पाठ मकसद:

• अध्ययन की गई सामग्री का विश्लेषण करने के लिए कौशल का गठन और समस्याओं को हल करने के लिए इसका उपयोग करने का कौशल;
• अध्ययन की गई अवधारणाओं का महत्व दिखाएं;
• संज्ञानात्मक गतिविधि का विकास और ज्ञान प्राप्त करने की स्वतंत्रता;
• विषय में रुचि को बढ़ावा देना, सौंदर्य की भावना।

पाठ मकसद:

• स्केल रूलर, कंपास, प्रोट्रैक्टर और ड्रॉइंग ट्राएंगल का उपयोग करके दिए गए कोण के बराबर कोण बनाने में कौशल बनाने के लिए।
• छात्रों की समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करें।

शिक्षण योजना:

1. दोहराव।
2. दिए गए कोण के बराबर कोण बनाता है।
3. विश्लेषण।
4. भवन उदाहरण एक।
5. निर्माण उदाहरण दूसरा।

दोहराव।

इंजेक्शन।

समतल कोण- एक बिंदु (कोण के शीर्ष) से ​​निकलने वाली दो किरणों (कोण की भुजाओं) से बनी असीमित ज्यामितीय आकृति।

एक कोण को इन किरणों के बीच घिरे विमान के सभी बिंदुओं द्वारा बनाई गई आकृति भी कहा जाता है (आमतौर पर, दो ऐसी किरणें दो कोणों के अनुरूप होती हैं, क्योंकि वे विमान को दो भागों में विभाजित करती हैं। इनमें से एक कोण को पारंपरिक रूप से आंतरिक कहा जाता है, और अन्य - बाहरी।
कभी-कभी, संक्षिप्तता के लिए, कोण को कोणीय माप कहा जाता है।

कोण को निर्दिष्ट करने के लिए, एक आम तौर पर स्वीकृत प्रतीक है: 1634 में फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे एरीगॉन द्वारा प्रस्तावित।

इंजेक्शनएक ज्यामितीय आकृति (चित्र 1) है जो दो किरणों OA और OB (कोण की भुजाओं) से बनती है, जो एक बिंदु O (कोण के शीर्ष) से ​​निकलती है।

कोण को एक प्रतीक और तीन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है जो किरणों के सिरों और कोण के शीर्ष को दर्शाते हैं: AOB (इसके अलावा, शीर्ष अक्षर मध्य है)। कोणों को OA बीम के शीर्ष O के चारों ओर घूमने की मात्रा से मापा जाता है जब तक कि OA बीम OB स्थिति में नहीं आ जाता। कोणों की माप की दो इकाइयाँ व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं: रेडियन और डिग्री। रेडियल कोण माप के लिए, नीचे "चाप लंबाई" अनुभाग और "त्रिकोणमिति" अध्याय देखें।

डिग्री कोण माप प्रणाली।

यहां, माप की इकाई एक डिग्री है (इसका पदनाम ° है) - यह पूर्ण क्रांति के 1/360 द्वारा बीम का रोटेशन है। इस प्रकार, बीम का पूर्ण मोड़ 360° होता है। एक डिग्री 60 मिनट से विभाज्य है (प्रतीक '); एक मिनट - क्रमशः 60 सेकंड के लिए (पदनाम ")। 90 ° (चित्र 2) के कोण को समकोण कहा जाता है; 90 ° (चित्र 3) से कम के कोण को न्यूनकोण कहा जाता है; 90 ° (चित्र 4) से अधिक के कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

समकोण बनाने वाली सीधी रेखाएँ परस्पर लंबवत कहलाती हैं। यदि सीधी रेखाएँ AB और MK लंबवत हैं, तो इसे AB MK द्वारा दर्शाया जाता है।

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाता है।

निर्माण शुरू करने या किसी भी समस्या को हल करने से पहले, विषय की परवाह किए बिना, आपको पूरा करने की आवश्यकता है विश्लेषण... समझें कि असाइनमेंट किस बारे में है, इसे सोच-समझकर और धीरे-धीरे पढ़ें। यदि पहली बार के बाद संदेह है या कुछ स्पष्ट या समझ में नहीं आया है लेकिन पूरी तरह से नहीं है, तो इसे फिर से पढ़ने की सिफारिश की जाती है। यदि आप कक्षा में कोई असाइनमेंट कर रहे हैं, तो आप शिक्षक से पूछ सकते हैं। अन्यथा, आपकी समस्या, जिसे आपने गलत समझा था, ठीक से हल नहीं हो सकती है, या आपको कुछ अलग मिल सकता है जो आपसे मांगा गया था और इसे गलत माना जाएगा और आपको इसे फिर से करना होगा। मेरे लिए - कार्य को फिर से करने की तुलना में कार्य का अध्ययन करने में थोड़ा अधिक समय व्यतीत करना बेहतर है.

विश्लेषण।

मान लीजिए a एक दी हुई किरण है जिसका शीर्ष A है, और मान लीजिए कि कोण (ab) वांछित है। क्रमशः किरणों a और b पर बिंदु B और C चुनें। बिंदु B और C को जोड़ने पर हमें एक त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। समान त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर होते हैं, और इसलिए निर्माण विधि इस प्रकार है। यदि किसी दिए गए कोण के किनारों पर हम किसी सुविधाजनक तरीके से बिंदु C और B का चयन करते हैं, तो इस किरण से इस अर्ध-तल तक, ABC के बराबर एक त्रिभुज AB 1 C 1 की रचना करें (और यह तब किया जा सकता है जब त्रिभुज की सभी भुजाएँ हों) जाना जाता है), तो समस्या का समाधान हो जाएगा।

किसी भी कार्य को करते समय कंस्ट्रक्शनअत्यंत सावधान रहें और सभी निर्माणों को बड़े करीने से करने का प्रयास करें। चूंकि किसी भी विसंगति के परिणामस्वरूप किसी प्रकार की त्रुटियां, विचलन हो सकते हैं जो गलत उत्तर का कारण बन सकते हैं। और अगर इस प्रकार का कोई कार्य पहली बार किया जाता है, तो त्रुटि को ढूंढना और ठीक करना बहुत मुश्किल होगा।

भवन उदाहरण एक।

इस कोने के शीर्ष पर केन्द्रित एक वृत्त खींचिए। बी और सी को कोने के किनारों के साथ सर्कल के चौराहे के बिंदु होने दें। त्रिज्या AB से, बिंदु A 1 पर केंद्रित एक वृत्त खींचिए - इस किरण का प्रारंभिक बिंदु। इस किरण के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को B 1 द्वारा दर्शाया जाएगा। हम केंद्र B 1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करते हैं। संकेतित अर्ध-तल में निर्मित वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु C 1 आवश्यक कोण के किनारे स्थित है।

त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 तीन तरफ बराबर हैं। कोण A और A 1 इन त्रिभुजों के संगत कोण हैं। इसलिए, ∠CAB = C 1 A 1 B 1

अधिक स्पष्टता के लिए, आप समान निर्माणों पर अधिक विस्तार से विचार कर सकते हैं।

निर्माण उदाहरण दूसरा।

कार्य इस कोण के बराबर कोण को दी गई अर्ध-रेखा से दिए गए अर्ध-तल तक स्थगित करना भी रहता है।

निर्माण।

चरण 1।आइए एक मनमाना त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं और दिए गए कोण के शीर्ष A पर केन्द्रित करें। बी और सी को कोने के किनारों के साथ सर्कल के चौराहे के बिंदु होने दें। और चलो खंड BC बनाते हैं।

चरण 2।आइए बिंदु 0 पर केंद्रित त्रिज्या AB का एक वृत्त बनाएं - इस अर्ध-रेखा का प्रारंभिक बिंदु। किरण के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को B 1 से निरूपित किया जाएगा।

चरण 3।अब हम केंद्र B 1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करेंगे। मान लीजिए बिंदु 1 संकेतित अर्ध-तल में निर्मित वृत्तों का प्रतिच्छेदन है।

चरण 4।आइए बिंदु 0 से बिंदु 1 से होकर एक किरण खींचते हैं। कोण C 1 OB 1 वांछित होगा।

प्रमाण।

त्रिभुज ABC और OB 1 C 1 संगत भुजाओं वाले त्रिभुजों के बराबर हैं। और इसलिए कोण सीएबी और सी 1 ओबी 1 बराबर हैं।

रोचक तथ्य:

संख्या में।

आसपास की दुनिया की वस्तुओं में, आप सबसे पहले उनके व्यक्तिगत गुणों को नोटिस करते हैं जो एक वस्तु को दूसरी वस्तु से अलग करते हैं।

विशेष रूप से, व्यक्तिगत गुणों की प्रचुरता सभी वस्तुओं के लिए सामान्य गुणों की देखरेख करती है, और इसलिए ऐसे गुणों का पता लगाना हमेशा अधिक कठिन होता है।

वस्तुओं के सबसे महत्वपूर्ण सामान्य गुणों में से एक यह है कि सभी वस्तुओं को गिना और मापा जा सकता है। हम संख्या की अवधारणा में वस्तुओं की इस सामान्य संपत्ति को दर्शाते हैं।

लोगों ने गिनती की प्रक्रिया, यानी संख्या की अवधारणा को, बहुत धीरे-धीरे, सदियों से, अपने अस्तित्व के लिए एक जिद्दी संघर्ष में महारत हासिल की।

गिनने के लिए, किसी के पास न केवल गिनती के अधीन वस्तुएं होनी चाहिए, बल्कि पहले से ही इन वस्तुओं की जांच करते समय, संख्या को छोड़कर, उनके अन्य सभी गुणों से ध्यान हटाने की क्षमता होनी चाहिए, और यह क्षमता अनुभव के आधार पर एक लंबे ऐतिहासिक विकास का परिणाम है।

प्रत्येक व्यक्ति अब बचपन में भी अगोचर रूप से संख्याओं की मदद से गिनना सीख रहा है, लगभग उसी समय जब वह बोलना शुरू करता है, लेकिन हमारे लिए परिचित यह गिनती विकास का एक लंबा सफर तय कर चुकी है और विभिन्न रूप ले चुकी है।

एक समय था जब वस्तुओं को गिनने के लिए केवल दो अंकों का उपयोग किया जाता था: एक और दो। संख्या प्रणाली के आगे विस्तार की प्रक्रिया में, मानव शरीर के अंग और, सबसे पहले, उंगलियों को शामिल किया गया था, और यदि ऐसी "संख्याओं" की कमी थी, तो अधिक लाठी, कंकड़ और अन्य चीजें।

एन. एन. मिक्लुखो-मैकलेउसकी किताब में "यात्रा"न्यू गिनी के मूल निवासियों द्वारा इस्तेमाल की जाने वाली गिनती के एक अजीब तरीके के बारे में बात करता है:

प्रशन:

1. कोण की परिभाषा क्या है?
2. कोण कितने प्रकार के होते हैं?
3. व्यास और त्रिज्या में क्या अंतर है?

उपयोग किए गए स्रोतों की सूची:

1. के। मजूर "एम। आई। स्कैनवी द्वारा संपादित संग्रह के गणित में मुख्य प्रतियोगिता समस्याओं का समाधान"
2. गणितीय जानकार। बी 0 ए। कोर्डेम्स्की। मास्को।
3. एल। एस। अतानासियन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस। बी। कदोमत्सेव, ई। जी। पॉज़्न्याक, आई। आई। युदीना "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक"

सबक पर काम किया:

वी.एस. लेवचेंको

एस.ए. पोटर्नकी

आप आधुनिक शिक्षा के बारे में सवाल उठा सकते हैं, एक विचार व्यक्त कर सकते हैं या एक जरूरी समस्या का समाधान कर सकते हैं शैक्षिक मंचजहां ताजा विचार और कार्रवाई की एक शैक्षिक परिषद अंतरराष्ट्रीय स्तर पर मिलती है। बनाने से ब्लॉग,आप न केवल एक सक्षम शिक्षक के रूप में अपनी स्थिति को बढ़ाएंगे, बल्कि भविष्य के स्कूल के विकास में भी महत्वपूर्ण योगदान देंगे। गिल्ड ऑफ एजुकेशनल लीडर्सशीर्ष क्रम के विशेषज्ञों के लिए दरवाजे खोलता है और दुनिया में सर्वश्रेष्ठ स्कूल बनाने की दिशा में सहयोग के लिए आमंत्रित करता है।

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निर्माण कार्यों में, हम एक ज्यामितीय आकृति के निर्माण पर विचार करेंगे, जिसे एक शासक और एक कम्पास का उपयोग करके किया जा सकता है।

शासक का उपयोग करके, आप आकर्षित कर सकते हैं:

एक मनमाना सीधी रेखा;

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा;

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

कम्पास की सहायता से किसी दिए गए केंद्र से दिए गए त्रिज्या के एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

किसी दिए गए बिंदु से दी गई सीधी रेखा पर एक खंड को प्लॉट करने के लिए एक कम्पास का उपयोग किया जा सकता है।

मुख्य निर्माण कार्यों पर विचार करें।

उद्देश्य १.दिए गए भुजाओं a, b, c के साथ एक त्रिभुज की रचना कीजिए (आकृति 1)।

समाधान। एक रूलर का उपयोग करते हुए, एक मनमाना सीधी रेखा खींचिए और उस पर एक मनमाना बिंदु B लीजिए। a के बराबर कम्पास समाधान के साथ, हम केंद्र B और त्रिज्या a वाले एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए कि सीधी रेखा के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु C है। सी के बराबर एक कंपास समाधान के साथ, हम केंद्र बी से एक सर्कल का वर्णन करते हैं, और बी के बराबर एक कंपास समाधान के साथ - केंद्र सी से एक सर्कल। माना ए इन सर्कल के चौराहे का बिंदु है। त्रिभुज ABC की भुजाएँ a, b, c के बराबर हैं।

टिप्पणी। त्रिभुज की भुजाओं के रूप में काम करने के लिए तीन सीधी रेखा खंडों के लिए, यह आवश्यक है कि उनमें से बड़ा अन्य दो के योग से कम हो (और< b + с).

उद्देश्य २.

समाधान। शीर्ष A और बीम OM वाला यह कोण चित्र 2 में दिखाया गया है।

आइए किसी दिए गए कोण के शीर्ष A पर केंद्रित एक मनमाना वृत्त बनाएं। बी और सी को कोने के किनारों के साथ सर्कल के चौराहे के बिंदु होने दें (चित्र 3, ए)। त्रिज्या AB से, बिंदु O पर केंद्रित एक वृत्त खींचिए - इस किरण का प्रारंभिक बिंदु (चित्र 3, b)। इस किरण के साथ इस वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु 1 निर्दिष्ट किया जाएगा। आइए केंद्र 1 और त्रिज्या वाले एक वृत्त का वर्णन करें। दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन का बिंदु B 1 वांछित कोण के किनारे स्थित है। यह समानता Δ ABC = Δ 1 С 1 (त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह) से अनुसरण करता है।

उद्देश्य 3.इस कोण के समद्विभाजक की रचना कीजिए (आकृति 4)।

समाधान। किसी दिए गए कोण के शीर्ष A से, केंद्र से, मनमाना त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए कि B और C इसके कोने की भुजाओं के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। हम बिंदु B और C से समान त्रिज्या वाले वृत्तों का वर्णन करते हैं। मान लीजिए कि D उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु है, जो A से भिन्न है। किरण AD कोण A को आधे में विभाजित करती है। यह समानता Δ ABD = Δ ACD (त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह) से अनुसरण करता है।

कार्य 4.इस खण्ड का मध्य लम्ब खींचिए (चित्र 5)।

समाधान। कम्पास के मनमाने लेकिन समान उद्घाटन के साथ (बड़ा 1/2 AB), हम दो चापों का वर्णन करते हैं जिनके केंद्र बिंदु A और B पर हैं, जो कुछ बिंदुओं C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं। रेखा CD वांछित लंबवत होगी। वास्तव में, जैसा कि निर्माण से देखा जा सकता है, प्रत्येक बिंदु C और D, A और B से समान रूप से दूर है; इसलिए, ये बिंदु खंड AB के लंबवत मध्य बिंदु पर स्थित होने चाहिए।

कार्य 5.इस खंड को आधा में विभाजित करें। उसी तरह से हल करें जैसे समस्या 4 (चित्र 5 देखें)।

कार्य 6.इस बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचिए, जो इस सीधी रेखा के लंबवत हो।

समाधान। दो मामले संभव हैं:

1) एक दिया हुआ बिंदु 0 दी गई सीधी रेखा a पर स्थित है (चित्र 6)।

बिंदु 0 से हम एक मनमाना त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचते हैं जो सीधी रेखा a को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करता है। बिंदु A और B से हम समान त्रिज्या वाले वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए O 1 उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु है, जो O से भिन्न है। हमें OO 1 AB प्राप्त होता है। वास्तव में, बिंदु O और O 1 खंड AB के सिरों से समान दूरी पर हैं और इसलिए, इस खंड के लंबवत पर स्थित हैं।

ये है - सबसे पुरानी ज्यामितीय समस्या.

चरण-दर-चरण निर्देश

पहला रास्ता। - "गोल्डन" या "मिस्र" त्रिकोण की मदद से... इस त्रिभुज की भुजाओं का एक पक्षानुपात है 3: 4: 5, और कोण सख्ती से 90 डिग्री है... इस गुण का व्यापक रूप से प्राचीन मिस्रवासियों और अन्य प्राकृतियों द्वारा उपयोग किया जाता था।

चित्र .1। स्वर्ण, या मिस्र के त्रिभुज का निर्माण

• हम बनाते हैं तीन माप (या रस्सी परकार - दो कीलों या खूंटे पर एक रस्सी) 3 की लंबाई के साथ; 4; 5 मीटर... पूर्वजों ने अक्सर माप की इकाइयों के रूप में उनके बीच समान दूरी के साथ गांठ बांधने की विधि का इस्तेमाल किया। लंबाई की इकाई है " गांठ».
• हम बिंदु O पर एक खूंटी में ड्राइव करते हैं, हम उस पर "R3 - 3 समुद्री मील" माप लगाते हैं।
• हम रस्सी को ज्ञात सीमा के साथ खींचते हैं - प्रस्तावित बिंदु ए की ओर।
• सीमा रेखा पर तनाव के क्षण में - बिंदु ए, एक खूंटी में ड्राइव करें।
• फिर - फिर से बिंदु O से, हम माप R4 - दूसरी सीमा के साथ खींचते हैं। अभी तक पेग ड्राइव न करें।
• उसके बाद, हम R5 माप खींचते हैं - A से B तक।
• माप R2 और R3 के चौराहे पर हम एक खूंटी में ड्राइव करते हैं। - यह आवश्यक बिंदु B है - स्वर्ण त्रिभुज का तीसरा शीर्ष, भुजाओं ३; ४; ५ और . के साथ बिंदु O . पर एक समकोण के साथ.

दूसरा रास्ता। कम्पास का उपयोग करना.

कम्पास हो सकता है रस्सी या पैडोमीटर... से। मी:

हमारे पेडोमीटर कंपास में 1 मीटर का चरण होता है।

रेखा चित्र नम्बर 2। कम्पास पेडोमीटर

निर्माण - अंजीर के अनुसार भी। 1.

• संदर्भ बिंदु से - बिंदु ओ - पड़ोसी के कोण, हम मनमानी लंबाई का एक खंड खींचते हैं - लेकिन कम्पास की त्रिज्या से अधिक = 1 मीटर - केंद्र से प्रत्येक दिशा में (खंड एबी)।
• हम कम्पास के पैर को बिंदु O पर रखते हैं।
• त्रिज्या (कम्पास स्टेप) = 1 मी के साथ एक वृत्त बनाएं। यह छोटे चापों को खींचने के लिए पर्याप्त है - प्रत्येक 10-20 सेंटीमीटर, चिह्नित खंड के साथ चौराहे पर (अंक ए और बी के माध्यम से)। इस क्रिया से हमने पाया है केंद्र से समदूरस्थ बिंदु- ए और बी। यहां केंद्र से दूरी मायने नहीं रखती है। आप बस इन बिंदुओं को टेप माप से चिह्नित कर सकते हैं।
• इसके बाद, आपको बिंदु ए और बी पर केंद्रों के साथ चाप खींचने की जरूरत है, लेकिन कुछ हद तक (मनमाने ढंग से) आर = 1 मीटर से बड़ा त्रिज्या। आप हमारे कंपास को एक बड़े दायरे में फिर से समायोजित कर सकते हैं यदि इसमें एक समायोज्य कदम है। लेकिन इतने छोटे वर्तमान कार्य के लिए, मैं उसे "खींचना" नहीं चाहूंगा। या जब कोई नियमन नहीं है। आधे मिनट में किया जा सकता है रस्सी कम्पास.
• हम पहली कील (या 1 मीटर से अधिक त्रिज्या वाले कम्पास के पैर) को बारी-बारी से बिंदु A और B पर रखते हैं। और हम दूसरी कील के साथ दो चाप खींचते हैं - रस्सी की एक तना हुआ अवस्था में, दो चाप - ताकि वे एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। यह दो बिंदुओं पर संभव है: सी और डी, लेकिन एक पर्याप्त है - सी। और फिर से छोटे सेरिफ़ बिंदु सी पर चौराहे पर पर्याप्त हैं।
• बिंदु C और D से होकर एक सीधी रेखा (खंड) खींचिए।
• हर चीज़! परिणामी खंड, या सीधी रेखा, है सटीक दिशाउत्तर पर :)। माफ़ करना, - समकोण पर.
• यह आंकड़ा पड़ोसी की साइट के लिए सीमा बेमेल के दो मामलों को दिखाता है। चित्र 3ए एक ऐसा मामला दिखाता है जब एक पड़ोसी की बाड़ वांछित दिशा से अपने आप को नुकसान की ओर ले जाती है। 3बी पर - वह आपकी साइट पर चढ़ गया। स्थिति 3ए में, दो "मार्गदर्शक" बिंदुओं का निर्माण करना संभव है: सी और डी दोनों। 3 बी पर, केवल सी।
• कोने O पर एक खूंटी और C पर एक अस्थायी खूंटी रखें, और एक कॉर्ड को C से लॉट के पीछे तक फैलाएं। - ताकि कॉर्ड मुश्किल से खूंटी ओ को छू सके। बिंदु ओ से - दिशा डी में, मास्टर प्लान के अनुसार साइड की लंबाई को मापने के बाद, आपको सेक्शन का एक विश्वसनीय रियर राइट कॉर्नर मिलेगा।

अंजीर। 3. एक समकोण का निर्माण - एक कंपास-पेडोमीटर और एक रस्सी कंपास का उपयोग करके पड़ोसी के कोने से

यदि आपके पास पेडोमीटर कंपास है, तो आप बिना रस्सी के कर सकते हैं... पिछले उदाहरण में, हमने पेडोमीटर की तुलना में बड़े त्रिज्या वाले चाप खींचने के लिए रस्सी का उपयोग किया था। अधिक क्योंकि ये चाप कहीं न कहीं प्रतिच्छेद करते हैं। चापों को उनके प्रतिच्छेदन की गारंटी के साथ एक ही त्रिज्या - 1m के साथ एक पेडोमीटर के साथ खींचा जाने के लिए, यह आवश्यक है कि बिंदु A और B, R = 1m के साथ एक वृत्त के अंदर हों।

• मापें तो ये समदूरस्थ बिंदु नापने का फ़ीता- केंद्र से अलग-अलग दिशाओं में, लेकिन हमेशा एबी लाइन (पड़ोसी की बाड़ रेखा) के साथ। ए और बी केंद्र के करीब हैं, इससे आगे दिशा बिंदु हैं: सी और डी, और माप जितना सटीक होगा। आकृति में, यह दूरी पेडोमीटर त्रिज्या = 260 मिमी के लगभग एक चौथाई मानी जाती है।

अंजीर। 4. पेडोमीटर और टेप माप का उपयोग करके एक समकोण बनाना

• किसी भी आयत का निर्माण करते समय क्रियाओं की यह योजना कम प्रासंगिक नहीं है, विशेष रूप से, एक आयताकार नींव का समोच्च। आप इसे एकदम सही पाएंगे। बेशक, इसके विकर्णों की जाँच की जानी चाहिए, लेकिन क्या प्रयास कम नहीं हो रहे हैं? - इसकी तुलना में, जब नींव के कंटूर के विकर्ण, कोने और किनारे आगे-पीछे चलते हैं, जब तक कि कोने एकाग्र नहीं हो जाते..

दरअसल, हमने पृथ्वी पर एक ज्यामितीय समस्या हल कर ली है। साइट पर अपने कार्यों को और अधिक आत्मविश्वासी बनाने के लिए, कागज पर अभ्यास करें - एक साधारण कम्पास का उपयोग करके। जो मूल रूप से अलग नहीं है।

अक्सर एक कोण बनाना ("बिल्ड") करना आवश्यक होता है जो किसी दिए गए कोण के बराबर होगा, और निर्माण एक प्रोट्रैक्टर की मदद के बिना किया जाना चाहिए, लेकिन केवल एक कंपास और एक शासक का उपयोग करना चाहिए। तीन भुजाओं पर त्रिभुज बनाने का तरीका जानने के बाद, हम इस समस्या को हल करने में सक्षम होंगे। एक सीधी रेखा में चलो एम.एन.(चित्र 60 और 61) आपको बिंदु पर निर्माण करने की आवश्यकता है ककोण के बराबर कोण बी... इसका मतलब है कि यह बिंदु से आवश्यक है कके साथ एक सीधी रेखा घटक ड्रा करें एम.एन.कोण बराबर बी.

ऐसा करने के लिए, इस कोने के प्रत्येक तरफ बिंदु से चिह्नित करें, उदाहरण के लिए लेकिनतथा साथ, और कनेक्ट लेकिनतथा साथसरल रेखा। हमें एक त्रिभुज मिलता है एबीसी... अब हम एक सीधी रेखा पर निर्माण करते हैं एम.एन.यह त्रिभुज ताकि इसका शीर्ष मेंबिंदु पर था प्रति: तो इस बिंदु पर कोण के बराबर कोण होगा में... तीन भुजाओं पर एक त्रिभुज बनाएँ वी.एस., वीएतथा जैसाहम कर सकते हैं: बिंदु से स्थगित करें (चित्र 62)। प्रतिरेखा खंड केएल,बराबरी का रवि; मुद्दा समझो ली; चारों तरफ क, केंद्र के निकट के रूप में, हम एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त का वर्णन करते हैं वीएऔर आसपास एल - RADIUS सीए... बिंदु आरमंडलियों के चौराहे जुड़े हुए हैं प्रतिऔर Z, - हमें एक त्रिभुज प्राप्त होता है पीएल,त्रिभुज के बराबर एबीसी; इसमें एक कोना है प्रति= वाई। में.

ऊपर से अगर यह निर्माण तेज और अधिक सुविधाजनक है मेंसमान खंडों को स्थगित करें (कम्पास के एक विघटन के साथ) और, अपने पैरों को हिलाए बिना, समान त्रिज्या वाले बिंदु के चारों ओर वृत्त का वर्णन करें प्रति,केंद्र के पास के रूप में।

एक कोण को आधे में कैसे विभाजित करें

मान लीजिए आप कोण को विभाजित करना चाहते हैं लेकिन(अंजीर। 63) दो बराबर भागों में एक कंपास और एक शासक का उपयोग करके, बिना प्रोट्रैक्टर का उपयोग किए। हम आपको दिखाएंगे कि यह कैसे करना है।

ऊपर से लेकिनकोने के किनारों पर समान खंड सेट करें अबतथा जैसा(चित्र 64; यह कम्पास के एक उद्घाटन के साथ किया जाता है)। फिर हम कंपास की नोक को बिंदुओं पर रखते हैं मेंतथा साथऔर बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाले समान त्रिज्या चापों द्वारा वर्णन करें डी।सीधे जुड़ना लेकिनऔर D कोण को विभाजित करता है लेकिनआधे में।

ऐसा क्यों है आइए हम बताते हैं। अगर बिंदु डीसाथ जुडा हुआ मेंऔर C (आकृति 65), तो आपको दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं एडीसीतथा एडीबी, वाईजिसका एक सामान्य पक्ष है विज्ञापन; पक्ष अबभुजा के बराबर जैसा, लेकिन डीके बराबर है सीडी.तीन भुजाओं पर त्रिभुज बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि कोण भी बराबर हैं बुरातथा डीएसी,विपरीत दिशाए डीतथा सीडी... इसलिए, सीधी रेखा विज्ञापनकोने को विभाजित करता है आपआधे में।

अनुप्रयोग

12. बिना चाँदे के 45° के कोण की रचना कीजिए। 22°30' पर। 67°30' पर।

हल: समकोण को आधे में विभाजित करने पर हमें 45° का कोण प्राप्त होता है। 45° के कोण को आधे में विभाजित करने पर हमें 22° 30' का कोण प्राप्त होता है। 45° + 22° 30' कोणों के योग की रचना करने पर हमें 67° 30' का कोण प्राप्त होता है।

दो पक्षों और उनके बीच एक कोण पर त्रिभुज कैसे बनाएं

दो स्थलों के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए जमीन पर इसकी आवश्यकता होती है लेकिनतथा में(लानत 66), एक अभेद्य दलदल से अलग।

यह कैसे करना है?

हम यह कर सकते हैं: दलदल से अलग एक बिंदु चुनें। साथजहां से दोनों मील के पत्थर दिखाई दे रहे हैं और दूरियों को मापना संभव है जैसातथा रवि।इंजेक्शन साथहम इसे एक विशेष गोनियोमीटर (जिसे एस्ट्रोलैब और ईआई कहते हैं) का उपयोग करके मापते हैं। इन आंकड़ों के अनुसार, यानी मापी गई भुजाओं के साथ एसीतथा रविऔर कोने साथउनके बीच, एक त्रिभुज बनाएँ एबीसीएक सुविधाजनक स्थान पर इस प्रकार है। उदाहरण के लिए, एक ज्ञात भुजा को एक सीधी रेखा (चित्र 67) में मापना जैसा, इसके साथ बिंदु पर निर्माण करें साथइंजेक्शन साथ; इस कोने के दूसरी ओर, ज्ञात भुजा को मापें रवि।ज्ञात भुजाओं के सिरे, अर्थात् बिंदु लेकिनतथा मेंएक सीधी रेखा से कनेक्ट करें। यह एक त्रिभुज निकलता है जिसमें दोनों पक्षों और उनके बीच के कोण में पहले से निर्दिष्ट आयाम होते हैं।

निर्माण की विधि से यह स्पष्ट है कि केवल दो पक्षों और उनके बीच के कोण पर एक त्रिभुज बनाया जा सकता है। इसलिए, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे की दो भुजाओं के बराबर हों और इन भुजाओं के बीच के कोण समान हों, तो ऐसे त्रिभुजों को सभी बिंदुओं द्वारा एक-दूसरे पर आरोपित किया जा सकता है, अर्थात उनका तीसरा भी बराबर होना चाहिए। पक्ष और अन्य कोण। इसका अर्थ यह है कि त्रिभुजों की दो भुजाओं की समानता और उनके बीच का कोण इन त्रिभुजों की पूर्ण समानता के संकेत के रूप में कार्य कर सकता है। संक्षेप में:

एक तरफ तीन कोण और एक कोने से दूसरी तरफ।