समूहन - यह आबादी का एक समूह है जो कुछ मानदंड से सजातीय है।

सेवा का उद्देश्य। आप कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग:

• एक परिवर्तन श्रृंखला बनाएँएक हिस्टोग्राम और बहुभुज का निर्माण;
• भिन्नता के संकेतक (औसत, फ़ैशन) (रेखांकन सहित), माध्यिका, भिन्नता की सीमा, चतुर्थक, डिकाइल, चतुर्थक विभेदन गुणांक, भिन्नता के गुणांक और अन्य संकेतक) का पता लगाएं;

अनुदेश किसी श्रृंखला को समूहीकृत करने के लिए, परिणामी भिन्नता श्रृंखला के प्रकार (असतत या अंतराल) का चयन करना आवश्यक है और डेटा की मात्रा (पंक्तियों की संख्या) का संकेत देना चाहिए। परिणामी समाधान एक वर्ड फ़ाइल में सहेजा जाता है (समूह के आंकड़ों का एक उदाहरण देखें)।

स्रोत डेटा की मात्रा
",0);">

यदि समूहीकरण पूरा हो चुका है और सेट हो गया है असतत भिन्नता श्रृंखला या अंतराल पंक्ति, तब आपको ऑनलाइन कैलकुलेटर भिन्नता संकेतक का उपयोग करने की आवश्यकता है। वितरण परिकल्पना परीक्षण वितरण प्रपत्र की सेवा अध्ययन का उपयोग करके बनाया गया।

सांख्यिकीय समूहों के प्रकार

विविधता श्रृंखला। असतत यादृच्छिक चर की टिप्पणियों के मामले में, एक ही मूल्य कई बार पाया जा सकता है। यादृच्छिक चर के ऐसे मानों को n के साथ दर्ज किया जाता है i n टिप्पणियों में यह जितनी बार दिखाई देता है, यह इस मूल्य की आवृत्ति है।
एक सतत यादृच्छिक चर के मामले में, समूहन का उपयोग अभ्यास में किया जाता है।

1. ठेठ समूहन - यह वर्गों, सामाजिक-आर्थिक प्रकार, इकाइयों के सजातीय समूहों में गुणात्मक विषम जनसंख्या का विभाजन है। इस समूहीकरण का निर्माण करने के लिए, असतत भिन्नता श्रृंखला पैरामीटर का उपयोग करें।
2. समूहन को संरचनात्मक कहा जाता हैजिसमें सजातीय आबादी को कुछ अलग-अलग विशेषताओं के अनुसार इसकी संरचना में विभाजित किया जाता है। इस समूहीकरण का निर्माण करने के लिए, अंतराल पंक्ति पैरामीटर का उपयोग करें।
3. समूह अध्ययन किए गए घटना और उनके संकेतों के बीच के संबंध को प्रकट करता है विश्लेषणात्मक समूह (एक श्रृंखला के विश्लेषणात्मक समूह देखें)।

सांख्यिकीय समूहों के निर्माण के सिद्धांत

आरोही क्रम में आदेशित टिप्पणियों की एक श्रृंखला को परिवर्तनशील श्रृंखला कहा जाता है. समूह चिन्ह एक संकेत जिसे आबादी को अलग-अलग समूहों में विभाजित किया जाता है। इसे समूह का आधार कहा जाता है। समूहन मात्रात्मक और गुणात्मक दोनों विशेषताओं पर आधारित हो सकता है।
समूह का आधार निर्धारित करने के बाद, उन समूहों की संख्या का मुद्दा जिसमें अध्ययन की गई जनसंख्या को विभाजित किया जाना चाहिए, का समाधान किया जाना चाहिए।

सांख्यिकीय डेटा को संसाधित करने के लिए व्यक्तिगत कंप्यूटरों का उपयोग करते समय, यूनिट इकाइयों को मानक प्रक्रियाओं का उपयोग करके समूहीकृत किया जाता है।
इनमें से एक प्रक्रिया समूहों की इष्टतम संख्या निर्धारित करने के लिए स्टर्गेस सूत्र के उपयोग पर आधारित है:

k \u003d 1 + 3.322 * लॉग (N)

जहाँ k समूहों की संख्या है, N जनसंख्या की इकाइयों की संख्या है।

आंशिक अंतराल की लंबाई की गणना h \u003d (x अधिकतम -x मिनट) / k के रूप में की जाती है

फिर इन अंतरालों में टिप्पणियों की संख्या की गणना करें, जो आवृत्ति n i के लिए ली गई हैं। 5 (n i) से कम मूल्यों वाली छोटी आवृत्तियाँ< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
अंतराल के मध्य मान x i \u003d (c i-1 + c i) / 2 को नए मान के रूप में लिया जाता है।

गणितीय आँकड़ों का विषय। सामान्य और नमूना जनसंख्या।

— गणितीय सांख्यिकी- गणित का एक भाग जो वैज्ञानिक रूप से आधारित निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए सांख्यिकीय डेटा को चुनने, समूहीकरण, व्यवस्थित करने और विश्लेषण करने के तरीकों का अध्ययन करता है।

— सांख्यिकीय डेटा- एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणामस्वरूप प्राप्त की गई अध्ययन की गई वस्तुओं की अनुमानित विशेषता का संख्यात्मक मान।

गणितीय आँकड़ों का निकटता प्रायिकता सिद्धांत से होता है, लेकिन संभाव्यता सिद्धांत के विपरीत, एक प्रयोग का गणितीय मॉडल अज्ञात है। गणितीय आंकड़ों में, सांख्यिकीय आंकड़ों के अनुसार, अज्ञात संभावना वितरण को स्थापित करना या वितरण मापदंडों का निष्पक्ष मूल्यांकन करना आवश्यक है।

गणितीय आँकड़ों के तरीके आपको सामूहिक, दोहरावदार घटनाओं के इष्टतम गणितीय मॉडल बनाने की अनुमति देते हैं। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों के बीच जुड़ने की संभावना संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय है।

वर्तमान में, सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग अर्थव्यवस्था के लगभग सभी क्षेत्रों में किया जाता है।

— सामान्य जनसंख्या- सभी अध्ययन किए गए ऑब्जेक्ट्स के सांख्यिकीय डेटा (कभी-कभी - ऑब्जेक्ट स्वयं)। अक्सर आबादी को सीबी एक्स माना जाता है।

— नमूना (नमूना जनसंख्या) - सामान्य जनसंख्या से यादृच्छिक रूप से चयनित वस्तुओं का सांख्यिकीय डेटा।

— नमूने का आकार n (कुल जनसंख्या एन) - सामान्य आबादी (सामान्य आबादी में वस्तुओं की संख्या) से अध्ययन के लिए चयनित वस्तुओं की संख्या।

उदाहरण.

तथा) सांख्यिकीय डेटा हो सकता है: छात्र वृद्धि; एक निश्चित लंबाई के पाठ के पारित होने में क्रियाओं (या भाषण के अन्य भागों) की संख्या; प्रमाणपत्र का औसत निशान; बुद्धि का स्तर; प्रेषणकर्ता द्वारा की गई त्रुटियों की संख्या, आदि।

ख) सामान्य जनसंख्या हो सकता है: सभी लोगों की वृद्धि, सभी कारखाने के कर्मचारियों की रैंक, अध्ययन किए गए लेखक के सभी कार्यों में भाषण के एक निश्चित हिस्से का उपयोग करने की आवृत्ति, सभी स्नातकों के प्रमाण पत्र का औसत निशान आदि।

पर) सैम्पलिंगहो सकता है: - 20 छात्रों की वृद्धि, पाठ के मनमाने ढंग से चयनित क्रियाओं की संख्या 500 शब्द उपयोग की लंबाई के साथ पाठ के सजातीय मार्ग, 100 स्नातकों के प्रमाण पत्र का औसत निशान, शहर के स्कूलों से बेतरतीब ढंग से चयनित, आदि।

नमूना कहा जाता है प्रतिनिधियदि यह जनसंख्या की संपत्ति को सही ढंग से दर्शाता है। नमूने की अभ्यावेदन चयन की यादृच्छिकता द्वारा प्राप्त किया जाता है, जब सामान्य आबादी की सभी वस्तुओं को चयनित होने की समान संभावना होती है।

नमूना प्रतिनिधि होने के लिए, अध्ययन की वस्तुओं के चयन के विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है।

चयन के प्रकार: सरल, यांत्रिक, धारावाहिक, ठेठ।

मैदान। पूरी आबादी के तत्वों को मनमाने ढंग से चुना जाता है।

यांत्रिक चयन। प्रत्येक 10 (25, 30, आदि) वस्तु का चयन सामान्य जनसंख्या से किया जाता है।

धारावाहिक। प्रत्येक श्रृंखला में एक अध्ययन किया जाता है (उदाहरण के लिए, 500 शब्द-उपयोग के 10 मार्ग चुने गए हैं - 10 श्रृंखला)।

ठेठ। एक निश्चित विशेषता के अनुसार जनसंख्या को विशिष्ट समूहों में विभाजित किया गया है। ऐसे प्रत्येक समूह से निकाली गई श्रृंखला की संख्या सामान्य आबादी में इस समूह के विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्धारित की जाती है।

नमूना का सांख्यिकीय वितरण और इसके ग्राफिक प्रतिनिधित्व।

कुछ विशेषताओं के संबंध में CB X का अध्ययन (सामान्य जनसंख्या) करें। कई स्वतंत्र परीक्षण किए जा रहे हैं। प्रयोगों के परिणामस्वरूप, सीबी एक्स कुछ मूल्यों को मानता है। प्राप्त मूल्यों की समग्रता एक नमूना है, और मूल्य स्वयं सांख्यिकीय डेटा हैं।

प्रारंभ में, नमूना रैंकिंग को अंजाम दिया जाता है - गैर-घटते नमूने के सांख्यिकीय आंकड़ों का स्थान। हमें एक भिन्नता श्रृंखला मिलती है।

विविधता श्रृंखला - रैंक नमूना।

असतत आँकड़े

यदि जनसंख्या असतत एसटी है, तो एक असतत सांख्यिकीय श्रृंखला (सांख्यिकीय वितरण) निर्मित होती है।

नमूना समय में मान प्रकट होने दें,

एक एक।

मैं-वें विकल्प नमूने; - आवृत्तिi-th विकल्प आवृत्ति दिखाता है कि नमूना में यह विकल्प कितनी बार दिखाई दिया।

- सापेक्ष आवृत्ति i-विकल्प

(दिखाता है कि नमूने का क्या हिस्सा है)।

सांख्यिकीय वितरण नमूना विकल्पों और उनकी आवृत्तियों या सापेक्ष आवृत्तियों के बीच पत्राचार है।

डीएसए के लिए, सांख्यिकीय वितरण को तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है - आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला या सापेक्ष आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला।

आवृत्तियों की सांख्यिकीय श्रृंखला सांख्यिकीय श्रृंखला

सापेक्ष आवृत्तियों

			........
			........

			........
			........

स्पष्टता के लिए, नमूना के सांख्यिकीय वितरण की प्रस्तुति सांख्यिकीय वितरण के "रेखांकन" का निर्माण किया जाता है: बहुभुज और हिस्टोग्राम।

आवृत्ति सीमा (सापेक्ष आवृत्तियों) - एक असतत सांख्यिकीय श्रृंखला की चित्रमय छवि - श्रृंखला में बिंदुओं को जोड़ने वाली एक टूटी हुई रेखा [सापेक्ष आवृत्तियों बहुभुज के लिए]।

उदाहरण। शोधकर्ता गणित में आवेदकों के ज्ञान में रुचि रखते हैं। 10 आवेदकों का चयन किया गया है और इस विषय में उनके स्कूल ग्रेड दर्ज किए गए हैं। निम्नलिखित नमूना प्राप्त किया गया था: 5; 4; 4; 3; 2; 5; 4; 3; 4; 5;

ए) एक विविधता श्रृंखला के रूप में नमूना पेश करें;

बी) आवृत्तियों और सापेक्ष आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला का निर्माण;

ग) परिणामस्वरूप श्रृंखला के लिए सापेक्ष आवृत्तियों का बहुभुज बनाएं।

ए) हम नमूना रैंक करेंगे, अर्थात। गैर-घटते नमूने के सदस्यों की व्यवस्था करें। हमें एक भिन्नता श्रृंखला मिलती है: 2; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; ५; ५।

ख) हम आवृत्तियों (नमूना विकल्पों और उनकी आवृत्तियों के बीच पत्राचार) और सापेक्ष आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला (नमूना विकल्पों और उनके सापेक्ष आवृत्तियों के बीच पत्राचार) का निर्माण करेंगे।

	0,1	0,2	0,4	0,3

आवृत्तियों की सांख्यिकीय श्रृंखला सांख्यिकीय श्रृंखला से संबंधित है। आवृत्तियों

1 + 2 + 4 + 3 \u003d 10 \u003d n 0.1 + 0.2 + 0.4 + 0.3 \u003d 1।

सापेक्ष आवृत्तियों के बहुभुज।

प्रयोगशाला का काम नंबर १। सांख्यिकी का प्राथमिक प्रसंस्करण

भवन वितरण पंक्तियाँ

किसी एक विशेषता के अनुसार समूहों में जनसंख्या इकाइयों का आदेशित वितरण कहा जाता है वितरण के पास । इसके अलावा, संकेत दोनों मात्रात्मक हो सकता है, फिर श्रृंखला कहा जाता है परिवर्तन संबंधी गुणवत्ता, तो पंक्ति कहा जाता है ठहराव । उदाहरण के लिए, एक शहर की जनसंख्या को एक परिवर्तन श्रृंखला में आयु वर्ग के आधार पर वितरित किया जा सकता है, या विशेषता श्रृंखला में पेशेवर संबद्धता द्वारा (बेशक, आप अभी भी वितरण श्रृंखला के निर्माण के लिए कई गुणात्मक और मात्रात्मक विशेषताओं की पेशकश कर सकते हैं, एक विशेषता का चुनाव सांख्यिकीय अनुसंधान के कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है)।

किसी भी वितरण श्रृंखला में दो तत्व होते हैं:

- विकल्प(x i) - ये नमूने की इकाइयों की विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य हैं। एक संस्करण की एक वैचारिक श्रृंखला के लिए, यह संख्यात्मक मान लेता है, एक उत्तरदायी के लिए, यह गुणात्मक मान लेता है (उदाहरण के लिए, x \u003d "सिविल सेवक");

- आवृत्ति (एन मैं) एक संख्या है जो यह दर्शाती है कि किसी चिन्ह का विशेष मूल्य कितनी बार होता है। यदि आवृत्ति किसी सापेक्ष संख्या (यानी, जनसंख्या के कुल आयतन में दिए गए मूल्य के अनुरूप जनसंख्या के तत्वों का अंश) द्वारा व्यक्त की जाती है, तो इसे कहा जाता है सापेक्ष आवृत्तिया आवृत्ति.

विविधता श्रृंखला हो सकती है:

- अलगजब अध्ययन किया जा रहा है, तो एक निश्चित संख्या (आमतौर पर पूर्णांक) की विशेषता है।

- मध्यान्तरजब सीमाओं को "से" और "से" एक निरंतर बदलती विशेषता के लिए परिभाषित किया जाता है। अंतराल श्रृंखला का निर्माण भी किया जाता है यदि असतत चर विशेषता के मूल्यों का सेट बड़ा है।

अंतराल श्रृंखला समान लंबाई (समान अंतराल श्रृंखला) के अंतराल और असमान अंतराल के साथ दोनों का निर्माण किया जा सकता है, अगर यह सांख्यिकीय अध्ययन की शर्तों द्वारा निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, निम्न अंतराल पर जनसंख्या आय वितरण की एक श्रृंखला पर विचार किया जा सकता है:<5тыс р., 5-10 тыс р., 10-20 тыс.р., 20-50 тыс р., и т.д. Если цель исследования не определяет способ построения интервального ряда, то строится равноинтервальный ряд, число интервалов в котором определяется по формуле Стерджесса:

जहां k अंतरालों की संख्या है, n नमूना आकार है। (बेशक, सूत्र आमतौर पर एक भिन्न संख्या देता है, और परिणामी संख्या के निकटतम पूर्णांक को अंतराल की संख्या के रूप में चुना जाता है।) इस मामले में अंतराल की लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है।

.

रेखीय रूप से भिन्नता श्रंखला का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है बार चार्ट (इस अंतराल में आवृत्ति के अनुरूप ऊंचाई का "स्तंभ" अंतराल श्रृंखला के प्रत्येक अंतराल के ऊपर बनाया गया है), बहुभुज वितरण (बिंदुओं को जोड़ने वाली टूटी लाइन ( x i;n i) या तो संचयी (इसे संचित आवृत्तियों के आधार पर बनाया गया है, अर्थात, प्रत्येक विशेषता मान के लिए, वस्तुओं के कुल में होने वाली आवृत्ति को इस विशेषता से कम मान लिया जाता है)।

जब एक्सेल में काम करते हैं, तो निम्न कार्यों का उपयोग परिवर्तनशील श्रृंखला बनाने के लिए किया जा सकता है:

स्कोर( डेटा सरणी) - नमूना आकार निर्धारित करने के लिए। तर्क उन कोशिकाओं की श्रेणी है जिनमें नमूना डेटा स्थित है।

COUNTIF ( सीमा; मापदंड) - इसका उपयोग एक जिम्मेदार या परिवर्तनशील श्रृंखला के निर्माण के लिए किया जा सकता है। तर्क विशेषता के नमूना मूल्यों की श्रेणी की सीमा है और मानदंड विशेषता या उस सेल की संख्या का संख्यात्मक या पाठ मान है जिसमें यह स्थित है। परिणाम वह आवृत्ति है जिसके साथ यह मान नमूने में दिखाई देता है।

आवृत्ति ( डेटा सरणी; अंतराल की सरणी) - एक परिवर्तनशील श्रृंखला के निर्माण के लिए। तर्क नमूना डेटा सरणी और अंतराल कॉलम की सीमा है। यदि आप एक असतत श्रृंखला का निर्माण करना चाहते हैं, तो विकल्प यहां दिए गए हैं, यदि अंतराल - तो अंतराल की ऊपरी सीमाएं (उन्हें "जेब" भी कहा जाता है)। चूंकि परिणाम एक आवृत्ति कॉलम है, फ़ंक्शन का परिचय CTRL + SHIFT + ENTER दबाकर पूरा किया जाना चाहिए। ध्यान दें कि फ़ंक्शन शुरू करते समय अंतराल की एक सरणी निर्दिष्ट करते हुए, आप इसमें अंतिम मान छोड़ सकते हैं - सभी मूल्य जो पिछले "पॉकेट" में नहीं गिरते थे, उन्हें "पॉकेट" में रखा जाएगा। कभी-कभी यह इस त्रुटि से बचने में मदद करता है कि सबसे बड़ा नमूना मूल्य स्वचालित रूप से अंतिम "पॉकेट" में फिट नहीं होता है

इसके अलावा, जटिल समूहों के लिए (कई कारणों से) "पिवट टेबल" टूल का उपयोग करें। उन्हें एट्रिक्टिव और वैरिएबल सीरीज़ के निर्माण के लिए भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन यह अनावश्यक रूप से कार्य को जटिल बनाता है। इसके अलावा, एक परिवर्तन श्रृंखला और एक हिस्टोग्राम के निर्माण के लिए, "विश्लेषण पैकेज" ऐड-इन (एक्सेल में ऐड-इन का उपयोग करने के लिए, "हिस्टोग्राम" प्रक्रिया है, आपको पहले उन्हें लोड करना होगा, डिफ़ॉल्ट रूप से वे स्थापित नहीं हैं)

हम निम्नलिखित उदाहरणों का उपयोग करके प्राथमिक डेटा प्रोसेसिंग की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

उदाहरण १.१। 60 परिवारों की मात्रात्मक संरचना पर डेटा हैं।

विविधता श्रृंखला और वितरण बहुभुज बनाएं

फेसला.

एक्सेल स्प्रेडशीट खोलें। हम A1: L5 रेंज में डेटा की एक सरणी पेश करते हैं। यदि आप इलेक्ट्रॉनिक रूप में एक दस्तावेज़ का अध्ययन कर रहे हैं (उदाहरण के लिए वर्ड प्रारूप में), तो बस डेटा के साथ तालिका का चयन करें और इसे बफर में कॉपी करें, फिर सेल A1 चुनें और डेटा पेस्ट करें - वे स्वचालित रूप से उपयुक्त सीमा पर कब्जा कर लेंगे। हम नमूना आकार n - नमूना डेटा की संख्या की गणना करते हैं; इसके लिए सेल B7 में हम सूत्र \u003d COUNT (A1: L5) का परिचय देते हैं। ध्यान दें कि सूत्र में वांछित सीमा दर्ज करने के लिए, कीबोर्ड से इसके पदनाम को दर्ज करना आवश्यक नहीं है, यह चयन करने के लिए पर्याप्त है। हम सेल B8 फॉर्मूला \u003d MIN (A1: L5), और सेल B9: \u003d MAX (A1: L5) में दर्ज करके नमूने में न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों को परिभाषित करते हैं।

अंजीर। 1.1 उदाहरण 1. एक्सेल तालिकाओं में सांख्यिकीय डेटा का प्रारंभिक प्रसंस्करण

अगला, हम अंतराल (मान) और आवृत्तियों के स्तंभ के लिए नाम दर्ज करके वैरिएबल श्रृंखला के निर्माण के लिए एक तालिका तैयार करेंगे। अंतराल के स्तंभ में, हम न्यूनतम (1) से अधिकतम (6) तक विशेषता मान दर्ज करते हैं, सीमा 12: 17 को लेते हैं। आवृत्ति कॉलम का चयन करें, सूत्र \u003d FREQUENCY (A1: L5; B12: B17) दर्ज करें और CTRL + SHIFT + ENTER दबाएँ

अंजीर। 1.2 उदाहरण 1. एक परिवर्तन श्रृंखला का निर्माण

नियंत्रण के लिए, हम SUM फ़ंक्शन ("होम" टैब पर "संपादन" समूह में फ़ंक्शन आइकन S) का उपयोग करके आवृत्तियों की गणना करते हैं, गणना की गई राशि सेल बी 7 में पहले से गणना किए गए नमूना आकार के साथ मेल खाना चाहिए।

अब चलो बहुभुज का निर्माण करते हैं: प्राप्त आवृत्ति रेंज का चयन करते हुए, "इंसर्ट" टैब पर "ग्राफ़" कमांड चुनें। डिफ़ॉल्ट रूप से, क्षैतिज अक्ष पर मूल्य क्रमिक संख्या होंगे - हमारे मामले में, 1 से 6 तक, जो विकल्पों के मूल्यों (टैरिफ श्रेणी संख्या) के साथ मेल खाता है।

चार्ट श्रृंखला "पंक्ति 1" का नाम या तो "डिज़ाइन" टैब पर समान "चुनिंदा डेटा" विकल्प का उपयोग करके बदला जा सकता है, या बस हटा दिया जा सकता है।

अंजीर। 1.3। उदाहरण 1. एक आवृत्ति बहुभुज का निर्माण

उदाहरण 1.2। 50 स्रोतों से प्रदूषक उत्सर्जन के आंकड़े हैं:

10,4	18,6	10,3	26,0	45,0	18,2	17,3	19,2	25,8	18,7
28,2	25,2	18,4	17,5	41,8	14,6	10,0	37,8	10,5	16,0
18,1	16,8	38,5	37,7	17,9	29,0	10,1	28,0	12,0	14,0
14,2	20,8	13,5	42,4	15,5	17,9	19,	10,8	12,1	12,4
12,9	12,6	16,8	19,7	18,3	36,8	15,0	37,0	13,0	19,5

एक समान-से-अंतराल श्रृंखला बनाएं, एक हिस्टोग्राम की साजिश करें

फेसला

हम एक्सेल वर्कशीट में डेटा ऐरे को जोड़ते हैं, यह A1: J5 रेंज पर कब्जा कर लेगा। पिछले कार्य के अनुसार, हम सैंपल साइज n, सैंपल में न्यूनतम और अधिकतम मान निर्धारित करते हैं। चूंकि अब इसे असतत नहीं, बल्कि अंतराल श्रृंखला की आवश्यकता है, और समस्या में अंतराल की संख्या निर्दिष्ट नहीं है, हम स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके अंतराल की संख्या की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, सेल B10 में हम सूत्र \u003d 1 + 3.322 * LOG10 (B7) का परिचय देते हैं।

अंजीर। 1.4। उदाहरण 2. सम-अंतराल श्रृंखला का निर्माण

परिणामी मूल्य एक पूर्णांक नहीं है, यह लगभग 6.64 है। चूँकि k \u003d 7 के लिए, अंतराल की लंबाई एक पूर्णांक (केस k \u003d 6 के विपरीत) के रूप में व्यक्त की जाएगी, हम सेल C10 में इस मान को दर्ज करके k \u003d 7 चुनते हैं। अंतराल बी की लंबाई की गणना सेल B11 में सूत्र \u003d (B9-B8) / C10 दर्ज करके की जाती है।

हम अंतराल की एक सरणी को परिभाषित करते हैं, प्रत्येक 7 अंतराल के लिए एक ऊपरी सीमा को दर्शाता है। ऐसा करने के लिए, सेल E8 में, हम सूत्र \u003d B8 + B11 दर्ज करके पहले अंतराल की ऊपरी सीमा की गणना करते हैं; सेल E9 में, सूत्र \u003d E8 + B11 दर्ज करके दूसरे अंतराल की ऊपरी सीमा। अंतराल की ऊपरी सीमाओं के शेष मूल्यों की गणना करने के लिए, हम $ साइन का उपयोग करके दर्ज किए गए फार्मूले में सेल नंबर B11 को ठीक करते हैं, ताकि सेल E9 में सूत्र \u003d E8 + B $ 11 का रूप ले, और सेल E9 की सामग्री को E10-E14 पर कॉपी करें। अंतिम प्राप्त मान सेल B9 में पहले से गणना किए गए नमूने में अधिकतम मूल्य के बराबर है।

अंजीर। 1.5। उदाहरण 2. सम-अंतराल श्रृंखला का निर्माण

अब FREQUENCY फ़ंक्शन का उपयोग करके "जेब" की सरणी भरें, जैसा कि उदाहरण 1 में किया गया था।

अंजीर। 1.6। उदाहरण 2. सम-अंतराल श्रृंखला का निर्माण

प्राप्त भिन्नता श्रृंखला का उपयोग करते हुए, हम एक हिस्टोग्राम का निर्माण करते हैं: आवृत्ति कॉलम चुनें और "इन्सर्ट" टैब पर "हिस्टोग्राम" चुनें। हिस्टोग्राम प्राप्त करने के बाद, हम इसमें क्षैतिज अक्ष के लेबल को अंतराल की श्रेणी में मानों में बदल देंगे। ऐसा करने के लिए, "डिज़ाइन" टैब पर "डेटा का चयन करें" विकल्प चुनें। दिखाई देने वाली विंडो में, "क्षैतिज अक्ष के हस्ताक्षर" अनुभाग के लिए "बदलें" कमांड का चयन करें और विकल्पों के लिए मानों की श्रेणी दर्ज करें, इसे "माउस" के साथ चुनें।

अंजीर। 1.7। उदाहरण 2. एक हिस्टोग्राम का निर्माण

अंजीर। 1.8। उदाहरण 2. एक हिस्टोग्राम का निर्माण

वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक अलग विशेषता में परिवर्तन का वर्णन किया जाता है।

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला - यह एक निश्चित भिन्नता के अनुसार अलग-अलग समूहों में सांख्यिकीय आबादी की इकाइयों का एक आदेशित वितरण है।

गुणात्मक आधार पर निर्मित सांख्यिकीय श्रृंखला को कहा जाता है ठहराव। यदि वितरण श्रृंखला का आधार एक मात्रात्मक विशेषता है, तो श्रृंखला है परिवर्तन संबंधी.

बदले में, चर श्रृंखला को असतत और अंतराल में विभाजित किया जाता है। के बीच में अलग वितरण की एक संख्या एक असतत (बंद) संकेत है जो विशिष्ट संख्यात्मक मान (अपराधों की संख्या, कानूनी सहायता प्राप्त करने वाले नागरिकों की संख्या) लेता है। मध्यान्तर वितरण श्रृंखला एक निरंतर विशेषता के आधार पर बनाई गई है, जो किसी दिए गए रेंज (दोषी की उम्र, कारावास की अवधि, आदि) से किसी भी मूल्य पर ले सकती है।

वितरण की किसी भी सांख्यिकीय श्रृंखला में दो अनिवार्य तत्व होते हैं - एक श्रृंखला और आवृत्ति के वेरिएंट। विकल्प (x i) क्या वितरण श्रृंखला में विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य हैं। आवृत्तियों (एफ आई) क्या संख्यात्मक मान हैं जो बताते हैं कि वितरण श्रृंखला में एक या एक से अधिक संस्करण कितने बार होते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है।

सापेक्ष इकाइयों (अंशों या प्रतिशत) में व्यक्त आवृत्तियों को आवृत्तियों कहा जाता है ( w मैं) यदि किसी इकाई के अंशों में आवृत्तियों को व्यक्त किया जाता है, या यदि उन्हें प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो आवृत्तियों का योग एक के बराबर है। आवृत्तियों का उपयोग आबादी के विभिन्न आकारों के साथ परिवर्तनशील श्रृंखला की तुलना करने की अनुमति देता है। निम्न सूत्र द्वारा आवृत्तियों का निर्धारण किया जाता है:

असतत श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, श्रृंखला में पाए जाने वाले विशेषता के सभी व्यक्तिगत मूल्यों को रैंक किया जाता है, और फिर प्रत्येक मूल्य की पुनरावृत्ति आवृत्तियों की गणना की जाती है। वितरण श्रृंखला को दो पंक्तियों और स्तंभों वाली एक तालिका के विचार में तैयार किया गया है, जिसमें से एक में श्रृंखला के प्रकारों के मान दिए गए हैं x i, दूसरे में - आवृत्ति मान एफ आई

असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 3.1 । यूएमवीडी के अनुसार, एन शहर में नाबालिगों द्वारा किए गए अपराध दर्ज किए गए हैं।

17 13 15 16 17 15 15 14 16 13 14 17 14 15 15 16 16 15 14 15 15 14 16 16 14 17 16 15 16 15 13 15 15 13 15 14 15 13 17 14.

असतत वितरण श्रृंखला बनाएँ।

फेसला .

पहले आपको नाबालिगों की उम्र पर डेटा रैंक करने की आवश्यकता है, अर्थात। उन्हें आरोही क्रम में लिखें।

13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17

तालिका 3.1

इस प्रकार, आवृत्तियाँ किसी दिए गए आयु के लोगों की संख्या को दर्शाती हैं, उदाहरण के लिए, 5 लोग 13 साल के हैं, 8 लोग 14 साल के हैं, आदि।

इमारत मध्यान्तरडिस्ट्रीब्यूशन सीरीज़ को समान मात्रा में मानदंड के अनुसार बराबर-अंतराल समूहन करने के लिए किया जाता है, अर्थात्, सबसे पहले वे समूहों की इष्टतम संख्या निर्धारित करते हैं जिसमें सेट को विभाजित किया जाएगा, समूहों द्वारा अंतराल की सीमाओं की स्थापना की जाती है, और आवृत्तियों की गणना की जाती है।

हम निम्नलिखित उदाहरण द्वारा अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण का वर्णन करते हैं।

उदाहरण 3.2 .

निम्नलिखित सांख्यिकीय आबादी के अनुसार एक अंतराल श्रृंखला बनाने के लिए - एक कार्यालय में एक वकील का वेतन, हजार रूबल:

16,0 22,2 25,1 24,3 30,5 32,0 17,0 23,0 19,8 27,5 22,0 18,9 31,0 21,5 26,0 27,4

फेसला।

आइए हम इस सांख्यिकीय आबादी के लिए समान अंतराल समूह के समूहों की इष्टतम संख्या 4 के बराबर लें (हमारे पास 16 विकल्प हैं)। इसलिए, प्रत्येक समूह का आकार समान है:

और प्रत्येक अंतराल का मूल्य इसके बराबर होगा:

अंतराल की सीमाएं सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

,

क्रमशः आई-वें अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएं कहां हैं।

अंतराल की सीमाओं की मध्यवर्ती गणनाओं को स्वीकार करते हुए, हम उनके मान (विकल्प) और वकीलों की संख्या (आवृत्तियों) को तालिका 3.2 में प्रत्येक अंतराल के भीतर वेतन के साथ दर्ज करते हैं, जो प्राप्त अंतराल श्रृंखला को दिखाता है।

तालिका 3.2

वितरण की सांख्यिकीय श्रृंखला का विश्लेषण चित्रमय विधि का उपयोग करके किया जा सकता है। वितरण श्रृंखला का एक चित्रमय प्रतिनिधित्व आपको इसकी छवि को बहुभुज, हिस्टोग्राम और कम्युलेट्स के रूप में इसकी छवि के वितरण के पैटर्न को स्पष्ट रूप से स्पष्ट करने की अनुमति देता है। हमें सूचीबद्ध चार्ट में से प्रत्येक पर ध्यान दें।

बहुभुज - एक बहुभुज रेखा जिसका खंड निर्देशांक के साथ बिंदुओं को जोड़ता है ( x i;एफ आई) आमतौर पर, एक बहुभुज का उपयोग वितरण की असतत पंक्तियों को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। एब्सिस्सा अक्ष पर इसे बनाने के लिए, विशेषता के स्थान पर अलग-अलग मान रखे जाते हैं x iऑर्डिनेट अक्ष पर - इन आवृत्ति मूल्यों के अनुरूप। परिणामस्वरूप, एब्सिस्सा और निर्देशांक की कुल्हाड़ियों पर चिह्नित डेटा के अनुरूप खंडों में बिंदुओं को जोड़ने, हम एक बहुभुज नामक एक पॉलीलाइन प्राप्त करते हैं। हम एक आवृत्ति बहुभुज के निर्माण का एक उदाहरण देते हैं।

लैंडफिल के निर्माण का वर्णन करने के लिए, हम एक असतत श्रृंखला के निर्माण के लिए उदाहरण 3.1 के समाधान का परिणाम लेते हैं - चित्र 1। अनुपस्थित अक्ष को दोषी की आयु दर्शाती है, समन्वित एक निर्धारित उम्र के साथ किशोर अपराधियों की संख्या को दर्शाता है। इस ट्रेनिंग ग्राउंड का विश्लेषण करते हुए, हम कह सकते हैं कि अपराधियों की सबसे बड़ी संख्या - 14 लोग, 15 साल पुराने हैं।

चित्र 3.1 - असतत श्रृंखला की आवृत्ति रेंज।

एक अंतराल श्रृंखला के लिए एक बहुभुज का निर्माण भी किया जा सकता है, इस मामले में अंतराल के मध्यबिंदु को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और ऑर्डिनेट अक्ष के साथ उनके अनुरूप आवृत्तियों।

बार चार्ट - आयतों से मिलकर एक स्टेप्ड फिगर, जिसके आधार विशेषता मान के अंतराल हैं, और हाइट्स संबंधित आवृत्तियों के बराबर हैं। हिस्टोग्राम का उपयोग केवल वितरण की अंतराल श्रृंखला की छवि के लिए किया जाता है। यदि अंतराल असमान हैं, तो ऑर्डिनेट अक्ष पर एक हिस्टोग्राम करने के लिए, न कि आवृत्तियों को प्लॉट किया जाता है, लेकिन इसी अंतराल की चौड़ाई के लिए आवृत्ति का अनुपात। हिस्टोग्राम को वितरण बहुभुज में परिवर्तित किया जा सकता है यदि इसके स्तंभों के मध्य बिंदु खंडों से जुड़े हों।

हिस्टोग्राम के निर्माण का वर्णन करने के लिए, हम उदाहरण 3.2- चित्रा 3.2 से अंतराल श्रृंखला के निर्माण के परिणाम लेते हैं।

चित्र 3.2 - वकीलों के वेतन के वितरण का एक हिस्टोग्राम।

विविधता श्रृंखला के चित्रमय प्रतिनिधित्व के लिए, एक संचयी का भी उपयोग किया जाता है। cumulate - एक वक्र संचित आवृत्तियों की एक श्रृंखला का चित्रण और निर्देशांक के साथ अंक जोड़ने () x i;f i nak) संचित आवृत्तियों की गणना क्रमिक रूप से वितरण श्रृंखला की सभी आवृत्तियों को समेट कर की जाती है और आबादी की इकाइयों की संख्या बताती है, जिसमें विशेषता का मान निर्दिष्ट से अधिक नहीं है। आइए उदाहरण 3.2 - तालिका 3.3 में प्रस्तुत की गई वैरिएबल अंतराल श्रृंखला के लिए संचित आवृत्तियों की गणना का वर्णन करें।

तालिका 3.3

अनुपस्थिति अक्ष के साथ वितरण की संचयी असतत श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, विशेषता के क्रमबद्ध व्यक्तिगत मूल्यों को बंद कर दिया जाता है, और संचित अक्ष के साथ उनके अनुरूप संचित आवृत्तियों को हटा दिया जाता है। अंतराल श्रृंखला के संचयी वक्र का निर्माण करते समय, पहले बिंदु में पहले अंतराल की निचली सीमा के बराबर एक एब्सिसा होगा, और 0. के बराबर एक ऑर्डिनेट होगा। बाद के सभी बिंदुओं को अंतराल की ऊपरी सीमा के अनुरूप होना चाहिए। हम तालिका 3.3 - आंकड़ा 3.3 में डेटा का उपयोग करके एक संचयी निर्माण करेंगे।

चित्र 3.3 - वकीलों के वेतन वितरण का संचयी वक्र।

परीक्षण प्रश्न

1. वितरण की एक सांख्यिकीय श्रृंखला की अवधारणा, इसके मूल तत्व।

2. वितरण की सांख्यिकीय श्रृंखला के प्रकार। उनका संक्षिप्त विवरण।

3. वितरण और अंतराल वितरण श्रृंखला।

4. असतत वितरण श्रृंखला के निर्माण की पद्धति।

5. अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण के लिए कार्यप्रणाली।

6. असतत वितरण श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व।

7. अंतराल वितरण श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व।

कार्य

कार्य 1। टीजीपी समूह में प्रति सत्र 25 छात्रों के लिए निम्न प्रदर्शन डेटा उपलब्ध है: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 5, 5, 5, 2, 3 , 3, 5, 4, 2, 3, 3. सत्र में प्राप्त ग्रेड के अनुसार छात्र वितरण की एक असतत परिवर्तनीय श्रृंखला बनाएं। परिणामी श्रृंखला के लिए, आवृत्तियों, संचित आवृत्तियों, संचित आवृत्तियों की गणना करें। निष्कर्ष निकालना।

टास्क २। कॉलोनी में 1000 अपराधी हैं; उनकी आयु वितरण तालिका में प्रस्तुत किया गया है:

इस पंक्ति को रेखांकन से खींचें। निष्कर्ष निकालना।

टास्क 3। निम्नलिखित डेटा जेल अवधि पर उपलब्ध हैं:

5; 4; 2; 1; 6; 3; 4; 3; 2; 2; 3; 1; 17; 6; 2; 8; 5; 11; 9; 3; 5; 6; 4; 3; 10; 5; 25; 1; 12; 3; 3; 4; 9; 6; 5; 3; 4; 3; 5; 12; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 3; 12; 6.

जेल अवधि द्वारा कैदियों के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला बनाएँ। निष्कर्ष निकालना।

टास्क 4। निम्नलिखित डेटा आयु समूह द्वारा अध्ययन अवधि के लिए क्षेत्र में दोषियों के वितरण पर उपलब्ध हैं:

इस श्रृंखला को ग्राफिक रूप से ड्रा करें, निष्कर्ष निकालें।

असतत भिन्नता श्रृंखला असतत सुविधाओं के लिए बनाई गई है।

असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के निर्माण के लिए, आपको निम्नलिखित चरणों का पालन करने की आवश्यकता है: 1) विशेषता के अध्ययनित मूल्य के आरोही क्रम में अवलोकन की इकाइयों को क्रमबद्ध करें,

2) विशेषता x i के सभी संभावित मूल्यों को निर्धारित करें, उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें,

साइन मान मैं .

विशेषता मान आवृत्ति और निरूपित करें च मैं . श्रृंखला की सभी आवृत्तियों का योग अध्ययन आबादी में तत्वों की संख्या के बराबर है।

उदाहरण 1 .

परीक्षा में छात्रों द्वारा प्राप्त ग्रेड की सूची: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5।

यहाँ संख्या है एक्स - रेटिंगएक असतत यादृच्छिक चर है, और अनुमानों की परिणामी सूची हैसांख्यिकीय (अवलोकनीय) डेटा .

विशेषता के अध्ययनित मूल्य के आरोही क्रम में अवलोकन की इकाइयों को क्रमबद्ध करना:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) विशेषता x i के सभी संभावित मूल्यों को निर्धारित करें, उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

इस उदाहरण में, सभी ग्रेड को निम्न मानों के साथ चार समूहों में विभाजित किया जा सकता है: 2; 3; 4; 5।

देखे गए डेटा के एक अलग समूह के अनुरूप एक यादृच्छिक चर का मूल्य कहा जाता है साइन मान विकल्प (विकल्प) और एक्स शामिल हैं मैं .

एक संख्या जो यह दर्शाती है कि टिप्पणियों की एक श्रृंखला में संकेत का संबंधित मूल्य कितनी बार होता है विशेषता मान आवृत्ति और निरूपित करें च मैं .

हमारे उदाहरण के लिए

स्कोर 2 होता है - 8 बार,

स्कोर 3 होता है - 12 बार,

4 का स्कोर होता है - 23 बार,

5 का स्कोर होता है - 17 बार।

केवल 60 रेटिंग।

4) प्राप्त डेटा को दो पंक्तियों (कॉलम) की तालिका में लिखें - x i और f i।

इन आंकड़ों के आधार पर, एक असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का निर्माण कर सकता है

भिन्नता श्रृंखला - यह एक तालिका है जिसमें अध्ययन किए गए विशेषता के घटते मूल्यों को बढ़ते क्रम और उनकी आवृत्ति में अलग-अलग मूल्यों के रूप में इंगित किया गया है

1. एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण

असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के अलावा, डेटा को समूहीकृत करने की एक ऐसी विधि, जैसा कि अंतराल चर श्रृंखला अक्सर पाई जाती है।

अंतराल श्रृंखला का निर्माण यदि किया जाता है:

संकेत में परिवर्तन का एक निरंतर चरित्र है;

बहुत सारे असतत मूल्य थे (10 से अधिक)

असतत मूल्यों की आवृत्तियों बहुत छोटी हैं (अवलोकन इकाइयों की अपेक्षाकृत बड़ी संख्या के साथ 1-3 से अधिक नहीं हैं);

एक ही आवृत्तियों के साथ कई असतत विशेषता मान।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक तालिका के रूप में डेटा को समूहीकृत करने का एक तरीका है जिसमें दो कॉलम होते हैं (मूल्यों के अंतराल के रूप में विशेषता मान और प्रत्येक अंतराल की आवृत्ति)।

असतत श्रृंखला के विपरीत, अंतराल श्रृंखला की विशेषता के मूल्यों का प्रतिनिधित्व व्यक्तिगत मूल्यों से नहीं किया जाता है, लेकिन मूल्यों के अंतराल ("से -") तक।

वह संख्या जो दर्शाती है कि प्रत्येक चयनित अंतराल में अवलोकन की कितनी इकाइयाँ गिरी हैं विशेषता मान आवृत्ति और निरूपित करें च मैं . श्रृंखला की सभी आवृत्तियों का योग अध्ययन की गई जनसंख्या में तत्वों (अवलोकन की इकाइयों) की संख्या के बराबर है।

यदि इकाई में अंतराल की ऊपरी सीमा के मूल्य के बराबर एक विशेषता मूल्य है, तो इसे अगले अंतराल को सौंपा जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, 100 सेमी की ऊंचाई वाला बच्चा दूसरे अंतराल में गिर जाएगा, और पहले में नहीं; और 130 सेमी की ऊंचाई वाला बच्चा अंतिम अंतराल में गिर जाएगा, और तीसरे में नहीं।

इन आंकड़ों के आधार पर, अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण संभव है।

प्रत्येक अंतराल में एक कम बाउंड (x n), एक ऊपरी बाउंड (x) और एक अंतराल चौड़ाई ( मैं).

अंतराल की सीमा विशेषता का मूल्य है, जो दो अंतराल की सीमा पर स्थित है।

बच्चों की वृद्धि (सेमी)	बच्चों की वृद्धि (सेमी)			बच्चों की राशि
130 से अधिक

यदि एक अंतराल में एक ऊपरी और निचला बाउंड होता है, तो इसे कहा जाता है बंद अंतराल। यदि एक अंतराल में केवल एक कम या केवल एक ऊपरी सीमा होती है, तो यह है खुला अंतराल।केवल बहुत पहले या सबसे हालिया अंतराल ही खुले रह सकते हैं। उपरोक्त उदाहरण में, अंतिम अंतराल खुला है।

अंतराल चौड़ाई (मैं) - ऊपरी और निचले सीमा के बीच का अंतर।

मैं \u003d x n - x में

खुले अंतराल की चौड़ाई को समीप के बंद अंतराल की चौड़ाई के समान लिया जाता है।

बच्चों की वृद्धि (सेमी)		बच्चों की राशि	अंतराल चौड़ाई (i)
	गणना के लिए 130 + 20 \u003d 150		20 (क्योंकि समीपवर्ती अंतराल की चौड़ाई 20 है)

सभी अंतराल पंक्तियों को समान अंतराल और समान अंतराल वाले अंतराल पंक्तियों के साथ अंतराल पंक्तियों में विभाजित किया गया है । समान अंतराल वाले अंतराल की पंक्तियों में, सभी अंतराल की चौड़ाई समान होती है। असमान अंतराल के साथ अंतराल पंक्तियों में, अंतराल की चौड़ाई अलग है।

इस उदाहरण में, असमान अंतराल के साथ एक अंतराल श्रृंखला।