Az a szám egész kitevői közül egy racionális kitevőre történő átmenet önmagát sugallja. Az alábbiakban meghatározunk egy fokot egy racionális mutatóval, és ezt úgy fogjuk megtenni, hogy az egész indikátorral rendelkező fok minden tulajdonsága megmaradjon. Ez szükséges, mivel az egész számok a racionális számok részét képezik.

Ismeretes, hogy a racionális szám halmaz egész számokból és tört számokból áll, és minden egyes tört szám pozitív vagy negatív rendes tört lehet. A fokot egész számú exponenssel határoztuk meg az előző bekezdésben, ezért ahhoz, hogy a fok meghatározását egy racionális exponenssel kiegészítsük, meg kell adnunk a szám fokának jelentését. egy   frakcionált mutatóval m / nahol m   Egész szám, és n   - természetes. Csináljuk.

Vegyünk egy fokot az űrlap tört kitevőjével. Annak érdekében, hogy a fokozat tulajdonsága érvényes maradjon, az egyenlőség   . Ha figyelembe vesszük az ebből fakadó egyenlőséget és azt, hogy hogyan határoztuk meg a n. Fokozat gyökerét, akkor logikus elfogadni, feltéve hogy m, n   és egya kifejezésnek van értelme.

Könnyű ellenőrizni, ha egy egész exponenssel rendelkező fok minden tulajdonsága igaz (ezt a fok fokának egy racionális exponenssel rendelkező szakaszában kell megtenni).

A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy a következőket tegyük következtetés: ha megadják m, n   és egy   a kifejezésnek értelme van, akkor a szám foka egy   frakcionált mutatóval m / n   úgynevezett root nfok egy   amennyire m.

Ez az állítás vezet minket közvetlenül a fok meghatározásához egy frakcionált mutatóval. Csak azt kell festeni, amely alatt m, n   és egy   a kifejezésnek van értelme. A korlátozásoktól függően m, n   és egy   Két fő megközelítés létezik.

1. A legegyszerűbb módszer korlátozás bevezetésére egyelfogadásával a≥0   a pozitív més a\u003e 0   negatív m   (Mivel m≤0   fokú 0 m   nincs meghatározva). Ezután frakcionált exponenssel megkapjuk a következő fokdefiníciót.

Definíció.

A pozitív szám foka egy   frakcionált mutatóval m / n ahol m   - az egész, és n   - természetes szám, amelyet gyökérnek hívnak nköztük egy   amennyire m, vagyis.

A nulla frakcionált fokát azzal a figyelmeztetéssel is meghatározzuk, hogy a mutatónak pozitívnak kell lennie.

Definíció.

Pozitív részleges nulla m / n ahol m- az egész pozitív, és n   Egy természetes szám, amelyet úgy definiálunk, mint .
Ha a fokozatot nem határozták meg, vagyis a frakcionált negatív exponenssel a nulla értéknek nincs értelme.

Meg kell jegyezni, hogy a fok fokos meghatározásával frakcionált mutatóval van egy árnyalattal: néhány negatív esetén egy   és néhányat m   és na kifejezésnek van értelme, és ezeket az eseteket a feltétel bevezetésével elvetjük a≥0. Például, van értelme írni   vagy, és a fenti meghatározás arra készteti bennünket, hogy a fok egy részleges exponenssel rendelkezik   nincs értelme, mivel az alap nem lehet negatív.

2. Egy másik megközelítés a fok meghatározására egy frakcionált mutatóval m / na páros és páratlan gyökérindexek külön figyelembevételét foglalja magában. Ez a megközelítés további feltételt igényel: a szám fokát egy, amelynek mutatója a visszahúzható rendes frakció, a egy, amelynek mutatója a megfelelő nem redukálható frakció (ennek a feltételnek a fontosságát az alábbiakban magyarázzuk). Vagyis ha m / n   Nem redukálható frakció, akkor bármely természetes számhoz k   a fokozatot korábban helyettesítette:.

Egyenletes n   és pozitív m   a kifejezésnek értelme van minden nem negatívnak egy   (a negatív számból származó páros fok gyökere nincs értelme), negatívval m   a számot egy   nem lehet nulla (különben nullával kell osztani). És furcsa n   és pozitív m   a számot egybármi lehet (bármilyen valós számhoz páratlan gyökér van definiálva) és negatív is m   a számot egy   nem nullának kell lennie (úgy, hogy nulla ne legyen osztva).

A fenti érvelés vezet egy beosztásos mutatóval ellátott fokozat ilyen meghatározásához.

Definíció.

enged m / n   - nem redukálható frakció, m   - az egész, és n   Természetes szám. Bármely összehúzódó frakció esetében a fok helyébe. A szám foka egy   redukálhatatlan frakcionált exponenssel m / n   - ez az

o bármilyen valós szám egyegész pozitív m   és furcsa természetes npéldául ;

o bármilyen nem nulla valós szám egyegész negatív m   és furcsa npéldául ;

o bármilyen nem negatív szám egyegész pozitív m   és még npéldául ;

o bármilyen pozitív egyegész negatív m   és még npéldául ;

o egyéb esetekben a frakcionált mutatóval ellátott fokot nem határozzák meg, mivel például a fokokat nem határozták meg   .a nem tulajdonítunk jelentést a rekordnak, akkor a pozitív frakcionális mutatókra meghatározzuk a nulla szám fokát m / n   hogyan   , a negatív tört mutatók esetében a nulla szám fokát nem határozzák meg.

E bekezdés befejezésekor felhívjuk a figyelmet arra a tényre, hogy a tört tört kitevője például tizedes tört vagy vegyes szám formájában írható, . Az ilyen kifejezések értékének kiszámításához be kell írnia az exponenst rendes tört formájában, majd a fok meghatározását egy frakcionált exponenssel kell használni. Ezekre a példákra van   és

Ebben a cikkben megértjük, mi az a szám mértéke. Itt adjuk meg a szám fokának meghatározását, miközben részletesen megvizsgáljuk az összes lehetséges exponenst, a természetes mutatótól az irracionálisig. Az anyagban egy csomó példa található a fokokra, amelyek lefedik a felmerülő finomságokat.

Oldal navigáció.

Fok természetes mutatóval, négyzet száma, kocka száma

Először is, adjuk. Előre tekintve azt mondjuk, hogy az a természetes fokozatú n fokozatának meghatározása az a-ra vonatkozik, amelyet felhívunk fok alapján, és n, amelyeket hívunk kitevő. Azt is megjegyezzük, hogy a terméken keresztül meghatározzuk a természetes mutatóval ellátott fokot, tehát az alábbi anyag megértése érdekében ötlettel kell rendelkeznie a számozásokról.

Definíció.

Az a ereje egy természetes exponenssel n   egy olyan n formájának kifejezése, amelynek értéke megegyezik n tényező szorzatával, amelyek mindegyike egyenlő a-val, azaz.
  Különösen, az 1-es kitevőjével az a mértéke maga a szám, vagyis a 1 \u003d a.

Azonnal érdemes megemlíteni a fokok olvasásának szabályait. Az n egyetemes olvasási módja a következő: „a n erejéhez”. Bizonyos esetekben a következő lehetőségek is elfogadhatók: „a-tól n-ig hatalom” és „n-edik hatalma”. Vegyük például a 8 12 fokot, ez "nyolc a tizenkét hatalmáig" vagy "nyolc a tizenkettedik hatalomig", vagy "a nyolcadik hatodik hatalom".

A szám második hatalma, valamint a szám harmadik hatalma megnevezik. A szám második erejét hívjuk négyzet számPéldául a 7 2 helyesen: „hét négyzet” vagy „hét négyzet”. A szám harmadik hatalmát hívják számú kockaPéldául az 5 3 értelmezhető úgy, hogy „öt egy kocka”, vagy mondhatjuk: „az 5-ös számú kocka”.

Ideje hozni példák a fokokra természetes mutatókkal. Kezdjük az 5-7-es fokkal, itt az 5-ös a fok alapja, és a 7-es az exponens. Adunk egy másik példát: 4.32 az alap, a 9. természetes szám pedig a (4.32) 9 kitevője.

Felhívjuk figyelmét, hogy az utolsó példában a 4.32 fok fokát zárójelben írták: az eltérések elkerülése érdekében az összes fokozat alapját zárójelbe tettük, amelyek különböznek a természetes számoktól. Példaként a következő fokokat adjuk meg természetes mutatókkal , bázisuk nem természetes számok, ezért zárójelbe írják őket. Nos, a teljes érthetőség kedvéért ezen a ponton megmutatjuk a különbséget a (−2) 3 és −2 3 forma bejegyzésében. A (−2) 3 kifejezés a fok −2 a 3 természetes exponenssel, és a −2 3 kifejezés (úgy írható, hogy - (2 3)) egy számnak felel meg, a 2 3-as fok értéke.

Ne feledje, hogy van egy a-fok fokának jelölése az n exponenssel, amelynek a ^ n alakja. Sőt, ha n többértékű pozitív egész szám, akkor az exponenst zárójelbe vesszük. Például a 4 ^ 9 a 4 9 fok további újabb bejegyzése. És itt még néhány példa a fok fokírására a „^” szimbólum használatával: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Az alábbiakban elsősorban az n forma fokának jelölését fogjuk használni.

Az egyik feladat, a természetes mutatóval való fokos emelés fordítottja, az a probléma, hogy meg kell találni a fok alapját a fok ismert értéke és az ismert mutató alapján. Ez a feladat vezet.

Ismeretes, hogy a racionális szám halmaz egész számokból és tört számokból áll, és minden egyes tört szám pozitív vagy negatív rendes tört lehet. Az fokot egy egész számmal határoztuk meg az előző bekezdésben, ezért ahhoz, hogy egy fok meghatározását egy racionális mutatóval befejezzük, meg kell adnunk egy fok fokát egy m / n frakcionált exponenssel, ahol m egy egész szám és n egy természetes szám. Csináljuk.

Vegyünk egy fokot az űrlap tört kitevőjével. Annak érdekében, hogy a fokozat tulajdonsága érvényes maradjon, az egyenlőség . Ha figyelembe vesszük a kapott egyenlőséget és azt, hogy hogyan határoztuk meg, akkor logikus elfogadni, feltéve, hogy adott m, n és a kifejezésre van értelme.

Könnyű ellenőrizni, ha egy egész exponenssel rendelkező fok minden tulajdonsága igaz (ezt a fok fokának egy racionális exponenssel rendelkező szakaszában kell megtenni).

A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy a következőket tegyük következtetés: ha adott m, n és a kifejezésnek értelme van, akkor az m / n frakcionált kitevőjével az a mértéke az n-edik fok gyökere az a-tól m-ig.

Ez az állítás vezet minket közvetlenül a fok meghatározásához egy frakcionált mutatóval. Csak azt kell festeni, amely alatt m, n és a kifejezésnek van értelme. Az m, n és az a korlátozásoktól függően két fő megközelítés létezik.

A legegyszerűbb módszer az a korlátozása, amelynél ≥0 pozitív m és a\u003e 0 negatív m értéknél (mivel m≤0 esetén a 0 m fokozat nincs meghatározva). Ezután frakcionált exponenssel megkapjuk a következő fokdefiníciót.

Definíció.

Az a pozitív szám mértéke egy frakcionált exponenssel, m / n, ahol m egy egész szám, és n egy természetes szám, akkor az n-edik szám gyökerét nevezzük a-tól m-ig, azaz.

A nulla frakcionált fokát azzal a figyelmeztetéssel is meghatározzuk, hogy a mutatónak pozitívnak kell lennie.

Definíció.

Nulla fok egy frakcionált pozitív exponenssel, m / n, ahol m pozitív egész, és n pozitív egész, úgy definiáljuk, ha .
Ha a fokozatot nem határozták meg, vagyis a frakcionált negatív exponenssel a nulla értéknek nincs értelme.

Meg kell jegyezni, hogy a frakcionált exponenssel rendelkező fok ilyen meghatározásával van egy árnyalata: néhány negatív a és m és n esetében a kifejezésnek van értelme, és ezeket az eseteket az ≥0 feltétel bevezetésével dobtuk el. Például, van értelme írni   vagy, és a fenti meghatározás arra készteti bennünket, hogy a fok egy részleges exponenssel rendelkezik   nincs értelme, mivel az alap nem lehet negatív.

A fok fokának m / n frakcionált exponenssel történő meghatározásának másik megközelítése a gyök páros és páratlan kitevőinek külön figyelembevétele. Ez a megközelítés további feltételt igényel: az a szám fokát, amelynek mutatója az a szám fokának kell tekinteni, amelynek mutatója a megfelelő nem redukálható hányad (ennek a feltételnek a fontosságát az alábbiakban ismertetjük). Vagyis ha m / n nem redukálható frakció, akkor bármilyen k természetes szám esetében a fokot előzetesen helyettesíti.

Ha n és pozitív m, akkor a kifejezésnek értelme van minden nemnegatív a-nak (a negatív szám páros fokának gyökere nincs értelme), m negatív esetén az a számnak is nullának kell lennie (különben nullával osztjuk). És páratlan n és m pozitív esetén az a szám bármilyen lehet (a páratlan fok gyökerét minden valós szám meghatározza), és m negatív esetén az a számnak nullának kell lennie (úgy, hogy nullával ne osszuk el).

A fenti érvelés vezet egy beosztásos mutatóval ellátott fokozat ilyen meghatározásához.

Definíció.

Legyen m / n nem redukálható frakció, m legyen egész szám, és n legyen pozitív egész. Bármely összehúzódó frakció esetében a fok helyébe. Egy nem redukálható frakcionált exponenssel rendelkező m / n ereje



Magyarázza el, miért helyettesíti előzetesen egy redukálható frakcionált mutatóval rendelkező fokot egy irredukálható mutatóval rendelkező fok. Ha egyszerűen definiáljuk a fokot, és nem teszünk fenntartást az m / n frakció visszaállíthatatlanságával kapcsolatban, akkor a következőhöz hasonló helyzetekkel találkozunk: mivel 6/10 \u003d 3/5, akkor az egyenlőség de , a.

A „Oktatás ésszerű mutatóval” videotéma vizuális képzési anyagokat tartalmaz a témáról szóló lecke lefolytatásához. A video oktatóanyag információkat tartalmaz a fok fogalmáról racionális mutatóval, tulajdonságokkal, ilyen fokokkal, valamint példákat, amelyek leírják az oktatási anyag felhasználását a gyakorlati problémák megoldására. Ennek a videoóranak az a célja, hogy az oktatási anyagot megjelenítse és megértse, megkönnyítse annak elsajátítását és memorizálását a hallgatók számára, és megteremtse a problémák megoldásának képességét a megtanult fogalmak segítségével.

A video bemutató fő előnyei a vizuális konvertálás és a számítás képessége, az animációs effektusok felhasználásának képessége az oktatás hatékonyságának javítása érdekében. A hangos útmutatás elősegíti a helyes matematikai beszéd kialakítását, és lehetővé teszi a tanár magyarázatának helyettesítését is, ezáltal megszabadítva neki az egyéni munkát.

A video lecke a téma bemutatásával kezdődik. Összekapcsolva egy új téma tanulmányozását az előzőleg tanulmányozott anyaggal, javasoljuk, hogy emlékeztessünk arra, hogy n √ a természetes n esetén 1 / n, pozitív a esetén pedig. Az n fokos gyökér ábrázolása megjelenik a képernyőn. Javasoljuk továbbá, hogy mérlegelje, mit jelent az m / n kifejezés, amelyben a pozitív szám és m / n egy tört. A keretben egy fokmeghatározás egy racionális mutatóval, mint m / n \u003d n √ a m. Megjegyeztük, hogy n lehet természetes szám és m egész szám.

Miután egy fokot egy racionális mutatóval meghatároztak, annak jelentését példákkal mutatják be: (5/100) 3/7 \u003d 7 √ (5/100) 3. Bemutatunk egy példát is, amelyben a tizedes tört képviseltetett mértéket standard frakcióvá alakítják úgy, hogy gyökérként legyen ábrázolva: (1/7) 1,7 \u003d (1/7) 17/10 \u003d 10 √ (1/7) 17 és egy példa negatív fokértékkel: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Külön külön meg kell adni azt a különleges esetet, amelyben a fok nulla. Meg kell jegyezni, hogy ez a fok csak akkor van értelme, ha pozitív tört mutatója van. Ebben az esetben értéke nulla: 0 m / n \u003d 0.

Meg kell jegyezni egy ésszerű mutatóval rendelkező fok fokát - hogy a tört mutatóval rendelkező fok nem tekinthető frakcionált mutatóval. Példák a helytelen fokos rögzítésre: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Továbbá a video leckében mérlegelik egy ésszerű mutatóval rendelkező fok tulajdonságait. Meg kell jegyezni, hogy egy egész exponenssel rendelkező fok tulajdonságai érvényesek lesznek egy racionális exponenssel rendelkező fokra is. Javasoljuk, hogy hívja fel a tulajdonságok listáját, amelyek ebben az esetben is érvényesek:

1. Ha a fokokat ugyanazzal a bázissal megszorozzuk, azok mutatói összeadódnak: a p a q \u003d a p + q.
2. Az azonos bázisokkal mért fokok megoszlása \u200b\u200begy adott bázissal és az exponensek közötti különbséggel fokra csökken: a p: a q \u003d a p-q.
3. Ha egy fokozatot egy bizonyos fokra megemeltünk, akkor a végén megkapjuk az ezt az alapot és a mutatók szorzatát: (a p) q \u003d a pq.

Mindezek a tulajdonságok érvényesek fokokra, racionális p, q exponensekkel és a\u003e 0 pozitív bázissal. A konzolok kinyitásakor bekövetkező fokos transzformációk szintén igazak:

1. (ab) p \u003d a p b p - hatalomnövelés két szám szorzatának racionális mérésével redukálódik a számok szorzatává, amelyek mindegyikét egy adott fokozatba emelik.
2. (a / b) p \u003d a p / b p - a hatalom növelése egy frakció racionális mutatójával olyan frakcióra redukálódik, amelynek számlálója és nevezője ilyen mértékben megemelkedik.

A video oktatóanyag olyan példák megoldását tárgyalja, amelyekben a fokok megfontolt tulajdonságait egy racionális mutatóval használják. Az első példában azt javasoljuk, hogy keresse meg a kifejezés értékét, amely frakcionált mértékben tartalmazza az x változókat: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). A kifejezés bonyolultsága ellenére, a fokok tulajdonságai alapján, meglehetősen egyszerűen oldódik meg. A feladat megoldása a kifejezés egyszerűsítésével kezdődik, amelyben a racionális mutatóval történő fok fokozására vonatkozó szabályt alkalmazzák, valamint a fokok ugyanazon alapra való szorzásával. Miután az x \u003d 8 beállított értéket helyettesítette az x 1/3 +48 egyszerűsített kifejezéssel, könnyen megkapja a - 50 értéket.

A második példában racionális mutatóval csökkenteni kell azt a frakciót, amelynek a számlálója és a nevezője fokokat tartalmaz. A fok tulajdonságai alapján kiválasztjuk az x 1/3 tényezőt a különbségből, amelyet ezután redukálunk a számlálóban és a nevezőben, és a négyzetek különbségének képletével a számlálót tényezőkre bővítjük, ami ugyancsak csökkenti a számlálóban és a nevezőben szereplő tényezőket. Az ilyen átalakulások eredménye egy rövid x x 1/4 frakció.

A „Oktatás ésszerű mutatóval” videotéma használható ahelyett, hogy a tanár elmagyarázná az óra új témáját. Ezenkívül ez a kézikönyv elegendő információt tartalmaz a hallgató független tanulmányainak elvégzéséhez. Az anyag hasznos lehet a távoktatásban.