Išraiškos, lygtys ir lygčių sistemos
Su kompleksiniai skaičiai

Šiandien pamokose praktikuosime tipines operacijas su kompleksiniais skaičiais, taip pat įsisavinsime reiškinių, lygčių ir lygčių sistemų, kuriose yra šie skaičiai, sprendimo techniką. Šis seminaras yra pamokos tęsinys, todėl, jei nesate gerai susipažinęs su tema, sekite aukščiau esančią nuorodą. Na, o labiau pasiruošusiems skaitytojams siūlau iš karto apšilti:

1 pavyzdys

Supaprastinkite išraišką , Jei. Rezultatą pavaizduokite trigonometrine forma ir nubraižykite kompleksinėje plokštumoje.

Sprendimas: taigi, reikia trupmeną pakeisti „baisia“ trupmena, atlikti supaprastinimus ir konvertuoti rezultatą kompleksinis skaičius V trigonometrinė forma. Plius piešinys.

Koks yra geriausias būdas įforminti sprendimą? Su "rafinuotu" algebrinė išraiška Geriau tai suprasti žingsnis po žingsnio. Pirma, dėmesys mažiau blaškomas, antra, jei užduotis nebus priimta, bus daug lengviau rasti klaidą.

1) Pirma, supaprastinkime skaitiklį. Pakeiskime vertę, atidarykime skliaustus ir pataisykime šukuoseną:

...Taip, toks Quasimodo atsirado iš kompleksinių skaičių...

Priminsiu, kad transformacijų metu naudojami visiškai paprasti dalykai - daugianario daugybos taisyklė ir jau banalia tapusi lygybė. Svarbiausia yra būti atsargiems ir nesusipainioti dėl ženklų.

2) Dabar ateina vardiklis. Jei , tai:

Atkreipkite dėmesį, kokia neįprasta interpretacija ji naudojama kvadratinės sumos formulė. Arba čia galite atlikti pertvarkymą subformulė Rezultatai natūraliai bus tokie patys.

3) Ir galiausiai, visa išraiška. Jei , tai:

Norėdami atsikratyti trupmenos, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio konjuguotos išraiškos. Tuo pačiu metu taikymo tikslais kvadratinių skirtumų formulės pirmiausia turi (ir jau būtina!) neigiamą realiąją dalį įdėkite į 2 vietą:

O dabar pagrindinė taisyklė:

MES NESKUBESME! Geriau žaisti saugiai ir žengti papildomą žingsnį.
Išraiškose, lygtyse ir sistemose su kompleksiniais skaičiais, įžūlūs žodiniai skaičiavimai labiau apimtas nei bet kada!

Paskutiniame žingsnyje buvo geras sumažinimas ir tai tik puikus ženklas.

Pastaba : griežtai kalbant, čia įvyko kompleksinio skaičiaus padalijimas iš kompleksinio skaičiaus 50 (atminkite tai). Apie šį niuansą iki šiol tylėjau, apie tai pakalbėsime kiek vėliau.

Savo pasiekimus pažymėkime raide

Gautą rezultatą pateiksime trigonometrine forma. Paprastai tariant, čia galima apsieiti ir be piešinio, bet kadangi jis reikalingas, tai kiek racionaliau tai padaryti dabar:

Apskaičiuokime kompleksinio skaičiaus modulį:

Jei piešiate 1 vieneto skalėje. = 1 cm (2 bloknoto langeliai), tada gautą vertę galima lengvai patikrinti naudojant įprastą liniuotę.

Raskime argumentą. Kadangi skaičius yra 2 koordinačių ketvirtyje, tada:

Kampą galima nesunkiai patikrinti su transporteriu. Tai neabejotinas piešinio pranašumas.

Taigi: – reikiamas skaičius trigonometrine forma.

Patikrinkime:
, ką reikėjo patikrinti.

Nepažįstamos vertybės patogu rasti sinusus ir kosinusus pagal trigonometrinė lentelė.

Atsakymas:

Panašus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

2 pavyzdys

Supaprastinkite išraišką , Kur. Nubrėžkite gautą skaičių kompleksinėje plokštumoje ir parašykite jį eksponentine forma.

Stenkitės nepraleisti pamokų. Jie gali atrodyti paprasti, bet be treniruočių „įlipti į balą“ ne tik lengva, bet ir labai lengva. Todėl mes „paimame savo rankas“.

Dažnai problema turi daugiau nei vieną sprendimą:

3 pavyzdys

Apskaičiuokite, jei,

Sprendimas: visų pirma atkreipkime dėmesį į pradinę sąlygą – vienas skaičius pateikiamas algebrine, o kitas trigonometrine forma ir net su laipsniais. Nedelsdami perrašykime jį labiau pažįstama forma: .

Kokia forma turėtų būti atliekami skaičiavimai? Išraiška akivaizdžiai apima pirmąjį dauginimą ir tolesnį kėlimą iki 10 laipsnio Moivre'o formulė, kuris yra suformuluotas kompleksinio skaičiaus trigonometrinei formai. Taigi atrodo logiškiau konvertuoti pirmąjį skaičių. Raskime jo modulį ir argumentą:

Mes naudojame taisyklę kompleksiniams skaičiams padauginti trigonometrine forma:
jei, tada

Teisingai padarę trupmeną, darome išvadą, kad galime „pasukti“ 4 posūkius (džiugu):

Antras sprendimas yra konvertuoti 2-ąjį skaičių į algebrinę formą , atlikite daugybą algebrine forma, paverskite rezultatą į trigonometrinę formą ir naudokite Moivre formulę.

Kaip matote, yra vienas „papildomas“ veiksmas. Norintys gali priimti sprendimą ir įsitikinti, kad rezultatai bus tokie patys.

Sąlyga nieko nesako apie galutinio kompleksinio skaičiaus formą, todėl:

Atsakymas:

Tačiau „dėl grožio“ arba pagal poreikį rezultatą nesunku įsivaizduoti algebrine forma:

Savarankiškai:

4 pavyzdys

Supaprastinkite išraišką

Čia turime prisiminti veiksmai su laipsniais, nors vadove nėra vienos naudingos taisyklės, čia ji yra: .

Ir dar viena svarbi pastaba: pavyzdį galima išspręsti dviem stiliais. Pirmasis variantas yra dirbti su du skaičiai ir gerai su trupmenomis. Antrasis variantas – kiekvieną skaičių pavaizduoti kaip dviejų skaičių dalinys: Ir atsikratyti keturių aukštų struktūros. Formaliu požiūriu nesvarbu, kaip nuspręsite, tačiau yra esminis skirtumas! Prašome gerai pagalvoti apie:
yra kompleksinis skaičius;
yra dviejų kompleksinių skaičių ( ir ) koeficientas, tačiau priklausomai nuo konteksto taip pat galite pasakyti: skaičius, vaizduojamas kaip dviejų kompleksinių skaičių dalinys.

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Išraiškos geros, bet lygtys geresnės:

Lygtys su kompleksiniais koeficientais

Kuo jos skiriasi nuo „įprastų“ lygčių? Šansai =)

Atsižvelgdami į aukščiau pateiktą komentarą, pradėkime nuo šio pavyzdžio:

5 pavyzdys

Išspręskite lygtį

Ir iš karto preambulė „karšta ant kulnų“: iš pradžių dešinioji lygties pusė yra dviejų kompleksinių skaičių ( ir 13) koeficientas, todėl nebus geros formos perrašykite sąlygą skaičiumi (nors tai nesukels klaidos). Šis skirtumas, beje, aiškiau matomas trupmenoje – jei, santykinai kalbant, tai ši reikšmė pirmiausia suprantama kaip „pilna“ sudėtinga lygties šaknis, o ne kaip skaičiaus daliklis, o ypač ne kaip skaičiaus dalis!

Sprendimas, iš esmės, taip pat gali būti išdėstytas žingsnis po žingsnio, bet šiuo atvejužaidimas nevertas žvakės. Pradinė užduotis yra supaprastinti viską, kas neturi nežinomo „z“, todėl lygtis bus sumažinta iki formos:

Mes užtikrintai supaprastiname vidurinę trupmeną:

Perkeliame rezultatą į dešinę pusę ir randame skirtumą:

Pastaba : ir vėl atkreipiu jūsų dėmesį į prasmingą dalyką - čia mes ne atėmėme skaičių iš skaičiaus, o atvedėme trupmenas į bendras vardiklis! Pažymėtina, kad jau sprendžiant PROGRESS nedraudžiama dirbti su skaičiais: , tačiau nagrinėjamame pavyzdyje šis stilius yra labiau žalingas nei naudingas =)

Pagal proporcingumo taisyklę išreiškiame „zet“:

Dabar vėl galite padalyti ir padauginti iš konjugato, tačiau įtartinai panašūs skaičiai skaitiklyje ir vardiklyje rodo kitą žingsnį:

Atsakymas:

Norėdami patikrinti, pakeiskime gautą reikšmę į kairę pradinės lygties pusę ir atlikime supaprastinimus:

– gaunama dešinioji pradinės lygties pusė, taigi šaknis randama teisingai.

...Dabar, dabar... surasiu ką nors įdomesnio tau... štai ir:

6 pavyzdys

Išspręskite lygtį

Ši lygtis redukuojama į formą, o tai reiškia, kad ji yra tiesinė. Manau, užuomina aiški – pirmyn!

Žinoma... kaip tu gali gyventi be jo:

Kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais

Klasėje Sudėtingi skaičiai manekenams mes sužinojome, kad kvadratinė lygtis su realiais koeficientais gali turėti konjuguotas sudėtingas šaknis, po kurių kyla logiškas klausimas: kodėl iš tikrųjų patys koeficientai negali būti sudėtingi? Leiskite man suformuluoti bendrą atvejį:

Kvadratinė lygtis su savavališkais kompleksiniais koeficientais (1 arba 2 iš jų arba visi trys gali būti tinkami) turi du ir tik du sudėtinga šaknis (galbūt vienas arba abu galioja). Tuo pačiu ir šaknys (ir tikroji, ir su ne nuline įsivaizduojama dalimi) gali sutapti (būti daugkartiniai).

Kvadratinė lygtis su sudėtingais koeficientais išspręsta naudojant tą pačią schemą kaip "mokyklos" lygtis, su tam tikrais skaičiavimo technikos skirtumais:

7 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis

Sprendimas: įsivaizduojamas vienetas yra pirmoje vietoje, ir iš esmės galite jo atsikratyti (dauginant iš abiejų pusių) tačiau tam nėra ypatingo poreikio.

Patogumui išrašome koeficientus:

Nepraraskime nemokamo nario „minuso“! ...Gal ne visiems bus aišku – perrašysiu lygtį standartine forma :

Apskaičiuokime diskriminantą:

Ir čia yra pagrindinė kliūtis:

Bendrosios šaknies ištraukimo formulės taikymas (žr. paskutinę straipsnio pastraipą Sudėtingi skaičiai manekenams) sudėtinga dėl rimtų sunkumų, susijusių su radikalaus kompleksinio skaičiaus argumentu (pažiūrėkite patys). Tačiau yra ir kitas, „algebrinis“ būdas! Šaknies ieškosime formoje:

Palyginkime abi puses:

Du kompleksiniai skaičiai yra lygūs, jei jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios. Taigi gauname tokią sistemą:

Sistemą lengviau išspręsti pasirinkus (nuodugnesnis būdas yra išreikšti iš 2-osios lygties - pakeisti į 1-ąją, gauti ir išspręsti bikvadratinę lygtį). Darydami prielaidą, kad problemos autorius nėra pabaisa, iškeliame hipotezę, kad ir yra sveikieji skaičiai. Iš 1-osios lygties matyti, kad „x“ modulo daugiau nei "Y". Be to, teigiamas produktas mums sako, kad nežinomieji yra to paties ženklo. Remdamiesi tuo, kas išdėstyta pirmiau, ir sutelkdami dėmesį į 2-ąją lygtį, užrašome visas ją atitinkančias poras:

Akivaizdu, kad 1-ąją sistemos lygtį tenkina paskutinės dvi poros, taigi:

Tarpinis patikrinimas nepakenktų:

kurį reikėjo patikrinti.

Galite pasirinkti kaip „darbinę“ šaknį bet koks prasmė. Akivaizdu, kad geriau pasirinkti versiją be „minusų“:

Mes randame šaknis, beje, nepamiršdami, kad:

Atsakymas:

Patikrinkime, ar rastos šaknys tenkina lygtį :

1) Pakeiskime:

tikroji lygybė.

2) Pakeiskime:

tikroji lygybė.

Taigi sprendimas buvo rastas teisingai.

Remiantis problema, kurią ką tik aptarėme:

8 pavyzdys

Raskite lygties šaknis

Reikėtų pažymėti, kad kvadratinė šaknis grynai kompleksinis skaičiai gali būti lengvai išgauti naudojant bendrą formulę , Kur , todėl pavyzdyje parodyti abu metodai. Antroji naudinga pastaba susijusi su tuo, kad preliminarus konstantos šaknies ištraukimas visiškai nesupaprastina sprendimo.

Dabar galite atsipalaiduoti – šiame pavyzdyje išsiskirsite su nedideliu išgąsčiu :)

9 pavyzdys

Išspręskite lygtį ir patikrinkite

Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Paskutinė straipsnio pastraipa skirta

lygčių sistema su kompleksiniais skaičiais

Atsipalaiduokime ir... neįsitempkime =) Panagrinėkime paprasčiausią atvejį – dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą:

10 pavyzdys

Išspręskite lygčių sistemą. Pateikite atsakymą algebrine ir eksponentine forma, brėžinyje pavaizduokite šaknis.

Sprendimas: pati sąlyga rodo, kad sistema turi unikalų sprendimą, tai yra, turime rasti du skaičius, kurie tenkina visiems sistemos lygtis.

Sistema tikrai gali būti išspręsta „vaikiškai“. (išreikšti vieną kintamąjį kitais) , tačiau juo naudotis daug patogiau Cramerio formulės. Paskaičiuokime pagrindinis determinantas sistemos:

, o tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą.

Kartoju, kad geriau neskubėti ir kuo detaliau surašyti veiksmus:

Skaitiklį ir vardiklį padauginame iš įsivaizduojamo vieneto ir gauname 1-ąją šaknį:

Taip pat:

Gaunamos atitinkamos dešinės pusės ir kt.

Padarykime piešinį:

Pavaizduokime šaknis eksponentine forma. Norėdami tai padaryti, turite rasti jų modulius ir argumentus:

1) – „dviejų“ arktangentas apskaičiuojamas „blogai“, todėl paliekame jį taip:

Norėdami išspręsti sudėtingų skaičių problemas, turite suprasti pagrindinius apibrėžimus. Pagrindinė užduotisŠiame apžvalginiame straipsnyje paaiškinama, kas yra kompleksiniai skaičiai, ir pateikiami pagrindinių kompleksinių skaičių problemų sprendimo būdai. Taigi, kompleksinis skaičius bus vadinamas formos skaičiumi z = a + bi, Kur a, b- realieji skaičiai, kurie atitinkamai vadinami tikrosiomis ir įsivaizduojamomis kompleksinio skaičiaus dalimis ir žymi a = Re(z), b = Im(z).
i vadinamas įsivaizduojamu vienetu. i 2 = -1. Visų pirma, bet koks realusis skaičius gali būti laikomas sudėtingu: a = a + 0i, kur a yra tikras. Jeigu a = 0 Ir b ≠ 0, tada skaičius paprastai vadinamas tik įsivaizduojamu.

Dabar pristatykime operacijas su kompleksiniais skaičiais.
Apsvarstykite du kompleksinius skaičius z 1 = a 1 + b 1 i Ir z 2 = a 2 + b 2 i.

Pasvarstykime z = a + bi.

Kompleksinių skaičių aibė išplečia realiųjų skaičių aibę, o tai savo ruožtu praplečia racionaliųjų skaičių aibę ir pan. Šią investicijų grandinę galima pamatyti paveiksle: N – natūralieji skaičiai, Z – sveikieji skaičiai, Q – racionalus, R – realus, C – kompleksinis.

Kompleksinių skaičių vaizdavimas

Algebrinis žymėjimas.

Apsvarstykite kompleksinį skaičių z = a + bi, ši kompleksinio skaičiaus rašymo forma vadinama algebrinė. Šią įrašymo formą jau išsamiai aptarėme ankstesniame skyriuje. Šis vaizdinis piešinys naudojamas gana dažnai

Trigonometrinė forma.

Iš paveikslo matyti, kad skaičius z = a + bi galima rašyti skirtingai. Tai akivaizdu a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, vadinasi z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) vadinamas kompleksinio skaičiaus argumentu. Šis kompleksinio skaičiaus vaizdavimas vadinamas trigonometrinė forma. Trigonometrinė žymėjimo forma kartais yra labai patogi. Pavyzdžiui, patogu jį naudoti norint pakelti kompleksinį skaičių iki sveikojo skaičiaus laipsnio, būtent, jei z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Tai z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ši formulė vadinama Moivre'o formulė.

Demonstracinė forma.

Pasvarstykime z = rcos(φ) + rsin(φ)i- kompleksinis skaičius trigonometrine forma, parašykite jį kita forma z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, paskutinė lygybė išplaukia iš Eilerio formulės, todėl gauname nauja uniforma kompleksinių skaičių žymėjimas: z = reiφ, kuris vadinamas orientacinis. Ši žymėjimo forma taip pat labai patogi kompleksinį skaičių pakelti į laipsnį: z n = r n e inφ, Čia n nebūtinai sveikasis skaičius, bet gali būti savavališkas realusis skaičius. Ši žymėjimo forma gana dažnai naudojama problemoms spręsti.

Pagrindinė aukštosios algebros teorema

Įsivaizduokime, kad turime kvadratinę lygtį x 2 + x + 1 = 0. Akivaizdu, kad šios lygties diskriminantas yra neigiamas ir ji neturi realių šaknų, tačiau paaiškėja, kad ši lygtis turi dvi skirtingas sudėtingas šaknis. Taigi pagrindinė aukštesnės algebros teorema teigia, kad bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną kompleksinę šaknį. Iš to išplaukia, kad bet kuris n laipsnio daugianomas turi tiksliai n sudėtingų šaknų, atsižvelgiant į jų daugumą. Ši teorema yra labai svarbus matematikos rezultatas ir plačiai naudojama. Paprasta šios teoremos pasekmė yra ta, kad yra lygiai n skirtingų vienybės n laipsnio šaknų.

Pagrindinės užduočių rūšys

Šiame skyriuje bus aptariami pagrindiniai tipai paprastos užduotysį kompleksinius skaičius. Paprastai problemas, susijusias su kompleksiniais skaičiais, galima suskirstyti į šias kategorijas.

• Paprastų aritmetinių operacijų su kompleksiniais skaičiais atlikimas.
• Kompleksinių skaičių daugianario šaknų radimas.
• Kompleksinių skaičių didinimas laipsniais.
• Šaknų ištraukimas iš kompleksinių skaičių.
• Kompleksinių skaičių naudojimas kitoms problemoms spręsti.

Dabar pažvelkime į bendrus šių problemų sprendimo būdus.

Paprasčiausios aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais atliekamos pagal pirmoje dalyje aprašytas taisykles, tačiau jei kompleksiniai skaičiai pateikiami trigonometrinėmis arba eksponentinėmis formomis, tokiu atveju galite konvertuoti juos į algebrinę formą ir atlikti operacijas pagal žinomas taisykles.

Daugianario šaknų radimas paprastai reiškia kvadratinės lygties šaknis. Tarkime, kad turime kvadratinę lygtį, jei jos diskriminantas yra neneigiamas, tada jos šaknys bus tikrosios ir jas galima rasti pagal gerai žinomą formulę. Jei diskriminantas yra neigiamas, tai yra, D = -1∙a 2, Kur a yra tam tikras skaičius, tada diskriminantas gali būti pavaizduotas kaip D = (ia) 2, vadinasi √D = i|a|, tada galite naudoti jau žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę.

Pavyzdys. Grįžkime prie aukščiau minėtos kvadratinės lygties x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminuojantis - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Dabar galime lengvai rasti šaknis:

Sudėtinius skaičius pakelti į laipsnius galima keliais būdais. Jei jums reikia pakelti kompleksinį skaičių algebrine forma iki mažos laipsnio (2 arba 3), tai galite padaryti tiesioginiu dauginimu, tačiau jei galia yra didesnė (uždaviniuose ji dažnai yra daug didesnė), tada jums reikia parašykite šį skaičių trigonometrinėmis arba eksponentinėmis formomis ir naudokite jau žinomus metodus.

Pavyzdys. Apsvarstykite z = 1 + i ir padidinkite jį iki dešimtosios laipsnio.
Parašykime z eksponentinę formą: z = √2 e iπ/4.
Tada z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Grįžkime prie algebrinės formos: z 10 = -32i.

Šaknų išskyrimas iš kompleksinių skaičių yra atvirkštinė eksponencijos operacija, todėl atliekama panašiai. Šaknims išgauti dažnai naudojama eksponentinė skaičiaus rašymo forma.

Pavyzdys. Raskime visas 3 vienybės laipsnio šaknis. Tam rasime visas lygties z 3 = 1 šaknis, ieškosime šaknų eksponentinės formos.
Pakeiskime į lygtį: r 3 e 3iφ = 1 arba r 3 e 3iφ = e 0 .
Vadinasi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, todėl φ = 2πk/3.
Skirtingos šaknys gaunamos, kai φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Todėl 1, e i2π/3, e i4π/3 yra šaknys.
Arba algebrine forma:

Paskutinis problemų tipas apima didžiulę problemų įvairovę ir nėra bendrų jų sprendimo būdų. Pateiksime paprastą tokios užduoties pavyzdį:

Raskite sumą nuodėmė (x) + nuodėmė (2x) + nuodėmė (2x) + … + nuodėmė (nx).

Nors formuluojant šią problemą nekalbama apie kompleksinius skaičius, su jų pagalba ją galima nesunkiai išspręsti. Norėdami tai išspręsti, naudojami šie vaizdai:


Jei dabar šį vaizdą pakeisime suma, tada problema sumažinama iki įprastos geometrinės progresijos sumavimo.

Išvada

Kompleksiniai skaičiai plačiai naudojami matematikoje naudotis specializuota literatūra.

Literatūra

FEDERALINĖ ŠVIETIMO AGENTŪRA

VALSTYBINĖ UGDYMO ĮSTAIGA

AUKŠTESIS PROFESINIS IŠSILAVINIMAS

"VORONEŽO VALSTYBINIS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS"

AGLEBROS IR GEOMETRIJOS SKYRIUS

Sudėtingi skaičiai

(pasirinktos užduotys)

KVALIFIKACIJOS DARBAS

specialybė 050201.65 matematika

(su papildoma specialybe 050202.65 informatika)

Baigė: 5 kurso studentas

fizinis ir matematinis

fakultetas

Mokslinis vadovas:

VORONEŽAS – 2008 m

1. Įvadas………………………………………………………………..…

2. Sudėtiniai skaičiai (pasirinktos problemos)

2.1. Sudėtiniai skaičiai algebrine forma………………….….

2.2. Geometrinis kompleksinių skaičių aiškinimas………………

2.3. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma

2.4. Kompleksinių skaičių teorijos taikymas sprendžiant 3 ir 4 laipsnio lygtis……………..………………………………………………………………

2.5. Sudėtingi skaičiai ir parametrai………………………………………….

3. Išvada……………………………………………………………………………….

4. Literatūros sąrašas………………………………………………………

1. Įvadas

Matematikos programoje mokyklos kursas skaičių teorija supažindinama naudojant aibių pavyzdžius natūraliuosius skaičius, visuma, racionali, neracionali, t.y. realiųjų skaičių aibėje, kurios atvaizdai užpildo visą skaičių eilutę. Bet jau 8 klasėje neužtenka realiųjų skaičių atsargų, sprendimų kvadratines lygtis su neigiamu diskriminantu. Todėl realiųjų skaičių atsargas reikėjo papildyti kompleksiniais skaičiais, kurių kvadratinė šaknis neigiamas skaičius turi prasmę.

Kaip baigimo temą pasirinkau temą „Sudėtingi skaičiai“. kvalifikacinis darbas, yra tai, kad kompleksinio skaičiaus samprata praplečia studentų žinias apie skaičių sistemas, apie įvairių algebrinio ir geometrinio turinio uždavinių sprendimą, apie bet kokio laipsnio algebrinių lygčių ir parametrų uždavinių sprendimą.

Šiame darbe nagrinėjamas 82 problemų sprendimas.

Pirmoje pagrindinės skyriaus dalyje „Sudėtiniai skaičiai“ pateikiami uždavinių, susijusių su kompleksiniais skaičiais algebrine forma, sprendimai, apibrėžiamos sudėties, atimties, daugybos, dalybos operacijos, konjugacijos operacija kompleksiniams skaičiams algebrine forma, įsivaizduojamo vieneto galia. , kompleksinio skaičiaus modulis, taip pat nustato kompleksinio skaičiaus kvadratinės šaknies išskyrimo taisyklę.

Antroje dalyje sprendžiami kompleksinių skaičių geometrinio interpretavimo uždaviniai kompleksinės plokštumos taškų arba vektorių pavidalu.

Trečioje dalyje nagrinėjamos operacijos su kompleksiniais skaičiais trigonometrine forma. Naudojamos formulės: Moivre ir kompleksinio skaičiaus šaknies ištraukimas.

Ketvirtoji dalis skirta 3 ir 4 laipsnių lygtims spręsti.

Sprendžiant paskutinės dalies „Sudėtiniai skaičiai ir parametrai“ uždavinius, naudojama ir konsoliduojama ankstesnėse dalyse pateikta informacija. Eilė uždavinių skyriuje yra skirta tiesių šeimoms nustatyti kompleksinėje plokštumoje, apibrėžtoje lygtimis (nelygybėmis) su parametru. Dalyje pratimų reikia išspręsti lygtis su parametru (virš C lauko). Yra užduočių, kai sudėtingas kintamasis vienu metu tenkina keletą sąlygų. Ypatinga šio skyriaus uždavinių sprendimo ypatybė – daugelio jų redukcija iki antrojo laipsnio lygčių (nelygybių, sistemų) sprendinių, neracionalių, trigonometrinių su parametru.

Kiekvienos dalies medžiagos pateikimo ypatybė yra pradinė įvestis teoriniai pagrindai o vėliau jų praktinis pritaikymas sprendžiant problemas.

Pabaigoje baigiamasis darbas pateikiamas naudotos literatūros sąrašas. Dauguma jų pakankamai išsamiai ir prieinamai pateikia teorinę medžiagą, aptaria kai kurių problemų sprendimus, pateikia praktines užduotis savarankiškam sprendimui. Ypatingas dėmesys Norėčiau kreiptis į tokius šaltinius kaip:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Sudėtiniai skaičiai ir jų taikymas: Vadovėlis. . Medžiaga mokymo priemonė pristatoma paskaitų ir praktinių pratybų forma.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Pasirinkti elementariosios matematikos uždaviniai ir teoremos. Aritmetika ir algebra. Knygoje yra 320 uždavinių, susijusių su algebra, aritmetika ir skaičių teorija. Šios užduotys savo pobūdžiu labai skiriasi nuo įprastų mokyklinių užduočių.

2. Sudėtiniai skaičiai (pasirinktos problemos)

2.1. Sudėtiniai skaičiai algebrine forma

Daugelio matematikos ir fizikos uždavinių sprendimas susiveda į algebrinių lygčių sprendimą, t.y. formos lygtys

,

kur a0, a1, …, an yra realieji skaičiai. Todėl algebrinių lygčių tyrimas yra vienas iš kritiniais klausimais matematikoje. Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis su neigiamu diskriminantu neturi realių šaknų. Paprasčiausia tokia lygtis yra lygtis

.

Kad ši lygtis turėtų sprendinį, reikia išplėsti realiųjų skaičių aibę, pridedant prie jos lygties šaknį

.

Pažymime šią šaknį

. Taigi pagal apibrėžimą arba

vadinasi,

.

vadinamas įsivaizduojamu vienetu. Su jo pagalba ir realiųjų skaičių poros pagalba sudaroma formos išraiška.

Gauta išraiška buvo vadinama kompleksiniais skaičiais, nes juose buvo ir tikroji, ir menama dalys.

Taigi, kompleksiniai skaičiai yra formos išraiškos

, ir yra realūs skaičiai, ir yra tam tikras simbolis, atitinkantis sąlygą . Skaičius vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus dalimi, o skaičius yra jo įsivaizduojama dalis. Simboliai , naudojami jiems žymėti.

Sudėtiniai formos skaičiai yra realūs skaičiai

, ir yra realūs skaičiai, ir yra tam tikras simbolis, atitinkantis sąlygą . Skaičius vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus dalimi, o skaičius yra jo įsivaizduojama dalis. Simboliai , naudojami jiems žymėti.

ir todėl kompleksinių skaičių aibėje yra realiųjų skaičių aibė.

yra vadinami grynai įsivaizduojamais. Du formos ir kompleksiniai skaičiai yra lygūs, jei jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios, t.y. jei lygybės , .

78875C8D

Bet kokio tipo lygčių sprendimas internetu studentams ir moksleiviams skirtoje svetainėje, kad būtų galima konsoliduoti studijuojamą medžiagą. Lygčių sprendimas internetu. Lygtys internete. Egzistuoja algebrinės, parametrinės, transcendentinės, funkcinės, diferencialinės ir kitokios lygtys. formulės forma, kuri gali apimti parametrus. Analitinės išraiškos leidžia ne tik apskaičiuoti šaknis, bet ir analizuoti jų egzistavimą bei kiekį priklausomai nuo parametrų reikšmių, o tai dažnai dar svarbiau praktinis pritaikymas, kaip konkrečias vertybesšaknys. Lygčių sprendimas internetu.. Lygtys internetu. Išspręsti lygtį yra užduotis rasti tokias argumentų vertes, kuriomis pasiekiama ši lygybė. Galimoms argumentų reikšmėms gali būti nustatytos papildomos sąlygos (sveikasis skaičius, tikrasis ir kt.). Lygčių sprendimas internetu.. Lygtys internetu. Jūs galite išspręsti lygtį internete akimirksniu ir su dideliu rezultato tikslumu. Nurodytų funkcijų argumentai (kartais vadinami „kintamaisiais“) lygties atveju vadinami „nežinomaisiais“. Nežinomųjų reikšmės, kuriomis pasiekiama ši lygybė, vadinamos šios lygties sprendiniais arba šaknimis. Sakoma, kad šaknys tenkina šią lygtį. Spręsti lygtį internete reiškia surasti visų jos sprendinių (šaknų) aibę arba įrodyti, kad šaknų nėra. Lygčių sprendimas internetu.. Lygtys internetu. Lygtys, kurių šaknų aibės sutampa, vadinamos ekvivalentinėmis arba lygiomis. Lygtys, kurios neturi šaknų, taip pat laikomos lygiavertėmis. Lygčių lygiavertiškumas turi simetrijos savybę: jei viena lygtis yra lygiavertė kitai, tai antroji lygtis yra lygi pirmajai. Lygčių lygiavertiškumas turi tranzityvumo savybę: jei viena lygtis yra lygiavertė kitai, o antroji lygiavertė trečiajai, tai pirmoji lygtis yra lygiavertė trečiajai. Lygčių lygiavertiškumo savybė leidžia su jomis atlikti transformacijas, kuriomis grindžiami jų sprendimo metodai. Lygčių sprendimas internetu.. Lygtys internetu. Svetainė leis jums išspręsti lygtį internete. Lygtys, kurių analitiniai sprendimai yra žinomi, apima algebrines ne aukštesnes nei ketvirtojo laipsnio lygtis: tiesinę lygtį, kvadratinę lygtį, kubinę lygtį ir ketvirtojo laipsnio lygtį. Aukštesnių laipsnių algebrinės lygtys bendruoju atveju neturi analitinio sprendimo, nors kai kurias iš jų galima redukuoti į žemesnio laipsnio lygtis. Lygtys, apimančios transcendentines funkcijas, vadinamos transcendentinėmis. Tarp jų kai kuriems žinomi analitiniai sprendimai trigonometrines lygtis, nes trigonometrinių funkcijų nuliai yra gerai žinomi. Bendruoju atveju, kai nepavyksta rasti analitinio sprendimo, naudojami skaitiniai metodai. Skaitiniai metodai nepateikia tikslaus sprendimo, o tik leidžia susiaurinti intervalą, kuriame yra šaknis, iki tam tikros iš anksto nustatytos reikšmės. Lygčių sprendimas internetu.. Lygtys internetu.. Vietoj lygties internete įsivaizduosime, kaip ta pati išraiška formuoja tiesinį ryšį ne tik išilgai tiesiosios liestinės, bet ir pačiame grafiko vingio taške. Šis metodas yra būtinas bet kuriuo metu studijuojant dalyką. Dažnai atsitinka taip, kad sprendžiant lygtis priartėjama prie galutinės reikšmės naudojant begalinius skaičius ir rašant vektorius. Būtina patikrinti pradinius duomenis ir tai yra užduoties esmė. Kitu atveju vietinė sąlyga konvertuojama į formulę. Inversija tiesia linija nuo suteikta funkcija, kurią lygties skaičiuotuvas apskaičiuos be didelio įvykdymo delsimo, poslinkiui pasitarnaus erdvės privilegija. Pakalbėsime apie mokinių pasirodymus mokslo bendruomenei. Tačiau, kaip ir visa tai, kas išdėstyta aukščiau, tai padės mums rasti ir, kai visiškai išspręsite lygtį, gautą atsakymą išsaugokite tiesios linijos segmento galuose. Tiesės erdvėje susikerta taške ir šis taškas vadinamas susikertamu tiesėmis. Intervalas eilutėje nurodomas kaip nurodyta anksčiau. Bus paskelbtas aukščiausias matematikos studijų postas. Priskirdami argumento reikšmę iš parametriškai nurodyto paviršiaus ir išsprendę lygtį internete, galėsite nubrėžti produktyvios prieigos prie funkcijos principus. Möbius juostelė arba begalybė, kaip ji vadinama, atrodo kaip aštunta figūra. Tai vienpusis paviršius, o ne dvipusis. Pagal visiems žinomą principą objektyviai priimsime tiesines lygtis už pagrindinį pavadinimą, koks yra, ir studijų srityje. Tik dvi nuosekliai pateiktų argumentų reikšmės gali atskleisti vektoriaus kryptį. Darant prielaidą, kad kitas internetinių lygčių sprendimas yra daug daugiau nei tiesiog jo sprendimas, reiškia gauti visavertę invarianto versiją. Be integruotas požiūris studentams sunku mokytis ši medžiaga. Kaip ir anksčiau, kiekvienu ypatingu atveju mūsų patogi ir išmani internetinė lygčių skaičiuoklė padės kiekvienam sunkmečiu, nes tereikia nurodyti įvesties parametrus ir atsakymą paskaičiuos pati sistema. Prieš pradėdami įvesti duomenis, mums reikės įvesties įrankio, kurį galima padaryti be didelių sunkumų. Kiekvieno atsakymo įverčio skaičius lems mūsų išvadų kvadratinę lygtį, tačiau tai padaryti nėra taip paprasta, nes nesunku įrodyti priešingai. Teorija dėl jos ypatumų neparemta praktinėmis žiniomis. Pamatyti trupmenų skaičiuotuvą atsakymo paskelbimo etape nėra lengva matematikos užduotis, nes alternatyva įrašyti skaičių rinkinyje padeda padidinti funkcijos augimą. Tačiau nekalbėti apie studentų mokymą būtų neteisinga, todėl kiekvienas pasakysime tiek, kiek reikės padaryti. Anksčiau rasta kubinė lygtis teisėtai priklausys apibrėžimo sričiai ir joje bus skaitinių reikšmių erdvė, taip pat simboliniai kintamieji. Išmokę ar išmokę teoremą, mūsų mokiniai parodys save tik iš geriausio, ir mes džiaugsimės už juos. Skirtingai nuo kelių laukų sankirtos, mūsų internetinės lygtys apibūdinamos judėjimo plokštuma, padauginus dvi ir tris skaitines kombinuotas linijas. Matematikos aibė nėra apibrėžta vienareikšmiškai. Geriausias sprendimas, pasak studentų, yra pilnas išraiškos įrašymas. Kaip sakoma mokslinėje kalboje, simbolinių posakių abstrakcija neįeina į reikalų būklę, tačiau lygčių sprendimas duoda vienareikšmį rezultatą žinomų atvejų. Mokytojo pamokos trukmė priklauso nuo šio pasiūlymo poreikių. Analizė parodė visų skaičiavimo metodų būtinybę daugelyje sričių, ir visiškai aišku, kad lygčių skaičiuotuvas yra nepakeičiamas įrankis gabiose studento rankose. Ištikimas požiūris į matematikos studijas lemia skirtingų krypčių požiūrių svarbą. Norite nustatyti vieną iš pagrindinių teoremų ir išspręsti lygtį tokiu būdu, priklausomai nuo atsakymo, kuris bus toliau reikalingas ją taikyti. Analizė šioje srityje įgauna pagreitį. Pradėkime nuo pradžių ir išveskime formulę. Peržengus funkcijos padidėjimo lygį, linija išilgai liestinės vingio taške neabejotinai lems tai, kad lygties sprendimas internetu bus vienas iš pagrindinių aspektų sudarant tą patį grafiką iš funkcijos argumento. Mėgėjiškas požiūris turi teisę būti taikomas, jei ši sąlyga neprieštarauja mokinių išvadoms. Būtent antrinė užduotis matematinių sąlygų, kaip tiesinių lygčių, analizę perkelia į esamą objekto apibrėžimo sritį, kuri perkeliama į antrą planą. Užskaitymas ortogonalumo kryptimi panaikina vienos absoliučios vertės pranašumą. Modulo lygčių sprendimas internete pateikia tiek pat sprendinių, jei skliaustus pirmiausia atidarote pliuso, o tada minuso ženklu. Tokiu atveju sprendimų bus dvigubai daugiau, o rezultatas bus tikslesnis. Stabili ir teisinga internetinė lygčių skaičiuoklė – tai sėkmė siekiant užsibrėžto tikslo mokytojo iškeltoje užduotyje. Reikalingas metodas atrodo, kad galima rinktis dėl didelių mokslininkų požiūrių skirtumų. Gauta kvadratinė lygtis apibūdina tiesių kreivę, vadinamąją parabolę, o ženklas nustatys jos išgaubimą kvadratinėje koordinačių sistemoje. Iš lygties gauname ir diskriminantą, ir pačias šaknis pagal Vietos teoremą. Pirmas žingsnis yra pateikti išraišką kaip tinkamą ar netinkamą trupmeną ir naudoti trupmenų skaičiuotuvą. Atsižvelgiant į tai, bus sudarytas tolesnių mūsų skaičiavimų planas. Matematika pas teorinis požiūris bus naudinga kiekviename etape. Rezultatą būtinai pateiksime kaip kubinę lygtį, nes šioje išraiškoje paslėpsime jo šaknis, siekdami supaprastinti užduotį studentui universitete. Bet kokie metodai yra geri, jei jie tinkami paviršutiniškai analizei. Papildomos aritmetinės operacijos nesukels skaičiavimo klaidų. Nurodo atsakymą nurodytu tikslumu. Naudodami lygčių sprendimą, pripažinkime – rasti nepriklausomą tam tikros funkcijos kintamąjį nėra taip paprasta, ypač tuo laikotarpiu, kai tiriamos lygiagrečios tiesės begalybėje. Atsižvelgiant į išimtį, poreikis yra labai akivaizdus. Poliškumo skirtumas yra aiškus. Iš dėstymo institutuose patirties mokėsi mūsų mokytojas pagrindinė pamoka, kurioje lygtys buvo tiriamos internete visa matematine prasme. Čia buvo kalbama apie didesnes pastangas ir specialius teorijos taikymo įgūdžius. Mūsų išvadų naudai nereikėtų žiūrėti per prizmę. Dar visai neseniai tuo buvo tikima uždaras komplektas greitai didėja tokioje srityje, kokia ji yra, ir tiesiog reikia ištirti lygčių sprendimą. Pirmajame etape ne viską apsvarstėme galimi variantai, tačiau šis požiūris yra labiau pagrįstas nei bet kada anksčiau. Papildomi veiksmai su skliaustais pateisina tam tikrą pažangą išilgai ordinačių ir abscisių ašių, kurių negalima nepastebėti plika akimi. Didelės proporcingos funkcijos padidėjimo prasme yra vingio taškas. Dar kartą įrodysime, kaip reikiama sąlyga bus taikoma per visą vienos ar kitos vektoriaus mažėjančios padėties mažėjimo intervalą. Uždaroje erdvėje pasirinksime kintamąjį iš pradinio scenarijaus bloko. Sistema, sukurta kaip pagrindas pagal tris vektorius, yra atsakinga už pagrindinio jėgos momento nebuvimą. Tačiau lygčių skaičiuotuvas sugeneravo ir padėjo rasti visus sudarytos lygties terminus tiek virš paviršiaus, tiek išilgai lygiagrečių linijų. Aplink pradinį tašką nubrėžkime apskritimą. Taigi, mes pradėsime judėti aukštyn išilgai pjūvio linijų, o liestinė apibūdins apskritimą per visą jo ilgį, todėl susidaro kreivė, vadinama evoliucine. Beje, papasakokime šiek tiek istorijos apie šią kreivę. Faktas yra tas, kad istoriškai matematikoje nebuvo tokios grynosios matematikos sąvokos, kokia ji yra šiandien. Anksčiau visi mokslininkai užsiėmė viena bendra užduotimi, tai yra, mokslu. Vėliau, po kelių šimtmečių, kai mokslo pasaulis buvo užpildytas milžinišku kiekiu informacijos, žmonija vis dėlto nustatė daugybę disciplinų. Jie vis dar išlieka nepakitę. Ir vis dėlto kiekvienais metais mokslininkai visame pasaulyje bando įrodyti, kad mokslas yra beribis, ir jūs neišspręsite lygties, jei neturėsite gamtos mokslų žinių. Gal ir nepavyks pagaliau padaryti taško. Mąstyti apie tai taip pat beprasmiška, kaip šildyti orą lauke. Raskime intervalą, kuriame argumentas, jei jo reikšmė yra teigiama, nulems vertės modulį smarkiai didėjančia kryptimi. Reakcija padės rasti bent tris sprendimus, tačiau juos reikės patikrinti. Pradėkime nuo to, kad turime išspręsti lygtį internetu, naudodami unikalią mūsų svetainės paslaugą. Pristatome abi dalis duota lygtis, spustelėkite mygtuką „SPRĘSTI“ ir vos per kelias sekundes gausite tikslų atsakymą. Ypatingais atvejais paimkime matematikos knygą ir dar kartą patikrinkime savo atsakymą, būtent pažiūrėkime tik į atsakymą ir viskas paaiškės. Išskris tas pats dirbtinio perteklinio gretasienio projektas. Yra lygiagretainis su lygiagrečiomis kraštinėmis, ir jis paaiškina daugybę principų ir požiūrių, kaip tirti kylančio tuščiavidurės erdvės kaupimosi proceso erdvinius santykius natūralių formų formulėse. Dviprasmiškos tiesinės lygtys rodo norimo kintamojo priklausomybę nuo mūsų bendro šiuo metu laiko sprendimą ir reikia kažkaip išvesti ir atnešti netinkama trupmenaį nereikšmingą atvejį. Pažymėkite dešimt taškų tiesėje ir nubrėžkite kreivę per kiekvieną tašką nurodyta kryptimi, išgaubtą tašką į viršų. Be ypatingų sunkumų mūsų lygčių skaičiuoklė pateiks išraišką tokia forma, kad jos patikrinimas dėl taisyklių galiojimo bus akivaizdus net įrašymo pradžioje. Specialiųjų stabilumo atvaizdų sistema matematikams yra pirmoje vietoje, nebent formulė numato kitaip. Į tai atsakysime pateikdami išsamų pranešimą plastikinės kūnų sistemos izomorfinės būsenos tema ir spręsdami lygtis internete, apibūdinsime kiekvieno materialaus taško judėjimą šioje sistemoje. Giluminio tyrimo lygmeniu reikės detaliai išsiaiškinti bent apatinio erdvės sluoksnio inversijų klausimą. Didėjančia tvarka funkcijos nepertraukiamumo skyriuje taikysime bendras metodas puikus tyrinėtojas, beje, mūsų tautietis, o apie lėktuvo elgesį pakalbėsime toliau. Galioja stiprios savybės analitiškai duotą funkciją, internetinį lygčių skaičiuotuvą naudojame tik pagal paskirtį, neviršydami išvestinių įgaliojimų. Samprotaudami toliau, savo apžvalgą sutelksime į pačios lygties homogeniškumą, ty jos dešinioji pusė lygi nuliui. Dar kartą įsitikinkime, kad mūsų sprendimas matematikos srityje yra teisingas. Kad negautume trivialaus sprendimo, atlikime kai kuriuos pakeitimus pradines sąlygas apie sistemos sąlyginio stabilumo problemą. Sukurkime kvadratinę lygtį, kuriai naudodami gerai žinomą formulę išrašome du įrašus ir randame neigiamas šaknis. Jei viena šaknis yra penkiais vienetais didesnė už antrąją ir trečiąją šaknis, tai pakeisdami pagrindinį argumentą taip iškraipome pradines papildomos užduoties sąlygas. Iš esmės kažką neįprasto matematikoje visada galima apibūdinti šimtosios teigiamo skaičiaus tikslumu. Trupmenų skaičiuoklė kelis kartus pranašesnė už analogus panašiuose ištekliuose geriausiu serverio apkrovos momentu. Greičio vektoriaus, augančio išilgai ordinačių ašies, paviršiaus nubrėžiame septynias linijas, sulenktas viena kitai priešingomis kryptimis. Priskirtos funkcijos argumento palyginamumas yra pranašesnis už atkūrimo balanso skaitiklio rodmenis. Matematikoje šį reiškinį galime pavaizduoti per kubinę lygtį su įsivaizduojamais koeficientais, taip pat mažėjančių linijų dvipoliu progresu. Kritiniai taškai Temperatūros skirtumai daugeliu atžvilgių apibūdina sudėtingos trupmeninės funkcijos skaidymo į veiksnius procesą. Jei jums liepia išspręsti lygtį, neskubėkite to daryti iš karto, būtinai pirmiausia įvertinkite visą veiksmų planą ir tik tada priimkite teisingas požiūris. Tikrai bus naudos. Darbo paprastumas akivaizdus, ​​lygiai taip pat ir matematikoje. Išspręskite lygtį internete. Visos internetinės lygtys yra tam tikro tipo skaičių arba parametrų įrašas ir kintamasis, kurį reikia nustatyti. Apskaičiuokite šį labai kintamąjį, tai yra, suraskite konkrečias verčių rinkinio reikšmes arba intervalus, kuriuose bus tapatybė. Pradinės ir galutinės sąlygos tiesiogiai priklauso. IN bendras sprendimas Paprastai lygtys apima kai kuriuos kintamuosius ir konstantas, kurias nustatę gausime ištisas tam tikros problemos teiginių sprendimų šeimas. Apskritai tai pateisina pastangas, įdėtas į erdvinio kubo, kurio kraštinė lygi 100 centimetrų, funkcionalumą. Teoremą ar lemą galite taikyti bet kuriame atsakymo sudarymo etape. Svetainė palaipsniui gamina lygčių skaičiuoklę, jei reikia, bet kuriame produktų sumavimo intervale mažiausia vertė. Pusėje atvejų toks rutulys, būdamas tuščiaviduris, nebeatitinka tarpinio atsakymo nustatymo reikalavimų. Bent jau ordinačių ašyje vektorinio vaizdavimo mažėjimo kryptimi ši proporcija neabejotinai bus optimalesnė nei ankstesnė išraiška. Tą valandą, kai tiesinės funkcijos bus atlikta visa taškų analizė, iš tikrųjų sujungsime visus savo kompleksinius skaičius ir dvipolies plokštumos erdves. Pakeisdami kintamąjį į gautą išraišką, žingsnis po žingsnio išspręsite lygtį ir labai tiksliai pateiksite išsamiausią atsakymą. Būtų gera mokinio forma dar kartą patikrinti savo veiksmus matematikoje. Dalių santykio dalis užfiksavo rezultato vientisumą visose svarbiose nulinio vektoriaus veiklos srityse. Trivialumas patvirtinamas baigtų veiksmų pabaigoje. Atlikdami paprastą užduotį, mokiniai gali neturėti jokių sunkumų, jei lygtį išspręs internetu per trumpiausią įmanomą laiką, tačiau nepamirškite visų skirtingų taisyklių. Poaibių aibė susikerta konvergentinio žymėjimo srityje. IN skirtingų atvejų produktas nėra klaidingai faktorizuotas. Jums padės išspręsti lygtį internete mūsų pirmajame skyriuje, skirtame matematinių metodų pagrindams, skirtiems svarbiems skyriams universitetų ir technikos kolegijų studentams. Atsakymų nereikės laukti kelių dienų, nes geriausios vektorinės analizės sąveikos su nuosekliu sprendimų paieška procesas buvo patentuotas praėjusio amžiaus pradžioje. Pasirodo, pastangos užmegzti ryšius su aplinkiniu kolektyvu nenuėjo veltui. Po kelių kartų viso pasaulio mokslininkai privertė žmones patikėti, kad matematika yra mokslų karalienė. Nesvarbu, ar tai kairysis atsakymas, ar teisingas, vis tiek, baigtiniai terminai turi būti parašyti trimis eilutėmis, nes mūsų atveju tikrai kalbėsime tik apie vektorinę matricos savybių analizę. Netiesinės ir tiesinės lygtys kartu su bikvadratinėmis lygtimis užima ypatingą vietą mūsų knygoje apie geriausia praktika apskaičiuojant judėjimo trajektoriją uždaros sistemos visų materialių taškų erdvėje. Linijinė analizė padės mums įgyvendinti idėją taškinis produktas trys iš eilės vektoriai. Kiekvieno teiginio pabaigoje užduotis supaprastinama įdiegus optimizuotas skaitines išimtis atliekamose skaičių erdvės perdangose. Skirtingas sprendimas nesupriešins rasto atsakymo savavališkos trikampio formos apskritime. Kampas tarp dviejų vektorių turi reikiamą procentinę ribą, o lygčių sprendimas internete dažnai atskleidžia tam tikrą bendrą lygties šaknį, o ne pradines sąlygas. Išimtis atlieka katalizatoriaus vaidmenį visame neišvengiamame teigiamo sprendimo paieškos procese funkcijos apibrėžimo srityje. Jei nesakoma, kad negalite naudotis kompiuteriu, internetinis lygčių skaičiuotuvas yra kaip tik jūsų sudėtingoms problemoms spręsti. Jums tereikia įvesti sąlyginius duomenis teisingu formatu ir mūsų serveris per trumpiausią įmanomą laiką pateiks išsamų atsakymą. Eksponentinė funkcija didėja daug greičiau nei tiesinė. Tai liudija išmaniosios bibliotekos literatūros talmudai. Atliks skaičiavimą bendrąja prasme, kaip tai padarytų duota kvadratinė lygtis su trimis kompleksiniais koeficientais. Parabolė, esanti viršutinėje pusės plokštumos dalyje, apibūdina tiesinį lygiagretų judėjimą išilgai taško ašių. Čia verta paminėti potencialų skirtumą kūno darbo erdvėje. Mainais už neoptimalų rezultatą, mūsų trupmenų skaičiuoklė teisėtai užima pirmąją vietą matematiniame serverio funkcinių programų apžvalgos reitinge. Naudojimosi šia paslauga patogumą įvertins milijonai interneto vartotojų. Jei nežinote, kaip juo naudotis, mielai jums padėsime. Taip pat norėtume ypač pažymėti ir išryškinti kubinę lygtį iš daugelio pradinių klasių uždavinių, kai reikia greitai surasti jos šaknis ir sukonstruoti funkcijos grafiką plokštumoje. Aukštesni laipsniai reprodukcija yra viena iš sudėtingų matematinių problemų institute ir jos studijoms skiriama pakankamai valandų. Kaip ir visos tiesinės lygtys, pagal daugelį objektyvių taisyklių mūsų nėra išimtis, pažiūrėkite žemiau skirtingus taškus vizija, o pradinėms sąlygoms nustatyti bus paprasta ir pakaks. Didėjimo intervalas sutampa su funkcijos išgaubtumo intervalu. Lygčių sprendimas internete. Teorijos studijos remiasi internetinėmis lygtimis iš daugelio pagrindinės disciplinos studijų skyrių. Esant tokiam požiūriui į neapibrėžtas problemas, labai paprasta pateikti lygčių sprendimą iš anksto nustatyta forma ir ne tik padaryti išvadas, bet ir numatyti tokio teigiamo sprendimo rezultatą. Paslauga pagal geriausias matematikos tradicijas padės mums išmokti dalykinę sritį, kaip įprasta rytuose. IN geriausios akimirkos laiko intervalas, panašios užduotys padaugintos iš bendras daugiklis dešimt kartų. Kelių kintamųjų daugybų gausa lygčių skaičiuoklėje pradėjo daugintis pagal kokybę, o ne nuo kiekybinių kintamųjų, tokių kaip masė ar kūno svoris. Kad būtų išvengta materialinės sistemos disbalanso atvejų, mums gana akivaizdus trimačio transformatoriaus išvedimas ant trivialios neišsigimusių matematinių matricų konvergencijos. Atlikite užduotį ir išspręskite lygtį nurodytomis koordinatėmis, nes išvada iš anksto nežinoma, kaip ir visi kintamieji, įtraukti į posterdvės laiką. Įjungta trumpalaikis perkelkite bendrą koeficientą už skliaustų ir iš anksto padalinkite abi puses iš didžiausio bendro koeficiento. Iš gauto uždengto skaičių pogrupio per trumpą laiką detaliai ištraukite trisdešimt tris taškus iš eilės. Tiek, kiek geriausiu įmanomu būdu Spręsti lygtį internetu gali kiekvienas mokinys Žvelgiant į ateitį, tarkime, vienas svarbus, bet esminis dalykas, be kurio bus sunku gyventi ateityje. Praėjusiame amžiuje didysis mokslininkas pastebėjo daugybę matematikos teorijos modelių. Praktiškai rezultatas nebuvo toks, kokio tikėtasi įvykių. Tačiau iš esmės šis lygčių sprendimas internete padeda geriau suprasti ir suvokti holistinį požiūrį į studijas ir praktinį studentų nagrinėjamos teorinės medžiagos įtvirtinimą. Studijų metu tai padaryti daug lengviau.

=

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis, o nuo to laiko jų vartojimas tik išaugo. Kad būtų aiškumo, išspręskime šią problemą:

Apskaičiuokite \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], jei \

Pirmiausia atkreipkime dėmesį į tai, kad vienas skaičius pateikiamas algebrine, kitas – trigonometrine. Ją reikia supaprastinti ir pateikti į tokią formą

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Išraiška \ sako, kad visų pirma atliekame dauginimą ir didinimą iki 10 laipsnio naudodami Moivre formulę. Ši formulė yra suformuluota kompleksinio skaičiaus trigonometrinei formai.

Mes gauname:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Laikydamiesi kompleksinių skaičių dauginimo trigonometrine forma taisyklių, atliekame šiuos veiksmus:

Mūsų atveju:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\) pi)(3).\]

Padarius teisingą trupmeną \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], darome išvadą, kad galime „pasukti“ 4 posūkius \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Atsakymas: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Šią lygtį galima išspręsti kitu būdu, o tai reiškia, kad 2-asis skaičius paverčiamas algebrine forma, tada daugyba atliekama algebrine forma, rezultatas konvertuojamas į trigonometrinę formą ir taikoma Moivre formulė:

Kur galiu internete išspręsti lygčių sistemą su kompleksiniais skaičiais?