Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. В зависимости от исходных данных дисперсия может быть невзвешенной (простой) или взвешенной.
Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:
· для несгруппированных данных
· для сгруппированных данных
Порядок расчета дисперсии взвешенную:
1. определяют среднюю арифметическую взвешенную
2. определяются отклонения вариант от средней
3. возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней
4. умножают квадраты отклонений на веса (частоты)
5. суммируют полученные произведения
6. полученную сумму делят на сумму весов
Формула для определения дисперсии может быть преобразована в следующую формулу:
- простая
Порядок расчета дисперсии простой:
1. определяют среднюю арифметическую
2. возводят в квадрат среднюю арифметическую
3. возводят в квадрат каждую варианту ряда
4. находим сумму квадратов вариант
5. делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат
6. определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней
Также формула для определения дисперсии взвешенной может быть преобразована в следующую формулу:
т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов значений признака и квадрата средней арифметической. При пользовании преобразованной формулой исключается дополнительная процедура по расчету отклонений индивидуальных значений признака от х и исключается ошибка в расчете, связанная с округлением отклонений
Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить ее вычисления:
1) дисперсия постоянной величины равна нулю;
2) если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится;
3) если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз ( раз), то дисперсия уменьшится в раз
Среднее квадратичное отклонение S - представляет собой корень квадратный из дисперсии:
· для несгруппированных данных:
;
· для вариационного ряда:
Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятности, служащей фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака.
Расчет показателей вариации для банков, сгруппированных по размеру прибыли, показан в таблице.
| Размер прибыли, млн. руб. | Число банков | расчетные показатели | ||||
| 3,7 - 4,6 (-) | 4,15 | 8,30 | -1,935 | 3,870 | 7,489 | |
| 4,6 - 5,5 | 5,05 | 20,20 | - 1,035 | 4,140 | 4,285 | |
| 5,5 - 6,4 | 5,95 | 35,70 | - 0,135 | 0,810 | 0,109 | |
| 6,4 - 7,3 | 6,85 | 34,25 | +0,765 | 3,825 | 2,926 | |
| 7,3 - 8,2 | 7,75 | 23,25 | +1,665 | 4,995 | 8,317 | |
| Итого: | 121,70 | 17,640 | 23,126 |
Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение показывают на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц и исследуемой совокупности. Так, в данном случае средняя величина колеблености размера прибыли составляет: по среднему линейному отклонению 0,882 млн. руб.; по среднему квадратическому отклонению - 1,075 млн. руб. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Если распределение признака, близко к нормальному, то между S и d существует взаимосвязь: S=1,25d, или d=0,8S. Среднее квадратическое отклонение показывает как расположена основная масса единиц совокупности относительно средней арифметической. Независимо от формы распределения 75 значений признака попадают в интервал х 2S, а по крайне мере 89 всех значений попадают интервал х 3S (теорема П.Л.Чебышева).
Определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, т.е. корень из и может быть найдена так:
1. Для первичного ряда:
2. Для вариационного ряда:
Преобразование формулы среднего квадратичного отклонени приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:
Среднее квадратичное отклонение определяет на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется.
Примеры нахождения cреднего квадратического отклонения: ,
Для альтернативных признаков формула среднего квадратичного отклонения выглядит так:
где р - доля единиц в совокупности, обладающих определенным признаком;
q - доля единиц, не обладающих этим признаком.
Понятие среднего линейного отклонения
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от .
1. Для первичного ряда:
2. Для вариационного ряда:
где сумма n - сумма частот вариационного ряда .
Пример нахождения cреднего линейного отклонения:
Преимущество среднего абсолютного отклонения как меры рассеивания перед размахом вариации, очевидно, так как эта мера основана на учете всех возможных отклонений. Но этот показатель имеет существенные недостатки. Произвольные отбрасывания алгебраических знаков отклонений могут привести к тому, что математические свойства этого показателя являются далеко не элементарными. Это сильно затрудняет использование среднего абсолютного отклонения при решении задач, связанных с вероятностными расчетами.
Поэтому среднее линейное отклонение как мера вариации признака применяется в статистической практике редко, а именно тогда, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется оборот внешней торговли, состав работающих, ритмичность производства и т. д.
Среднее квадратическое
Среднее квадратическое применяется , например, для вычисления средней величины сторон n квадратных участков, средних диаметров стволов, труб и т. д. Она подразделяется на два вида.
Средняя квадратичная простая. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратичной средней величиной.
Она является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
Средняя квадратичная взвешенная вычисляется по формуле:
где f - признак веса.
Средняя кубическая
Средняя кубическая применяется
, например, при определении средней длины стороны и кубов. Она подразделяется на два вида.
Средняя кубическая простая:
При расчете средних величин и дисперсии в интервальных рядах распределения истинные значения признака заменяются центральными значениями интервалов, которые отличны от средней арифметической значений, включенных в интервал. Это приводит к возникновению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф. Шеппард определил, что погрешность в расчете дисперсии , вызванная применением сгруппированных данных, составляет 1/12 квадрата величины интервала как в сторону повышения, так и в сторону понижения величины дисперсии.
Поправка Шеппарда должна применяться, если распределение близко к нормальному, относится к признаку с непрерывным характером вариации, построено по значительному количеству исходных данных (n > 500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в разных направлениях компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.
Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина.
В практике статистики часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для таких сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.
Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разными средним арифметическим используется относительный показатель вариации - коэффициент вариации.
Структурные средние
Для характеристики центральной тенденции в статистических распределениях не редко рационально вместе со средней арифметической использовать некоторое значение признака X, которое в силу определенных особенностей расположения в ряду распределения может характеризовать его уровень.
Это особенно важно тогда, когда в ряду распределения крайние значения признака имеют нечеткие границы. В связи с этим точное определение средней арифметической, как правило, невозможно, либо очень сложно. В таких случаях средний уровень можно определить, взяв, например, значение признака, которое расположено в середине ряда частот или которое чаще всего встречается в текущем ряду.
Такие значения зависят только от характера частот т. е. от структуры распределения. Они типичны по месту расположения в ряду частот, поэтому такие значения рассматриваются в качестве характеристик центра распределения и поэтому получили определение структурных средних. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся .
$X$. Для начала напомним следующее определение:
Определение 1
Генеральная совокупность -- совокупность случайно отобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, проводимых в неизменных условиях при изучении одной случайной величины данного вида.
Определение 2
Генеральная дисперсия -- среднее арифметическое квадратов отклонений значений вариант генеральной совокупности от их среднего значения.
Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Тогда генеральная дисперсия вычисляется по формуле:
Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная дисперсия вычисляется по формуле:
С этим понятием также связано понятие генерального среднего квадратического отклонения.
Определение 3
Генеральное среднее квадратическое отклонение
\[{\sigma }_г=\sqrt{D_г}\]
Выборочная дисперсия
Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:
Определение 4
Выборочная совокупность -- часть отобранных объектов из генеральной совокупности.
Определение 5
Выборочная дисперсия -- среднее арифметическое значений вариант выборочной совокупности.
Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
С этим понятием также связано понятие выборочного среднего квадратического отклонения.
Определение 6
Выборочное среднее квадратическое отклонение -- квадратный корень из генеральной дисперсии:
\[{\sigma }_в=\sqrt{D_в}\]
Исправленная дисперсия
Для нахождения исправленной дисперсии $S^2$ необходимо умножить выборочную дисперсию на дробь $\frac{n}{n-1}$, то есть
С этим понятием также связано понятие исправленного среднего квадратического отклонения, которое находится по формуле:
В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной дисперсий за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$
Пример задачи на нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения
Пример 1
Выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:
Рисунок 1.
Найдем для нее выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.
Для решения этой задачи для начала сделаем расчетную таблицу:
Рисунок 2.
Величина $\overline{x_в}$ (среднее выборочное) в таблице находится по формуле:
\[\overline{x_в}=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}\]
\[\overline{x_в}=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}=\frac{305}{20}=15,25\]
Найдем выборочную дисперсию по формуле:
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
\[{\sigma }_в=\sqrt{D_в}\approx 5,12\]
Исправленная дисперсия:
\[{S^2=\frac{n}{n-1}D}_в=\frac{20}{19}\cdot 26,1875\approx 27,57\]
Исправленное среднее квадратическое отклонение.
Стандартное отклонение - классический индикатор изменчивости из описательной статистики.
Стандартное отклонение , среднеквадратичное отклонение, СКО, выборочное стандартное отклонение (англ. standard deviation, STD, STDev) - очень распространенный показатель рассеяния в описательной статистике. Но, т.к. технический анализ сродни статистике, данный показатель можно (и нужно) использовать в техническом анализе для обнаружения степени рассеяния цены анализируемого инструмента во времени. Обозначается греческим символом Сигма «σ».
Спасибо Карлам Гауссу и Пирсону за то, что мы имеем возможность пользоваться стандартным отклонением.
Используя стандартное отклонение в техническом анализе , мы превращаем этот «показатель рассеяния » в «индикатор волатильности «, сохраняя смысл, но меняя термины.
Что представляет собой стандартное отклонение
Но помимо промежуточных вспомогательных вычислений, стандартное отклонение вполне приемлемо для самостоятельного вычисления и применения в техническом анализе. Как отметил активный читатель нашего журнала burdock, «до сих пор не пойму, почему СКО не входит в набор стандартных индикаторов отечественных диллинговых центров «.
Действительно, стандартное отклонение может классическим и «чистым» способом измерить изменчивость инструмента . Но к сожалению, этот индикатор не так распространен в анализе ценных бумаг .
Применение стандартного отклонения
Вручную вычислить стандартное отклонение не очень интересно , но полезно для опыта. Стандартное отклонение можно выразить формулой STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , что звучит как корень из суммы квадратов разниц между элементами выборки и средним, деленной на количество элементов в выборке.
Если количество элементов в выборке превышает 30, то знаменатель дроби под корнем принимает значение n-1. Иначе используется n.
Пошагово вычисление стандартного отклонения :
- вычисляем среднее арифметическое выборки данных
- отнимаем это среднее от каждого элемента выборки
- все полученные разницы возводим в квадрат
- суммируем все полученные квадраты
- делим полученную сумму на количество элементов в выборке (или на n-1, если n>30)
- вычисляем квадратный корень из полученного частного (именуемого дисперсией )
В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение . Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.
Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).
Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”
Что такое дисперсия
Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.
Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:
- Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
- Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности ).
- Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).
Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.
Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Сперва найдём среднее значение . Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:
Среднее мм.
Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.
Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего :
Наконец, чтобы вычислить дисперсию , каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:
Дисперсия мм 2 .
Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм 2 .
Как найти среднеквадратическое отклонение
Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:
Мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).
Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).
Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.
То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.
Что такое стандартное отклонение
Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.
Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.
Если есть значений, то:
Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.
Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:
Дисперсия выборки = 
мм 2 .
При этом стандартное отклонение по выборке равно 
мм (округлено до ближайшего целого значения).
Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.
Примечание. Почему именно квадраты разностей?
Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:
.
Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?
На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:
Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.
А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).
Для первого примера получится:
.
Для второго примера получится:
Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.
Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.
И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.
О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал , Сергей Валерьевич