Les concepts d'« ensemble », d'« élément », d'« appartenance d'un élément à un ensemble » sont les concepts primaires des mathématiques. Un tas de- toute collection (collection) de tout article .
A est un sous-ensemble de l'ensemble B, si chaque élément de l'ensemble A est un élément de l'ensemble B, c'est-à-dire AÌB (xÎA Þ xÎB).
Deux ensembles sont égaux s'ils sont constitués des mêmes éléments. Il s'agit de l'égalité ensembliste (à ne pas confondre avec l'égalité entre les nombres) : A = B AÌB Ù BÌA.
Union de deux ensembles se compose d'éléments appartenant à au moins un des ensembles, c'est-à-dire ÎАÈВ Û хÎАÚ хÎВ.
Traversée se compose de tous les éléments appartenant simultanément à l'ensemble A et à l'ensemble B : xÎAÇB xÎA Ù xÎB.
Différence se compose de tous les éléments de A qui n'appartiennent pas à B, c'est-à-dire xÎ A \ B xÎA ÙxÏB.
produit cartésien C = A´B des ensembles A et B est appelé l'ensemble de toutes les paires possibles ( x, y), où le premier élément N.-É. chaque paire appartient à A, et son deuxième élément à appartient à V.
Le sous-ensemble F du produit cartésien A'B est appelé mapper l'ensemble A à l'ensemble B si la condition est remplie : (" N.-É.ОА) ($! Paire ( xy) SI). En même temps, ils écrivent : A.
Les termes "affichage" et "fonction" sont synonymes. Si ("хÎА) ($! УÎВ): ( x, y) ÎF, alors l'élément àÎ DANS appelé façon N.-É. lorsque vous affichez F et écrivez-le comme ceci : à= F ( N.-É.). Élément N.-É. est en même temps prototype (l'un des possibles) élément y.
Envisager l'ensemble des nombres rationnels Q - l'ensemble de tous les entiers et l'ensemble de toutes les fractions (positives et négatives). Chaque nombre rationnel peut être représenté comme un quotient, par exemple, 1 = 4/3 = 8/6 = 12/9 =…. Ces idées sont nombreuses, mais une seule est irréductible. .
DANS Tout nombre rationnel peut être représenté de manière unique comme une fraction p/q, où pÎZ, qÎN, les nombres p, q sont premiers entre eux.
Propriétés de l'ensemble Q:
1. Fermeture par rapport aux opérations arithmétiques. Le résultat de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de l'élévation à une puissance naturelle, de la division (sauf division par 0) de nombres rationnels est un nombre rationnel :; ; 
.
2. Commande : (" x, yÎQ, bonjour)®( X
De plus : 1) a> b, b> c a> c; 2)une -b.
3. Densité... Entre deux nombres rationnels x, y il existe un troisième nombre rationnel (par exemple, c = ):
("x, yÎQ, X<oui) ($cÎQ) : ( N.-É.
Sur l'ensemble Q, vous pouvez effectuer 4 opérations arithmétiques, résoudre des systèmes d'équations linéaires, mais des équations quadratiques de la forme x 2 = a, aÎ N ne sont pas toujours décidables dans l'ensemble Q.
Théorème. Il n'y a pas de numéro xÎQ dont le carré est 2.
g Soit une fraction N.-É.= p / q, où les nombres p et q sont premiers entre eux et N.-É. 2 = 2. Alors (p/q) 2 = 2. En conséquence,
Le côté droit de (1) est divisible par 2, donc p 2 est un nombre pair. Ainsi, p = 2n (n entier). Alors q doit être impair.
En revenant à (1), nous avons 4n 2 = 2q 2. Par conséquent, q 2 = 2n 2. De même, on s'assure que q est divisible par 2, c'est-à-dire q est un nombre pair. Le théorème est prouvé par contradiction.
image géométrique des nombres rationnels. En reportant le segment unité de l'origine des coordonnées 1, 2, 3… fois vers la droite, nous obtenons les points de la ligne de coordonnées qui correspondent aux nombres naturels. En mettant de côté de la même manière à gauche, nous obtenons des points correspondant à des entiers négatifs. Prenons 1 / q(q = 2,3,4 … ) une partie d'un segment unitaire et on le reportera de part et d'autre de l'origine R une fois. On obtient des points d'une droite correspondant à des nombres de la forme ± p / q (pÎZ, qÎN). Si p, q parcourent toutes les paires de nombres premiers entre eux, alors sur la ligne nous avons tous les points correspondant aux nombres fractionnaires. Ainsi, selon la méthode acceptée, un seul point de la ligne de coordonnées correspond à chaque nombre rationnel.
Un seul nombre rationnel peut-il être spécifié pour n'importe quel point ? La ligne droite est-elle entièrement remplie de nombres rationnels ?
Il s'avère qu'il y a des points sur la ligne de coordonnées qui ne correspondent à aucun nombre rationnel. On construit un triangle rectangle isocèle sur un segment unitaire. Le point N ne correspond pas à un nombre rationnel, puisque si ON = x- rationnellement, alors x 2 = 2, ce qui ne peut pas être.
Il y a une infinité de points similaires au point N sur la droite. Prendre les parties rationnelles du segment x = ON, ceux. N.-É.... Si nous les reportons vers la droite, alors aucun nombre rationnel ne correspondra à chacune des extrémités de l'un de ces segments. En supposant que la longueur du segment est exprimée par un nombre rationnel x =, on obtient ça x =- rationnel. Cela contredit ce qui a été prouvé ci-dessus.
Les nombres rationnels ne suffisent pas pour associer un nombre rationnel à chaque point de la ligne de coordonnées.
Construisons l'ensemble des nombres réels R à travers fractions décimales infinies.
Selon l'algorithme de division "coin", tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale périodique finie ou infinie. Lorsque la fraction p/q n'a pas de facteurs premiers autres que 2 et 5, c'est-à-dire q = 2 m × 5 k, alors le résultat sera la fraction décimale finale p / q = a 0, a 1 a 2… a n. Le reste des fractions ne peut avoir que des développements décimaux infinis.
Connaissant la fraction décimale périodique infinie, vous pouvez trouver le nombre rationnel qu'elle représente. Mais toute fraction décimale finale peut être représentée comme une fraction décimale infinie de l'une des manières suivantes :
a 0, a 1 a 2… a n = a 0, a 1 a 2… a n 000… = a 0, a 1 a 2… (a n -1) 999… (2)
Par exemple, pour décimal infini N.-É.= 0, (9) nous avons 10 N.-É.= 9, (9). Si nous soustrayons le nombre d'origine de 10x, nous obtenons 9 N.-É.= 9 ou 1 = 1, (0) = 0, (9).
Une correspondance biunivoque est établie entre l'ensemble de tous les nombres rationnels et l'ensemble de toutes les fractions décimales périodiques infinies si la fraction décimale infinie est identifiée avec le chiffre 9 dans la période avec la fraction décimale infinie correspondante avec le chiffre 0 dans la période selon la règle (2).
Convenons d'utiliser de telles fractions périodiques infinies qui n'ont pas le nombre 9 dans la période. Si une fraction décimale périodique infinie avec le nombre 9 dans une période apparaît dans le processus de raisonnement, alors nous la remplacerons par une fraction décimale infinie avec un zéro dans la période, c'est-à-dire. au lieu de 1.999 ... nous prendrons 2.000 ...
Définition d'un nombre irrationnel. En plus des fractions périodiques décimales infinies, il existe des fractions décimales non périodiques. Par exemple, 0,101010001 ... ou 27,1234567891011 ... (les nombres naturels sont séquentiellement après la virgule).
Considérons une fraction décimale infinie de la forme ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... (3)
Cette fraction est déterminée en spécifiant le signe "+" ou "-", un entier non négatif a 0 et une suite de décimales a 1, a 2, ..., an, ... (l'ensemble des décimales se compose de dix nombres : 0, 1, 2, ..., neuf).
Toute fraction de la forme (3) est appelée nombre réel (réel). S'il y a un signe "+" devant la fraction (3), il est généralement omis et écrit a 0, a 1 a 2 ... a n ... (4)
Un numéro de la forme (4) sera appelé nombre réel non négatif, et dans le cas où au moins un des nombres a 0, a 1, a 2, ..., a n est différent de zéro, - nombre réel positif... Si dans l'expression (3) le signe "-" est pris, alors c'est un nombre négatif.
L'union des ensembles de nombres rationnels et irrationnels forme l'ensemble des nombres réels (QÈJ = R). Si la fraction décimale infinie (3) est périodique, alors c'est un nombre rationnel, lorsque la fraction est non périodique, elle est irrationnelle.
Deux nombres réels non négatifs a = a 0, a 1 a 2… a n…, b = b 0, b 1 b 2… b n…. sont appelés égal(écrivez a = b), si un n = b nà n = 0,1,2 ... Le nombre a est inférieur au nombre b(écrivez une<b), si soit un 0 ou alors a 0 = b 0 et il y a un tel nombre m, quelle a k = b k (k = 0,1,2, ... m-1), mais suis , c'est à dire. une Û (un 0 Ú ($mÎN : a k = b k (k =), a m ). La notion de " mais>b».
Pour comparer des nombres réels arbitraires, nous introduisons le concept " module du nombre a» . Par le module d'un nombre réel a = ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... est appelé un tel nombre réel non négatif représenté par la même fraction décimale infinie, mais pris avec le signe "+", c'est-à-dire ½ mais½= un 0, un 1 un 2 ... un n ... et 1/2 mais½³0. Si mais - non négatif, b- nombre négatif, alors considérons a> b... Si les deux nombres sont négatifs ( une<0, b<0 ), alors on supposera que : 1) a = b si ½ mais½ = ½ b½ ; 2) mais si ½ mais½ > ½ b½.
Propriétés de l'ensemble R:
JE. Propriétés de la commande:
1. Pour chaque paire de nombres réels mais et b il y a une et une seule relation : a = b, un
2. Si une
3. Si une , alors il existe un nombre c tel que une< с .
II. Propriétés des actions d'addition et de soustraction:
4. a + b = b + a(commutabilité).
5. (a + b) + c = a + (b + c) (associativité).
6. a + 0 = a.
7. a + (- a) = 0.
8.à partir de une Þ a + c
III. Propriétés des actions de multiplication et de division :
9. a × b = b × a .
10. (a × b) × c = a × (b × c).
11. a × 1 = a.
12. a × (1 / a) = 1 (a¹0).
13. (a + b) × c = ac + bc(Distribution).
14.si une et c> 0, alors a × c
IV. Propriété d'Archimède("cÎR) ($ nÎN): (n> c).
Quel que soit le nombre cÎR, il existe nÎN tel que n> c.
V. Propriété de continuité des nombres réels. Soient deux ensembles non vides АÌR et BÌR tels que tout élément maisÎА il n'y en aura plus ( une£ b) de tout élément bÎB. Puis Principe de continuité de Dedekind affirme l'existence d'un tel nombre avec celui pour tout mais et bÎB la condition une£ c £ b:
("AÌR, BÌR) :(" uneÎA, bÎB ® une£ b) ($ cÎR) : (" uneÎA, bÎB® une£ c £ b).
Nous identifierons l'ensemble R avec l'ensemble des points de la droite réelle, et appellerons les nombres réels points.
Les formes suivantes de nombres complexes existent : algébrique(x + iy), trigonométrique(r (cos + isin 
)),
indicatif(re je 
).
Tout nombre complexe z = x + iy peut être représenté sur le plan XOU par un point A (x, y).
Le plan sur lequel les nombres complexes sont représentés est appelé le plan de la variable complexe z (nous mettons le symbole z sur le plan).
L'axe OX est l'axe réel, c'est-à-dire il contient des nombres réels. OU - axe imaginaire avec des nombres imaginaires.
x + iy- notation algébrique d'un nombre complexe.
Dérivons la forme trigonométrique de notation pour un nombre complexe.
Substituez les valeurs obtenues sous la forme initiale :, c'est-à-dire
r (car
+ isin
)
- notation trigonométrique d'un nombre complexe.
La notation exponentielle d'un nombre complexe découle de la formule d'Euler : 
,ensuite 
z = ré je 
- notation exponentielle d'un nombre complexe.
Actions sur les nombres complexes.
1. une addition. z 1 + z 2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2) ;
2 ... soustraction. z 1 -z 2 = (x1 + iy1) - (x2 + iy2) = (x1-x2) + i (y1-y2) ;
3. multiplication. z 1 z 2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1x2 + i (x1y2 + x2y1 + iy1y2) = (x1x2-y1y2) + i (x1y2 + x2y1) ;
4
... division. z 1 / z 2 = (x1 + iy1) / (x2 + iy2) = [(x1 + iy1) * (x2-iy2)] / [(x2 + iy2) * (x2-iy2)] = 
Deux nombres complexes qui ne diffèrent que par le signe de l'unité imaginaire, c'est-à-dire z = x + iy (z = x-iy) sont appelés conjugués.
Travailler.
z1 = r (cos 
+ isin 
); z2 = r (cos 
+ isin 
).
Alors le produit z1 * z2 des nombres complexes est :, c'est-à-dire le module du produit est égal au produit des modules, et l'argument du produit est égal à la somme des arguments des facteurs.
;
;
Privé.
Si les nombres complexes sont sous forme trigonométrique.
Si les nombres complexes sont exponentiels.
Exponentiation.
1. Un nombre complexe est donné dans algébrique forme.
z = x + iy, alors z n est trouvé à partir de formule binomiale de Newton:
- le nombre de combinaisons de n éléments de m chacune (le nombre de voies, combien de n éléments de m peuvent être pris).
; n! = 1 * 2 * ... * n; 0! = 1; 
.
Nous demandons un nombre complexe.
Dans l'expression résultante, vous devez remplacer les puissances de i par leurs valeurs :
i 0 = 1 Ainsi, dans le cas général, on obtient : i 4k = 1
je 1 = je je 4k + 1 = je
je 2 = -1 je 4k + 2 = -1
je 3 = -i je 4k + 3 = -i
Exemple.
i 31 = i 28 i 3 = -i
je 1063 = je 1062 je = je
2. trigonométrique forme.
z = r (cos 
+ isin 
), ensuite
- Formule Moivre.
Ici, n peut être soit « + » ou « - » (entier).
3. Si un nombre complexe est donné dans indicatif forme:
Extraction de la racine.
Considérons l'équation : 
.
Sa solution sera la racine nième du nombre complexe z : 
.
La racine nième d'un nombre complexe z a exactement n solutions (valeurs). La racine d'un nombre effectif de n-ième degré n'a qu'une seule solution. Dans le complexe - n solutions.
Si un nombre complexe est donné dans trigonométrique forme:
z = r (cos 
+ isin 
), alors la racine n-ième de z est trouvée par la formule :
, où k = 0,1 ... n-1.
Lignes. Série de nombres.
Soit la variable a prendre successivement les valeurs a 1, a 2, a 3,…, a n. Cet ensemble renuméroté de nombres est appelé une séquence. C'est sans fin.
La série de nombres est l'expression a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = 
... Les nombres a 1, a 2, a 3,…, et n sont les membres de la série.
Par exemple.
et 1 est le premier membre de la série.
et n est le n-ième ou terme commun de la série.
Une série est considérée comme donnée si le nième (terme commun de la série) est connu.
Une série numérique a un nombre infini de membres.
Numérateurs - progression arithmétique (1,3,5,7…).
le n-ième terme est trouvé par la formule a n = a 1 + d (n-1); d = un n -a n-1.
Dénominateur - progression géométrique... b n = b 1 q n-1; 
.
Considérons la somme des n premiers termes de la série et notons-la Sn.
Sn = a1 + a2 +… + un n.
Sn est la n-ième somme partielle de la série.
Considérez la limite : 
S est la somme de la série.
Un nombre de convergent si cette limite est finie (il existe une limite finie S).
Ligne divergent si cette limite est infinie.
À l'avenir, notre tâche est la suivante : établir quelle rangée.
L'une des séries les plus simples, mais souvent rencontrées, est une progression géométrique.
, C = const.
La progression géométrique estconvergent
à proximité, si 
, et divergente si 
.
Trouvé aussi série harmonique(ligne 
). Cette rangée divergent
.
VRAIS CHIFFRES II
§ 37 Représentation géométrique des nombres rationnels
Laisser être Δ est un segment pris comme unité de longueur, et je - une droite arbitraire (fig. 51). Prenons un moment et désignons-le par la lettre O.
A tout nombre rationnel positif m / m on met en correspondance un point d'une droite je se trouvant à droite de C à une distance de m / m unités de longueur.
Par exemple, le nombre 2 correspondra au point A, situé à droite de O à une distance de 2 unités de longueur, et au nombre 5/4, le point B, situé à droite de O à une distance de 5/4 unités de longueur. A tout nombre rationnel négatif k / je on met en correspondance un point d'une droite situé à gauche de O à une distance de | k / je | unités de longueur. Ainsi, le nombre - 3 correspondra au point C, situé à gauche de O à une distance de 3 unités de longueur, et le nombre - 3/2 point D, situé à gauche de O à une distance de 3/ 2 unités de longueur. Enfin, au nombre rationnel "zéro" on associe le point O.
Évidemment, avec la correspondance choisie, des nombres rationnels égaux (par exemple, 1/2 et 2/4) correspondront au même point, et non à des nombres égaux, différents points de la droite. Supposons que le nombre m / m correspond au point P, et le nombre k / je point Q. Alors si m / m > k / je , alors le point P se trouvera à droite du point Q (Fig. 52, a) ; si m / m < k / je , alors le point P sera à gauche du point Q (Fig. 52, b).
Ainsi, tout nombre rationnel peut être représenté géométriquement sous la forme d'un point bien défini sur une ligne droite. L'inverse est-il vrai ? Un point sur une ligne droite peut-il être considéré comme une image géométrique d'un nombre rationnel ? Nous reporterons la décision de cette question au § 44.
Des exercices
296. Trace les nombres rationnels suivants par les points d'une ligne droite :
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297. On sait que le point A (fig. 53) sert d'image géométrique au nombre rationnel 1/3. Quels nombres représentent les points B, C et D ?
298. Deux points sont donnés sur une ligne droite, qui servent de représentation géométrique des nombres rationnels mais et b a + b et un B .
299. Deux points sont donnés sur une ligne droite, qui servent de représentation géométrique des nombres rationnels a + b et un B ... Trouvez sur cette ligne les points représentant les nombres mais et b .
BILLET 1
Rationnel les nombres sont des nombres écrits p / q, où q est naturel. un nombre et p est un nombre entier.
Deux nombres a = p1 / q1 et b = p2 / q2 sont dits égaux si p1q2 = p2q1, et p2q1 et a> b si p1q2
BILLET 2
Nombres complexes. Nombres complexes
Une équation algébrique est une équation de la forme : P n ( X) = 0, où P n ( X) - polynôme m- oh degré. Quelques nombres réels X et à sera appelé ordonné s'il est indiqué lequel d'entre eux est considéré comme le premier et lequel est le second. Notation de paire ordonnée : ( X, oui). Un nombre complexe est une paire ordonnée arbitraire de nombres réels. z = (X, oui)-nombre complexe.
X-partie matérielle z, oui-la partie imaginaire z... Si X= 0 et oui= 0, alors z= 0. Considérons z 1 = (x 1, y 1) et z 2 = (x 2, y 2).
Définition 1. z 1 = z 2 si x 1 = x 2 et y 1 = y 2.
Notions> et< для комплексных чисел не вводятся.
Représentation géométrique et forme trigonométrique des nombres complexes.
M ( X, oui) « z = X + oui.
½ OM½ = r = ½ z½ =.(Image)
r est appelé module d'un nombre complexe z.
j est appelé l'argument du nombre complexe z... Il est déterminé avec une précision de ± 2p m.
N.-É.= rcosj, oui= rsinj.
z= X+ oui= r (cosj + je sinj) est la forme trigonométrique des nombres complexes.
Déclaration 3.
= (cos + je péché),
= (cos + je péché), alors
= (cos (+) +) je péché (+)),
= (cos (-) + je sin (-)) pour ¹0.
Déclaration 4.
Si z= r (cosj + je sinj), puis "naturel m:
= (cos nj + je péché New Jersey),
BILLET 3
Laisser être X-ensemble numérique contenant au moins un nombre (ensemble non vide).
XÎ X- X contenu dans N.-É.. ; XÏ X- X n'appartient pas N.-É..
Définition: Un tas de N.-É. est dit borné en haut (en bas) s'il y a un nombre M(m) de telle sorte que pour tout X Î X l'inégalité tient X £ M (X ³ m), tandis que le nombre M est appelée la borne supérieure (inférieure) de l'ensemble N.-É.... Un tas de N.-É. est appelé borné par le haut si $ M, " X Î N.-É.: X £ M. Définition ensemble illimité d'en haut. Un tas de X est dit non borné d'en haut si " M $ X Î N.-É.: X> M. Définition un tas de X est appelé borné s'il est borné au-dessus et au-dessous, c'est-à-dire $ M, m tel que " X Î N.-É.: m £ X £ M. Définition équivalente de ogre mn-va : Set X est dit borné si $ UNE > 0, " X Î X: ½ X½£ UNE... Définition : La plus petite des bornes supérieures d'un ensemble borné au-dessus N.-É. est appelée sa borne supérieure exacte, et est notée Sup N.-É.
(supérieur). = Sup N.-É.... De même, vous pouvez déterminer la valeur exacte
bord inférieur. Équivalent définition bord supérieur exact :
Le nombre est appelé la limite supérieure exacte de l'ensemble N.-É., si: 1) " X Î X: N.-É.£ (cette condition montre qu'il s'agit de l'une des bornes supérieures). 2) " < $ x Î X: N.-É.> (cette condition montre que -
la plus petite des faces supérieures).
Souper X= :
1. " XÎ X: X £ .
2. " < $ XÎ X: X> .
inf X(infimum) est le bord inférieur exact. Posons la question : tout ensemble borné a-t-il des arêtes vives ?
Exemple: N.-É.= {X: X> 0) n'a pas le plus petit nombre.
Le théorème sur l'existence de la face supérieure (inférieure) exacte... Toute borne supérieure (inférieure) non vide sur l'ensemble xÎR a une borne supérieure (inférieure).
Théorème de séparabilité pour mn numérique :▀▀▄
SAISON 4
Si chaque nombre de nature n (n = 1,2,3 ..) se voit attribuer un certain nombre Xn, alors ils disent qu'il est défini et donné sous-séquence x1, x2 ..., écrivez (Xn), (Xn) Exemple : Xn = (- 1) ^ n : -1,1, -1,1, ... Alors le nom est limité. en haut (en bas) si de nombreux points x = x1, x2,… xn situés sur l'axe numérique sont bornés par le haut (en bas), c'est-à-dire $ С : Xn £ C " Limite de séquence : le nombre a est appelé la limite du dernier, si pour tout ε> 0 $ : N (N = N / (ε)). "n> N l'inégalité | Xn-a |<ε. Т.е. – ε
à n> N.
Limiter l'unicité suite bornée et convergente
Propriété1 : Une séquence convergente n'a qu'une seule limite.
Preuve : par contradiction, soit mais et b les limites de la suite convergente (x n), et a n'est pas égal à b. considérons les suites infinitésimales (α n) = (x n -a) et (β n) = (x n -b). Parce que tous les éléments sont b.m. les séquences (α n -β n) ont la même valeur b-a, alors par la propriété de b.m. séquences b-a = 0 c'est-à-dire b = a et nous arrivons à une contradiction.
Propriété2 : La séquence convergente est limitée.
Preuve : Soit a la limite d'une suite convergente (x n), alors α n = x n -a est un élément de place infinitésimale. séquence. On prend du ε> 0 et on en trouve N ε : / x n -a /< ε при n>N . Soit b le plus grand des nombres ε + / a /, / x1 /, / x2 /, ..., / x N -1 /, x N ε. Il est évident que / x n /
Remarque : une suite bornée peut ne pas être convergente.
SAISON 6
La suite a n est dite infinitésimale, ce qui signifie que la limite de cette suite après est égale à 0.
a n est infinitésimal Û lim (n ® + ¥) a n = 0 c'est-à-dire que pour tout ε> 0 il existe N tel que pour tout n> N | a n |<ε
Théorème. La somme de l'infinitésimal est l'infinitésimal.
a n b n ®infinitésimal Þ a n + b n - infinitésimal.
Preuve.
a n - infinitésimal Û "ε> 0 $ N 1:" n> N 1 | a n |<ε
b n - infinitésimal Û "ε> 0 $ N 2:" n> N 2 Þ | b n |<ε
On pose N = max (N 1, N 2), alors pour tout n > N Þ les deux inégalités sont vraies simultanément :
| un n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
On pose "ε 1> 0, pose ε = ε 1/2. Alors pour tout ε 1> 0 $ N = maxN 1 N 2:" n> N Þ | a n + b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
est a n + b n - infinitésimal.
Théorème Le produit de l'infinitésimal est infinitésimal.
a n, b n - infinitésimal Þ a n b n - infinitésimal.
Preuve:
On pose "ε 1> 0, mettons ε = Öε 1, puisque a n et b n sont infinitésimaux pour ce ε> 0, alors il y a N 1 :" n> N Þ | a n |<ε
$ N 2: "n> N 2 | b n |<ε
Prenons N = max (N 1; N 2), puis "n> N = | a n |<ε
| un n b n | = | un n || b n |<ε 2 =ε 1
"ε 1> 0 $ N:" n> N | a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n = 0 Û a n b n est infinitésimal, comme requis.
Théorème Le produit d'une suite bornée par une suite infinitésimale est une suite infinitésimale
et n est une suite limitée
a n est une suite infiniment petite a n a n est une suite infiniment petite.
Preuve : Puisque un n est borné Û $ С> 0 : "nÎ N| un n | £ C
On pose "ε 1> 0 ; mettons ε = ε 1 / C ; puisque a n est infinitésimal, alors ε> 0 $ N:" n> NÞ | a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1> 0 $ N:" n> N Þ | a n a n | = Cε = ε 1 Þ lim (n ® ¥) a n a n = 0 a n a n - infinitésimal La séquence s'appelle BBP(en séquence) si Write. Évidemment, BBP n'est pas limité. D'une manière générale, l'affirmation inverse n'est pas vraie (exemple). Si pour les grands m membres, puis écrivez cela signifie que dès que. Le sens de la notation est défini de la même manière Des séquences infiniment grandes un n = 2 n ;
b n = (- 1) n 2 n; c n = -2 n Définition(séquences infiniment grandes) 1) lim (n ® ¥) a n = + ¥ si "ε> 0 $ N:" n> N Þ a n> ε où ε est arbitrairement petit. 2) lim (n ® ¥) a n = - ¥ si "ε> 0 $ N:" n> N Þ a n<-ε 3) lim (n ® ¥) a n = Û "ε> 0 $ N:" n> N Þ | a n |> ε SAISON 7 Théorème « Sur la convergence monotone. dernier " Tout message monotone est convergent, c'est-à-dire a des limites. Doc Soit le dernier (xn) ascendant monotone. et délimité d'en haut. X - toute la pluralité de numéros qui reçoivent l'email de ce message selon conv. Les théorèmes sont nombreux limités., Par conséquent, acc. Dans le théorème, il a un supérieur exact fini. supX xn®supX (on note supX par x *). Parce que x * haut exact. face, alors xn £ x * "n." e> 0 la sortie est $ xm (soit m soit n avec un couvercle) : xm> x * -e pour "n> m => à partir des 2 inégalités indiquées, on obtient la seconde inégalité x * -e £ xn £ x * + e pour n> m équivaut à 1 xn-x * 1 SAISON 8 Exposant ou nombre e Numéro de jante R. envoyer avec un terme commun xn = (1 + 1 / n) ^ n (à la puissance n) (1). Il s'avère que le dernier (1) monte de manière monotone, est délimité par le haut et converge lentement, la limite de ce poste est appelée un exposant et est désignée par le symbole e "2,7128 ... Numéro e SAISON 9 Le principe de la ligne imbriquée Soit le nombre de segments de ligne indiqué sur la droite numérique ,, ... ,, ... De plus, ces segments satisfont sl. conv. : 1) chaque dernier est imbriqué dans le précédent, c'est-à-dire , "n = 1,2, ... ; 2) Les longueurs des segments ®0 avec n croissant, c'est-à-dire lim (n® ¥) (bn-an) = 0. Envoyez avec le sv spécifié, vous serez appelé imbriqué. Théorème Tout dernier des segments imbriqués contient un seul t-ku appartenant à tous les segments en même temps, avec un point commun à tous les segments auxquels ils se contractent. Doc(an) -envoyer les extrémités gauches des segments yavl. monotone non décroissant et borné par le haut par le nombre b1. (bn) -la séquence des extrémités droites est monotone non croissante, donc ces séquences sont convergent, c'est-à-dire il existe des nombres с1 = lim (n® ¥) an et c2 = lim (n® ¥) bn => c1 = c2 => c - leur sens commun. En effet, il a pour limite lim (n® ¥) (bn-an) = lim (n® ¥) (bn) - lim (n® ¥) (an) par la condition 2) o = lim (n® ¥) ( bn-an) = c2-c1 => c1 = c2 = c Il est clair que m. C est commun à tous les segments, puisque « n an £ c £ md. Nous allons maintenant prouver qu'il en est un. Supposons que $ soit différent de ' sur lequel tous les segments sont dessinés. Si l'on prend des segments disjoints avec et c', alors d'une part, toute la "queue" de (an), (bn) doit se situer au voisinage de t-ki c'' (puisque an et bn convergent vers c et c' en même temps). La contradiction prouve t-mu. SAISON 10 Théorème de Bolzano-Weierstrass
De n'importe quelle facette. ensuite, vous pouvez sélectionner la sortie. soumis. 1. Puisque le dernier est borné, alors $ m et M, tels que « m £ xn £ M », n. D1 = - un segment dans lequel se trouvent tous les derniers points. Séparons-le en deux. Au moins dans l'une des moitiés, il y aura un nombre infini de t-k last. D2 - cette moitié, où il y a un nombre infini de t-à-dernier. Nous le divisons en deux. Le long des bords, au moins dans l'une des moitiés de nég. D2 nah-Xia nombre infini de t-jusqu'au dernier. Cette moitié est D3. On divise le segment D3... et ainsi de suite. on obtient les derniers segments imbriqués dont les longueurs tendent vers 0. D'après les n-ième segments imbriqués, $ unités. t-ka C, cat. accessoires à tous les segments D1, tout m-ku Dn1. Dans le segment D2 je choisis t-ku xn2 pour que n2> n1. Dans le segment D3 ... etc. En conséquence, je vais l'envoyer à xnkÎDk. SAISON 11 SAISON 12 fondamental En conclusion, considérons la question du critère de convergence d'une suite numérique. Soit : Nous avons l'énoncé suivant : Si la suite converge, la condition Cauchy: Une suite numérique satisfaisant la condition de Cauchy est appelée fondamental... On peut prouver que l'inverse est également vrai. Ainsi, nous avons un critère (condition nécessaire et suffisante) pour la convergence de la séquence. Critère de Cauchy. Pour que la séquence ait une limite, il faut et il suffit qu'elle soit fondamentale. Deuxième sens du critère de Cauchy. Membres de la séquence et où m et m- tout convergeant à l'infini vers. SAISON 13 Limites unilatérales. Définition 13.11. Numéro MAIS est appelée la limite de la fonction y = f (x) à N.-É. visant x 0 gauche (droite), si tel que | f (x) -A|<ε при x 0 - x< δ
(x - x 0< δ
). Légende: Théorème 13.1 (deuxième définition de la limite). Une fonction y = f (x) a à N.-É., visant N.-É. 0, limite égale à MAIS, si et seulement si ses deux limites unilatérales en ce point existent et sont égales MAIS. Preuve. 1) Si, alors pour x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ
|f (x) - Un|<ε, то есть 1) Si, alors il y a 1 : | f (x) - Un| < ε при x 0 - x< δ 1 и δ 2: |f (x) - Un| < ε при x - x 0<
2. En choisissant le moindre des nombres δ 1 et δ 2 et en le prenant comme δ, on obtient que pour | x - x 0| < δ |f (x) - Un| < ε, то есть . Теорема доказана. Commenter. L'équivalence des exigences contenues dans la définition de la limite 13.7 et les conditions d'existence et d'égalité des limites unilatérales étant prouvées, cette condition peut être considérée comme la deuxième définition de la limite. Définition 4 (selon Heine) Numéro MAIS est appelée la limite de la fonction si tout BBP des valeurs de l'argument, la séquence des valeurs correspondantes de la fonction converge vers MAIS. Définition 4 (par Cauchy). Numéro MAIS appelé si. Il est prouvé que ces définitions sont équivalentes. BILLET 14 et 15 Propriétés de la limite f-tion en un point 1) Si la limite existe dans t-ke, alors c'est la seule 2) Si en x0 la limite de la fonction f (x) lim (x®x0) f (x) = A lim (x®x0) g (x) £ B => alors dans ce m-k $ la limite de la somme, de la différence, du produit et du quotient. Branche de ces 2 f-tions. a) lim (x®x0) (f (x) ± g (x)) = A ± B b) lim (x®x0) (f (x) * g (x)) = A * B c) lim (x®x0) (f (x) : g (x)) = A / B d) lim (x®x0) C = C e) lim (x®x0) C * f (x) = C * A Théorème 3. Si ( resp A ) puis le voisinage $ dans lequel l'inégalité > B (resp Cadre dans le théorème 3 B = 0, on obtient : si ( resp), puis $, en tout point, qui sera > 0 (resp<0),
ceux. la fonction garde le signe de sa limite. Théorème 4(sur le passage à la limite dans l'inégalité). Si dans un certain voisinage du point (sauf peut-être ce point lui-même) la condition est satisfaite et ces fonctions ont des limites au point, alors. Dans la langue et. Présentons la fonction. Il est clair que dans le voisinage de la soi-disant. Alors, par le théorème sur la conservation d'une fonction, on a la valeur de sa limite, mais Théorème 5.(à propos de la limite de la fonction intermédiaire). (1) Si SAISON 16 Définition 14.1. Une fonction y = (x) est appelé infinitésimal pour x → x 0, si Propriétés de l'infinitésimal. 1. La somme de deux infinitésimales est infinitésimale. Preuve. Si (x) et (x) Sont infinitésimales pour x → x 0, alors il existe δ 1 et δ 2 tels que | (x)|<ε/2 и |β(X)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |(x) + β (x) | | (x) | + | (x)|<ε, то есть |((x) + (x))-0|<ε. Следовательно, Commenter. D'où il s'ensuit que la somme de tout nombre fini d'infinitésimales est infinitésimale. 2. Si ( N.-É.) est infiniment petit pour x → x 0, mais f (x) Est une fonction bornée dans un voisinage x 0, ensuite (x) f (x) est infiniment petit pour x → x 0. Preuve. Choisissons un nombre M tel que | f (x) | Corollaire 1. Le produit d'un infiniment petit par un nombre fini est un infinitésimal. Corollaire 2. Le produit de deux ou plusieurs infinitésimaux est infinitésimal. Corollaire 3. Une combinaison linéaire d'infinitésimales est infinitésimale. 3. (Troisième définition de la limite). Si, alors une condition nécessaire et suffisante pour cela est que la fonction f (x) peut être représenté par f (x) = A + (x), où (x) est infiniment petit pour x → x 0. Preuve. 1)
Laissez alors | f (x) -A|<ε при x → x 0, c'est à dire (x) = f (x) -A- infiniment petit à x → x 0. En conséquence , f (x) = A + (x). 2) Laissez f (x) = A + (x). Puis Commenter. On obtient ainsi une autre définition de la limite, équivalente aux deux précédentes. Fonctions infiniment grandes. Définition 15.1. La fonction f (x) est dite infiniment grande pour x x 0 si Pour l'infiniment grand, on peut introduire le même système de classification que pour l'infiniment petit, à savoir : 1. Les infiniment grands f (x) et g (x) sont considérés comme des quantités du même ordre si 2. Si, alors f (x) est considéré comme infiniment grand d'un ordre supérieur à g (x). 3. L'infiniment grand f (x) est appelé l'ordre k par rapport à l'infiniment grand g (x), si. Commenter. Notez que a x est un ordre infiniment grand (pour a> 1 et x) d'ordre supérieur à x k pour tout k, et log a x est un ordre infiniment grand inférieur à toute puissance de x k. Théorème 15.1. Si α (x) est infinitésimal comme x → x 0, alors 1 / α (x) est infiniment grand comme x → x 0. Preuve. Montrons que pour |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, | 1 / (x) |> M. Par conséquent, c'est-à-dire que 1 / α (x) est infiniment grand lorsque x → x 0. SAISON 17 Théorème 14.7 (la première limite remarquable). ... Preuve. Considérons un cercle de rayon unitaire centré à l'origine et supposons que l'angle AOB est x (radian). Comparons les aires du triangle AOB, du secteur AOB et du triangle AOC, où la ligne OS est la tangente au cercle passant par le point (1 ; 0). Il est évident que . En utilisant les formules géométriques correspondantes pour les aires des figures, on obtient de là que Une représentation géométrique expressive du système de nombres rationnels peut être obtenue comme suit. Sur une ligne droite, "axe numérique", marquez le segment de 0 à 1 (Fig. 8). Ceci établit la longueur du segment unitaire, qui, d'une manière générale, peut être choisie arbitrairement. Les nombres entiers positifs et négatifs sont ensuite représentés comme un ensemble de points également espacés sur l'axe numérique, ce sont les nombres positifs qui sont marqués à droite, et les négatifs, à gauche du point 0. Pour représenter les nombres avec le dénominateur n, on divise chacun des segments de longueur unitaire obtenus en n parties égales ; les points de division représenteront des fractions de dénominateur n. Si nous faisons cela pour les valeurs de n correspondant à tous les nombres naturels, alors chaque nombre rationnel sera représenté par un point sur l'axe numérique. Nous conviendrons de qualifier ces points de « rationnels » ; en général, les termes « nombre rationnel » et « point rationnel » seront utilisés comme synonymes. Au chapitre I, § 1, la relation d'inégalité a été définie pour tout couple de points rationnels, il est naturel d'essayer de généraliser la relation d'inégalité arithmétique de manière à conserver cet ordre géométrique pour les points considérés. Cela réussit si l'on accepte la définition suivante : on dit qu'un nombre rationnel A moins qu'un nombre rationnel B (Il est supérieur au nombre A (B> A) si la différence B-A est positive. Il s'ensuit donc (pour A entre A et B sont ceux qui sont simultanément > A et un segment (ou segment) et est noté [A, B] (et l'ensemble des seuls points intermédiaires est intervalle(ou alors entre), noté (A, B)). La distance d'un point arbitraire A à l'origine 0, considérée comme un nombre positif, est appelée valeur absolue A et désigné par le symbole Le concept de "valeur absolue" est défini comme suit : si A≥0, alors |A | = A; si un | A + B | | A | + | B |, ce qui est vrai quels que soient les signes de A et B. Le fait d'importance fondamentale est exprimé par la phrase suivante : les points rationnels sont densément situés sur la droite numérique. Le sens de cette déclaration est que dans tout intervalle, aussi petit soit-il, il y a des points rationnels. Pour vérifier la validité de l'affirmation faite, il suffit de prendre un nombre n si grand que l'intervalle sera inférieur à l'intervalle donné (A, B) ; alors au moins un des points de vue sera dans cet intervalle. Donc, il n'y a pas un tel intervalle sur l'axe des nombres (pas même le plus petit qui puisse être imaginé), dans lequel il n'y aurait pas de points rationnels. Un autre corollaire en découle : tout intervalle contient un ensemble infini de points rationnels. En effet, si un certain intervalle ne contenait qu'un nombre fini de points rationnels, alors il n'y aurait pas de points rationnels à l'intérieur de l'intervalle formé par deux de ces points adjacents, et cela contredit ce qui vient d'être prouvé.
avec un nombre naturel, un autre nombre naturel peut être substitué dans la dernière inégalité 
,ensuite
et la condition (2) est satisfaite dans un voisinage de m (sauf peut-être m lui-même), alors la fonction a une limite en m et cette limite est égale à MAIS. par condition (1) $ pour (voici le plus petit voisinage du point). Mais alors, en vertu de la condition (2), la valeur sera aussi au voisinage - du point MAIS, ceux. ...
, c'est à dire (x) + (x) est infiniment petit.
signifie, | f (x) -A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, ou sinx