Учреждение образования «Белорусская государственная
Сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
по изучению темы «Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Эквивалентные системы уравнений
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение одной из них является решением другой. Процесс решения системы линейных уравнений состоит в последовательном преобразовании её в эквивалентную систему с помощью так называемых элементарных преобразований , которыми являются:
1) перестановка любых двух уравнений системы;
2) умножение обеих частей любого уравнения системы на отличное от нуля число;
3) прибавление к любому уравнению другого уравнения, умноженного на любое число;
4) вычёркивание уравнения, состоящего из нулей, т.е. уравнения вида .
Гауссовы исключения
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Суть метода Гаусса или метода последовательного исключения неизвестных состоит в следующем.
Вначале с помощью элементарных преобразований исключается неизвестная из всех уравнений системы, кроме первого. Такие преобразования системы называются шагом гауссового исключения . Неизвестная называется разрешающей переменной на первом шаге преобразований. Коэффициент называется разрешающим коэффициентом , первое уравнение называется разрешающим уравнением , а столбец коэффициентов при разрешающим столбцом .
При выполнении одного шага гауссового исключения нужно пользоваться следующими правилами:
1) коэффициенты и свободный член разрешающего уравнения остаются неизменными;
2) коэффициенты разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего коэффициента, обращаются в нули;
3) все прочие коэффициенты и свободные члены при выполнении первого шага вычисляются по правилу прямоугольника:
, где i
=2,3,…,m
; j
=2,3,…,n
.
Аналогичные преобразования выполним и над вторым уравнением системы. Это приведёт к системе, у которой во всех уравнениях, кроме первых двух, будет исключена неизвестная . В результате таких преобразований над каждым из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) исходная система приводится к эквивалентной ей ступенчатой системе одного из следующих видов.
Обратный ход метода Гаусса
Ступенчатая система
имеет треугольный вид и все 
(i
=1,2,…,n
). Такая система имеет единственное решение. Неизвестные определяются, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).
Ступенчатая система имеет вид
где , т.е. число уравнений системы меньше либо равно числу неизвестных. Эта система не имеет решений, так как последнее уравнение не будет выполняться ни при каких значениях переменной .
Ступенчатая система вида
имеет бесчисленное множество решений. Из последнего уравнения неизвестная выражается через неизвестные 
. Затем в предпоследнее уравнение вместо неизвестной подставляется её выражение через неизвестные . Продолжая обратный ход метода Гаусса, неизвестные 
можно выразить через неизвестные . В этом случае неизвестные называются свободными
и могут принимать любые значения, а неизвестные 
базисными.
При практическом решении систем удобно выполнять все преобразования не с системой уравнений, а с расширенной матрицей системы, состоящей из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
Пример 1
. Решить систему уравнений 
Решение . Составим расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования:
.
В расширенной матрице системы число 3 (оно выделено) является разрешающим коэффициентом, первая строка является разрешающей строкой, а первый столбец – разрешающим столбцом. При переходе к следующей матрице разрешающая строка не изменяется, все элементы разрешающего столбца ниже разрешающего элемента заменяются нулями. А все другие элементы матрицы пересчитываются по правилу четырёхугольника. Вместо элемента 4 во второй строке запишем 
, вместо элемента -3 во второй строке будет записано 
и т.д. Таким образом, будет получена вторая матрица. У этой матрицы разрешающим элементом будет число 18 во второй строке. Для формирования следующей (третьей матрицы) вторую строку оставляем без изменения, в столбце под разрешающим элементом запишем нуль и пересчитаем оставшиеся два элемента: вместо числа 1 запишем 
, а вместо числа 16 запишем .
В результате исходная система свелась к эквивалентной системе
Из третьего уравнения находим 
. Подставим это значение во второе уравнение: 
y
=3. В первое уравнение подставим найденные значения y
и z
: 
, x
=2.
Таким образом, решением данной системы уравнений является x
=2, y
=3, 
.
Пример 2
. Решить систему уравнений 
Решение . Выполним элементарные преобразования над расширенной матрицей системы:
Во второй матрице каждый элемент третьей строки разделили на 2.
В четвёртой матрице каждый элемент третьей и четвёртой строки разделили на 11.
. Полученная матрица соответствует системе уравнений 
Решая данную систему, найдём 
, 
, .
Пример 3 . Решить систему уравнений
Решение . Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования:
.
Во второй матрице каждый элемент второй, третьей и четвёртой строк разделили на 7.
В результате получена система уравнений
эквивалентная исходной.
Так как уравнений на два меньше, чем неизвестных, то из второго уравнения 
. Подставим выражение для в первое уравнение: , 
.
Таким образом, формулы 
дают общее решение данной системы уравнений. Неизвестные и являются свободными и могут принимать любые значения.
Пусть, например, 
Тогда 
и 
. Решение 
является одним из частных решений системы, которых бесчисленное множество.
Вопросы для самоконтроля знаний
1) Какие преобразования линейных систем называются элементарными?
2) Какие преобразования системы называются шагом гауссова исключения?
3) Что такое разрешающая переменная, разрешающий коэффициент, разрешающий столбец?
4) Какими правилами нужно пользоваться при выполнении одного шага гауссова исключения?
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход). Пример такой системы и её решения - на рисунке сверху.
В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса , далее - просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.
В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение - переменной x .
После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
Преимущества метода:
- при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера , поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
- методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
- можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
- метод основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.
Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:
Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y :
Теперь нам известны значения уже двух переменных - z и y . Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x :
Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:
Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений
Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.
На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.
При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно :
- переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
- если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
- удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
- любую строку умножать или делить на некоторое число;
- к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.
В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.
Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы
Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.
Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений
Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.
Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы :
В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.
Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы . Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:
С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений . Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Это возможно, так как
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x :
Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:
Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:
Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:
Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.
Решение найдём "с конца" - обратный ход
. Для этого из последнего уравнения определим z
:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y
:
Из первого уравнения найдём x
:
Ответ: решение данной системы уравнений - 
.
: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.
Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной "икс четвёртое":
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
,
,
Наконец, подстановка значений
В первое уравнение даёт
,
откуда находим "икс первое":
Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение 
.
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.
Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.
Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.
Решение. Составляем систему линейных уравнений:
Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:
Составляем расширенную матрицу системы:
Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае - вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:
Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.
Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .
Из второго уравнения находим
Из третьего уравнения -
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.
О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.
Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.
С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений
Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.
После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида
Если во всех уравнениях имеющих вид
Свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.
Пример 6.
Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :
Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.
В результате приходим к системе
Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.
Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и
выбрать произвольные значения
, тогда значение для
определится уже однозначно: 
. Из первого уравнения
значение для также находится
однозначно: 
.
Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы
при произвольных и дают нам все решения заданной системы.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений
Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.
Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида
соответствующие уравнению вида
Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.
Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на , к четвёртой - первую, умноженную на .
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.
Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.
Карл Фридрих Гаусс, величайший математик долгое время колебался, выбирая между философией и математикой. Возможно, именно такой склад ума позволил ему столь заметно "наследить" в мировой науке. В частности, создав "Метод Гаусса" ...
Почти 4 года статьи этого сайта касались школьного образования, в основном, со стороны философии, принципов (не)понимания, внедряемых в сознание детей. Приходит время бОльшей конкретики, примеров и методов... Я верю, что именно такой подход к привычным, запутанным и важным областям жизни дает лучшие результаты.
Мы, люди так устроены, что сколько ни говори об абстрактном мышлении , но понимание всегда происходит через примеры . Если примеры отсутствуют, то принципы уловить невозможно... Как невозможно оказаться на вершине горы иначе, как пройдя весь ее склон от подножия.
Тоже и со школой: пока живых историй недостаточно мы инстинктивно продолжаем считать ее местом, где детей учат понимать.
Например, обучая методу Гаусса...
Метод Гаусса в 5 классе школы
Оговорюсь сразу: метод Гаусса имеет гораздо более широкое применение, например, при решении систем линейных уравнений . То, о чем мы будем говорить, проходят в 5 классе. Это начала , уяснив которые, гораздо легче разобраться в более "продвинутых вариантах". В этой статье мы говорим о методе (способе) Гаусса при нахождении суммы ряда
Вот пример, который принес из школы мой младший сын, посещающий 5 класс московской гимназии.
Школьная демонстрация метода Гаусса
Учитель математики с использованием интерактивной доски (современные методы обучения ) показал детям презентацию истории "создания метода" маленьким Гауссом.
Школьный учитель выпорол маленького Карла (устаревший метод, нынче в школах не применяется) за то, что тот,
вместо того, чтобы последовательно складывая числа от 1 до 100 найти их сумму заметил , что пары чисел, равно отстоящие от краев арифметической прогрессии, в сумме дают одно и то же число. например, 100 и 1, 99 и 2. Посчитав количество таких пар, маленький Гаусс почти моментально решил предложенную учителем задачу. За что и был подвергнут экзекуции на глазах изумленной публики. Чтобы остальным думать было неповадно.
Что сделал маленький Гаусс, развивший чувство числа ? Заметил некоторую особенность числового ряда с постоянным шагом (арифметической прогрессии). И именно это сделало его впоследствии великим ученым, умеющим замечать , обладающим чувством, инстинктом понимания .
Этим и ценна математика, развивающая способность видеть общее в частном - абстрактное мышление . Поэтому большинство родителей и работодателей инстинктивно считают математику важной дисциплиной ...
"Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.
М.В.Ломоносов".
Однако, последователи тех, кто порол розгами будущих гениев, превратили Метод в нечто противоположное. Как 35 лет назад говорил мой научный руководитель: "Занаучили вопрос". Или как сказал вчера о методе Гаусса мой младший сын: "Может не стоит из этого большую науку делать-то, а?"
Последствия творчества "ученых" видны по уровню нынешней школьной математики, уровню ее преподавания и понимания "Царицы наук" большинством.
Однако, продолжим...
Методы объяснения метода Гаусса в 5 классе школы
Учитель математики московской гимназии, объясняя метод Гаусса по-Виленкину, усложнил задание.
Что, если разность (шаг) арифметической прогрессии будет не единица, а другое число? Например, 20.
Задача, которую он дал пятиклассникам:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Прежде, чем познакомиться с гимназическим методом, заглянем в Сеть: как это делают школьные учителя - репетиторы по математике?..
Метод Гаусса: объяснение №1
Известный репетитор на своем канале YOUTUBE приводит следующие рассуждения:
"запишем числа от 1 до 100 следующим образом:
сначала ряд чисел от 1 до 50, а строго под ним другой ряд чисел от 50 до 100, но в обратной последовательности"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Обратите внимание: сумма каждой пары чисел из верхнего и нижнего рядов одинакова и равняется 101 ! Посчитаем количество пар, оно составляет 50 и умножим сумму одной пары на количество пар! Вуаля: Ответ готов!".
"Если вы не смогли понять - не расстраивайтесь!", - три раза в процессе объяснения повторил учитель. "Этот метод вы будете проходить в 9 классе!"
Метод Гаусса: объяснение №2
Другой репетитор, менее известный (судя по числу просмотров) использует более научный подход, предлагая алгоритм решения из 5 пунктов, которые необходимо выполнить последовательно.
Для непосвященных: 5 это одно из чисел Фибоначчи, традиционно считающееся магическим. Метод из 5 шагов всегда более научен, чем метод, например, из 6 шагов. ... И это вряд ли случайность, скорее всего, Автор - скрытый приверженец теории Фибоначчи
Дана арифметическая прогрессия: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Алгоритм нахождения суммы чисел ряда методом Гаусса:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
При этом нужно помнить о правиле "Плюс один" : к полученному частному необходимо прибавить единицу: иначе мы получим результат, меньший на единицу, чем истинное число пар: 42 + 1 = 43.
Это и есть искомая сумма арифметической прогрессии от 4 до 256 с разницей 6 !
Метод Гаусса: объяснение в 5 классе московской гимназии
А вот как требовалось решить задачу нахождения суммы ряда:
20+40+60+ ... +460+480+500
в 5 классе московской гимназии, учебник Виленкина (со слов моего сына).
Показав презентацию, учительница математики показала пару примеров по методу Гаусса и дала классу задачу по нахождению суммы чисел ряда с шагом 20.
При этом требовалось следующее:
Как видим, это более компактная и эффективная методика: число 3 - также член последовательности Фибоначчи
Мои комментарии к школьной версии метода Гаусса
Великий математик определенно выбрал бы философию, если бы предвидел, во что превратят его "метод" последователи немецкого учителя , выпоровшего Карла розгами. Он узрел бы и символизм, и диалектическую спираль и неумирающую глупость "учителей", пытающихся измерить алгеброй непонимания гармонию живой математической мысли ....
Между прочим: знаете ли вы. что наша система образования уходит корнями в немецкую школу 18 - 19 веков?
Но Гаусс выбрал математику.
В чем суть его метода?
В упрощении . В наблюдении и схватывании простых закономерностей чисел. В превращении сухой школьной арифметики в интересное и увлекательное занятие , активизирующее в мозге желание продолжать, а не блокирующее высокозатратную умственную деятельность.
Разве возможно одной из приведенных "модификаций метода" Гаусса посчитать сумму чисел арифметической прогрессии почти моментально ? По "алгоритмам" маленький Карл гарантированно избежал бы порки, воспитал отвращение к математике и подавил на корню свои творческие импульсы.
Почему репетитор так настойчиво советовал пятиклассникам "не бояться непонимания" метода, убеждая, что "такие" задачи они будут решать аж в 9 классе? Психологически безграмотное действие . Удачным приемом было отметить : "Видите? Вы уже в 5 классе можете решать задачи, которые будете проходить только через 4 года! Какие вы молодцы!".
Для использования метода Гаусса достаточно уровня 3 класса , когда нормальные дети уже умеют складывать, умножать и делить 2 -3 значные числа. Проблемы возникают из-за неспособности взрослых учителей, "не въезжающих", как объяснить простейшие вещи нормальным человеческим языком, не то что математическим... Не способных заинтересовать математикой и напрочь отбивающих охоту даже у "способных".
Или, как прокомментировал мой сын: "делающих из этого большую науку".
Метод Гаусса, мои объяснения
Нашему ребенку мы с супругой объясняли этот "метод", кажется, еще до школы...
Простота вместо усложнения или игра в вопросы - ответы
""Посмотри, вот числа от 1 до 100. Что ты видишь?"
Дело не в том, что именно увидит ребенок. Фокус в том, чтобы он стал смотреть.
"Как можно их сложить?" Сын уловил, что такие вопросы не задаются "просто так" и нужно взглянуть на вопрос "как-то по-другому, иначе, чем он делает обычно"
Не важно, увидит ли ребенок решение сразу, это маловероятно. Важно, чтобы он перестал бояться смотреть, или как я говорю: "шевелил задачу" . Это начало пути к пониманию
"Что легче: сложить, например, 5 и 6 или 5 и 95?" Наводящий вопрос... Но ведь любое обучение и сводится к "наведению" человека на "ответ" - любым приемлемым для него способом.
На этом этапе уже могут возникнуть догадки о том, как "сэкономить" на вычислениях.
Все, что мы сделали - намекнули: "лобовой, линейный" метод счета - не единственно возможный. Если ребенок это усек, то впоследствии он выдумает еще много таких методов, ведь это интересно!!! И он точно избежит "непонимания" математики, не будет испытывать к ней отвращение. Он получил победу!
Если ребенок обнаружил , что сложение пар чисел, дающих в сумме сотню, плевое занятие, то "арифметическая прогрессия с разницей 1" - довольно муторная и неинтересная для ребенка вещь - вдруг для него обрела жизнь . Из хаоса возник порядок, а это всегда вызывает энтузиазм: так мы устроены !
Вопрос на засыпку: зачем после полученного ребенком озарения вновь загонять его в рамки сухих алгоритмов, к тому же функционально бесполезных в этом случае?!
Зачем заставлять тупо переписывать числа последовательности в тетрадь: чтобы даже у способных не возникло и единого шанса на понимание? Статистически, конечно, а ведь массовое образование заточено на "статистику" ...
Куда делся ноль?
И все-таки складывать числа, дающие в сумме 100 для ума гораздо более приемлемо, чем дающие 101 ...
"Школьный метод Гаусса" требует именно этого: бездумно складывать равноотстоящие от центра прогрессии пары чисел, несмотря ни на что .
А если посмотреть?
Все-таки ноль - величайшее изобретение человечества, которому более 2 000 лет. А учителя математики продолжают его игнорировать.
Гораздо проще преобразовать ряд чисел, начинающийся с 1, в ряд, начинающийся с 0. Сумма ведь не изменится, не правда ли? Нужно перестать "думать учебниками" и начать смотреть... И увидеть, что пары с суммой 101 вполне можно заменить парами с суммой 100 !
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Как упразднить "правило плюс 1"?
Если честно, то я о таком правиле впервые услышал от того ютубовского репетитора...
Как я до сих пор поступаю, когда требуется определить количество членов какого-нибудь ряда?
Смотрю на последовательность:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
а когда совсем устал, то на более простой ряд:
1, 2, 3, 4, 5
и прикидываю: если вычесть из 5 единицу, то получится 4, но я совершенно ясно вижу 5 чисел! Следовательно, нужно прибавить единицу! Чувство числа, развитое в начальной школе, подсказывает: даже если членов ряда будет целый гугл (10 в сотой степени), закономерность останется той же.
На фиг правила?..
Чтобы через пару - тройку лет заполнить все пространство между лбом и затылком и перестать соображать? А зарабатывать на хлеб с маслом как? Ведь мы ровными шеренгами движемся в эпоху цифровой экономики!
Еще о школьном методе Гаусса: "зачем науку-то из этого делать?.."
Я не зря разместил скриншот из тетрадки сына...
"Что там было, на уроке?"
"Ну, я сосчитал сразу, поднял руку, но она не спросила. Поэтому, пока остальные считали я стал делать ДЗ по русскому языку, чтобы не тратить время. Потом, когда остальные дописали (???), она вызвала меня к доске. Я сказал ответ."
"Правильно, покажи, как ты решал", - сказала учительница. Я показал. Она сказала: "Неправильно, нужно считать так, как я показала!"
"Хорошо, что двойку не поставила. И заставила написать в тетради "ход решения" по-ихнему. Зачем науку-то большую из этого делать?.."
Главное преступление учителя математики
Вряд ли после того случая Карл Гаусс испытал высокое чувство уважения по отношению к школьному учителю математики. Но если бы он знал, как последователи того учителя извратят самую суть метода ... он взревел бы от негодования и через Всемирную организацию интеллектуальной собственности ВОИС добился запрета на использование своего честного имени в школьных учебниках!..
В чем главная ошибка школьного подхода ? Или, как я выразился - преступление школьных учителей математики против детей?
Алгоритм непонимания
Что делают школьные методисты, абсолютное большинство которых думать не умеет ни фига?
Создают методики и алгоритмы (см. ). Это защитная реакция, предохраняющая учителей от критики ("Все делается согласно..."), а детей - от понимания. И таким образом - от желания критиковать учителей! (Вторая производная чиновничьей "мудрости", научный подход к проблеме ). Человек не улавливая смысл скорее будет пенять на собственное непонимание, а не на тупость школьной системы.
Что и происходит: родители пеняют на детей, а учителя... то же на детей, "не понимающих математику!..
Смекаете?
Что сделал маленький Карл?
Абсолютно нешаблонно подошел к шаблонной задаче . Это квинтэссенция Его подхода. Это главное, чему следует учить в школе: думать не учебниками, а головой . Конечно, есть и инструментальная составляющая, которую вполне можно использовать... в поисках более простых и эффективных методов счета .
Метод Гаусса по-Виленкину
В школе учат, что метод Гаусса состоит в том, чтобы
что, если число элементов ряда окажется нечетным , как в задаче, которую задали сыну?..
"Подвох" состоит в том, что в этом случае следует обнаружить "лишнее" число ряда и прибавить его к сумме пар. В нашем примере это число 260 .
Как обнаружить? Переписывая все пары чисел в тетрадь! (Именно почему учительница заставила детей делать эту тупую работу, пытаясь научить "творчеству" методом Гаусса... И именно поэтому такой "метод" практически неприменим к большим рядам данных, И именно поэтому он не является методом Гаусса).
Немного творчества в школьной рутине...
Сын же поступил иначе.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Несложно, правда?
А практически делается еще легче, что и позволяет выкроить 2-3 минуты на ДЗ по русскому, пока остальные "считают". К тому же сохраняет количество шагов методики: 5, что не позволяет критиковать подход за антинаучность.
Явно этот подход проще, быстрее и универсальнее, в стиле Метода. Но... учительница не то, что не похвалила, но и заставила переписать "правильным образом" (см. скриншот). То есть предприняла отчаянную попытку задушить творческий импульс и способность понимать математику на корню! Видимо, чтобы потом наняться репетитором... Не на того напала...
Все, что я так долго и нудно описал можно объяснить нормальному ребенку максимум за полчаса. Вместе с примерами.
Причем так, что он это никогда не забудет.
И это будет шаг к пониманию ... не только математики.
Признайтесь: сколько раз в жизни вы складывали методом Гаусса? И я ни разу!
Но инстинкт понимания , который развивается (или гасится) в процессе изучения математических методов в школе... О!.. Это поистине незаменимая вещь!
Особенно в век всеобщей цифровизации, в который мы незаметно вошли под чутким руководством Партии и Правительства.
Несколько слов в защиту учителей...
Несправедливо и неправильно всю ответственность за такой стиль обучения сваливать исключительно на школьных учителей. Действует система.
Некоторые учителя понимают абсурдность происходящего, но что делать? Закон об образовании, ФГОСы, методики, технологические карты уроков... Все должно делаться "в соответствии и на основании" и все должно быть задокументировано. Шаг в сторону - встал в очередь на увольнение. Не будем ханжами: зарплата московских учителей ну очень неплохая... Уволят - куда идти?..
Поэтому сайт этот не об образовании . Он об индивидуальном образовании , единственно возможном способе выбраться из толпы поколения Z ...
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).
Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:
1) Не иметь решений (бытьнесовместной
).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.
Как мы помним,правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.
Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы - матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса:
1) с троки матрицыможно переставлять местами.
2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следуетудалить из матрицы все эти строки кроме одной.
3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить .
4) строку матрицы можноумножить (разделить) на любое число,отличное от нуля.
5) к строке матрицы можноприбавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля.
В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.
Метод Гаусса состоит из двух этапов:
- «Прямой ход» - с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:
Для этого выполним следующие действия:
1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х 1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х 1 , стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х 1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х 1 не будут иметь коэффициент 0.
2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х 2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х 2 во всех уравнениях будут нули.
3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.
- «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную х n . Для этого решаем элементарное уравнение А*х n = В. В примере, приведенном выше, х 3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х 2 – 4 = 1, т.е. х 2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.
Пример.
Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так:
1 шаг
. К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.
Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).
2 шаг . Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
3 шаг . Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.
4 шаг . К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
5 шаг . Третью строку разделили на 3.
Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23) , и, соответственно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.
Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следовательно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Ответ :x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Разделим третье уравнение на 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Умножим третье уравнение на 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х 3 = 0,96 или приблизительно 1.
х 2 = 3 и х 1 = –1.
Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.
Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.
Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор Дмитрий Айстраханов .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
1. Система линейных алгебраических уравнений
1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i – свободными членами, a ij и b i (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x 1 ,…, x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x n . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;
– вектор-столбец из неизвестных xj.
– вектор-столбец из свободных членов bi.
Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов
1.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.
2. Метод исключения Гаусса
2.1 Сущность метода исключения Гаусса
Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.
1. Прямой ход.
На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.
После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:
,
Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.
(если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a 11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на
и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для i= 2, 3, …, n.Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:
– новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:
Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a 11
0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а 22 (1) (если a 22 (1) 0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида
то это свидетельствует о несовместности системы.
На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.
2. Обратный ход.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.
Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх.
Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11).
2.2 Примеры решения СЛАУ методом Гаусса
В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.
Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.
Обнулим коэффициенты при
во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой: