「集合」、「要素」、「集合への要素の帰属」の概念は、数学の主要な概念です。 たくさんの- 任意のアイテムの任意のコレクション（コレクション） .
AはセットBのサブセットであり、セットAの各要素がセットBの要素である場合、つまり AÌBÛ（xÎAÞxÎB）.
2つのセットは等しいそれらが同じ要素で構成されている場合。 それは集合論的等式についてです（数の間の等式と混同しないでください）： A =BÛAÌBÙBÌA.
2セットの和集合セットの少なくとも1つに属する要素で構成されます。 хÎАÈВÛхÎАÚхÎВ.
交差点セットAとセットBの両方に同時に属するすべての要素で構成されます。 xÎAÇBÛxÎAÙxÎB.
違い Bに属さないすべての要素Aで構成されます。 xÎA\BÛxÎAÙxÏB.
デカルト積 C =セットAとBのA´Bは、すべての可能なペアのセットと呼ばれます（ x、y）、ここで最初の要素 バツ各ペアはAに属し、その2番目の要素 で Vに属します。
デカルト積A´BのサブセットFはと呼ばれます セットAをセットBにマッピングする 条件が満たされた場合：（ " バツОА）（$！ペア（ xy） もしも）。 同時に、彼らは次のように書いています：A。
「表示」と「機能」という用語は同義語です。 If（ "хÎА）（$！УÎВ）:( x、y）ÎF、次に要素 でÎ Vと呼ばれる 仕方 バツ Fを表示し、次のように記述します。 で= F（ バツ）。 エレメント バツ同時に プロトタイプ （可能なものの1つ）要素y。
検討 有理数の集合Q -すべての整数のセットとすべての分数のセット（正と負）。 各有理数は商として表すことができます。たとえば、1 = 4/3 = 8/6 = 12/9 =…です。 そのようなアイデアはたくさんありますが、そのうちの1つだけが既約です。 .
V 任意の有理数は分数p / qとして一意に表すことができます。ここで、pÎZ、qÎN、数値p、qは互いに素です。
セットQのプロパティ:
1. 算術演算に関する親密さ。足し算、引き算、掛け算、自然な力への引き上げ、有理数の除算（0による除算を除く）の結果は、有理数です。 ; 
.
2. 注文:(" x、yÎQ、 ユイ)®( バツ
さらに：1） a> b、b>cÞa> c; 2)a -b.
3. 密度..。 任意の2つの有理数の間 x、y 3番目の有理数があります（たとえば、 c = ):
("x、yÎQ、 バツ<y）（$cÎQ）:( バツ
セットQでは、4つの算術演算を実行し、連立一次方程式を解くことができますが、次の形式の2次方程式を解くことができます。 x 2 = a、aÎ Nは集合Qで常に決定可能であるとは限りません。
定理。番号はありません xÎQその正方形は2です。
g分数が存在するようにします バツ= p / q、ここで、数pとqは互いに素であり、 バツ 2 = 2。 次に（p / q）2 = 2。 したがって、
（1）の右辺は2で割り切れるので、p2は偶数です。 したがって、p = 2n（n-整数）。 その場合、qは奇数でなければなりません。
（1）に戻ると、4n 2 = 2q2になります。 したがって、q 2 = 2n2です。 同様に、qが2で割り切れることを確認します。 qは偶数です。 定理は矛盾によって証明されます。N
有理数の幾何学的画像。単位セグメントを座標の原点から1、2、3…回右にずらすと、自然数に対応する座標線の点が得られます。 左と同じように脇に置いて、負の整数に対応するポイントを取得します。 取りましょう 1 / q(q = 2,3,4 … ）ユニットセグメントの一部であり、原点の両側で延期します R一度。 フォームの番号に対応する直線のポイントを取得します ±p / q（pÎZ、qÎN）。 p、qが互いに素な数のすべてのペアを通過する場合、その線上には、分数に対応するすべての点があります。 この上、 各有理数は、受け入れられている方法に従って、座標線の1点に対応します。
すべての点に単一の有理数を示すことができますか？ 直線は完全に有理数で満たされていますか？
座標線上に有理数に対応しない点があることがわかります。 ユニットセグメント上に二等辺直角三角形を作成します。 点Nは有理数に対応していません。 ON = x-合理的に、そして x 2 = 2、できません。
直線上の点Nに似た点は無限にあります。 セグメントの合理的な部分を取る x =オン、それらの。 バツ..。 それらを右に延期すると、そのようなセグメントのいずれかの端のそれぞれに対応する有理数はありません。 セグメントの長さが有理数で表されると仮定します x =、私たちはそれを得る x =- 合理的な。 これは、上記で証明されたものと矛盾します。
有理数は、ある有理数を座標線の各点に関連付けるのに十分ではありません。
構築しましょう 実数のセットR 横切って 無限小数。
「コーナー」除算アルゴリズムによれば、任意の有理数は有限または無限の循環小数として表すことができます。 分数p / qに2と5以外の素因数がない場合、つまり q = 2m×5kの場合、結果は最終小数p / q = a 0、a 1 a2…anになります。 残りの分数は、無限の小数展開のみを持つことができます。
無限の循環小数を知ると、それが表す有理数を見つけることができます。 ただし、最終的な小数は、次のいずれかの方法で無限小数として表すことができます。
a 0、a 1 a2…an = a 0、a 1 a2…an000…= a 0、a 1 a 2…（a n -1）999…（2）
たとえば、無限小数の場合 バツ= 0、（9）10があります バツ= 9、（9）。 10xから元の数を引くと、9になります。 バツ= 9または1 = 1、（0）= 0、（9）。
無限小数が期間の数字9で識別され、対応する無限小数が数字0で識別される場合、すべての有理数のセットとすべての無限循環小数のセットの間に1対1の対応が確立されます。ルール（2）に従った期間。
期間に9がないような無限の周期的分数を使用することに同意しましょう。 推論の過程で、ある期間に9の数の無限の循環小数が発生した場合、その期間にゼロのある無限の循環小数に置き換えます。 1.999の代わりに... 2,000を取ります...
無理数の定義。無限小数の循環小数に加えて、非周期小数があります。 たとえば、0.1010010001 ...または27.1234567891011 ...（自然数は小数点の後に順番に続きます）。
±a0、a 1 a 2 ... a n ...（3）の形式の無限小数を考えてみます。
この分数は、符号「+」または「-」、非負の整数a 0、および小数点以下の桁数a 1、a 2、...、an、...（小数点以下の桁数のセット）を指定することによって決定されます。 10個の数字で構成されます：0、1、2、...、9）。
（3）の形式の任意の分数が呼び出されます 実（実）数。分数（3）の前に「+」記号がある場合、通常は省略され、0、a 1 a 2 ... a n ...（4）と表記されます。
フォーム（4）の数が呼び出されます 非負実数、そして、数字の少なくとも1つがa 0、a 1、a 2、...、a nがゼロと異なる場合、- 正の実数..。 式（3）で記号「-」が使用されている場合、これは負の数です。
有理数と無理数の集合の和集合は、実数の集合を形成します（QÈJ= R）。 無限小数（3）が周期的である場合、これは有理数であり、分数が非周期的である場合、それは無理数です。
2つの非負実数 a = a 0、a 1 a2…an…、b = b 0、b 1 b2…bn…。と呼ばれる 同等（書きます a = b), もしも a n = b nで n = 0,1,2 ...数値aは数値bよりも小さい（書きます a<b), どちらかなら a 0 また a 0 = b 0そしてそのような数があります m、何 a k = b k（k = 0,1,2、... m-1）、 a 午前 、つまり a Û （0 Ú ($mÎN：a k = b k（k =）、a m ）。 の概念 " a>b».
任意の実数を比較するために、「 数の絶対値» . 実数の絶対値による a =±a0、a 1 a 2 ... a n..。は、同じ無限小数で表されるこのような非負実数と呼ばれますが、記号「+」が付いています。 ½ a½= a 0、a 1 a 2 ... a n..。と1/2 a½³0。 もしも a-非負、 b負の数である場合、それは考慮されます a> b..。 両方の数値が負の場合（ a<0, b<0 ）、次のように仮定します：1） a = b½の場合 a½ = ½ b½; 2） a ½の場合 a½ > ½ b½.
セットRのプロパティ:
私。 注文プロパティ:
1.実数の各ペアに対して aと b唯一の関係があります： a = b、a
2.もし a
3.もし a 、その場合、次のような数cがあります a< с .
II。 足し算と引き算のアクションのプロパティ:
4. a + b = b + a（可換性）。
5. （a + b）+ c = a +（b + c）（結合性）。
6. a + 0 = a。
7. a +（-a）= 0.
8.from a Þ a + c
III。 乗算と除算のアクションのプロパティ：
9. a×b = b×a .
10. （a×b）×c = a×（b×c).
11. a×1 = a。
12. a×（1 / a）= 1（a¹0）.
13. （a + b）×c = ac + bc（分布）。
14.if a そしてc> 0、そして a×c
IV。 アルキメデスの性質（ "cÎR）（$nÎN）:( n> c）。
数cÎRが何であれ、n> cとなるnÎNがあります。
V。 実数の連続性。空でない2つの集合АÌRとBÌRを、任意の要素が次のようになるようにします。 aÎАこれ以上はありません（ a£ b）任意の要素bÎBの。 それで Dedekindの継続性の原則そのような数の存在をすべての人のために主張する aОАとbÎBの条件 a£c£ b:
（ "AÌR、BÌR）:(" aÎA、bÎB® a£b）（$cÎR）:( " aÎA、bÎB® a£c£b）。
実数直線の点の集合で集合Rを識別し、実数点と呼びます。
複素数には次の形式があります。 代数（x + iy）、 三角法（r（cos + isin 
)),
指標（私は 
).
複素数z = x + iyは、XOU平面上で点A（x、y）として表すことができます。
複素数が描かれている平面は、複素変数zの平面と呼ばれます（平面に記号zを付けます）。
OX軸は実際の軸です。 実数が含まれています。 ОУ-虚数の虚軸。
x + iy-複素数の代数表記。
複素数の三角法の表記法を導き出しましょう。
得られた値を初期形式に代入します：すなわち
r（cos
+ isin
)
-複素数の表記の三角関数形式。
複素数の指数表記は、オイラーの公式に従います。 
、それから 
z = 再 私 
-複素数の指数表記。
複素数に対するアクション。
1. 添加。 z 1 + z 2 =（x1 + iy1）+（x2 + iy2）=（x1 + x2）+ i（y1 + y2）;
2 ..。 減算。 z 1 -z 2 =（x1 + iy1）-（x2 + iy2）=（x1-x2）+ i（y1-y2）;
3. 乗算。 z 1 z 2 =（x1 + iy1）*（x2 + iy2）= x1x2 + i（x1y2 + x2y1 + iy1y2）=（x1x2-y1y2）+ i（x1y2 + x2y1）;
4
..。 分割。 z 1 / z 2 =（x1 + iy1）/（x2 + iy2）= [（x1 + iy1）*（x2-iy2）] / [（x2 + iy2）*（x2-iy2）] = 
虚数単位の符号のみが異なる2つの複素数。 z = x + iy（z = x-iy）は共役と呼ばれます。
仕事。
z1 = r（cos 
+ isin 
）; z2 = r（cos 
+ isin 
).
その場合、複素数の積z1 * z2は次のようになります。 積のモジュラスはモジュラスの積に等しく、積の引数は因子の引数の合計に等しくなります。
;
;
民間。
複素数が三角関数の形式である場合。
複素数が指数関数である場合。
べき乗。
1. 複素数はで与えられます 代数 形。
z = x + iyの場合、znは次の式から求められます。 二項ニュートン式:
-それぞれmのn個の要素の組み合わせの数（mからn個の要素をいくつ取得できるかについての方法の数）。
; n！= 1 * 2 * ... * n; 0！= 1; 
.
複素数を申請します。
結果の式では、iの累乗をそれらの値に置き換える必要があります。
i 0 = 1したがって、一般的なケースでは、次のようになります。i4k = 1
i 1 = i i 4k + 1 = i
i 2 = -1 i 4k + 2 = -1
i 3 = -i i 4k + 3 = -i
例.
i 31 = i 28 i 3 = -i
i 1063 = i 1062 i = i
2. 三角法 形。
z = r（cos 
+ isin 
）、 それから
- ドモアブルの定式.
ここで、nは「+」または「-」（整数）のいずれかになります。
3. 複素数がで与えられている場合 指標 形：
ルートを抽出します。
次の方程式を考えてみましょう。 
.
その解は、複素数zのn乗根になります。 
.
複素数zのn乗根には、正確にn個の解（値）があります。 有効なn乗の根には、1つの解しかありません。 複雑な場合-n個のソリューション。
複素数がで与えられている場合 三角法 形：
z = r（cos 
+ isin 
）の場合、zのn乗根は次の式で求められます。
、ここで、k = 0.1 ... n-1。
行。 ナンバーシリーズ。
変数aが値a1、a 2、a 3、…、anを連続して取るようにします。 この番号が付け直された番号のセットは、シーケンスと呼ばれます。 終わりはありません。
数列は式a1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = 
..。 番号a1、a 2、a 3、…、およびnはシリーズのメンバーです。
例えば。
1はシリーズの最初のメンバーです。
nは、シリーズのn番目または一般的な用語です。
n番目（級数の一般的な用語）がわかっている場合、級数は与えられたと見なされます。
数値級数には無限の数のメンバーがあります。
分子- 等差数列 (1,3,5,7…).
n番目の項は、式a n = a 1 + d（n-1）によって求められます。 d = a n -an-1。
分母- 等比数列..。 b n = b 1 q n-1; 
.
級数の最初のn項の合計を考慮し、Snで表します。
Sn = a1 + a2 +…+ an。
Snは、級数のn番目の部分和です。
制限を考慮してください： 
Sは級数の合計です。
の数 収束 この制限が有限の場合（有限の制限Sが存在します）。
行 発散 この制限が無限の場合。
将来、私たちのタスクは次のとおりです。どの行を確立するか。
最も単純ですが、頻繁に遭遇するシリーズの1つは、等比数列です。
、C = const。
等比数列は収束
近く、 もしも 
、および発散する場合 
.
また見つかりました 調和級数（行 
）。 この行 発散
.
実数II
§37有理数の幾何学的表現
させて Δ 長さの単位としてとられるセグメントであり、 l -任意の直線（図51）。 その点を少し取り上げて、文字Oで指定しましょう。
すべての正の有理数に m / n 直線の点を対応させて l Cの右側にある距離 m / n 長さの単位。
たとえば、番号2は、長さ2単位の距離でOの右側にある点Aに対応し、5/4単位の距離でOの右側にある点Bに対応します。長さ。 すべての負の有理数に k / l Oの左側にある直線の点を|の距離で対応させます。 k / l | 長さの単位。 したがって、数値-3は、長さの3単位の距離でOの左側にある点Cに対応し、数値-3/2は、距離のOの左側にある点Dに対応します。長さの3/2単位。 最後に、有理数「ゼロ」に点Oを関連付けます。
明らかに、選択された対応では、等しい有理数（たとえば、1/2と2/4）は同じ点に対応し、等しい数ではなく、直線の異なる点に対応します。 数が m / n 点Pに対応し、数 k / l ポイントQ.それなら m / n > k / l 、次に、点Pは点Qの右側にあります（図52、a）。 もしも m / n < k / l の場合、点Pは点Qの左側になります（図52、b）。
したがって、任意の有理数は、直線の特定の明確な点として幾何学的に表すことができます。 逆は本当ですか？ 直線上の任意の点を有理数の幾何学的画像と見なすことができますか？ この質問の決定は§44まで延期します。
演習
296.次の有理数を直線の点で描きます。
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297.点A（図53）は有理数1/3の幾何学的画像として機能することが知られています。 ポイントB、C、Dを表す数字は何ですか？
298.有理数の幾何学的表現として機能する2つの点が直線上に与えられます a と b a + b と a-b .
299.有理数の幾何学的表現として機能する2つの点が直線上に与えられます a + b と a-b ..。 この線で数字を表す点を見つけます a と b .
チケット1
合理的な数字はp / qと書かれた数字で、qは自然です。 数値であり、pは整数です。
p1q2 = p2q1の場合、2つの数値a = p1 / q1とb = p2 / q2は等しいと呼ばれます。 p2q1およびp1q2の場合はa> b
チケット2
複素数。複素数
代数方程式は、次の形式の方程式です。Pn（ バツ）= 0、ここでP n（ バツ）-多項式 n-ああ程度。 実数のカップル バツと でそれらのどれが最初と見なされ、どれが2番目であるかが示されている場合、注文済みと呼ばれます。 順序対表記:( バツ, y）。 複素数は、任意の順序の実数のペアです。 z = (バツ, y）-複素数。
バツ-重要な部分 z, y-虚数部 z..。 もしも バツ= 0および y= 0、次に z=0。z1=（x 1、y 1）およびz 2 =（x 2、y 2）を考えます。
定義1。 x 1 = x2およびy1 = y 2の場合、z 1 = z2。
コンセプト>と< для комплексных чисел не вводятся.
複素数の幾何学的表現と三角関数形式。
M（ バツ, y) « z = バツ + iy.
½OM½= r =½ z½=。（写真）
rは複素数の絶対値と呼ばれます z.
jは複素数の偏角と呼ばれます z..。 それは±2pの精度で決定されます n.
バツ= rcosj、 y= rsinj。
z= バツ+ iy= r（cosj + 私 sinj）は、複素数の三角関数形式です。
ステートメント3。
=（cos + 私罪）、
=（cos + 私罪）、そして
=（cos（+）+ 私罪（+））、
=（cos（-）+ 私¹0の罪（-））。
ステートメント4。
もしも z= r（cosj + 私 sinj）、次に「自然 n:
=（cos nj + 私罪 nj),
シーズン3
させて バツ-少なくとも1つの数値を含む数値セット（空でないセット）。
バツÎ バツ- バツに含まれた バツ. ; バツÏ バツ- バツ所属していない バツ.
意味： たくさんの バツ数がある場合、上（下）に有界と呼ばれます M(m）そのような バツ Î バツ不等式が成り立つ バツ £ M (バツ ³ m）、数が Mセットの上限（下限）と呼ばれます バツ..。 たくさんの バツ$の場合、上から有界と呼ばれます M, " バツ Î バツ: バツ £ M. 意味上から無制限に設定します。 たくさんの バツ"の場合、上から無制限と呼ばれます M $ バツ Î バツ: バツ> M.定義たくさんの バツ上下に有界である場合、つまり$が有界である場合、有界と呼ばれます。 M, mそのような " バツ Î バツ: m £ バツ £ M。 ogre mn-vaの同等の定義：設定 バツ$の場合、有界と呼ばれます A > 0, " バツ Î バツ: ½ バツ½£ A..。 定義：上に制限されたセットの上限の最小値 バツ正確な上限と呼ばれ、Supで表されます バツ
（上限）。 = Sup バツ..。 同様に、あなたは正確に決定することができます
下端。 同等 意味正確な上端：
この数は、セットの正確な上限と呼ばれます バツ、 もしも： 1) " バツ Î バツ: バツ£（この条件は、それが上限の1つであることを示しています）。 2) " < $ x Î バツ: バツ>（この条件は次のことを示しています-
上面の最小）。
Sup バツ= :
1. " バツÎ バツ: バツ £ .
2. " < $ バツÎ バツ: バツ> .
inf バツ（最小）は正確な下端です。 質問を投げかけましょう：すべての有界セットには鋭いエッジがありますか？
例： バツ= {バツ: バツ> 0）最小数ではありません。
正確な上面（下面）の存在に関する定理..。 セットxÎRの空でない上界（下界）には、上界（下界）があります。
数値mn-inの分離可能性定理：▀▀▄
シーズン4
それぞれの自然数n（n = 1,2,3 ..）に特定の数Xnが割り当てられている場合、それらはそれが定義され、与えられていると言います 順序 x1、x2 ...、write（Xn）、（Xn）。例：Xn =（-1）^ n：-1,1、-1,1、...この場合、名前は制限されます。 上（下）数値軸上にある多くの点x = x1、x2、…xnが上（下）から境界を定められている場合、つまり $С：Xn£C " シーケンス制限：いずれかのε> 0 $：N（N = N /（ε））の場合、数値aは最後の限界と呼ばれます。 "n> N不等式| Xn-a |<ε. Т.е. – ε
で n> N.
一意性を制限する有界で収束するシーケンス
プロパティ1：収束シーケンスには1つの制限しかありません。
証明：矛盾により、 aと b収束シーケンスの限界（x n）。ここで、aはbと等しくありません。 微小シーケンス（αn）=（x n -a）および（βn）=（x n -b）を考えます。 なぜなら すべての要素はb.mです。 シーケンス（αn-βn）は同じ値b-aを持ち、b.mのプロパティによっています。 シーケンスb-a = 0、つまり b = aであり、矛盾が生じます。
プロパティ2：収束シーケンスは制限されています。
証明：aを数列の極限（x n）とすると、αn= x n-aは微小な場所の要素です。 順序。 いくつかのε> 0を取り、そこからNεを見つけます：/ x n -a /< ε при n>Nε。 bが最大の数ε+ / a /、/ x1 /、/ x2 /、...、/xNε-1/、xNεを表すとします。 / x n /であることは明らかです
注：有界シーケンスは収束しない場合があります。
シーズン6
シーケンスanは無限小と呼ばれます。これは、後のこのシーケンスの限界が0に等しいことを意味します。
a nは微小なÛlim（n®+¥）a n = 0です。つまり、任意のε> 0に対して、任意のn> N | a n |に対してNが存在します。<ε
定理。微小の合計は微小です。
anbn®infinitesimalÞan+ bn-infinitesimal。
証拠。
an-微小Û "ε> 0 $ N 1：" n>N1Þ| a n |<ε
bn-微小Û "ε> 0 $ N 2：" n>N2Þ| b n |<ε
N = max（N 1、N 2）とすると、任意のn> N→両方の不等式が同時に成り立ちます。
| a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
「ε1> 0を設定し、ε=ε1/ 2を入力します。次に、任意のε1> 0 $ N = maxN 1 N 2：」n>NÞ| a n + b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
はan + bn-微小です。
定理無限小の積は無限小です。
a n、bn-無限小Þanbn-無限小。
証拠：
"ε1> 0を設定し、ε=Öε1とすると、anとbnはこのε> 0に対して微小であるため、N 1：" n>NÞ| an |<ε
$ N 2： "n>N2Þ| b n |<ε
N = max（N 1; N 2）を取り、次に "n> N = | a n |<ε
| a n b n | = | a n || b n |<ε 2 =ε 1
"ε1> 0 $ N：" n> N | a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0Ûanbnは、必要に応じて微小です。
定理有界シーケンスと微小シーケンスの積は、微小シーケンスです。
nは限定されたシーケンスです
anは無限に小さいシーケンスですÞananは無限に小さいシーケンスです。
証明：anは有界であるためÛ$С> 0： "nÎ NÞ| a n |£C
"ε1> 0;putε=ε1/ C; a nは微小であるため、ε> 0 $ N：" n>NÞ| an |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε1> 0 $ N：" n>NÞ| a n a n | =Cε=ε1Þlim（n®¥）a n a n = 0 a n an-無限小 シーケンスは呼び出されます BBP（順番に）書き込みの場合。 明らかに、BBPは制限されていません。 逆のステートメントは一般的に真実ではありません（例）。 大規模な場合 nメンバー、それからこれを書くことはすぐにそれを意味します。 表記の意味も同様に定義されています 無限に大きなシーケンス a n = 2 n ;
b n =（-1）n 2 n; c n = -2 n 意味（無限に大きなシーケンス） 1）lim（n®¥）a n = +¥if "ε> 0 $ N：" n>NÞan>εここで、εは任意に小さい。 2）lim（n®¥）a n =-¥if "ε> 0 $ N：" n>NÞan<-ε 3）lim（n®¥）a n =¥Û "ε> 0 $ N：" n>NÞ| an |>ε シーズン7 定理「単調収束について。 過去 " 単調なメッセージは収束しています。 限界があります。 Doc最後の（xn）を単調に昇順にします。 上から境界があります。 X-convに従ってこのメッセージの電子メールを受信するすべての複数の番号。 定理は多くの制限があります。したがって、acc。 定理では、それは有限の鋭い上界を持っています。 supXxn®supX（supXをx *で表します）。 なぜなら x *正確なトップ。 面、次にxn£x * "n。" e> 0出力は$ xmです（mをカバー付きでnとします）：xm> x * -e for "n> m =>示された2つの不等式から、次のようになります。 2番目の不等式x * -e£xn£x * + e for n> mは、1 xn-x * 1と同等です。 シーズン8 指数または数値e Rリム番号。 共通項xn =（1 + 1 / n）^ n（nの累乗）（1）で送信します。 最後の（1）は単調に上昇し、上から有界でゆっくりと収束することがわかります。このポストの限界は指数関数と呼ばれ、記号e "2.7128 .. .. 番号e シーズン9 入れ子線の原理 セグメントの数を数直線、、 ... 、、 ..で指定します。 さらに、これらのセグメントはslを満たします。 コンバージョン。： 1）最後のものはそれぞれ前のものにネストされています。 Ì、 "n = 1,2、...; 2）nの増加に伴うセグメント®0の長さ、つまり、 lim（n®¥）（bn-an）= 0。 指定されたsvで送信します-ネストされたと呼ばれます。 定理ネストされたセグメントの最後には、すべてのセグメントに属する単一のt-kuが含まれ、それらが収縮するすべてのセグメントの共通点が同時に続きます。 Doc（an）-セグメントyavlの左端を送信します。 単調に減少せず、上から数b1で囲まれています。 （bn）-右端のシーケンスは単調に増加しないため、これらのシーケンスは次のようになります。 収束、つまり 数字с1= lim（n®¥）anとc2 = lim（n®¥）bn => c1 = c2 => c-それらの一般的な意味があります。 実際、lim（n®¥）（bn-an）= lim（n®¥）（bn）-lim（n®¥）（an）条件2）o = lim（n®¥）（bn- an） = c2-c1 => c1 = c2 = c 「na£c£bn。ここで、m。Cが1つであることを証明するので、m。Cがすべてのセグメントに共通していることは明らかです。 $は、すべてのセグメントが描画される 'とは異なると仮定しましょう。 とc 'で互いに素なセグメントをとる場合、一方では、シーケンス（an）、（bn）の「テール」全体がt-ki c' 'の近くになければなりません（anとbnから）同時にcとc 'に収束します）。 矛盾はt-muを証明します。 シーズン10 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
あらゆる面から。 その後、出口を選択できます。 それを送る。 1.最後が有界であるため、「m£xn£M」nとなるように$ mとM。 D1 =-最後のすべてのポイントが存在するセグメント。 半分に分けましょう。 少なくとも半分の1つには、最後に無限の数のt-kがあります。 D2-その半分。最後まで無限の数があります。 半分に分けます。 エッジに沿って、少なくともネガの半分の1つ。 D2nah-Xia無限のt-最後まで。 この半分はD3です。 セグメントD3 ...などを分割します。 最後のネストされたセグメントを取得します。その長さは0になる傾向があります。n番目のネストされたセグメントによると、$は1になります。 t-ka C、猫。 付属品 すべてのセグメントD1、任意のm-kuDn1に。 セグメントD2では、n2> n1となるようにt-kuxn2を選択します。 セグメントD3で...など。 結果として、xnkÎDkに送信します。 シーズン11 シーズン12 基本的 結論として、数列の収束の基準の問題を考えてみましょう。 それをしましょう： 次のステートメントがあります。 シーケンスが収束する場合、条件は満たされます コーシー: コーシー条件を満たす数列はと呼ばれます 基本的..。 逆もまた真であることが証明できます。 したがって、シーケンスの収束のための基準（必要十分条件）があります。 コーシーの基準。 シーケンスに制限があるためには、それが基本的であることが必要かつ十分です。 コーシー基準の2番目の意味。シーケンスのメンバーと場所 nと m-で無限に近づくもの。 シーズン13 片側極限。 定義13.11。番号 A関数の極限と呼ばれる y = f（x） で バツ目指して x 0左（右）、そのような場合| f（x）-A|<ε при x 0-x< δ
(x-x 0< δ
). 伝説： 定理13.1（限界の2番目の定義）。関数 y = f（x）で持っています バツ、目指して バツ 0、制限は等しい A、この時点で片側極限が両方とも存在し、等しい場合に限ります A. 証拠。 1）の場合、 x 0-x< δ, и для x-x 0< δ
|f（x）-A|<ε, то есть 1）の場合、δ1が存在します。 f（x）-A| < ε при x 0-x< δ 1 и δ 2: |f（x）-A| < ε при x-x 0<
δ2。 数δ1とδ2の小さい方を選択し、それをδとすると、次のようになります。 x-x 0| < δ |f（x）-A| < ε, то есть . Теорема доказана. コメント。 制限13.7の定義に含まれる要件と、一方的な制限の存在と同等性の条件が同等であることが証明されているため、この条件は制限の2番目の定義と見なすことができます。 定義4（ハイネによる） 番号 A引数値のいずれかのBBPが関数の対応する値のシーケンスに収束する場合、関数の極限と呼ばれます A。 定義4（コーシーによる）。 番号 Aと呼ばれる。 これらの定義は同等であることが証明されています。 シーズン14と15 ある点での極限の性質 1）t-keに制限が存在する場合、それが唯一の制限です。 2）x0で、関数の極限f（x）lim（x®x0）f（x）= A lim（x®x0）g（x）£B =>次に、このm-k $で、合計、差、積、商の限界。 これらの2つのf-tionsのブランチ。 a）lim（x®x0）（f（x）±g（x））= A±B b）lim（x®x0）（f（x）* g（x））= A * B c）lim（x®x0）（f（x）：g（x））= A / B d）lim（x®x0）C = C e）lim（x®x0）C * f（x）= C * A 定理3。 もしも （ resp A ）次に、不等式が存在する$近傍 > B（resp 定理3での設定 B = 0、次のようになります：if（ それぞれ）、次に$、すべてのポイントで、 > 0（resp<0),
それらの。 関数はその限界の符号を保持します。 定理4（不等式の限界への通路で）。 ポイントのある近傍（おそらくこのポイント自体を除く）で条件が満たされ、これらの関数がそのポイントで制限を持っている場合、。 言語と。 機能を紹介しましょう。 いわゆるの近くにあることは明らかです。 次に、関数の保存に関する定理により、その限界の値が得られますが、 定理5。（中間機能の限界について）。 （1） シーズン16 定義14.1。関数 y =α（x）は無限小と呼ばれます x→x0、もしも 微小の特性。 1.2つの微小の合計は微小です。 証拠。 もしも α（x） と β（x）は無限小です x→x0、次に、次のようなδ1とδ2が存在します。 α（x)|<ε/2 и |β(バツ)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α（x）+β（x）|≤|α（x）| + |β（x)|<ε, то есть |(α（x）+β（x))-0|<ε. Следовательно, コメント。 したがって、任意の有限数の無限小の合計は無限小になります。 2.α（ バツ）のために無限に小さい x→x0、 f（x）ある近傍に有界関数です x 0、 それから α（x）f（x）のために無限に小さい x→x0. 証拠。 番号を選びましょう Mそのような| f（x）| 系1.無限に小さいものと有限の数の積は、微小です。 系2.2つ以上の無限小の積は無限小です。 系3.無限小の線形結合は無限小です。 3. (制限の3番目の定義）。 もしそうなら、これのための必要十分条件は、その機能が f（x）は次のように表すことができます f（x）= A +α（x）、 どこ α（x）のために無限に小さい x→x0. 証拠。 1)
それでは| f（x）-A|<ε при x→x0、 あれは α（x）= f（x）-A-で無限に小さい x→x0。したがって、 、f（x）= A +α（x）。 2）しましょう f（x）= A +α（x）。 それで コメント。 したがって、制限の別の定義が取得されます。これは、前の2つの定義と同等です。 無限に大きな関数。 定義15.1。 関数f（x）は、次の場合にx x0に対して無限に大きく呼び出されます。 無限に大きい場合は、無限に小さい場合と同じ分類システムを導入できます。つまり、次のようになります。 1.無限に大きいf（x）とg（x）は、次の場合に同じオーダーの数量と見なされます。 2.の場合、f（x）はg（x）よりも高次の無限大であると見なされます。 3.無限大のf（x）は、無限大のg（x）に対してk次と呼ばれます。 コメント。 a xは、任意のkのx kよりも高次の無限大（> 1およびxの場合）であり、log a xは、xkの任意の累乗よりも無限に大きい低次であることに注意してください。 定理15.1。 α（x）がx→x 0のように無限に小さい場合、1 /α（x）はx→x0のように無限に大きくなります。 証拠。 | x --x 0 |についてそれを証明しましょう< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, | 1 /α（x）|> M。 したがって、つまり、1 /α（x）はx→x0のように無限に大きくなります。 シーズン17 定理14.7（最初の注目すべき限界）。 ..。 証拠。 原点を中心とする単位半径の円を考え、AOB角度をx（ラジアン）と仮定します。 AOB三角形、AOBセクター、およびAOC三角形の面積を比較してみましょう。ここで、線OSは、点（1; 0）を通過する円の接線です。 それは明らかです。 図の領域に対応する幾何学的公式を使用して、ここから次のようになります。 有理数のシステムの表現力豊かな幾何学的表現は、次のように取得できます。 ある直線の「数値軸」で、0から1までのセグメントをマークします（図8）。 これにより、単位セグメントの長さが決まります。これは、一般的に、任意に選択できます。 次に、正と負の整数は、数値軸上で等間隔の点のセットとして表されます。つまり、正の数は点0の右側にマークされ、負の数は点0の左側にマークされます。分母nで数値を表すために、除算します。得られた単位長の各セグメントをn個の等しい部分に分割します。 分割点は分母nの分数を表します。 すべての自然数に対応するnの値に対してこれを行うと、各有理数は数値軸上のある点で表されます。 これらの点を「合理的」と呼ぶことに同意します。 一般に、「有理数」と「有理点」という用語は同義語として使用されます。 第I章、§1では、不等式関係は有理点の任意のペアに対して定義されました。検討中の点のこの幾何学的順序を維持するような方法で、相加不等式関係を一般化しようとするのは自然なことです。 これは、次の定義を受け入れると成功します。有理数Aと言われます。 以下有理数Bよりも（差B-Aが正の場合、数A（B> A）よりも大きい。したがって、次のようになります（Aの場合） AとBの間は、同時に> Aとセグメント（または セグメント）そして[A、B]で表されます（そして中間点のみのセットは 間隔（また 間に）、（A、B）で示されます）。 正の数と見なされる原点0からの任意の点Aの距離は次のように呼ばれます。 絶対値 Aおよび記号で示されます 「絶対値」の概念は次のように定義されます。A≥0の場合、| A | = A; もし | A + B |≤| A | + | B |、 これは、AとBの符号に関係なく当てはまります。 基本的に重要な事実は、次の文で表されます。有理点は数直線上に密に配置されています。 このステートメントの意味は、どんなに小さくても、任意の間隔内に有理点があるということです。 作成されたステートメントの有効性を検証するには、間隔が指定された間隔（A、B）よりも小さくなるように数値nを大きくするだけで十分です。 その場合、ビューの少なくとも1つのポイントがこの間隔内になります。 したがって、数軸上にそのような間隔はなく（想像できる最小の間隔でさえも）、その範囲内には有理点はありません。 これは、さらなる結果を意味します。すべての区間には、無限の有理点のセットが含まれます。 確かに、特定の区間に有限数の有理点しか含まれていない場合、そのような2つの隣接する点によって形成される区間内に有理点は存在せず、これは今証明されたものと矛盾します。
自然数とともに、別の自然数を最後の不等式に代入することができます 
、それから
そして、条件（2）がmのある近傍（おそらくm自体を除く）で満たされる場合、関数はmに極限を持ち、この極限は次のようになります。 A。条件（1）によって$ for（ここにポイントの最小の近傍があります）。 しかし、条件（2）により、値もポイントの-近傍になります。 A、それらの。 ..。
、 あれは α（x）+β（x）無限に小さいです。
意味、| f（x）-A|<ε при |x-x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
、またはsinx