によれば、この平面に垂直な他の直線は直線ASに平行になります。つまり、直線ASの平行度は、求められる直線平面の垂直性に必要な条件です。 定理1による十分条件でもあります。
工事。 点Oを通り、直線ASに平行な直線OEを描きます（図410）。 直線OEは、2つのパラメーターの定理に従って、正方形の平面に垂直です。
平行な直線。そのうちの1つは平面に垂直です。
2）条件により、線АSはに垂直です
ABCD平面上。 直線ASに垂直な他の平面は、定理4により、平面ABCDに平行になります。平面ABCDに対する目的の平面の平行性は、定理3により十分な条件です。
工事。 点Pを介して、平面ABCDに平行な平面を描画します。
これを行うには、点Pを通る直線を描きます
РKとРL、それぞれ直線АDとABに平行（図411）。 飛行機РKL
平面の平行性の符号により、平面ABCDに平行であるため、
望ましいものです。
398線と平面の垂直性
3）正方形の対角線は垂直、つまりVO AOです（図410を参照）。 したがって、直線AOは目的の平面にあります。 VOに垂直な点Oを通る別の直線OEを描くと、直線と平面の垂直性の基準に従って、直線VOは平面AOEに垂直になります（定理1§18）。 この平面には点Aが含まれています。
工事。 直線ASに平行な点Oを通る直線OEを描きましょう。 ABCD平面に垂直になります（図412）。 線OEは垂直です
直線VO、直線と平面の垂直性の定義による。 AOEプレーンが望ましいプレーンです。
4）三角形ABDとSBDを検討してください
（図413、a）。 以来、二等辺三角形です
AD = AB、条件により、等式SB = SDは、直角三角形ASDとASBの等式から得られます。 それらの中線SOとAOは高さであるため、直線BDは、直線と平面の垂直性の基準に従って、平面AOSに垂直です（定理1）。 直角Aの頂点から直角三角形AOSに、高さAEを描画します（図413、b）。 直接AEが望ましいものです。 確かに、線BDに平行な線EFを点Eを通して平面SBDに描きましょう。 この線は、定理1により、平面AOSに垂直になります。これは、線AEに垂直であることを意味します。 直線と平面の垂直性の基準（定理1§18）によれば、直線AEは平面SBDに垂直です。 ■■
直線面の平行度と垂直度の関係399
99テストの質問
1. ある平面に垂直な2本の直線が同じ平面にあるというのは本当ですか？
2. ピラミッドの2つの側面の端を垂直にすることはできますか-ピラミッドの底の平面？
3. 2つの交点に垂直な直線を描くことは可能ですか？-悔い改めた飛行機に？
4. 100本の足の位置に関係はありますか-その表面とそれが立っている床については？
5. ちょうど2つのエッジに垂直な平面による立方体のセクションはありますか？
6. 同時に垂直な平面を描くことは可能ですか？-交差した2本の直線だけですか？
7. 春に屋根からぶら下がっている氷のつららが互いに平行であると見なすことができる理由（それらの厚さを無視して）-ノア）？
8. 天井にフックがあります。 ロープの助けを借りて、その平面が-リゾンタル。 どうやってするの？
9. 空間内の特定のポイントを介して3つのリンクを描画することは可能ですか？-非常に垂直な直線？ そして4つ？
10. 1つの平面に垂直な4本の直線によって定義される異なる平面はいくつありますか？
グラフィック演習
1.図1。 414 |
長方形で描かれています |
||||||
平行六面体 |
ABCDA1 B1 C1D1クワッド付き- |
||||||
ベースABCD、ポイントM、N、 |
|||||||
P、Q-それぞれエッジの中点 |
|||||||
BC、B1 C1、AB、 |
D 1 C 1、点O、O1-中心 |
||||||
ABCDに直面している |
およびA1 B 1 C 1 D1。 始まる |
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指定された直線の正確な位置 |
|||||||
と飛行機： |
OMおよびADD1; |
||||||
およびABC; |
|||||||
OCおよびDBB1; |
およびNQO1; |
||||||
B1 C |
および悪い1; |
A1 C1 |
およびMNQ; |
||||
およびBDD1; |
QNとNPM。 |
||||||
400線と平面の垂直性
2.図2。 415はオゼットトライアングルABCを示し、Oはその中心、OSは
三角形の平面に垂直なセグメント、点M、N-それぞれ辺AB、BCの中点。 口-
次の相対位置を知っています。1）直線ABと平面SOC。
2）直線MNと平面SOB。
3）ストレートACおよびプレーンMNS。
3.図3。 416は、中心がO、AB、CDの円を示しています。これらは相互に垂直です。
巻き毛の直径、MV-円に接する、OK、BL-等しいセグメント、
円の平面に垂直。 相互の取り決めを確立する：
1）直線BLと平面AOC;
2）直線BMと平面LOK。
3）直線BMと平面COK。
4）直線KLと平面DOK;
5）飛行機DOKおよびMBL;
6）直線BKと平面CLD。
4. 与えられたデータを使用して図を作成します。
1) エッジを通過する平面 ABは、エッジSCに垂直な通常の四面体SABCです。
2）ACに垂直な平面は、正四角錐SABCDの対角AC上にある点Mを通過します。
407. 直角の上から二等辺直角三角形ABCから、この三角形の平面に垂直に直線を引き、その上に点Sを取ります。 建てる：
1°）線ABに垂直な点Sを通過する平面。
2°）平面ABCに垂直な線分ASの中点を通る直線。
3°）BCS平面に平行な点Aを通過する平面。
直線面の平行度と垂直度の関係401
4）AC = 2 3 CSの場合、平面ABSに垂直な点Cを通る直線。
408.二等辺直角三角形ABCの斜辺BCの中央Kから、この三角形の平面に垂直に直線を引き、その上に点Mを取ります。
1°）線ACに垂直な点Mを通過する平面。
2°）平面ABCに垂直なセグメントAMの中点を通る直線。
3°）平面BCMに平行な点Aを通過する平面。
4）MK = CKの場合、直線AMに垂直な点Kを通過する平面。
409.正三角形ABCの中心Oから、三角形の平面に垂直な直線が引かれ、その上に点Sが引かれます。
1°）線BCに垂直な点Oを通過する平面。
2°）平面ABCに垂直な線分ASの中央を通る直線。
3）直線OSに垂直な線分ASの中央を通過する平面。
4 *）BCS平面に垂直な点Aを通る直線。
410.立方体ABCDA1 B 1 C 1 D1が与えられます。 建てる：
1°）顔の中心を通る直線 A1 B1 C1D1レーン- 反対側の面に垂直。 2°）頂点を通過する平面そして対角BDに垂直。
3）平面BDD1に垂直な面AA1 B 1Bの中心を通る直線。
4 *）線BD1に垂直な点Dを通過する平面。
411.四面体SABCでは、すべての面が正三角形であり、点OはABCの中心、DはエッジBCの中点、点NはエッジSAに属します。
1°）直線SOと平面ABCの相対位置を決定します。
2°）BCラインとASD平面の相対位置を決定します。
3）面ABCに垂直な点Nを通る直線を描きます。
4 *）直線OSに垂直な点Nを通過する平面で四面体のセクションを作成します。
412°。 2本の電線を高さ7mの支柱から高さ4mの建物まで伸ばす必要があります。建物から支柱までの距離が10mで、計算された長さの3％をワイヤーサグ？
413.長方形の領域を保護するための監視塔が、長方形の頂点の1つに設置されています。 塔の上に立っている観測者から長方形の他の頂点までの距離は、a、b、c、およびa> b> cに等しくなります。 塔の高さはどれくらいですか？
414. 3本の平行な直線a、b、cは同じ平面にありません。 線a上にある点Mを介して、点PとQでそれぞれ交差する線bとcに垂線が引かれます。線PQが線bとcに垂直であることを証明します。
415.三角形ABCの高さCDにある点Oを通り、垂直なOMがその平面に描かれます。 線CDとOMを通過する平面が線ABに垂直であることを証明します。
416 *。 平面αと直線aが与えられ、点Mで平面と交差し、αに垂直ではありません。 点Mを通る平面αに直線aに垂直な直線があり、さらに1つしかないことを証明します。
417.平面αに垂直な直線上で、平面αにない2つの点AとBが取られ、平面αでは2つの点XとYが取られます。 XA> XBであることが知られています。 セグメントを比較する
YAとYB。
直線面の平行度と垂直度の関係403
繰り返し演習
418. 与えられた直線平面に垂直な平面のすべての直線がこの平面を形成することを証明します。
419. テンプレートのみを使用して、セグメントを半分に分割する方法：a）直角。 b）鋭角？
420. 平行四辺形の辺は2mと16dmです。 大きい方の辺の間の距離は8dmです。 小さい方の辺の間の距離を決定します。
キーステートメント
2つの定理 |
2つのうちの1つ |
||||||
平行 |
平行 |
||||||
直接、の1つ |
垂直 |
||||||
どの垂直 |
飛行機、次に2番目 |
||||||
飛行機に巻き毛 |
垂直 |
a || b、aαbα |
|||||
この平面への極性。 |
|||||||
パラレル |
2本の直線の場合 |
||||||
直線の忠誠心、 |
1つに垂直です |
||||||
垂直 |
そして同じ平面、そして |
||||||
飛行機 |
それらは並列です。 |
||||||
aα、bαa|| NS |
|||||||
パラレル |
2つのうちの1つ |
||||||
フラットフラット |
平行 |
平らな |
|||||
骨、の1つ |
teiは垂直です |
||||||
どの垂直 |
まっすぐ、次に2番目 |
||||||
kularストレート |
飛行機 |
perpendi- |
|||||
この行に興味があります。 |
α|| β、αlβl |
||||||
2つの定理 |
飛行機 |
||||||
飛行機、 |
1つに垂直 |
||||||
垂線 |
ノアストレート、そして彼らは |
||||||
並列です。 |
|||||||
αl、βlα|| β |
|||||||
レッスンの目的：
1）「線と平面の垂直性」というトピックに関する理論の質問を統合する。
2）直線と平面の垂直性に関する基本的なタイプの問題を解決するスキルを身に付ける。
授業中
I.組織の瞬間
トピックとレッスンプランを報告します。
II。 学生の知識を更新する
1）理論的調査。
平面に垂直な直線上で定理を定式化して証明します（黒板で生徒の1人を準備し、クラス全体で彼の答えを聞きます）。
2）個別の書面による課題：
3番目（1人の学生）に対する2本の平行線の垂直性に関する定理を証明します。
直線の平行性と平面への垂直性の間の関係を確立する定理を証明します（1人の学生）。
直線の平行性と平面への垂直性の間の関係を確立する定理とは反対の定理を証明します（1人の学生）。
直線と平面の垂直の兆候を証明します（1人の学生）。
3）既製の図面に基づくタスクの独立したソリューション、その後の検証と必要に応じたディスカッション。
レベルI：No。1、2、5。
レベルII：No。3、4、6。
点Mは平面ABCの外側にあります。
1.図。 1.証明：直線АСは平面АМВに垂直です。
2.図。 2.BMDCは長方形です。 証明：線CDは平面ABCに垂直です。
3.図。 3.ABCDは長方形です。 証明：AD⊥AM。
問題の解決策1-6。
4.図。 4.証明：ВС⊥DE。
5.図。 5.ABCD-平行四辺形。 証明：線MOは平面ABCに垂直です。
6.図。 6.ABCD-ひし形。 線BDがAMCの平面に垂直であることを証明します。
証拠：
AC⊥AB（条件別）、AC⊥AM（条件別）、
証拠：
BMDCは長方形であるため、∠MBC= 90°、つまり
MB⊥（ABC）（直線と平面の垂直性に基づく）。
MB || DC（長方形の辺のプロパティによる）。 その結果、DC⊥（ABC）（直線の平行性と平面への垂直性の間の接続に関する定理による）。
証拠：
1）ABCDは長方形であるため、∠ABC= 90°、したがってBC⊥AB、AB⊂（ABM）
ВС⊥（АМВ）（直線と平面の垂直性に基づく）。
2）紀元前|| AD（長方形の辺のプロパティによる）。 したがって、AD⊥（AMB）（直線の平行性と平面への垂直性の間の接続に関する定理による）。
3) 
AD⊥AM（平面に垂直な直線の定義による）。
No.4（図7）
証明：ΔСМВは二等辺三角形（条件による）であり、MDは高さであるため、MDは中央値（二等辺三角形の高さの特性による）です。
したがって、CD = BD（中央値の定義による）。
1）ΔABCは（条件による）等辺三角形であり、ADは（定義による）中央値であるため、ADは（二等辺三角形の中央値の特性による）高さです。 したがって、BC⊥AD。
2) 
ВС⊥（AMD）（直線と平面の垂直性に基づく）。
3) 
ВС⊥DE（平面に垂直な直線の定義による）。
証拠：
1）AC∩BD=О; AO = OS、BO = OD（平行四辺形の対角線のプロパティによる）。
2）ΔBMDは二等辺三角形（条件による）であり、MOは中央値（定義による）です。これは、MOが高さ（二等辺三角形の中央値の特性による）であることを意味します。
したがって、MO⊥BD。
3）ΔАМСの場合：MO⊥АС（項目2と同様に証明されます）。
4) 
MO⊥（AVS）（直線と平面の垂直性に基づく）。
No.6（図8）
証明：AC⊥BDおよびAO = OC、BO = OD（ひし形の対角線の特性による）。 ΔBMDは二等辺三角形（条件による）であり、MOは中央値（定義による）です。これは、MOが高さ（二等辺三角形の中央値の特性による）であることを意味します。
したがって、MO⊥BD。
（直線と平面の垂直性に基づく）。
III。 問題を解決する
ボード上および問題No.130（教科書の詳細な解決策）、No。134（教師の助けを借りて）のノートに書面での解決策は、強い学生をボードに呼びます。
（問題の解決に進む前に、2つの点の間の距離と点から直線までの距離という概念を繰り返します。これらの概念の定義を作成します。）
与えられた：ABCD-正方形; MB-ストレート 
（図9）。
検索：a）MA、MD、MS; b）ρ（M; AC）、ρ（M; BD）。
1）AB = BC = CD = AD = n（正方形の辺の特性による）。
2）∠MBA=∠МВС= 90°であるため、ΔАВМとΔСВМは長方形です。
ピタゴラスの定理によると：
3）BDは正方形の対角線なので、 
4）∠MBA=∠MBC= 90°なので、
MB⊥（ABC）（直線と平面の垂直性に基づく）。 したがって、MB⊥BD、BD⊂（ABC）（平面に垂直な線の定義による）。
5）ΔMBD-長方形（MB⊥BDであるため、∠MBD= 90°）。 ピタゴラスの定理によると：
6）ρ（M; BD）= MB（点から直線までの距離の定義による）。 したがって、ρ（M; BD）= mです。
7）AO = OC、BO = OD（正方形の対角線のプロパティによる）。 として 
その場合、ΔAMCは（定義による）二等辺三角形であり、MOは（定義による）中央値です。これは、MOが高さ（その底辺に描かれた二等辺三角形の中央値の特性による）であることを意味します。 したがって、MO⊥AC。
「6番目のクラスの垂直線」-M。線bは、線a上にある点Mを通過します。 レッスン16年生。 垂直な直線。
「垂直性」-定義。 4.問題3.三角形のEDSが長方形であることを証明し、AEを見つけます。 E.では、ビジネスに取り掛かりましょう。 定理。 A.次の写真で説明できる定理は何ですか？ 3.問題2スライド16.5。問題4.C.線と平面の垂直性の兆候！ 垂直性。問題解決。
「空間の垂直性」-a。 完了：I。宇宙で。 真っ直ぐ。 条件bによる|| a、および構造によって|| MA、したがってb || MA。 垂直な直線。 米。 2.3本目の線に対する2本の平行線の垂直性に関する見出語を証明しましょう。
「2つの平面の垂直の兆候」-回答：はい。 直線aは平面に垂直なので？、aとbがなす角度は直線です。 飛行機？ 平面に垂直？ 平面に直線はありますか？ 平面に垂直?? 演習7.演習8.演習4.平面と線は平行です。 平面の垂直性。
「空間幾何学における垂直性」-a。 市立教育機関-チェレパノフの中等学校№4。 問題：直線の垂直性に関する補題。 目的：このトピックに関するさまざまな情報源を分析すること。 研究方法：空間の垂直性を考慮するための主なアプローチを強調すること。 空間の垂直性を知るようになります。
「平面に垂直な直線」-床の平面に対する壁の交線など。 空間の垂直線。 邪魔されていない電柱はまっすぐ立っています。 地球の平面に垂直。 垂直線は交差することができ、交差することができます。 線と平面の垂直性。 Def。
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