Théorèmes établissant un lien entre le parallélisme des droites et leur perpendicularité au plan. Théorème 2 : Si deux droites sont perpendiculaires au plan, alors elles sont parallèles l'une à l'autre. Théorème 1 : Si l'une des deux droites parallèles est perpendiculaire au plan, alors l'autre droite est perpendiculaire à ce plan.

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Géométrie grade 10

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Cette section est consacrée à l'établissement de liens entre le parallélisme et la perpendicularité des droites et des plans, largement utilisés en géométrie et ses applications.

L'existence de liens entre parallélisme et

La perpendicularité dans l'espace est attestée par notre expérience. En effet, les piliers, installés verticalement, sont parallèles entre eux (Fig. 394) ; glaçons parallèles dirigés verticalement (Fig. 395), verticalement

colonnes ornant les bâtiments (fig. 396), etc.

Le contenu des liaisons similaires en planimétrie est bien connu : deux perpendiculaires à une droite sont parallèles entre elles, et inversement, une droite perpendiculaire à l'une des deux droites parallèles est perpendiculaire à l'autre. Cependant, pour les lignes droites dans l'espace, ces affirmations ne sont pas toujours vraies (essayez de donner vous-même les exemples appropriés). En parallèle, il est possible d'étudier des situations liées au parallélisme et à la perpendicularité de droites et de plans dans l'espace.

Considérons plus en détail la relation entre le parallélisme des droites et la perpendicularité de leur plan. Ces connexions reflètent la relation entre les objets réels que nous utilisons

	Perpendicularité des lignes et des plans
	nous sommes dans la vie de tous les jours. Vraiment,
	si une planche de clôture est située verticalement
	d'accord, alors la deuxième carte est suffisamment située
	vivre parallèlement à la première, de sorte qu'elle aussi
	était vertical (Fig. 397). Par ici
	la construction d'une clôture est basée sur les éléments suivants
	le théorème suivant.

Théorème 1 (sur deux droites parallèles dont une perpendiculaire au plan).

Si l'une des deux droites parallèles est perpendiculaire au plan, alors la deuxième droite est perpendiculaire à ce plan.

Le théorème ci-dessus est un signe de la perpendicularité d'une droite et d'un plan, c'est-à-dire qu'avec son aide, la perpendicularité d'une droite et d'un plan est établie. Il est largement utilisé non seulement en géométrie, mais aussi dans la pratique. Construction des murs du bâtiment avec

l'utilisation d'un fil à plomb est une illustration frappante de l'utilisation de ce signe de perpendicularité d'une ligne et d'un plan. En effet, le fil à plomb est vertical, et si le bord de la structure est parallèle au fil, alors il est aussi vertical (Fig. 398).

La considération du théorème 1 pose naturellement la question : deux droites perpendiculaires à un plan seront-elles parallèles ? L'expérience nous en donne la réponse (deux piliers installés verticalement sont parallèles !), et cela est confirmé par le théorème suivant, la réciproque du théorème 1.

Théorème 2 (sur le parallélisme des droites perpendiculaires au plan).

Si deux droites sont perpendiculaires au même plan, alors elles sont parallèles.

Le théorème ci-dessus est également une caractéristique. Avec son aide, le parallélisme des lignes droites dans les structures spatiales est établi. Après tout, verticalité ou perpendicularité

Liaison entre parallélisme et perpendicularité des plans rectilignes 391

les plans sont parfois plus faciles à vérifier (surtout sur les objets volumineux) que le parallélisme. On parle par exemple de l'emplacement des poutres transversales lors de la construction du plafond d'un bâtiment, de la reconnaissance du parallélisme de droites dans des configurations géométriques, etc.

Tout aussi importantes en géométrie et ses applications sont les connexions entre le parallélisme des plans et leur perpendicularité par rapport à une ligne droite. On parle de deux plans et d'une droite. Si deux plans sont parallèles et que l'un d'eux est perpendiculaire à une droite, comment se situera le deuxième plan par rapport à cette droite ? Comment se situent deux plans, s'ils sont tous les deux perpendiculaires

sommes-nous hétéro ? L'expérience pratique nous dit aussi les réponses à ces questions. Si vous enfoncez un clou dans la planche perpendiculairement à un côté de la planche, il sera alors perpendiculaire et opposé (Fig. 399). Si les roues sont placées des deux côtés de l'essieu de l'essieu monté de manière à ce que leurs plans soient perpendiculaires à l'axe, alors les plans de ces roues seront parallèles (Fig. 400).

Formulons deux énoncés mutuellement inverses reflétant la relation entre le parallélisme des plans et leur perpendicularité à une droite.

Théorème 3 (sur des plans parallèles dont l'un est perpendiculaire à une droite).

Si l'un des deux plans parallèles est perpendiculaire à une droite, alors le deuxième plan est perpendiculaire à la même droite.

Théorème 4 (sur deux plans perpendiculaires à une droite).

Si deux plans sont perpendiculaires à une droite, alors ils sont parallèles.

L'attention est attirée sur la relation entre les deux paires de théorèmes présentés. Chacun d'eux peut être formulé en remplaçant le terme « droit » par « plan », et vice versa.

Les théorèmes 3 et 4 sont également des caractéristiques.

392 Perpendicularité des lignes et des plans

Le signe de perpendicularité d'une droite et d'un plan (théorème 3) est illustré par l'emplacement des colonnes de support par rapport au sol et au plafond. Si les plans du plafond et du sol sont parallèles, il suffit de placer la colonne perpendiculairement au sol, ce qui

serait-il perpendiculaire au plafond

La valeur pratique de la caractéristique exprimée dans le théorème 4 est illustrée par le transport d'une dalle rectangulaire en béton armé en position horizontale à l'aide d'une grue. Pour ce faire, utilisez

utiliser quatre câbles identiques dont les extrémités sont fixées aux points A 1, A 2, A 3, A 4

plaques et avec un crochet au point S (Fig. 402). Par

Comme la dalle pend librement, le câble sur lequel est fixé le crochet est perpendiculaire au sol et situé sur une droite passant par le centre de masse de la dalle (pour une dalle homogène). Si l'on néglige l'épaisseur de la dalle, alors son centre est à l'intersection des diagonales du rectangle A 1 A 2 A 3 A 4. Puisque SA 1 = SA 2 = SA 3 = = SA 4, alors la ligne reliant le point S au point d'intersection des diagonales est perpendiculaire au plan de la dalle (Problème 1 §18). Par conséquent, d'après le théorème 4, la plaque est située horizontalement.

Les exemples donnés n'épuisent pas toute la variété des applications des caractéristiques considérées dans la résolution de problèmes pratiques. Ces signes sont également importants pour l'approfondissement ultérieur des connaissances géométriques.

Problème 1. Tracez une ligne droite passant par ce point, perpendiculaire
courbure du plan donné.
Le cas où le point A donné se trouve
dans le plan donné α, on considère dans
le paragraphe précédent. Maintenant, laissez le point
A se trouve à l'extérieur de l'avion	. Par arbitraire
point dans le plan	tracer une ligne droite
b, perpendiculaire au plan α (Fig. 403).
Ensuite, passant par le point A, tracez une ligne droite, pa-
ligne parallèle b	(comment faire?).
Ce sera celui désiré, puisque sa perpendicularité du plan
tel α est dû au théorème 1. ■

Liaison entre parallélisme et perpendicularité des plans rectilignes 393

EXEMPLE 1. A partir du sommet A du carré ABCD, un segment AM est tracé, perpendiculaire au plan ABC. Construire:

1) un plan passant par le point M perpendiculaire à la droite AC ;

2) une droite passant par le milieu du segment MC perpendiculaire au plan ABC.

Représentons l'exemple de condition sur la fig. 404, a.

1) Considérons le plan MAS. Par condition, la ligne MA est perpendiculaire à la ligne AC. Pour construire le plan désiré, il suffit de tracer une autre droite passant par le point A, perpendiculaire à la droite AC. La droite BD étant perpendiculaire à la droite AC, la droite recherchée doit être parallèle à la droite BD.

Construction. A travers le point A, nous traçons une droite AK parallèle à la droite BD (Fig. 404, b). Elle est perpendiculaire à la droite AC. Le plan MAK est perpendiculaire à la droite AC, selon le critère de perpendicularité de la droite et du plan (Théorème 1 § 18).

2) Soit N le milieu du segment MC (Fig. 405, a). La droite recherchée est parallèle à la droite MA par le théorème de parallélisme pour les droites perpendiculaires au plan (théorème 2). C'est une condition nécessaire.

Il suffit, par le théorème sur deux droites parallèles dont une perpendiculaire au plan (théorème 1).

Construction. Tracez une ligne droite passant par le point N, parallèle à la ligne MA (Fig. 405, b). Le point de son intersection O avec le plan du carré est le centre du carré, puisque la droite NO est dans le plan MAC et passe par le milieu du segment AC (d'après le théorème de Thales). ■

Considérons la preuve des théorèmes ci-dessus sur les connexions entre le parallélisme et la perpendicularité des lignes et des plans. La connexion indiquée entre deux paires de théorèmes et entre eux par paires

permet d'espérer que la preuve de l'un des théorèmes facilitera la preuve des autres. Commençons par le théorème 1. Écrivons-le sous forme symbolique.

Théorème 1. Étant donné : a 1 || un 2, un 1 .

Prouver : un 2 .

Pour prouver le théorème, on utilise le test du premier

la pendicularité d'une droite et d'un plan.

Soit O 1 le point d'intersection de la droite a 1 et du plan α. D'après le théorème de l'intersection d'un plan par des droites parallèles (théorème 6 § 8), la droite a 2, parallèle à la droite a 1, coupe également le plan α en un point O 2 (fig. 406, a).

Prendre sur les droites a 1 et a 2 les points A 1 et A 2 d'un côté du plan de sorte que les segments O 1 A 1 et O 2 A 2 soient égaux. Le quadrangle О 1 А 1 А 2 О 2 (Fig. 406, b) est un parallélogramme, puisque О 1 А 1 || 2 2, 1 А 1 = О 2 2. De même, on construit un parallèle du gramme О 1 В 1 В 2 О 2 pour une direction arbitraire dans le plan α. Pour ce faire, à travers les points 1 et О 2 dans le plan α nous traçons des droites parallèles arbitraires, sur lesquelles nous sélectionnons les points В 1 et В 2 de la même manière que le choix des points А 1 et А 2 (Fig. 406, c ).

Liaison entre parallélisme et perpendicularité des plans rectilignes 395

Des constructions ci-dessus, il résulte que le quadrangle 1 В 1 В 2 А 2 est un parallélogramme. En effet, les segments А 1 А 2 et В 1 В 2 sont parallèles et égaux, d'après les propriétés de transitivité des relations de parallélisme des droites et d'égalité des longueurs

(A 1A 2 || O 1O 2, O 1O 2 || B 1B 2, A 1A 2 = O 1O 2, O 1O 2 = B 1B 2).

Considérons maintenant les triangles A 1 O 1 B 1 et A 2 O 2 B 2. Ils sont égaux aux trois côtés : A 1 O 1 = A 2 O 2, O 1 B 1 = O 2 B 2, en construction, A 1 B 1 = A 2 B 2 comme côtés opposés du parallélogramme. Par conséquent, les angles correspondants de ces triangles sont égaux, en particulier, A 1 O 1 B 1 = = A 2 O 2 B 2. Mais l'angle A 1 O 1 B 1 par condition est une droite. Par conséquent, l'angle A 2 O 2 B 2 sera également droit. Et cela signifie que la droite a 2 est perpendiculaire à chaque droite du plan α passant par le point O 2. Par définition, il est perpendiculaire au plan α. ■

Théorème 2. Soit : a 1 , et 2 α.

Prouver : a 1 || un 2.

 Soient les droites a 1 et a 2 perpendiculaires au plan α, O 1, O 2 - les points de leur intersection avec le plan α (Fig. 407, a). A travers le point O 2 nous traçons une droite b parallèle à la droite a 1 (Fig. 407, b). D'après le théorème 1, b . Si la droite b ne coïncide pas avec la droite a 2, alors le plan β peut être tracé à travers eux, coupant le plan α le long de la droite c (Fig. 407, c). Les droites a 2 et b sont perpendiculaires à la droite c, par définition de la perpendicularité de la droite et du plan. Cependant, dans le plan passant par un point donné, une seule droite peut être tracée, perpendiculaire à cette droite. La contradiction qui en résulte signifie que les droites a 2 et b coïncident, c'est-à-dire a 1 || a 2. ■

La preuve des théorèmes 3 et 4 suit le même schéma que les preuves des théorèmes 1 et 2, respectivement. Faites-le vous-même, en utilisant les instructions données après les énoncés des théorèmes 3 et 4.

L'importance des théorèmes considérés pour la stéréométrie et les applications, comme déjà noté, est associée au fait que chacun d'eux est un signe : le premier et le troisième sont des signes de perpendicularité d'une droite et d'un plan, le second est un signe de parallélisme des droites, et le quatrième est un signe de parallélisme plan. Cela élargit nos capacités dans l'étude de l'arrangement mutuel des lignes et des avions, en réalisant des constructions.

Le théorème suivant est une généralisation du résultat du problème 1.

Théorème 5 (sur une droite perpendiculaire à un plan donné).

Une droite perpendiculaire à un plan donné passe par un point arbitraire de l'espace, et d'ailleurs un seul.

 La première partie du théorème sur l'existence d'une telle droite est justifiée pour résoudre le problème

1. Pour prouver l'unicité d'une telle droite, supposons le contraire, à savoir :

passant par un point A, il y a deux droites différentes a 1 et a 2, perpendiculaires au plan (Fig. 408). D'après le théorème 2, ils sont parallèles, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas de points communs.

Cette contradiction prouve l'affirmation. ■

Le résultat du problème 2 dans la section précédente a une généralisation similaire.

Théorème 6 (sur un plan perpendiculaire à une droite donnée).

Tout point de l'espace est traversé par un plan perpendiculaire à la ligne donnée, et d'ailleurs, un seul.

 L'existence d'un tel plan est justifiée dans la résolution du problème 3 de la section précédente. Il reste à prouver l'unicité du plan satisfaisant les conditions du théorème. Comme d'habitude dans de tels cas, nous admettons le contraire, à savoir : à travers le

Liaison entre parallélisme et perpendicularité des plans rectilignes 397

deux plans différents α1 et α2, perpendiculaires à la droite a (fig. 409), passent par le point A. D'après le théorème 4, ils sont parallèles. Mais ces avions ont un point commun A. La contradiction qui en résulte prouve l'affirmation. ■

Exemple 2. A partir du sommet A du carré ABCD, une ligne droite est tracée, perpendiculaire au plan du carré, et le point S est pris dessus. Construire:

1) une droite passant par le centre O du carré perpendiculaire à son plan ;

2) un plan passant par le milieu P du segment AS qui lui est perpendiculaire ;

3) un plan passant par le point A perpendiculaire à la droite BD ;

4) une droite passant par le point A perpendiculaire au plan SBD.

 1) Par hypothèse, la droite AS est perpendiculaire au plan du carré. Toute autre droite perpendiculaire à ce plan sera parallèle à la droite AS, d'après le théorème 2, c'est-à-dire que le parallélisme de la droite AS est une condition nécessaire à la perpendicularité du plan droit recherché. C'est aussi une condition suffisante du théorème 1.

Construction. Par le point O, nous traçons une droite OE parallèle à une droite AS (Fig. 410). La droite OE est perpendiculaire au plan du carré, d'après le théorème des deux paramètres

droites parallèles dont une perpendiculaire au plan.

2) Par condition, la droite AS est perpendiculaire à

sur le plan ABCD. Tout autre plan perpendiculaire à la droite AS sera parallèle au plan ABCD, d'après le théorème 4. Le parallélisme du plan recherché au plan ABCD est, d'après le théorème 3, une condition suffisante.

Construction. Tracer par le point P un plan parallèle au plan ABCD.

Pour ce faire, tracez des lignes droites passant par le point P

РK et РL, parallèles aux droites АD et AB, respectivement (fig. 411). Avion KL

est parallèle au plan ABCD, par le signe du parallélisme plan, et donc

est celui que l'on souhaite.

398 Perpendicularité des lignes et des plans

3) Les diagonales du carré sont perpendiculaires, c'est-à-dire VO AO (voir Fig. 410). Par conséquent, la droite AO ​​se situe dans le plan souhaité. Si une autre droite OE passe par le point O, perpendiculaire à VO, alors la droite VO sera perpendiculaire au plan AOE, selon le critère de perpendicularité de la droite et du plan (Théorème 1 §18). Ce plan contient le point A.

Construction. Traçons une droite OE passant par le point O, parallèle à la droite AS. Il sera perpendiculaire au plan ABCD (fig. 412). La ligne OE est perpendiculaire

droite VO, par définition de la perpendicularité d'une droite et d'un plan. L'avion AOE est celui souhaité.

4) Considérons les triangles ABD et SBD

(Fig. 413, a). Ils sont isocèles depuis

AD = AB, par condition, et l'égalité SB = SD découle de l'égalité des triangles rectangles ASD et ASB. Leurs médianes SO et AO sont des hauteurs, et donc la droite BD est perpendiculaire au plan AOS, selon le critère de la perpendicularité de la droite et du plan (Théorème 1). Dans le triangle rectangle AOS à partir du sommet de l'angle droit A, nous dessinons la hauteur AE (Fig. 413, b). Direct AE est celui souhaité. En effet, traçons dans le plan SBD passant par le point E la droite EF parallèle à la droite BD. Cette droite sera perpendiculaire au plan AOS, d'après le théorème 1. Cela signifie qu'elle est perpendiculaire à la droite AE. D'après le critère de perpendicularité de la droite et du plan (Théorème 1 § 18), la droite AE est perpendiculaire au plan SBD. ■

Liaison entre parallélisme et perpendicularité des plans rectilignes 399

9 9 Questions d'examen

1. Est-il vrai que deux droites perpendiculaires à un plan se trouvent dans le même plan ?

2. Les deux bords latéraux de la pyramide peuvent-ils être perpendiculaires- le plan de la base de la pyramide ?

3. Est-il possible de tracer une droite perpendiculaire à deux intersections- aux avions repentis ?

4. Y a-t-il une relation entre l'emplacement des jambes de cent- la sur sa surface et le sol sur lequel il se dresse ?

5. Existe-t-il une section d'un cube par un plan perpendiculaire à exactement deux de ses arêtes ?

6. Est-il possible de tracer un plan perpendiculaire en même temps- juste deux lignes droites qui se croisent ?

7. Pourquoi les glaçons suspendus au toit au printemps peuvent être considérés comme parallèles les uns aux autres (en négligeant leur épaisseur- noé) ?

8. Il y a un crochet au plafond. A l'aide de cordes, il faut y suspendre la plate-forme pour que son avion soit- rizontal. Comment faire?

9. Est-il possible de tracer trois liens passant par un point donné de l'espace- des droites très perpendiculaires ? Et quatre ?

10. Combien de plans différents sont définis par quatre droites perpendiculaires à un plan ?

Exercices graphiques

1. Dans la fig. 414			représenté rectangulaire
parallélépipède				ABCDA1 B1 C1 D1 avec quad -
base ABCD, points M, N,
P, Q - milieux, respectivement, des arêtes
BC, B1 C1, AB,			D 1 C 1, points O, O 1 - centres
fait face à ABCD			et A 1 B 1 C 1 D 1. S'installer
l'emplacement exact de la ligne droite spécifiée
et avion :					OM et AJOUTER 1 ;
		et ABC ;
	OC et DBB1 ;					et NQO 1;
	B1C	et MAUVAIS 1 ;			A1 C1	et MNQ;
		et BDD 1;			QN et NPM.

400 Perpendicularité des lignes et des plans

2. Dans la fig. 415 montre un triangle d'Ozette ABC, O est son centre, OS est

un segment perpendiculaire au plan du triangle, les points M, N - respectivement les milieux des côtés AB, BC. Bouche-

Connaître la position relative de : 1) la droite AB et le plan SOC ;

2) ligne droite MN et plan SOB ;

3) AC droit et MNS plan.

3. Dans la fig. 416 représente un cercle avec un centre O, AB et CD - sa perpendiculaire l'un à l'autre

diamètres bouclés, MV - tangente au cercle, OK, BL - segments égaux,

perpendiculaire au plan du cercle. Établir un arrangement mutuel :

1) ligne droite BL et plan AOC ;

2) droite BM et plan LOK ;

3) ligne droite BM et plan COK ;

4) ligne droite KL et plans DOK ;

5) les avions DOK et MBL ;

6) ligne droite BK et plan CLD.

4. Construisez une figure en utilisant les données fournies.

1) Avion passant par une arête AB est un tétraèdre régulier SABC, perpendiculaire à l'arête SC.

2) Un plan perpendiculaire à AC passe par le point M, qui se trouve sur la diagonale AC de la pyramide quadrangulaire régulière SABCD.

407. Du haut d'un angle droit Une droite est tracée à partir d'un triangle rectangle isocèle ABC, perpendiculaire au plan de ce triangle, et le point S y est pris. Construire:

1°) plan passant par le point S perpendiculaire à la ligne AB ;

2°) une droite passant par le milieu du segment AS perpendiculaire au plan ABC ;

3°) un plan passant par le point A parallèle au plan BCS ;

Liaison entre parallélisme et perpendicularité des plans rectilignes 401

4) une droite passant par le point C perpendiculaire au plan ABS, si AC = 2 3 CS.

408. A partir du milieu K de l'hypoténuse BC d'un triangle rectangle isocèle ABC, une droite est tracée perpendiculairement au plan de ce triangle, et le point M y est pris.

1°) plan passant par le point M perpendiculaire à la droite AC ;

2°) une droite passant par le milieu du segment AM perpendiculaire au plan ABC ;

3°) plan passant par le point A parallèle au plan BCM ;

4) un plan passant par le point K perpendiculaire à la droite AM, si MK = CK.

409. A partir du centre O du triangle régulier ABC, une ligne droite est tracée, perpendiculaire au plan du triangle, et le point S y est pris.

1°) un plan passant par le point O perpendiculaire à la ligne BC ;

2°) une droite passant par le milieu du segment AS perpendiculaire au plan ABC ;

3) un plan passant par le milieu du segment AS perpendiculaire à la droite OS ;

4 *) une droite passant par le point A perpendiculaire au plan BCS.

410. Soit un cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Construire:

1°) une ligne droite passant par le centre du visage A1 B1 C1 D1 voie - perpendiculaire à la face opposée ; 2°) plan passant par le sommet Et perpendiculaire à la diagonale BD ;

3) une droite passant par le centre de la face AA 1 B 1 B perpendiculaire au plan BDD 1 ;

4 *) un plan passant par le point D perpendiculaire à la droite BD 1.

411. Dans le tétraèdre SABC, toutes les faces sont des triangles réguliers, le point O est le centre de ABC, D est le milieu de l'arête BC, le point N appartient à l'arête SA.

1°) Déterminer la position relative de la droite SO et du plan ABC.

2°) Déterminer la position relative de la ligne BC et du plan ASD.

3) Tracez une droite passant par le point N, perpendiculaire à la face ABC.

4 *) Construire une section du tétraèdre avec un plan passant par le point N perpendiculaire à la droite OS.

412°. Deux fils électriques doivent être tendus d'un poteau de 7 m de haut à un bâtiment de 4 m de haut. De combien de fils avez-vous besoin si la distance du bâtiment au poteau est de 10 m et vous devez ajouter 3% de sa longueur calculée à la affaissement du fil ?

413. Une tour de guet pour garder une zone rectangulaire est installée à l'un des sommets du rectangle. Les distances de l'observateur debout sur la tour aux autres sommets du rectangle sont égales à a, b, c, et a> b> c. Quelle est la hauteur de la tour ?

414. Trois droites parallèles a, b, c ne se trouvent pas dans le même plan. Par un point M situé sur une ligne a, des perpendiculaires aux lignes b et c sont tracées, les coupant respectivement aux points P et Q. Démontrer que la ligne PQ est perpendiculaire aux lignes b et c.

415. Par le point O, situé à la hauteur CD du triangle ABC, une perpendiculaire OM est tracée à son plan. Montrer que le plan passant par les droites CD et est perpendiculaire à la droite AB.

416 *. Soient un plan α et une droite a coupant le plan au point M et non perpendiculaire à α. Montrer que dans le plan α passant par le point M il y a une droite perpendiculaire à la droite a, et, de plus, une seule.

417. Sur une droite perpendiculaire au plan , on prend deux points A et B, ne se trouvant pas dans le plan α, et dans le plan α, deux points X et Y sont pris. On sait que XA> XB. Comparez les segments

YA et YB.

Liaison entre parallélisme et perpendicularité des plans rectilignes 403

Exercices de répétition

418. Montrer que toutes les droites du plan perpendiculaire au plan droit donné forment ce plan.

419. Comment diviser un segment en deux, en utilisant uniquement un gabarit : a) un angle droit ; b) un angle aigu ?

420. Les côtés du parallélogramme mesurent 2 m et 16 dm ; la distance entre les grands côtés est de 8 dm. Déterminez la distance entre les petits côtés.

Déclarations clés

Le théorème des deux	Si l'un des deux
parallèle	parallèle
direct, l'un des	perpendiculaire
quelle perpendiculaire	avion, puis le deuxième
bouclé à l'avion		perpendiculaire		un || b, a α b α
	polarité à ce plan.
Le parallèle	Si deux droites
fidélité des lignes droites,	sont perpendiculaires à un
perpendiculaire	et le même avion, alors
avion	ils sont parallèles.
				a , b a || b
Le parallèle	Si l'un des deux
plat plat	parallèle		appartement
os, l'un des	tei est perpendiculaire
quelle perpendiculaire	tout droit, puis le deuxième
droit kular	avion	perpendi-
	est curieux de cette ligne.			|| , l β l
Le théorème des deux			avion
avions, par-	perpendiculaire à un
pendiculaire	Noé directement, alors ils
	sont parallèles.
				l, l α || ??

Objectifs de la leçon:

1) consolider les questions théoriques sur le thème "Perpendicularité d'une droite et d'un plan" ;

2) développer des compétences pour résoudre des types de problèmes de base sur la perpendicularité d'une ligne droite et d'un plan.

Pendant les cours

I. Moment d'organisation

Signalez le sujet et le plan de leçon.

II. Mettre à jour les connaissances des étudiants

1) Enquête théorique.

Formuler et prouver un théorème sur une droite perpendiculaire à un plan (préparer au tableau pour un des élèves, puis écouter sa réponse avec toute la classe).

2) Travaux écrits individuels :

Démontrer le théorème de la perpendicularité de deux droites parallèles à la troisième (1 élève);

Démontrer un théorème établissant un lien entre le parallélisme des droites et leur perpendicularité au plan (1 élève);

Démontrer le théorème opposé au théorème établissant le lien entre le parallélisme des droites et leur perpendicularité au plan (1 élève) ;

Démontrer le signe de perpendicularité d'une droite et d'un plan (1 élève).

3) Solution indépendante des tâches basée sur des dessins prêts à l'emploi, suivie d'une vérification et d'une discussion au besoin.

Niveau I : n° 1, 2, 5.

Niveau II : n° 3, 4, 6.

Le point M se trouve à l'extérieur du plan ABC.

1. Fig. 1. Démontrer que la droite АС est perpendiculaire au plan АМВ.

2. Fig. 2. BMDC est un rectangle. Démontrer que la droite CD est perpendiculaire au plan ABC.

3. Fig. 3. ABCD est un rectangle. Prouver : AD AM.

Solution aux problèmes 1-6.

4. Fig. 4. Prouver : ⊥ DE.

5. Fig. 5. ABCD - parallélogramme. Démontrer que la droite MO est perpendiculaire au plan ABC.

6. Fig. 6. ABCD - losange. Montrer que la ligne BD est perpendiculaire au plan de l'AMC.

Preuve:

AC AB (par condition), AC ⊥ AM (par condition),

Preuve:

Puisque BMDC est un rectangle, MBC = 90 °, ce qui signifie que

MB (ABC) (basé sur la perpendicularité de la ligne et du plan).

MB || DC (par la propriété des côtés du rectangle). Par conséquent, DC (ABC) (par le théorème sur le lien entre le parallélisme des droites et leur perpendicularité au plan).

Preuve:

1) Puisque ABCD est un rectangle, alors ∠ABC = 90 °, ce qui signifie que BC AB, AB ⊂ (ABM)

ВС ⊥ (АМВ) (basé sur la perpendicularité de la ligne et du plan).

2) C.-B. || AD (par la propriété des côtés du rectangle). Donc, AD (AMB) (par le théorème sur le lien entre le parallélisme des droites et leur perpendicularité au plan).

3) AD AM (par définition d'une droite perpendiculaire au plan).

N° 4 (fig. 7)

Preuve : Puisque ΔСМВ est isocèle (par condition) et MD est la hauteur, alors MD est la médiane (d'après la propriété de la hauteur d'un triangle isocèle).

Par conséquent, CD = BD (par définition de la médiane).

1) Puisque ΔABC est isocèle (par condition) et AD est la médiane (par définition), alors AD est la hauteur (par la propriété de la médiane d'un triangle isocèle). Par conséquent, ⊥ AD.

2) ВС ⊥ (AMD) (basé sur la perpendicularité d'une droite et d'un plan).

3) ВС ⊥ DE (par définition d'une droite perpendiculaire au plan).

Preuve:

1) AC BD =  ; AO = OS, BO = OD (par la propriété des diagonales du parallélogramme).

2) ΔBMD est isocèle (par condition) et MO est la médiane (par définition), ce qui signifie que MO est la hauteur (par la propriété de la médiane d'un triangle isocèle).

Par conséquent, MO BD.

3) Dans ΔАМС : MO ⊥ АС (c'est prouvé de manière similaire au point 2).

4) MO (AVS) (basé sur la perpendicularité d'une droite et d'un plan).

N° 6 (fig. 8)

Preuve : AC BD et AO = OC, BO = OD (par la propriété des diagonales des losanges). ΔBMD est isocèle (par condition) et MO est la médiane (par définition), ce qui signifie que MO est la hauteur (par la propriété de la médiane d'un triangle isocèle).

Par conséquent, MO BD.

(basé sur la perpendicularité d'une droite et d'un plan).

III. Résoudre les problèmes

Solution par écrit au tableau et dans les cahiers du problème n° 130 (solution détaillée dans le manuel), n° 134 (avec l'aide d'un enseignant), appelez un élève fort au tableau.

(Avant de procéder à la résolution du problème, répétez les concepts : la distance entre deux points et la distance d'un point à une droite. Formulez les définitions de ces concepts.)

Donné : ABCD - carré ; MB - droit (fig. 9).

Trouver : a) MA, MD, MS ; b) (M; AC), ρ (M; BD).

1) AB = BC = CD = AD = n (par la propriété des côtés du carré).

2) ΔАВМ et sont rectangulaires, puisque ∠MBA = ∠МВС = 90°.

Par le théorème de Pythagore : On obtient

3) Puisque BD est la diagonale du carré, alors

4) Puisque ∠MBA = ∠MBC = 90 °, alors

MB (ABC) (basé sur la perpendicularité de la ligne et du plan). Donc MB BD, BD (ABC) (par définition d'une droite perpendiculaire au plan).

5) ΔMBD - rectangulaire (puisque MB BD, alors ∠MBD = 90 °). Par le théorème de Pythagore :

6) ρ (M; BD) = MB (par définition de la distance d'un point à une droite). Par conséquent, (M; BD) = m.

7) AO = OC, BO = OD (par la propriété des diagonales carrées). Parce que alors ΔAMC est isocèle (par définition) et MO est la médiane (par définition), ce qui signifie que MO est la hauteur (par la propriété de la médiane d'un triangle isocèle tiré vers sa base). Par conséquent, MO AS.

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