Ezt a tételt L. Atanasyan tankönyve megfogalmazza és bebizonyítja. , a Pogorelova A.V. nincs ilyen tétel. Nyilvánvalóan ez annak a ténynek köszönhető, hogy a háromszög egyenlőtlensége L. Atanasyanban a fenti tétel segítségével bizonyítható. U Pogorelova A.V. a háromszög egyenlőtlensége egy ferde vetület fogalmával bizonyítható.

A tétel bizonyítottan igazolja a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatot szó szerint.

Tétel: Háromszögben:

1) nagyobb szög fekszik a nagyobb oldalon;

2) hátra, a nagyobb szöggel szemben fekszik a nagyobb oldal.

Bizonyíték. 1) Hagyja, hogy az ABC háromszög AB oldala nagyobb legyen, mint az AC oldal. Bizonyítsuk be, hogy a C\u003e szög a B szög. Az AB oldalra tesszük az AD szegmenst, amely megegyezik az AC oldallal (1. ábra). AD óta<АВ, то тока D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, угол С >1. szög. A 2. szög a BDC háromszög külső szöge, tehát a 2. szög\u003e B. szög. Az 1. és a 2. szög megegyezik az ADC egyenlő szárú háromszög alján levő szögekkel. Tehát C szög\u003e 1 szög, 1 szög \u003d 2 szög, 2 szög\u003e B szög. Ebből következik a C szög\u003e B szög.

2) Legyen C\u003e B szög az ABC háromszögben. Bizonyíthatjuk, hogy AB\u003e AC. Tegyük fel, hogy nem ez a helyzet. Akkor vagy AB \u003d AC vagy AB<АС. В первом случае треугольник АВС - равнобедренный и, значит, Угол С= углу В. Во втором случае угол В> C szög (a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik). Mindkettő ellentmond a feltételnek: C szög\u003e B szög. Ezért feltételezésünk téves, ezért AB\u003e AC. A tétel bizonyított.

A fenti bizonyítékokból kitűnik, hogy ötlete egy kiegészítő konstrukció végrehajtása, amely a szóban forgó háromszöget két háromszögre osztja, amelyek közül az egyik egyenlőszárú. Egy ilyen kiegészítő konstrukció ötletét rekonstruáljuk azzal, hogy ezt a tételt egy gondolatkísérlet fogalmával igazoljuk.

A tétel bizonyítása gondolatkísérlet segítségével.

Tehát gondolkodási kísérletünk tárgya a háromszög szögei és oldalai. Helyezzük szellemileg ilyen körülmények között (2. ábra), amelyben lényege különleges biztonsággal felfedhető (1. lépés).

Ezek a feltételek:

Egy háromszög minden szögének és oldalának egyenlősége (egyenlő oldalú háromszög feltételei);

A háromszög oldalainak képessége „összehúzódni” és „nyújtani”, miközben fenntartja a vonal egyenességét;

A háromszög csúcsai „csúszhatnak” a háromszög oldalát tartalmazó vonalak mentén;

Az ilyen felépített feltételek lehetővé teszik, hogy különös biztonsággal felfedjük a háromszög oldalának és szögeinek arányának lényegét (1. szakasz) - az ellenkező szög méretének függését az ellenkező oldal méretétől és fordítva.

Valójában, ha később mentális transzformációkat hajtunk végre (2. szakasz) a háromszög egyik oldalának „nyújtásával” (3. ábra), megfigyelhetjük az ellenkező szög növekedését.

A háromszögek (4. ábra) szögeinek és csúcsainak megjelölésével, amelyeket egy egyenlő oldalú háromszög oldalainak „nyújtásával” nyerünk, mentálisan megteremtjük a környezetet, az összeköttetések rendszerét, amelybe a gondolkodás tárgyát helyezzük (3. szakasz).

Ha növeljük az AC oldalát azáltal, hogy „megnyújtjuk” az AC1 oldalához, ezáltal megfigyeljük az 1. szög növekedését és a 2. szög ennek megfelelő csökkenését. De a repülőgép oldalainak növekedését a BC1 oldal felé is megfigyeljük. Ha a BC oldal nagyobb, mint az AC oldal (BC1\u003e AC1), akkor a tétel nem igaz. Megmutatjuk, hogy nem így van.

Két eset lehet: BC1 \u003d AC1 és BC1 BC1\u003e AC1AC1. Az első esetben az ABC1 háromszög egyenlő szélességű lenne, és az 1 szög egyenlő lenne a 3-as szöggel. De ez nem így van: a 3-as szög nem változott, és egyenlő 60 ° -kal, és az 1-es szög megnőtt, és\u003e 60 ° lett - vagyis a BC1 és az AC1 oldal nem egyenlő ( 5. ábra). A második esetben az AC1 oldal kibővíthető BC1 oldalra az A1C1 oldalra (azaz A1C1 \u003d BC1) történő nyújtással (5. ábra). Az eredményül kapott A1BC1 háromszög egyenlő szélességű, ezért az alap szögeinek egyenlőnek kell lenniük. De a 3-as szög csökkent (azaz lett< 60°), а угол 1 снова увеличился - значит стороны А1С1 и ВС1 не равны.

Ha nem az oldalát, hanem a szöget növeljük, akkor ismét eldöntjük, hogy a két oldal (AC vagy AC) közül melyik nőtt tovább.

A gondolatkísérlet alapján levonhatjuk annak az állításnak az igazságát, hogy nagyobb szög van, és fordítva a nagyobb oldalhoz.

A „Leírás a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatokról” című videotéma bemutatja ezt a tételt, valamint annak következményeit. A tétel és következményeinek ismerete szükséges a geometria gyakorlati problémáinak megoldásához, amelyek során a háromszög paramétereinek meghatározásához oldalának és szögeinek különféle arányai vannak felhasználva. A videoóra feladata az anyag megértésének megkönnyítése, a tétel és annak következményeinek megjegyzése.

A video bemutató olyan animációs effektusokat használt, amelyek segítenek kiemelni a geometriai alakzatok fontos részleteit az anyag elsajátításakor. A színes kiemeléssel a tétel állítását és annak következményeit is kiemeljük. A hangvezérlés magyarázata teljesen felváltja a tanárt az új anyag általános bemutatásakor a hallgatók számára.

A videolecke elején a téma bemutatása után a tétel szövege jelenik meg a képernyőn, amely kimondja, hogy a nagyobb oldal tetszőleges háromszögben helyezkedik el a nagyobb oldallal szemben, és a nagyobb oldal mindig a nagyobb oldallal szemben helyezkedik el. Ezt az állítást az ΔABC háromszög mutatja be, amelyet a tétel szövege alatti ábra mutat. A tétel bizonyítását szóbeli módon magyarázza a bemondó.

Az állítás bizonyítása érdekében figyelembe kell venni az AB, AC oldalakat és az ezekkel szemben lévő szöget - ∠C és ∠B. Feltételezzük, hogy az AB\u003e AC oldalakon az ellenkező szögek ∠C\u003e ∠B. Az AB oldalon az AD szegmens mérete megegyezik az AC szegmenssel. Mivel az AC oldal kisebb, mint az AB oldal, a szegmens vége, a D pont az A és B háromszög csúcsai között helyezkedik el. Ebből következik, hogy az építkezés során kialakult авший1 szög kisebb, mint ∠C szög, és a ∠2 szög, mint a ∠BDC szög, egyenlő a szögek összegével. ∠DBC és ∠DCB. Ez azt jelenti, hogy ∠2 nagyobb, mint az ∠DBC \u003d ∠B szög. Ennek megfelelően a ∠C szög nagyobb, mint a ∠B szög.

A fordított bizonyítása az AB, AC képarány figyelembevételével csökken, ha a ∠C szög nagyobb, mint a ∠B szög. Ellenkezőleg bizonyítékok készülnek. Ehhez feltételezzük, hogy ∠C\u003e ∠B esetén az AB oldal egyenlő vagy kisebb, mint az AC oldal. Figyelembe véve ugyanakkor az AB \u003d AC oldalak egyenlőségét, az egyenlő szárú háromszög tulajdonságainak ismeretében, azt lehet állítani, hogy ebben az esetben a ∠C \u003d ∠B szögek is azonosak lesznek. Ha AB AC

A video oktatóanyagban ezen tétel következményeit is figyelembe vesszük. Azt állítják, hogy ezen tétel alapján a derékszögű háromszög hipotenusza mindig nagyobb, mint egy láb. Valójában, mivel a hipotenusz egy derékszöggel szemben helyezkedik el, a lábak éles szögekkel ellentétesek. Mivel az akut szögek mindig kisebbek, mint az egyenesek, az ellenkező oldalsó lábak mindig alacsonyabbak, mint a hipotenusz.

A tétel második következménye egy páratlan háromszög jele. Ez a következtetés kijelenti, hogy egy háromszög két szöge közötti egyenlőség azt jelenti, hogy egyenlő szárú. Az ΔABC háromszög példáján két ∠C és рассматриваютсяB szöget, valamint az AB és AC ellentétes oldalát vesszük figyelembe. Feltételezzük, hogy a ∠C \u003d ∠B szögek egyenlete megegyezik az AB \u003d AC oldalak egyenlőségével. Valójában, ha az oldalak nem lennének egyenlők, akkor a tétel szerint a nagyobb oldal nagyobb szöget fog fektetni, a kisebb oldallal szemben pedig kisebb szöget fog fektetni. Így a felek egyenlőtlenségének feltételezése téves. Ez a háromszög egyenlő méretű. A következtetés bizonyított.

Tétel: Háromszögben

1. Adott: AB\u003e AC

Bizonyítsuk be: ∠С\u003e ∠В.

Bizonyítás: Tegye az AD szegmenst egyenlővé az AC szegmenssel, majd a D pont az A és B pontok között fekszik. A CD-lemez az ACB szöget két szögre vágja, ∠1 \u003d ∠2-rel. Az ΔACB ∠1 és ∠3 szögekből áll. ∠2 a CDB háromszögnél a külső, ami azt jelenti, hogy nagyobb, mint a B szög.

Ábra. 1. A háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolat

∠1=∠2<∠ACB

∠2 \u003d ∠B + ∠3\u003e ∠B

∠ACB\u003e ∠B, szükség szerint.

2. Adott: ∠С\u003e ∠В

Bizonyítsuk be: ∠АВ\u003e ∠AC

Ábra. 2. A háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolat fordított tétele , de ∠С\u003e ∠В feltételezéssel, ezért csak akkor marad fenn az eset, ha az AB\u003e AC, ahogy szükséges.

Ismét megfogalmazjuk a tételt és kiterjesztjük a háromszög minden szögére.

Tétel: Háromszögben

1. A nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van

2. Ezzel szemben a nagyobb szög a nagyobb oldallal fekszik.

Ábra. 3. Rajz a tételre

Ha AB\u003e AC\u003e BC, akkor ∠C\u003e ∠B\u003e ∠A.

Ha ∠C\u003e ∠B\u003e ∠A, akkor AB\u003e AC\u003e BC.

1. következtetés: Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz nagyobb, mint a láb.

Bizonyíték:

Ábra. 4. Rajz az 1. következtetésre

∠А + ∠В + 90 \u003d 180, ∠А + ∠В \u003d 90 \u003d ∠С. Ebből következik, hogy ∠A<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

2. következmény: Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor a háromszög egyenlő méretű (egyenlőszögű háromszög jele).

Adott: ∠В \u003d ∠С

Bizonyítsuk be: AC \u003d AB

Bizonyítás: Ellentmondással igazoljuk.

Ábra. 5. Rajz a 2. következtetésre

АВ\u003e АС ∠С\u003e ∠В, vagyis АВ \u003d АС. A következtetés bizonyított.

A következtetést tárgyaljuk. A háromszöget egyenlő szárúnak nevezzük, ha annak két oldala egyenlő. Ebből következik tulajdonsága: az alapnál a szögek megegyeznek. És most van egy jele, hogy ha a szögek mindkét oldalon megegyeznek, akkor a háromszög egyenlő méretű. Van jele egy egyszögletes háromszögnek.

1. példa: Hasonlítsa össze a háromszög szögeit és derítse ki, hogy az A szög nem tompa-e, ha AB \u003d AC<ВС.

Ábra. 6. Példa az 1. rajzra

AB \u003d AC ∠C \u003d ∠B. AC<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С).

Példa: ∠В \u003d ∠С \u003d 10, akkor ∠А \u003d 180- (10 + 10) \u003d 160.

Válasz: 1) ∠В \u003d ∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

A mai leckében egy háromszög oldalai és szögei közötti relációs tételt vizsgáltunk. A következő leckében megvizsgáljuk a háromszögek egyenlőtlenségének témáját.

1. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. és munkatársai. Geometria 7. Kiadvány: M .: Oktatás.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometry 7., 5. kiadás. M .: Oktatás.
3. Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Prasolov V. V., szerkesztette Sadovnichy V. A. Geometria 7. M .: Oktatás. 2010 év

1. Oktatási ötletek fesztiválja "Nyitott lecke" ().
2. Kaknauchit.ru ().

1. 50. szám Butuzov V.F., Kadomtsev SB, Prasolov VV, szerkesztette Sadovnichy V.A. Geometria 7. M .: Oktatás. 2010 év
2. Az AK szegmens a C derékszögű ABC háromszög mediánja. Bizonyítsuk be, hogy ∠ВАК<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
3. Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű háromszög hipotenusza nagyobb, mint egy láb.
4. Az ABC háromszög B és C csúcsán a külső szög felezőit tartalmazó vonal keresztezi az O pontot. Keresse meg a BOC szöget, ha az A szög megegyezik a.

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), majd jelentkezzen be a következőbe: https://accounts.google.com

Dia feliratok:

A háromszög geometriai osztályának oldalsó és szögek közötti kapcsolatokra vonatkozó tétel

Az óra célja: Tétel bizonyítása egy tételnél a háromszög oldalai és szögei közötti viszonyokról, megtanítani a tétel alkalmazását a problémák megoldásában

Óraterv: Org. Az elmélet pillanatnyi szóbeli kihallgatása Szóbeli döntéshozatal Új anyag magyarázata Új anyag összevonása Az lecke összefoglalója házi feladat

Szóbeli megoldás: B  ABC A \u003d 37 °, B \u003d 109 °. Keresse meg C értékét. A derékszögű háromszög egyik akut szöge 32 °. Mi az a másik szög értéke? Számítsa ki az egyenlő szárú háromszög szögeit, ha a szög a háromszög csúcsán 28 °.

Szájon át döntsön. 4. Számítsa ki az egyenlő méretű háromszög szögeit, ha a szög az alapnál 77 °. 5. Számítsa ki a derékszögű egyenlő szögű háromszög akut szögeit. Magyarázza el, miért nem lehet egynél több háromszög: 1) tompított szög; 2) derékszög.

M О С К 1 2 3 feladat:  MOS, M-K-S, KM \u003d MO. Bizonyítsuk be: a) 1 \u003d 3; b) MOS\u003e 3 Megoldás: 1 az MOS szögének része, azaz 1 1. 2 - külső  ACS esetén, 2 \u003d 3 + CBS. Ezért 2\u003e 3.  A MOD egyenlőszárú, tehát 1 \u003d 2. Ezért 1\u003e 3, MOC\u003e 3.

Tétel A háromszögnek nagyobb szöge van a nagyobb oldalához képest. C A-ban megadva:  ABC, AB\u003e AC Bizonyítsuk: C\u003e B Bizonyíték: 1. Tegyük az AB oldalra az A D \u003d AC szegmenst. 2. Mivel А D 1. 2 egy külső szög  В D С, ezért 2\u003e B. 1 \u003d 2 ( А D С egyenlő szög) 5. С\u003e 1, 1 \u003d 2, 2\u003e В, ezért С\u003e B 2 1 D

Fordított tétel: A nagyobb szög ellenére a nagy oldal B A C Adott:  ABC, C\u003e B Bizonyítsuk be: AB\u003e AC Bizonyítás: Tegyük fel, hogy nem így van. Ezután: 1) vagy AB \u003d AC; 2) vagy AB C (a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik). Ez ellentmond a C: B. feltételnek. A feltételezés hamis, ezért az AB\u003e AC szükség szerint.

A 236. és a 237. sz. Szóbeli 238. számú problémák megoldása

32. házi cikk (a vizsgálat előtt1) 299. szám

A témában: módszertani fejlesztések, előadások és összefoglalók

Vizsgálat a „Háromszög szögeinek összege. A háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatok ...

Kilépési jegy: Háromszög egyenlőtlenség. A háromszög oldalainak és szögeinek aránya. Egy háromszög szögeinek összege.

Független munka a témákról: háromszög egyenlőtlenség, egy háromszög szögeinek összege, a háromszög oldalának és szögeinek hányadosa ....

Háromszögek.

30. §. A HÁLÓZAT FELEI ÉS SZELEI KAPCSOLATAI.

1. tétel A nagyobb oldallal szemben egy nagyobb szög fekszik a háromszögben. .

Beengedni /\ ABC oldal Az AB több, mint a nap oldala. Bizonyítsuk be, hogy a nagyobb AB oldallal szemben fekvő C szög nagyobb, mint a BC kisebb oldalán fekvő A szög (164. ábra).

Helyezze az AB oldalra a B pontból a BD szintet, amely megegyezik a BC oldallal, és kösse össze a D és C szegmenst.

Háromszög DBC egyenlő szélek. A BDC szög megegyezik a BCD szöggel, mivel ezek a háromszög azonos oldalaival szemben helyezkednek el.

A BDC szög az ADC háromszög külső szöge, ezért nagyobb, mint az A szög.

Mint / BCD \u003d / BDC, akkor a BCD szög nagyobb, mint az A szög: / BCD\u003e / A. De a BCD szög csak a teljes C szög része, tehát a C szög még nagyobb lesz, mint az A szög.

Ugyanazon tétel önálló bizonyítása a 165. ábrán, amikor BD \u003d AB.

A 18. §-ban bebizonyítottuk, hogy egyszögletes háromszögben az alapnál a szögek megegyeznek, azaz a szögek a háromszögben azonos oldalakkal szemben fekszenek. Most bizonyítottuk az ellentétes tételeket.

2. tétel. A háromszög egyenlő szögeivel szemben azonos oldalak vannak.

Beengedni /\ ABC / A \u003d / C (átkozott 166). Bizonyítsuk be, hogy AB \u003d BC, vagyis az ABC háromszög egyenlõsök.

Az AB és AC felek között a következő három arány csak egy lehet:

1) AB\u003e BC;
2) AB< ВС;
3) AB \u003d BC.

Ha az AB oldal nagyobb, mint BC, akkor a C szög nagyobb lesz, mint az A szög, de ez ellentmond a tétel hipotézisének, ezért az AB nem lehet nagyobb, mint BC.

Ugyanígy, az AB nem lehet kevesebb, mint BC, mivel ebben az esetben a C szög kisebb, mint az A szög.

Következésképpen csak a harmadik eset lehetséges, azaz

Tehát bebizonyítottuk: az egyenlő oldal az egyenlő szögekkel szemben a háromszögben fekszik.

3. tétel. A háromszög nagyobb szögével szemben fekszik a nagy oldal.

Legyen az ABC háromszögben (167. ábra) / C\u003e / B

Bizonyítsuk be, hogy AB\u003e AC.

A következő három arány egyike is lehet:

1) AB \u003d AC;
2) AB< АС;
3) AB\u003e AC.

Ha az AB oldal megegyezik az AC oldallal, akkor / C egyenlő lenne / B. De ez ellentmond a tétel hipotézisének. Ezért az AB nem egyenlő az AC értékkel

Ugyanígy, az AB nem lehet kisebb, mint AC, mivel ebben az esetben a C szög kisebb lenne, mint a B szög, ami szintén ellentmond ennek a feltételnek.

Ezért csak egy eset lehetséges, nevezetesen:

Bizonyítottuk: a nagy oldal a háromszög nagyobb szögével is fekszik.

Következmény Egy derékszögű háromszögben. A hypotenuse nagyobb, mint bármelyik lába.