सांख्यिकी में विभिन्न प्रकार के औसतों का प्रयोग किया जाता है, जिन्हें दो बड़े वर्गों में विभाजित किया जाता है:

शक्ति औसत (हार्मोनिक माध्य, ज्यामितीय माध्य, अंकगणित माध्य, माध्य वर्ग, घन माध्य);

संरचनात्मक साधन (फैशन, माध्यिका)।

हिसाब करना बिजली औसतसभी उपलब्ध विशेषता मूल्यों का उपयोग किया जाना चाहिए। पहनावातथा मंझलाकेवल वितरण संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है, इसलिए उन्हें संरचनात्मक, स्थितीय औसत कहा जाता है। माध्यिका और विधा का उपयोग अक्सर उन आबादी में औसत विशेषता के रूप में किया जाता है जहां शक्ति माध्य की गणना असंभव या अव्यवहारिक होती है।

औसत का सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय माध्य है। अंतर्गत अंकगणित औसतएक विशेषता का अर्थ समझा जाता है कि जनसंख्या की प्रत्येक इकाई के पास होगा यदि सुविधा के सभी मूल्यों का कुल जनसंख्या की सभी इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित किया गया हो। इस मूल्य की गणना अलग-अलग विशेषता के सभी मूल्यों के योग के लिए कम हो जाती है और परिणामी योग को जनसंख्या में इकाइयों की कुल संख्या से विभाजित करती है। उदाहरण के लिए, पांच श्रमिकों ने भागों के निर्माण के लिए एक आदेश पूरा किया, जबकि पहले ने 5 भागों को बनाया, दूसरा - 7, तीसरा - 4, चौथा - 10, पांचवां - 12. चूंकि प्रारंभिक आंकड़ों में प्रत्येक का मूल्य विकल्प केवल एक बार सामने आया था, निर्धारित करने के लिए

एक कार्यकर्ता का औसत उत्पादन निर्धारित करने के लिए, एक साधारण अंकगणितीय माध्य सूत्र लागू किया जाना चाहिए:

अर्थात्, हमारे उदाहरण में, एक कार्यकर्ता का औसत उत्पादन बराबर है

वे सरल अंकगणित माध्य के साथ अध्ययन करते हैं भारित अंकगणितीय माध्य।उदाहरण के लिए, आइए 20 के समूह में छात्रों की औसत आयु की गणना करें, जिनकी आयु 18 से 22 के बीच है, जहां ग्यारहवीं- औसत सुविधा के वेरिएंट, फाई- आवृत्ति, जो दर्शाती है कि यह कितनी बार होता है i-वेंकुल मूल्य (सारणी 5.1)।

तालिका 5.1

छात्रों की औसत आयु

अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

भारित अंकगणितीय माध्य चुनने के लिए एक निश्चित नियम है: यदि दो संकेतकों पर डेटा की एक श्रृंखला है, जिनमें से एक के लिए गणना करना आवश्यक है

औसत मूल्य, और साथ ही इसके तार्किक सूत्र के हर के संख्यात्मक मान ज्ञात होते हैं, और अंश के मान अज्ञात होते हैं, लेकिन इन संकेतकों के उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है, फिर औसत मूल्य अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र का उपयोग करके गणना की जानी चाहिए।

कुछ मामलों में, प्रारंभिक सांख्यिकीय डेटा की प्रकृति ऐसी है कि अंकगणितीय माध्य की गणना अपना अर्थ खो देती है और केवल सामान्यीकरण संकेतक केवल एक अन्य प्रकार का औसत हो सकता है - औसत हार्मोनिक।वर्तमान में, इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकी के व्यापक परिचय के संबंध में अंकगणितीय माध्य के कम्प्यूटेशनल गुणों ने सांख्यिकीय संकेतकों के सामान्यीकरण की गणना में अपनी प्रासंगिकता खो दी है। औसत हार्मोनिक मूल्य, जो सरल और भारित भी हो सकता है, ने बहुत व्यावहारिक महत्व प्राप्त कर लिया है। यदि एक तार्किक सूत्र के अंश के संख्यात्मक मान ज्ञात हैं, और हर के मान अज्ञात हैं, लेकिन एक संकेतक के दूसरे द्वारा भागफल विभाजन के रूप में पाया जा सकता है, तो औसत मूल्य की गणना हार्मोनिक का उपयोग करके की जाती है भारित औसत सूत्र।

उदाहरण के तौर पर बता दें कि कार ने पहले 210 किमी की दूरी 70 किमी/घंटा की रफ्तार से तय की, और बाकी 150 किमी की दूरी 75 किमी/घंटा की रफ्तार से तय की। समांतर माध्य सूत्र का उपयोग करके 360 किमी की पूरी यात्रा के दौरान कार की औसत गति निर्धारित करना असंभव है। चूंकि विकल्प अलग-अलग वर्गों में गति हैं एक्सजे= 70 किमी / घंटा और X2= 75 किमी / घंटा, और वजन (एफ) पथ के संबंधित खंड हैं, तो वजन के विकल्पों के उत्पादों का न तो भौतिक और न ही आर्थिक अर्थ होगा। इस मामले में, पथ के वर्गों को संबंधित गति (विकल्प xi) में विभाजित करने से भागफल, यानी पथ के अलग-अलग वर्गों को पार करने में लगने वाला समय (फाई) / xi). यदि पथ के खंडों को फाई द्वारा निरूपित किया जाता है, तो पूरे पथ को फाई के रूप में व्यक्त किया जाएगा, और पूरे पथ पर बिताया गया समय - कैसे? फाई / ग्यारहवीं , तब औसत गति को पूरे पथ को कुल खर्च किए गए समय से विभाजित करने के भागफल के रूप में पाया जा सकता है:

हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है:

यदि, सभी विकल्पों के औसत हार्मोनिक भार का उपयोग करते समय (एफ) बराबर हैं, तो भारित के बजाय, आप उपयोग कर सकते हैं सरल (बिना भारित) हार्मोनिक माध्य:

जहां xi व्यक्तिगत विकल्प हैं; एन- औसत फीचर के वेरिएंट की संख्या। गति उदाहरण में, सरल हार्मोनिक औसत लागू किया जा सकता है यदि पथ खंड अलग-अलग गति से यात्रा करते हैं तो समान होते हैं।

किसी भी औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए ताकि जब यह औसत विशेषता के प्रत्येक संस्करण को प्रतिस्थापित करे, तो कुछ अंतिम, सामान्यीकरण संकेतक का मूल्य, जो औसत संकेतक से जुड़ा होता है, परिवर्तित नहीं होता है। इसलिए, पथ के अलग-अलग हिस्सों पर वास्तविक गति को उनके औसत मूल्य (औसत गति) से बदलते समय, कुल दूरी में परिवर्तन नहीं होना चाहिए।

औसत मूल्य का रूप (सूत्र) औसत के साथ इस अंतिम संकेतक के संबंध की प्रकृति (तंत्र) द्वारा निर्धारित किया जाता है, इसलिए अंतिम संकेतक, जिसका मूल्य उनके औसत मूल्य के साथ विकल्पों को प्रतिस्थापित करते समय नहीं बदलना चाहिए, है बुलाया परिभाषित संकेतक।औसत के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको निर्धारित करने वाले के साथ औसत संकेतक के संबंध का उपयोग करके एक समीकरण बनाने और हल करने की आवश्यकता है। इस समीकरण का निर्माण औसत विशेषता (संकेतक) के वेरिएंट को उनके औसत मूल्य से बदलकर किया गया है।

अंकगणित माध्य और हार्मोनिक माध्य के अलावा, आँकड़े औसत के अन्य प्रकारों (रूपों) का उपयोग करते हैं। वे सभी विशेष मामले हैं। शक्ति-कानून औसत।यदि हम समान डेटा के लिए सभी प्रकार के पावर-लॉ औसत की गणना करते हैं, तो मान

वे वही निकलेंगे, यहाँ नियम लागू होता है प्रमुख रैंकमाध्यम। औसत के घातांक में वृद्धि के साथ, औसत मूल्य भी स्वयं बढ़ जाता है। विभिन्न प्रकार के शक्ति-कानून माध्य मानों की गणना के लिए व्यावहारिक अनुसंधान में अक्सर उपयोग किए जाने वाले सूत्र तालिका में प्रस्तुत किए जाते हैं। ५.२.

तालिका 5.2

बिजली औसत के प्रकार

उपलब्ध होने पर ज्यामितीय माध्य लागू किया जाता है। एनविकास कारक, जबकि सुविधा के व्यक्तिगत मूल्य, एक नियम के रूप में, गतिशीलता के सापेक्ष मूल्य, श्रृंखला मात्रा के रूप में निर्मित, गतिशीलता की श्रृंखला में प्रत्येक स्तर के पिछले स्तर के संबंध के रूप में . औसत इस प्रकार औसत विकास दर की विशेषता है। औसत ज्यामितीय सरलसूत्र द्वारा परिकलित

सूत्र ज्यामितीय भारित माध्यइस तरह दिखता है:

दिए गए सूत्र समान हैं, लेकिन एक वर्तमान दरों या विकास दर पर लागू होता है, और दूसरा - श्रृंखला स्तरों के निरपेक्ष मूल्यों पर।

वर्गमूल औसत का वर्गवर्ग कार्यों के मूल्यों के साथ गणना करते समय उपयोग किया जाता है, वितरण श्रृंखला में अंकगणितीय माध्य के आसपास एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की परिवर्तनशीलता की डिग्री को मापने के लिए उपयोग किया जाता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

भारित माध्य वर्गएक अलग सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:

औसत घनघन कार्यों के मूल्यों के साथ गणना करते समय उपयोग किया जाता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

भारित औसत घन:

ऊपर चर्चा की गई सभी औसतों को एक सामान्य सूत्र के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

औसत मूल्य कहां है; - व्यक्तिगत मूल्य; एन- अध्ययन की गई जनसंख्या की इकाइयों की संख्या; कएक घातांक है जो औसत के प्रकार को निर्धारित करता है।

समान प्रारंभिक डेटा का उपयोग करते समय, अधिक कशक्ति-कानून औसत के सामान्य सूत्र में, औसत मूल्य जितना बड़ा होगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि शक्ति औसत के मूल्यों के बीच एक नियमित संबंध होता है:

ऊपर वर्णित औसत मूल्य अध्ययन किए गए समुच्चय का एक सामान्यीकृत विचार देते हैं, और इस दृष्टिकोण से, उनका सैद्धांतिक, व्यावहारिक और संज्ञानात्मक मूल्य निर्विवाद है। लेकिन ऐसा होता है कि औसत का मूल्य वास्तव में मौजूदा विकल्पों में से किसी के साथ मेल नहीं खाता है, इसलिए, सांख्यिकीय विश्लेषण में विचार किए गए औसत के अलावा, विशिष्ट विकल्पों के मूल्यों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है, जो काफी हद तक कब्जा कर लेते हैं एक सुविधा के मूल्यों की एक क्रमबद्ध (रैंकिंग) श्रृंखला में निश्चित स्थिति। इन मूल्यों में, सबसे आम हैं संरचनात्मक,या वर्णनात्मक, मध्यम- मोड (मो) और माध्यिका (मी)।

पहनावा- एक विशेषता का मूल्य जो किसी दी गई आबादी में सबसे अधिक बार पाया जाता है। विविधता श्रृंखला के संबंध में, बहुलक श्रेणीबद्ध श्रृंखला का सबसे लगातार मूल्य है, यानी उच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण। फैशन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कौन से स्टोर पर अधिक बार दौरा किया जाता है, किसी उत्पाद के लिए सबसे आम कीमत। यह आबादी के एक महत्वपूर्ण हिस्से की विशेषता के आकार को दर्शाता है, और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जहां x0 अंतराल की निचली सीमा है; एच- अंतराल का आकार; एफएम- अंतराल आवृत्ति; एफएम_ 1 - पिछले अंतराल की आवृत्ति; एफएम + 1 - अगले अंतराल की आवृत्ति।

मंझलाको रैंक की गई पंक्ति के केंद्र में स्थित वैरिएंट कहा जाता है। माध्यिका पंक्ति को दो बराबर भागों में इस प्रकार विभाजित करती है कि उसके दोनों ओर समान संख्या में जनसंख्या इकाइयाँ स्थित हों। वहीं, जनसंख्या की एक आधी इकाई के लिए भिन्न गुण का मान माध्यिका से कम होता है, दूसरे के लिए यह उससे अधिक होता है। माध्यिका का उपयोग किसी ऐसे तत्व का अध्ययन करते समय किया जाता है, जिसका मान वितरण श्रृंखला के तत्वों के आधे से अधिक या उसके बराबर या एक साथ कम या बराबर होता है। माध्यिका एक सामान्य विचार देती है कि विशेषता के मूल्य कहाँ केंद्रित हैं, दूसरे शब्दों में, जहाँ उनका केंद्र स्थित है।

माध्यिका की वर्णनात्मक प्रकृति इस तथ्य में प्रकट होती है कि यह भिन्न विशेषता के मूल्यों की मात्रात्मक सीमा की विशेषता है, जो कि आधी जनसंख्या इकाइयों के पास है। असतत भिन्नता श्रृंखला के लिए माध्यिका खोजने की समस्या को हल करना आसान है। यदि हम श्रृंखला की सभी इकाइयों को क्रमसूचक संख्याएँ निर्दिष्ट करते हैं, तो माध्यिका संस्करण की क्रमिक संख्या को (n +1) / 2 के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें विषम संख्या में सदस्य n होते हैं। यदि श्रृंखला के सदस्यों की संख्या एक सम संख्या है , तो माध्यिका क्रमांक संख्या वाले दो विकल्पों का औसत होगा एन/ 2 और एन/ 2 + 1.

अंतराल भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका का निर्धारण करते समय, पहले वह अंतराल जिसमें यह स्थित है (माध्यिका अंतराल) निर्धारित किया जाता है। इस अंतराल को इस तथ्य की विशेषता है कि इसकी संचित आवृत्तियों का योग श्रृंखला की सभी आवृत्तियों के आधे योग के बराबर या उससे अधिक है। अंतराल भिन्नता श्रृंखला के माध्यिका की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

कहाँ पे X 0- अंतराल की निचली सीमा; एच- अंतराल का आकार; एफएम- अंतराल आवृत्ति; एफ- श्रृंखला के सदस्यों की संख्या;

एम -1 - इससे पहले की श्रृंखला के संचित सदस्यों का योग।

माध्यिका के साथ, अध्ययन की गई जनसंख्या की संरचना के अधिक पूर्ण लक्षण वर्णन के लिए, विकल्पों के अन्य मूल्यों का उपयोग किया जाता है, जो क्रमबद्ध श्रृंखला में एक निश्चित स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं। इसमें शामिल है चतुर्थकोंतथा दशमांशचतुर्थक श्रेणी को आवृत्तियों के योग से 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, और दशमांश को 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। इसमें तीन चतुर्थक और नौ दशमांश होते हैं।

माध्यिका और विधा, अंकगणितीय माध्य के विपरीत, अलग-अलग विशेषताओं के मूल्यों में व्यक्तिगत अंतर को समाप्त नहीं करते हैं और इसलिए सांख्यिकीय आबादी की अतिरिक्त और बहुत महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं। व्यवहार में, उनका उपयोग अक्सर औसत के बजाय या उसके साथ किया जाता है। उन मामलों में औसत और मोड की गणना करना विशेष रूप से उचित है जब अध्ययन की गई आबादी में एक निश्चित संख्या में इकाइयां होती हैं जिनमें चर विशेषता के बहुत बड़े या बहुत छोटे मूल्य होते हैं। ये, विकल्पों के कुल मूल्यों के लिए बहुत विशिष्ट नहीं हैं, अंकगणितीय माध्य के मूल्य को प्रभावित करते हैं, माध्यिका और मोड के मूल्यों को प्रभावित नहीं करते हैं, जो आर्थिक और सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए बाद वाले को बहुत मूल्यवान संकेतक बनाता है।

औसत मूल्य विधि

३.१ आंकड़ों में औसत का सार और महत्व। औसत के प्रकार

औसत आकारआंकड़ों में, गुणात्मक रूप से सजातीय घटनाओं और प्रक्रियाओं की एक सामान्यीकृत विशेषता को किसी भी भिन्न विशेषता के लिए कहा जाता है, जो जनसंख्या की एक इकाई को संदर्भित विशेषता के स्तर को दर्शाता है। औसत मूल्य सार, क्योंकि जनसंख्या की कुछ अवैयक्तिक इकाई के लिए एक विशेषता के मूल्य की विशेषता है।तत्वऔसत मूल्य इस तथ्य में शामिल है कि व्यक्ति और आकस्मिक के माध्यम से, सामान्य और आवश्यक प्रकट होते हैं, अर्थात्, सामूहिक घटनाओं के विकास में प्रवृत्ति और नियमितता। औसत मूल्यों में सामान्यीकृत संकेत जनसंख्या की सभी इकाइयों में निहित हैं. इसके कारण, सामूहिक घटनाओं में निहित पैटर्न की पहचान करने के लिए औसत मूल्य का बहुत महत्व है और जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों में ध्यान देने योग्य नहीं है।

औसत के उपयोग के लिए सामान्य सिद्धांत:

जनसंख्या की उस इकाई का उचित विकल्प जिसके लिए औसत मूल्य की गणना की जाती है, आवश्यक है;

औसत मूल्य का निर्धारण करते समय, औसत विशेषता की गुणात्मक सामग्री से आगे बढ़ना आवश्यक है, अध्ययन की गई विशेषताओं के संबंध, साथ ही गणना के लिए उपलब्ध डेटा को ध्यान में रखना आवश्यक है;

गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी के लिए औसत मूल्यों की गणना की जानी चाहिए, जो समूहीकरण विधि द्वारा प्राप्त की जाती हैं, जिसमें संकेतकों को सामान्य करने की प्रणाली की गणना शामिल होती है;

समग्र औसत को समूह औसत द्वारा समर्थित किया जाना चाहिए।

प्राथमिक डेटा की प्रकृति, आवेदन के क्षेत्र और आँकड़ों में गणना की विधि के आधार पर, निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जाता है मुख्य प्रकार के माध्यम:

1) बिजली औसत(अंकगणित माध्य, हार्मोनिक, ज्यामितीय, माध्य वर्ग और घन);

2) संरचनात्मक (गैर-पैरामीट्रिक) का अर्थ है(फैशन और मंझला)।

आंकड़ों में, केवल एक पूरी तरह से निश्चित प्रकार का औसत प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में अलग-अलग विशेषता के लिए अध्ययन की गई आबादी की सही विशेषता देता है। किसी विशेष मामले में किस प्रकार के औसत को लागू करने की आवश्यकता का प्रश्न अध्ययन की गई आबादी के एक विशिष्ट विश्लेषण के माध्यम से हल किया जाता है, साथ ही परिणामों की सार्थकता के सिद्धांत पर आधारित होता है जब योग या वजन होता है। सांख्यिकी में ये और अन्य सिद्धांत व्यक्त किए गए हैं औसत का सिद्धांत.

उदाहरण के लिए, अंकगणित माध्य और हार्मोनिक माध्य का उपयोग अध्ययन की गई जनसंख्या में एक चर विशेषता के माध्य मान को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। ज्यामितीय माध्य का उपयोग केवल गतिकी की औसत दर की गणना करते समय किया जाता है, और माध्य वर्ग केवल भिन्नता के संकेतकों की गणना करते समय किया जाता है।

औसत मूल्यों की गणना के लिए सूत्र तालिका 3.1 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका 3.1 - औसत मूल्यों की गणना के लिए सूत्र

औसत के प्रकार	गणना सूत्र
	सरल	भारित
1. अंकगणित माध्य
2. औसत हार्मोनिक
3. ज्यामितीय माध्य
4. मूल माध्य वर्ग

दंतकथा:- वे मान जिनके लिए औसत की गणना की जाती है; - औसत, जहां ऊपर की रेखा इंगित करती है कि व्यक्तिगत मूल्यों का औसत है; - आवृत्ति (किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की पुनरावृत्ति)।

जाहिर है, अलग-अलग औसत से प्राप्त होते हैं सामान्य शक्ति माध्य सूत्र (3.1) :

, (3.1)

k = + 1 के लिए - अंकगणितीय माध्य; के = -1 - औसत हार्मोनिक; के = 0 - ज्यामितीय माध्य; k = +2 - मूल माध्य वर्ग।

औसत मान सरल और भारित होते हैं। भारित औसत वे मान कहलाते हैं जो इस बात को ध्यान में रखते हैं कि विशेषता के मानों के कुछ प्रकारों में भिन्न संख्याएँ हो सकती हैं; इस संबंध में, प्रत्येक विकल्प को इस संख्या से गुणा करना होगा। इस मामले में "वजन" विभिन्न समूहों में जनसंख्या की इकाइयों की संख्या है, अर्थात। प्रत्येक विकल्प इसकी आवृत्ति से "भारित" होता है। आवृत्ति f कहा जाता है सांख्यिकीय भारया औसत वजन.

अंततः औसत का सही चुनावनिम्नलिखित अनुक्रम मानता है:

ए) जनसंख्या के सामान्यीकृत संकेतक की स्थापना;

बी) किसी दिए गए सामान्यीकरण संकेतक के लिए मूल्यों के गणितीय अनुपात का निर्धारण;

ग) औसत मूल्यों के साथ व्यक्तिगत मूल्यों का प्रतिस्थापन;

डी) उपयुक्त समीकरण का उपयोग करके औसत की गणना।

३.२ अंकगणित माध्य और इसके गुण और कलन तकनीक। औसत हार्मोनिक

अंकगणित औसत- मध्यम आकार का सबसे आम प्रकार; इसकी गणना उन मामलों में की जाती है जब अध्ययन की गई सांख्यिकीय आबादी की अलग-अलग इकाइयों के लिए औसत विशेषता का आयतन इसके मूल्यों के योग के रूप में बनता है।

अंकगणित माध्य के सबसे महत्वपूर्ण गुण:

1. बारंबारताओं के योग से औसत का गुणनफल हमेशा बारंबारताओं द्वारा भिन्न (व्यक्तिगत मान) के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

2. यदि आप प्रत्येक विकल्प में से एक मनमाना संख्या घटाते हैं (जोड़ते हैं), तो नया औसत उसी संख्या से घटेगा (वृद्धि) होगा।

3. यदि प्रत्येक विकल्प को किसी मनमानी संख्या से गुणा (भाग) किया जाता है, तो नया औसत उसी राशि से बढ़ेगा (कमी)

4. यदि सभी आवृत्तियों (भारों) को किसी संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा।

5. समांतर माध्य से अलग-अलग विकल्पों के विचलन का योग हमेशा शून्य होता है।

सुविधा के सभी मूल्यों से एक मनमाना स्थिर मूल्य घटाना संभव है (अधिमानतः वेरिएंट के माध्य का मूल्य या उच्चतम आवृत्ति वाले वेरिएंट), एक सामान्य कारक द्वारा प्राप्त अंतर को कम करें (मूल्य से बेहतर) अंतराल का), और विशेष रूप से आवृत्तियों को व्यक्त करें (प्रतिशत में) और परिकलित औसत को एक सामान्य कारक से गुणा करें और एक मनमाना स्थिरांक जोड़ें। अंकगणित माध्य की गणना करने की इस विधि को कहा जाता है सशर्त शून्य से गणना की विधि .

जियोमेट्रिक माध्यऔसत विकास दर (औसत वृद्धि दर) निर्धारित करने में अपना आवेदन पाता है, जब विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को सापेक्ष मूल्यों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इसका उपयोग तब भी किया जाता है जब आप किसी विशेषता के न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों (उदाहरण के लिए, 100 और 1,000,000 के बीच) के बीच औसत खोजना चाहते हैं।

वर्गमूल औसत का वर्गसमुच्चय (मानक विचलन की गणना) में एक विशेषता की भिन्नता को मापने के लिए उपयोग किया जाता है।

आंकड़ों में है साधन के प्रमुख का नियम:

एक्स नुकसान।< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 संरचनात्मक साधन (मोड और माध्यिका)

जनसंख्या की संरचना का निर्धारण करने के लिए, विशेष औसत का उपयोग किया जाता है, जिसमें माध्यिका और मोड, या तथाकथित संरचनात्मक औसत शामिल होते हैं। यदि अंकगणित माध्य की गणना सुविधा के मूल्यों के सभी प्रकारों के उपयोग के आधार पर की जाती है, तो माध्यिका और मोड वैरिएंट के मूल्य की विशेषता रखते हैं जो क्रमबद्ध भिन्नता श्रृंखला में एक निश्चित औसत स्थान रखता है।

पहनावा- सुविधा का सबसे विशिष्ट, सबसे अधिक बार सामना किया जाने वाला मूल्य। के लिए असतत श्रृंखलाउच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण फैशन होगा। फैशन को परिभाषित करने के लिए अंतराल श्रृंखलासबसे पहले, बहुलक अंतराल (उच्चतम आवृत्ति वाला अंतराल) निर्धारित किया जाता है। फिर, इस अंतराल के भीतर, सुविधा का मूल्य पाया जाता है, जो एक मोड हो सकता है।

अंतराल श्रृंखला के बहुलक का विशिष्ट मान ज्ञात करने के लिए सूत्र (3.2) का उपयोग करना आवश्यक है।

(3.2)

जहाँ X Mo मोडल अंतराल की निचली सीमा है; i मो मोडल अंतराल का मान है; f मो मोडल अंतराल की आवृत्ति है; f Mo-1 मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति है; f Mo + 1 मोडल के बाद के अंतराल की आवृत्ति है।

फैशन का व्यापक रूप से उपभोक्ता मांग के अध्ययन में विपणन गतिविधियों में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से मूल्य निर्धारण नीति को विनियमित करते समय कपड़ों और जूतों के सबसे लोकप्रिय आकारों को निर्धारित करने में।

मंझला - रैंक की गई आबादी के बीच में आने वाली अलग-अलग विशेषता का मूल्य। के लिए एक विषम संख्या के साथ एक क्रमबद्ध श्रृंखलाव्यक्तिगत मान (उदाहरण के लिए, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10), माध्यिका वह मान होगा जो पंक्ति के केंद्र में स्थित है, अर्थात। चौथा मान 6 है। For एक सम संख्या वाली श्रेणीबद्ध श्रृंखलाव्यक्तिगत मान (उदाहरण के लिए, 1, 5, 7, 10, 11, 14), माध्य अंकगणितीय माध्य होगा, जिसकी गणना दो आसन्न मानों से की जाती है। हमारे मामले में, माध्यिका (7 + 10)/2 = 8.5 है।

इस प्रकार, माध्यिका ज्ञात करने के लिए, आपको सबसे पहले इसकी क्रमसूचक संख्या (रैंकिंग पंक्ति में इसकी स्थिति) को सूत्रों (3.3) द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है:

(यदि कोई आवृत्तियाँ नहीं हैं)

एनमैं =
(यदि आवृत्तियाँ हैं) (3.3)

जहां n कुल में इकाइयों की संख्या है।

माध्यिका का संख्यात्मक मान अंतराल श्रृंखलाअसतत भिन्नता श्रृंखला में संचित आवृत्तियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको पहले वितरण की अंतराल श्रृंखला में माध्यिका ज्ञात करने के अंतराल को इंगित करना होगा। पहले अंतराल को माध्यिका कहा जाता है, जहाँ संचित आवृत्तियों का योग सभी प्रेक्षणों की कुल संख्या से प्रेक्षणों के आधे से अधिक हो जाता है।

माध्यिका का संख्यात्मक मान आमतौर पर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है (3.4)

(3.4)

जहाँ x Me माध्यिका अंतराल की निचली सीमा है; यानी - अंतराल का मूल्य; SМе -1 - अंतराल की संचित आवृत्ति, जो माध्यिका से पहले होती है; fМе माध्यिका अंतराल की आवृत्ति है।

पाए गए अंतराल के भीतर, माध्यिका की गणना भी सूत्र Me = . का उपयोग करके की जाती है एक्स्ट्रा लार्ज f, जहां समानता के दाईं ओर दूसरा कारक माध्यिका अंतराल के भीतर माध्यिका का स्थान दर्शाता है, और x इस अंतराल की लंबाई है। माध्यिका भिन्नता श्रृंखला को बारंबारताओं के संदर्भ में आधे में विभाजित करती है। अभी भी परिभाषित करें चतुर्थकों , जो प्रायिकता में भिन्नता श्रृंखला को समान आकार के 4 भागों में विभाजित करते हैं, और दशमांश पंक्ति को 10 बराबर भागों में विभाजित करना।

औसत का सबसे महत्वपूर्ण गुण यह है कि यह उस सामान्य को दर्शाता है जो अध्ययन की गई जनसंख्या की सभी इकाइयों में निहित है। जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषता के मूल्य कई कारकों के प्रभाव में भिन्न होते हैं, जिनमें से बुनियादी और यादृच्छिक दोनों हो सकते हैं। औसत का सार इस तथ्य में निहित है कि यह पारस्परिक रूप से विशेषता के मूल्यों के विचलन के लिए क्षतिपूर्ति करता है, जो यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के कारण होता है, और की कार्रवाई के कारण होने वाले परिवर्तनों को जमा (खाते में) करता है मुख्य कारक। यह औसत को व्यक्तिगत इकाइयों में निहित व्यक्तिगत विशेषताओं से विशेषता और अमूर्त के विशिष्ट स्तर को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है।

औसत को सही मायने में टंकण करने के लिए, इसकी गणना कुछ सिद्धांतों के आधार पर की जानी चाहिए।

औसत का उपयोग करने के मूल सिद्धांत।

1. गुणात्मक रूप से सजातीय इकाइयों वाली आबादी के लिए औसत निर्धारित किया जाना चाहिए।

2. औसत की गणना पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में इकाइयों वाली आबादी के लिए की जानी चाहिए।

3. औसत की गणना स्थिर परिस्थितियों में जनसंख्या के लिए की जानी चाहिए (जब प्रभावित करने वाले कारक नहीं बदलते हैं या महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलते हैं)।

4. अध्ययन के तहत संकेतक की आर्थिक सामग्री को ध्यान में रखते हुए औसत की गणना की जानी चाहिए।

अधिकांश विशिष्ट आँकड़ों की गणना निम्न के उपयोग पर आधारित है:

· औसत कुल;

· औसत शक्ति (हार्मोनिक, ज्यामितीय, अंकगणित, द्विघात, घन);

· औसत कालानुक्रमिक (अनुभाग देखें)।

कुल औसत को छोड़कर सभी औसत की गणना दो संस्करणों में की जा सकती है - भारित या अभारित के रूप में।

औसत सकल। सूत्र का उपयोग किया जाता है:

कहाँ पे मैं= एक्स मैं* च मैं;

एक्स मैं- औसत सुविधा का i-th संस्करण;

च मैं, - वजन मैं- पहला विकल्प।

औसत शक्ति कानून। सामान्य तौर पर, गणना के लिए सूत्र:

जहां डिग्री क- औसत शक्ति का प्रकार।

शक्ति-कानून के आधार पर गणना किए गए माध्य मान समान प्रारंभिक डेटा के लिए समान नहीं हैं। घातांक k में वृद्धि के साथ, संगत औसत मान भी बढ़ता है:

औसत कालानुक्रमिक। तिथियों के बीच समान अंतराल वाली क्षणिक समय श्रृंखला के लिए, इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

,

कहाँ पे एक्स 1तथा एन एसएनप्रारंभ और समाप्ति तिथि पर संकेतक का मूल्य।

शक्ति औसत की गणना के लिए सूत्र

उदाहरण। तालिका के अनुसार। 2.1 समग्र रूप से तीन उद्यमों के लिए औसत मजदूरी की गणना करना आवश्यक है।

तालिका 2.1

जेएससी उद्यमों का वेतन

कंपनी	औद्योगिक की संख्या उत्पादनकार्मिक (पीपीपी), लोग	मासिक फंड मजदूरी, रगड़।	औसत वेतन,रगड़ना
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
संपूर्ण		1415130

विशिष्ट गणना सूत्र तालिका में किस डेटा पर निर्भर करता है। 7 मूल हैं। तदनुसार, निम्नलिखित विकल्प संभव हैं: कॉलम 1 (पीपीपी की संख्या) और 2 (मासिक पेरोल) में डेटा; या - 1 (पीपीपी की संख्या) और 3 (औसत वेतन); या 2 (मासिक पेरोल) और 3 (औसत वेतन)।

यदि केवल कॉलम 1 और 2 डेटा उपलब्ध है... इन ग्राफ़ के परिणामों में वांछित औसत की गणना के लिए आवश्यक मान होते हैं। औसत कुल सूत्र का उपयोग किया जाता है:

यदि केवल कॉलम 1 और 3 डेटा उपलब्ध है, तो मूल अनुपात का हर ज्ञात होता है, लेकिन उसका अंश ज्ञात नहीं होता है। हालांकि, औसत वेतन को पीपीपी की संख्या से गुणा करके पेरोल प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, कुल औसत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है भारित अंकगणित माध्य:

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि वजन ( च मैं) कुछ मामलों में दो या तीन अर्थों का उत्पाद भी हो सकता है।

इसके अलावा, सांख्यिकीय अभ्यास में, औसत अंकगणित भार रहित:

जहाँ n जनसंख्या का आयतन है।

इस औसत का उपयोग तब किया जाता है जब भार ( च मैं) अनुपस्थित (सुविधा का प्रत्येक प्रकार केवल एक बार होता है) या एक दूसरे के बराबर।

यदि केवल कॉलम 2 और 3 में डेटा उपलब्ध है।अर्थात् मूल अनुपात का अंश ज्ञात होता है, परन्तु उसका हर ज्ञात नहीं होता। प्रत्येक उद्यम के लिए पीपीपी की संख्या औसत वेतन से पेरोल को विभाजित करके प्राप्त की जा सकती है। फिर कुल मिलाकर तीन उद्यमों के औसत वेतन की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है औसत हार्मोनिक भारित:

यदि भार समान हैं ( च मैं) औसत संकेतक की गणना द्वारा की जा सकती है भारित औसत हार्मोनिक:

हमारे उदाहरण में, हमने विभिन्न प्रकार के साधनों का उपयोग किया, लेकिन हमें एक ही उत्तर मिला। यह इस तथ्य के कारण है कि विशिष्ट डेटा के लिए हर बार समान प्रारंभिक औसत अनुपात प्राप्त किया गया था।

औसत की गणना असतत और अंतराल भिन्नता श्रृंखला से की जा सकती है। इस मामले में, गणना अंकगणितीय भारित औसत के अनुसार की जाती है। एक असतत श्रृंखला के लिए, इस सूत्र का उपयोग उसी तरह किया जाता है जैसे उपरोक्त उदाहरण में किया गया है। अंतराल श्रृंखला में, गणना के लिए, अंतराल के मध्य बिंदु निर्धारित किए जाते हैं।

उदाहरण। तालिका के अनुसार। २.२ हम एक सशर्त क्षेत्र में एक महीने के लिए औसत प्रति व्यक्ति मौद्रिक आय का मूल्य निर्धारित करेंगे।

तालिका 2.2

प्रारंभिक डेटा (भिन्नता श्रृंखला)

औसत प्रति व्यक्ति मौद्रिक आय प्रति माह, x, रूबल	जनसंख्या, कुल का% /
400 . तक	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 और ऊपर	2,3
संपूर्ण	100

गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में स्कूली बच्चे अंकगणित माध्य की अवधारणा से परिचित हो जाते हैं। बाद में सांख्यिकी और कुछ अन्य विज्ञानों में, छात्रों को दूसरों की गणना का सामना करना पड़ता है वे क्या हो सकते हैं और वे एक दूसरे से कैसे भिन्न होते हैं?

अर्थ और मतभेद

हमेशा सटीक संकेतक स्थिति की समझ नहीं देते हैं। किसी विशेष स्थिति का आकलन करने के लिए, कभी-कभी बड़ी संख्या में आंकड़ों का विश्लेषण करना आवश्यक होता है। और फिर औसत बचाव के लिए आते हैं। वे समग्र रूप से स्थिति का आकलन करना संभव बनाते हैं।

स्कूल के समय से, कई वयस्क अंकगणितीय माध्य के अस्तित्व को याद करते हैं। गणना करना बहुत आसान है - n सदस्यों के अनुक्रम का योग n से विभाज्य है। यही है, यदि आपको 27, 22, 34 और 37 के मूल्यों के अनुक्रम में अंकगणितीय माध्य की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको 4 मानों के बाद से अभिव्यक्ति (27 + 22 + 34 + 37) / 4 को हल करने की आवश्यकता है। गणना में उपयोग किया जाता है। इस मामले में, आवश्यक मान 30 के बराबर होगा।

अक्सर, स्कूली पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर, ज्यामितीय माध्य का भी अध्ययन किया जाता है। इस मान की गणना n पदों के गुणनफल के nवें मूल को निकालने पर आधारित है। यदि हम समान संख्याएँ लेते हैं: 27, 22, 34 और 37, तो गणना का परिणाम 29.4 होगा।

सामान्य शिक्षा स्कूल में हार्मोनिक माध्य आमतौर पर अध्ययन का विषय नहीं होता है। फिर भी, यह काफी बार प्रयोग किया जाता है। यह मान अंकगणित माध्य का व्युत्क्रम है और इसकी गणना n के भागफल के रूप में की जाती है - मानों की संख्या और योग 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n। अगर हम फिर से गणना के लिए इसे लेते हैं, तो हार्मोनिक 29.6 होगा।

भारित औसत: विशेषताएं

हालाँकि, उपरोक्त सभी मानों का उपयोग हर जगह नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आंकड़ों में, कुछ की गणना करते समय, गणना में प्रयुक्त प्रत्येक संख्या के "वजन" द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है। परिणाम अधिक सांकेतिक और सही हैं क्योंकि वे अधिक जानकारी को ध्यान में रखते हैं। मूल्यों के इस समूह को सामूहिक रूप से "भारित औसत" कहा जाता है। वे स्कूल में पास नहीं होते हैं, इसलिए यह उन पर अधिक विस्तार से रहने लायक है।

सबसे पहले, यह बताने योग्य है कि इस या उस मूल्य के "वजन" का क्या अर्थ है। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक विशिष्ट उदाहरण है। अस्पताल में हर मरीज के शरीर का तापमान दिन में दो बार मापा जाता है। अस्पताल के विभिन्न विभागों के 100 मरीजों में से 44 का सामान्य तापमान 36.6 डिग्री रहेगा. अन्य 30 का बढ़ा हुआ मान होगा - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39, और शेष दो - 40। और यदि हम अंकगणितीय माध्य लेते हैं, तो अस्पताल के लिए सामान्य रूप से यह मान 38 से अधिक होगा। डिग्री! लेकिन लगभग आधे रोगियों में पूरी तरह से और यहां भारित औसत मूल्य का उपयोग करना अधिक सही होगा, और प्रत्येक मूल्य का "वजन" लोगों की संख्या होगी। इस मामले में, गणना का परिणाम 37.25 डिग्री होगा। अंतर स्पष्ट है।

भारित औसत गणना के मामले में, "वजन" को शिपमेंट की संख्या के रूप में लिया जा सकता है, किसी दिए गए दिन काम करने वाले लोगों की संख्या, सामान्य तौर पर, कुछ भी जिसे मापा जा सकता है और अंतिम परिणाम को प्रभावित कर सकता है।

किस्मों

भारित औसत लेख की शुरुआत में चर्चा किए गए अंकगणितीय औसत से मेल खाता है। हालाँकि, पहला मान, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, गणना में प्रयुक्त प्रत्येक संख्या के वजन को भी ध्यान में रखता है। इसके अलावा, ज्यामितीय और हार्मोनिक भारित माध्य मान भी हैं।

संख्याओं की श्रृंखला में उपयोग की जाने वाली एक और दिलचस्प भिन्नता है। यह एक भारित चलती औसत है। इसके आधार पर प्रवृत्तियों की गणना की जाती है। स्वयं के मूल्यों और उनके वजन के अलावा, वहाँ आवधिकता का भी उपयोग किया जाता है। और किसी समय औसत मूल्य की गणना करते समय, पिछले समय अंतराल के मूल्यों को भी ध्यान में रखा जाता है।

इन सभी मूल्यों की गणना करना इतना मुश्किल नहीं है, लेकिन व्यवहार में आमतौर पर केवल सामान्य भारित औसत का उपयोग किया जाता है।

गणना के तरीके

बड़े पैमाने पर कम्प्यूटरीकरण के युग में, भारित औसत की मैन्युअल रूप से गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। हालांकि, गणना सूत्र को जानना उपयोगी होगा ताकि आप जांच कर सकें और यदि आवश्यक हो, तो प्राप्त परिणामों को सही कर सकें।

गणना पर विचार करने का सबसे आसान तरीका एक विशिष्ट उदाहरण है।

इस या उस कमाई को प्राप्त करने वाले श्रमिकों की संख्या को ध्यान में रखते हुए, यह पता लगाना आवश्यक है कि इस उद्यम में औसत मजदूरी क्या है।

तो, भारित औसत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एक्स = (ए 1 * डब्ल्यू 1 + ए 2 * डब्ल्यू 2 + ... + ए एन * डब्ल्यू एन) / (डब्ल्यू 1 + डब्ल्यू 2 + ... + डब्ल्यू एन)

उदाहरण के लिए, गणना इस प्रकार होगी:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33.48

जाहिर है, भारित औसत की मैन्युअल रूप से गणना करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है। सूत्रों के साथ सबसे लोकप्रिय अनुप्रयोगों में से एक में इस मान की गणना करने का सूत्र - एक्सेल - SUMPRODUCT (संख्याओं की श्रृंखला; भार की श्रृंखला) / SUM (वजन की श्रृंखला) फ़ंक्शन जैसा दिखता है।

5.1. माध्य मान अवधारणा

औसत मूल्य -यह एक सामान्यीकरण संकेतक है जो घटना के विशिष्ट स्तर की विशेषता है। यह जनसंख्या की प्रति इकाई एक विशेषता के मूल्य को व्यक्त करता है।

औसत हमेशा विशेषता की मात्रात्मक भिन्नता को सामान्य करता है, अर्थात। औसत मूल्यों में, यादृच्छिक परिस्थितियों के कारण जनसंख्या की इकाइयों के व्यक्तिगत अंतर समाप्त हो जाते हैं। औसत के विपरीत, जनसंख्या की एक व्यक्तिगत इकाई की विशेषता के स्तर को दर्शाने वाला निरपेक्ष मूल्य विभिन्न आबादी से संबंधित इकाइयों में एक विशेषता के मूल्यों की तुलना करने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, यदि दो उद्यमों में श्रमिकों के पारिश्रमिक के स्तरों की तुलना करना आवश्यक है, तो इस आधार पर विभिन्न उद्यमों के दो श्रमिकों की तुलना करना असंभव है। तुलना के लिए चुने गए श्रमिकों का वेतन इन उद्यमों के लिए विशिष्ट नहीं हो सकता है। यदि हम विचाराधीन उद्यमों में वेतन निधि के आकार की तुलना करते हैं, तो कर्मचारियों की संख्या को ध्यान में नहीं रखा जाता है और इसलिए, यह निर्धारित करना असंभव है कि मजदूरी का स्तर कहाँ अधिक है। अंततः, केवल औसत संकेतकों की तुलना की जा सकती है, अर्थात। प्रत्येक उद्यम में एक कर्मचारी को औसतन कितना प्राप्त होता है। इस प्रकार, जनसंख्या की सामान्यीकरण विशेषता के रूप में औसत की गणना करना आवश्यक हो जाता है।

औसत की गणना सामान्य सामान्यीकरण तकनीकों में से एक है; औसत इस बात से इनकार करता है कि अध्ययन की गई आबादी की सभी इकाइयों के लिए सामान्य क्या है, जो विशिष्ट (विशिष्ट) है, साथ ही यह व्यक्तिगत इकाइयों के बीच के अंतरों की उपेक्षा करता है। प्रत्येक घटना और उसके विकास में संयोग और आवश्यकता का संयोग होता है। औसत की गणना करते समय, बड़ी संख्या के कानून की कार्रवाई के कारण, संभावना को रद्द कर दिया जाता है, संतुलित किया जाता है, इसलिए, प्रत्येक विशिष्ट मामले में विशेषता के मात्रात्मक मूल्यों से, घटना की तुच्छ विशेषताओं से अमूर्त किया जा सकता है। व्यक्तिगत मूल्यों, उतार-चढ़ाव की यादृच्छिकता से अमूर्त करने की क्षमता, और समुच्चय के सामान्यीकरण विशेषताओं के रूप में औसत का वैज्ञानिक मूल्य निहित है।

औसत को सही मायने में टंकण करने के लिए, इसकी गणना कुछ सिद्धांतों के आधार पर की जानी चाहिए।

आइए हम औसत का उपयोग करने के कुछ सामान्य सिद्धांतों पर ध्यान दें।
1. गुणात्मक रूप से सजातीय इकाइयों वाली आबादी के लिए औसत निर्धारित किया जाना चाहिए।
2. औसत की गणना पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में इकाइयों वाली आबादी के लिए की जानी चाहिए।
3. औसत की गणना उस जनसंख्या के लिए की जानी चाहिए, जिसकी इकाइयाँ सामान्य, प्राकृतिक अवस्था में हों।
4. अध्ययन के तहत संकेतक की आर्थिक सामग्री को ध्यान में रखते हुए औसत की गणना की जानी चाहिए।

५.२. औसत के प्रकार और उनकी गणना कैसे करें

आइए अब हम औसत के प्रकार, उनकी गणना की विशेषताओं और कार्यक्षेत्र पर विचार करें। औसत दो बड़े वर्गों में विभाजित हैं: बिजली औसत, संरचनात्मक औसत।

प्रति शक्ति मतलबज्यामितीय माध्य, अंकगणित माध्य और मूल-माध्य-वर्ग जैसे सबसे प्रसिद्ध और अक्सर उपयोग किए जाने वाले प्रकार शामिल हैं।

जैसा संरचनात्मक औसतफैशन और मंझला माना जाता है।

आइए बिजली औसत पर ध्यान दें। प्रारंभिक डेटा की प्रस्तुति के आधार पर पावर औसत, सरल और भारित हो सकता है। साधारण औसतसमूहीकृत डेटा से गणना नहीं की जाती है और इसमें निम्नलिखित सामान्य रूप होते हैं:

जहाँ X i - औसत विशेषता के विकल्प (मान);

n विकल्पों की संख्या है।

भारित औसतसमूहीकृत डेटा से गणना की जाती है और इसका एक सामान्य रूप होता है

,

जहाँ X i औसत विशेषता का भिन्न (मान) है या अंतराल का मध्य मान है जिसमें भिन्न को मापा जाता है;
मी - औसत की डिग्री का सूचक;
f i - आवृत्ति दर्शाती है कि औसत विशेषता का i-e मान कितनी बार आता है।

आइए एक उदाहरण के रूप में 20 लोगों के समूह में छात्रों की औसत आयु की गणना करें:

औसत आयु की गणना साधारण औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

आइए मूल डेटा को समूहित करें। हमें निम्नलिखित वितरण श्रृंखला मिलती है:

समूहीकरण के परिणामस्वरूप, हमें एक नया संकेतक मिलता है - एक आवृत्ति जो X वर्ष की आयु में छात्रों की संख्या को दर्शाती है। इसलिए, समूह में छात्रों की औसत आयु की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाएगी:

शक्ति औसत की गणना के लिए सामान्य सूत्रों में एक घातांक (एम) होता है। यह किस मूल्य पर निर्भर करता है, निम्न प्रकार के बिजली औसत प्रतिष्ठित हैं:
औसत हार्मोनिक, अगर एम = -1;
ज्यामितीय माध्य यदि m -> 0;
समांतर माध्य यदि m = 1;
मूल-माध्य-वर्ग, यदि m = 2;
औसत घन यदि m = ३ है।

शक्ति-नियम सूत्र तालिका में दिए गए हैं। ४.४.

यदि हम एक ही प्रारंभिक डेटा के लिए सभी प्रकार के औसत की गणना करते हैं, तो उनका मान असमान हो जाएगा। यहाँ औसत की प्रमुखता का नियम लागू होता है: घातांक m में वृद्धि के साथ, संगत औसत मान भी बढ़ता है:

सांख्यिकीय अभ्यास में, अन्य प्रकार के भारित औसतों की तुलना में अधिक बार, अंकगणितीय औसत और हार्मोनिक भारित औसत का उपयोग किया जाता है।

तालिका 5.1

बिजली औसत के प्रकार

पावर प्रकार औसत	अनुक्रमणिका डिग्री (एम)	गणना सूत्र
		सरल	भारित
लयबद्ध	-1
ज्यामितिक	0
अंकगणित	1
द्विघात	2
घन	3

हार्मोनिक माध्य में अंकगणित माध्य की तुलना में अधिक जटिल निर्माण होता है। हार्मोनिक माध्य का उपयोग गणना के लिए किया जाता है, जब कुल इकाइयाँ नहीं - सुविधा के वाहक - वजन के रूप में उपयोग किए जाते हैं, लेकिन इन इकाइयों के उत्पाद को फीचर वैल्यू (यानी, m = Xf) द्वारा उपयोग किया जाता है। निर्धारण के मामलों में औसत हार्मोनिक डाउनटाइम का सहारा लिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, श्रम की औसत लागत, समय, उत्पादन की प्रति यूनिट सामग्री, दो (तीन, चार, आदि) उद्यमों, निर्माण में लगे श्रमिकों के लिए प्रति भाग एक ही प्रकार के उत्पाद का, एक ही भाग का, उत्पाद का।

औसत मूल्य की गणना के लिए सूत्र के लिए मुख्य आवश्यकता यह है कि गणना के सभी चरणों का वास्तविक वास्तविक औचित्य है; परिणामी औसत मूल्य को व्यक्तिगत और सारांश संकेतकों के बीच संबंध को बाधित किए बिना प्रत्येक वस्तु के लिए विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को प्रतिस्थापित करना चाहिए। दूसरे शब्दों में, औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए ताकि जब औसत संकेतक के प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य को उसके औसत से बदल दिया जाए, तो कुछ अंतिम सारांश संकेतक, एक तरह से या किसी अन्य औसत से जुड़े हुए, अपरिवर्तित रहते हैं। इस नीचे की रेखा को कहा जाता है परिभाषित करना,चूंकि व्यक्तिगत मूल्यों के साथ इसके संबंध की प्रकृति औसत की गणना के लिए विशिष्ट सूत्र निर्धारित करती है। आइए हम एक ज्यामितीय माध्य के उदाहरण का उपयोग करके इस नियम को प्रदर्शित करें।

ज्यामितीय माध्य सूत्र

इसका उपयोग अक्सर गतिकी के व्यक्तिगत सापेक्ष मूल्यों के औसत मूल्य की गणना करते समय किया जाता है।

ज्यामितीय माध्य का उपयोग किया जाता है यदि डायनामिक्स के श्रृंखला सापेक्ष मूल्यों का एक क्रम दिया जाता है, उदाहरण के लिए, पिछले वर्ष के स्तर की तुलना में उत्पादन की मात्रा में वृद्धि: i 1, i 2, i 3, ..., में। जाहिर है, पिछले वर्ष में उत्पादन की मात्रा इसके प्रारंभिक स्तर (क्यू 0) और बाद के वर्षों में वृद्धि से निर्धारित होती है:

क्यू एन = क्यू 0 × मैं 1 × मैं 2 × ... × मैं एन।

q n को एक परिभाषित संकेतक के रूप में लेते हुए और गतिकी के व्यक्तिगत मूल्यों को औसत के साथ बदलकर, हम संबंध पर पहुंचते हैं

यहां से

5.3. संरचनात्मक औसत

एक विशेष प्रकार के औसत मूल्य - संरचनात्मक औसत - का उपयोग विशेषता मूल्यों के वितरण की श्रृंखला की आंतरिक संरचना का अध्ययन करने के साथ-साथ औसत मूल्य (शक्ति प्रकार) का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, यदि उपलब्ध सांख्यिकीय आंकड़ों के अनुसार, इसकी गणना नहीं की जा सकती है (उदाहरण के लिए, यदि विचार किए गए उदाहरण में और उत्पादन की मात्रा पर और उद्यमों के समूहों द्वारा लागत की मात्रा पर कोई डेटा नहीं था)।

संकेतकों को अक्सर संरचनात्मक औसत के रूप में उपयोग किया जाता है पहनावा -विशेषता का सबसे बार-बार दोहराया जाने वाला मान - और माध्यिका -विशेषता का मान, जो उसके मानों के क्रमित क्रम को संख्या के बराबर दो भागों में विभाजित करता है। नतीजतन, आबादी की आधी इकाइयों में, विशेषता का मूल्य औसत स्तर से अधिक नहीं होता है, और दूसरे में, यह इससे कम नहीं होता है।

यदि अध्ययनित विशेषता में असतत मान हैं, तो बहुलक और माध्यिका की गणना करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है। यदि विशेषता X के मानों पर डेटा को उसके परिवर्तन (अंतराल श्रृंखला) के क्रमबद्ध अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो बहुलक और माध्यिका की गणना कुछ अधिक जटिल हो जाती है। चूँकि माध्यिका मान संपूर्ण जनसंख्या को संख्या के बराबर दो भागों में विभाजित करता है, यह गुण X के कुछ अंतरालों में प्रकट होता है। प्रक्षेप का उपयोग करते हुए, माध्यिका मान इस माध्यिका अंतराल में पाया जाता है:

,

जहाँ X Me माध्यिका अंतराल की निचली सीमा है;
ज मैं - इसका मूल्य;
(योग एम) / २ - प्रेक्षणों की कुल संख्या का आधा या संकेतक के आयतन का आधा जो औसत (पूर्ण या सापेक्ष शब्दों में) की गणना के लिए सूत्रों में भार के रूप में उपयोग किया जाता है;
S Me-1 - माध्यिका अंतराल की शुरुआत से पहले जमा हुए प्रेक्षणों (या तोलने के गुण का आयतन) का योग;
मी मी - माध्यिका अंतराल में प्रेक्षणों की संख्या या भार विशेषता का आयतन (पूर्ण या सापेक्ष शब्दों में भी)।

हमारे उदाहरण में, तीन औसत मूल्य भी प्राप्त किए जा सकते हैं - उद्यमों की संख्या, उत्पादन की मात्रा और उत्पादन लागत की कुल राशि की विशेषताओं के आधार पर:

इस प्रकार, आधे उद्यमों की इकाई लागत 125.19 हजार रूबल से अधिक है, उत्पादन की कुल मात्रा का आधा उत्पादन प्रति उत्पाद लागत के स्तर के साथ 124.79 हजार रूबल से अधिक है। और कुल लागत का 50% तब उत्पन्न होता है जब एक उत्पाद की लागत 125.07 हजार रूबल से अधिक हो। यह भी ध्यान दें कि मेरे 2 = 124.79 हजार रूबल के बाद से लागत मूल्य में वृद्धि की एक निश्चित प्रवृत्ति है, और औसत स्तर 123.15 हजार रूबल है।

अंतराल श्रृंखला के डेटा के अनुसार किसी सुविधा के मोडल मान की गणना करते समय, इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है कि अंतराल समान हैं, क्योंकि फीचर एक्स के मूल्यों की पुनरावृत्ति का संकेतक इस पर निर्भर करता है समान अंतराल वाली एक अंतराल श्रृंखला के लिए बहुलक का मान इस प्रकार निर्धारित किया जाता है

जहाँ X Mo बहुलक अंतराल का निम्न मान है;
मी मो - मोडल अंतराल में प्रेक्षणों की संख्या या तोलने की विशेषता का आयतन (निरपेक्ष या सापेक्ष शब्दों में);
एम मो -1 - मोडल से पहले के अंतराल के लिए समान;
एम मो + 1 - मोडल के बाद के अंतराल के लिए समान;
एच - समूहों में विशेषता में परिवर्तन के अंतराल का मूल्य।

हमारे उदाहरण के लिए, उद्यमों की संख्या, उत्पादन की मात्रा और लागत की मात्रा की विशेषताओं के आधार पर तीन मोडल मूल्यों की गणना की जा सकती है। तीनों मामलों में, मोडल अंतराल समान है, क्योंकि एक ही अंतराल के लिए उद्यमों की संख्या, और उत्पादन की मात्रा, और उत्पादन लागत की कुल राशि सबसे बड़ी है:

इस प्रकार, सबसे अधिक बार 126.75 हजार रूबल के उत्पादन लागत स्तर वाले उद्यम होते हैं, सबसे अधिक बार उत्पादों का उत्पादन 126.69 हजार रूबल के लागत स्तर के साथ किया जाता है, और सबसे अधिक बार उत्पादन लागत को 123.73 हजार रूबल की लागत मूल्य स्तर द्वारा समझाया जाता है।

५.४. विविधता संकेतक

विशिष्ट परिस्थितियों में अध्ययन के तहत प्रत्येक वस्तु स्थित है, साथ ही साथ अपने स्वयं के विकास (सामाजिक, आर्थिक, आदि) की विशेषताएं सांख्यिकीय संकेतकों के संबंधित संख्यात्मक स्तरों द्वारा व्यक्त की जाती हैं। इस प्रकार, उतार - चढ़ाव,वे। विभिन्न वस्तुओं के लिए एक ही संकेतक के स्तरों के बीच विसंगति उद्देश्यपूर्ण है और अध्ययन के तहत घटना के सार को समझने में मदद करती है।

आँकड़ों में भिन्नता को मापने के लिए कई विधियों का उपयोग किया जाता है।

संकेतक की गणना करना सबसे आसान है भिन्नता की सीमाН अधिकतम (एक्स अधिकतम) और न्यूनतम (एक्स मिनट) विशेषता के मूल्यों के बीच अंतर के रूप में:

एच = एक्स अधिकतम - एक्स मिनट।

हालांकि, भिन्नता की सीमा केवल विशेषता के चरम मूल्यों को दर्शाती है। यहां मध्यवर्ती मूल्यों की पुनरावृत्ति पर विचार नहीं किया जाता है।

अधिक कठोर विशेषताएं विशेषता के औसत स्तर के सापेक्ष परिवर्तनशीलता के संकेतक हैं। इस प्रकार का सबसे सरल संकेतक है माध्य रैखिक विचलनएल अपने औसत स्तर से विशेषता के पूर्ण विचलन के अंकगणितीय माध्य के रूप में:

एक्स के व्यक्तिगत मूल्यों की पुनरावृत्ति के साथ, अंकगणितीय भारित औसत सूत्र का उपयोग किया जाता है:

(याद रखें कि माध्य से विचलनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है।)

माध्य रैखिक विचलन के सूचक को व्यवहार में व्यापक रूप से लागू किया गया है। इसकी मदद से, उदाहरण के लिए, श्रमिकों की संरचना, उत्पादन की लय, सामग्री की आपूर्ति की एकरूपता का विश्लेषण किया जाता है, और सामग्री प्रोत्साहन की प्रणाली विकसित की जाती है। लेकिन, दुर्भाग्य से, यह संकेतक संभाव्य प्रकार की गणना को जटिल बनाता है, जिससे गणितीय आँकड़ों के तरीकों को लागू करना मुश्किल हो जाता है। इसलिए, सांख्यिकीय वैज्ञानिक अनुसंधान में भिन्नता को मापने के लिए, संकेतक का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है भिन्नता।

विशेषता का प्रसरण (s 2) द्विघात घात माध्य के आधार पर निर्धारित किया जाता है:

.

घातांक s, के बराबर, कहलाता है मानक विचलन।

आँकड़ों के सामान्य सिद्धांत में, विचरण का सूचक एक ही नाम की संभावना के सिद्धांत के संकेतक का एक अनुमान है और (विचलन के वर्गों के योग के रूप में) गणितीय आँकड़ों में विचरण का एक अनुमान है, जो इसका उपयोग करना संभव बनाता है सामाजिक-आर्थिक प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए इन सैद्धांतिक विषयों के प्रावधान।

यदि असीमित सामान्य जनसंख्या से ली गई टिप्पणियों की एक छोटी संख्या से भिन्नता का अनुमान लगाया जाता है, तो विशेषता का औसत मूल्य कुछ त्रुटि के साथ निर्धारित किया जाता है। विचरण का परिकलित मान घटने की ओर पक्षपाती हो जाता है। एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए, पहले दिए गए सूत्रों द्वारा प्राप्त नमूना विचरण को मान n / (n - 1) से गुणा किया जाना चाहिए। नतीजतन, कम संख्या में टिप्पणियों के साथ (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

आमतौर पर, पहले से ही n> (15–20) पर, पक्षपाती और निष्पक्ष अनुमानों के बीच विसंगति महत्वहीन हो जाती है। इसी कारण से, विचरण जोड़ने के सूत्र में पूर्वाग्रह को आमतौर पर ध्यान में नहीं रखा जाता है।

यदि हम सामान्य जनसंख्या से कई नमूने लेते हैं और हर बार विशेषता का औसत मूल्य निर्धारित करते हैं, तो समस्या औसत की परिवर्तनशीलता का आकलन करने में उत्पन्न होती है। अनुमान विचरण औसत मूल्ययह संभव है और सूत्र द्वारा सिर्फ एक नमूना अवलोकन के आधार पर

,

जहां n नमूना आकार है; s २ - नमूना डेटा से गणना की गई सुविधा का विचरण।

मात्रा नाम धारण करता है माध्य नमूना त्रुटिऔर गुण X के प्रतिदर्श माध्य के वास्तविक माध्य से विचलन की विशेषता है। नमूना अवलोकन के परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए औसत त्रुटि के संकेतक का उपयोग किया जाता है।

सापेक्ष फैलाव के संकेतक।अध्ययन के तहत विशेषता की परिवर्तनशीलता के माप को चिह्नित करने के लिए, परिवर्तनशीलता संकेतकों की गणना सापेक्ष मूल्यों में की जाती है। वे आपको अलग-अलग वितरणों में फैलाव की प्रकृति की तुलना करने की अनुमति देते हैं (विभिन्न आबादी में एक ही विशेषता के अवलोकन की विभिन्न इकाइयां, अलग-अलग औसत मूल्यों के साथ, जब विपरीत आबादी की तुलना करते हैं)। सापेक्ष फैलाव के माप के संकेतकों की गणना अंकगणितीय माध्य के फैलाव के पूर्ण संकेतक के अनुपात के रूप में की जाती है, जिसे 100% से गुणा किया जाता है।

1. दोलन गुणांकऔसत के आसपास विशेषता के चरम मूल्यों की सापेक्ष परिवर्तनशीलता को दर्शाता है

.

2. सापेक्ष रैखिक शटडाउन औसत मूल्य से पूर्ण विचलन के संकेत के औसत मूल्य के हिस्से की विशेषता है

.

3. भिन्नता का गुणांक:

औसत की विशिष्टता का आकलन करने के लिए उपयोग की जाने वाली परिवर्तनशीलता का सबसे आम उपाय है।

आँकड़ों में, ३०-३५% से अधिक भिन्नता के गुणांक वाली आबादी को विषमांगी माना जाता है।

भिन्नता के मूल्यांकन की इस पद्धति में एक महत्वपूर्ण खामी भी है। दरअसल, उदाहरण के लिए, 15 साल की औसत सेवा अवधि वाले श्रमिकों की प्रारंभिक आबादी, एस = 10 साल के मानक विचलन के साथ, "वृद्ध" एक और 15 साल। अब = 30 वर्ष, और मानक विचलन अभी भी 10 है। पूर्व में विषम जनसंख्या (10/15 × 100 .) = ६६.७%), इस प्रकार समय के साथ काफी सजातीय हो जाता है (१०/३० × १०० = ३३.३%)।

बोयार्स्की ए.वाई.ए. सांख्यिकी में सैद्धांतिक अनुसंधान: शनि। विज्ञान कार्यवाही। - एम।: सांख्यिकी, 1974। एस 19-57।

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