एक्सेल में संख्याओं के औसत मूल्य की गणना कैसे करें

आप फ़ंक्शन का उपयोग करके Excel में संख्याओं का अंकगणितीय माध्य पा सकते हैं।

सिंटेक्स एवरेज

\u003d अवेरेज (संख्या 1; [संख्या 2]; ...) - रूसी संस्करण

तर्क

• संख्या 1 - अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए संख्याओं की पहली संख्या या श्रेणी;
• नंबर 2 (वैकल्पिक) - अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए दूसरी संख्या या संख्याओं की सीमा। फ़ंक्शन तर्क की अधिकतम संख्या 255 है।

गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

• किसी भी सेल का चयन करें;
• इसमें सूत्र लिखिए \u003d अवेरेज (
• उन कक्षों की श्रेणी का चयन करें जिनके लिए आप एक गणना करना चाहते हैं;
• कीबोर्ड पर एंटर की दबाएं

फ़ंक्शन उन कक्षों के बीच निर्दिष्ट सीमा में औसत मूल्य की गणना करता है जिसमें संख्याएं होती हैं।

पाठ के आधार पर औसत मूल्य कैसे प्राप्त करें

यदि डेटा रेंज में खाली लाइनें या टेक्स्ट हैं, तो फ़ंक्शन उन्हें "शून्य" मानता है। यदि डेटा में तार्किक अभिव्यक्ति FALSE या TRUE हैं, तो FALSE फ़ंक्शन "शून्य" और TRUE को "1" मानता है।

स्थिति से अंकगणित माध्य कैसे ज्ञात करें

किसी स्थिति या कसौटी के औसत की गणना करने के लिए, एक फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास माल की बिक्री का डेटा है:

हमारा काम कलम बिक्री के औसत मूल्य की गणना करना है। ऐसा करने के लिए, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

• सेल में ए 13उत्पाद "पेन" का नाम लिखें;
• सेल में B13हम सूत्र का परिचय देते हैं:

\u003d अवेरेज (ए 2: ए 10; ए 13; बी 2: बी 10)

सेल रेंज “ A2: A10"उत्पादों की एक सूची इंगित करता है जिसमें हम" पेन "शब्द की खोज करेंगे। बहस ए 13 यह पाठ के साथ एक सेल की एक कड़ी है जिसे हम उत्पादों की पूरी सूची में देखेंगे। सेल रेंज “ बी 2: बी 10 "माल की बिक्री डेटा के साथ एक सीमा होती है, जिसके बीच फ़ंक्शन" पेन "ढूंढेगा और औसत मूल्य की गणना करेगा।

सारांश और समूहीकरण के परिणामों से सांख्यिकीय निष्कर्षों का विश्लेषण और प्राप्त करने के लिए, सामान्यीकरण संकेतकों की गणना की जाती है - औसत और सापेक्ष मूल्य।

औसत समस्या - विशेषता के एक मूल्य के साथ सांख्यिकीय आबादी की सभी इकाइयों को चिह्नित करने के लिए।

औसत मूल्य उद्यमशीलता गतिविधि के गुणात्मक संकेतकों द्वारा विशेषता हैं: वितरण लागत, लाभ, लाभप्रदता, आदि।

औसत मूल्य- यह कुछ अलग-अलग विशेषता के अनुसार आबादी की इकाइयों की एक सामान्यीकृत विशेषता है।

औसत मूल्य आपको अलग-अलग आबादी में एक ही विशेषता के स्तरों की तुलना करने और इन विसंगतियों के कारणों का पता लगाने की अनुमति देते हैं।

अध्ययन की गई घटनाओं के विश्लेषण में, औसत मूल्यों की भूमिका बहुत बड़ी है। अंग्रेजी अर्थशास्त्री डब्ल्यू। पेटी (1623-1687) ने औसत का व्यापक उपयोग किया। वी। पेटीएम प्रति कर्मचारी औसत दैनिक निर्वाह की लागत के उपाय के रूप में औसत का उपयोग करना चाहता था। औसत मूल्य की स्थिरता अध्ययन की गई प्रक्रियाओं के कानूनों का प्रतिबिंब है। उनका मानना \u200b\u200bथा कि जानकारी को परिवर्तित किया जा सकता है, भले ही पर्याप्त प्रारंभिक डेटा न हो।

इंग्लैंड की जनसंख्या के आंकड़ों के विश्लेषण में अंग्रेजी वैज्ञानिक जी किंग (1648-1712) के लागू औसत और सापेक्ष मूल्य।

बेल्जियम के आँकड़ों के सैद्धांतिक घटनाक्रम ए। क्वाइलेट (1796-1874) सामाजिक घटनाओं के विरोधाभासी स्वरूप पर आधारित हैं - जो बड़े पैमाने पर स्थिर हैं, लेकिन विशुद्ध रूप से व्यक्तिगत हैं।

ए। क्वाइलेट के अनुसार, स्थायी कारण प्रत्येक अध्ययन किए गए घटना पर समान रूप से कार्य करते हैं और इन घटनाओं को समान रूप से देखते हैं, उन सभी के लिए नियमितता बनाते हैं।

ए। क्लेटलेट के शिक्षण का एक परिणाम सांख्यिकीय विश्लेषण की मुख्य विधि के रूप में औसत का आवंटन था। उन्होंने कहा कि सांख्यिकीय औसत उद्देश्य वास्तविकता की श्रेणी नहीं है।

ए केटल ने औसत व्यक्ति के अपने सिद्धांत में औसत पर अपने विचार व्यक्त किए। एक औसत व्यक्ति एक ऐसा व्यक्ति होता है, जिसमें एक औसत आकार (औसत मृत्यु दर या जन्म दर, औसत ऊंचाई और वजन, दौड़ने की औसत गति, शादी करने की औसत प्रवृत्ति और अच्छे कर्मों के लिए, आदि) में सभी गुण होते हैं। ए केटल के लिए, औसत व्यक्ति एक व्यक्ति का आदर्श है। औसत व्यक्ति ए। क्लेटलेट के सिद्धांत की विफलता XIX-XX सदियों के अंत में रूसी सांख्यिकीय साहित्य में साबित हुई थी।

प्रसिद्ध रूसी सांख्यिकीविद् यू। ई। यन्सन (1835-1893) ने लिखा है कि ए केटल ने औसत व्यक्ति के प्रकार की प्रकृति को अस्तित्व के रूप में कुछ दिया गया है, जिसमें से जीवन ने इस समाज और औसत समय के औसत लोगों को खारिज कर दिया है, और यह उसे आगे बढ़ाता है। सामाजिक जीवन की गति के नियमों का पूरी तरह से यांत्रिक दृष्टिकोण: आंदोलन एक व्यक्ति के औसत गुणों में क्रमिक वृद्धि है, प्रकार की क्रमिक बहाली; नतीजतन, सामाजिक शरीर के जीवन की सभी अभिव्यक्तियों का ऐसा स्तर, जिसके आगे सभी प्रगतिशील आंदोलन बंद हो जाते हैं।

इस सिद्धांत का सार सही मात्रा के सिद्धांत के रूप में कई सिद्धांतकारों के काम में विकसित किया गया था। ए केटल के अनुयायी थे - जर्मन अर्थशास्त्री और सांख्यिकीविद् वी। लेक्सिस (1837-1914), जिन्होंने सार्वजनिक जीवन की आर्थिक घटनाओं के लिए सही मात्रा के सिद्धांत को स्थानांतरित किया। उनके सिद्धांत को स्थिरता सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। औसत के आदर्शवादी सिद्धांत की एक और विविधता दर्शन पर आधारित है

इसके संस्थापक, अंग्रेजी सांख्यिकीविद् ए। बॉली (1869-1957), औसत मूल्यों के सिद्धांत के क्षेत्र में आधुनिक समय के सबसे प्रमुख सिद्धांतकारों में से एक हैं। औसत की उनकी अवधारणा सांख्यिकी के पुस्तक तत्व में उल्लिखित है।

ए। बोवली केवल मात्रात्मक पक्ष से औसत पर विचार करता है, जिससे गुणवत्ता से मात्रा को फाड़ दिया जाता है। औसत मूल्यों (या "उनके कार्य") के अर्थ को परिभाषित करते हुए, ए। बॉली सोच के माचिस्ट सिद्धांत को सामने रखते हैं। ए। बॉली ने लिखा कि औसत के कार्य को एक जटिल समूह को व्यक्त करना चाहिए

कुछ प्रमुख संख्याओं के साथ। सांख्यिकीय डेटा को सरल, समूहीकृत और औसत से कम किया जाना चाहिए। ये दृश्य: आर। फिशर (1890-1968), जे। यूल (1871 - 1951), फ्रेडरिक एस मिल्स (1892), आदि द्वारा साझा किए गए।

30 के दशक में। XX सदी और बाद के वर्षों में, औसत मूल्य एक सामाजिक रूप से महत्वपूर्ण विशेषता के रूप में माना जाता है, जिसकी जानकारी सामग्री डेटा की एकरूपता पर निर्भर करती है।

इतालवी स्कूल के सबसे प्रमुख प्रतिनिधियों, आर। बेनी (1862-1956) और सी। गिन्नी (1884-1965) ने आंकड़ों को तर्क की एक शाखा के रूप में मानते हुए, सांख्यिकीय प्रेरण के दायरे का विस्तार किया, लेकिन उन्होंने तर्क और आंकड़ों के संज्ञानात्मक सिद्धांतों का अध्ययन की गई घटनाओं की प्रकृति के साथ जोड़ा। सांख्यिकी की समाजशास्त्रीय व्याख्या की परंपराओं का पालन करना।

के। मार्क्स और वी। आई। लेनिन की रचनाओं में, औसत एक विशेष भूमिका निभाते हैं।

के। मार्क्स ने तर्क दिया कि औसत मूल्य में सामान्य स्तर से अलग-अलग विचलन समाप्त हो जाते हैं और औसत स्तर एक सामूहिक घटना का सामान्यीकरण विशेषता बन जाता है। सामूहिक घटना की ऐसी विशेषता केवल एक औसत मूल्य बन जाती है यदि महत्वपूर्ण संख्या में इकाइयाँ ली जाती हैं और ये इकाइयाँ गुणात्मक रूप से सजातीय होती हैं। मार्क्स ने लिखा है कि पाया गया औसत मूल्य औसत होना चाहिए "... एक ही तरह के कई अलग-अलग मात्राओं का।"

एक बाजार अर्थव्यवस्था में औसत मूल्य का विशेष महत्व है। यह आवश्यक और सामान्य, आर्थिक विकास के नियमों की प्रवृत्ति को एकवचन और यादृच्छिक के माध्यम से सीधे निर्धारित करने में मदद करता है।

औसत मूल्यवे संकेतक सामान्य कर रहे हैं जिनमें सामान्य परिस्थितियों की कार्रवाई, अध्ययन की नियमितता, अभिव्यक्ति का पता लगाना।

सांख्यिकीय औसत की गणना सांख्यिकीय रूप से सही ढंग से संगठित द्रव्यमान अवलोकन के द्रव्यमान डेटा के आधार पर की जाती है। यदि गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या (बड़े पैमाने पर घटना) के लिए सांख्यिकीय औसत को बड़े पैमाने पर डेटा से गणना की जाती है, तो यह उद्देश्य होगा।

औसत मूल्य सार है, क्योंकि यह एक सार इकाई के मूल्य की विशेषता है।

औसत अलग-अलग वस्तुओं में विभिन्न प्रकार की विशेषताओं से अलग है। अमूर्त वैज्ञानिक अनुसंधान का चरण है। औसतन, व्यक्ति और सामान्य की द्वंद्वात्मक एकता का एहसास होता है।

औसत मूल्यों को व्यक्तिगत और सामान्य, एकल और जन की श्रेणियों की एक द्वंद्वात्मक समझ के आधार पर लागू किया जाना चाहिए।

मध्य एक सामान्य चीज़ को प्रदर्शित करता है जो एक विशेष इकाई वस्तु में विकसित होता है।

सामूहिक सामाजिक प्रक्रियाओं में पैटर्न की पहचान करने के लिए, औसत मूल्य का बहुत महत्व है।

सामान्य से व्यक्ति का विचलन विकास प्रक्रिया की अभिव्यक्ति है।

औसत मूल्य अध्ययन की गई घटनाओं की विशेषता, विशिष्ट, वास्तविक स्तर को दर्शाता है। औसत मूल्यों का कार्य इन स्तरों और समय और स्थान में उनके परिवर्तनों को चिह्नित करना है।

औसत संकेतक एक सामान्य मूल्य है, क्योंकि यह एक विशेष द्रव्यमान घटना के अस्तित्व के लिए सामान्य, प्राकृतिक, सामान्य परिस्थितियों में बनता है, जिसे संपूर्ण माना जाता है।

एक सांख्यिकीय प्रक्रिया या घटना का उद्देश्य संपत्ति औसत मूल्य को दर्शाता है।

जनसंख्या की प्रत्येक इकाई के लिए अध्ययन किए गए सांख्यिकीय विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य अलग-अलग हैं। एक प्रकार के व्यक्तिगत मूल्यों का औसत मूल्य आवश्यकता का एक उत्पाद है, जो कि जनसंख्या की सभी इकाइयों की संयुक्त कार्रवाई का परिणाम है, जो दोहराए जाने वाले दुर्घटनाओं के एक समूह में प्रकट होता है।

कुछ व्यक्तिगत घटनाओं में ऐसे संकेत होते हैं जो सभी घटनाओं में मौजूद होते हैं, लेकिन अलग-अलग मात्रा में - यह किसी व्यक्ति की वृद्धि या उम्र है। व्यक्तिगत घटना के अन्य लक्षण, विभिन्न घटनाओं में गुणात्मक रूप से भिन्न होते हैं, अर्थात्, वे कुछ में मौजूद होते हैं और दूसरों में नहीं देखे जाते हैं (एक पुरुष एक महिला नहीं बनेगा)। औसत मूल्य गुणात्मक रूप से सजातीय और केवल मात्रात्मक रूप से भिन्न के संकेतों के लिए गणना की जाती है, जो इस कुल में सभी घटनाओं में अंतर्निहित हैं।

औसत मूल्य अध्ययनित विशेषता के मूल्यों का प्रतिबिंब है और इसे इस विशेषता के समान आयाम में मापा जाता है।

द्वंद्वात्मक भौतिकवाद का सिद्धांत सिखाता है कि दुनिया में सब कुछ बदल रहा है, विकसित हो रहा है। और यह भी संकेत है कि औसत मूल्यों की विशेषता है, और, तदनुसार, खुद का मतलब, परिवर्तन।

जीवन में कुछ नया बनाने की निरंतर प्रक्रिया होती है। नई गुणवत्ता का वाहक एकल ऑब्जेक्ट है, फिर इन ऑब्जेक्ट्स की संख्या बढ़ जाती है, और नया बड़े पैमाने पर, विशिष्ट हो जाता है।

औसत मूल्य केवल एक आधार पर अध्ययन की गई आबादी की विशेषता है। कई विशिष्ट विशेषताओं के अनुसार अध्ययन किए गए जनसंख्या की एक पूर्ण और व्यापक प्रस्तुति के लिए, औसत मूल्यों की एक प्रणाली होना आवश्यक है जो विभिन्न कोणों से घटना का वर्णन कर सकते हैं।

2. औसत मूल्यों के प्रकार

सामग्री के सांख्यिकीय प्रसंस्करण में, विभिन्न समस्याएं उत्पन्न होती हैं जिन्हें हल करने की आवश्यकता होती है, और इसलिए, सांख्यिकीय अभ्यास में विभिन्न औसत मूल्यों का उपयोग किया जाता है। गणितीय आँकड़े विभिन्न औसत का उपयोग करते हैं, जैसे: अंकगणितीय माध्य; जियोमेट्रिक माध्य; अनुकूल माध्य; वर्गमूल औसत का वर्ग।

उपरोक्त प्रकार के औसत में से एक को लागू करने के लिए, अध्ययन की गई जनसंख्या की सामग्री का निर्धारण करने के लिए, अध्ययन की गई आबादी की सामग्री का विश्लेषण करना आवश्यक है, यह सब वजन या संक्षेपण के दौरान परिणामों की सार्थकता के सिद्धांत से प्राप्त निष्कर्षों के आधार पर किया जाता है।

औसत मूल्यों के अध्ययन में, निम्नलिखित संकेतक और संकेतन का उपयोग किया जाता है।

वह चिह्न जिसके द्वारा औसत स्थित है उसे कहा जाता है औसत विशेषता और एक्स द्वारा निरूपित किया जाता है; सांख्यिकीय आबादी की किसी भी इकाई के लिए औसत हस्ताक्षर का मूल्य कहा जाता है इसका व्यक्तिगत अर्थ,या विकल्पऔर के रूप में नामित कर रहे हैं एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , ... एक्स पी ; आवृत्ति - यह विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की पुनरावृत्ति है, जो पत्र द्वारा इंगित किया गया है च।

अंकगणित औसत

माध्यम के सबसे आम प्रकारों में से एक - अंकगणित औसत जिसकी गणना तब की जाती है, जब औसत की जा रही विशेषता का वॉल्यूम अध्ययनित सांख्यिकीय आबादी की व्यक्तिगत इकाइयों के लिए इसके मूल्यों के योग के रूप में बनता है।

अंकगणितीय माध्य मान की गणना करने के लिए, विशेषता के सभी स्तरों के योग को उनकी संख्या से विभाजित किया जाता है।

यदि कुछ विकल्प कई बार पाए जाते हैं, तो विशेषता के स्तरों का योग प्रत्येक स्तर को जनसंख्या की समान इकाइयों द्वारा गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, इसके बाद प्राप्त उत्पादों के अतिरिक्त, इस तरह से गणना किए गए अंकगणितीय माध्य को अंकगणितीय माध्य भारित कहा जाता है।

अंकगणित माध्य भारित सूत्र इस प्रकार है:

मैं कहाँ - विकल्प

च i - आवृत्ति या वजन।

एक भारित औसत का उपयोग उन सभी मामलों में किया जाना चाहिए जहां विकल्प विभिन्न संख्याओं के होते हैं।

अंकगणित का अर्थ है, जैसा कि यह था, व्यक्तिगत वस्तुओं के बीच समान रूप से विशेषता के कुल मूल्य को वितरित करता है, जो वास्तव में उनमें से प्रत्येक के लिए भिन्न होता है।

औसत मानों की गणना वितरण की अंतराल श्रृंखला के रूप में समूहीकृत आंकड़ों के अनुसार की जाती है, जब उस विशेषता के वेरिएंट से औसत गणना की जाती है, जो अंतराल (- से) के रूप में प्रस्तुत की जाती है।

अंकगणितीय माध्य गुण:

1) भिन्न मात्राओं के योग का अंकगणितीय माध्य राशियों के अंकगणितीय माध्य के योग के बराबर है: यदि x i \u003d y i + z i, तो

यह गुण दिखाता है जब औसत मूल्यों को योग करना संभव है।

2) औसत से भिन्न विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन का बीजगणितीय योग शून्य है, क्योंकि एक दिशा में विचलन का योग दूसरी दिशा में विचलन के योग से ऑफसेट होता है:

यह नियम दर्शाता है कि माध्य परिणामी है।

3) यदि श्रृंखला के सभी वेरिएंट एक ही संख्या में वृद्धि या कमी करते हैं ?, तो उसी संख्या से औसत में वृद्धि या कमी होगी:?

4) यदि श्रृंखला के सभी वेरिएंट A समय से बढ़ते या घटते हैं, तो औसत भी A समय से बढ़ेगा या घटेगा:

5) औसत की पांचवीं संपत्ति हमें दिखाती है कि यह तराजू के आकार पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि उनके बीच के अनुपात पर निर्भर करता है। वजन के रूप में, न केवल सापेक्ष, बल्कि पूर्ण मूल्यों को भी लिया जा सकता है।

यदि श्रृंखला की सभी आवृत्तियों को समान संख्या d से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो औसत नहीं बदलेगा।

हार्मोनिक औसत।अंकगणितीय माध्य निर्धारित करने के लिए, कई विकल्पों और आवृत्तियों का होना आवश्यक है, अर्थात, मान एक्सतथा च।

मान लीजिए कि विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य ज्ञात हैं। एक्सऔर काम करता है एक्स /और आवृत्तियों च अज्ञात, फिर, औसत की गणना करने के लिए, हम उत्पाद \u003d को निरूपित करते हैं एक्स /;कहाँ से:

इस रूप में औसत को हार्मोनिक भारित औसत कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है x कर्म। चीख़

तदनुसार, हार्मोनिक माध्य अंकगणित माध्य के समान है। यह तब लागू होता है जब वास्तविक वजन अज्ञात होता है। च, लेकिन उत्पाद जाना जाता है fx = z

जब काम करता है fx समान या बराबर इकाइयाँ (m \u003d 1) हार्मोनिक माध्य सरल लागू किया जाता है, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

कहाँ पे एक्स- व्यक्तिगत विकल्प;

n एक संख्या है।

जियोमेट्रिक माध्य

यदि एन विकास कारक हैं, तो औसत गुणांक के लिए सूत्र:

यह एक ज्यामितीय माध्य सूत्र है।

ज्यामितीय माध्य डिग्री के मूल के बराबर है n पिछले एक के बाद प्रत्येक अवधि के अनुपात की विशेषता विकास कारकों के उत्पाद से।

यदि स्क्वायर फ़ंक्शंस के रूप में व्यक्त किए गए मान औसत के अधीन हैं, तो द्विघात माध्य को लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, माध्य वर्ग का उपयोग करके, आप पाइप, पहिए आदि के व्यास निर्धारित कर सकते हैं।

औसत वर्ग सरल को उनकी संख्या द्वारा विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के वर्गों के योग को विभाजित करने के भाग से वर्गमूल निकालकर निर्धारित किया जाता है।

आरएमएस भारित औसत:

3. संरचनात्मक औसत। फैशन और मेड

सांख्यिकीय आबादी की संरचना को चिह्नित करने के लिए, संकेतक का उपयोग किया जाता है जिन्हें कहा जाता है संरचनात्मक औसत।इनमें मोड और मंझला शामिल हैं।

फैशन (एम) के बारे में ) - सबसे आम विकल्प। फैशनविशेषता का मूल्य कहा जाता है, जो सैद्धांतिक वितरण वक्र के अधिकतम बिंदु से मेल खाता है।

फैशन सबसे आम या विशिष्ट मूल्य है।

उपभोक्ता की मांग का अध्ययन करने और कीमतों को पंजीकृत करने के लिए फैशन का उपयोग वाणिज्यिक अभ्यास में किया जाता है।

एक असतत पंक्ति में, एक मोड सबसे अधिक आवृत्ति वाला संस्करण है। अंतराल भिन्नता श्रृंखला में, अंतराल का केंद्रीय संस्करण, जिसमें सबसे अधिक आवृत्ति (विशिष्टता) होती है, एक फैशन माना जाता है।

अंतराल के भीतर, विशेषता का मूल्य ढूंढना आवश्यक है, जो एक विधा है।

कहाँ पे एक्स के बारे में - मोडल अंतराल की निचली सीमा;

ज - मोडल अंतराल की परिमाण;

च म - मोडल अंतराल की आवृत्ति;

एफ टी -1, मोडल से पहले अंतराल की आवृत्ति है;

च म +1 मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति है।

फैशन समूहों के आकार पर निर्भर करता है, समूहों की सीमाओं की सटीक स्थिति पर।

फैशन- संख्या जो वास्तव में सबसे अधिक बार होती है (एक निश्चित मात्रा है), व्यवहार में व्यापक आवेदन (खरीदार का सबसे सामान्य प्रकार) है।

मेडियन (एम इ एक मात्रा है जो क्रमबद्ध भिन्नता श्रृंखला की संख्या को दो समान भागों में विभाजित करती है: एक भाग में औसत संस्करण की तुलना में भिन्न विशेषता का मान होता है, और दूसरा बड़ा होता है।

मंझलाएक ऐसा तत्व है जो वितरण श्रृंखला के आधे शेष तत्वों के बराबर या उससे कम समय के बराबर या उससे अधिक है।

माध्यिका की संपत्ति यह है कि माध्यिका से संकेत मूल्यों के पूर्ण विचलन का योग किसी अन्य मात्रा से कम है।

औसत के अन्य रूपों का उपयोग करते समय माध्यिका का उपयोग आपको अधिक सटीक परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका को खोजने का क्रम निम्नानुसार है: हम रैंकिंग के अनुसार विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को रखते हैं; दी गई क्रमबद्ध श्रृंखला के लिए संचित आवृत्तियों का निर्धारण करें; संचित आवृत्तियों पर डेटा के अनुसार, हम औसत दर्जे का अंतराल पाते हैं:

कहाँ पे x मुझे- मध्यिका अंतराल की निचली सीमा;

मैं मुझे - मंझला अंतराल का मूल्य;

च / २ - किसी संख्या की आवृत्तियों का आधा योग;

एस मुझे -1 - मध्यिका अंतराल से पहले संचित आवृत्तियों का योग;

च मुझे - माध्यिका अंतराल की आवृत्ति।

मध्यिका श्रृंखला की संख्या को आधे में विभाजित करती है, इसलिए, यह वह जगह है जहां संचित आवृत्ति कुल आवृत्तियों के आधे या आधे से अधिक है, और पिछली (संचित) आवृत्ति आधे से भी कम है।

अनुशासन: सांख्यिकी

विकल्प संख्या 2

आँकड़ों में प्रयुक्त औसत मूल्य

परिचय …………………………………………………………………… .3

सैद्धांतिक कार्य

आंकड़ों में औसत मूल्य, इसके सार और उपयोग की शर्तें।

1.1। औसत आकार और उपयोग की शर्तों का सार .............. 4

1.2। औसत मूल्यों के प्रकार …………………………………………… 8

व्यावहारिक कार्य

टास्क 1,2,3 …………………………………………………………… 14

निष्कर्ष …………………………………………………………………… .21

प्रयुक्त साहित्य की सूची ………………………………………………………… 23

परिचय

इस परीक्षण कार्य में दो भाग होते हैं - सैद्धांतिक और व्यावहारिक। सैद्धांतिक भाग में, औसत मूल्य के रूप में इस तरह के एक महत्वपूर्ण सांख्यिकीय श्रेणी को इसके सार और उपयोग की शर्तों को प्रकट करने के उद्देश्य से विस्तार से जांच की जाएगी, साथ ही उनकी गणना के लिए औसत और विधियों के प्रकारों पर प्रकाश डाला जाएगा।

सांख्यिकी, जैसा कि आप जानते हैं, बड़े पैमाने पर सामाजिक-आर्थिक घटनाएं अध्ययन करती हैं। इन घटनाओं में से प्रत्येक में एक ही संकेत की एक अलग मात्रात्मक अभिव्यक्ति हो सकती है। उदाहरण के लिए, श्रमिकों के एक ही पेशे की मजदूरी या एक ही उत्पाद के लिए बाजार की कीमतें, आदि। औसत मूल्य वाणिज्यिक गतिविधि के गुणात्मक संकेतकों की विशेषता है: वितरण लागत, लाभ, लाभप्रदता, आदि।

अलग-अलग (मात्रात्मक रूप से बदलते) संकेतों द्वारा किसी आबादी का अध्ययन करने के लिए, आंकड़े औसत मूल्यों का उपयोग करते हैं।

मध्यम सार

औसत मूल्य एक अलग विशेषता के अनुसार एक ही प्रकार की घटनाओं की समग्रता की एक सामान्य मात्रात्मक विशेषता है। आर्थिक व्यवहार में, संकेतकों की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग किया जाता है, औसत मूल्यों के रूप में गणना की जाती है।

औसत मूल्य की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि यह आबादी की व्यक्तिगत इकाइयों के बीच अपने मात्रात्मक अंतर के बावजूद, एक नंबर से पूरी आबादी में एक विशेष विशेषता के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, और सामान्य रूप से व्यक्त करता है जो अध्ययन की गई आबादी की सभी इकाइयों में निहित है। इस प्रकार, समुच्चय की एक इकाई की विशेषता के माध्यम से, यह पूरे समुच्चय को एक पूरे के रूप में चिह्नित करता है।

औसत मूल्य बड़ी संख्या के कानून से जुड़े हैं। इस कनेक्शन का सार इस तथ्य में निहित है कि, जब बड़ी संख्याओं के कानून की कार्रवाई के कारण व्यक्तिगत मात्रा के औसत, यादृच्छिक विचलन पारस्परिक रूप से चुकाए जाते हैं, और औसत में, मुख्य विकास की प्रवृत्ति, आवश्यकता और नियमितता का पता चलता है। औसत मूल्य आपको विभिन्न इकाइयों की आबादी के साथ आबादी से संबंधित संकेतकों की तुलना करने की अनुमति देते हैं।

अर्थव्यवस्था में बाजार संबंधों के विकास की आधुनिक परिस्थितियों में, औसत सामाजिक-आर्थिक घटनाओं के उद्देश्य कानूनों का अध्ययन करने के लिए एक उपकरण के रूप में काम करता है। हालांकि, आर्थिक विश्लेषण में केवल स्वयं को औसत संकेतकों तक सीमित करना असंभव है, क्योंकि व्यक्तिगत आर्थिक संस्थाओं की गतिविधियों में बड़ी, गंभीर कमियों और एक नए, प्रगतिशील के अंकुर सामान्य सामान्य औसत के पीछे छिपे हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, आय द्वारा जनसंख्या का वितरण आपको नए सामाजिक समूहों के गठन की पहचान करने की अनुमति देता है। इसलिए, औसत सांख्यिकीय आंकड़ों के साथ, जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषताओं को ध्यान में रखना आवश्यक है।

औसत मूल्य उन सभी कारकों का परिणाम है जो अध्ययन किए गए घटना को प्रभावित करते हैं। यही है, औसत मूल्यों की गणना करते समय, यादृच्छिक (गड़बड़ी, व्यक्ति) कारकों का प्रभाव पारस्परिक रूप से रद्द कर दिया जाता है और इस प्रकार, अध्ययन की गई घटना में निहित नियमितता को निर्धारित करना संभव है। एडॉल्फ केटल ने जोर दिया कि औसत मूल्यों की विधि के मूल्य में यूनिट से सामान्य तक, यादृच्छिक से नियमित रूप से संक्रमण की संभावना होती है, और औसत मूल्यों का अस्तित्व उद्देश्य वास्तविकता की एक श्रेणी है।

सांख्यिकी जन घटनाओं और प्रक्रियाओं का अध्ययन करती है। इन घटनाओं में से प्रत्येक में पूरे समग्र, और विशेष, व्यक्तिगत गुणों दोनों आम हैं। अलग-अलग घटनाओं के बीच अंतर को विभिन्नता कहा जाता है। सामूहिक परिघटनाओं की एक अन्य संपत्ति व्यक्तिगत घटना की विशेषताओं की आंतरिक निकटता है। तो, समग्रता के तत्वों की पारस्परिक क्रिया उनके गुणों के कम से कम भाग की भिन्नता को सीमित करती है। यह प्रवृत्ति उद्देश्यपूर्ण रूप से विद्यमान है। यह अपनी निष्पक्षता में है जो व्यवहार में और सिद्धांत रूप में औसत के व्यापक उपयोग का कारण है।

आँकड़ों में औसत मूल्य एक सामान्यीकृत संकेतक है जो किसी स्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में एक घटना के विशिष्ट स्तर को दर्शाता है, जो गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या की प्रति इकाई एक अलग विशेषता के मूल्य को दर्शाता है।

आर्थिक व्यवहार में, संकेतकों की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग किया जाता है, औसत मूल्यों के रूप में गणना की जाती है।

औसत मूल्यों की पद्धति का उपयोग करते हुए, आंकड़े कई समस्याओं को हल करते हैं।

औसत के मुख्य मूल्य में उनके सामान्यीकरण फ़ंक्शन होते हैं, अर्थात्, एक औसत मूल्य के साथ एक संकेत के विभिन्न व्यक्तिगत मूल्यों के सेट की जगह जो घटना की समग्रता की विशेषता है।

यदि औसत मूल्य विशेषता के गुणात्मक सजातीय मूल्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करता है, तो यह इस आबादी में विशेषता का एक विशिष्ट लक्षण है।

हालांकि, केवल सेट में संकेतों के विशिष्ट मूल्यों की विशेषता के लिए औसत मूल्यों की भूमिका को कम करना गलत है जो किसी दिए गए संकेत के लिए सजातीय हैं। व्यवहार में, अधिक बार आधुनिक आंकड़े औसत का उपयोग करते हैं जो स्पष्ट रूप से सजातीय घटनाओं को सामान्य करते हैं।

प्रति व्यक्ति राष्ट्रीय आय का औसत मूल्य, पूरे देश में अनाज की फसलों की औसत उपज, विभिन्न खाद्य उत्पादों की औसत खपत एक एकल राष्ट्रीय आर्थिक प्रणाली के रूप में राज्य की विशेषताएं हैं, ये तथाकथित प्रणालीगत औसत हैं।

सिस्टम एवरेज दोनों स्थानिक या ऑब्जेक्ट सिस्टम को एक साथ मौजूद कर सकते हैं (राज्य, उद्योग, क्षेत्र, ग्रह पृथ्वी, आदि), और गतिशील सिस्टम जो समय (वर्ष, दशक, मौसम, आदि) में विस्तारित हैं।

औसत मूल्य की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि यह सामान्य को दर्शाता है जो अध्ययन की गई आबादी की सभी इकाइयों में निहित है। समुच्चय की अलग-अलग इकाइयों के गुण के मान कई कारकों के प्रभाव में एक दिशा या दूसरे में उतार-चढ़ाव करते हैं, जिसके बीच बुनियादी और यादृच्छिक दोनों हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक पूरे के रूप में एक निगम का स्टॉक मूल्य इसकी वित्तीय स्थिति से निर्धारित होता है। उसी समय, निश्चित दिनों पर और व्यक्तिगत एक्सचेंजों पर, परिस्थितियों के कारण, ये शेयर उच्च या निम्न दर पर बेचे जा सकते हैं। औसत का सार इस तथ्य में निहित है कि यह यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के कारण कुल इकाइयों की व्यक्तिगत इकाइयों के गुण मानों के एक-दूसरे से विचलन करता है, और बुनियादी कारकों की कार्रवाई के कारण हुए परिवर्तनों को ध्यान में रखता है। यह औसत को व्यक्तिगत इकाइयों में निहित व्यक्तिगत विशेषताओं से विशेषता और सार के विशिष्ट स्तर को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है।

औसत की गणना सामान्यीकरण के सामान्य तरीकों में से एक है; औसत संकेतक सामान्य को दर्शाता है जो अध्ययन की गई आबादी की सभी इकाइयों के लिए विशिष्ट (विशिष्ट) है, साथ ही साथ यह व्यक्तिगत इकाइयों के मतभेदों की उपेक्षा करता है। प्रत्येक घटना और इसके विकास में मौका और आवश्यकता का एक संयोजन होता है।

औसत प्रक्रिया के नियमों का एक सारांश लक्षण है जिसमें यह होता है।

प्रत्येक औसत किसी एक विशेषता द्वारा अध्ययन की गई आबादी को चिह्नित करता है, लेकिन किसी भी आबादी को चिह्नित करने के लिए, इसकी विशिष्ट विशेषताओं और गुणात्मक विशेषताओं का वर्णन करता है, औसत संकेतकों की एक प्रणाली की आवश्यकता होती है। इसलिए, सामाजिक-आर्थिक घटनाओं के अध्ययन के लिए घरेलू आंकड़ों के अभ्यास में, एक नियम के रूप में, औसत संकेतकों की एक प्रणाली की गणना की जाती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, औसत मजदूरी सूचक का मूल्यांकन औसत उत्पादन, पूंजी अनुपात और श्रम के ऊर्जा अनुपात, मशीनीकरण की डिग्री और काम के स्वचालन आदि के साथ किया जाता है।

औसत की गणना अध्ययन किए गए संकेतक की आर्थिक सामग्री को ध्यान में रखते हुए की जानी चाहिए। इसलिए, सामाजिक-आर्थिक विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले एक विशिष्ट संकेतक के लिए, आप गणना के वैज्ञानिक तरीके के आधार पर औसत के केवल एक सच्चे मूल्य की गणना कर सकते हैं।

औसत मूल्य सबसे महत्वपूर्ण सामान्यीकरण सांख्यिकीय संकेतकों में से एक है जो किसी भी मात्रात्मक रूप से भिन्न विशेषता द्वारा एक ही प्रकार की घटनाओं की समग्रता को दर्शाता है। आँकड़ों में एअर्स संकेतक को सामान्य कर रहे हैं, एक मात्रात्मक रूप से भिन्न विशेषता के अनुसार सामाजिक घटनाओं के विशिष्ट विशेषता आयामों को व्यक्त करने वाली संख्या।

औसत के प्रकार

औसत मूल्यों के प्रकार मुख्य रूप से किस संपत्ति में भिन्न होते हैं, विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के प्रारंभिक चर द्रव्यमान के किस पैरामीटर को अपरिवर्तित रखा जाना चाहिए।

अंकगणित औसत

अंकगणित माध्य मान चिन्ह का औसत मूल्य है, जिसकी गणना में कुल में संकेत की कुल मात्रा अपरिवर्तित रहती है। अन्यथा, हम कह सकते हैं कि अंकगणितीय माध्य औसत शब्द है। इसकी गणना करते समय, विशेषता की कुल मात्रा को जनसंख्या की सभी इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है।

अंकगणित माध्य का उपयोग किया जाता है यदि औसत विशेषता (x) के मान और जनसंख्या की इकाइयों की संख्या एक निश्चित मान (f) के साथ ज्ञात होती है।

अंकगणित माध्य सरल और संतुलित है।

अंकगणित का मतलब सरल है

एक साधारण का उपयोग किया जाता है यदि विशेषता x का प्रत्येक मान एक बार होता है, अर्थात प्रत्येक x के लिए विशेषता का मान f \u003d 1 है, या यदि प्रारंभिक डेटा का आदेश नहीं दिया गया है और यह ज्ञात नहीं है कि कितनी इकाइयों में विशेषता के कुछ मूल्य हैं।

अंकगणित माध्य का सूत्र सरल है:

औसत मूल्य कहां है; एक्स औसतीकृत विशेषता (संस्करण) का मूल्य है, अध्ययन की गई आबादी की इकाइयों की संख्या है।

अंकगणित का अर्थ होता है भारित

सरल औसत के विपरीत, भारित अंकगणितीय माध्य को लागू किया जाता है यदि विशेषता x का प्रत्येक मान कई बार होता है, अर्थात। प्रत्येक गुण मान f। 1 के लिए। असतत वितरण श्रृंखला के आधार पर औसत की गणना में इस औसत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है:

जहाँ समूहों की संख्या है, x औसत विशेषता का मान है, f विशेषता मान का भार है (आवृत्ति, यदि f जनसंख्या की इकाइयों की संख्या है; आवृत्ति, यदि f जनसंख्या की कुल मात्रा में विकल्प x के साथ इकाइयों का अंश है)।

लयबद्ध

अंकगणित माध्य के साथ, सांख्यिकी में माध्य हार्मोनिक मान का उपयोग किया जाता है, गुण के व्युत्क्रम माध्य के अंकगणितीय माध्य का उलटा। अंकगणित माध्य की तरह, यह सरल और भारित हो सकता है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब स्रोत डेटा में आवश्यक भार (f i) सीधे निर्दिष्ट नहीं होते हैं, लेकिन उपलब्ध संकेतकों में से एक में एक कारक द्वारा शामिल किए जाते हैं (यानी, जब प्रारंभिक औसत अनुपात का अंश ज्ञात होता है, लेकिन इसका भाजक अज्ञात है)।

हार्मोनिक भारित औसत

उत्पाद xf इकाइयों के एक सेट के लिए औसत विशेषता x का आयतन देता है और इसे w द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि आरंभिक डेटा में औसत विशेषता x के मान और औसत विशेषता w की मात्रा है, तो हार्मोनिक भारित का उपयोग औसत की गणना करने के लिए किया जाता है:

जहां x औसतन विशेषता x (विकल्प) का मान है; डब्ल्यू - वजन विकल्प एक्स, औसतन विशेषता का आयतन।

हार्मोनिक औसत भारित नहीं (सरल)

यह मध्यम रूप, जिसका उपयोग बहुत कम बार किया जाता है, के निम्न रूप हैं:

जहां x औसत विशेषता का मान है; n x मानों की संख्या है।

उन। यह गुण के व्युत्क्रम के अंकगणितीय माध्य का विलोम है।

व्यवहार में, हार्मोनिक मतलब सरल का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, ऐसे मामलों में जहां आबादी की इकाइयों के लिए डब्ल्यू के मूल्य बराबर हैं।

जड़ माध्य और घन माध्य

कुछ मामलों में, आर्थिक व्यवहार में, वर्ग या घन इकाइयों में व्यक्त एक विशेषता के औसत आकार की गणना करने की आवश्यकता है। फिर औसत वर्ग (उदाहरण के लिए, औसत पक्ष और वर्ग वर्गों की गणना करने के लिए, पाइप, चड्डी, आदि के औसत व्यास) और औसत घन (उदाहरण के लिए, जब पक्ष और क्यूब्स की औसत लंबाई निर्धारित करते हैं) का उपयोग किया जाता है।

यदि, किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को औसत मान के साथ प्रतिस्थापित करते समय, प्रारंभिक मूल्यों के वर्गों के योग को अपरिवर्तित रखना आवश्यक है, तो औसत एक द्विघात औसत मूल्य होगा, सरल या भारित।

वर्गमूल औसत का वर्ग

एक साधारण का उपयोग किया जाता है यदि विशेषता x का प्रत्येक मान एक बार होता है, सामान्य रूप में, इसका रूप होता है:

औसत विशेषता के मूल्यों का वर्ग कहां है; - जनसंख्या की इकाइयों की संख्या।

RMS का वजन औसत है

भारित माध्य वर्ग को लागू किया जाता है, यदि औसत विशेषता x का प्रत्येक मान f बार होता है:

,

जहां च वजन विकल्प x है।

औसत घन सरल और भारित

औसत घन सरल उनकी संख्या द्वारा व्यक्तिगत गुण मानों के क्यूब्स के योग को विभाजित करने के भागफल का घनमूल है:

जहाँ गुण के मान हैं, n उनकी संख्या है।

भारित औसत घन:

,

जहाँ f-weight विकल्प x हैं।

आंकड़ों के अभ्यास में द्विघात और घन का सीमित उपयोग है। व्यापक रूप से उपयोग माध्य वर्ग के आँकड़े हैं, लेकिन विकल्पों में से स्वयं x नहीं , और भिन्नता के संकेतकों की गणना में औसत से उनके विचलन।

औसत की गणना सभी के लिए नहीं, बल्कि आबादी की इकाइयों के किसी भी हिस्से के लिए की जा सकती है। इस तरह के औसत का एक उदाहरण एक निजी औसत के रूप में एक प्रगतिशील औसत हो सकता है, सभी के लिए गणना नहीं की जाती है, लेकिन केवल "सर्वश्रेष्ठ" वाले (उदाहरण के लिए, व्यक्तिगत औसत से अधिक या कम संकेतक के लिए)।

जियोमेट्रिक माध्य

यदि औसतन विशेषता के मान एक दूसरे से काफी अलग हैं या गुणांक (विकास दर, मूल्य सूचकांक) द्वारा दिए गए हैं, तो गणना के लिए ज्यामितीय माध्य का उपयोग किया जाता है।

ज्यामितीय माध्य की गणना डिग्री की जड़ और व्यक्तिगत मूल्यों के उत्पादों से निकालकर की जाती है - विशेषता के रूपांतर एक्स:

जहाँ n विकल्पों की संख्या है; P कार्य का चिन्ह है।

ज्यामितीय माध्य का उपयोग डायनामिक्स की श्रृंखला में परिवर्तन की औसत दर और साथ ही वितरण श्रृंखला को निर्धारित करने के लिए सबसे अधिक व्यापक रूप से किया गया था।

औसत मूल्य संकेतक को सामान्य कर रहे हैं जिसमें सामान्य परिस्थितियों की कार्रवाई और अध्ययन के तहत घटना की नियमितता अभिव्यक्ति का पता लगाती है। सांख्यिकीय औसत की गणना सही ढंग से सांख्यिकीय रूप से संगठित द्रव्यमान अवलोकन (ठोस या चयनात्मक) के द्रव्यमान डेटा के आधार पर की जाती है। हालांकि, सांख्यिकीय औसत उद्देश्यपूर्ण और विशिष्ट होगा यदि यह गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी (बड़े पैमाने पर जनसंख्या) के लिए बड़े पैमाने पर डेटा से गणना की जाती है। औसत का उपयोग सामान्य और व्यक्तिगत, द्रव्यमान और इकाई की श्रेणियों की एक द्वंद्वात्मक समझ से आना चाहिए।

समूह औसत के साथ सामान्य औसत का संयोजन गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी को सीमित करना संभव बनाता है। वस्तुओं के द्रव्यमान को विभाजित करके जो एक या एक अन्य जटिल घटना को आंतरिक रूप से सजातीय, लेकिन गुणात्मक रूप से अलग-अलग समूहों में विभाजित करते हैं, उनके औसत समूहों में से प्रत्येक को चिह्नित करते हुए, एक नई गुणवत्ता की प्रक्रिया के भंडार को खोलना संभव है। उदाहरण के लिए, जनसंख्या के आय वितरण से नए सामाजिक समूहों के गठन का पता चलता है। विश्लेषणात्मक भाग में, हमने औसत मूल्य का उपयोग करने के एक विशेष उदाहरण की जांच की। सारांशित करते हुए, हम कह सकते हैं कि आंकड़ों में औसतन अनुप्रयोग और उपयोग का क्षेत्र काफी विस्तृत है।

व्यावहारिक कार्य

टास्क नंबर 1

औसत खरीद दर और एक और $ US की औसत बिक्री दर निर्धारित करें

औसत खरीद दर

औसत बिक्री दर

टास्क नंबर 2

1996-2004 के लिए चेल्याबिंस्क क्षेत्र में सार्वजनिक खानपान के स्वयं के उत्पादन की मात्रा की गतिशीलता तुलनीय कीमतों (मिलियन रूबल) में तालिका में प्रस्तुत की गई है

बंद पंक्तियों ए और बी तैयार माल उत्पादन की गतिशीलता की एक संख्या का विश्लेषण करने के लिए, गणना करें:

1. पूर्ण लाभ, विकास दर और वृद्धि श्रृंखला और बुनियादी

2. तैयार उत्पादों का औसत वार्षिक उत्पादन

3. कंपनी के उत्पादों के विकास और वृद्धि की औसत वार्षिक दर

4. कई गतिकी के विश्लेषणात्मक संरेखण और 2005 के लिए पूर्वानुमान की गणना

5. रेखांकन वक्ताओं की एक श्रृंखला का चित्रण

6. गतिकी के परिणामों पर निष्कर्ष निकालना

1) यूईआईवाई \u003d यूआई-यू 1 यूआई-\u003d आपी-यू 1

y2 B \u003d 2.175 - 2.04 y2 C \u003d 2.175 - 2, 04 \u003d 0.135

y3B \u003d 2.505 - 2.04 y3 C \u003d 2, 505 - 2.175 \u003d 0.33

y4 B \u003d 2.73 - 2.04 y4 C \u003d 2, 73 - 2.505 \u003d 0.225

y5 B \u003d 1.5 - 2.04 y5 C \u003d 1.5 - 2.73 \u003d 1.23

y6 B \u003d 3.34 - 2.04 y6 C \u003d 3, 34 - 1.5 \u003d 1.84

y7 B \u003d 3.6 3 - 2.04 y7 C \u003d 3, 6 3 - 3.34 \u003d 0.29

y8 B \u003d 3.96 - 2.04 y8 C \u003d 3, 96 - 3.63 \u003d 0.33

y9 B \u003d 4.41–2.04 y9 C \u003d 4, 41 - 3.96 \u003d 0.45

ट्रे बी 2 ट्रे Ts2

त्रि ब ३ त्र स ३

ट्र B4 ट स ४

ट्र B5 ट स ५

ट्र B6 ट स Tr६ 6

ट्र B7 ट स Tr

त्र B8 ट्र Tr

त्र B9 ट्राई 9

Tr B \u003d (TPRB * 100%) - 100%

Tr B2 \u003d (1,066 * 100%) - 100% \u003d 6.6%

Tr C3 \u003d (1,151 * 100%) - 100% \u003d 15.1%

2) वाई लाख रूबल - औसत उत्पादन उत्पादकता

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) \u003d (1,745-2,04) \u003d 0,087

(yt-yt) \u003d (1,745-2,921) \u003d 1,382

(y-yt) \u003d (2.04-2.921) \u003d 0.776

tp

द्वारा

y2005 \u003d 2.921 + 1.496 * 4 \u003d 2.921 + 5.984 \u003d 8.905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

टास्क नंबर 3

2003 और 2004 में खाद्य और गैर-खाद्य उत्पादों के थोक वितरण और क्षेत्र के खुदरा व्यापार नेटवर्क के आंकड़े संबंधित ग्राफ़ में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका 1 और 2 के अनुसार आवश्यक

1. वास्तविक कीमतों पर खाद्य उत्पादों की थोक आपूर्ति के सामान्य सूचकांक का पता लगाएं;

2. खाद्य उत्पादों की आपूर्ति की वास्तविक मात्रा के सामान्य सूचकांक का पता लगाएं;

3. सामान्य सूचकांकों की तुलना करें और एक उचित निष्कर्ष निकालें;

4. वास्तविक कीमतों पर गैर-खाद्य पदार्थों की आपूर्ति के सामान्य सूचकांक का पता लगाएं;

5. गैर-खाद्य उत्पादों की आपूर्ति की भौतिक मात्रा के सामान्य सूचकांक का पता लगाएं;

6. परिणामस्वरूप सूचकांकों की तुलना करें और गैर-खाद्य उत्पादों पर निष्कर्ष निकालें;

7. वास्तविक कीमतों पर पूरे वस्तु द्रव्यमान की आपूर्ति के संयुक्त कुल सूचकांक का पता लगाएं;

8. भौतिक मात्रा के संयुक्त सामान्य सूचकांक (माल की संपूर्ण वस्तु द्रव्यमान के लिए) का पता लगाएं;

9. परिणामी समग्र सूचकांकों की तुलना करें और उचित निष्कर्ष निकालें।

	आधार अवधि			रिपोर्टिंग अवधि (2004)			आधार अवधि की कीमतों में रिपोर्टिंग अवधि की डिलीवरी
			1,291-0,681=0,61= - 39 निष्कर्ष संक्षेप में, संक्षेप में। औसत मूल्य संकेतक को सामान्य कर रहे हैं जिसमें सामान्य परिस्थितियों की कार्रवाई और अध्ययन के तहत घटना की नियमितता अभिव्यक्ति का पता लगाती है। सांख्यिकीय औसत की गणना सही ढंग से सांख्यिकीय रूप से संगठित द्रव्यमान अवलोकन (ठोस या चयनात्मक) के द्रव्यमान डेटा के आधार पर की जाती है। हालांकि, सांख्यिकीय औसत उद्देश्यपूर्ण और विशिष्ट होगा यदि यह गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी (बड़े पैमाने पर जनसंख्या) के लिए बड़े पैमाने पर डेटा से गणना की जाती है। औसत का उपयोग सामान्य और व्यक्ति, द्रव्यमान और इकाई की श्रेणियों की एक द्वंद्वात्मक समझ से होना चाहिए। औसत सामान्य को दर्शाता है जो प्रत्येक व्यक्ति, एकात्मक वस्तु में विकसित होता है, और इसके कारण, सामूहिक सामाजिक घटनाओं में निहित कानूनों को प्रकट करने और व्यक्तिगत घटनाओं में अदृश्य होने के लिए औसत का बहुत महत्व है। सामान्य से व्यक्ति का विचलन विकास प्रक्रिया की अभिव्यक्ति है। व्यक्तिगत पृथक मामलों में, एक नए, उन्नत एक के तत्वों को रखा जा सकता है। इस मामले में, यह एक विशिष्ट कारक है, जो औसत मूल्यों की पृष्ठभूमि के खिलाफ लिया जाता है, जो विकास प्रक्रिया की विशेषता है। इसलिए, औसत अध्ययन की गई घटनाओं की विशेषता, विशिष्ट, वास्तविक स्तर को दर्शाता है। इन स्तरों की विशेषताओं और समय और स्थान में उनके परिवर्तन औसत मूल्यों के मुख्य कार्यों में से एक हैं। इसलिए, मध्य में ही प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, आर्थिक विकास के एक निश्चित चरण में उद्यमों की विशेषता; जनसंख्या की भलाई में परिवर्तन मजदूरी के औसत संकेतकों में, परिवार की आय के रूप में और व्यक्तिगत सामाजिक समूहों द्वारा और उत्पादों, वस्तुओं और सेवाओं के उपभोग के स्तर में परिलक्षित होता है। औसत संकेतक एक विशिष्ट मूल्य (सामान्य, सामान्य, एक पूरे के रूप में प्रचलित) है, लेकिन यह इस तथ्य से ऐसा है कि यह एक विशिष्ट द्रव्यमान घटना के अस्तित्व के लिए सामान्य, प्राकृतिक परिस्थितियों में बनता है, जिसे संपूर्ण माना जाता है। औसत घटना के उद्देश्य संपत्ति को दर्शाता है। वास्तव में, अक्सर केवल विचलित करने वाली घटनाएं मौजूद होती हैं, और औसत के रूप में घटनाएं मौजूद नहीं हो सकती हैं, हालांकि एक घटना की विशिष्टता की अवधारणा वास्तविकता से उधार ली गई है। औसत मूल्य अध्ययनित विशेषता के मूल्य का प्रतिबिंब है और इसलिए, इस विशेषता के समान आयाम में मापा जाता है। हालांकि, सारांश सुविधाओं की तुलना करने के लिए संख्याओं के वितरण के स्तर को निर्धारित करने के विभिन्न तरीके हैं जो सीधे तुलना करने योग्य नहीं हैं, उदाहरण के लिए, क्षेत्र के संबंध में औसत जनसंख्या (औसत जनसंख्या घनत्व)। किस विशेष कारक को समाप्त करने की आवश्यकता है इसके आधार पर, औसत सामग्री भी मिलेगी। समूह औसत के साथ सामान्य औसत का संयोजन गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी को सीमित करना संभव बनाता है। वस्तुओं के द्रव्यमान को विभाजित करके जो एक या एक अन्य जटिल घटना को आंतरिक रूप से सजातीय, लेकिन गुणात्मक रूप से अलग-अलग समूहों में विभाजित करते हैं, उनके औसत समूहों में से प्रत्येक को चिह्नित करते हुए, एक नई गुणवत्ता की प्रक्रिया के भंडार को खोलना संभव है। उदाहरण के लिए, जनसंख्या के आय वितरण से नए सामाजिक समूहों के गठन का पता चलता है। विश्लेषणात्मक भाग में, हमने औसत मूल्य का उपयोग करने के एक विशेष उदाहरण की जांच की। संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि आंकड़ों में औसत का दायरा और उपयोग काफी व्यापक है ग्रन्थसूची 1. गुसरोव, वी.एम. गुणवत्ता आँकड़ों का सिद्धांत [पाठ]: पाठ्यपुस्तक। भत्ता / वी.एम. विश्वविद्यालयों के लिए गुसरोव मैनुअल। - एम।, 1998 2. एड्रोनोवा, एन.एन. आंकड़ों का सामान्य सिद्धांत [पाठ]: पाठ्यपुस्तक / एड। N.N. एड्रोनोवा - एम .: वित्त और सांख्यिकी 2001 - 648 पी। 3. एलिसेवा आई। आई।, युजबशेव एम.एम. आंकड़ों का सामान्य सिद्धांत [पाठ]: पाठ्यपुस्तक / एड। Corr। आरएएस आई। एलिसेवा - चौथा संस्करण।, संशोधित। और जोड़। - एम ।: वित्त और सांख्यिकी, 1999. - 480s।: बीमार। 4. एफिमोवा एम.आर., पेट्रोवा ई.वी., रुम्यंतसेव वी.एन. आंकड़ों का सामान्य सिद्धांत: [पाठ]: पाठ्यपुस्तक। - एम।: इन्फ्रा-एम, 1996 ।-- 416s। 5. रियाज़ोवा, एन.एन. आंकड़ों का सामान्य सिद्धांत [पाठ]: पाठ्यपुस्तक / एड। N.N. रियाज़ोवा - एम .: वित्त और सांख्यिकी, 1984। गुसरोव वी.एम. आंकड़ों का सिद्धांत: पाठ्यपुस्तक। विश्वविद्यालयों के लिए मैनुअल। - एम।, 1998.-एस 60। एलिसेवा आई। आई।, युजबशेव एम.एम. आंकड़ों का सामान्य सिद्धांत। - एम।, 1999।-पी। .६। गुसरोव वी.एम. आंकड़ों का सिद्धांत: पाठ्यपुस्तक। विश्वविद्यालयों के लिए मैनुअल। -एम।, 1998.-S.61।

औसत मूल्य सांख्यिकीय संकेतकों को सामान्य बनाने से संबंधित हैं जो सामूहिक सामाजिक घटनाओं की एक सारांश (अंतिम) विशेषता देते हैं, क्योंकि वे एक अलग विशेषता के बड़ी संख्या में व्यक्तिगत मूल्यों के आधार पर बनाए जाते हैं। औसत मूल्य के सार को स्पष्ट करने के लिए, उन घटनाओं के संकेतों के मूल्यों के गठन की सुविधाओं पर विचार करना आवश्यक है, जिसके अनुसार औसत मूल्य की गणना की जाती है।

यह ज्ञात है कि प्रत्येक सामूहिक घटना की इकाइयों में कई विशेषताएं होती हैं। इन संकेतों में से जो भी हम लेते हैं, व्यक्तिगत इकाइयों के लिए इसके मूल्य अलग-अलग होंगे, वे बदलते हैं, या, जैसा कि आंकड़े कहते हैं, एक इकाई से दूसरी इकाई में भिन्न होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक कर्मचारी का वेतन उसकी योग्यता, कार्य की प्रकृति, कार्य अनुभव और कई अन्य कारकों से निर्धारित होता है, और इसलिए व्यापक रूप से भिन्न होता है। सभी कारकों का संयुक्त प्रभाव प्रत्येक कर्मचारी की कमाई की मात्रा निर्धारित करता है, फिर भी, हम अर्थव्यवस्था के विभिन्न क्षेत्रों में श्रमिकों की औसत मासिक मजदूरी के बारे में बात कर सकते हैं। यहां हम एक अलग आबादी के एक विशिष्ट, विशेषता मूल्य के साथ काम करते हैं, जो एक बड़ी आबादी की एक इकाई को संदर्भित करता है।

औसत मूल्य दर्शाता है सामान्य जो अध्ययन की गई जनसंख्या की सभी इकाइयों की विशेषता है। इसी समय, यह आबादी के व्यक्तिगत इकाइयों के गुण के रूप में कार्य करने वाले सभी कारकों के प्रभाव को संतुलित करता है, जैसे कि उन्हें पारस्परिक रूप से चुकाना। किसी भी सामाजिक घटना का स्तर (या आकार) कारकों के दो समूहों की कार्रवाई के कारण होता है। उनमें से कुछ सामान्य और मुख्य हैं, लगातार अभिनय कर रहे हैं, घटना या प्रक्रिया के अध्ययन और स्वरूप की प्रकृति से निकटता से संबंधित हैं ठेठ अध्ययनित आबादी की सभी इकाइयों के लिए, जो औसत मूल्य में परिलक्षित होता है। दूसरे हैं व्यक्ति उनका प्रभाव कम स्पष्ट है और प्रकृति में यादृच्छिक है। वे विपरीत दिशा में कार्य करते हैं, आबादी की व्यक्तिगत इकाइयों की मात्रात्मक विशेषताओं के बीच अंतर का कारण बनता है, अध्ययन की गई विशेषताओं के निरंतर मूल्य को बदलने की कोशिश कर रहा है। व्यक्तिगत संकेतों की कार्रवाई औसत में बुझ जाती है। ठेठ और व्यक्तिगत कारकों के संयुक्त प्रभाव में, जो कि सामान्यीकरण विशेषताओं में संतुलित और पारस्परिक रूप से बुझा हुआ है, मौलिक है बड़ी संख्या का कानून।

साथ में, संकेतों के व्यक्तिगत मूल्य कुल द्रव्यमान में विलीन हो जाते हैं और, जैसा कि था, भंग हो गया। यहाँ से और औसत मूल्य एक "प्रतिरूपित" के रूप में कार्य करता है जो विशेषताओं के व्यक्तिगत मूल्यों से विचलित हो सकता है, उनमें से किसी के साथ मात्रात्मक रूप से मेल नहीं खाता। औसत मान पूरी आबादी के लिए सामान्य, चारित्रिक और विशिष्ट को दर्शाता है, क्योंकि इसकी व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषताओं के बीच यादृच्छिक, एटिपिकल अंतर के कारण आपसी रद्दीकरण होता है, क्योंकि इसका मान सभी कारणों के कुल परिणाम के रूप में निर्धारित किया जाता है।

हालांकि, किसी विशेषता के सबसे विशिष्ट मूल्य को प्रतिबिंबित करने के लिए औसत मूल्य के लिए, इसे किसी भी आबादी के लिए निर्धारित नहीं किया जाना चाहिए, लेकिन केवल गुणात्मक रूप से सजातीय इकाइयों से मिलकर आबादी के लिए। यह आवश्यकता औसत मूल्यों के वैज्ञानिक रूप से ध्वनि अनुप्रयोग के लिए मुख्य स्थिति है और इसमें सामाजिक-आर्थिक घटनाओं के विश्लेषण में औसत विधि और समूहन पद्धति के बीच घनिष्ठ संबंध शामिल है। नतीजतन, औसत मूल्य एक सामान्यीकृत संकेतक है जो स्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में एक सजातीय आबादी की प्रति इकाई एक अलग विशेषता के विशिष्ट स्तर की विशेषता है।

परिभाषित करते हुए, इस प्रकार, औसत मूल्यों का सार, इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि किसी भी औसत मूल्य की सही गणना निम्नलिखित आवश्यकताओं को बताती है:

• कुल की गुणात्मक एकरूपता जिसके द्वारा औसत मूल्य की गणना की जाती है। इसका मतलब यह है कि औसत मूल्यों की गणना समूहीकरण विधि पर आधारित होनी चाहिए, जो सजातीय, समान घटना के अलगाव को सुनिश्चित करती है;
• यादृच्छिक, विशुद्ध रूप से व्यक्तिगत कारणों और कारकों के औसत मूल्य की गणना पर प्रभाव का बहिष्कार। यह तब प्राप्त होता है जब औसत की गणना पर्याप्त रूप से बड़े पैमाने पर सामग्री पर आधारित होती है जिसमें बड़ी संख्या के कानून की कार्रवाई प्रकट होती है, और सभी दुर्घटनाएं रद्द कर दी जाती हैं;
• औसत मूल्य की गणना करते समय, इसकी गणना और तथाकथित के उद्देश्य को स्थापित करना महत्वपूर्ण है परिभाषित करने वाली छाप (संपत्ति) जिसके लिए यह उन्मुख होना चाहिए।

निर्धारण संकेतक औसतित विशेषता के मानों के योग के रूप में हो सकता है, इसके व्युत्क्रम मानों का योग, इसके मूल्यों का गुणन आदि। निर्धारण सूचक और औसत मान के बीच संबंध निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है: यदि औसतन विशेषता के सभी मान औसत मान द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो उनका योग या उत्पाद। इस मामले में परिभाषित करने वाला संकेतक नहीं बदलता है। औसत मूल्य के साथ निर्धारण सूचक के इस कनेक्शन के आधार पर, औसत मूल्य की प्रत्यक्ष गणना के लिए एक प्रारंभिक मात्रात्मक अनुपात बनाया जाता है। सांख्यिकीय समुच्चय के गुणों को बनाए रखने के लिए औसत मूल्यों की क्षमता को कहा जाता है संपत्ति को परिभाषित करना।

कुल में कुल के रूप में गणना की गई औसत मूल्य कहा जाता है सामान्य औसत; प्रत्येक समूह के लिए गणना किए गए औसत मूल्य हैं समूह औसत। सामान्य औसत अध्ययन की जाने वाली घटना की सामान्य विशेषताओं को दर्शाता है, समूह औसत उस घटना की एक विशेषता देता है जो इस समूह की विशिष्ट परिस्थितियों में विकसित होती है।

गणना के तरीके अलग-अलग हो सकते हैं, इसलिए आंकड़ों में कई प्रकार के औसत मूल्य हैं, जिनमें से मुख्य अंकगणितीय माध्य, हार्मोनिक माध्य और ज्यामितीय माध्य हैं।

आर्थिक विश्लेषण में, औसत का उपयोग वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति, सामाजिक गतिविधियों के परिणामों का आकलन करने और आर्थिक विकास के लिए भंडार खोजने के लिए मुख्य उपकरण है। इसी समय, यह याद रखना चाहिए कि औसत संकेतकों के लिए अत्यधिक उत्साह आर्थिक और सांख्यिकीय विश्लेषण करते समय पक्षपाती निष्कर्ष निकाल सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि औसत, संकेतक को सामान्य करना, रद्द करना, आबादी की व्यक्तिगत इकाइयों की मात्रात्मक विशेषताओं में उन अंतरों को अनदेखा करना जो वास्तव में मौजूद हैं और स्वतंत्र हित के हो सकते हैं।

औसत के प्रकार

आंकड़ों में, विभिन्न प्रकार के औसत मूल्यों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें दो बड़े वर्गों में विभाजित किया जाता है:

• शक्ति का अर्थ (हार्मोनिक माध्य, ज्यामितीय माध्य, अंकगणित माध्य, द्विघात माध्य, घन माध्य);
• संरचनात्मक औसत (मोड, माध्यिका)।

हिसाब करना बिजली औसत आपको सभी उपलब्ध विशेषता मानों का उपयोग करना चाहिए। फैशन तथा मंझला केवल वितरण संरचना द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, इसलिए उन्हें संरचनात्मक, स्थितिगत औसत कहा जाता है। मेडियन और फैशन का उपयोग अक्सर उन समुच्चय में औसत विशेषता के रूप में किया जाता है जहां औसत शक्ति की गणना असंभव या अव्यवहारिक है।

औसत का सबसे सामान्य प्रकार अंकगणित माध्य है। के अंतर्गत अंकगणित औसत यह विशेषता के ऐसे मूल्य को समझा जाता है कि जनसंख्या की प्रत्येक इकाई के पास यदि विशेषता के सभी मूल्यों का कुल परिणाम होता है, तो आबादी की सभी इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है। इस मात्रा की गणना को अलग-अलग विशेषता के सभी मूल्यों और जनसंख्या की कुल इकाइयों द्वारा परिणामी राशि को विभाजित करने के लिए कम किया जाता है। उदाहरण के लिए, पांच श्रमिकों ने भागों के निर्माण के लिए एक आदेश दिया, जबकि पहले ने 5 भागों का उत्पादन किया, दूसरा - 7, तीसरा - 4, चौथा - 10, पांचवा - 12. - चूंकि प्रत्येक विकल्प का मूल्य केवल स्रोत डेटा में एक बार पाया गया था, ताकि एक का औसत उत्पादन निर्धारित किया जा सके। कार्यकर्ता को सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र लागू करना चाहिए:

यानी, हमारे उदाहरण में, एक श्रमिक का औसत उत्पादन है

एक साधारण अंकगणित माध्य अध्ययन के साथ अंकगणित का अर्थ है भारित। उदाहरण के लिए, हम 20 लोगों के समूह में छात्रों की औसत आयु की गणना करते हैं, जिनकी आयु 18 से 22 वर्ष तक भिन्न होती है, जहाँ xi - औसत विशेषता के वेरिएंट, फाई - आवृत्ति जो यह बताती है कि यह कितनी बार होती है मैं कुल में मूल्य (तालिका। 5.1)।

तालिका 5.1

छात्रों की औसत आयु

अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

अंकगणित भारित औसत चुनने के लिए एक निश्चित नियम है: यदि दो संकेतकों पर डेटा की एक श्रृंखला है, जिसमें से एक के लिए गणना करना आवश्यक है

औसत मान और इसके तार्किक सूत्र के हर के संख्यात्मक मान ज्ञात हैं, और अंश मान अज्ञात हैं, लेकिन इन संकेतकों के उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है, फिर औसत मूल्य सूत्र का उपयोग करके औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए।

कुछ मामलों में, प्रारंभिक सांख्यिकीय आंकड़ों की प्रकृति ऐसी है कि अंकगणितीय माध्य की गणना अपना अर्थ खो देती है और केवल सामान्यीकरण सूचक केवल औसत मूल्य का एक और प्रकार हो सकता है - अनुकूल माध्य। वर्तमान में, इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के व्यापक परिचय के संबंध में अंकगणितीय माध्य के कम्प्यूटेशनल गुणों ने सांख्यिकीय संकेतकों को सामान्य बनाने की गणना में अपनी प्रासंगिकता खो दी है। हार्मोनिक मतलब मूल्य, जो सरल और संतुलित होने के लिए भी होता है, ने महान व्यावहारिक महत्व प्राप्त किया है। यदि तार्किक सूत्र के अंश के संख्यात्मक मान ज्ञात हैं, और हर मान अज्ञात हैं, लेकिन एक संकेतक के एक विशेष विभाजन के रूप में दूसरे द्वारा पाया जा सकता है, तो औसत मूल्य की गणना भारित औसत हार्मोनिक सूत्र द्वारा की जाती है।

उदाहरण के लिए, यह ज्ञात हो कि कार पहले 210 किमी 70 किमी / घंटा की गति से गुजरी, और शेष 150 किमी 75 किमी / घंटा की गति से। अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करके 360 किमी के पूरे मार्ग के साथ औसत वाहन की गति निर्धारित करना असंभव है। चूंकि विकल्प व्यक्तिगत अनुभागों में गति हैं xJ \u003d 70 किमी / घंटा और X2 \u003d 75 किमी / घंटा, और तराजू (फाई) पथ के संगत अनुभाग हैं, फिर वजन पर विकल्पों के उत्पाद का न तो भौतिक और न ही आर्थिक अर्थ होगा। इस मामले में, अर्थ को संबंधित गति (विकल्प xi) पर पथ के खंडों को विभाजित करने के भाग द्वारा प्राप्त किया जाता है, अर्थात, पथ के अलग-अलग वर्गों के पारित होने पर खर्च किया जाने वाला समय (फाई / xI)। यदि पथ के खंडों को फाई द्वारा निरूपित किया जाता है, तो पूरे पथ को andfi के रूप में व्यक्त किया जाता है, और पूरे मार्ग पर बिताया गया समय path Fi है / xi , तब औसत गति को पूरे समय में पूरे रास्ते को विभाजित करने के भागफल के रूप में पाया जा सकता है:

हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है:

यदि, सभी विकल्पों (एफ) के औसत हार्मोनिक वज़न का उपयोग करते समय समान हैं, तो भारित के बजाय, आप उपयोग कर सकते हैं सरल (बिना वजन वाला) हार्मोनिक मतलब:

जहां xi व्यक्तिगत विकल्प हैं; n - औसत विशेषता के वेरिएंट की संख्या। गति के उदाहरण में, एक सरल हार्मोनिक साधन लागू किया जा सकता है यदि पथ के खंड अलग-अलग गति से यात्रा करते हैं।

किसी भी औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए ताकि जब यह औसत विशेषता के प्रत्येक संस्करण को बदल दे, तो कुछ अंतिम, सामान्य करने वाले सूचक का मान जो औसत सूचक के साथ जुड़ा हुआ है, नहीं बदलता है। इसलिए, जब पथ के व्यक्तिगत खंडों पर वास्तविक गति को उनके औसत मूल्य (औसत गति) से बदल दिया जाता है, तो कुल दूरी को बदलना नहीं चाहिए।

औसत मान का रूप (सूत्र) इस अंतिम संकेतक के संबंध की प्रकृति (तंत्र) द्वारा औसत के साथ निर्धारित किया जाता है, इसलिए अंतिम संकेतक, जिनमें से मूल्य को उनके औसत मूल्य के साथ विकल्प बदलते समय नहीं बदलना चाहिए, कहा जाता है सूचक को परिभाषित करना। औसत सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको एक निर्धारित करने के साथ औसत संकेतक के संबंध का उपयोग करके समीकरण बनाने और हल करने की आवश्यकता है। यह समीकरण औसत विशेषता (संकेतक) के विकल्पों को उनके औसत मूल्य के साथ बदलकर बनाया गया है।

अंकगणित माध्य और हार्मोनिक माध्य के अलावा, औसत आकार के अन्य प्रकार (रूप) आंकड़ों में उपयोग किए जाते हैं। ये सभी विशेष मामले हैं। बिजली औसत। यदि आप समान डेटा के लिए सभी प्रकार के पावर औसत मानों की गणना करते हैं, तो मान

वे वही होंगे, यहां नियम लागू होता है बहुमत मध्यम। औसत शक्ति में वृद्धि के साथ, औसत स्वयं भी बढ़ता है। विभिन्न प्रकार के शक्ति औसत मूल्यों की गणना के लिए व्यावहारिक अनुसंधान में अक्सर उपयोग किए जाने वाले सूत्र तालिका में प्रस्तुत किए जाते हैं। 5.2।

तालिका 5.2

उपलब्ध होने पर ज्यामितीय माध्य लगाया जाता है n वृद्धि कारक, जबकि विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य एक नियम के रूप में, सापेक्ष गतिकी मूल्य, श्रृंखला मूल्यों के रूप में निर्मित होते हैं, गतिकी की श्रृंखला में प्रत्येक स्तर के पिछले स्तर के संबंध के रूप में। औसत, इसलिए औसत विकास दर की विशेषता है। ज्यामितीय माध्यम सरल सूत्र द्वारा गणना की गई

सूत्र ज्यामितीय माध्य भारित निम्नलिखित रूप है:

उपरोक्त सूत्र समान हैं, लेकिन एक का उपयोग वर्तमान गुणांक या वृद्धि दर के लिए किया जाता है, और दूसरा श्रृंखला के पूर्ण मूल्यों के लिए।

द्विघात माध्य इसका उपयोग वर्ग कार्यों के मूल्यों के साथ गणना में किया जाता है, इसका उपयोग वितरण श्रृंखला में अंकगणितीय माध्य के आसपास विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की परिवर्तनशीलता की डिग्री को मापने के लिए किया जाता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

RMS का वजन औसत है दूसरे सूत्र द्वारा गणना:

औसत घन घन कार्यों के मूल्यों के साथ गणना में उपयोग किया जाता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

भारित औसत घन:

उपरोक्त सभी औसत मानों को एक सामान्य सूत्र के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

औसत मूल्य कहां है; - व्यक्तिगत मूल्य; n - अध्ययन की गई आबादी की इकाइयों की संख्या; क - एक घातांक जो औसत के प्रकार को निर्धारित करता है।

एक ही स्रोत डेटा का उपयोग करते समय, अधिक क सामान्य शक्ति कानून सूत्र में, औसत जितना बड़ा होता है। इससे यह निम्नानुसार है कि शक्ति के मूल्यों के बीच एक प्राकृतिक संबंध है:

ऊपर वर्णित औसत मूल्य अध्ययन की गई आबादी का एक सामान्यीकृत विचार देते हैं और इस दृष्टिकोण से, उनका सैद्धांतिक, लागू और संज्ञानात्मक मूल्य निर्विवाद है। लेकिन ऐसा होता है कि औसत मूल्य वास्तव में मौजूदा विकल्पों में से किसी के साथ मेल नहीं खाता है, इसलिए, माना जाता औसत के अतिरिक्त, सांख्यिकीय विश्लेषण में विशिष्ट विकल्पों के मूल्यों का उपयोग करना उचित है जो विशेषता के मूल्यों (क्रमबद्ध) श्रृंखला में एक अच्छी तरह से परिभाषित स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं। इन मात्राओं में, सबसे आम हैं संरचनात्मक या वर्णनात्मक, औसत - मोड (मो) और मंझला (मैं)।

फैशन - संकेत का मूल्य, जो इस आबादी में सबसे अधिक बार पाया जाता है। विविधता श्रृंखला के संबंध में, मोड रैंक की गई श्रृंखला का सबसे सामान्य मूल्य है, अर्थात, सबसे बड़ी आवृत्ति वाला संस्करण। फ़ैशन का उपयोग उन स्टोरों को निर्धारित करने में किया जा सकता है जो सबसे अधिक देखे जाते हैं, किसी उत्पाद के लिए सबसे आम कीमतें हैं। यह आबादी के एक महत्वपूर्ण हिस्से की विशेषता का आकार दिखाता है, और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जहां x0 अंतराल की निचली सीमा है; ज - अंतराल का मूल्य; एफएम - अंतराल आवृत्ति; fm_1 - पिछले अंतराल की आवृत्ति; fm +1 - अगले अंतराल की आवृत्ति।

मंझला रैंक किए गए पंक्ति के केंद्र में स्थित विकल्प कहा जाता है। माध्यिका श्रृंखला को दो समान भागों में विभाजित करती है ताकि दोनों तरफ समान इकाइयों की समान संख्या हो। इसके अलावा, जनसंख्या की इकाइयों के एक आधे हिस्से में, भिन्न विशेषता का मूल्य औसत से कम होता है, अन्य में - इसके बारे में अधिक। माध्यिका का उपयोग किसी तत्व के अध्ययन में किया जाता है जिसका मान वितरण श्रृंखला के आधे तत्वों के बराबर या उससे कम या इसके बराबर या उससे अधिक होता है। माध्यिका एक सामान्य विचार देती है कि जहां गुण का मान केंद्रित है, दूसरे शब्दों में, जहां उनका केंद्र स्थित है।

माध्यिका की वर्णनात्मक प्रकृति इस तथ्य में प्रकट होती है कि यह एक अलग विशेषता के मूल्यों की मात्रात्मक सीमा की विशेषता है जो आबादी की इकाइयों की आधी है। असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के लिए माध्यिका को खोजने की समस्या को हल किया जाता है। यदि हम श्रृंखला की सभी इकाइयों को सीरियल नंबर देते हैं, तो औसत संस्करण अनुक्रम संख्या (n +1) / 2 को विषम संख्या वाले सदस्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि श्रृंखला के सदस्यों की संख्या एक सम संख्या है, तो औसत दो क्रमांक होंगे, जिनमें क्रम संख्याएँ होती हैं। n / 2 और n / 2 + 1.

अंतराल भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका का निर्धारण करते समय, वह अंतराल जिसमें यह स्थित है (माध्यिका अंतराल) पहले निर्धारित किया जाता है। यह अंतराल इस तथ्य की विशेषता है कि इसकी संचित आवृत्तियों का योग श्रृंखला के सभी आवृत्तियों के बराबर या उससे अधिक है। अंतराल भिन्नता श्रृंखला के माध्यिका की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है

कहाँ पे X 0 - अंतराल के निचले हिस्से; ज - अंतराल का मूल्य; एफएम - अंतराल आवृत्ति; च- श्रृंखला के सदस्यों की संख्या;

∫m-1 - श्रृंखला के संचित सदस्यों का योग इससे पहले है।

मध्ययुगीन के साथ, अध्ययन की गई आबादी की संरचना के अधिक पूर्ण लक्षण वर्णन के लिए, रैंक में एक अच्छी तरह से परिभाषित स्थिति पर कब्जा करने वाले विकल्पों के अन्य मूल्यों का भी उपयोग किया जाता है। इसमें शामिल है चतुर्थकों तथा deciles। चतुर्थांश श्रृंखला को आवृत्तियों के 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, और 10 बराबर भागों में तय करते हैं। तीन चतुर्थांश और नौ दशांश होते हैं।

मध्यमा और मोड, अंकगणितीय माध्य के विपरीत, अलग-अलग विशेषताओं के मूल्यों में व्यक्तिगत मतभेदों को नहीं बुझाते हैं और इसलिए सांख्यिकीय आबादी के अतिरिक्त और बहुत महत्वपूर्ण लक्षण हैं। व्यवहार में, उनका उपयोग अक्सर औसत के बजाय या इसके साथ किया जाता है। यह उन मामलों में माध्य और फैशन की गणना करने के लिए विशेष रूप से उचित है, जब अध्ययन की गई आबादी में अलग-अलग विशेषता के बहुत बड़े या बहुत छोटे मूल्य के साथ कुछ निश्चित इकाइयां होती हैं। ये समग्र, विकल्पों के मूल्यों के लिए बहुत विशेषता नहीं हैं, अंकगणित माध्य को प्रभावित करते हैं, मध्यिका और मोड के मूल्यों को प्रभावित नहीं करते हैं, जो आर्थिक और सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए बाद के बहुत मूल्यवान संकेतक बनाता है।

भिन्नता के संकेतक

सांख्यिकीय अध्ययन का उद्देश्य अध्ययन किए गए सांख्यिकीय आबादी के मूल गुणों और पैटर्न की पहचान करना है। सांख्यिकीय अवलोकन डेटा के कुल प्रसंस्करण की प्रक्रिया में, वे निर्माण करते हैं वितरण श्रृंखला। वितरण श्रृंखला दो प्रकार की होती है - गुणात्मक और परिवर्तनशील, इस पर निर्भर करता है कि समूहन के आधार के रूप में लिया गया गुण गुणात्मक या मात्रात्मक है या नहीं।

परिवर्तन संबंधी मात्रात्मक आधार पर निर्मित वितरण श्रृंखला को कॉल करें। जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों की मात्रात्मक विशेषताओं के मूल्य स्थिर नहीं हैं, कमोबेश एक दूसरे से भिन्न हैं। विशेषता के मूल्य में इस अंतर को कहा जाता है विविधताओं। अध्ययन आबादी में पाए जाने वाले चरित्र के व्यक्तिगत संख्यात्मक मूल्यों को कहा जाता है मूल्य विकल्प। जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों में भिन्नता की उपस्थिति विशेषता के स्तर के गठन पर बड़ी संख्या में कारकों के प्रभाव के कारण है। जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों में वर्णों की प्रकृति और डिग्री की भिन्नता का अध्ययन किसी भी सांख्यिकीय अध्ययन का सबसे महत्वपूर्ण मुद्दा है। भिन्नता के संकेतकों का उपयोग करके संकेतों की परिवर्तनशीलता की माप का वर्णन करना।

सांख्यिकीय अनुसंधान का एक अन्य महत्वपूर्ण कार्य जनसंख्या के कुछ संकेतों के परिवर्तन में व्यक्तिगत कारकों या उनके समूहों की भूमिका निर्धारित करना है। आंकड़ों में इस समस्या को हल करने के लिए, विशेष विधियों का उपयोग भिन्नता का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जो संकेतकों की एक प्रणाली के उपयोग के आधार पर भिन्नता को मापता है। व्यवहार में, शोधकर्ता को संकेत के मूल्यों के लिए पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में विकल्पों का सामना करना पड़ता है, जो समुच्चय में संकेत के मूल्य के अनुसार इकाइयों के वितरण का विचार नहीं करता है। ऐसा करने के लिए, आरोही या अवरोही क्रम में साइन के मूल्यों के लिए सभी विकल्पों की व्यवस्था करें। इस प्रक्रिया को कहा जाता है पंक्ति द्वारा रैंकिंग। रैंक श्रृंखला तुरंत उन मूल्यों का एक सामान्य विचार देती है जो विशेषता कुल में ले जाती है।

जनसंख्या की संपूर्ण विशेषता के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता संकेतक के साथ औसत मूल्यों को पूरक करने के लिए आवश्यक बनाती है जो हमें अध्ययन किए गए विशेषता की परिवर्तनशीलता (भिन्नता) को मापकर इन औसत की विशिष्टता का आकलन करने की अनुमति देती है। इन भिन्नता संकेतकों का उपयोग सांख्यिकीय विश्लेषण को अधिक पूर्ण और सूचनात्मक बनाने के लिए संभव बनाता है, और इस तरह से अध्ययन किए गए घटना के सार को बेहतर ढंग से समझने के लिए।

भिन्नता के सबसे सरल संकेत हैं न्यूनतम तथा ज्यादा से ज्यादा - यह समुच्चय में विशेषता का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मूल्य है। विशेषताओं के मूल्यों के अलग-अलग वेरिएंट की पुनरावृत्ति की संख्या को कहा जाता है पुनरावृत्ति दर। विशेषता मूल्य की पुनरावृत्ति दर को अस्वीकार करें फाई अध्ययन की गई जनसंख्या के आयतन के बराबर आवृत्तियों का योग होगा:

कहाँ पे क - विशेषता के मूल्यों के लिए विकल्पों की संख्या। आवृत्तियों को आसानी से आवृत्तियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है - वाई। आवृत्ति - आवृत्ति का एक सापेक्ष संकेतक - एक इकाई या प्रतिशत के अंशों में व्यक्त किया जा सकता है और आपको भिन्न श्रृंखलाओं की भिन्न संख्याओं के साथ तुलना करने की अनुमति देता है। औपचारिक रूप से, हमारे पास:

विभिन्न पूर्ण और सापेक्ष संकेतकों का उपयोग लक्षण की भिन्नता को मापने के लिए किया जाता है। भिन्नता के पूर्ण संकेतक में औसत रेखीय विचलन, भिन्नता, भिन्नता और मानक विचलन का परिमाण शामिल है।

भिन्नता की सीमा (R) अध्ययन की गई जनसंख्या में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है: आर \u003d एक्समैक्स - एक्समिन। यह संकेतक अध्ययन किए गए विशेषता की परिवर्तनशीलता का केवल सबसे सामान्य विचार देता है, क्योंकि यह केवल विकल्पों के सीमित मूल्यों के बीच का अंतर दिखाता है। यह परिवर्तनशील श्रृंखला में आवृत्तियों के लिए पूरी तरह से असंबंधित है, अर्थात्, वितरण की प्रकृति के लिए, और इसकी निर्भरता इसे केवल विशेषता के चरम मूल्यों से एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र दे सकती है। भिन्नता का दायरा अध्ययन की गई आबादी की विशेषताओं पर कोई जानकारी प्रदान नहीं करता है और किसी को प्राप्त औसत मूल्यों की विशिष्टता का आकलन करने की अनुमति नहीं देता है। इस सूचक का दायरा काफी सजातीय समुच्चय तक सीमित है, अधिक सटीक रूप से, संकेतक विशेषता के सभी मूल्यों की परिवर्तनशीलता के आधार पर विशेषता की भिन्नता की विशेषता है।

लक्षण की भिन्नता को चिह्नित करने के लिए, अध्ययन की गई जनसंख्या के किसी भी मूल्य से सभी मूल्यों के विचलन को सामान्यीकृत करना आवश्यक है। इस तरह के संकेतक

विविधताएं, जैसे औसत रैखिक विचलन, विचरण और मानक विचलन, अंकगणितीय माध्य से जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों के गुण मानों के विचलन पर आधारित हैं।

मतलब रैखिक विचलन उनके अंकगणित माध्य से व्यक्तिगत विकल्पों के विचलन के पूर्ण मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है:

अंकगणित माध्य से भिन्न के विचलन का पूर्ण मान (मॉड्यूल); एफ आवृत्ति।

पहला सूत्र लागू होता है यदि प्रत्येक विकल्प केवल एक बार समुच्चय में होता है, और दूसरा - असमान आवृत्तियों के साथ पंक्तियों में।

अंकगणित माध्य से विकल्पों के औसत विचलन का एक और तरीका है। यह विधि, जो आंकड़ों में बहुत आम है, विभिन्न प्रकारों के औसत विचलन के बाद के औसत विचलन के साथ गणना करने के लिए कम हो जाती है। ऐसा करने पर, हमें भिन्नता का नया संकेतक मिलता है - विचरण।

फैलाव (of 2) औसत मूल्य से विशेषता के भिन्न मूल्यों के विचलन के वर्गों का औसत है:

दूसरे सूत्र का उपयोग किया जाता है यदि वेरिएंट का अपना वजन होता है (या वैरिएबल श्रृंखला की आवृत्तियों)।

आर्थिक और सांख्यिकीय विश्लेषण में, यह औसत वर्ग विचलन की सहायता से सबसे अधिक बार एक संकेत की भिन्नता का मूल्यांकन करने के लिए प्रथागत है। मानक विचलन (the) विचरण का वर्गमूल है:

औसत रेखीय और द्विघात माध्य विचलन यह दर्शाता है कि अध्ययन की इकाइयों की इकाइयों के लिए विशेषता का औसत मूल्य कितना भिन्न होता है, और माप की समान इकाइयों में विकल्पों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

सांख्यिकीय अभ्यास में, विभिन्न विशेषताओं के रूपों की तुलना करना अक्सर आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, कर्मचारियों की आयु और उनकी योग्यता, सेवा की अवधि और वेतन, आदि में भिन्नताओं की तुलना करना बहुत रुचि है। ऐसी तुलनाओं के लिए, विशेषताओं की पूर्ण परिवर्तनशीलता के संकेतक - औसत रैखिक और द्विघात विचलन - उपयुक्त नहीं हैं। यह असंभव है, वास्तव में, कार्य अनुभव की परिवर्तनशीलता की तुलना करने के लिए, वर्षों में व्यक्त की गई, मजदूरी की परिवर्तनशीलता के साथ, रूबल और कोप्स में व्यक्त किया गया।

कुल में विभिन्न विशेषताओं की परिवर्तनशीलता की तुलना करते समय, विविधता के सापेक्ष संकेतकों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इन संकेतकों की गणना अंकगणितीय माध्य (या माध्यिका) के निरपेक्ष संकेतकों के अनुपात के रूप में की जाती है। भिन्नता के निरपेक्ष संकेतक के रूप में प्रयोग करना, भिन्नता की सीमा, रैखिक विचलन और मध्य वर्ग विचलन का अर्थ है, हम सापेक्ष दोलन सूचकांक प्राप्त करते हैं:

जनसंख्या की एकरूपता की विशेषता, सापेक्ष परिवर्तनशीलता का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला संकेतक। यदि सामान्य के करीब वितरण के लिए भिन्नता गुणांक 33% से अधिक नहीं है, तो सेट को सजातीय माना जाता है।

सांख्यिकीय इकाइयों की विशेषताएं अर्थ में भिन्न हैं, उदाहरण के लिए, किसी उद्यम के एक ही पेशे में श्रमिकों की मजदूरी समान अवधि के लिए समान नहीं है, समान उत्पादों के लिए बाजार पर कीमतें, क्षेत्र में खेतों पर फसल की पैदावार, आदि। इसलिए, उस विशेषता के मूल्य को निर्धारित करने के लिए जो इकाइयों के पूरे अध्ययन सेट के लिए विशेषता है, औसत मूल्यों की गणना की जाती है।
औसत मूल्य – यह एक निश्चित मात्रात्मक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के सेट की एक सामान्यीकृत विशेषता है।

मात्रात्मक मानदंडों द्वारा अध्ययन की गई समग्रता में व्यक्तिगत मूल्य होते हैं; वे सामान्य कारणों और व्यक्तिगत स्थितियों दोनों से प्रभावित होते हैं। औसतन, व्यक्तिगत मूल्यों की विशिष्टताओं को रद्द कर दिया जाता है। औसत, व्यक्तिगत मूल्यों के सेट का एक कार्य है, पूरे समुच्चय को एक मूल्य के रूप में दर्शाता है और सभी इकाइयों में निहित सामान्य को दर्शाता है।

गुणात्मक रूप से सजातीय इकाइयों से युक्त आबादी के लिए औसत गणना की जाती है सामान्य औसत। उदाहरण के लिए, आप एक पेशेवर समूह (खनिक, डॉक्टर लाइब्रेरियन) के कर्मचारी के औसत मासिक वेतन की गणना कर सकते हैं। बेशक, खनिकों की मासिक मजदूरी का स्तर उनकी योग्यता, सेवा की लंबाई, प्रति माह काम किए गए समय और कई अन्य कारकों के कारण एक-दूसरे से और औसत मजदूरी के स्तर से भिन्न होता है। हालांकि, औसत स्तर पर, मजदूरी के स्तर को प्रभावित करने वाले मुख्य कारक परिलक्षित होते हैं, और कर्मचारी की व्यक्तिगत विशेषताओं के कारण उत्पन्न मतभेद पारस्परिक रूप से चुकाए जाते हैं। औसत मजदूरी किसी प्रकार के श्रमिक के लिए मजदूरी के सामान्य स्तर को दर्शाती है। एक विशिष्ट औसत प्राप्त करने से पहले यह विश्लेषण किया जाना चाहिए कि यह आबादी गुणात्मक रूप से कितनी अच्छी तरह सजातीय है। यदि समग्रता में उनके अलग-अलग हिस्से होते हैं, तो इसे विशिष्ट समूहों (अस्पताल में औसत तापमान) में विभाजित किया जाना चाहिए।

विषम आबादी के लिए विशेषताओं के रूप में उपयोग किए जाने वाले औसत मूल्यों को कहा जाता है सिस्टम का औसत। उदाहरण के लिए, प्रति व्यक्ति सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) का औसत मूल्य, प्रति व्यक्ति सामान के विभिन्न समूहों के उपभोग का औसत मूल्य और अन्य समान मूल्य, एक ही आर्थिक प्रणाली के रूप में राज्य के सामान्यीकरण विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

औसत की गणना पर्याप्त संख्या में इकाइयों से युक्त आबादी के लिए की जानी चाहिए। बल में प्रवेश करने के लिए बड़ी संख्या के कानून के क्रम में इस स्थिति का अनुपालन आवश्यक है, जिसके परिणामस्वरूप सामान्य प्रवृत्ति से अलग-अलग मात्रा का यादृच्छिक विचलन पारस्परिक रूप से चुकाया जाता है।

साधनों के प्रकार और उनकी गणना के तरीके

औसत के प्रकार की पसंद एक निश्चित संकेतक और स्रोत डेटा की आर्थिक सामग्री द्वारा निर्धारित की जाती है। हालांकि, किसी भी औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए ताकि जब यह औसत विशेषता के प्रत्येक संस्करण को बदल दे, तो अंतिम, सामान्यीकरण, या, जैसा कि आमतौर पर कहा जाता है, सूचक को परिभाषित करना, जो औसत सूचक के साथ जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, जब ट्रैक के व्यक्तिगत वर्गों पर वास्तविक गति को उनकी औसत गति के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक ही समय में वाहन द्वारा यात्रा की गई कुल दूरी को बदलना नहीं चाहिए; जब औसत वेतन वाले उद्यम के व्यक्तिगत कर्मचारियों की वास्तविक मजदूरी की जगह लेते हैं, तो वेतन निधि में बदलाव नहीं होना चाहिए। इसलिए, प्रत्येक मामले में, उपलब्ध आंकड़ों की प्रकृति के आधार पर, संकेतक का केवल एक सही औसत मूल्य है, जो अध्ययनित सामाजिक-आर्थिक घटना के गुणों और सार के लिए पर्याप्त है।
सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला अंकगणित माध्य, हार्मोनिक माध्य, ज्यामितीय माध्य, द्विघात माध्य और घन माध्य है।
सूचीबद्ध औसत वर्ग के हैं घातीयमध्यम और सामान्य सूत्र द्वारा संयुक्त होते हैं:
,
जांच की गई विशेषता का औसत मूल्य कहां है;
मीटर औसत का एक घातांक है;
- औसत विशेषता का वर्तमान मूल्य (विकल्प);
n सुविधाओं की संख्या है।
घातांक m के मान के आधार पर, निम्न प्रकार के विद्युत साधनों को प्रतिष्ठित किया जाता है:
जब एम \u003d -1 - हार्मोनिक मतलब;
जब m \u003d 0 - ज्यामितीय माध्य;
जब m \u003d 1 - अंकगणित माध्य;
जब m \u003d 2 - माध्य वर्ग;
जब एम \u003d 3 - औसत घन।
समान स्रोत डेटा का उपयोग करते समय, उपरोक्त सूत्र में अधिक से अधिक घातांक m, औसत मान जितना अधिक होगा:
.
शक्ति की इस संपत्ति का अर्थ है निर्धारण कार्य के बढ़ते घातांक के साथ वृद्धि को कहा जाता है बहुमत का शासन.
प्रख्यात साधनों में से प्रत्येक दो रूप ले सकता है: सरलतथा भारित.
माध्यम का सरल रूपतब लागू किया जाता है जब औसत की गणना प्राथमिक (अनग्रुप्ड) डेटा से की जाती है। भारित रूप- माध्यमिक (समूहीकृत) आंकड़ों के अनुसार औसत की गणना करते समय।

अंकगणित औसत

अंकगणितीय माध्य का उपयोग तब किया जाता है जब किसी जनसंख्या का आयतन एक अलग विशेषता के सभी व्यक्तिगत मूल्यों का योग होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि औसत मूल्य का प्रकार इंगित नहीं किया गया है, तो अंकगणितीय माध्य मान लिया गया है। इसका तार्किक सूत्र है:

अंकगणित का मतलब सरल है गणना अनियंत्रित डेटा सूत्र के अनुसार:
या,
विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य कहां हैं;
j अवलोकन की इकाई की क्रम संख्या है, जो एक मूल्य द्वारा विशेषता है;
एन अवलोकन इकाइयों (कुल मात्रा) की संख्या है।
उदाहरण। व्याख्यान में "सांख्यिकीय आंकड़ों का सारांश और समूहन", 10 लोगों की टीम के कार्य अनुभव को देखने के परिणामों पर विचार किया गया। हम ब्रिगेड के श्रमिकों के औसत कार्य अनुभव की गणना करते हैं। 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4।

अंकगणित माध्य सूत्र भी गणना करता है कालानुक्रमिक औसतयदि समय अंतराल जिसके लिए विशेषता मान प्रस्तुत किए गए हैं, बराबर हैं।
उदाहरण। पहली तिमाही के लिए बिक्री की मात्रा 47 डेन तक पहुंच गई। इकाइयों, दूसरे के लिए 54, तीसरे 65 के लिए और चौथे 58 मांद के लिए। इकाइयों औसत त्रैमासिक कारोबार (47 + 54 + 65 + 58) / 4 \u003d 56 डेन है। इकाइयों
यदि कालानुक्रमिक श्रृंखला में क्षण संकेतक दिए जाते हैं, तो औसत की गणना करते समय, उन्हें अवधि की शुरुआत और अंत में मूल्यों के आधे-हिस्से से बदल दिया जाता है।
यदि दो से अधिक क्षण हैं और उनके बीच का अंतराल बराबर है, तो औसत की गणना औसत कालानुक्रमिक के सूत्र द्वारा की जाती है

,
जहां n समय की संख्या है
मामले में जब डेटा को विशिष्ट मूल्यों द्वारा समूहीकृत किया जाता है (यानी, एक वितरण के एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला का निर्माण किया जाता है) अंकगणित भारित औसतविशेषता के विशिष्ट मूल्यों की आवृत्तियों या अवलोकन आवृत्तियों का उपयोग करके गणना की जाती है, जिनमें से (k) टिप्पणियों की संख्या (N) की तुलना में काफी कम है।
,
,
जहां k भिन्नता श्रृंखला के समूहों की संख्या है,
मैं भिन्नता श्रृंखला की समूह संख्या है।
चूंकि, a, हम व्यावहारिक गणनाओं के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्र प्राप्त करते हैं:
तथा
उदाहरण। हम एक समूहीकृत पंक्ति में ब्रिगेड के काम की औसत लंबाई की गणना करते हैं।
क) आवृत्तियों का उपयोग:

बी) आवृत्तियों का उपयोग कर:

जब अंतराल पर डेटा को समूहीकृत किया जाता है , अर्थात। वितरण की अंतराल श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जब अंकगणितीय औसत की गणना करते हैं, तो अंतराल के मध्य को विशेषता के मूल्य के रूप में लिया जाता है, इस धारणा के आधार पर कि इस अंतराल पर जनसंख्या की इकाइयां समान रूप से वितरित की जाती हैं। गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
तथा
बीच का अंतराल कहां है :,
कहाँ और अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं (बशर्ते कि इस अंतराल की ऊपरी सीमा अगले अंतराल की निचली सीमा के साथ मेल खाती हो)।

उदाहरण। हम 30 कर्मचारियों के वार्षिक वेतन के अध्ययन के परिणामों के अनुसार निर्मित अंतराल भिन्नता श्रृंखला के अंकगणितीय औसत की गणना करते हैं (व्याख्यान "सांख्यिकीय डेटा का सारांश और समूहन देखें")।
तालिका 1 - वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला।

अंतराल, UAH	आवृत्ति	आवृत्ति	मध्यांतर का मध्य
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

uAH या uAH
अंकगणित का अर्थ है, प्रारंभिक डेटा और अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधार पर गणना, अंतराल के भीतर विशेषता मूल्यों के असमान वितरण के कारण मेल नहीं खा सकता है। इस मामले में, अंकगणित माध्य भारित की अधिक सटीक गणना के लिए, किसी को अंतराल के मध्यबिंदु का उपयोग नहीं करना चाहिए, लेकिन अंकगणित का मतलब प्रत्येक समूह के लिए सरल गणना है ( समूह औसत) समूह द्वारा गणना की गई औसत का मतलब भारित गणना सूत्र का उपयोग करना है कुल मिलाकर औसत.
अंकगणित माध्य में कई गुण हैं।
1. औसत से विकल्प के विचलन का योग शून्य है:
.
2. यदि वैरिएंट के सभी मान A के मान में वृद्धि या कमी करते हैं, तो औसत मान उसी के अनुसार बढ़ता या घटता है:

3. यदि बी के एक कारक द्वारा प्रत्येक विकल्प को बढ़ाया या घटाया जाता है, तो एक ही समय में औसत मूल्य में भी वृद्धि या कमी होगी:
या
4. आवृत्तियों पर भिन्न प्रकार के उत्पादों का योग आवृत्तियों के योग द्वारा औसत मूल्य के उत्पाद के बराबर होता है:

5. यदि सभी आवृत्तियों को किसी संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा:

6) यदि सभी अंतरालों में आवृत्तियाँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, तो अंकगणित माध्य भारित सरल अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है:
,
जहाँ k भिन्नरूप श्रृंखला के समूहों की संख्या है।

माध्य के गुणों का उपयोग करने से हमें इसकी गणना को सरल बनाने की अनुमति मिलती है।
मान लीजिए कि सभी विकल्प (x) पहले एक ही संख्या A से कम हो जाते हैं, और फिर B के एक कारक से कम हो जाते हैं। उच्चतम सरलीकरण तब प्राप्त होता है जब उच्चतम आवृत्ति के साथ अंतराल के मध्य का मान ए के रूप में चुना जाता है, और अंतराल का मान (समान अंतराल के साथ श्रृंखला के लिए) बी के रूप में। ए के मूल्य को मूल कहा जाता है, इसलिए औसत की गणना करने की इस पद्धति को कहा जाता है मार्गख सशर्त शून्य से ओम संदर्भ या क्षणों का रास्ता.
इस तरह के परिवर्तन के बाद, हम वितरण की एक नई संस्करण श्रृंखला प्राप्त करते हैं, जिनमें से संस्करण समान हैं। उनका अंकगणित माध्य, कहलाता है पहले क्रम का क्षणसूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है और दूसरे और तीसरे गुणों के अनुसार, अंकगणितीय माध्य मूल संस्करण के औसत के बराबर है, पहले A द्वारा घटाया गया, और फिर B के एक कारक से, अर्थात
पाने के लिए वास्तविक औसत(मध्य प्रारंभिक पंक्ति) आपको B द्वारा पहले क्रम के क्षण को गुणा करना होगा और A जोड़ना होगा:

क्षण की विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना तालिका में डेटा द्वारा सचित्र है। 2।
तालिका 2 - अनुभव द्वारा उद्यम की कार्यशाला में श्रमिकों का वितरण

कार्य अनुभव, वर्ष	श्रमिकों की राशि	मध्य अंतराल
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

पहले क्रम का क्षण ज्ञात कीजिए । फिर, यह जानते हुए कि A \u003d 17.5, और B \u003d 5, हम कार्यशाला में श्रमिकों की सेवा की औसत लंबाई की गणना करते हैं:
साल पुराना

लयबद्ध
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, अंकगणित माध्य का उपयोग उन मामलों में संकेत के औसत मूल्य की गणना करने के लिए किया जाता है जहां इसके वेरिएंट x और उनकी आवृत्तियों को ज्ञात किया जाता है।
यदि सांख्यिकीय जानकारी में जनसंख्या के अलग-अलग वेरिएंट x के लिए आवृत्तियों में एफ नहीं है, लेकिन उनके उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो सूत्र लागू होता है हार्मोनिक भारित औसत। औसत की गणना करने के लिए, आइए जानते हैं कि कहां। अंकगणित माध्य भारित सूत्र में इन अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम हार्मोनिक माध्य भारित सूत्र प्राप्त करते हैं:
,
जहाँ संख्या i (i \u003d 1,2, ..., k) के साथ अंतराल में सूचक सूचक के मानों का आयतन (भार) होता है।

इस प्रकार, हार्मोनिक माध्य उन मामलों में लागू किया जाता है जब विविधताएं स्वयं योग के अधीन नहीं होती हैं, लेकिन मात्रा उनके विपरीत होती है: .
उन मामलों में जहां प्रत्येक विकल्प का वजन एक के बराबर होता है, अर्थात्। विपरीत संकेत के व्यक्तिगत मूल्य एक बार होते हैं, इसे लागू किया जाता है हार्मोनिक मतलब सरल:
,
जहां - एक बार होने वाले व्युत्क्रम संकेत के व्यक्तिगत रूप;
एन विकल्पों की संख्या है।
यदि जनसंख्या के दो भागों में हार्मोनिक साधन हैं, तो संपूर्ण जनसंख्या के लिए औसत की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और फोन किया समूह के माध्यम से भारित हार्मोनिक साधन.

उदाहरण। ऑपरेशन के पहले घंटे के लिए मुद्रा विनिमय पर व्यापार के दौरान, तीन लेनदेन संपन्न हुए। रिव्निया की बिक्री की मात्रा पर डेटा और अमेरिकी डॉलर के खिलाफ रिव्निया विनिमय दर तालिका में दिए गए हैं। 3 (कॉलम 2 और 3)। ट्रेडिंग के पहले घंटे के लिए अमेरिकी डॉलर के मुकाबले औसत रिव्निया विनिमय दर निर्धारित करें।
तालिका 3 - मुद्रा विनिमय पर व्यापार की प्रगति पर डेटा

औसत डॉलर विनिमय दर इन लेनदेन के परिणामस्वरूप अर्जित किए गए डॉलर के सभी लेन-देन के दौरान बेची गई hryvnias की राशि के अनुपात से निर्धारित होती है। रिव्निया की बिक्री की कुल राशि तालिका के कॉलम 2 से जानी जाती है, और प्रत्येक लेनदेन में खरीदे गए डॉलर की संख्या को रिव्निया की बिक्री की राशि को उसकी दर (कॉलम 4) में विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। कुल तीन लेनदेन में 22 मिलियन डॉलर खरीदे गए। तो, एक डॉलर के लिए औसत रिव्निया विनिमय दर थी
.
प्राप्त मूल्य वास्तविक है, क्योंकि लेनदेन में वास्तविक रिव्निया दरों के अपने प्रतिस्थापन के रूप में अभिनय, रिव्निया की कुल बिक्री राशि नहीं बदलेगा सूचक को परिभाषित करना: मिलियन UAH
यदि गणना के लिए अंकगणितीय माध्य का उपयोग किया गया था, अर्थात। रिव्निया, तो विनिमय दर पर 22 मिलियन डॉलर की खरीद के लिए। यह 110.66 मिलियन UAH खर्च करने के लिए आवश्यक होगा, जो सच नहीं है।

जियोमेट्रिक माध्य
ज्यामितीय माध्य का उपयोग घटनाओं की गतिशीलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है और आपको औसत विकास गुणांक निर्धारित करने की अनुमति देता है। ज्यामितीय माध्य की गणना करते समय, विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य सापेक्ष गतिकी संकेतक होते हैं, जो श्रृंखला मात्रा के रूप में निर्मित होते हैं, प्रत्येक स्तर के अनुपात में पिछले एक के रूप में।
ज्यामितीय माध्य सरल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
,
काम का संकेत कहां है,
एन औसत मूल्यों की संख्या है।
उदाहरण।पिछले 4 वर्षों में दर्ज अपराधों की संख्या में 1.57 गुना वृद्धि हुई है, जिसमें 1 के लिए - 1.08 बार, 2 के लिए - 1.1 बार, 3 के लिए - 1.18 4 के लिए - 1.12 बार। फिर अपराधों की संख्या की औसत वार्षिक वृद्धि दर है :, अर्थात दर्ज अपराधों की संख्या में औसतन 12% की वृद्धि हुई।

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

भारित माध्य वर्ग की गणना करने के लिए, हम निर्धारित करते हैं और तालिका में दर्ज करते हैं और। फिर किसी दिए गए मानदंड से उत्पाद की लंबाई का औसत विचलन बराबर है:

इस मामले में अंकगणितीय माध्य अनुपयुक्त होगा, क्योंकि परिणामस्वरूप, हमें एक शून्य विचलन मिलेगा।
माध्य वर्ग के अनुप्रयोग में भिन्नता के संदर्भ में आगे चर्चा की जाएगी।