Непрерывность функции. Точки разрыва.

Идет бычок, качается, вздыхает на ходу:
– Ох, доска кончается, сейчас я упаду!

На данном уроке мы разберём понятие непрерывности функции, классификацию точек разрыва и распространённую практическую задачу исследования функции на непрерывность . Из самого названия темы многие интуитивно догадываются, о чём пойдёт речь, и думают, что материал довольно простой. Это правда. Но именно несложные задачи чаще всего наказывают за пренебрежение и поверхностный подход к их решению. Поэтому рекомендую очень внимательно изучить статью и уловить все тонкости и технические приёмы.

Что нужно знать и уметь? Не очень-то и много. Для качественного усвоения урока необходимо понимать, что такое предел функции . Читателям с низким уровнем подготовки достаточно осмыслить статью Пределы функций. Примеры решений и посмотреть геометрический смысл предела в методичке Графики и свойства элементарных функций . Также желательно ознакомиться с геометрическими преобразованиями графиков , поскольку практика в большинстве случаев предполагает построение чертежа. Перспективы оптимистичны для всех, и даже полный чайник сумеет самостоятельно справиться с задачей в ближайший час-другой!

Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

Понятие непрерывности функции

Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на всей числовой прямой:

Или, говоря лаконичнее, наша функция непрерывна на (множестве действительных чисел).

Каков «обывательский» критерий непрерывности? Очевидно, что график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

При этом следует чётко отличать два простых понятия: область определения функции и непрерывность функции . В общем случае это не одно и то же . Например:

Данная функция определена на всей числовой прямой, то есть для каждого значения «икс» существует своё значение «игрека» . В частности, если , то . Заметьте, что другая точка выколота, ведь по определению функции, значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Таким образом, область определения нашей функции: .

Однако эта функция не является непрерывной на ! Совершенно очевидно, что в точке она терпит разрыв . Термин тоже вполне вразумителен и нагляден, действительно, карандаш здесь по любому придётся оторвать от бумаги. Немного позже мы рассмотрим классификацию точек разрыва.

Непрерывность функции в точке и на интервале

В той или иной математической задаче речь может идти о непрерывности функции в точке, непрерывности функции на интервале, полуинтервале или непрерывности функции на отрезке. То есть, не существует «просто непрерывности» – функция может быть непрерывной ГДЕ-ТО. И основополагающим «кирпичиком» всего остального является непрерывность функции в точке .

Теория математического анализа даёт определение непрерывности функции в точке с помощью «дельта» и «эпсилон» окрестностей, но на практике в ходу другое определение, которому мы и уделим самое пристальное внимание.

Сначала вспомним односторонние пределы , ворвавшиеся в нашу жизнь на первом уроке о графиках функций . Рассмотрим будничную ситуацию:

Если приближаться по оси к точке слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси к точке (малиновая стрелка). Математически данный факт фиксируется с помощью левостороннего предела :

Обратите внимание на запись (читается «икс стремится к ка слева»). «Добавка» «минус ноль» символизирует , по сути это и обозначает, что мы подходим к числу с левой стороны.

Аналогично, если приближаться к точке «ка» справа (синяя стрелка), то «игреки» придут к тому же значению , но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел оформится следующим образом:

«Добавка» символизирует , и запись читается так: «икс стремится к ка справа».

Если односторонние пределы конечны и равны (как в нашем случае): , то будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел . Всё просто, общий предел – это наш «обычный» предел функции , равный конечному числу.

Заметьте, что если функция не определена при (выколите чёрную точку на ветке графика), то перечисленные выкладки остаются справедливыми. Как уже неоднократно отмечалось, в частности, в статье о бесконечно малых функциях , выражения означают, что «икс» бесконечно близко приближается к точке , при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ , определена ли сама функция в данной точке или нет. Хороший пример встретится в следующем параграфе, когда анализу подвергнется функция .

Определение : функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: .

Определение детализируется в следующих условиях:

1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .

2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: .

3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: .

Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .

Непрерывность функции на интервале формулируется остроумно и очень просто: функция непрерывна на интервале , если она непрерывна в каждой точке данного интервала.

В частности, многие функции непрерывны на бесконечном интервале , то есть на множестве действительных чисел . Это линейная функция, многочлены, экспонента, синус, косинус и др. И вообще, любая элементарная функция непрерывна на своей области определения , так, например, логарифмическая функция непрерывна на интервале . Надеюсь, к данному моменту вы достаточно хорошо представляете, как выглядят графики основных функций. Более подробную информацию об их непрерывности можно почерпнуть у доброго человека по фамилии Фихтенгольц.

С непрерывностью функции на отрезке и полуинтервалах тоже всё несложно, но об этом уместнее рассказать на уроке о нахождении минимального и максимального значений функции на отрезке , а пока голову забивать не будем.

Классификация точек разрыва

Увлекательная жизнь функций богата всякими особенными точками, и точки разрыва лишь одна из страничек их биографии.

Примечание : на всякий случай остановлюсь на элементарном моменте: точка разрыва – это всегда отдельно взятая точка – не бывает «несколько точек разрыва подряд», то есть, нет такого понятия, как «интервал разрывов».

Данные точки в свою очередь подразделяются на две большие группы: разрывы первого рода и разрывы второго рода . У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, которые мы рассмотрим прямо сейчас:

Точка разрыва первого рода

Если в точке нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны , то она называется точкой разрыва первого рода .

Начнём с самого оптимистичного случая. По первоначальной задумке урока я хотел рассказать теорию «в общем виде», но чтобы продемонстрировать реальность материала, остановился на варианте с конкретными действующими лицами.

Уныло, как фото молодожёнов на фоне Вечного огня, но нижеследующий кадр общепринят. Изобразим на чертеже график функции :


Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки . И в самом деле, знаменатель же не может быть равен нулю. Однако в соответствии со смыслом предела – мы можем бесконечно близко приближаться к «нулю» и слева и справа, то есть, односторонние пределы существуют и, очевидно, совпадают:
(Условие №2 непрерывности выполнено).

Но функция не определена в точке , следовательно, нарушено Условие №1 непрерывности, и функция терпит разрыв в данной точке.

Разрыв такого вида (с существующим общим пределом ) называют устранимым разрывом . Почему устранимым? Потому что функцию можно доопределить в точке разрыва:

Странно выглядит? Возможно. Но такая запись функции ничему не противоречит! Теперь разрыв устранён и все счастливы:


Выполним формальную проверку:

2) – общий предел существует;
3)

Таким образом, все три условия выполнены, и функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Впрочем, ненавистники матана могут доопределить функцию нехорошим способом, например :


Любопытно, что здесь выполнены первые два условия непрерывности:
1) – функция определена в данной точке;
2) – общий предел существует.

Но третий рубеж не пройден: , то есть предел функции в точке не равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, в точке функция терпит разрыв.

Второй, более грустный случай носит название разрыва первого рода со скачком . А грусть навевают односторонние пределы, которые конечны и различны . Пример изображён на втором чертеже урока. Такой разрыв возникает, как правило, в кусочно-заданных функциях , о которых уже упоминалось в статье о преобразованиях графиков .

Рассмотрим кусочную функцию и выполним её чертёж. Как построить график? Очень просто. На полуинтервале чертим фрагмент параболы (зеленый цвет), на интервале – отрезок прямой (красный цвет) и на полуинтервале – прямую (синий цвет).

При этом в силу неравенства значение определено для квадратичной функции (зелёная точка), и в силу неравенства , значение определено для линейной функции (синяя точка):

В самом-самом тяжёлом случае следует прибегнуть к поточечному построению каждого куска графика (см. первый урок о графиках функций ).

Сейчас нас будет интересовать только точка . Исследуем её на непрерывность:

2) Вычислим односторонние пределы.

Слева у нас красный отрезок прямой, поэтому левосторонний предел:

Справа – синяя прямая, и правосторонний предел:

В результате получены конечные числа , причем они не равны . Поскольку односторонние пределы конечны и различны : , то наша функция терпит разрыв первого рода со скачком .

Логично, что разрыв не устраним – функцию действительно не доопределить и «не склеить», как в предыдущем примере.

Точки разрыва второго рода

Обычно к данной категории хитро относят все остальные случаи разрыва. Всё перечислять не буду, поскольку на практике в 99%-ти процентах задач вам встретится бесконечный разрыв – когда левосторонний или правосторонний, а чаще, оба предела бесконечны.

И, конечно же, самая напрашивающаяся картинка – гипербола в точке ноль. Здесь оба односторонних предела бесконечны: , следовательно, функция терпит разрыв второго рода в точке .

Я стараюсь наполнять свои статьи максимально разнообразным содержанием, поэтому давайте посмотрим на график функции , который ещё не встречался:

по стандартной схеме:

1) Функция не определена в данной точке, поскольку знаменатель обращается в ноль.

Конечно, можно сразу сделать вывод о том, что функция терпит разрыв в точке , но хорошо бы классифицировать характер разрыва, что часто требуется по условию. Для этого:

Напоминаю, что под записью понимается бесконечно малое отрицательное число , а под записью – бесконечно малое положительное число .

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке . Ось ординат является вертикальной асимптотой для графика.

Не редка ситуация, когда оба односторонних предела существуют, но бесконечен только один из них, например:

Это график функции .

Исследуем на непрерывность точку :

1) Функция не определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

О методике вычисления таких односторонних пределов поговорим в двух последних примерах лекции, хотя многие читатели всё уже увидели и догадались.

Левосторонний предел конечен и равен нулю (в саму точку мы «не заходим»), но правосторонний предел бесконечен и оранжевая ветка графика бесконечно близко приближается к своей вертикальной асимптоте , заданной уравнением (чёрный пунктир).

Таким образом, функция терпит разрыв второго рода в точке .

Как и для разрыва 1-го рода, в самой точке разрыва функция может быть определена. Например, для кусочной функции смело ставим чёрную жирную точку в начале координат. Справа же – ветка гиперболы, и правосторонний предел бесконечен. Думаю, почти все представили, как выглядит этот график.

То, чего все с нетерпением ждали:

Как исследовать функцию на непрерывность?

Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:

Пример 1

Исследовать функцию

Решение :

1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.

2) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

Выполним чертёж:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.

Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.

Разделаемся с любимыми модулями:

Пример 2

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение : почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков . Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» – некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:

Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:

Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения : перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.

Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа – кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :

Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.

Исследуем функцию на непрерывность аналитически:

1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.

2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Ещё раз заметьте, что при нахождении пределов не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.

Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно – из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).

Пример 3

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.

Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:

Пример 4

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции .

Решение : очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):


Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:

I) Исследуем на непрерывность точку

1)

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

– односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 5

Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .

Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.

Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой – обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами – будет несколько интересных и важных фишек:

Пример 6

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.

Решение : и снова сразу выполним чертёж на черновике:

Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .

Из чертежа всё понятно – функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4 подобных примеров:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.

На всякий пожарный напомню тривиальный факт: предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

И здесь – предел единицы равен самой единице.

– общий предел существует.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.

Ответ : функция непрерывна в точках .

Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).

Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:

Пример 7

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.

Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)

Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:

Пример 8

Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.

Решение : нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода .

Говорят, что функция f (x ) имеет точку разрыва первого рода при x = a , если в это точке

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва .

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва . Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции .

Функция f (x ) имеет точку разрыва второго рода при x = a , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность.

Решение.

Данная функция не определена в точках x = − 1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ± 1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.

Поскольку левосторонний предел при x = − 1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

Пример 2

Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0.

Решение.

Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всехx , то искомая функция также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0.
Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию

которая будет непрерывной при любом действительном x .

Пример 3

Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение.

Данная функция существует при всех значениях x , однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.

Вычислим односторонние пределеы при x = 0.

Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен

При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

Пример 4

Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение.

Данная элементарная функция определена для всех x , исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.

Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).

Рис.2		Рис.3

Пример 5

Найти точки разрыва функции , если таковые существуют.

Решение.

Функция определена и непрерывна при всех x , за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.

Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие - .

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке , то образуется некоторая окрестность точки .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения и , что , причем .

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция - непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где .

Т.е. если , то .

Определение. Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что верно неравенство .

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть. в точке функция непрерывна в точке

точка разрыва 1 - го рода

4.1. Основные теоретические сведения

Определение. Функция у = f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки х 0 и если

то есть бесконечно малому приращению аргумента в окрестности точки х 0 соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция у= f (x ) непрерывна в точке х 0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при стремлении независимой переменной х к х 0 существует и равен значению функции при х=х 0 , то есть

Определение. Пусть х → х 0 , оставаясь все время слева от х 0 . Если при этом условии f (x ) стремится к пределу, то он называется левым пределом функции f (x ) в точке х 0 , то есть

Аналогично определяется и правый предел

Определение. Функция непрерывна в точке х 0 если:

функция определена в точке х 0 ;

существуют левый и правый пределы функции f (x ) при х → х 0 ;

все три числа (х 0 ), f (x 0 –0), f (x 0 +0) совпадают, то есть

Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Теорема . Если две функции f (x ) и g (x ) определены в одном и том же

интервале и обе непрерывны в точке х 0 , то в той же точке будут непрерывны и функции

Теорема. Сложная функция, состоящая из конечного числа непрерывных функций, является непрерывной.

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Определение. Если в какой-либо точке х 0 функция не является непрерывной, то точка х 0 называется точкой разрыва функции, а сама функция – разрывной в этой точке.

Определение. Если в точке х 0 существует конечный lim f (x ) = А

(левосторонний и правосторонний пределы существуют, конечны и равны между собой), но он не совпадает со значением функции в точке, или же функция в точке не определена, то точка х 0 называется точкой устранимого разрыва. Принятое изображение точки устранимого разрыва представлено на рис. 1.

Определение. Точкой разрыва первого рода или точкой конечного разрыва называется такая точка х 0 , в которой функция имеет левый и правый конечные пределы, но они не равны между собой.

На рис. 2 приведено графическое представление разрыва функции первого рода в точке х 0

Определение. Если хотя бы один из пределов f (x 0 – 0) или f (x 0 + 0) не существует или бесконечен, то точка х 0 называется точкой разрыва, второго рода.

Графические представления разрывов функций второго рода в точке х 0 приведены на рис. 3 (а, б, в).

Приведенные выше определения непрерывности функции f (x ) в точке х 0

представлены на рис. 4, где отмечено, что основной посылкой при определении непрерывности функции (необходимым условием) в точке х 0 является то, что f (x ) определена в точке и ее окрестности.

Пример Исследовать на непрерывность, определить характер точек разрыва,

изобразить в окрестности точек разрыва функцию

Это рациональная функция Она определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х = 1, так как при х = 1 знаменатель обращается, в нуль. В точке х = 1 функция терпит разрыв. Вычислим предел этой функции при

х → 1, имеем

Конечный предел функции при х → 1 существует, а функция в точке

х = 1 не определена; значит точка х = 1 является точкой устранимого разрыва.

Если доопределить функцию, то есть положить f (1) = 5, то функция

будет непрерывной.

х = 1 изображено на рис. 4.

Замечание. Данная функция

неопределенная при х = 1, совпадает с непрерывной функцией

во всех точках кроме х =1

Исследовать на непрерывность функцию и определить характер ее точек разрыва

Область определения функции – вся числовая ось. На интервалах(–, 0), (0,+) функция непрерывна. Разрыв возможен только в точке х = 0, в которой изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции:

Левый и правый пределы хотя и конечны, но не равны между собой. Поэтому в точке х = 0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен

Поведение функции в окрестности точки х = 0 изображено на рис. 5.

Рис. 5

Пример Исследовать функцию f (x ) на непрерывность, определить характер ее точек разрыва, изобразить ее поведение в окрестности точек разрыва.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек х , = –2 и х 2 = 2, причем

не существует.

Вычисляем односторонние пределы в точке х , = –2.

Итак, в точке х = – 2 функция терпит разрыв второго рода. Исследуем характер разрыва функции в точке х 2 = 2. Имеем

В точке х 2 = 2 функция также терпит разрыв второго рода.

Поведение функции в окрестности точек х х = – 2 и х 2 = 2 изображено на рис. 6.

Исследовать функцию f (x ) = e x + i на непрерывность, определить характер точек разрыва, изобразить поведение функции в окрестности точек разрыва.

Функция неопределена прих = –3, поэтому функция
непрерывна при всех
кромех = –3. Определим характер разрыва функции. Имеем

то есть один из пределов равен бесконечности, а значит функция терпит разрыв

второго рода.

Поведение функции f (x ) = e x +3 в окрестности точки разрыва х = –3 изображено на рис. 7

4.2. Упражнения для самостоятельной работы студентов

1. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности

2. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности точек разрыва

Нечётные функции

Нечётная степень где - произвольное целое число.

· Синус .

· Тангенс .

Чётные функции

Чётная степень где - произвольное целое число.

· Косинус .

· Абсолютная величина (модуль) .

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

· Говоря более формально, функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

· Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство , где - любое целое число.

· Все тригонометрические функции являются периодическими.

3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.

Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).

Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.

4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.

Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.

Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

ВЫШЕ оси абсцисс.

НИЖЕ оси .

5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).

Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :

· если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;

· если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .

Аси́мпто́та - прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.

Вертикальная

Вертикальная асимптота - прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела

Наклонная

Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .

6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x ) 0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x ) 0, функция f (x )убывает.

Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)

1.Найти производную функции: f (x ). 2.Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0 x 1, x 2 ,... 3.Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1 a ;b , а x 2 a ;b . 4.Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка:f (x 1), f (x 2),..., f (x a ),f (x b ), 5.Выбор наибольшего и наименьшего значений функции из найденных. Замечание. Если на отрезке [a ; b ] имеются точки разрыва, то необходимо в них вычислить односторонние пределы, а затем их значения учесть в выборе наибольшего и наименьшего значений функции.

7) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости . Это делается с помощью исследования знака второй производной f (x ). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f (x ) , мы решаем неравенство f (x ) 0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f (x ) 0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x ) называется непре-

рывной в точке x 0 , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x 0 ;

2) существует предел lim f (x ) ;

→ x 0

3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т.е. limf (x )= f (x 0 ) .
		x→ x0
Последнее условие равносильно условию lim		y = 0 , гдеx = x − x 0 – при-
	x→ 0
ращение аргумента, y = f (x 0 +	x )− f (x 0 ) – приращение функции, соответст-
вующее приращению аргумента	x , т.е. функция	f (x ) непрерывна в точкеx 0

тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Односторонняя непрерывность. Функцияy = f (x ) называется непрерыв-

ной слева в точкеx 0 , если она определена на некотором полуинтервале(a ;x 0 ]

и lim f (x )= f (x 0 ) .

x→ x0 − 0

Функция y = f (x ) называется непрерывнойсправа в точкеx 0 , если она оп-

ределена на некотором полуинтервале [ x 0 ;a ) и limf (x )= f (x 0 ) .

x→ x0 + 0

Функция y = f (x )		непрерывна в точке x 0			тогда и только тогда, когда она
непрерывна
lim f (x )= limf (x )= limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0	x→ x0 − 0	x→ x0

Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x ) называется

непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точкеx этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функцияy = f (x ) называетсяне-

прерывной на отрезке [ a; b] , если она

1) непрерывна в каждой точке интервала (a ;b ) ;

2) непрерывна справа в точке a ;

3) непрерывна слева в точке b .

Точки разрыва функции. Точкаx 0 , принадлежащая области определения функцииy = f (x ) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется

точкой разрыва данной функции , еслиf (x ) не является непрерывной в этой точке.

Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:

1) Если существуют конечные пределы lim f (x )= f (x 0 − 0) и

x→ x0 − 0

	f (x )= f (x 0 + 0) , причем не все три числаf (x 0 − 0) ,f (x 0 + 0) ,		f (x 0 ) равны
x→ x0 + 0
между собой, то x 0		называется точкой разрыва I рода.
	В частности, если левый и правый пределы функции в точке x 0		равны меж-
	собой, но	не равны значению функции в этой точке:

f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , то x 0 называется точкой устранимого разрыва.

В этом случае, положив f (x 0 )= A , можно видоизменить функцию в точкеx 0

так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности ). Разностьf (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) называетсяскачком функции в точке x 0 .

Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.

2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределовf (x 0 − 0) иf (x 0 + 0) .

Свойства функций, непрерывных в точке.

		f (x)	и g (x ) непрерывны в точкеx 0 , то функции
f (x )± g (x ) ,	f (x )g (x ) и	f (x)	(где g (x )≠ 0) также непрерывны в точкеx .
		g(x)

2) Если функция u (x ) непрерывна в точкеx 0 , а функцияf (u ) непрерывна

в точке u 0 = u (x 0 ) , то сложная функцияf (u (x )) непрерывна в точкеx 0 .

3) Все основные элементарные функции (c , x a ,a x , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) непрерывны в каж-

дой точке своих областей определения.

Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f(x) определе-

на и непрерывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда для любого числаC , заключенного

между числами f (a ) иf (b ) , (f (a )< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .

2) (теорема Больцано – Коши

рывна на отрезке [ a ;b ] и принимает на его концах значения различных знаков.

Тогда найдется хотя бы одна точка x 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= 0 .

3) (1-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-

рывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.

4) (2-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-

рывна на отрезке		[ a ;b ] . Тогда эта функция достигает на отрезке[ a ;b ]
наибольшего		наименьшего	значений, т.е.	существуют
x1 , x2 [ a; b] ,		для любой	точки x [ a ;b ]	справедливы	неравенства

f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .

Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функцияy = 3x 2 + 2x − 5 непрерывна в произвольной точкеx 0 числовой оси.

Решение: 1 способ: Пусть x 0 – произвольная точка числовой оси. Вы-

числим сначала предел функции f (x ) приx → x 0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:

lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2							− 5.
x→ x0	x→ x0	x→ x0	x→ x0
Затем вычисляем значение функции в точке x :f (x )= 3x 2							− 5 .
Сравнивая полученные результаты, видим,				lim f (x )= f (x 0 ) , что согласно
				x→ x0

определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x 0 .

2 способ: Пусть		x – приращение аргумента в точкеx 0 . Найдем соот-
ветствующее	приращение			y = f(x0 + x) − f(x0 ) =
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5)
6 x x+ (x) 2	2x = (6x + 2)x + (x )2 .
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу-
		стремится

	y = lim (6x + 2)		x + (x )2 = (6x + 2) lim		x + (limx )2 = 0 .
x→ 0	x→ 0			x→ 0	x→ 0

Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность

x→ 0

функции для любого x 0 R .

Пример 5.18. Найти точки разрыва функцииf (x ) и определить их род. В

случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:

1) f (x ) = 1− x 2 приx < 3;

5x приx ≥ 3

2) f (x )= x 2 + 4 x + 3 ;

x + 1

	f (x) =
		x4 (x− 2)
	f (x )= arctg
			(x − 5)

Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-

вая ось (−∞ ;+∞ ) . На интервалах(−∞ ;3) ,(3;+∞ ) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точкеx = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:

f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;

x →3 −0

f (3+ 0)= lim 5x = 15.

x →3 +0

Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3
разрыва I			f (x ) . Скачок функции в
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 .
		f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , поэтому в точке		x = 3

f (x ) непрерывна справа.

2) Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = − 1, в которой она не определена. Преобразуем выражение дляf (x ) , разложив числитель

дроби на множители:		f (x) =			4 x +3			(x + 1)(x + 3)	X + 3 приx ≠ − 1.
					x + 1			x + 1
Найдем односторонние пределы функции в точке x = − 1:
	f (x )= lim	f (x )= lim(x + 3)= 2 .
x →−1 −0	x →−1 +0		x →−1

Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = − 1 – точка устранимо-

прямую y = x + 3 с «выколотой» точкойM (− 1;2) . Чтобы функция стала непре-

рывной, следует положить f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .

Таким образом, доопределив f (x ) по непрерывности в точкеx = − 1, мы получили функциюf * (x )= x + 3 с областью определения(−∞ ;+∞ ) .

3) Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек

x = 0 ,x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.

Рассмотрим точку x = 0:

Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-

	ко отрицательные значения, то f (− 0)= lim			= −∞ = f (+0)	Т.е. точка
			(x − 2)
	x →−0
	x = 0 является точкой разрыва II рода функции		f (x ) .

Рассмотрим теперь точку x = 2:

Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-

	ваемой точки и положительные – справа, поэтому				f (2− 0)=			= −∞,
							x4 (x− 2)
						x →2 −0
	f (2+ 0)= lim			= +∞ . Как и в предыдущем случае, в точкеx = 2
			(x − 2)
	x →2 +0

ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.

x = 5 .

f (5− 0)= lim arctg

π ,f (5+ 0)= lim arctg

x = 5

(x − 5)

(x − 5)

x →5 −0

x →5 +0

ка разрыва

f (5+ 0)− f (5− 0)=

π − (−

π )= π (см. рис. 5.2).

Задачи для самостоятельного решения

5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функцииf (x ) в

каждой точке x 0 R :

а) f(x) = c= const;		б) f (x )= x ;
в) f (x )= x 3 ;		г) f (x )= 5x 2 − 4x + 1;
д) f (x )= sinx .
5.175. Доказать, что функция	f (x) = x 2	1 приx ≥ 0,	является непрерывной на
		1 при x < 0
всей числовой оси. Построить график этой функции.
5.176. Доказать, что функция	f (x) = x 2	1 приx ≥ 0,	не является непрерывной
		0 при x < 0

в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функцииf (x ) .

рывной в точке x =

Но непрерывна слева в этой точке. Построить график

функции f (x ) .

5.178. Построить графики функций

а) y =

x + 1

б) y= x+

x + 1

x + 1

x + 1

Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?

5.179. Указать точку разрыва функции

sin x		При x ≠ 0
		при x = 0

Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?