Vieneto vektorius- Tai vektorius, kurio absoliuti reikšmė (modulis). lygus vienam. Vieneto vektoriui žymėti naudosime indeksą e. Taigi, jei pateikiamas vektorius A, tada jo vieneto vektorius bus vektorius A e. Šis vieneto vektorius nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir pats vektorius A, o jo modulis lygus vienetui, tai yra, a e = 1.

Akivaizdu, A= a A e (a - vektorinis modulis A). Tai išplaukia iš taisyklės, pagal kurią atliekama skaliaro padauginimo iš vektoriaus operacija.

Vienetų vektoriai dažnai siejama su koordinačių sistemos koordinačių ašimis (ypač su Dekarto koordinačių sistemos ašimis). Šių kryptys vektoriai sutampa su atitinkamų ašių kryptimis, o jų ištakos dažnai derinamos su koordinačių sistemos pradžia.

Leiskite jums tai priminti Dekarto koordinačių sistema erdvėje tradiciškai vadinama viena kitai statmenų ašių, susikertančių taške, vadinamame koordinačių pradžia, trijulė. Koordinačių ašys paprastai žymimos raidėmis X, Y, Z ir atitinkamai vadinamos abscisių ašimi, ordinačių ašimi ir aplikacine ašimi. Pats Dekartas naudojo tik vieną ašį, ant kurios buvo nubraižytos abscisės. Naudojimo nuopelnas sistemos kirviai priklauso jo mokiniams. Todėl frazė Dekarto koordinačių sistema istoriškai neteisingas. Geriau pasikalbėti stačiakampio formos koordinačių sistema arba stačiakampė koordinačių sistema. Tačiau tradicijų nekeisime ir ateityje manysime, kad Dekarto ir stačiakampės (stačiakampės) koordinačių sistemos yra viena ir ta pati.

Vieneto vektorius, nukreiptas išilgai X ašies, žymimas i, vieneto vektorius, nukreiptas išilgai Y ašies, žymimas j, A vieneto vektorius, nukreiptas išilgai Z ašies, žymimas k. Vektoriai i, j, k yra vadinami orts(12 pav., kairėje), jie turi pavienius modulius, t
i = 1, j = 1, k = 1.

Kirviai ir vienetiniai vektoriai stačiakampė koordinačių sistema kai kuriais atvejais jie turi skirtingus pavadinimus ir pavadinimus. Taigi abscisių ašis X gali būti vadinama liestinės ašimi, o jos vieneto vektorius žymimas τ (graikų maža raidė tau), ordinačių ašis yra normalioji ašis, jos vieneto vektorius žymimas n, taikomoji ašis yra binormali ašis, pažymėtas jos vieneto vektorius b. Kam keisti vardus, jei esmė išlieka ta pati?

Faktas yra tas, kad, pavyzdžiui, mechanikoje, tiriant kūnų judėjimą, labai dažnai naudojama stačiakampė koordinačių sistema. Taigi, jei pati koordinačių sistema yra stacionari ir šioje stacionarioje sistemoje stebimas judančio objekto koordinačių pokytis, tada paprastai ašys žymimos X, Y, Z ir jų vienetiniai vektoriai atitinkamai i, j, k.

Tačiau dažnai, kai objektas juda kokiu nors kreiviniu keliu (pavyzdžiui, apskritimu), patogiau atsižvelgti į mechaninius procesus koordinačių sistemoje, judančius kartu su šiuo objektu. Būtent tokiai judančiajai koordinačių sistemai naudojami kiti ašių pavadinimai ir jų vienetų vektoriai. Tiesiog yra taip, kaip yra. Šiuo atveju X ašis yra nukreipta tangentiškai į trajektoriją taške, kuriame šiuo metušis objektas yra. Ir tada ši ašis nebevadinama X ašimi, o liestinės ašimi, o jos vieneto vektorius nebėra žymimas i, A τ . Y ašis nukreipta išilgai trajektorijos kreivumo spindulio (judant apskritimu – į apskritimo centrą). O kadangi spindulys yra statmenas liestine, ašis vadinama normaliąja ašimi (statmena ir normalioji yra tas pats). Šios ašies vieneto vektorius nebėra žymimas j, A n. Trečioji ašis (anksčiau Z) yra statmena ankstesnėms dviem. Tai binormalus su ortu b(12 pav., dešinėje). Beje, šiuo atveju toks stačiakampė koordinačių sistema dažnai vadinamas „natūraliu“ arba natūraliu.

Pagaliau gavau į rankas šią plačią ir ilgai lauktą temą. analitinė geometrija. Pirma, šiek tiek apie šią aukštosios matematikos skyrių... Tikrai dabar prisimenate mokyklos geometrijos kursą su daugybe teoremų, jų įrodymų, brėžinių ir kt. Ką slėpti, nemylimas ir dažnai neaiškus dalykas nemenkai daliai mokinių. Kaip bebūtų keista, analitinė geometrija gali atrodyti įdomesnė ir prieinamesnė. Ką reiškia būdvardis „analitinis“? Iš karto į galvą ateina dvi klišinės matematinės frazės: „grafinio sprendimo metodas“ ir „ analitinis metodas sprendimai“. Grafinis metodas, žinoma, yra susijęs su grafikų ir brėžinių konstravimu. Analitinis tas pats metodas apima problemų sprendimą daugiausia per algebrines operacijas. Šiuo atžvilgiu beveik visų analitinės geometrijos problemų sprendimo algoritmas yra paprastas ir skaidrus, dažnai pakanka atidžiai pritaikyti reikiamas formules - ir atsakymas yra paruoštas! Ne, žinoma, be piešinių to padaryti visiškai nepavyks, be to, kad geriau suprasčiau medžiagą, pabandysiu juos cituoti be būtinybės.

Naujai atidarytas geometrijos pamokų kursas nepretenduoja į teorinį užbaigimą, jis orientuotas į praktinių uždavinių sprendimą. Į savo paskaitas įtrauksiu tik tai, kas, mano požiūriu, yra svarbu praktine prasme. Jei jums reikia išsamesnės pagalbos dėl bet kurio poskyrio, rekomenduoju šią gana prieinamą literatūrą:

1) Dalykas, kurį, ne juokai, žino kelios kartos: Mokyklinis geometrijos vadovėlis, autoriai – L.S. Atanasjanas ir kompanija. Ši mokyklos rūbinės kabykla jau praėjo 20 (!) pakartotinių spaudinių, o tai, žinoma, nėra riba.

2) Geometrija 2 tomuose. Autoriai L.S. Atanasjanas, Bazilevas V.T.. Tai skirta literatūra vidurinę mokyklą, jums prireiks pirmasis tomas. Retai pasitaikančios užduotys gali iškristi iš mano akiračio, ir mokymo vadovas suteiks neįkainojamą pagalbą.

Abi knygas galima nemokamai atsisiųsti internetu. Be to, galite naudoti mano archyvą su paruoštus sprendimus, kurį galite rasti puslapyje Atsisiųskite aukštosios matematikos pavyzdžius.

Tarp įrankių vėl siūlau savo tobulėjimą - programinės įrangos paketą analitinėje geometrijoje, kuri labai supaprastins gyvenimą ir sutaupys daug laiko.

Daroma prielaida, kad skaitytojas yra susipažinęs su pagrindinėmis geometrinėmis sąvokomis ir figūromis: tašku, tiese, plokštuma, trikampiu, lygiagretainiu, gretasieniu, kubu ir kt. Patartina prisiminti kai kurias teoremas, bent jau Pitagoro teoremą, sveiki kartotojai)

O dabar svarstysime nuosekliai: vektoriaus sąvoką, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates. Rekomenduoju skaityti toliau svarbiausias straipsnis Taškinė vektorių sandauga, ir taip pat Vektorius ir vektorių mišrus sandauga. Vietinė užduotis - šiuo atžvilgiu segmento padalijimas - taip pat nebus nereikalinga. Remdamiesi aukščiau pateikta informacija, galite įvaldyti tiesės lygtis plokštumoje Su paprasčiausi sprendimų pavyzdžiai, kuris leis išmokti spręsti geometrijos uždavinius. Taip pat naudingi šie straipsniai: Plokštumos erdvėje lygtis, Tiesės lygtys erdvėje, Pagrindiniai tiesės ir plokštumos uždaviniai, kiti analitinės geometrijos pjūviai. Natūralu, kad pakeliui bus svarstomos standartinės užduotys.

Vektorinė koncepcija. Nemokamas vektorius

Pirmiausia pakartokime mokyklinį vektoriaus apibrėžimą. Vektorius paskambino nukreiptas segmentas, kurio pradžia ir pabaiga nurodyta:

IN šiuo atveju atkarpos pradžia yra taškas, atkarpos pabaiga yra taškas. Pats vektorius žymimas . Kryptis yra būtina, jei perkelsite rodyklę į kitą segmento galą, gausite vektorių, ir tai jau yra visiškai kitoks vektorius. Vektoriaus sąvoka patogiai tapatinama su judesiu fizinis kūnas: Sutikite, įeiti pro instituto duris ar išeiti iš instituto durų yra visiškai skirtingi dalykai.

Atskirus plokštumos ar erdvės taškus patogu laikyti vadinamaisiais nulinis vektorius. Tokiam vektoriui pabaiga ir pradžia sutampa.

!!! Pastaba: Čia ir toliau galima daryti prielaidą, kad vektoriai yra toje pačioje plokštumoje arba galima daryti prielaidą, kad jie yra erdvėje – pateiktos medžiagos esmė galioja ir plokštumai, ir erdvei.

Pavadinimai: Daugelis iš karto pastebėjo lazdą be rodyklės pavadinime ir pasakė: viršuje taip pat yra rodyklė! Tiesa, galima parašyti rodykle: , bet galima ir įrašas, kurį naudosiu ateityje. Kodėl? Matyt, toks įprotis susiformavo dėl praktinių priežasčių, mano šauliai mokykloje ir universitete pasirodė per daug įvairaus dydžio ir apšiurę. Mokomojoje literatūroje kartais visai nesirūpinama dantiraščiu, o paryškinamos paryškintos raidės: , tai reiškia, kad tai vektorius.

Tai buvo stilistika, o dabar apie vektorių rašymo būdus:

1) Vektorius galima parašyti dviem didžiosiomis lotyniškomis raidėmis:
ir taip toliau. Šiuo atveju pirmoji raidė Būtinaižymi vektoriaus pradžios tašką, o antra raidė – vektoriaus galinį tašką.

2) Vektoriai taip pat rašomi mažomis lotyniškomis raidėmis:
Visų pirma, siekiant trumpumo, mūsų vektorius gali būti perskirtas kaip mažas lotyniška raidė.

Ilgis arba modulis nulinis vektorius vadinamas atkarpos ilgiu. Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui. Logiška.

Vektoriaus ilgis rodomas modulio ženklu: ,

Kaip rasti vektoriaus ilgį (arba pakartosime, priklausomai nuo kieno) išmoksime kiek vėliau.

Tai buvo pagrindinė informacija apie vektorius, žinoma visiems moksleiviams. Analitinėje geometrijoje vadinamasis nemokamas vektorius.

Paprasčiau tariant - vektorius gali būti brėžiamas iš bet kurio taško:

Esame įpratę tokius vektorius vadinti lygiais (lygių vektorių apibrėžimas bus pateiktas žemiau), tačiau grynai matematiniu požiūriu jie yra TAS PATS VEKTORIAUS arba nemokamas vektorius. Kodėl nemokamai? Nes spręsdami uždavinius galite tą ar kitą vektorių „pritvirtinti“ prie BET KURIOS jums reikalingos plokštumos ar erdvės taško. Tai labai šauni funkcija! Įsivaizduokite savavališko ilgio ir krypties vektorių - jį galima „klonuoti“ be galo daug kartų ir bet kuriame erdvės taške, iš tikrųjų jis egzistuoja VISUR. Yra studentas posakis: Kiekvienas dėstytojas velniškai vertina vektorių. Galų gale, tai ne tik šmaikštus rimas, viskas matematiškai teisinga - vektorių galima pritvirtinti ir ten. Bet neskubėkite džiaugtis, dažnai kenčia patys studentai =)

Taigi, nemokamas vektorius- Tai daug identiški nukreipti segmentai. Mokyklinis vektoriaus apibrėžimas, pateiktas pastraipos pradžioje: „Kreiptas segmentas vadinamas vektoriumi...“, reiškia specifinis nukreipta atkarpa, paimta iš tam tikros aibės, susieta su konkrečiu plokštumos ar erdvės tašku.

Reikėtų pažymėti, kad fizikos požiūriu laisvojo vektoriaus samprata yra bendras atvejis yra neteisingas, o vektoriaus taikymo taškas yra svarbus. Iš tiesų, tiesioginio vienodos jėgos smūgio į nosį ar kaktą pakanka, kad išvystytų mano kvailą pavyzdį. skirtingos pasekmės. Tačiau nelaisvas vektoriai randami ir vyshmat eigoje (neik ten :)).

Veiksmai su vektoriais. Vektorių kolineariškumas

Mokyklos geometrijos kursas apima daugybę veiksmų ir taisyklių su vektoriais: sudėjimas pagal trikampio taisyklę, sudėjimas pagal lygiagretainio taisyklę, vektorių skirtumo taisyklė, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus, vektorių skaliarinė sandauga ir kt. Iš pradžių pakartokime dvi taisykles, kurios ypač aktualios sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius.

Vektorių pridėjimo taisyklė naudojant trikampio taisyklę

Apsvarstykite du savavališkus nulinius vektorius ir:

Turite rasti šių vektorių sumą. Atsižvelgiant į tai, kad visi vektoriai laikomi laisvaisiais, vektorių atidėsime nuo pabaiga vektorius:

Vektorių suma yra vektorius. Norint geriau suprasti taisyklę, patartina įtraukti fizinę reikšmę: tegul koks nors kūnas keliauja vektoriumi, o paskui vektoriumi. Tada vektorių suma yra gauto kelio vektorius, kurio pradžia yra išvykimo taške, o pabaiga - atvykimo taške. Panaši taisyklė suformuluota bet kokio vektorių skaičiaus sumai. Kaip sakoma, kūnas gali eiti labai palinkęs zigzagu, o gal ir autopilotu – pagal gautą sumos vektorių.

Beje, jei vektorius atidėtas nuo prasidėjo vektorius, tada gauname ekvivalentą lygiagretainio taisyklė vektorių pridėjimas.

Pirma, apie vektorių kolineariškumą. Du vektoriai vadinami kolinearinis, jei jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose tiesėse. Grubiai tariant, mes kalbame apie lygiagrečius vektorius. Tačiau jų atžvilgiu visada vartojamas būdvardis „kolinearinis“.

Įsivaizduokite du kolinearinius vektorius. Jeigu šių vektorių rodyklės nukreiptos ta pačia kryptimi, tai tokie vektoriai vadinami bendrai režisavo. Jei rodyklės nukreiptos skirtingomis kryptimis, tada vektoriai bus priešingomis kryptimis.

Pavadinimai: vektorių kolineariškumas rašomas įprastu lygiagretumo simboliu: , tuo tarpu galima detalizuoti: (vektoriai nukreipti kartu) arba (vektoriai nukreipti priešingai).

Darbas ne nulinis vektorius skaičius yra vektorius, kurio ilgis yra lygus , Ir vektoriai ir yra kartu nukreipti ir priešingai nukreipti į .

Vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę lengviau suprasti naudojant paveikslėlį:

Pažvelkime į tai išsamiau:

1) Kryptis. Jei daugiklis yra neigiamas, tada vektorius keičia kryptįį priešingą.

2) Ilgis. Jei daugiklis yra viduje arba , tada vektoriaus ilgis mažėja. Taigi, vektoriaus ilgis yra pusė vektoriaus ilgio. Jei daugiklio modulis yra didesnis už vieną, tada vektoriaus ilgis didėja kartais.

3) Atkreipkite dėmesį į tai visi vektoriai yra kolineariniai, o vienas vektorius išreiškiamas per kitą, pavyzdžiui, . Ir atvirkščiai: jei vienas vektorius gali būti išreikštas per kitą, tai tokie vektoriai būtinai yra kolineariniai. Taigi: jei vektorių padauginsime iš skaičiaus, gausime kolinearinį(palyginti su originalu) vektorius.

4) vektoriai yra nukreipti kartu. Vektoriai ir taip pat yra bendrai režisuojami. Bet kuris pirmosios grupės vektorius yra priešingas bet kurio antrosios grupės vektoriui.

Kurie vektoriai yra lygūs?

Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra ta pačia kryptimi ir yra vienodo ilgio. Atkreipkite dėmesį, kad kryptingumas reiškia vektorių kolineariškumą. Apibrėžimas būtų netikslus (perteklinis), jei sakytume: „Du vektoriai yra vienodi, jei jie yra kolinearūs, bendros krypties ir vienodo ilgio“.

Laisvo vektoriaus sampratos požiūriu lygūs vektoriai yra tas pats vektorius, kaip buvo aptarta ankstesnėje pastraipoje.

Vektorinės koordinatės plokštumoje ir erdvėje

Pirmiausia reikia atsižvelgti į vektorius plokštumoje. Pavaizduokime Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą ir pavaizduokime ją nuo koordinačių pradžios vienišas vektoriai ir:

Vektoriai ir stačiakampis. Stačiakampis = statmenas. Rekomenduoju pamažu priprasti prie terminų: vietoj lygiagretumo ir statmenumo atitinkamai vartojame žodžius kolineariškumas Ir ortogonalumą.

Pavadinimas: Vektorių ortogonalumas rašomas įprastu statmenumo simboliu, pavyzdžiui: .

Nagrinėjami vektoriai vadinami koordinačių vektoriai arba orts. Šie vektoriai susidaro pagrindu lėktuve. Kas yra pagrindas, manau, daug kam intuityviai aišku išsamią informaciją galima rasti straipsnyje Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas Paprastais žodžiais tariant, koordinačių pagrindas ir kilmė apibrėžia visą sistemą – tai savotiškas pamatas, ant kurio verda pilnavertis ir turtingas geometrinis gyvenimas.

Kartais vadinamas konstruojamas pagrindas ortonormalus plokštumos pagrindas: „orto“ – kadangi koordinačių vektoriai yra stačiakampiai, būdvardis „normalizuotas“ reiškia vienetą, t.y. bazinių vektorių ilgiai lygūs vienetui.

Pavadinimas: pagrindas dažniausiai rašomas skliausteliuose, kurių viduje griežta seka pateikiami baziniai vektoriai, pvz.: . Koordinačių vektoriai tai draudžiama pertvarkyti.

Bet koks plokštumos vektorius vienintelis būdas išreikštas kaip:
, kur - numeriai kurie vadinami vektoriaus koordinatesšiuo pagrindu. Ir pati išraiška paskambino vektoriaus skaidymaspagal pagrindą .

Patiekiama vakarienė:

Pradėkime nuo pirmosios abėcėlės raidės: . Brėžinyje aiškiai matyti, kad skaidant vektorių į pagrindą, naudojami ką tik aptarti:
1) vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklė: ir ;
2) vektorių sudėjimas pagal trikampio taisyklę: .

Dabar mintyse nubraižykite vektorių iš bet kurio kito plokštumos taško. Visiškai akivaizdu, kad jo irimas „negailestingai seks jį“. Štai vektoriaus laisvė – vektorius „viską neša su savimi“. Ši savybė, žinoma, galioja bet kuriam vektoriui. Juokinga, kad patys baziniai (laisvieji) vektoriai neturi būti braižyti iš pradžios, pavyzdžiui, vieną galima nubraižyti apačioje kairėje, o kitą – viršuje dešinėje, ir niekas nepasikeis! Tiesa, to daryti nereikia, nes mokytojas taip pat parodys originalumą ir ištrauks jums „kreditą“ netikėtoje vietoje.

Vektoriai tiksliai iliustruoja vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę, vektorius nukreiptas kartu su baziniu vektoriumi, vektorius nukreiptas priešais bazinį vektorių. Šių vektorių viena iš koordinačių yra lygi nuliui, galite ją kruopščiai parašyti taip:


O baziniai vektoriai, beje, yra tokie: (iš tikrųjų jie išreiškiami per save).

Ir galiausiai: , . Beje, kas yra vektorinė atimtis ir kodėl aš nekalbėjau apie atimties taisyklę? Kažkur tiesinėje algebroje, nepamenu kur, pažymėjau, kad atimtis yra ypatingas sudėjimo atvejis. Taigi vektorių „de“ ir „e“ išplėtimai lengvai užrašomi kaip suma: , . Pertvarkykite terminus ir pamatykite brėžinyje, kaip gerai šiose situacijose veikia senas geras vektorių pridėjimas pagal trikampio taisyklę.

Svarstomas formos skaidymas kartais vadinamas vektoriniu skaidymu ort sistemoje(t.y. vienetų vektorių sistemoje). Tačiau tai nėra vienintelis vektorių rašymo būdas, tai yra įprasta kitas variantas:

Arba su lygybės ženklu:

Patys baziniai vektoriai užrašomi taip: ir

Tai yra, vektoriaus koordinatės nurodytos skliausteliuose. Praktiniuose uždaviniuose naudojami visi trys žymėjimo variantai.

Suabejojau, ar kalbėti, bet vis tiek pasakysiu: vektorių koordinačių negalima pertvarkyti. Griežtai pirmoje vietoje užrašome koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių, griežtai antroje vietoje užrašome koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių. Iš tiesų, ir yra du skirtingi vektoriai.

Lėktuve išsiaiškinome koordinates. Dabar pažiūrėkime į vektorius trimatėje erdvėje, čia beveik viskas tas pats! Tai tik pridės dar vieną koordinatę. Sunku daryti trimačius brėžinius, todėl apsiribosiu vienu vektoriumi, kurį paprastumo dėlei išskirsiu nuo kilmės:

Bet koks 3D erdvės vektorius vienintelis būdas išplėsti ortonormaliu pagrindu:
, kur yra šio pagrindo vektoriaus (skaičiaus) koordinatės.

Pavyzdys iš paveikslėlio: . Pažiūrėkime, kaip čia veikia vektoriaus taisyklės. Pirma, vektorių padauginkite iš skaičiaus: (raudona rodyklė), (žalia rodyklė) ir (avietinė rodyklė). Antra, čia yra kelių, šiuo atveju trijų, vektorių pridėjimo pavyzdys: . Sumos vektorius prasideda pradiniame išvykimo taške (vektoriaus pradžioje) ir baigiasi galutiniame atvykimo taške (vektoriaus pabaigoje).

Visi trimatės erdvės vektoriai, žinoma, taip pat yra laisvi, pabandykite mintyse atidėti vektorių nuo bet kurio kito taško, ir jūs suprasite, kad jo skilimas „liks su juo“.

Panašus į plokščią dėklą, be rašymo plačiai naudojamos versijos su skliausteliais: arba .

Jei išplėtime trūksta vieno (arba dviejų) koordinačių vektorių, jų vietoje dedami nuliai. Pavyzdžiai:
vektorius (skrupulingai ) – rašykime ;
vektorius (skrupulingai ) – rašykime ;
vektorius (skrupulingai ) – rašykime.

Baziniai vektoriai užrašomi taip:

Tai, ko gero, yra visos minimalios teorinės žinios, reikalingos analitinės geometrijos problemoms spręsti. Gali būti daug terminų ir apibrėžimų, todėl rekomenduoju arbatinukams dar kartą perskaityti ir suprasti šią informaciją. Ir kiekvienam skaitytojui bus naudinga kartas nuo karto pasidomėti pagrindine pamoka, kad geriau įsisavintų medžiagą. Kolineariškumas, ortogonalumas, ortonormalus pagrindas, vektorių skaidymas – šios ir kitos sąvokos bus dažnai vartojamos ateityje. Norėčiau pastebėti, kad svetainės medžiagos nepakanka norint išlaikyti teorinį testą ar geometrijos koliokviumą, nes aš kruopščiai šifruoju visas teoremas (ir be įrodymų) - tai kenkia mokslinis stilius pristatymas, bet privalumas jūsų supratimui apie temą. Norėdami gauti išsamios teorinės informacijos, nusilenkite profesoriui Atanasyanui.

Ir pereiname prie praktinės dalies:

Paprasčiausi analitinės geometrijos uždaviniai.
Veiksmai su vektoriais koordinatėse

Labai patartina išmokti spręsti užduotis, kurios bus svarstomos visiškai automatiškai, ir formules įsiminti, net nereikia tyčia prisiminti, jie patys tai atsimins =) Tai labai svarbu, nes kitos analitinės geometrijos problemos yra pagrįstos paprasčiausiais elementariais pavyzdžiais ir bus nemalonu papildomai praleisti laiką valgant pėstininkus . Nereikia užsisegti viršutinių marškinių sagų, daug dalykų žinote iš mokyklos laikų.

Medžiagos pristatymas vyks lygiagrečiai – tiek plokštumai, tiek erdvei. Dėl to, kad visos formulės... pamatysite patys.

Kaip rasti vektorių iš dviejų taškų?

Jei du plokštumos taškai ir yra pateikti, tada vektorius turi šias koordinates:

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, vektorius turi šias koordinates:

tai yra nuo vektoriaus galo koordinačių reikia atimti atitinkamas koordinates vektoriaus pradžia.

Pratimas: Tiems patiems taškams surašykite vektoriaus koordinačių radimo formules. Formulės pamokos pabaigoje.

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į du plokštumos taškus ir . Raskite vektorių koordinates

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Arba galima naudoti šį įrašą:

Estetai nuspręs taip:

Asmeniškai aš pripratau prie pirmosios įrašo versijos.

Atsakymas:

Pagal sąlygą nereikėjo konstruoti brėžinio (tai būdinga analitinės geometrijos uždaviniams), bet, norėdamas patikslinti kai kuriuos dalykus manekenams, nepatingėsiu:

Būtinai reikia suprasti skirtumas tarp taško koordinačių ir vektorių koordinačių:

Taško koordinatės– tai įprastos koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje. Manau, visi nuo 5-6 klasės moka braižyti taškus koordinačių plokštumoje. Kiekvienas taškas turi griežtą vietą plokštumoje ir jų niekur negalima perkelti.

Vektoriaus koordinatės– tai yra jo išplėtimas pagal pagrindą, šiuo atveju. Bet kuris vektorius yra laisvas, todėl, esant reikalui, galime lengvai jį atitolinti nuo kurio nors kito plokštumos taško. Įdomu tai, kad vektoriams visai nereikia kurti ašių ar stačiakampės koordinačių sistemos, reikia tik pagrindo, šiuo atveju ortonormalaus plokštumos pagrindo.

Taškų koordinačių ir vektorių koordinačių įrašai atrodo panašūs: , ir koordinačių reikšmė absoliučiai skirtinga, ir jūs turėtumėte gerai žinoti šį skirtumą. Šis skirtumas, žinoma, galioja ir erdvei.

Ponios ir ponai, prikimškime rankas:

2 pavyzdys

a) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir .
b) Skiriami taškai Ir . Raskite vektorius ir .
c) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir .
d) Skiriami taškai. Raskite vektorius .

Galbūt to užtenka. Tai pavyzdžiai jums patiems apsispręsti, pasistenkite jų neapleisti, tai atsipirks ;-). Nereikia daryti brėžinių. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Kas svarbu sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius? Svarbu būti YPAČ ATSARGIAI, kad nepadarytumėte meistriškos klaidos „du plius du lygu nuliui“. Iš karto atsiprašau, jei kur nors suklydau =)

Kaip sužinoti atkarpos ilgį?

Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.

Jei du plokštumos taškai pateikti ir , tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti naudojant formulę

Pastaba: Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pakeistos: ir , tačiau pirmoji parinktis yra labiau standartinė

3 pavyzdys

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Aiškumo dėlei padarysiu piešinį

Segmentas – tai ne vektorius, ir, žinoma, jo niekur negalite perkelti. Be to, jei piešiate pagal mastelį: 1 vnt. = 1 cm (dvi bloknoto langeliai), tada gautą atsakymą galima patikrinti įprasta liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.

Taip, sprendimas trumpas, bet jame yra dar pora svarbius punktus kad norėčiau patikslinti:

Pirma, atsakyme pateikiame matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl matematiškai teisingas sprendimas būtų bendra formuluotė: „vienetai“ - sutrumpinta kaip „vienetai“.

Antra, pakartokime mokyklinę medžiagą, kuri naudinga ne tik atliekant nagrinėjamą užduotį:

Atkreipkite dėmesį svarbi technika – išimant daugiklį iš po šaknies. Skaičiuodami turime rezultatą, o geras matematinis stilius apima veiksnio pašalinimą iš šaknies (jei įmanoma). Išsamiau procesas atrodo taip: . Žinoma, palikti atsakymą tokį, koks yra, nebūtų klaida – bet tai tikrai būtų trūkumas ir svarus argumentas dėl mokytojo klegesio.

Štai kiti dažni atvejai:

Dažnai užtenka prie šaknies didelis skaičius, Pavyzdžiui. Ką daryti tokiais atvejais? Skaičiuoklės pagalba patikriname, ar skaičius dalijasi iš 4: . Taip, jis buvo visiškai padalintas taip: . O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? . Taigi: . Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra nelyginis, todėl trečią kartą dalinti iš 4 akivaizdžiai nepavyks. Pabandykime padalinti iš devynių: . Dėl to:
Paruošta.

Išvada: jei po šaknimis gauname skaičių, kurio negalima išgauti kaip visumos, tada bandome pašalinti koeficientą iš po šaknies - skaičiuotuvu patikriname, ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ir ​​kt.

Sprendimo metu įvairios užduotysšaknys yra dažnos, visada stenkitės ištraukti veiksnius iš po šaknies, kad išvengtumėte žemesnio pažymio ir nereikalingų problemų baigiant sprendimus pagal mokytojo pastabas.

Taip pat pakartokime šaknų kvadratą ir kitas galias:

Veiksmų su laipsniais taisyklės bendras vaizdas galima rasti mokykliniame algebros vadovėlyje, bet manau iš pateiktų pavyzdžių viskas ar beveik viskas jau aišku.

Užduotis savarankiškam sprendimui su segmentu erdvėje:

4 pavyzdys

Taškai ir skiriami. Raskite atkarpos ilgį.

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Kaip sužinoti vektoriaus ilgį?

Jei duotas plokštumos vektorius, tada jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę.

Jei duotas erdvės vektorius, tai jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę .

Apibrėžimas. Vektoriaus a (daugybinė) ir nekolinearinio vektoriaus (daugybinė) vektorinė sandauga yra trečiasis vektorius c (sandarinys), sudarytas taip:

1) jo modulis yra skaitinis lygus plotui lygiagretainis pav. 155), pastatyta ant vektorių, t. y. ji lygi krypčiai, statmenai minėto lygiagretainio plokštumai;

3) šiuo atveju pasirenkama vektoriaus c kryptis (iš dviejų galimų), kad vektoriai c sudarytų dešiniarankę sistemą (§ 110).

Pavadinimas: arba

Apibrėžimo papildymas. Jei vektoriai yra kolinearūs, tai laikant figūrą (sąlygiškai) lygiagretainiu, natūralu priskirti nulinį plotą. Todėl kolinearinių vektorių vektorinė sandauga laikoma lygia nuliniam vektoriui.

Kadangi nuliniam vektoriui gali būti priskirta bet kokia kryptis, šis susitarimas neprieštarauja apibrėžimo 2 ir 3 dalims.

1 pastaba. Termino „kryžminis produktas“ pirmasis žodis reiškia, kad veiksmo rezultatas yra vektorius (priešingai skaliarinis produktas; trečia § 104, 1 pastaba).

1 pavyzdys. Raskite vektorinę sandaugą, kurioje yra pagrindiniai dešiniosios koordinačių sistemos vektoriai (156 pav.).

1. Kadangi pagrindinių vektorių ilgiai lygūs vienam mastelio vienetui, lygiagretainio (kvadrato) plotas skaitine prasme lygus vienetui. Tai reiškia, kad vektorinės sandaugos modulis yra lygus vienetui.

2. Kadangi statmena plokštumai yra ašis, norima vektorinė sandauga yra vektorius, kolinearinis vektoriui k; ir kadangi jie abu turi 1 modulį, norima vektorinė sandauga yra lygi arba k, arba -k.

3. Iš šių dviejų galimų vektorių reikia pasirinkti pirmąjį, nes vektoriai k sudaro dešiniarankę sistemą (o vektoriai – kairiarankę).

2 pavyzdys. Raskite kryžminį sandaugą

Sprendimas. Kaip ir 1 pavyzdyje, darome išvadą, kad vektorius yra lygus k arba -k. Bet dabar turime pasirinkti -k, nes vektoriai sudaro dešiniarankę sistemą (o vektoriai sudaro kairiarankę). Taigi,

3 pavyzdys. Vektoriai turi atitinkamai 80 ir 50 cm ilgius ir sudaro 30° kampą. Laikydami metrą kaip ilgio vienetą, raskite vektorinės sandaugos a ilgį

Sprendimas. Ant vektorių pastatyto lygiagretainio plotas yra lygus Norimos vektorinės sandaugos ilgis lygus

4 pavyzdys Raskite tų pačių vektorių vektorinės sandaugos ilgį, ilgio vienetu imant centimetrus.

Sprendimas. Kadangi ant vektorių sudaryto lygiagretainio plotas yra lygus, vektorinės sandaugos ilgis lygus 2000 cm, t.y.

Palyginus 3 ir 4 pavyzdžius, aišku, kad vektoriaus ilgis priklauso ne tik nuo faktorių ilgių, bet ir nuo ilgio vieneto pasirinkimo.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė. Iš daugelio fiziniai dydžiai, pavaizduotas vektorine sandauga, atsižvelgiame tik į jėgos momentą.

Tegul A yra jėgos taikymo taškas. Jėgos momentas taško O atžvilgiu vadinamas vektorine sandauga. Kadangi šios vektorinės sandaugos modulis yra lygus lygiagretainio plotui, tada momento modulis yra lygus pagrindo ir aukščio sandaugai, ty jėgos, padaugintos iš atstumo nuo taško O iki tiesės, išilgai kurios veikia jėga.

Mechanikoje įrodyta, kad pusiausvyrai kietas Būtina, kad ne tik vektorių, vaizduojančių kūną veikiančias jėgas, suma būtų lygi nuliui, bet ir jėgų momentų suma. Tuo atveju, kai visos jėgos yra lygiagrečios vienai plokštumai, vektorių, vaizduojančių momentus, pridėjimą galima pakeisti jų dydžių sudėjimu ir atėmimu. Tačiau savavališkomis jėgų kryptimis toks pakeitimas neįmanomas. Atsižvelgiant į tai, vektorinė sandauga tiksliai apibrėžiama kaip vektorius, o ne kaip skaičius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prieš pateikiant vektorinės sandaugos sąvoką, pereikime prie sutvarkyto vektorių a →, b →, c → trigubo orientacijos trimatėje erdvėje klausimo.

Pirmiausia atidėkime vektorius a → , b → , c → iš vieno taško. Trigubo a → , b → , c → orientacija gali būti dešinė arba kairė, priklausomai nuo paties vektoriaus c → krypties. Trigubo tipas a → , b → , c → bus nustatomas pagal kryptį, kuria trumpiausias posūkis iš vektoriaus a → į b → nuo vektoriaus c → pabaigos.

Jei trumpiausias posūkis atliekamas prieš laikrodžio rodyklę, vektorių trigubas a → , b → , c → vadinamas teisingai, jei pagal laikrodžio rodyklę – paliko.

Tada paimkite du nekolinearinius vektorius a → ir b →. Tada pavaizduokime vektorius A B → = a → ir A C → = b → iš taško A. Sukonstruokime vektorių A D → = c →, kuris vienu metu yra statmenas ir A B →, ir A C →. Taigi, konstruodami patį vektorių A D → = c →, galime tai padaryti dviem būdais, suteikdami jam arba vieną kryptį, arba priešingą (žr. iliustraciją).

Sutvarkytas vektorių trigubas a → , b → , c → gali būti, kaip išsiaiškinome, dešinėje arba kairėje, priklausomai nuo vektoriaus krypties.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime pateikti vektorinės sandaugos apibrėžimą. Šis apibrėžimas yra pateikta dviem vektoriams, apibrėžtiems stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje.

1 apibrėžimas

Dviejų vektorių a → ir b → vektorinė sandauga tokį vektorių, apibrėžtą trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, vadinsime taip, kad:

• jei vektoriai a → ir b → yra kolinearūs, tai bus lygus nuliui;
• jis bus statmenas ir vektoriui a → ​​​​ ir vektoriui b → t.y. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jo ilgis nustatomas pagal formulę: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• vektorių trigubas a → , b → , c → turi tokią pačią orientaciją kaip ir duotoji koordinačių sistema.

Vektorių a → ir b → vektorinė sandauga turi tokį žymėjimą: a → × b →.

Vektorinės sandaugos koordinatės

Kadangi bet kuris vektorius koordinačių sistemoje turi tam tikras koordinates, galime įvesti antrą vektorinės sandaugos apibrėžimą, kuris leis mums rasti jo koordinates naudojant nurodytas vektorių koordinates.

2 apibrėžimas

Trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje dviejų vektorių a → = (a x ; a y ; a z) ir b → = (b x ; b y ; b z) vektorinė sandauga vadinamas vektoriumi c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kur i → , j → , k → yra koordinačių vektoriai.

Vektorinė sandauga gali būti pavaizduota kaip trečios eilės kvadratinės matricos determinantas, kur pirmoje eilutėje yra vektoriai i → , j → , k → , antroje eilutėje yra vektoriaus a → koordinatės, o trečioje eilutėje yra vektoriaus b → koordinatės duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, tai matricos determinantas atrodo taip: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Išplėtę šį determinantą į pirmosios eilutės elementus, gauname lygybę: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = a · y b x b → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kryžminio produkto savybės

Yra žinoma, kad vektorinė sandauga koordinatėse vaizduojama kaip matricos c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z determinantas, tada remiantis matricos determinanto savybės rodomi šie vektoriaus produkto savybės:

1. antikomutatyvumas a → × b → = - b → × a → ;
2. pasiskirstymas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → arba a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociatyvumas λ a → × b → = λ a → × b → arba a → × (λ b →) = λ a → × b →, kur λ yra savavališkas realusis skaičius.

Šios savybės turi paprastus įrodymus.

Kaip pavyzdį galime įrodyti vektorinės sandaugos antikomutacinę savybę.

Antikomutatyvumo įrodymas

Pagal apibrėžimą a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ir b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . O jei dvi matricos eilutės yra sukeistos, tai matricos determinanto reikšmė turėtų pasikeisti į priešingą, todėl a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , kuri ir įrodo, kad vektorinė sandauga yra antikomutacinė.

Vektorinis produktas – pavyzdžiai ir sprendimai

Daugeliu atvejų yra trijų tipų problemos.

Pirmojo tipo uždaviniuose paprastai nurodomi dviejų vektorių ilgiai ir kampas tarp jų, ir reikia rasti vektorinės sandaugos ilgį. Šiuo atveju naudokite šią formulę c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

1 pavyzdys

Raskite vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgį, jei žinote a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Sprendimas

Nustatę vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgį, išsprendžiame šį uždavinį: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Atsakymas: 15 2 2 .

Antrojo tipo problemos turi ryšį su vektorių koordinatėmis, jose vektorine sandauga, jos ilgiu ir kt. ieškoma pagal žinomas nurodytų vektorių koordinates a → = (a x; a y; a z) Ir b → = (b x ; b y ; b z) .

Dėl tokio tipo problemų galite išspręsti daugybę užduočių parinkčių. Pavyzdžiui, galima nurodyti ne vektorių a → ir b → koordinates, o jų išplėtimus į formos koordinačių vektorius. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ir c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → arba vektoriai a → ir b → gali būti nurodyti jų pradžios koordinatėmis ir pabaigos taškai.

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius.

2 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikti du vektoriai: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Raskite jų kryžminį produktą.

Sprendimas

Pagal antrąjį apibrėžimą randame dviejų vektorių vektorinę sandaugą nurodytomis koordinatėmis: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jei vektorinį sandaugą rašome per matricos determinantą, tai šio pavyzdžio sprendimas atrodo taip: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Atsakymas: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

3 pavyzdys

Raskite vektorių i → - j → ir i → + j → + k → vektorinės sandaugos ilgį, kur i →, j →, k → yra stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos vienetiniai vektoriai.

Sprendimas

Pirmiausia suraskime duotos vektorinės sandaugos i → - j → × i → + j → + k → koordinates duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Yra žinoma, kad vektoriai i → - j → ir i → + j → + k → turi atitinkamai koordinates (1; - 1; 0) ir (1; 1; 1). Raskime vektorinės sandaugos ilgį naudodami matricos determinantą, tada turime i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Todėl vektorinė sandauga i → - j → × i → + j → + k → turi koordinates (- 1 ; - 1 ; 2) duotoje koordinačių sistemoje.

Vektorinės sandaugos ilgį randame naudodami formulę (žr. skyrių apie vektoriaus ilgio radimą): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Atsakymas: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

4 pavyzdys

Stačiakampyje Dekarto sistema koordinatės pateiktos trijų taškų A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinatės. Raskite kokį nors vektorių, statmeną A B → ir A C → vienu metu.

Sprendimas

Vektoriai A B → ir A C → turi šias koordinates (- 1 ; 2 ; 2) ir (0 ; 4 ; 1). Radus vektorių A B → ir A C → vektorinę sandaugą, akivaizdu, kad tai pagal apibrėžimą statmenas vektorius ir A B →, ir A C →, tai yra, tai yra mūsų problemos sprendimas. Raskime A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Atsakymas: - 6 i → + j → - 4 k → . - vienas iš statmenų vektorių.

Trečiojo tipo problemos yra orientuotos į vektorių vektorinės sandaugos savybių panaudojimą. Taikę tai, gausime pateiktos problemos sprendimą.

5 pavyzdys

Vektoriai a → ir b → yra statmeni, o jų ilgiai yra atitinkamai 3 ir 4. Raskite vektorinės sandaugos ilgį 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Sprendimas

Pagal vektorinės sandaugos skirstomąją savybę galime parašyti 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Pagal asociatyvumo savybę skaitinius koeficientus išimame iš vektorinių sandaugų ženklo paskutinėje išraiškoje: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorinės sandaugos a → × a → ir b → × b → lygios 0, nes a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ir b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, tada 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Iš vektorinės sandaugos antikomutatyvumo išplaukia - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis, gauname lygybę 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pagal sąlygą vektoriai a → ir b → yra statmeni, tai yra kampas tarp jų lygus π 2. Dabar belieka rastąsias reikšmes pakeisti atitinkamomis formulėmis: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Atsakymas: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Vektorių vektorinės sandaugos ilgis pagal apibrėžimą lygus a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Kadangi jau žinoma (nuo mokyklos kursas), kad trikampio plotas yra lygus pusei jo dviejų kraštinių ilgių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp šių kraštinių sinuso. Vadinasi, vektorinės sandaugos ilgis yra lygus lygiagretainio – padvigubinto trikampio – plotui, būtent kraštinių sandaugai vektorių a → ir b → pavidalu, išdėstytų iš vieno taško sinusu kampas tarp jų sin ∠ a →, b →.

Tai geometrinė vektorinės sandaugos reikšmė.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė

Mechanikoje, vienoje iš fizikos šakų, vektorinio produkto dėka galite nustatyti jėgos momentą erdvės taško atžvilgiu.

3 apibrėžimas

Pagal jėgos F → momentą, taikomą taškui B, taško A atžvilgiu, suprasime tokią vektorinę sandaugą A B → × F →.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Apibrėžimas Tvarkinga (x 1 , x 2 , ... , x n) n realiųjų skaičių rinkinys vadinamas n matmenų vektorius, ir skaičiai x i (i = ) - komponentai, arba koordinates,

Pavyzdys. Jei, pavyzdžiui, kai kurie automobilių gamykla per pamainą turi pagaminti 50 lengvųjų automobilių, 100 sunkvežimių, 10 autobusų, 50 komplektų atsarginių dalių lengviesiems automobiliams ir 150 komplektų sunkvežimiams ir autobusams, tada šios gamyklos gamybos programą galima parašyti vektoriniu (50, 100, 10, 50, 150), kurį sudaro penki komponentai.

Žymėjimas. Vektoriai žymimi paryškintomis mažosiomis raidėmis arba raidėmis su juostele ar rodykle viršuje, pvz. a arba. Du vektoriai vadinami lygus jei jie turi tas pats numeris komponentas ir juos atitinkantys komponentai yra vienodi.

Negalima sukeisti vektorių komponentų, pavyzdžiui, (3, 2, 5, 0, 1) ir (2, 3, 5, 0, 1) skirtingi vektoriai.
Operacijos su vektoriais. Darbas x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) realiuoju skaičiumiλ vadinamas vektoriumiλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Sumax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ir y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) vadinamas vektoriumi x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

Vektorinė erdvė. N -matmenų vektorinė erdvė R n apibrėžiamas kaip visų n matmenų vektorių rinkinys, kuriam atliekamos daugybos iš realūs skaičiai ir papildymas.

Ekonominė iliustracija. Ekonominė n-matės vektorinės erdvės iliustracija: prekių erdvė (prekes). Pagal prekes suprasime tam tikrą prekę ar paslaugą, kuri bus parduodama tam tikru laiku tam tikra vieta. Tarkime, kad yra baigtinis turimų prekių skaičius n; kiekvienos iš jų vartotojo įsigytus kiekius apibūdina prekių rinkinys

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

čia x i žymi vartotojo įsigytos i-osios prekės kiekį. Darysime prielaidą, kad visos prekės turi savavališko dalijimosi savybę, kad būtų galima įsigyti bet kokį neneigiamą kiekvienos iš jų kiekį. Tada visos galimos prekių aibės yra prekių erdvės C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linijinė nepriklausomybė. Sistema e 1 , e 2 , ... , e vadinami m n matmenų vektoriai tiesiškai priklausomas, jei yra tokių skaičiųλ 1 , λ 2 , ... , λ m , iš kurių bent vienas yra ne nulis, kad lygybėλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; kitaip ši vektorių sistema vadinama tiesiškai nepriklausomas, tai yra, nurodyta lygybė galima tik tuo atveju, kai visi . Geometrinė reikšmė vektorių tiesinė priklausomybė R 3, interpretuojami kaip nukreipti segmentai, paaiškinkite šias teoremas.

1 teorema. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai šis vektorius yra lygus nuliui.

2 teorema. Tam, kad du vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų kolineariniai (lygiagretūs).

3 teorema . Tam, kad trys vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų vienodi (gulėtų toje pačioje plokštumoje).

Kairysis ir dešinysis vektorių trigubai. Nevienaplanių vektorių trigubas a, b, c paskambino teisingai, jei stebėtojas iš jų bendros kilmės aplenkia vektorių galus a, b, c nurodyta tvarka, atrodo, vyksta pagal laikrodžio rodyklę. Priešingu atveju a, b, c -liko trys. Vadinami visi dešinieji (arba kairieji) vektorių trigubai tas pats orientuotas.

Pagrindas ir koordinatės. Troika e 1, e 2 , e 3 nevienaplaniai vektoriai in R 3 vadinamas pagrindu, ir patys vektoriai e 1, e 2 , e 3 - pagrindinis. Bet koks vektorius a gali būti vienareikšmiškai išplėsti į bazinius vektorius, tai yra, pavaizduoti formoje

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

skaičiai x 1 , x 2 , x 3 plėtinyje (1.1) vadinami koordinatesa pagrinde e 1, e 2 , e 3 ir yra pažymėti a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormalus pagrindas. Jei vektoriai e 1, e 2 , e 3 yra poromis statmenos ir kiekvieno iš jų ilgis lygus vienetui, tada vadinamas pagrindas ortonormalus, o koordinatės x 1 , x 2 , x 3 - stačiakampio formos. Ortonormalaus pagrindo baziniai vektoriai bus pažymėti i, j, k.

Mes manysime, kad erdvėje R 3 pasirinkta teisinga Dekarto stačiakampių koordinačių sistema (0, i, j, k}.

Vektorinis meno kūrinys. Vektorinis meno kūrinys Aį vektorių b vadinamas vektoriumi c, kuris nustatomas pagal šias tris sąlygas:

1. Vektoriaus ilgis c skaitine prasme lygi lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotui a Ir b, t.y.
c= |a||b| nuodėmė ( a^b).

2. Vektorius c statmenai kiekvienam vektoriui a Ir b.

3. Vektoriai a, b Ir c, paimti nurodyta tvarka, sudaro dešinįjį trigubą.

Dėl kryžminio produkto cįvedamas pavadinimas c =[ab] arba
c = a × b.

Jei vektoriai a Ir b yra kolineariniai, tada sin( a^b) = 0 ir [ ab] = 0, ypač [ aa] = 0. Vienetinių vektorių vektorinės sandaugos: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Jei vektoriai a Ir b nurodyta pagrinde i, j, k koordinates a(1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), tada

Mišrus darbas. Jei dviejų vektorių vektorinė sandauga A Ir b skaliariai padauginta iš trečiojo vektoriaus c, tada tokia trijų vektorių sandauga vadinama mišrus darbas ir yra pažymėtas simboliu a b c.

Jei vektoriai a, b Ir c pagrinde i, j, k pateiktos pagal jų koordinates
a(1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), tada

.

Mišrus sandauga turi paprastą geometrinį aiškinimą – tai skaliaras, absoliučia verte lygus gretasienio, pastatyto ant trijų duotųjų vektorių, tūriui.

Jei vektoriai sudaro dešinįjį trigubą, tada jų mišrus darbas yra teigiamas skaičius, lygus nurodytam tūriui; jei tai trejetas a, b, c - tada paliko a b c<0 и V = - a b c, todėl V =|a b c|.

Laikoma, kad vektorių, su kuriais susiduriama pirmojo skyriaus uždaviniuose, koordinatės pateiktos teisingo ortonormalaus pagrindo atžvilgiu. Vieneto vektorius kartu su vektoriumi A, pažymėtas simboliu A O. Simbolis r=OMžymimas taško M spindulio vektoriumi, simboliais a, AB arba|a|, | AB|žymimi vektorių moduliai A Ir AB.

Pavyzdys 1.2. Raskite kampą tarp vektorių a= 2m+4n Ir b= m-n, Kur m Ir n- vienetų vektoriai ir kampas tarp m Ir n lygus 120 o.

Sprendimas. Mes turime: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, vadinasi, a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, o tai reiškia, kad b = . Pagaliau turime: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

1.3 pavyzdys.Žinant vektorius AB(-3,-2,6) ir B.C.(-2,4,4),apskaičiuokite trikampio ABC aukščio AD ilgį.

Sprendimas. Trikampio ABC plotą pažymėdami S, gauname:
S = 1/2 pr. Kr. Tada AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, o tai reiškia vektorių A.C. turi koordinates
. .

Pavyzdys 1.4 . Pateikti du vektoriai a(11,10,2) ir b(4,0,3). Raskite vieneto vektorių c, statmenas vektoriams a Ir b ir nukreiptas taip, kad sutvarkytas vektorių trigubas a, b, c buvo teisus.

Sprendimas.Pažymime vektoriaus koordinates c atsižvelgiant į duotą teisingą ortonormalų pagrindą x, y, z atžvilgiu.

Kadangi c ⊥ a, c ⊥b, Tai apytiksliai= 0,cb= 0. Pagal uždavinio sąlygas reikia, kad c = 1 ir a b c >0.

Mes turime lygčių sistemą, skirtą rasti x, y, z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iš pirmosios ir antrosios sistemos lygčių gauname z = -4/3 x, y = -5/6 x. Pakeitę y ir z į trečiąją lygtį, gauname: x 2 = 36/125, iš kur
x =± . Naudojant sąlygą a b c > 0, gauname nelygybę

Atsižvelgdami į z ir y išraiškas, gautą nelygybę perrašome į formą: 625/6 x > 0, o tai reiškia, kad x>0. Taigi, x = , y = - , z =- .