Veiksmai su trupmenomis. Šiame straipsnyje apžvelgsime pavyzdžius, viską išsamiai su paaiškinimais. Mes apsvarstysime paprastas trupmenas. Dešimtaines pažiūrėsime vėliau. Rekomenduoju žiūrėti viską ir studijuoti paeiliui.
1. Trupmenų suma, trupmenų skirtumas.
Taisyklė: sudėjus trupmenas su vienodais vardikliais, gaunama trupmena, kurios vardiklis lieka toks pat, o jo skaitiklis bus lygi sumai trupmenų skaitikliai.
Taisyklė: skaičiuodami skirtumą tarp trupmenų su vienodais vardikliais, gauname trupmeną - vardiklis lieka toks pat, o antrosios skaitiklis atimamas iš pirmosios trupmenos skaitiklio.
Formalus trupmenų su vienodais vardikliais sumos ir skirtumo žymėjimas:
Pavyzdžiai (1):
Aišku, kad kai pateikiamos paprastosios trupmenos, tada viskas paprasta, o jei jos sumaišomos? Nieko sudėtingo...
1 variantas– galite konvertuoti juos į paprastus ir tada juos apskaičiuoti.
2 variantas– galite „dirbti“ atskirai su sveikosiomis ir trupmeninėmis dalimis.
Pavyzdžiai (2):
Daugiau:
O jei duotas skirtumas iš dviejų mišrios frakcijos o pirmosios trupmenos skaitiklis bus mažesnis už antrosios trupmenos skaitiklį? Taip pat galite veikti dviem būdais.
Pavyzdžiai (3):
*Pavertė į paprastąsias trupmenas, apskaičiavo skirtumą, gautą netinkamąją trupmeną pavertė mišriąja trupmena.
*Mes suskirstėme jį į sveikąsias ir trupmenines dalis, gavome trejetą, tada pateikėme 3 kaip 2 ir 1 sumą, o vieną pateikiame kaip 11/11, tada nustatėme skirtumą tarp 11/11 ir 7/11 ir apskaičiavome rezultatą. . Aukščiau pateiktų transformacijų prasmė yra paimti (pasirinkti) vienetą ir pateikti jį trupmenos pavidalu su mums reikalingu vardikliu, tada iš šios trupmenos galime atimti kitą.
Kitas pavyzdys:
Išvada: yra universalus požiūris - norint apskaičiuoti mišrių trupmenų su vienodais vardikliais sumą (skirtumą), jas visada galima konvertuoti į netinkamas, tada atlikti reikiamą veiksmą. Po to, jei rezultatas yra netinkama trupmena, konvertuojame ją į mišrią trupmeną.
Aukščiau pažvelgėme į pavyzdžius su trupmenomis, kurių vardikliai yra vienodi. Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tokiu atveju trupmenos sumažinamos iki to paties vardiklio ir atliekamas nurodytas veiksmas. Norint pakeisti (pakeisti) trupmeną, naudojama pagrindinė trupmenos savybė.
Pažvelkime į paprastus pavyzdžius:
Šiuose pavyzdžiuose iš karto matome, kaip vieną iš trupmenų galima transformuoti, kad būtų gauti vienodi vardikliai.
Jei nurodysime būdus, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio, vadinsime tai PIRMAS METODAS.
Tai yra, iš karto „vertindami“ trupmeną turite išsiaiškinti, ar šis metodas veiks - patikriname, ar didesnis vardiklis dalijasi iš mažesnio. O jei dalijasi, tada atliekame transformaciją – skaitiklį ir vardiklį padauginame taip, kad abiejų trupmenų vardikliai taptų lygūs.
Dabar pažvelkite į šiuos pavyzdžius:
Šis metodas jiems netaikomas. Taip pat yra būdų, kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio.
ANTRAS metodas.
Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš antrosios vardiklio, o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš pirmosios:
*Tiesą sakant, mes sumažiname trupmenas, kad susidarytų, kai vardikliai tampa lygūs. Toliau naudojame taisyklę, kad sudėtų trupmenas su vienodais vardikliais.
Pavyzdys:
*Šį metodą galima pavadinti universaliu ir jis visada veikia. Vienintelis trūkumas yra tas, kad atlikus skaičiavimus galite gauti dalį, kurią reikės dar labiau sumažinti.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Matyti, kad skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš 5:
TREČIAS metodas.
Turite rasti vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (LCM). Taip ir bus bendras vardiklis. Koks čia skaičius? Tai mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaičiaus.
Žiūrėkite, čia yra du skaičiai: 3 ir 4, yra daug skaičių, kurie iš jų dalijasi - tai yra 12, 24, 36, ... Mažiausias iš jų yra 12. Arba 6 ir 15, jie dalijasi iš 30, 60, 90... Mažiausias yra 30. Kyla klausimas – kaip nustatyti šį mažiausią bendrą kartotinį?
Yra aiškus algoritmas, tačiau dažnai tai galima padaryti iš karto be skaičiavimų. Pavyzdžiui, pagal aukščiau pateiktus pavyzdžius (3 ir 4, 6 ir 15) algoritmo nereikia, paėmėme didelius skaičius (4 ir 15), juos padvigubinome ir pamatėme, kad jie dalijasi iš antrojo skaičiaus, bet skaičių poros gali būti kiti, pavyzdžiui, 51 ir 119.
Algoritmas. Norėdami nustatyti mažiausią bendrąjį kelių skaičių kartotinį, turite:
- išskaidykite kiekvieną skaičių į PAPRASTUS veiksnius
— užrašykite DIDESNIŲJŲ iš jų skaidymą
- padauginkite jį iš kitų skaičių TRŪKSTAMŲ faktorių
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
50 ir 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
skilimo metu daugiau trūksta vieno penketuko
=> LCM(50,60) = 2,2∙3∙5∙5 = 300
48 ir 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
išplečiant didesnį skaičių trūksta dviejų ir trijų
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Mažiausias bendrasis dviejų kartotinis pirminiai skaičiai lygus jų produktui
Klausimas! Kodėl naudinga rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, nes galite naudoti antrąjį metodą ir tiesiog sumažinti gautą trupmeną? Taip, tai įmanoma, bet ne visada patogu. Pažiūrėkite į skaičių 48 ir 72 vardiklį, jei juos tiesiog padauginsite iš 48∙72 = 3456. Sutiksite, kad su mažesniais skaičiais dirbti maloniau.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
didesnio skaičiaus išplėtimui trūksta trigubo
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Dabar naudokime pirmąjį metodą:
*Pažiūrėkite į skaičiavimų skirtumus, pirmuoju atveju jų yra minimumas, o antruoju reikia dirbti atskirai ant popieriaus lapo ir net trupmeną, kurią gavote, reikia sumažinti. LOC radimas labai supaprastina darbą.
Daugiau pavyzdžių:
*Antrame pavyzdyje aišku, kad mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 40 ir 60, yra 120.
REZULTATAS! BENDRAS SKAIČIAVIMO ALGORITMAS!
- sumažinti trupmenas iki įprastų trupmenų, jei tokių yra visa dalis.
- trupmenas suvedame į bendrą vardiklį (pirmiausia žiūrime, ar vienas vardiklis dalijasi iš kito; jei dalijasi, tada padauginame šios kitos trupmenos skaitiklį ir vardiklį; jei jis nedalomas, veikiame kitais metodais nurodyta aukščiau).
- Gavę trupmenas su vienodais vardikliais, atliekame operacijas (sudėti, atimti).
- jei reikia, sumažiname rezultatą.
- jei reikia, tada pasirinkite visą dalį.
2. Trupmenų sandauga.
Taisyklė paprasta. Dauginant trupmenas, jų skaitikliai ir vardikliai dauginami:
Pavyzdžiai:
Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
Yra du trupmenų pridėjimo tipai:
- Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
- Pridedant trupmenas su skirtingus vardiklius
Pirma, išmokime pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:
2 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .
Atsakymas buvo ne tinkama trupmena. Kai ateina užduoties pabaiga, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis yra lengvai izoliuojama - du padalinti iš dviejų, lygu vienas:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite vieną visą picą:
3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .
Vėlgi, sudedame skaitiklius ir vardiklį paliekame nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite picą:
4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picų į picą ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.
Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:
- Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti vardiklį nepakeistą;
Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais
Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas, trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.
Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.
Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.
Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien apžvelgsime tik vieną iš jų, nes kiti metodai pradedantiesiems gali pasirodyti sudėtingi.
Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškoma abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalinamas iš pirmosios trupmenos vardiklio, kad būtų gautas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.
Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.
1 pavyzdys. Sudėkime trupmenas ir
Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6
LCM (2 ir 3) = 6
Dabar grįžkime prie trupmenų ir . Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.
Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas daugiklis. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir užrašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:
Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.
Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas daugiklis. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, ant antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir užrašome papildomą koeficientą, esantį virš jos:
Dabar viską paruošėme papildymui. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:
Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:
Tai užbaigia pavyzdį. Pasirodo pridėti.
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštadalį picos:
Trupmenų mažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tais pačiais picos gabalėliais. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).
Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrasis piešinys – trupmena (trys gabalai iš šešių). Pridėjus šiuos gabalus gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena netinkama, todėl paryškinome visą jos dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).
Atkreipkite dėmesį, kad šį pavyzdį aprašėme per daug išsamiai. IN švietimo įstaigos Neįprasta rašyti taip išsamiai. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume parašyti taip:
Bet taip pat yra atvirkštinė pusė medaliais. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda atsirasti tokių klausimų. „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.
Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:
- Raskite trupmenų vardiklių LCM;
- Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
- Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
- Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
- Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą jo dalį;
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
.
Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.
1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM
Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4
2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą
Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:
Dabar LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gauname antrą papildomą koeficientą 4. Rašome virš antrosios trupmenos:
Dabar LCM padalijame iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. 12 padaliname iš 4, gauname 3. Gauname trečiąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome virš trečiosios trupmenos:
3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų
Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš jų papildomų koeficientų:
4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais
Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias trupmenas. Pridėkite:
Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.
5 veiksmas. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, pasirinkite visą jo dalį
Mūsų atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Turime pabrėžti visą jo dalį. Mes pabrėžiame:
Gavome atsakymą
Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
Yra du trupmenų atėmimo tipai:
- Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
- Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas
Pirma, išmokime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, tačiau vardiklį palikite tą patį.
Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti nepakeistą. Padarykime taip:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.
Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:
3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:
Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:
- Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
- Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.
Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas
Pavyzdžiui, galite atimti trupmeną iš trupmenos, nes trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.
Bendras vardiklis randamas naudojant tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Tada LCM dalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš pirmosios trupmenos. Panašiai LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš antrosios trupmenos.
Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.
1 pavyzdys. Raskite posakio prasmę:
Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.
Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12
LCM (3 ir 4) = 12
Dabar grįžkime prie trupmenų ir
Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Virš pirmosios trupmenos parašykite ketvertą:
Tą patį darome su antrąja trupmena. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trejetą:
Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:
Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:
Gavome atsakymą
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei išpjausite picą iš picos, gausite picą
Tai yra išsami sprendimo versija. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:
Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinus šias trupmenas iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):
Pirmoje nuotraukoje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalėliai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių iškirpę tris gabalus, gauname penkis gabalus iš dvylikos. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia reikia jas sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.
Raskime šių trupmenų vardklių LCM.
Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.
Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. 30 padaliname iš 10, gauname pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:
Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalijus 30 iš 3, gauname antrą papildomą koeficientą 10. Rašome virš antrosios trupmenos:
Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Rašome virš trečiosios trupmenos:
Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:
Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.
Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:
Paaiškėjo, kad atsakymas yra įprasta trupmena, ir viskas, atrodo, mums tinka, bet tai yra pernelyg sudėtinga ir negražu. Turėtume tai padaryti paprasčiau. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią trupmeną.
Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (GCD) iš skaičių 20 ir 30.
Taigi, randame skaičių 20 ir 30 gcd:
Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš rasto gcd, tai yra iš 10
Gavome atsakymą
Trupmenos padauginimas iš skaičiaus
Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, reikia padauginti nurodytos trupmenos skaitiklį iš to skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį.
1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.
Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1
Įrašą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei vieną kartą paimsite picą, gausite picą
Iš daugybos dėsnių žinome, kad sukeitus daugiklį ir koeficientą sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:
Šį žymėjimą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4
Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:
Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei paimsite 4 picas, gausite dvi visas picas
Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį, gausime išraišką . Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:
Trupmenų dauginimas
Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, turite paryškinti visą jo dalį.
1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.
Gavome atsakymą. Patartina šią dalį sumažinti. Trupmeną galima sumažinti 2. Tada galutinis sprendimas bus tokia forma:
Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:
Kaip paimti du trečdalius iš šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:
Ir paimkite du iš šių trijų dalių:
Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip atrodo pica, padalinta į tris dalis:
Vienas šios picos gabalas ir du mūsų paimti gabalai bus vienodo dydžio:
Kitaip tariant, mes kalbame apie tokio pat dydžio picą. Todėl išraiškos reikšmė yra
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:
Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:
3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:
Atsakymas pasirodė taisyklinga trupmena, bet būtų gerai, jei ji būtų sutrumpinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio skaičių 105 ir 450 bendrojo daliklio (GCD).
Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 gcd:
Dabar savo atsakymo skaitiklį ir vardiklį padalijame iš gcd, kurį dabar radome, tai yra iš 15
Sveikąjį skaičių pavaizduoti kaip trupmeną
Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Tai nepakeis penkių reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinome, yra lygi penkiems:
Abipusiai skaičiai
Dabar susipažinsime su labai įdomi tema matematikoje. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.
Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša duoda vieną.
Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a skaičių 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:
Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.
Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, tai įmanoma. Įsivaizduokime penkis kaip trupmeną:
Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš pačios, tik aukštyn kojomis:
Kas bus dėl to? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:
Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 5 yra skaičius , nes padauginę 5 iš gausite vieną.
Skaičiaus atvirkštinę vertę taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.
Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.
Trupmenos dalijimas iš skaičiaus
Tarkime, kad turime pusę picos:
Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picos gaus kiekvienas žmogus?
Matyti, kad padalijus pusę picos gavosi du vienodi gabalėliai, kurių kiekvienas sudaro po picą. Taigi visi gauna picą.
Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant reciprokines vertes. Abipusiai skaičiai leidžia dalybas pakeisti daugyba.
Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmeną iš daliklio atvirkštinės vertės.
Pagal šią taisyklę užrašysime savo picos pusės padalijimą į dvi dalis.
Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dividendas yra trupmena, o daliklis yra skaičius 2.
Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Daliklio 2 atvirkštinė vertė yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš
Instrukcijos
Įprasta atskirti paprastąjį ir dešimtainį trupmenomis, pažintis su kuria prasideda m vidurinę mokyklą. Šiuo metu nėra žinių srities, kurioje tai nebūtų taikoma. Netgi sakome pirmąjį XVII a., ir viskas iš karto, vadinasi, 1600-1625 m. Taip pat dažnai tenka susidurti su elementariais veiksmais, taip pat jų pavertimu iš vieno tipo į kitą.
Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio yra bene svarbiausia operacija. Tai yra absoliučiai visų skaičiavimų pagrindas. Taigi, tarkime, yra du trupmenomis a/b ir c/d. Tada, norėdami juos sujungti į bendrą vardiklį, turite rasti mažiausią skaičių b ir d bendrąjį kartotinį (M), o tada padauginti pirmojo skaitiklį trupmenomis(M/b), o antrasis skaitiklis – (M/d).
Dar viena svarbi užduotis yra trupmenų palyginimas. Norėdami tai padaryti, nurodykite paprastą trupmenomisį bendrą vardiklį ir palyginkite skaitiklius, kurių skaitiklis yra didesnis, tą trupmeną ir didesnę.
Norėdami atlikti sudėjimą arba atimtį paprastosios trupmenos, turite juos sujungti į bendrą vardiklį ir iš šių trupmenų atlikti reikiamus matematinius skaičiavimus. Vardiklis lieka nepakitęs. Tarkime, kad reikia atimti c/d iš a/b. Norėdami tai padaryti, turite rasti mažiausią bendrą M skaičių b ir d kartotinį, o kitą atimti iš vieno skaitiklio nekeičiant vardiklio: (a*(M/b)-(c*(M/d)) /M
Norėdami tai padaryti, pakanka padauginti vieną trupmeną iš kitos, tiesiog padauginkite jų skaitiklius ir vardiklius:
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendo dalį iš daliklio grįžtamosios trupmenos. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Verta prisiminti, kad norint gauti atvirkštinę trupmeną, reikia sukeisti skaitiklį ir vardiklį.
Aritmetiniai veiksmai su paprastosiomis trupmenomis
1. Papildymas.
Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.
Pavyzdys. .
Norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, tada pridėti gautus skaitiklius ir įrašyti bendrąjį vardiklį po suma.
Pavyzdys.
Trumpai parašyta taip:
Norėdami pridėti mišrius skaičius, turite atskirai rasti sveikųjų skaičių ir trupmeninių dalių sumą. Veiksmas parašytas taip:
2. Atimtis.
Norėdami atimti trupmenas su panašiais vardikliais, turite atimti mažmeninės dalies skaitiklį iš mažmeninės dalies skaitiklio ir palikti tą patį vardiklį. Veiksmas parašytas taip:
Norėdami atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, tada atimti minuend skaitiklį iš mažmeninės dalies skaitiklio ir pasirašyti bendrą vardiklį pagal jų skirtumą. Veiksmas parašytas taip:
Jei reikia atimti vieną mišrų skaičių iš kito mišraus skaičiaus, tada, jei įmanoma, iš trupmenos atimkite trupmeną, o iš visumos – visumą. Veiksmas parašytas taip:
Jei atimto trupmena yra didesnė už miniatiūros trupmeną, paimkite vieną vienetą iš sveikojo mažojo skaičiaus dalies, padalykite jį į atitinkamas dalis ir pridėkite prie mažosios dalies trupmenos, o po to tęskite, kaip aprašyta aukščiau. . Veiksmas parašytas taip:
Atlikite tą patį, kai iš sveikojo skaičiaus reikia atimti trupmeną.
Pavyzdys. .
3. Sudėjimo ir atimties savybių išplėtimas į trupmenas.Taip pat galioja visi natūraliųjų skaičių sudėties ir atimties dėsniai ir savybės trupmeniniai skaičiai. Jų naudojimas daugeliu atvejų labai supaprastina skaičiavimo procesą.
4. Daugyba.
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį - vardikliu.
Padaugindami, turėtumėte (jei įmanoma) sumažinti.
Pavyzdys. .
Jei atsižvelgsime į tai, kad sveikas skaičius yra trupmena, kurios vardiklis yra 1, tada padauginus trupmeną iš sveikojo skaičiaus ir sveikąjį skaičių iš trupmenos, gali būti taikoma ta pati taisyklė.
Pavyzdžiai.
5. Mišrių skaičių daugyba.
Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos konvertuoti į netinkamos trupmenos ir tada padauginkite pagal trupmenų dauginimo taisyklę.
Pavyzdys. .
6. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
Norėdami padalyti trupmeną į trupmeną, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios - iš antrosios vardiklio ir įrašyti pirmąjį sandaugą kaip skaitiklį, o antrąjį - kaip vardiklis.
Pavyzdys. .
Naudodami tą pačią taisyklę, galite padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, o sveikąjį skaičių - iš trupmenos, jei sveikąjį skaičių pateiksite trupmena, kurios vardiklis yra 1.
Pavyzdžiai.
7. Mišriųjų skaičių dalyba.
Norint padalyti mišrius skaičius, jie pirmiausia paverčiami netinkamomis trupmenomis, o po to padalijami pagal trupmenų padalijimo taisyklę.
Pavyzdys. .
8. Dalybos pakeitimas daugyba.
Jei sukeisite skaitiklį ir vardiklį trupmenoje, gausite naują trupmeną, atvirkštinę duotajai. Pavyzdžiui, trupmenaiatvirkštinė trupmena bus.
Akivaizdu, kad dviejų tarpusavyje atvirkštinių trupmenų sandauga yra lygi 1.
- Trupmenos radimas iš skaičiaus.
Yra daug problemų, dėl kurių reikia rasti tam tikro skaičiaus dalį ar trupmeną. Tokios problemos išsprendžiamos dauginant.
Užduotis. Šeimininkė turėjo 20 rublių;Ji juos išleido pirkdama. Kiek kainuoja pirkiniai?
Čia reikia rastinumeris 20. Tai galite padaryti taip:
Atsakymas. Šeimininkė išleido 8 rublius.
Pavyzdžiai. Rasti iš 30. Sprendimas. .
Rasti iš. Sprendimas. .
- Skaičiaus radimas pagal žinomą jo trupmenos dydį.
Kartais reikia nustatyti visą skaičių naudojant žinomą skaičiaus dalį ir trupmeną, išreiškiančią šią dalį. Tokios problemos sprendžiamos dalijant.
Užduotis. Klasėje yra 12 komjaunuolių, tai yravisų klasės mokinių dalis. Kiek mokinių yra klasėje?
Sprendimas. .
Atsakymas. 20 studentų.
Pavyzdys. Raskite numerįkuris yra 34.
Sprendimas. .
Atsakymas. Reikalingas skaičius yra.
- Dviejų skaičių santykio radimas.
Apsvarstykite problemą: darbuotojas pagamino 40 dalių per dieną. Kurią mėnesio užduoties dalį darbuotojas atliko, jei mėnesio planą sudaro 400 dalių?
Sprendimas. .
Atsakymas. Darbininkas baigėmėnesio plano dalis.
IN šiuo atveju dalis (40 dalių) išreiškiama visumos (400 dalių) dalimi. Jie taip pat teigia, kad buvo rastas per dieną pagaminamų dalių skaičiaus santykis su mėnesio planu.
- Dešimtainės trupmenos konvertavimas į paprastąją trupmeną.
Norėdami konvertuoti dešimtainisį paprastą, jis rašomas vardikliu ir, jei įmanoma, sutrumpinamas:
Pavyzdžiai.
- Trupmenos konvertavimas į dešimtainę.
Yra keletas būdų, kaip trupmeną konvertuoti į dešimtainę.
Pirmas būdas. Norėdami paversti trupmeną į dešimtainę, skaitiklį padalinkite iš vardiklio.
Pavyzdžiai. .
Antras būdas. Norėdami trupmeną paversti dešimtainiu, turite padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš tokio skaičiaus, kad vardiklis būtų vienas su nuliais (jei įmanoma).
Pavyzdys.
- Dešimtainių skaičių palyginimas pagal dydį. Norėdami sužinoti, kuri iš dviejų dešimtainių trupmenų yra didesnė, turite palyginti visas jų dalis, dešimtąsias, šimtąsias ir kt. Kai visos dalys yra lygios, dalis, kuri turi daugiau dešimtųjų dalių, yra didesnė; jei sveikieji ir dešimtainiai skaičiai yra lygūs, tas, kuriame yra daugiau šimtųjų dalių, yra didesnis ir kt.
Pavyzdys. Iš trijų frakcijų 2,432; 2.41 ir 2.4098 yra didžiausias pirmas, nes turi daugiausia šimtųjų dalių, o visuma ir dešimtosios visose trupmenose yra vienodos.
Veiksmai su dešimtainėmis dalimis
- Dešimtainių skaičių dauginimas ir dalijimas iš 10, 100, 1000 ir kt.
Norėdami padauginti dešimtainį skaičių iš 10, 100, 1000 ir kt. kablelį reikia perkelti atitinkamai į vieną, du, tris ir pan. ženklas į dešinę. Jei skaičiuje nėra pakankamai ženklų, priskiriami nuliai.
Pavyzdys. 15,45 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.
Norėdami padalyti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti atitinkamai į vieną, du, tris ir pan. ženklas į kairę. Jei nepakanka simbolių kableliui perkelti, jų skaičius papildomas atitinkamu nulių skaičiumi kairėje.
Pavyzdžiai. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.
- Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas.
Dešimtainės dalys pridedamos ir atimamos taip pat, kaip pridedamos ir atimamos. natūraliuosius skaičius. Skaičius rašomas po skaitmeniu, kablelis – po kableliu.
Pavyzdžiai.
- Dešimtainių skaičių dauginimas.
Norint padauginti dvi po kablelio trupmenas, pakanka, nekreipiant dėmesio į kablelius, jas padauginti kaip sveikuosius skaičius ir sandaugoje kableliu dešinėje atskirti tiek skaičių po kablelio, kiek buvo daugiklyje ir daugiklyje kartu.
1 pavyzdys. 2,064 · 0,05.
Padauginame sveikuosius skaičius 2064 · 5 = 10320. Pirmasis koeficientas turėjo tris skaitmenis po kablelio, antrasis – du. Produktas turi būti sudarytas iš penkių skaičių po kablelio. Mes atskiriame juos dešinėje ir gauname 0,10320. Nulį pabaigoje galima atmesti: 2,064 · 0,05 = 0,1032.
2 pavyzdys. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.
Po kablelio skaičius turi būti 3 + 2 = 5. Prie 9000 kairėje (009000) pridedame nulius, o dešinėje atskiriame penkis skaitmenis po kablelio. Gauname 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.
- Dalijimas po kablelio.
Nagrinėjami du atvejai, kai dešimtainės trupmenos dalijamos be liekanos: 1) dešimtainės trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus; 2) skaičiaus (sveiko skaičiaus arba trupmenos) dalijimas iš dešimtainės trupmenos.
Dešimtainės dalies dalijimas iš sveikojo skaičiaus atliekamas taip pat, kaip ir sveikieji skaičiai; gautos liekanos paeiliui suskaidomos į mažesnes dešimtaines dalis ir dalijimas tęsiamas tol, kol liekana lygi nuliui.
Pavyzdžiai.
Padalijus skaičių (sveikąjį skaičių arba trupmeną) iš dešimtainės trupmenos visais atvejais gaunamas padalijimas iš sveikojo skaičiaus. Norėdami tai padaryti, padidinkite daliklį 10, 100, 1000 ir kt. kartų, o kad koeficientas nesikeistų, dividendas didinamas tiek pat kartų, o po to dalinamas iš sveikojo skaičiaus (kaip ir pirmuoju atveju).
Pavyzdys. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;
- Bendrų veiksmų su paprastosiomis ir dešimtosiomis trupmenomis pavyzdžiai.
Pirmiausia panagrinėkime visų operacijų su dešimtainėmis trupmenomis pavyzdį.
1 pavyzdys. Apskaičiuokite:
Čia jie naudoja dividendo ir daliklio sumažinimą iki sveikojo skaičiaus, atsižvelgdami į tai, kad koeficientas nesikeičia. Tada mes turime:
Sprendžiant bendrų veiksmų su paprastosiomis ir dešimtosiomis trupmenomis pavyzdžius, kai kurie veiksmai gali būti atliekami dešimtainėmis trupmenomis, o kai kurie – paprastosiomis trupmenomis. Reikia turėti omenyje, kad bendrąją trupmeną ne visada galima paversti galutine dešimtaine trupmena. Todėl dešimtainę trupmeną galima rašyti tik tada, kai patikrinama, ar toks konvertavimas įmanomas.
2 pavyzdys. Apskaičiuokite:
Palūkanos
Procentų samprata.Skaičiaus procentas yra šimtoji šio skaičiaus dalis. Pavyzdžiui, užuot sakius „54 šimtosios visų mūsų šalies gyventojų yra moterys“, galima sakyti „54 procentai visų mūsų šalies gyventojų yra moterys“. Vietoj žodžio „procentas“ jie taip pat rašo % ženklą, pavyzdžiui, 35% reiškia 35 procentus.
Kadangi procentas yra šimtoji dalis, tai reiškia, kad procentas yra trupmena, kurios vardiklis yra 100. Todėl trupmena yra 0,49 arba, galima perskaityti kaip 49 proc., o rašyti be vardiklio kaip 49 proc. Apskritai, nustačius, kiek šimtųjų dalių yra tam tikroje dešimtainėje trupmenoje, nesunku ją parašyti procentais. Norėdami tai padaryti, naudokite taisyklę: norėdami parašyti dešimtainę trupmeną procentais, šios trupmenos kablelį turite perkelti dviem vietomis į dešinę.
Pavyzdžiai. 0,33 = 33 %; 1,25 = 125 %; 0,002 = 0,2 %; 21 = 2100 %.
Ir atvirkščiai: 7% = 0,07; 24,5 % = 0,245; 0,1 % = 0,001; 200 % = 2.
1. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas
Užduotis. Pagal planą traktorininkų komanda turi sunaudoti 9 tonas degalų. Traktoristai prisiėmė socialinį įsipareigojimą sutaupyti 20% degalų. Nustatykite degalų taupymą tonomis.
Jei šiame uždavinyje vietoj 20 % užrašysime jam lygų skaičių 0,2, gausime uždavinį rasti skaičiaus trupmeną. Ir tokios problemos išsprendžiamos dauginant. Tai yra sprendimas:
20 % = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 (m).
Skaičiavimai gali būti parašyti taip:
(m)
Norint rasti kelis procentus nurodyto skaičiaus, pakanka duotas numeris padalykite iš 100 ir padauginkite rezultatą iš procentų.
Užduotis. Darbininkas 1963 metais gaudavo 90 rublių per mėnesį, o 1964 metais pradėjo gauti 30% daugiau. Kiek jis uždirbo 1964 m.?
Sprendimas (pirmasis metodas).
1) Kiek daugiau rublių gavo darbuotojas?
(trinti.)
90 + 27 = 117 (rub).
Antras būdas.
1) Kokį procentą ankstesnio uždarbio darbuotojas pradėjo gauti 1964 m.?
100% + 30% = 130%.
2) Koks buvo darbininko mėnesinis atlyginimas 1964 m.?
(trinti.)
2. Skaičiaus radimas iš nurodytos jo procentinės reikšmės.
Užduotis. Kolūkis kukurūzais pasėjo 280 hektarų plote, tai sudaro 14% viso pasėto ploto. Nustatykite kolūkio apsėtą plotą.
Jei šioje užduotyje vietoj 14% rašome 0,14 arba, tada gauname užduotį surasti skaičių iš žinomos jo trupmenos reikšmės. Ir tokios problemos sprendžiamos dalijant.
Sprendimas. 14 % = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Šis sprendimas taip pat gali būti suformuluotas taip:
(ha)
Norėdami rasti skaičių, pagrįstą tam tikra kelių procentų verte, pakanka padalyti šią reikšmę iš procentų skaičiaus ir padauginti rezultatą iš 100.
Užduotis. Kovo mėnesį gamykla išlydė 125,4 T metalo, planą viršijantis 4,5 proc. Kiek tonų metalo gamykla pagal planą turėjo išlydyti kovo mėnesį?
Sprendimas.
1) Kiek procentų gamykla įvykdė planą kovo mėnesį?
100% + 4,5% = 104,5%.
2) Kiek tonų metalo augalas turėtų išlydyti?
(ha)
- Procentinio ryšio tarp dviejų skaičių nustatymas.
Užduotis. Mums reikia suarti 300 hektarų žemės. Pirmą dieną buvo suarta 120 hektarų. Kiek procentų užduoties buvo atlikta pirmą dieną?
Sprendimas.
Pirmas būdas. 300 hektarų yra 100 %, tai reiškia, kad 1 % sudaro 3 hektarus. Nustatę, kiek kartų 3 hektarai, sudarantys 1%, yra 120 hektarų, sužinome, kiek procentų žemės buvo suarta pirmą dieną.
120: 3 = 40(%).
Antras būdas. Nustačius, kokia žemės dalis buvo suarta pirmą dieną, šią dalį išreiškiame procentais.
Užsirašykime skaičiavimą:
Norėdami apskaičiuoti skaičiaus procentą a iki skaičiaus b , reikia susirasti santykį nuo a iki b ir padauginkite iš 100.