Paskutinį kartą išmokome sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausia tų veiksmų dalis buvo suvesti trupmenas į bendrą vardiklį.

Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar paprastesnės už sudėjimą ir atimtį. Pirma, panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskirtos sveikojo skaičiaus dalies.

Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.

Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios trupmenos.

Pavadinimas:

Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas redukuojasi iki daugybos. Norėdami „apversti“ trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl per visą pamoką daugiausia svarstysime daugybą.

Dėl dauginimo gali atsirasti redukuojama trupmena (ir dažnai atsiranda) - ją, žinoma, reikia sumažinti. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, reikia paryškinti visą dalį. Tačiau dauginant tikrai nepavyks, tai sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių veiksnių ir mažiausiai bendrų kartotinių.

Pagal apibrėžimą mes turime:

Trupmenų dauginimas iš sveikųjų dalių ir neigiamų trupmenų

Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.

Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:

1. Plius prie minuso duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Kūriniui juos galima apibendrinti, kad iš karto būtų „sudeginti“ keli trūkumai:

1. Neiginius perbraukiame poromis, kol jie visiškai išnyks. Kraštutiniais atvejais gali išlikti vienas minusas – tas, kuriam nebuvo poros;
2. Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nenubrauktas, nes jam nebuvo poros, išimame jį už daugybos ribų. Rezultatas yra neigiama trupmena.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada iš daugybos išimame minusus. Padauginame tai, kas liko normalios taisyklės. Mes gauname:

Dar kartą priminsiu, kad prieš trupmeną su paryškintu atsiranda minuso ženklas visa dalis, konkrečiai nurodo visą trupmeną, o ne tik visą jos dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).

Taip pat atkreipkite dėmesį neigiamus skaičius: Dauginant jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.

Dalių mažinimas skrydžio metu

Daugyba yra labai daug darbo reikalaujanti operacija. Skaičiai čia pasirodo gana dideli, o norėdami supaprastinti problemą, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pagal apibrėžimą mes turime:

Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.

Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vietoj jų lieka vienetai, kurių paprastai nereikia rašyti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.

Tačiau niekada nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:

Jūs negalite to padaryti!

Klaida atsiranda dėl to, kad pridedant trupmenos skaitiklį pasirodo suma, o ne skaičių sandauga. Vadinasi, neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes ši savybė konkrečiai susijusi su skaičių daugyba.

Kitų priežasčių mažinti trupmenas tiesiog nėra teisingas sprendimas Ankstesnė užduotis atrodo taip:

Teisingas sprendimas:

Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.

§ 87. Trupmenų sudėjimas.

Trupmenų pridėjimas turi daug panašumų su sveikųjų skaičių pridėjimu. Trupmenų sudėjimas yra veiksmas, susidedantis iš to, kad keli nurodyti skaičiai (dėmenys) sujungiami į vieną skaičių (sumą), kuriame yra visi terminų vienetų vienetai ir trupmenos.

Mes nagrinėsime tris atvejus iš eilės:

1. Trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.
3. Papildymas mišrūs skaičiai.

1. Trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimas.

Apsvarstykite pavyzdį: 1/5 + 2/5.

Paimkime atkarpą AB (17 pav.), paimkime kaip vieną ir padalinkime į 5 lygias dalis, tada šio atkarpos dalis AC bus lygi 1/5 atkarpos AB, o dalis to paties atkarpos CD lygi 2/5 AB.

Iš brėžinio aišku, kad jei imsime atkarpą AD, ji bus lygi 3/5 AB; bet segmentas AD yra būtent atkarpų AC ir CD suma. Taigi galime parašyti:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Atsižvelgdami į šiuos terminus ir gautą sumą, matome, kad sumos skaitiklis gautas sudėjus terminų skaitiklius, o vardiklis liko nepakitęs.

Iš to gauname tokią taisyklę: Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti tą patį vardiklį.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.

Sudėkime trupmenas: 3 / 4 + 3 / 8 Pirmiausia jas reikia sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio:

Neįmanoma įrašyti tarpinės nuorodos 6/8 + 3/8; aiškumo dėlei tai parašėme čia.

Taigi, norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, pridėti jų skaitiklius ir pasirašyti bendras vardiklis.

Panagrinėkime pavyzdį (virš atitinkamų trupmenų parašysime papildomus veiksnius):

3. Mišrių skaičių pridėjimas.

Sudėkime skaičius: 2 3/8 + 3 5/6.

Pirmiausia suveskime savo skaičių trupmenines dalis į bendrą vardiklį ir dar kartą perrašykime:

Dabar iš eilės pridedame sveikąsias ir trupmenines dalis:

§ 88. Trupmenų atėmimas.

Trupmenų atėmimas apibrėžiamas taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių atėmimas. Tai veiksmas, kurio pagalba, atsižvelgiant į dviejų ir vieno iš jų sumą, randamas kitas terminas. Panagrinėkime tris atvejus iš eilės:

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

13 / 15 - 4 / 15

Paimkime atkarpą AB (18 pav.), imkime kaip vienetą ir padalinkime į 15 lygių dalių; tada šio segmento dalis AC sudarys 1/15 AB, o to paties segmento dalis AD atitiks 13/15 AB. Atidėkime kitą atkarpą ED, lygią 4/15 AB.

Turime atimti trupmeną 4/15 iš 13/15. Brėžinyje tai reiškia, kad atkarpa ED turi būti atimta iš segmento AD. Dėl to išliks segmentas AE, kuris sudaro 9/15 segmento AB. Taigi galime parašyti:

Mūsų pateiktame pavyzdyje matyti, kad skirtumo skaitiklis gautas atėmus skaitiklius, tačiau vardiklis liko toks pat.

Todėl, norėdami atimti trupmenas su panašiais vardikliais, turite atimti mažmeninės dalies skaitiklį iš mažosios dalies skaitiklio ir palikti tą patį vardiklį.

2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.

Pavyzdys. 3/4 - 5/8

Pirmiausia sumažinkime šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio:

Aiškumo dėlei čia parašyta tarpinė nuoroda 6 / 8 - 5 / 8, tačiau nuo šiol ją galima praleisti.

Taigi, norėdami atimti trupmeną iš trupmenos, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, tada atimti minuendo skaitiklį iš mažumos skaitiklio ir pasirašyti bendrą vardiklį pagal jų skirtumą.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

3. Mišriųjų skaičių atėmimas.

Pavyzdys. 10 3/4 - 7 2/3.

Sumažinkime trupmenines minuend ir atimties dalis iki mažiausio bendro vardiklio:

Iš visumos atėmėme visumą, o iš trupmenos – trupmeną. Tačiau yra atvejų, kai trupmeninė dalis to, kas atimama, yra didesnė nei trupmeninė to, kas mažinama. Tokiais atvejais reikia paimti vieną vienetą iš visos minuend dalies, padalyti į tas dalis, kuriose išreikšta trupmeninė dalis, ir pridėti prie trupmeninės minutės dalies. Tada atimimas bus atliktas taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje:

§ 89. Trupmenų daugyba.

Tirdami trupmenų dauginimą, apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.
2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas.
3. Sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos.
5. Mišrių skaičių daugyba.
6. Susidomėjimo samprata.
7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas. Apsvarstykime juos paeiliui.

1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.

Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš sveikojo skaičiaus. Padauginti trupmeną (daugiklį) iš sveikojo skaičiaus (koeficiento) reiškia sukurti identiškų narių sumą, kurioje kiekvienas narys yra lygus dauginimui, o narių skaičius lygus daugikliui.

Tai reiškia, kad jei jums reikia padauginti 1/9 iš 7, tai galima padaryti taip:

Rezultatą gavome nesunkiai, nes veiksmas buvo sumažintas iki trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Vadinasi,

Atsižvelgus į šį veiksmą, matyti, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus prilygsta šios trupmenos padidinimui tiek kartų, kiek vienetų yra sveikame skaičiuje. Ir kadangi trupmenos didinimas pasiekiamas arba padidinus jos skaitiklį

arba sumažinant jo vardiklį , tada skaitiklį galime padauginti iš sveikojo skaičiaus arba padalyti iš jo vardiklį, jei toks padalijimas yra įmanomas.

Iš čia gauname taisyklę:

Norėdami padauginti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, padauginkite skaitiklį iš sveikojo skaičiaus ir palikite vardiklį tokį pat arba, jei įmanoma, padalykite vardiklį iš to skaičiaus, palikdami skaitiklį nepakeistą.

Dauginant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas. Yra daug problemų, dėl kurių turite rasti arba apskaičiuoti tam tikro skaičiaus dalį. Skirtumas tarp šių problemų nuo kitų yra tas, kad jose nurodomas kai kurių objektų skaičius arba matavimo vienetai ir reikia rasti šio skaičiaus dalį, kuri čia taip pat nurodoma tam tikra trupmena. Kad būtų lengviau suprasti, pirmiausia pateiksime tokių problemų pavyzdžių, o tada pristatysime jų sprendimo būdą.

1 užduotis. Aš turėjau 60 rublių; 1/3 šių pinigų išleidau knygoms pirkti. Kiek kainavo knygos?

2 užduotis. Traukinys turi nuvažiuoti atstumą tarp miestų A ir B, lygų 300 km. Jis jau įveikė 2/3 šio atstumo. Kiek tai kilometrų?

3 užduotis. Kaime yra 400 namų, 3/4 jų mūriniai, likusieji mediniai. Kiek iš viso yra mūrinių namų?

Tai yra keletas iš daugelio problemų, susijusių su tam tikro skaičiaus dalies suradimu, su kuria susiduriame. Paprastai jie vadinami problemomis, siekiant rasti tam tikro skaičiaus trupmeną.

1 problemos sprendimas. Nuo 60 rub. 1/3 išleidau knygoms; Tai reiškia, kad norėdami sužinoti knygų kainą, skaičių 60 turite padalyti iš 3:

2 problemos sprendimas. Problemos esmė ta, kad reikia rasti 2/3 iš 300 km. Pirmiausia apskaičiuokime 1/3 iš 300; tai pasiekiama 300 km padalijus iš 3:

300: 3 = 100 (tai yra 1/3 iš 300).

Norėdami rasti du trečdalius iš 300, turite padvigubinti gautą koeficientą, t. y. padauginti iš 2:

100 x 2 = 200 (tai yra 2/3 iš 300).

3 problemos sprendimas.Čia reikia nustatyti mūrinių namų, kurie sudaro 3/4 iš 400, skaičių. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 400,

400: 4 = 100 (tai yra 1/4 iš 400).

Norint apskaičiuoti tris ketvirčius iš 400, gautą koeficientą reikia patrigubinti, ty padauginti iš 3:

100 x 3 = 300 (tai yra 3/4 iš 400).

Remdamiesi šių problemų sprendimu, galime išvesti tokią taisyklę:

Norėdami rasti trupmenos vertę iš nurodyto skaičiaus, turite padalyti šį skaičių iš trupmenos vardiklio ir padauginti gautą koeficientą iš jo skaitiklio.

3. Sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos.

Anksčiau (§ 26) buvo nustatyta, kad sveikųjų skaičių daugyba turėtų būti suprantama kaip identiškų narių sudėjimas (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Šioje pastraipoje (1 punktas) nustatyta, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus reiškia, kad reikia rasti identiškų narių sumą, lygią šiai trupmenai.

Abiem atvejais dauginimas susideda iš identiškų terminų sumos radimo.

Dabar pereiname prie sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos. Čia, pavyzdžiui, susidursime su daugyba: 9 2/3. Akivaizdu, kad ankstesnis daugybos apibrėžimas šiuo atveju negalioja. Tai matyti iš to, kad tokio daugybos negalime pakeisti pridėdami vienodus skaičius.

Dėl to turėsime pateikti naują daugybos apibrėžimą, t.y., kitaip tariant, atsakyti į klausimą, ką reikėtų suprasti dauginant iš trupmenos, kaip suprasti šį veiksmą.

Sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos prasmė yra aiški iš šio apibrėžimo: sveikojo skaičiaus (daugiklio) padauginimas iš trupmenos (daugiklis) reiškia, kad reikia rasti šią daugiklio trupmeną.

Būtent, padauginti 9 iš 2/3 reiškia rasti 2/3 iš devynių vienetų. Ankstesnėje pastraipoje tokios problemos buvo išspręstos; todėl nesunku suprasti, kad baigsime 6.

Tačiau dabar yra įdomus ir svarbus klausimas: kodėl tokie iš pažiūros skirtingi veiksmai kaip sumos radimas lygiais skaičiais o skaičių trupmenų radimas aritmetikoje vadinamas tuo pačiu žodžiu "daugyba"?

Taip atsitinka todėl, kad ankstesnis veiksmas (skaičiaus su terminais kartojimas kelis kartus) ir naujas veiksmas (skaičiaus trupmenos radimas) duoda atsakymus į vienarūšius klausimus. Tai reiškia, kad čia mes vadovaujamės samprotavimais, kad vienarūšiai klausimai ar užduotys išsprendžiami tuo pačiu veiksmu.

Norėdami tai suprasti, apsvarstykite šią problemą: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 4 m tokio audinio?

Ši problema išspręsta padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (4), ty 50 x 4 = 200 (rublių).

Paimkime tą pačią problemą, bet joje audinio kiekis bus išreikštas trupmena: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 3/4 m tokio audinio?“

Šią problemą taip pat reikia išspręsti padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (3/4).

Jame esančius skaičius galite keisti dar kelis kartus, nekeisdami uždavinio reikšmės, pavyzdžiui, paimkite 9/10 m arba 2 3/10 m ir pan.

Kadangi šios problemos yra vienodo turinio ir skiriasi tik skaičiais, jas sprendžiant naudojamus veiksmus vadiname tuo pačiu žodžiu – daugyba.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos?

Paimkime skaičius, su kuriais susidūrėme paskutinėje užduotyje:

Pagal apibrėžimą turime rasti 3/4 iš 50. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 50, o tada 3/4.

1/4 iš 50 yra 50/4;

3/4 skaičiaus 50 yra .

Vadinasi.

Panagrinėkime kitą pavyzdį: 12 5 / 8 =?

1/8 skaičiaus 12 yra 12/8,

5/8 skaičiaus 12 yra .

Vadinasi,

Iš čia gauname taisyklę:

Norėdami padauginti sveiką skaičių iš trupmenos, turite padauginti sveiką skaičių iš trupmenos skaitiklio ir padaryti šį sandaugą skaitikliu, o vardikliu pažymėti šios trupmenos vardiklį.

Parašykime šią taisyklę raidėmis:

Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus dauginimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38

Svarbu atsiminti, kad prieš atlikdami daugybą, turėtumėte atlikti (jei įmanoma) sumažinimai, Pavyzdžiui:

4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos. Trupmenos dauginimas iš trupmenos turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos, t.

Būtent, padauginti 3/4 iš 1/2 (pusės), reiškia rasti pusę 3/4.

Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?

Paimkime pavyzdį: 3/4 padauginta iš 5/7. Tai reiškia, kad reikia rasti 5/7 iš 3/4. Pirmiausia suraskime 1/7 iš 3/4, o tada 5/7

1/7 skaičiaus 3/4 bus išreikšta taip:

5/7 skaičiai 3/4 bus išreikšti taip:

Taigi,

Kitas pavyzdys: 5/8 padauginta iš 4/9.

1/9 iš 5/8 yra ,

4/9 skaičiaus 5/8 yra .

Taigi,

Iš šių pavyzdžių galima padaryti tokią taisyklę:

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį sandaugą - sandaugos vardikliu.

Tai yra taisyklė bendras vaizdas galima parašyti taip:

Dauginant, būtina (jei įmanoma) sumažinti. Pažiūrėkime į pavyzdžius:

5. Mišrių skaičių daugyba. Kadangi mišrūs skaičiai gali būti lengvai pakeisti netinkamomis trupmenomis, ši aplinkybė dažniausiai naudojama dauginant mišrius skaičius. Tai reiškia, kad tais atvejais, kai daugiklis, koeficientas arba abu veiksniai išreiškiami mišriais skaičiais, jie pakeičiami netinkamomis trupmenomis. Padauginkime, pavyzdžiui, mišrius skaičius: 2 1/2 ir 3 1/5. Kiekvieną iš jų paverskime netinkama trupmena ir gautas trupmenas padauginkime pagal trupmenos dauginimo iš trupmenos taisyklę:

Taisyklė. Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos konvertuoti į netinkamas trupmenas, o tada padauginti pagal trupmenų dauginimo iš trupmenų taisyklę.

Pastaba. Jei vienas iš veiksnių yra sveikasis skaičius, tada daugyba gali būti atliekama pagal paskirstymo dėsnį taip:

6. Susidomėjimo samprata. Spręsdami uždavinius ir atlikdami įvairius praktinius skaičiavimus, naudojame visokias trupmenas. Tačiau reikia turėti omenyje, kad daugelis kiekių leidžia jiems skirstyti ne bet kokius, o natūralius. Pavyzdžiui, galite paimti vieną šimtąją (1/100) rublio dalį, tai bus kapeika, dvi šimtosios yra 2 kapeikos, trys šimtosios yra 3 kapeikos. Galite paimti 1/10 rublio, tai bus "10 kapeikų, arba dešimties kapeikų gabalas. Galite paimti ketvirtadalį rublio, t.y 25 kapeikų, pusę rublio, t.y. 50 kapeikų (penkiasdešimt kapeikų). Bet jie praktiškai neima, pavyzdžiui, 2/7 rublio, nes rublis neskirstomas į septintąsias dalis.

Svorio vienetas, ty kilogramas, pirmiausia leidžia padalyti po kablelio, pavyzdžiui, 1/10 kg arba 100 g, o tokios kilogramo dalys kaip 1/6, 1/11, 1/13 nėra dažnos.

Paprastai mūsų (metriniai) matai yra dešimtainiai ir leidžia padalyti po kablelio.

Tačiau reikia pastebėti, kad itin naudinga ir patogu pačiais įvairiausiais atvejais naudoti tą patį (vienodą) kiekių padalijimo būdą. Ilgametė patirtis parodė, kad toks gerai pagrįstas padalijimas yra „šimtasis“ padalijimas. Panagrinėkime keletą pavyzdžių, susijusių su pačiomis įvairiausiomis žmogaus praktikos sritimis.

1. Knygų kaina sumažėjo 12/100 ankstesnės kainos.

Pavyzdys. Ankstesnė knygos kaina buvo 10 rublių. Sumažėjo 1 rubliu. 20 kapeikų

2. Taupomosios kasos indėlininkams per metus išmoka 2/100 santaupoms įneštos sumos.

Pavyzdys. Į kasą įnešama 500 rublių, pajamos iš šios sumos per metus – 10 rublių.

3. Vieną mokyklą baigė 5/100 visų mokinių.

PAVYZDYS Mokykloje mokėsi tik 1200 mokinių, iš kurių 60 baigė.

Šimtoji skaičiaus dalis vadinama procentais.

Žodis „procentas“ yra pasiskolintas iš lotynų kalba o jo šaknis „centas“ reiškia šimtą. Kartu su prielinksniu (pro centum) šis žodis reiškia „už šimtą“. Tokio posakio prasmė išplaukia iš to, kad iš pradžių in senovės Roma palūkanos buvo pinigai, kuriuos skolininkas mokėjo skolintojui „už kiekvieną šimtą“. Žodis „centas“ girdimas tokiais pažįstamais žodžiais: centneris (šimtas kilogramų), centimetras (tarkim, centimetras).

Pavyzdžiui, užuot sakę, kad per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino 1/100 visos savo produkcijos kaip su defektais, pasakysime taip: per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino vieną procentą brokuotų. Užuot sakę: gamykla pagamino 4/100 produkcijos daugiau nei numatytas planas, sakysime: gamykla planą viršijo 4 procentais.

Aukščiau pateikti pavyzdžiai gali būti išreikšti skirtingai:

1. Knygų kaina sumažėjo 12 procentų nuo ankstesnės kainos.

2. Taupomosios kasos indėlininkams moka 2 procentus per metus nuo į santaupų įneštos sumos.

3. Vieną mokyklą baigė 5 procentai visų mokyklos mokinių.

Norint sutrumpinti raidę, vietoj žodžio „procentai“ įprasta rašyti simbolį %.

Tačiau reikia atsiminti, kad skaičiuojant % ženklas paprastai nerašomas, jis gali būti rašomas problemos teiginyje ir galutiniame rezultate. Atliekant skaičiavimus, šiuo simboliu reikia parašyti trupmeną, kurios vardiklis yra 100, o ne sveikasis skaičius.

Turite turėti galimybę pakeisti sveikąjį skaičių nurodyta piktograma trupmena, kurios vardiklis yra 100:

Ir atvirkščiai, reikia priprasti prie sveikojo skaičiaus rašymo su nurodytu simboliu, o ne trupmena, kurios vardiklis yra 100:

7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas.

1 užduotis. Mokykla gavo 200 kub. m malkų, beržinėms malkoms tenka 30 proc. Kiek ten buvo beržinių malkų?

Šios problemos prasmė ta, kad beržinės malkos sudarė tik dalį malkų, kurios buvo pristatytos į mokyklą, ir ši dalis išreiškiama trupmena 30/100. Tai reiškia, kad turime užduotį surasti skaičiaus trupmeną. Norėdami ją išspręsti, turime 200 padauginti iš 30/100 (skaičiaus trupmenos radimo problemos išsprendžiamos skaičių padauginus iš trupmenos.).

Tai reiškia, kad 30% iš 200 yra lygus 60.

Dalis 30/100, su kuria susiduriama šioje problemoje, gali būti sumažinta 10. Šį sumažinimą būtų galima padaryti nuo pat pradžių; problemos sprendimas nebūtų pasikeitęs.

2 užduotis. Stovykloje buvo 300 vaikų įvairaus amžiaus. 11 metų vaikai sudarė 21%, 12 metų vaikai – 61%, galiausiai 13 metų vaikai – 18%. Kiek kiekvieno amžiaus vaikų buvo stovykloje?

Šioje užduotyje reikia atlikti tris skaičiavimus, t. y. paeiliui rasti 11 metų, tada 12 metų ir galiausiai 13 metų vaikų skaičių.

Tai reiškia, kad čia jums reikės tris kartus rasti skaičiaus trupmeną. Padarykime taip:

1) Kiek buvo 11 metų vaikų?

2) Kiek ten buvo 12 metų vaikų?

3) Kiek buvo 13 metų vaikų?

Išsprendus uždavinį, pravartu sudėti rastus skaičius; jų suma turėtų būti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Taip pat reikėtų pažymėti, kad problemos teiginyje nurodytų procentų suma yra 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Tai rodo, kad bendras skaičius vaikų stovykloje buvo paimti kaip 100 proc.

3 ir d a h a 3. Darbininkas gaudavo 1200 rublių per mėnesį. Iš jų 65% jis išleido maistui, 6% butams ir šildymui, 4% dujoms, elektrai ir radijui, 10% kultūros reikmėms ir 15% taupė. Kiek pinigų buvo išleista užduotyje nurodytiems poreikiams?

Norėdami išspręsti šią problemą, turite rasti 1200 trupmeną. Padarykime tai.

1) Kiek pinigų išleido maistui? Problema sako, kad šios išlaidos sudaro 65% viso uždarbio, ty 65/100 iš skaičiaus 1200 Paskaičiuokime:

2) Kiek sumokėjote pinigų už butą su šildymu? Motyvuodami panašiai kaip ir ankstesniame, gauname tokį skaičiavimą:

3) Kiek pinigų sumokėjai už dujas, elektrą ir radiją?

4) Kiek pinigų buvo išleista kultūros reikmėms?

5) Kiek pinigų darbuotojas sutaupė?

Norėdami patikrinti, pravartu susumuoti šiuose 5 klausimuose rastus skaičius. Suma turėtų būti 1200 rublių. Visas uždarbis imamas kaip 100%, o tai lengva patikrinti sudėjus problemos teiginyje pateiktus procentus.

Išsprendėme tris problemas. Nepaisant to, kad šios problemos buvo susijusios su skirtingais dalykais (malkų pristatymas mokyklai, įvairaus amžiaus vaikų skaičius, darbuotojų išlaidos), jos buvo sprendžiamos vienodai. Taip atsitiko todėl, kad visuose uždaviniuose reikėjo rasti kelis procentus pateiktų skaičių.

§ 90. Trupmenų skirstymas.

Tirdami trupmenų padalijimą, apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.
2. Trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus
3. Sveikojo skaičiaus dalijimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
6. Skaičiaus iš duotosios trupmenos radimas.
7. Skaičiaus radimas procentais.

Apsvarstykime juos paeiliui.

1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.

Kaip buvo nurodyta sveikųjų skaičių skyriuje, padalijimas yra veiksmas, kurį sudaro tai, kad, atsižvelgiant į dviejų veiksnių sandaugą (dividendą) ir vieną iš šių veiksnių (daliklį), randamas kitas veiksnys.

Skiltyje apie sveikuosius skaičius pažvelgėme į sveikojo skaičiaus padalijimą iš sveikojo skaičiaus. Ten susidūrėme su dviem padalijimo atvejais: padalijimas be likučio arba „visiškai“ (150: 10 = 15) ir padalijimas su liekana (100: 9 = 11 ir 1 likutis). Todėl galime sakyti, kad sveikųjų skaičių srityje tikslus padalijimas ne visada įmanomas, nes dividendas ne visada yra daliklio sandauga iš sveikojo skaičiaus. Įvedę daugybą iš trupmenos, galime laikyti galimu bet kokį sveikųjų skaičių dalijimo atvejį (neįtraukiama tik dalybos iš nulio).

Pavyzdžiui, 7 dalijimas iš 12 reiškia, kad reikia rasti skaičių, kurio sandauga iš 12 būtų lygi 7. Toks skaičius yra trupmena 7 / 12, nes 7 / 12 12 = 7. Kitas pavyzdys: 14: 25 = 14 / 25, nes 14 / 25 25 = 14.

Taigi, norint padalyti sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus, reikia sukurti trupmeną, kurios skaitiklis lygus dividendui, o vardiklis – dalikliui.

2. Trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus.

Padalinkite trupmeną 6/7 iš 3. Pagal aukščiau pateiktą padalijimo apibrėžimą, čia gauname sandaugą (6/7) ir vieną iš faktorių (3); reikia rasti antrą koeficientą, kurį padauginus iš 3 gautas sandaugas gautų 6/7. Akivaizdu, kad jis turėtų būti tris kartus mažesnis nei šis produktas. Tai reiškia, kad mūsų užduotis buvo sumažinti trupmeną 6/7 3 kartus.

Jau žinome, kad trupmeną galima sumažinti sumažinant jos skaitiklį arba padidinant vardiklį. Todėl galite rašyti:

IN šiuo atveju 6 skaitiklis dalijasi iš 3, todėl skaitiklį reikia padalyti per pusę.

Paimkime kitą pavyzdį: 5/8 padalintas iš 2. Čia skaitiklis 5 nesidalija iš 2, vadinasi, vardiklį reikės padauginti iš šio skaičiaus:

Remiantis tuo, galima sudaryti taisyklę: Norėdami padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, trupmenos skaitiklį turite padalyti iš sveikojo skaičiaus.(jei įmanoma), paliekant tą patį vardiklį, arba padauginkite trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus, palikdami tą patį skaitiklį.

3. Sveikojo skaičiaus dalijimas iš trupmenos.

Tegul reikia padalinti 5 iš 1/2, t.y. rasti skaičių, kurį padauginus iš 1/2 gautų sandaugą 5. Akivaizdu, kad šis skaičius turi būti didesnis nei 5, nes 1/2 yra tinkama trupmena, o padauginus skaičių iš tinkamos trupmenos sandauga turi būti mažesnė už daugiklį. Kad tai būtų aiškiau, parašykime savo veiksmus taip: 5: 1 / 2 = X , o tai reiškia x 1/2 = 5.

Turime rasti tokį skaičių X , kurį padauginus iš 1/2 gautume 5. Kadangi padauginus tam tikrą skaičių iš 1/2 reiškia rasti 1/2 šio skaičiaus, vadinasi, 1/2 nežinomo skaičiaus X yra lygus 5, ir visas skaičius X dvigubai daugiau, t. y. 5 2 = 10.

Taigi 5: 1/2 = 5 2 = 10

Patikrinkime:

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tarkime, kad norite padalyti 6 iš 2/3. Pirmiausia pabandykime rasti norimą rezultatą, naudodami piešinį (19 pav.).

19 pav

Nubraižykime atkarpą AB, lygią 6 vienetams, ir kiekvieną vienetą padalinkime į 3 lygias dalis. Kiekviename vienete trys trečdaliai (3/3) viso segmento AB yra 6 kartus didesnis, t.y. e. 18/3. Naudodami mažus skliaustus, sujungiame 18 gautų segmentų iš 2; Bus tik 9 segmentai. Tai reiškia, kad frakcija 2/3 yra 6 vienetuose 9 kartus, arba, kitaip tariant, frakcija 2/3 yra 9 kartus mažesnė nei 6 sveiki vienetai. Vadinasi,

Kaip gauti šį rezultatą be brėžinio naudojant vien skaičiavimus? Samprotuokime taip: reikia padalyti 6 iš 2/3, t.y. reikia atsakyti į klausimą, kiek kartų 2/3 yra 6. Iš pradžių išsiaiškinkime: kiek kartų 1/3 yra 6? Visame vienete yra 3 trečdaliai, o 6 vienetuose - 6 kartus daugiau, t.y. 18 trečdalių; Norėdami rasti šį skaičių, turime padauginti 6 iš 3. Tai reiškia, kad 1/3 yra b vienetuose 18 kartų, o 2/3 yra b vienetuose ne 18 kartų, o perpus tiek kartų, ty 18: 2 = 9 Todėl dalydami 6 iš 2/3 padarėme taip:

Iš čia gauname sveikojo skaičiaus dalijimo iš trupmenos taisyklę. Norėdami padalyti sveikąjį skaičių iš trupmenos, turite padauginti šį sveiką skaičių iš duotosios trupmenos vardiklio ir, padarę šį sandaugą skaitikliu, padalykite jį iš duotosios trupmenos skaitiklio.

Parašykime taisyklę raidėmis:

Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus padalijimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38. Atkreipkite dėmesį, kad ten buvo gauta ta pati formulė.

Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.

Tarkime, kad reikia padalyti 3/4 iš 3/8. Ką reikš skaičius, gautas padalijus? Jis atsakys į klausimą, kiek kartų trupmena 3/8 yra trupmenoje 3/4. Norėdami suprasti šią problemą, padarykite brėžinį (20 pav.).

Paimkime atkarpą AB, paimkime kaip vieną, padalinkime į 4 lygias dalis ir pažymime 3 tokias dalis. Segmentas AC bus lygus 3/4 segmento AB. Dabar kiekvieną iš keturių pradinių atkarpų padalinkime per pusę, tada atkarpa AB bus padalinta į 8 lygias dalis ir kiekviena tokia dalis bus lygi 1/8 atkarpos AB. Sujungkime 3 tokias atkarpas lankais, tada kiekvienas atkarpas AD ir DC bus lygus 3/8 atkarpos AB. Brėžinyje parodyta, kad segmentas, lygus 3/8, yra segmente, lygus 3/4 lygiai 2 kartus; Tai reiškia, kad padalijimo rezultatas gali būti parašytas taip:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tarkime, kad reikia padalyti 15/16 iš 3/32:

Galime samprotauti taip: reikia rasti skaičių, kurį padauginus iš 3/32 gautume sandaugą, lygią 15/16. Parašykime skaičiavimus taip:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nežinomas numeris X yra 15/16

1/32 nežinomo skaičiaus X yra ,

32/32 skaičiai X makiažas .

Vadinasi,

Taigi, norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį padauginti iš antrosios skaitiklio, o pirmąjį sandaugą padaryti skaitikliu, o antrasis vardiklis.

Parašykime taisyklę raidėmis:

Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

5. Mišriųjų skaičių dalyba.

Dalijant mišrius skaičius, pirmiausia juos reikia konvertuoti į netinkamos trupmenos ir tada gautas trupmenas padalinkite pagal padalijimo taisykles trupmeniniai skaičiai. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Paverskime mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:

Dabar padalinkime:

Taigi, norėdami padalyti mišrius skaičius, turite juos paversti netinkamomis trupmenomis ir tada padalyti pagal trupmenų padalijimo taisyklę.

6. Skaičiaus iš duotosios trupmenos radimas.

Tarp įvairios užduotys trupmenomis, kartais yra tokių, kuriose pateikiama kažkokios nežinomo skaičiaus trupmenos reikšmė ir jums reikia rasti šį skaičių. Šio tipo uždaviniai bus atvirkštiniai duoto skaičiaus trupmenos radimo uždaviniui; ten buvo duotas skaičius ir reikėjo rasti tam tikrą šio skaičiaus trupmeną, čia buvo pateikta skaičiaus trupmena ir reikėjo rasti patį šį skaičių. Ši mintis taps dar aiškesnė, jei imsimės tokio pobūdžio problemų sprendimo.

1 užduotis. Pirmą dieną stiklintojai įstiklino 50 langų, tai yra 1/3 visų pastatyto namo langų. Kiek langų yra šiame name?

Sprendimas. Problema sako, kad 50 įstiklintų langų sudaro 1/3 visų namo langų, vadinasi, iš viso yra 3 kartus daugiau langų, t.y.

Namas turėjo 150 langų.

2 užduotis. Parduotuvėje buvo parduota 1500 kg miltų, o tai sudaro 3/8 visų parduotuvės miltų atsargų. Koks buvo pradinis miltų tiekimas parduotuvėje?

Sprendimas. Iš problemos sąlygų aišku, kad 1500 kg parduotų miltų sudaro 3/8 visų atsargų; tai reiškia, kad 1/8 šio rezervo bus 3 kartus mažiau, t.y. norint jį apskaičiuoti reikia 1500 sumažinti 3 kartus:

1500: 3 = 500 (tai yra 1/8 rezervo).

Akivaizdu, kad visa pasiūla bus 8 kartus didesnė. Vadinasi,

500 8 = 4000 (kg).

Pradinės miltų atsargos parduotuvėje buvo 4000 kg.

Išnagrinėjus šią problemą, galima išvesti tokią taisyklę.

Norint rasti skaičių iš nurodytos trupmenos reikšmės, pakanka šią reikšmę padalyti iš trupmenos skaitiklio ir rezultatą padauginti iš trupmenos vardiklio.

Išsprendėme dvi problemas, kaip rasti skaičių, atsižvelgiant į jo trupmeną. Tokios problemos, kaip ypač aišku iš paskutiniojo, sprendžiamos dviem veiksmais: dalyba (kai randama viena dalis) ir daugyba (kai randamas visas skaičius).

Tačiau po to, kai išmokome dalyti trupmenas, aukščiau pateiktos problemos gali būti išspręstos vienu veiksmu, būtent: padalijimas iš trupmenos.

Pavyzdžiui, paskutinę užduotį galima išspręsti vienu tokiu veiksmu:

Ateityje skaičiaus iš jo trupmenos radimo problemas spręsime vienu veiksmu – padalijimu.

7. Skaičiaus radimas procentais.

Šiose problemose turėsite rasti skaičių, žinodami kelis šio skaičiaus procentus.

1 užduotis.Šių metų pradžioje iš taupyklos gavau 60 rublių. pajamų iš sumos, kurią prieš metus įdėjau į santaupas. Kiek pinigų įdėjau į taupomąjį kasą? (Kasos kasos suteikia indėlininkams 2% grąžą per metus.)

Problemos esmė ta, kad aš įdėjau tam tikrą pinigų sumą į taupyklę ir išbuvau ten metus. Po metų iš jos gavau 60 rublių. pajamų, tai yra 2/100 mano įneštų pinigų. Kiek pinigų įdėjau?

Vadinasi, žinant dalį šių pinigų, išreikštų dviem būdais (rubliais ir trupmenomis), turime rasti visą, dar nežinomą, sumą. Tai įprasta skaičiaus, atsižvelgiant į jo trupmeną, radimo problema. Šios problemos išsprendžiamos dalijant:

Tai reiškia, kad į taupyklę buvo įnešta 3000 rublių.

2 užduotis.Žvejai per dvi savaites mėnesio planą įvykdė 64 proc., išgaudami 512 tonų žuvies. Koks buvo jų planas?

Iš problemos sąlygų žinoma, kad dalį plano žvejai įvykdė. Ši dalis lygi 512 tonų, tai yra 64% plano. Nežinome, kiek tonų žuvies reikia paruošti pagal planą. Rasti šį skaičių bus problemos sprendimas.

Tokios problemos išsprendžiamos dalijant:

Tai reiškia, kad pagal planą reikia paruošti 800 tonų žuvies.

3 užduotis. Traukinys išvyko iš Rygos į Maskvą. Kai jis pravažiavo 276-ąjį kilometrą, vienas iš keleivių pasiteiravo pravažiuojančio konduktoriaus, kiek kelionės jie jau įveikė. Į tai dirigentas atsakė: „Mes jau įveikėme 30% visos kelionės“. Koks atstumas nuo Rygos iki Maskvos?

Iš probleminių sąlygų aišku, kad 30% maršruto iš Rygos į Maskvą yra 276 km. Turime rasti visą atstumą tarp šių miestų, t. y. šiai daliai rasti visumą:

§ 91. Abipusiai skaičiai. Dalybos pakeitimas daugyba.

Paimkime trupmeną 2/3 ir vietoj vardiklio pakeiskime skaitiklį, gausime 3/2. Gavome atvirkštinę šios trupmenos vertę.

Norėdami gauti atvirkštinę tam tikros trupmenos vertę, vietoj vardiklio turite įdėti jos skaitiklį, o vietoj skaitiklio - vardiklį. Tokiu būdu galime gauti bet kurios trupmenos atvirkštinį koeficientą. Pavyzdžiui:

3/4, atvirkštinis 4/3; 5/6, atvirkštinis 6/5

Dvi trupmenos, turinčios savybę, kad pirmosios skaitiklis yra antrojo vardiklis, o pirmosios vardiklis yra antrojo vardiklis, vadinamos abipusiai atvirkštinis.

Dabar pagalvokime, kokia trupmena bus 1/2 atvirkštinė vertė. Akivaizdu, kad tai bus 2/1 arba tik 2. Ieškodami atvirkštinės duotosios trupmenos, gavome sveikąjį skaičių. Ir šis atvejis nėra pavienis; priešingai, visų trupmenų, kurių skaitiklis yra 1 (vienas), atvirkštiniai skaičiai bus sveikieji skaičiai, pavyzdžiui:

1/3, atvirkštinis 3; 1/5, atvirkštinis 5

Kadangi ieškant atvirkštinių trupmenų susidūrėme ir su sveikaisiais skaičiais, toliau kalbėsime ne apie grįžtamąsias trupmenas, o apie grįžtamuosius skaičius.

Išsiaiškinkime, kaip parašyti atvirkštinį sveikąjį skaičių. Dėl trupmenų tai galima išspręsti paprastai: vietoj skaitiklio reikia įdėti vardiklį. Taip pat galite gauti atvirkštinį sveikojo skaičiaus skaičių, nes bet kurio sveikojo skaičiaus vardiklis gali būti 1. Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 7 bus 1/7, nes 7 = 7/1; skaičiui 10 atvirkštinė vertė bus 1/10, nes 10 = 10/1

Ši idėja gali būti išreikšta skirtingai: duoto skaičiaus atvirkštinė vertė gaunama padalijus vieną iš duotas numeris . Šis teiginys galioja ne tik sveikiesiems skaičiams, bet ir trupmenoms. Tiesą sakant, jei reikia parašyti atvirkštinę trupmenos 5/9, tai galime paimti 1 ir padalyti iš 5/9, t.y.

Dabar atkreipkime dėmesį į vieną dalyką nuosavybė abipusiai skaičiai, kurie mums bus naudingi: grįžtamųjų skaičių sandauga lygi vienetui. Tiesą sakant:

Naudodamiesi šia savybe, galime rasti abipusius skaičius tokiu būdu. Tarkime, kad turime rasti atvirkštinį skaičių 8.

Pažymėkime tai raide X , tada 8 X = 1, vadinasi X = 1/8. Raskime kitą skaičių, kuris yra atvirkštinis 7/12, ir pažymime jį raide X , tada 7/12 X = 1, vadinasi X = 1: 7/12 arba X = 12 / 7 .

Siekdami šiek tiek papildyti informaciją apie trupmenų padalijimą, čia pristatėme abipusių skaičių sąvoką.

Padalinę skaičių 6 iš 3/5, darome taip:

Prašome sumokėti ypatingas dėmesys prie išraiškos ir palyginkite ją su duotuoju: .

Jei paimtume išraišką atskirai, be ryšio su ankstesne, tai neįmanoma išspręsti klausimo, iš kur ji atsirado: padalijus 6 iš 3/5 arba padauginus 6 iš 5/3. Abiem atvejais nutinka tas pats. Todėl galime pasakyti kad vieno skaičiaus dalijimas iš kito gali būti pakeistas dividendą padauginus iš daliklio atvirkštinės vertės.

Žemiau pateikti pavyzdžiai visiškai patvirtina šią išvadą.

Vidurinės ir vidurinės mokyklos kursuose studentai nagrinėjo temą „Trupmenos“. Tačiau ši sąvoka yra daug platesnė, nei pateikiama mokymosi procese. Šiandien su trupmenos sąvoka susiduriama gana dažnai, ir ne kiekvienas gali apskaičiuoti kokią nors išraišką, pavyzdžiui, padauginti trupmenas.

Kas yra trupmena?

Istoriškai trupmeniniai skaičiai atsirado dėl poreikio matuoti. Kaip rodo praktika, dažnai yra pavyzdžių, kaip nustatyti segmento ilgį ir stačiakampio stačiakampio tūrį.

Iš pradžių mokiniai supažindinami su akcijos sąvoka. Pavyzdžiui, jei padalysite arbūzą į 8 dalis, kiekvienas žmogus gaus vieną aštuntąją arbūzo. Ši viena aštuonių dalis vadinama akcija.

Dalis, lygi ½ bet kurios vertės, vadinama puse; ⅓ - trečia; ¼ - ketvirtadalis. 5/8, 4/5, 2/4 formos įrašai vadinami paprastosiomis trupmenomis. Paprastoji trupmena skirstoma į skaitiklį ir vardiklį. Tarp jų yra trupmenos juosta arba trupmenos juosta. Trupmeninė linija gali būti nubrėžta kaip horizontali arba įstriža linija. Šiuo atveju jis žymi padalijimo ženklą.

Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalintas kiekis arba objektas; o skaitiklis – kiek paimama identiškų akcijų. Virš trupmenos linijos rašomas skaitiklis, po ja – vardiklis.

Patogiausia paprastąsias trupmenas rodyti koordinačių spindulyje. Jei vieneto segmentas yra padalintas į 4 lygias dalis, pažymėkite kiekvieną dalį lotyniška raidė, tada rezultatas gali būti puiki vaizdinė priemonė. Taigi taškas A rodo dalį, lygią 1/4 viso vieneto segmento, o taškas B žymi 2/8 tam tikros atkarpos.

Trupmenų rūšys

Trupmenos gali būti paprastieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai. Be to, trupmenas galima suskirstyti į tinkamas ir netinkamas. Ši klasifikacija labiau tinka paprastosioms frakcijoms.

Tinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra mažesnis už jo vardiklį. Atitinkamai, netinkama trupmena- skaičius, kurio skaitiklis yra didesnis už jo vardiklį. Antrasis tipas paprastai rašomas kaip mišrus skaičius. Ši išraiška susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Pavyzdžiui, 1½. 1 yra sveikoji dalis, ½ yra trupmeninė dalis. Tačiau jei jums reikia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiška (dalinti ar dauginti trupmenas, jas sumažinti arba konvertuoti), mišrus skaičius paverčiamas netinkama trupmena.

Teisinga trupmeninė išraiška visada yra mažesnė už vieną, o neteisinga visada yra didesnė nei 1 arba lygi 1.

Kalbant apie šią išraišką, turime omenyje įrašą, kuriame pavaizduotas bet koks skaičius, kurio trupmeninės išraiškos vardiklis gali būti išreikštas vienetu su keliais nuliais. Jei trupmena yra tinkama, sveikoji dalis dešimtainėje žymėjime bus lygi nuliui.

Norėdami parašyti dešimtainę trupmeną, pirmiausia turite parašyti visą dalį, atskirti ją nuo trupmenos kableliu ir tada parašyti trupmenos išraišką. Reikia atsiminti, kad po kablelio skaitiklyje turi būti tiek pat skaitmeninių simbolių, kiek vardiklyje yra nulių.

Pavyzdys. Išreikškite trupmeną 7 21/1000 dešimtainiu žymėjimu.

Netinkamos trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių ir atvirkščiai algoritmas

Neteisinga užduoties atsakyme rašyti netinkamą trupmeną, todėl ją reikia konvertuoti į mišrų skaičių:

• padalykite skaitiklį iš esamo vardiklio;
• V konkretus pavyzdys nepilnas koeficientas – visuma;
• o likusi dalis yra trupmeninės dalies skaitiklis, o vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Netinkamą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių: 47/5.

Sprendimas. 47: 5. Dalinis koeficientas yra 9, likusioji dalis = 2. Taigi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Kartais mišrų skaičių reikia pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną. Tada turite naudoti šį algoritmą:

• sveikoji dalis dauginama iš trupmeninės išraiškos vardiklio;
• gautas produktas pridedamas prie skaitiklio;
• rezultatas rašomas skaitiklyje, vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Pateikite skaičių mišria forma kaip netinkamą trupmeną: 9 8 / 10.

Sprendimas. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 yra skaitiklis.

Atsakymas: 98 / 10.

Trupmenų dauginimas

Su paprastosiomis trupmenomis galima atlikti įvairias algebrines operacijas. Norėdami padauginti du skaičius, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio. Be to, trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas nesiskiria nuo trupmenų su tais pačiais vardikliais dauginimo.

Taip atsitinka, kad radus rezultatą reikia sumažinti frakciją. Būtina kiek įmanoma supaprastinti gautą išraišką. Žinoma, negalima sakyti, kad neteisinga trupmena atsakyme yra klaida, bet sunku ją pavadinti teisingu atsakymu.

Pavyzdys. Raskite dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą: ½ ir 20/18.

Kaip matyti iš pavyzdžio, radus sandaugą buvo gautas redukuojamas trupmeninis žymėjimas. Tiek skaitiklis, tiek vardiklis šiuo atveju dalijami iš 4, o rezultatas yra 5/9.

Dešimtainių trupmenų dauginimas

Dešimtainių trupmenų sandauga savo principu gerokai skiriasi nuo paprastųjų trupmenų sandaugos. Taigi, trupmenų dauginimas yra toks:

• dvi dešimtainės trupmenos turi būti rašomos viena po kita, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas po kito;
• reikia padauginti užrašytus skaičius, nepaisant kablelių, tai yra, kaip natūraliuosius skaičius;
• suskaičiuokite skaitmenų skaičių po kablelio kiekviename skaičiuje;
• rezultate, gautame po daugybos, reikia iš dešinės suskaičiuoti tiek skaitmeninių simbolių, kiek yra abiejų koeficientų sumoje po kablelio, ir įdėti skiriamąjį ženklą;
• jei gaminyje yra mažiau skaičių, tada prieš juos reikia parašyti tiek nulių, kad šis skaičius būtų padengtas, dėti kablelį ir pridėti visą nuliui lygią dalį.

Pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų dešimtainių trupmenų sandaugą: 2,25 ir 3,6.

Sprendimas.

Mišrių trupmenų dauginimas

Norėdami apskaičiuoti sandaugą iš dviejų mišrios frakcijos, jums reikia naudoti trupmenų dauginimo taisyklę:

• paversti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas;
• rasti skaitiklių sandaugą;
• rasti vardiklių sandaugą;
• užrašykite rezultatą;
• kiek įmanoma supaprastinti išraišką.

Pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4½ ir 6 2/5.

Skaičiaus padauginimas iš trupmenos (trupmenos iš skaičiaus)

Be dviejų trupmenų ir mišrių skaičių sandaugos radimo, yra užduočių, kuriose reikia padauginti iš trupmenos.

Taigi, norėdami rasti produktą dešimtainis ir natūralusis skaičius, jums reikia:

• parašykite skaičių po trupmena taip, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas virš kito;
• rasti produktą nepaisant kablelio;
• gautame rezultate kableliu atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami iš dešinės skaitmenų, esančių po trupmenos kablelio, skaičių.

Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš skaičiaus, turite rasti skaitiklio ir natūraliojo koeficiento sandaugą. Jei atsakymas sukuria trupmeną, kurią galima sumažinti, ją reikia konvertuoti.

Pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą iš 5/8 ir 12.

Sprendimas. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atsakymas: 7 1 / 2.

Kaip matote iš ankstesnio pavyzdžio, reikėjo sumažinti gautą rezultatą ir paversti netaisyklingos trupmenos išraišką į mišrų skaičių.

Trupmenų dauginimas taip pat susijęs su mišrios formos skaičiaus ir natūralaus koeficiento sandauga. Norėdami padauginti šiuos du skaičius, visą mišraus koeficiento dalį turėtumėte padauginti iš skaičiaus, skaitiklį padauginti iš tos pačios reikšmės ir vardiklį palikti nepakeistą. Jei reikia, turite kiek įmanoma supaprastinti gautą rezultatą.

Pavyzdys. Raskite 9 5/6 ir 9 sandaugą.

Sprendimas. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Atsakymas: 88 1 / 2.

Padauginimas iš koeficientų 10, 100, 1000 arba 0,1; 0,01; 0,001

Ši taisyklė išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, 10 000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek koeficiente po vieneto yra nulių.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 0,065 ir 1000.

Sprendimas. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atsakymas: 65.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 3,9 ir 1000.

Sprendimas. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Atsakymas: 3900.

Jei reikia padauginti natūralusis skaičius ir 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ir tt, gautame sandaugoje kablelį turėtumėte perkelti į kairę tiek skaitmenų simbolių, kiek nulių yra prieš vieną. Jei reikia, prieš natūralųjį skaičių rašomas pakankamas nulių skaičius.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 56 ir 0,01.

Sprendimas. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atsakymas: 0,56.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4 ir 0,001.

Sprendimas. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atsakymas: 0,004.

Taigi, ieškant skirtingų trupmenų sandaugos neturėtų kilti sunkumų, išskyrus galbūt rezultato apskaičiavimą; šiuo atveju tiesiog neapsieisite be skaičiuotuvo.

Mes apsvarstysime paprastųjų trupmenų dauginimą keliomis galimomis parinktimis.

Paprastosios trupmenos dauginimas iš trupmenos

Tai paprasčiausias atvejis, kai reikia naudoti toliau nurodytus dalykus trupmenų dauginimo taisyklės.

Į padauginkite trupmeną iš trupmenos, būtina:

• padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio ir įrašykite jų sandaugą į naujos trupmenos skaitiklį;
• padauginkite pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio ir įrašykite jų sandaugą į naujos trupmenos vardiklį;

Prieš daugindami skaitiklius ir vardiklius, patikrinkite, ar trupmenas galima sumažinti. Sumažinus trupmenas skaičiavimuose, skaičiavimai bus daug lengvesni.



Trupmenos padauginimas iš natūraliojo skaičiaus

Norėdami padaryti trupmeną padauginti iš natūraliojo skaičiaus Turite padauginti trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus ir palikti trupmenos vardiklį nepakeistą.

Jei daugybos rezultatas yra neteisinga trupmena, nepamirškite jos paversti mišriu skaičiumi, tai yra, paryškinkite visą dalį.



Mišrių skaičių dauginimas

Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos paversti netinkamomis trupmenomis, o tada padauginti pagal paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę.



Kitas būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus

Kartais atliekant skaičiavimus patogiau naudoti kitą daugybos būdą bendroji trupmena už skaičių.

Norėdami padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padalyti trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus, o skaitiklį palikti tą patį.



Kaip matyti iš pavyzdžio, šią taisyklės versiją patogiau naudoti, jei trupmenos vardiklis dalijasi iš natūraliojo skaičiaus be liekanos.

Veiksmai su trupmenomis

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais

Yra du trupmenų pridėjimo tipai:

• Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
• Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Pirma, išmokime pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:



Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:

2 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Vėlgi, sudedame skaitiklius ir vardiklį paliekame nepakeistą:



Atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Kai ateina užduoties pabaiga, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis yra lengvai izoliuojama - du padalinti iš dviejų, lygu vienas:



Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite vieną visą picą:

3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .



Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite picą:

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picų į picą ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį;
2. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas, trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.

Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.

Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien apžvelgsime tik vieną iš jų, nes kiti metodai pradedantiesiems gali pasirodyti sudėtingi.

Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškome abiejų trupmenų vardiklių mažiausiojo bendro kartotinio (LCM). Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio, kad būtų gautas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.

Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Sudėkime trupmenas ir

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6

LCM (2 ir 3) = 6

Dabar grįžkime prie trupmenų ir . Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.

Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas daugiklis. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir užrašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.

Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas daugiklis. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, ant antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir užrašome papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Dabar viską paruošėme papildymui. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:



Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:



Tai užbaigia pavyzdį. Pasirodo pridėti.

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštadalį picos:

Trupmenų mažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tais pačiais picos gabalėliais. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).



Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrasis piešinys – trupmena (trys gabalai iš šešių). Pridėjus šiuos gabalus gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena netinkama, todėl paryškinome visą jos dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).

Atkreipkite dėmesį, kad šį pavyzdį aprašėme per daug išsamiai. IN švietimo įstaigų Nėra įprasta rašyti taip išsamiai. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume parašyti taip:



Bet taip pat yra atvirkštinė pusė medaliais. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda atsirasti tokių klausimų. „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.

Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:

3. Raskite trupmenų vardiklių LCM;
4. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
5. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
6. Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
7. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą jo dalį;

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę .

Naudokime aukščiau pateiktą diagramą.

1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM

Raskite abiejų trupmenų vardiklius LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4. Turite rasti šių skaičių LCM:

2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą

Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar LCM padaliname iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gauname antrą papildomą koeficientą 4. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. 12 padaliname iš 4, gauname 3. Gauname trečiąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome virš trečiosios trupmenos:

3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų

Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš jų papildomų koeficientų:

4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias trupmenas. Pridėkite:



Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.

5 veiksmas. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, paryškinkite visą jo dalį

Mūsų atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Turime pabrėžti visą jo dalį. Mes pabrėžiame:



Gavome atsakymą

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas

Yra du trupmenų atėmimo tipai:

8. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
9. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pirma, išmokime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, tačiau vardiklį palikite tą patį.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį. Padarykime taip:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį tą patį:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Jei pavyzdys baigtas, tada įprasta atsikratyti netinkamos trupmenos. Atsikratykime netinkamos trupmenos atsakyme. Norėdami tai padaryti, pasirinkite visą jo dalį:

Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:

Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti tą patį;

Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pavyzdžiui, galite atimti trupmeną iš trupmenos, nes trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Bendras vardiklis randamas naudojant tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Tada LCM dalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš pirmosios trupmenos. Panašiai LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš antrosios trupmenos.

Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Raskite posakio prasmę:

Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12

LCM (3 ir 4) = 12

Dabar grįžkime prie trupmenų ir

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Virš pirmosios trupmenos parašykite ketvertą:

Tą patį darome su antrąja trupmena. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trejetą:

Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Gavome atsakymą

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei išpjausite picą iš picos, gausite picą

Tai yra išsami sprendimo versija. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę šias trupmenas iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):

Pirmoje nuotraukoje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalėliai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių iškirpę tris gabalus, gauname penkis gabalus iš dvylikos. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia turite jas sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Raskime šių trupmenų vardiklių LCM.

Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. 30 padaliname iš 10, gauname pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalijus 30 iš 3, gauname antrą papildomą koeficientą 10. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Rašome virš trečiosios trupmenos:

Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.

Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:

Paaiškėjo, kad atsakymas yra įprasta trupmena, ir viskas, atrodo, mums tinka, bet tai yra pernelyg sudėtinga ir negražu. Reikėtų padaryti paprastesnį ir estetiškesnį. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią dalį. Prisiminkite, kad trupmenos sumažinimas yra skaitiklio ir vardiklio padalijimas iš didžiausio bendro skaitiklio ir vardiklio daliklio.

Norėdami teisingai sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio skaičių 20 ir 30 bendro daliklio (GCD).

GCD nereikėtų painioti su NOC. Dažniausia daugelio pradedančiųjų klaida. GCD yra didžiausias bendras daliklis. Manome, kad tai sumažina dalį.

O LCM yra mažiausias bendras kartotinis. Jį randame norėdami trupmenas suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį.

Dabar rasime didžiausią skaičių 20 ir 30 bendrąjį daliklį (GCD).

Taigi, randame GCD skaičiams 20 ir 30:

GCD (20 ir 30) = 10

Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš 10:

Gavome gražų atsakymą

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus

Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, reikia padauginti nurodytos trupmenos skaitiklį iš to skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį.

1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1

Įrašą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei vieną kartą paimsite picą, gausite picą

Iš daugybos dėsnių žinome, kad sukeitus daugiklį ir koeficientą sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:

Šį žymėjimą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4

Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei paimsite 4 picas, gausite dvi visas picas

Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį, gausime išraišką . Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:

Trupmenų dauginimas

Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei atsakymas pasirodo esąs netinkama trupmena, turite paryškinti visą jo dalį.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Gavome atsakymą. Patartina šią dalį sumažinti. Trupmeną galima sumažinti 2. Tada galutinis sprendimas bus tokia forma:

Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:

Kaip paimti du trečdalius iš šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:

Ir paimkite du iš šių trijų dalių:

Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip atrodo pica, padalinta į tris dalis:

Vienas šios picos gabalas ir du mūsų paimti gabalai bus vienodo dydžio:

Kitaip tariant, mes kalbame apie tokio pat dydžio picą. Todėl išraiškos vertė yra

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Atsakymas pasirodė taisyklinga trupmena, bet būtų gerai, jei ji būtų sutrumpinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, ją reikia padalyti iš skaitiklio ir vardiklio gcd. Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 gcd:

GCD (105 ir 150) yra 15

Dabar savo atsakymo skaitiklį ir vardiklį padalijame iš gcd:

Sveikąjį skaičių pavaizduoti kaip trupmeną

Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Tai nepakeis penkių reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinome, yra lygi penkiems:

Abipusiai skaičiai

Dabar susipažinsime su labai įdomi tema matematikoje. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.

Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičių a yra skaičius, kurį padauginus iš a duoda vieną.

Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a skaičių 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:

Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.

Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, tai įmanoma. Įsivaizduokime penkis kaip trupmeną:

Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkite trupmeną iš savęs, tik aukštyn kojomis:

Kas bus dėl to? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:

Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 5 yra skaičius , nes padauginę 5 iš gausite vieną.

Skaičiaus atvirkštinę vertę taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.

• 3 atvirkštinė reikšmė yra trupmena
• 4 atvirkštinė reikšmė yra trupmena

Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.

Trupmenų dauginimas ir dalijimas.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primename, kad norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:

Pavyzdžiui:

Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia čia jo...

Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:

Pavyzdžiui:

Jei susiduriate su daugyba ar padalijimu su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:

Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:

Kaip padaryti, kad ši frakcija atrodytų tinkamai? Taip, labai paprasta! Naudokite dviejų taškų padalijimą:

Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų trupmenoje nesunku suklysti. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:

Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):

Antroje (išraiška dešinėje):

Ar jaučiate skirtumą? 4 ir 1/9!

Kas lemia padalijimo tvarką? Arba su skliaustais, arba (kaip čia) su horizontalių linijų ilgiu. Lavink akis. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:

tada padalinti ir dauginti eilės tvarka, iš kairės į dešinę!

Ir dar viena labai paprasta ir svarbi technika. Veiksmuose su laipsniais tai bus jums labai naudinga! Padalinkime vieną iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:

Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.

Štai viskas operacijų su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau jis suteikia daugiau nei pakankamai klaidų. Atkreipkite dėmesį praktinių patarimų, ir jų (klaidų) bus mažiau!

Praktiniai patarimai:

1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Tai ne bendri žodžiai, ne geri linkėjimai! Tai labai reikalinga! Atlikite visus vieningo valstybinio egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, sutelktą ir aiškią. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei sujaukti atliekant protinį skaičiavimą.

2. Pavyzdžiuose su skirtingų tipų trupmenos - eikite į paprastas trupmenas.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol jos sustos.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.

Štai užduotys, kurias būtinai turite atlikti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šia tema skirta medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių sugebėjote teisingai išspręsti. Iškart pirmą kartą! Be skaičiuoklės! Ir padarykite teisingas išvadas...

Atminkite – teisingas atsakymas yra gautas iš antro (ypač trečio) karto nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.

Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, jau pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame kitą. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Ir tik Tada pažiūrėk atsakymus.

Apskaičiuokite:

Ar apsisprendei?

Ieškome atsakymų, atitinkančių jūsų. Sąmoningai surašiau juos netvarkingai, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, parašyti kabliataškiais.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko, aš džiaugiuosi už jus! Pagrindiniai skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...

Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet... Tai išsprendžiamas problemų.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.