列による多項式による単項式の除算。 多項式の除算

自然数aを自然数bで割ることは、次の形式で数aを表すことを意味することを思い出してください。

ここで、商cと剰余rは非負の整数であり、剰余rは不等式を満たします。

多項式を互いに除算すると、同様の状況が発生します。

実際、多項式に対して加算、減算、乗算の演算を実行すると、結果は常に多項式になります。 特に、2つの非ゼロ多項式を乗算する場合、積の次数は因子の次数の合計に等しくなります。

しかし、結果として 多項式の除算多項式は常に得られるとは限りません。

彼らは1つの多項式が 完全に（剰余なしで）別の多項式で割り切れる除算の結果が多項式の場合。

ある多項式が別の多項式で完全に割り切れない場合は、 いつもできる 剰余のある多項式の除算、その結果、商と剰余の両方が多項式になります。

意味 。 分割多項式 NS(NS）多項式による NS(NS）残りあり-それは多項式を表すことを意味します NS(NS） なので

NS(NS) = NS(NS) NS(NS) + NS(NS) ,

多項式はどこですか NS(NS）は商であり、多項式です NS(NS）さらに、剰余は不等式を満たしますか？

式に注意することは非常に重要です

NS(NS) = NS(NS) NS(NS) + NS(NS)

は 身元 、 NS。 変数xのすべての値に有効な等式。

多項式を（余りの有無にかかわらず）商で次数の小さい多項式で除算すると、次数が被除数と除数の差に等しい多項式が得られます。

多項式を剰余で除算する1つの方法は次のとおりです。 多項式のコーナー除算、これは整数を除算するときにどのように発生するかと完全に類似しています。

ここで、多項式を除算するこの方法の説明に移ります。

例。 変数の次数が減少するように多項式を事前に配置し、多項式を除算します

2NS 4 - NS 3 + 5NS 2 - 8NS + 1

多項式による

NS 2 - NS + 1 .

解決 。 多項式を「コーナー」ステップで除算するためのアルゴリズムについて説明します。

  1. 分ける 配当の最初の期間 2NS 4 除数の最初の項までに NS 2.2。 我々が得る プライベートの最初のメンバー 2NS 2 .
  2. かける プライベートの最初のメンバー 2NS 2オン 仕切り NS 2 - NS+ 1、および乗算の結果

    3. 2NS 4 - 2NS 3 + 2NS 2

    配当金の下で書く 2NS 4 - NS 3 + 5NS 2 - 8NS + 1 .

  3. その下に書かれた多項式を被除数から引きます。 我々が得る 最初の残り

    4. NS 3 + 3NS 2 - 8NS .

    この剰余がゼロの場合、または次数が除数の次数よりも小さい（この場合は2未満）多項式の場合、除算プロセスは終了します。 ただし、そうではなく、分割は継続されます。

  4. 分ける 残りの最初のメンバー NS 3 除数の最初の項までに NS 2.2。 我々が得る プライベートの2番目のメンバー NS。
  5. かける プライベートの2番目のメンバー xオン 仕切り NS 2 - NS + 1 , と乗算の結果

    6. NS 3 - NS 2 +NS

    最初の余りの下に書きます NS 3 + 3NS 2 - 8NS .

  6. 最初の剰余から下の多項式を引きます。 我々が得る 2番目の余り

    7. 4NS 2 - 9NS + 1 .

    この剰余がゼロに等しい場合、または次数が除数の次数よりも小さい多項式である場合、除算プロセスは終了します。 ただし、そうではなく、分割は継続されます。

  7. 分ける 2番目の剰余の最初の項 4NS 2オン 除数の最初の項 NS 2.2。 我々が得る プライベートの3番目のメンバー 4 .
  8. かける プライベートの3番目のメンバー 4オン 仕切り NS 2 - NS + 1 , と乗算の結果

    9. 多項式で構成される不規則な分数は、多項式と通常の分数の合計として表すことができるという証明が与えられます。 コーナーによる多項式の除算と列による乗算の例を詳細に分析します。

    コンテンツ

    定理

    Pkとします （NS）、Q n （NS）-k≥nの、それぞれ次数kおよびnの変数xの多項式。 次に、多項式P k （NS）次の形式で唯一の方法で表すことができます。
    (1) P k （x）= S k-n（x）Q n（x）+ U n-1（x）,
    ここで、S k-n （NS）-次数k-n、Un-の多項式 1（x）-最大n次の多項式- 1 、またはゼロ。

    証拠

    多項式の定義によると：
    ;
    ;
    ;
    ,
    ここで、p i、q iは既知の係数、s i、uiは未知の係数です。

    表記法を紹介しましょう：
    .
    で代用 (1) :
    ;
    (2) .
    右側の最初の項は、次数kの多項式です。 第2項と第3項の合計は、最大でk次の多項式です。 1 ..。 xkでの係数を等しくしましょう。
    p k = s k-n qn。
    したがって、s k-n = p k / qnです。

    方程式を変換します (2) :
    .
    表記法を紹介しましょう：。
    s k-n = p k / q nであるため、xkでの係数はゼロです。 したがって、これは最大でk次の多項式です。 1 、。 次に、前の方程式を次のように書き直すことができます。
    (3) .

    この方程式は方程式と同じ形式です (1) 、kの値のみが 1 以下。 この手順をk-n回繰り返すと、次の式が得られます。
    ,
    そこから多項式Un-の係数を決定します 1（x）.

    したがって、すべての未知の係数s i、ulを決定しました。 さらに、sk-n≠ 0 ..。 補題が証明されます。

    多項式の除算

    方程式の両辺を分割する (1) Qnに （NS）、 我々が得る：
    (4) .
    10進数と同様に、S k-n （NS）分数または商の全体と呼ばれます、U n- 1（x）除法の残りです。 分子の多項式の次数が分母の多項式の次数よりも小さい多項式の分数は、通常の分数と呼ばれます。 分子の多項式の次数が分母の多項式の次数以上である多項式の分数は、不適切な分数と呼ばれます。

    方程式 (4) は、多項式の不規則な分数を、積分部分と正規の分数の合計として表すことで簡略化できることを示しています。

    基本的に、10進整数は、変数が数値に等しい多項式です。 10 ..。 たとえば、番号265847を考えてみましょう。これは次のように表すことができます。
    .
    つまり、それはの5次多項式です。 10 ..。 数値2、6、5、8、4、7は、10の累乗での数値の展開の係数です。

    したがって、数値の除算に適用される多項式に角度除算規則（長除法と呼ばれることもあります）を適用できます。 唯一の違いは、多項式を除算するときに、9より大きい数値を最上位桁に変換する必要がないことです。 特定の例を使用して、多項式をコーナーで除算するプロセスを考えてみましょう。

    多項式をコーナーで除算する例


    .

    ここでの分子は4次の多項式です。 分母は2次の多項式です。 なぜなら 4 ≥ 2 、分数が正しくありません。 多項式を（列内の）コーナーで分割して、パーツ全体を選択しましょう。



    これが核分裂過程の詳細な説明です。 元の多項式を左右の列に書き込みます。 分母の多項式の下の右の列に、水平線（角）を描きます。 この線の下、角の下に、分数の全体の分数があります。

    1.1 全体の最初の項を見つけます（隅の下）。 これを行うには、分子の最高項を分母の最高項で除算します。

    1.2 かける 2 x 2 xによって 2-3 x + 5:
    ..。 結果を左の列に書き込みます。

    1.3 左の列の多項式の差を取ります。

    .



    したがって、中間結果が得られました。
    .

    分子の多項式の次数（ 3 ）は、分母の多項式の次数以上です（ 2 ）。 計算を繰り返します。 現在、分数の分子は左の列の最後の行にあります。
    2.1 分子の最高項を分母の最高項で割ります。

    2.2 分母を掛けます：;

    2.3 そして、左の列の最後の行から減算します。


    中間結果：
    .

    右側に間違った分数があるので、もう一度計算を繰り返します。
    3.1 ;
    3.2 ;
    3.3 ;


    だから私たちは得ました：
    .
    右分数の分子の多項式の次数は、分母の多項式の次数よりも小さくなります。 1 < 2 ..。 したがって、分数は正しいです。

    ;
    2 x 2-4 x + 1-これは全体です。
    NS - 8 -部門の残りの部分。

    例2

    分数の全体を選択し、除算の余りを見つけます。
    .

    前の例と同じアクションを実行します。

    ここで、除算の余りはゼロです。
    .

    列による多項式の乗算

    整数の乗算と同様に、列の多項式を乗算することもできます。 具体的な例を見てみましょう。

    多項式に列を掛ける例

    多項式の積を求めます。
    .

    1

    2.1
    .

    2.2
    .

    2.3
    .
    結果を列に書き込み、xの累乗を平準化します。

    3
    ;
    ;
    ;
    .

    係数のみを書き込むことが可能であり、変数xの累乗は省略できることに注意してください。 次に、多項式の列による乗算は次のようになります。

    例2

    列内の多項式の積を見つけます。
    .

    多項式に列を掛けるときは、変数xの同じ累乗を相互に書き込むことが重要です。 xの累乗が欠落している場合は、明示的に記述するか、ゼロを掛けるか、スペースを残す必要があります。

    この例では、いくつかの程度が欠落しています。 したがって、ゼロを掛けて明示的に記述します。
    .
    多項式に列を掛けます。

    1 元の多項式を列に並べて書き込み、線を引きます。

    2.1 2番目の多項式の最低項に最初の多項式を掛けます。
    .
    結果を列に書き込みます。

    2.2 2番目の多項式の次の項はゼロです。 したがって、最初の多項式によるその積もゼロです。 ゼロラインは省略できます。

    2.3 2番目の多項式の次の項に最初の多項式を掛けます。
    .
    結果を列に書き込み、xの累乗を平準化します。

    2.3 2番目の多項式の次の（最も高い）項に最初の多項式を掛けます。
    .
    結果を列に書き込み、xの累乗を平準化します。

    3 2番目の多項式のすべての項に最初の多項式を掛けた後、線を引き、xの同じ累乗で項を追加します。
    .

    単項式の概観

    f（x）= ax n、 どこ：

    -NSは、任意のセットに属することができる係数です。 N、Z、Q、R、C

    -NS- 変数

    -NSセットに属する指数 NS

    同じ変数と同じ指数を持つ2つの単項式は類似しています。

    例： 3x 2と -5x 2; ½x4と 2√3x4

    互いに類似していない単項式の合計は、多項式（または多項式）と呼ばれます。 この場合、単項式は多項式の項です。 2つの項を含む多項式は、二項式（または二項式）と呼ばれます。
    例： p（x）= 3x 2 -5; h（x）= 5x-1
    3つの項を含む多項式は、三項式と呼ばれます。

    1つの変数を持つ多項式の概観

    どこ：

    • a n、a n-1、a n-2、...、a 1、a 0は多項式の係数です。 それらは、自然数、全体数、有理数、実数、または複素数にすることができます。
    • NS-指数が最も高い項の係数（先行係数）
    • a 0-指数が最小の項の係数（自由項、または定数）
    • NS-多項式の次数

    例1
    p（x）= 5x 3 -2x 2 + 7x-1

    • 係数を使用した3次の多項式 5, -2, 7 と -1
    • 5 -先行係数
    • -1 -無料会員
    • NS- 変数

    例2
    h（x）=-2√3x4+½x-4

    • 係数を持つ4次多項式 -2√3、½と -4
    • -2√3 -先行係数
    • -4 -無料会員
    • NS- 変数

    多項式の除算

    p（x）と q（x）-2つの多項式：
    p（x）= a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0
    q（x）= a p x p + a p-1 x p-1 + ... + a 1 x 1 + a 0

    商と剰余を見つけるには p（x）に q（x）、次のアルゴリズムを使用する必要があります。

    1. 程度 p（x）以上である必要があります q（x）.
    2. 両方の多項式を次数の降順で記述する必要があります。 の場合 p（x）次数のある項はありません。係数0で追加する必要があります。
    3. リードメンバー p（x）主要な用語で割ったもの q（x）、結果は（分母の）分割線の下に書き込まれます。
    4. 結果にすべての項を掛けます q（x）条件の下で反対の符号で結果を書きます p（x）適切な程度で。
    5. 同じ程度の用語ごとに用語を追加します。
    6. 残りの用語は結果に起因します p（x）.
    7. 結果の多項式の先頭の項を多項式の最初の項で除算します q（x）手順3〜6を繰り返します。
    8. この手順は、新しく取得された多項式の次数が以下になるまで繰り返されます。 q（x）..。 この多項式は除算の余りになります。
    9. 除算線の下に書かれた多項式は、除算（商）の結果です。

    例1
    ステップ1および2）$ p（x）= x ^ 5-3x ^ 4 + 2x ^ 3 + 7x ^ 2-3x + 5 \\ q（x）= x ^ 2-x + 1 $

    3）x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

    4）x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

    5）x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

    6）x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

    / -2x 4 -x 3 + 7x 2 -3x + 5

    7）x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

    / -2x 4 + x 3 + 7x 2 -3x + 5

    2x 4 -2x 3 + 2x 2

    / -x 3 + 9x 2 -3x + 5

    8）x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

    / -2x 4 -x 3 + 7x 2 -3x + 5

    2x 4 -2x 3 + 2x 2

    / -x 3 + 9x 2 -3x + 5

    / 6x-3ストップ

    x 3 -2x 2 -x + 8-> C（x） プライベート

    回答：p（x）= x 5-3x 4 + 2x 3 + 7x 2-3x + 5 =（x 2-x + 1）（x 3-2x 2-x + 8）+ 6x-3

    例2
    p（x）= x 4 + 3x 2 + 2x-8
    q（x）= x 2 -3x

    X 4 + 0x 3 + 3x 2 + 2x-8

    / 3x 3 + 3x 2 + 2x-8

    / 38x-8 r（x）停止

    x 2 + 3x + 12-> C（x）プライベート

    回答：x 4 + 3x 2 + 2x-8 =（x 2-3x）（x 2 + 3x + 12）+ 38x-8

    1次の多項式による除算

    この除算は、上記のアルゴリズムを使用して実行することも、ホーナー法を使用してさらに高速に実行することもできます。
    もしも f（x）= a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0、多項式は次のように書き直すことができます f（x）= a 0 + x（a 1 + x（a 2 + ... + x（a n-1 + a n x）...））

    q（x）-1次の多項式⇒ q（x）= mx + n
    次に、商の多項式は次数を持ちます n-1.

    ホーナー法、$ x_0 =-\ frac（n）（m）$。
    b n-1 = a n
    b n-2 = x 0 .b n-1 + a n-1
    b n-3 = x 0 .b n-2 + a n-2
    ...
    b 1 = x 0 .b 2 + a 2
    b 0 = x 0 .b 1 + a 1
    r = x 0 .b 0 + a 0
    どこ b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b 1 x + b 0- プライベート。 多項式の剰余の次数は除数の次数よりも小さくなければならないため、剰余は0次の多項式です。
    余りのある除算⇒ p（x）= q（x）.c（x）+r⇒p（x）=（mx + n）.c（x）+ r$ x_0 =-\ frac（n）（m）$の場合
    ご了承ください p（x 0）= 0.c（x 0）+r⇒p（x 0）= r

    例3
    p（x）= 5x 4 -2x 3 + 4x 2 -6x-7
    q（x）= x-3
    p（x）=-7 + x（-6 + x（4 + x（-2 + 5x）））
    x 0 = 3

    b 3 = 5
    b 2 = 3.5-2 = 13
    b 1 = 3.13 + 4 =43⇒c（x）= 5x 3 + 13x 2 + 43x + 123; r = 362
    b 0 = 3.43-6 = 123
    r = 3.123-7 = 362
    5x 4 -2x 3 + 4x 2 -6x-7 =（x-3）（5x 3 + 13x 2 + 43x + 123）+362

    例4
    p（x）=-2x 5 + 3x 4 + x 2 -4x + 1
    q（x）= x + 2
    p（x）=-2x 5 + 3x 4 + 0x 3 + x 2 -4x + 1
    q（x）= x + 2
    x 0 = -2
    p（x）= 1 + x（-4 + x（1 + x（0 + x（3-2x））））

    b 4 = -2          b 1 =（-2）。（-14）+ 1 = 29
    b 3 =（-2）。（-2）+ 3 = 7 b 0 =（-2）.29-4 = -62
    b 2 =（-2）。7+0 = -14     r =（-2）。（-62）+ 1 = 125
    ⇒c（x）=-2x 4 + 7x 3 -14x 2 + 29x-62; r = 125
    -2x 5 + 3x 4 + x 2 -4x + 1 =（x + 2）（-2x 4 + 7x 3 -14x 2 + 29x-62）+125

    例5
    p（x）= 3x 3 -5x 2 + 2x + 3
    q（x）= 2x-1
    $ x_0 = \ frac（1）（2）$
    p（x）= 3 + x（2 + x（-5 + 3x））
    b 2 = 3
    $ b_1 = \ frac（1）（2）\ cdot 3-5 =-\ frac（7）（2）$
    $ b_0 = \ frac（1）（2）\ cdot \ left（-\ frac（7）（2）\ right）+2 =-\ frac（7）（4）+ 2 = \ frac（1）（4 ）$
    $ r = \ frac（1）（2）\ cdot \ frac（1）（4）+ 3 = \ frac（1）（8）+ 3 = \ frac（25）（8）\ Rightarrow c（x）= 3x ^ 2- \ frac（7）（2）x + \ frac（1）（4）$
    $ \ Rightarrow 3x ^ 3-5x ^ 2 + 2x + 3 =（2x-1）（3x ^ 2- \ frac（7）（2）x + \ frac（1）（4））+ \ frac（25） （8）$
    結論
    1より大きい次数の多項式で除算する場合、商と剰余を見つけるには、アルゴリズムを使用する必要があります。 1-9 .
    1次の多項式で割ると mx + n、次に商と剰余を見つけるには、$ x_0 =-\ frac（n）（m）$でホーナー法を使用する必要があります。
    除算の残りの部分だけに関心がある場合は、 p（x 0）.
    例6
    p（x）=-4x 4 + 3x 3 + 5x 2 -x + 2
    q（x）= x-1
    x 0 = 1
    r = p（1）=-4.1 + 3.1 + 5.1-1 + 2 = 5
    r = 5

    今日は、多項式の除算がどのように相互に行われるかを学び、通常の数との類推によってコーナーで除算を行います。 これは非常に便利なテクニックですが、残念ながらほとんどの学校では教えられていません。 したがって、このビデオチュートリアルを注意深く聞いてください。 そのような部門では難しいことは何もありません。

    まず、2つの数値を互いに分割してみましょう。

    これはどのように行うことができますか？ まず、多くの桁を切り取って、結果の数値が除算する数値よりも大きくなるようにします。 1ビットを切り落とすと5つになります。 明らかに、17は5に収まらないので、十分ではありません。 2桁の数字を取ります-59を取得します-すでに17を超えているので、操作を実行できます。 では、17は59に何回収まるのでしょうか。 3つ取りましょう。 乗算して59未満の結果を書き留めます。合計で51になります。減算すると、「8」になります。 次に、次のカテゴリである5つを破棄します。 85を17で割ります。 私たちは5つかかります。 17に5を掛けると、85になります。減算すると、ゼロになります。

    実際の例を解決します

    問題番号1

    それでは、同じ手順を実行しましょう。ただし、数値ではなく、多項式を使用します。 これを例として取り上げましょう。

    \ [\ frac（（（x）^（2））+ 8x + 15）（x + 5）= x + 3 \]

    数値を互いに除算するときに、被除数が常に除数よりも大きいことを意味する場合、多項式を角度で除算する場合は、被除数の次数が除数よりも大きい必要があることに注意してください。 。 私たちの場合、すべてが順調です-2度と1度の構造で作業します。

    したがって、最初のステップは、最初の要素を比較することです。 質問：$（（x）^（2））$を取得するには、$ x $を何倍にする必要がありますか？ 明らかにもう1つ$ x $。 $ x + 5 $に、今見つけた数$ x $を掛けます。 $（（x）^（2））+ 5 $があり、これを配当から減算します。 $ 3x $が残ります。 今、私たちは次の用語を取り壊します-15。 最初の要素をもう一度見てみましょう：$ 3x $と$ x $。 $ 3x $を得るには、$ x $に何を掛けるべきですか？ 明らかに3つ。 $ x + 5 $項に3を掛けます。 引くとゼロになります。

    ご覧のとおり、コーナーを使用した除算の操作全体は、被除数と除数の高い係数を比較するように削減されています。 数字を割るよりも簡単です。 特定の桁数を割り当てる必要はありません。各ステップで上位要素を比較するだけです。 これがアルゴリズム全体です。

    問題番号2

    もう一度試してみましょう：

    \ [\ frac（（（x）^（2））+ x-2）（x-1）= x + 2 \]

    最初のステップ：より高いオッズを見てみましょう。 $（（x）^（2））$を書くには、$ x $をいくら掛ける必要がありますか？ 項を項で乗算します。 減算すると、正確に$ 2x $が得られることに注意してください。

    -2を破棄し、最初に取得した係数を除数の先行要素と再度比較します。 全体として、私たちは「いい」答えを得ました。

    2番目の例に移りましょう：

    \ [\ frac（（（x）^（3））+ 2（（x）^（2））-9x-18）（x + 3）=（（x）^（2））-x-6 \ ]

    今回の配当は3次の多項式です。 最初の要素を比較してみましょう。 $（（x）^（3））$を取得するには、$ x $に$（（x）^（2））$を掛ける必要があります。 減算後、$ 9x $を破棄します。 除数に$ -x $を掛けて、引きます。 その結果、私たちの表現は完全に分割されました。 答えを書き留めます。

    問題番号3

    最後のタスクに移ります：

    \ [\ frac（（（x）^（3））+ 3（（x）^（2））+ 50）（x + 5）=（（x）^（2））-2x + 10 \]

    $（（x）^（3））$と$ x $を比較します。 明らかに、$（（x）^（2））$を掛ける必要があります。 その結果、非常に「いい」回答が得られたことがわかります。 書き留めておきます。

    これがアルゴリズム全体です。 ここには2つの重要なポイントがあります。

    1. 被除数と除数の1乗を常に比較します。これを各ステップで繰り返します。
    2. 元の式で欠落している累乗がある場合は、コーナーで除算するときに加算する必要がありますが、係数はゼロです。そうでない場合、答えは正しくありません。

    この部門にはこれ以上の知恵やトリックはありません。

    今日のレッスンの内容はどこにもなく、「純粋な」形で見つかることはありません。 学校で教えられることはめったにありません。 ただし、多項式を互いに除算する機能は、高次の方程式や「難易度の増加」のあらゆる種類の問題を解くときに非常に役立ちます。 この手法がないと、多項式を因数分解し、係数を選択する必要があります。その結果は保証されません。 ただし、多項式は、通常の数と同じように、コーナーで除算することもできます。 残念ながら、このテクニックは学校では教えられていません。 多くの教師は、多項式を角度で除算することは、高等数学の分野からはめちゃくちゃ難しいことだと信じています。 私はあなたに保証することを急いでいます：これはそうではありません。 さらに、多項式は通常の数よりも分割が簡単です。 レッスンを見て、自分の目で確かめてください。:)一般に、このテクニックを必ず活用してください。 多項式を互いに除算する機能は、高次の方程式を解くときやその他の非標準的な問題で非常に役立ちます。

    このビデオが、多項式、特に高次の多項式を扱う人々に役立つことを願っています。 これは高校生と大学生の両方に当てはまります。 そして、それは私にとってすべてです。 またね！

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