A matematika fokozatának fogalmát a hetedik osztályban vezetjük be az algebra órájában. Később a matematika tanulmányainak teljes ideje alatt ezt a fogalmat aktívan alkalmazzák annak különféle formáiban. A fokozat meglehetősen nehéz téma, amely megköveteli az értékek megőrzését és a helyes és gyors számolás képességét. A fokokkal történő gyorsabb és jobb munka érdekében a matematikusok meghatározták a fok tulajdonságait. Segítik a nagy számítások csökkentését, egy hatalmas példát bizonyos mértékig egyetlen számgá alakítanak. Nincs olyan sok tulajdonság, és mindegyiket könnyen megjegyezni és alkalmazni lehet a gyakorlatban. Ezért a cikk tárgyalja a fok alapvető tulajdonságait, valamint azok alkalmazási módját.
Fokozat tulajdonságai
Figyelembe vesszük a fok 12 tulajdonságát, ideértve az azonos alapokkal rendelkező fokok tulajdonságait, és mindegyik tulajdonságra példát adunk. Ezen tulajdonságok mindegyike segít a feladatok fokozottabb megoldásában, és megtakaríthat számos számítási hibától.
1. ingatlan.
Sokan nagyon gyakran elfelejtik ezt a tulajdonságot, hibáznak, és a számot nullára mutatják.
2. ingatlan.
3. ingatlan.
Emlékeztetni kell arra, hogy ez a tulajdonság csak számszorzás esetén alkalmazható; összeadva ez nem működik! És nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy ez és a következő tulajdonságok csak azonos fokú fokokra vonatkoznak.
4. ingatlan.
Ha a nevezőben a szám negatív mértékben növekszik, akkor a nevező fokának levonásakor zárójelben vettük a jel helyes cseréjét a további számítások során.
Az ingatlan csak osztáskor működik, kivonáskor nem vonatkozik!
5. ingatlan.
6. ingatlan.
Ez a tulajdonság az ellenkező irányba alkalmazható. Egy egység, amelyet bizonyos mértékben megosztunk egy számmal, ez a szám mínusz mértékben.
7. ingatlan.
Ez a tulajdonság nem alkalmazható összegre és különbségre! Ha egy hatalomot összegre vagy különbségre emelünk, akkor a rövidített szorzás képleteit használjuk, nem pedig a fok tulajdonságait.
8. ingatlan.
9. ingatlan.
Ez a tulajdonság bármely frakcionált fokra érvényes, ha egy számlálója megegyezik, a képlet megegyezik, csak a gyökér mértéke változik a fok nevezőjétől függően.
Ez a tulajdonság gyakran fordított sorrendben kerül felhasználásra. A számtól függő bármely fokú gyökér számként ábrázolható a mértékegységben osztva a gyökér fokával. Ez a tulajdonság nagyon hasznos azokban az esetekben, amikor a szám gyökere nem kerül lekérésre.
10. ingatlan.
Ez a tulajdonság nem csak a négyzetgyökkel és a második fokkal működik. Ha a gyökér és az a fok, amelybe e gyökér megemelkedik, egybeesik, akkor a gyökér kifejezés lesz a válasz.
11. ingatlan.
Meg kell tudnia látni ezt a tulajdonságot a megoldás során, hogy megmentse magát a hatalmas számításoktól.
12. ingatlan.
Ezen tulajdonságok mindegyike többször megtalálható a feladatokban, tiszta formában adható meg, vagy szükségessé válhat bizonyos átalakítások és más képletek használata. Ezért a helyes megoldáshoz nem elegendő csak a tulajdonságok ismerete, hanem a fennmaradó matematikai ismereteket kell gyakorolni és összekapcsolni.
A fokok alkalmazása és tulajdonságai
Ezek aktívan használják az algebrai és a geometria. A matematikai diplomáknak külön, fontos helyük van. Segítségükkel az exponenciális egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldódnak, a fokok és gyakran bonyolítják az egyenleteket és a matematika más ágához kapcsolódó példákat. A fokok segítik a nagy és hosszú számítások elkerülését, a fokok könnyebben csökkenthetők és kiszámíthatók. De ahhoz, hogy nagy, vagy nagy számú fokkal dolgozzon, nemcsak a fok tulajdonságairól kell tudnia, hanem kompetens módon kell dolgoznia az alapokkal is, képesnek kell lennie arra, hogy kibővítse azokat a feladat megkönnyítése érdekében. A kényelem érdekében tudnia kell a hatalomra felhívott számok értékét is. Ez csökkenti a megoldáshoz szükséges időt, megszünteti a hosszú számítások szükségességét.
A fok fogalma különleges szerepet játszik a logaritmusban. Mivel a logaritmus lényegében egy szám hatalma.
A rövidítések képletei szintén példák a fok használatára. Nem használhatja be a fokok tulajdonságait, azokat speciális szabályok szerint alakítják ki, de a fokok mindig vannak jelen a rövidített szorzás minden egyes képletében.
A fokokat aktívan használják a fizikában és a számítógépes tudományban is. Az SI rendszerbe történő minden átvitel fokokkal történik, majd később, a problémák megoldásakor a fok tulajdonságai kerülnek alkalmazásra. A számítástechnika területén a kettő fokozatát aktívan használják a számok felszámolásának és egyszerűsítésének megkönnyítése érdekében. Az egységkonverziók további számításai vagy a feladatok kiszámítása, akárcsak a fizikában, a fok tulajdonságai alapján történik.
A fokok nagyon hasznosak a csillagászatban is, ahol ritkán találkozhatunk egy fok tulajdonságainak alkalmazásával, de magukat a fokokat aktívan használják a különféle mennyiségek és távolságok rögzítésének csökkentésére.
A fokokat a mindennapi életben használják a terület, térfogat, távolság kiszámításakor.
Fokok segítségével nagyon nagy és nagyon kis mennyiségeket regisztrálnak bármely tudományterületen.
Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
A fok tulajdonságainak különleges helyét pontosan az exponenciális egyenletek és az egyenlőtlenségek foglalják el. Ezek a feladatok nagyon általánosak, mind az iskolai tanfolyamokon, mind a vizsgák során. Mindezeket a fok tulajdonságainak alkalmazásával oldják meg. Az ismeretlen mindig nagyon fokos, ezért az összes tulajdonság ismeretében nem nehéz megoldani egy ilyen egyenletet vagy egyenlőtlenséget.
Fokozatképletek a komplex kifejezések csökkentésének és egyszerűsítésének folyamatában, az egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldásában használják.
Szám c egy na szám mértéke egy mikor:
Műveletek fokokkal.
1. A fok megsokszorozása ugyanazon alapokkal, mutatóik hozzáadása:
a mA n \u003d a m + n.
2. A fokok ugyanazon alapú megosztásakor mutatóikat levonják:
3. Két vagy több tényező szorzata megegyezik a következő tényezők fokának szorzatával:
(abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...
4. A frakció mértéke megegyezik az osztalék és az osztó fokának hányadosával:
(a / b) n \u003d a n / b n.
5. Fok fokozásával fokozva az exponensek szaporodnak:
(a m) n \u003d a m n.
A fenti képletek mindegyike igaz balról jobbra és fordítva.
például. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15² \u003d 900/225 \u003d 4.
Gyökérműveletek.
1. Több tényező termékének gyöke megegyezik a következő tényezők gyökerének eredményével:
2. A kapcsolat gyöke megegyezik az osztalék és a gyökerek osztójának hányadosával:
3. Amikor egy gyökér egy hatalomra emelkedik, elegendő egy gyökér számot e hatalomra emelni:
4. Ha növeli a gyökér fokát n egyszerre és egyszerre felállni n-fokú fok a gyökérszám, akkor a gyökérértéke nem változik:
5. Ha csökkenti a gyökér fokát n egyszerre és egyszerre bontsa ki a gyökeret na gyökér számának fokán, a gyökér értéke nem változik:
Fokozat negatív mutatóval.Egy bizonyos szám fokát nem pozitív (egész) mutatóval egységként kell meghatározni, osztva ugyanazon szám fokával, egy olyan mutatóval, amely megegyezik a nem pozitív mutató abszolút értékével:
A képlet a m: a n \u003d a m - n nemcsak használható m> n hanem velük is m< n.
például. egy 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.
Fogalmazni a m: a n \u003d a m - n méltányossá vált, amikor m \u003d n, nulla fok jelenléte szükséges.
Fokozat nulla jelzővel.A nullán kívüli számok foka nulla exponenssel egyenlő.
például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Fok fokos mutatóval.Valós szám felépítéséhez és Amennyiben m / nki kell töltenie a gyökérképet nfok mennek a számnak a mértéke és.
Ha egy adott számot hatalomra kell emelnie, használhatja. És most részletesebben fogunk foglalkozni fok tulajdonságai.
Exponenciális számok nagyszerű lehetőségeket nyitnak meg, lehetővé teszik számunkra a szorzás konvertálását összeadásba, és a hajtás sokkal könnyebb, mint a szorzás.
Például meg kell szoroznunk a 16-ot 64-vel. E két szám szorzásának szorzata 1024. De a 16 4x4, a 64 pedig 4x4x4. Vagyis 16 x 64 \u003d 4x4x4x4x4, ami szintén egyenlő 1024-del.
A 16-os számot 2x2x2x2-ként, 64-et 2x2x2x2x2x2-ként is ábrázolhatjuk, és ha megszorozzuk, ismét 1024-et kapunk.
Most használja a szabályt. 16 \u003d 4 2 vagy 2 4, 64 \u003d 4 3 vagy 2 6, ugyanakkor 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5, vagy 2 10.
Ezért a problémánk másképpen írható: 4 2 x4 3 \u003d 4 5 vagy 2 4 x2 6 \u003d 2 10, és minden alkalommal 1024-et kapunk.
Számos hasonló példát meg tudunk oldani, és láthatjuk, hogy a számok megszorozása a hatalomra csökken exponensek hozzáadása, vagy természetesen exponensen, feltéve, hogy a tényezők alapjai azonosak.
Így szorzás nélkül azonnal elmondhatjuk, hogy 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Ez a szabály akkor is érvényes, ha a számokat hatalommal osztjuk, de ebben az esetben az osztó exponenst levonjuk az osztó exponenstől. Így 2 5: 2 3 \u003d 2 2, amely rendes számban 32: 8 \u003d 4, azaz 2 2. Összefoglalni:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, ahol m és n egész szám.
Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ilyen szorzás és számok osztása fokokkal nem túl kényelmes, mert először a számot exponenciális formában kell ábrázolni. Könnyű elképzelni, hogy ebben a formában a 8. és a 16. szám, azaz a 2 3 és a 2 4, de hogyan lehet ezt megtenni a 7 és a 17 számmal? Vagy mit tegyünk, ha a számot exponenciális formában lehet ábrázolni, de a számok exponenciális kifejezéseinek alapjai nagyon különböznek. Például a 8 × 9 értéke 2 3 x 3 2, és ebben az esetben nem tudjuk összeadni a kitevőket. Sem a 2 5, sem a 3 5 nem a válasz, a válasz szintén nem felel meg a két szám közötti intervallumban.
Akkor érdemes ezt a módszert zavarni? Határozottan megéri. Óriási előnyöket kínál, különösen összetett és időigényes számításokkal.
Első szint
A fok és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)
Miért van szüksége fokokra? Hol találja őket hasznosnak? Miért kell időt töltenie ezek tanulmányozására?
Olvassa el ezt a cikket, ha többet szeretne megtudni a fokokról, arról, hogy miért van szükségük ezekre, és hogyan kell tudásait a mindennapi életben felhasználni.
És természetesen a fokok ismerete közelebb hozza a vizsga vagy vizsga sikeres átadásához és az álmai egyetemen való belépéshez.
Menjünk ... (Menjünk!)
Fontos figyelmeztetés! Ha a képletek helyett abrakadabra látható, tisztítsa meg a gyorsítótárat. Ehhez nyomja meg a CTRL + F5 (Windows esetén) vagy a Cmd + R (Mac esetén).
ELSŐ SZINT
A teljesítmény növelése ugyanolyan matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.
Most mindent elmagyarázok az emberi nyelven, nagyon egyszerű példák segítségével. Légy óvatos. A példák elemi, de fontos dolgokat magyaráznak.
Kezdjük a kiegészítéssel.
Nincs mit magyarázni. Mindent már tudsz: nyolcunk vagyunk. Mindegyikben van két üveg kóla. Hány teljes kóla? Jobb - 16 üveg.
Most szorzás.
Ugyanez a példa a cola-val más módon is írható: A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kidolgozzák a módját, hogy gyorsabban „megszámolhassák” őket. Esetünkben észrevették, hogy a nyolc ember mindegyikének azonos számú kólapalackja van, és egy szorzásnak nevezett technikával jöttek létre. Egyetértek azzal, hogy könnyebb és gyorsabb, mint.
Tehát a gyorsabb, könnyebb és hiba nélküli számoláshoz csak emlékezni kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibázva! De…
Itt van a szorzótábla. Ismétlés.
És egy másik, szebb:
És milyen más trükkös számlálási technikákkal jöttek létre a lusta matematikusok? Helyesen - hatványozás.
Erő növelése hatalomra
Ha egy számot ötször szoroznia kell, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik teljesítményre kell növelnie. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy ez két-ötödik fokozat. És az elménnyel megoldják ezeket a problémákat - gyorsabban, könnyebben és hibamentesen.
Ehhez csak ne felejtse el, hogy mi van kiemelve a számjegyek táblázatában. Hidd el, ez nagyban megkönnyíti az életed.
Mellesleg, miért hívják a második fokot négyzeten számok, és a harmadik - kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most már négyzet és kocka lesz.
1. életpélda
Kezdjük a négyzettel vagy a szám második erejével.
Képzeljünk el egy négyzetméteres medencét, melynek mértéke méter egy méter. A medence a vidéki házban található. Melegszik, és nagyon szeretne úszni. De ... a medence alja nélkül van! A medence alját burkolólapokkal kell lefedni. Mennyire van szüksége csempékre? Ennek meghatározásához meg kell határoznia a medence alsó részét.
Csak ujjával megdöntheti, hogy a medence alja méter / méter méretű kockákból áll. Ha van egy csempe méterenként, akkor szüksége lesz darabokra. Könnyű ... De hol láttál ilyen lapkát? A csempe nagyobb valószínűséggel fog megjelenni cm-enként, majd "gyötrelsz egy ujjal". Akkor meg kell szoroznod. Tehát a medence aljának egyik oldalán csempe (darab), a másik oldalán pedig csempe is beilleszthető. Szorozzuk meg, így csempe () lesz.
Észrevette, hogy a medence alsó részének meghatározásához ugyanazt a számot meg kell szoroznunk önmagával? Mit jelent? Mivel ugyanaz a szám szorozva, használhatjuk az „exponenciálás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, az ugyanaz, ha megszorozzuk őket, vagy hatalomra emeljük. De ha sok ilyen van, akkor a teljesítményre emelés sokkal könnyebb, és kevesebb hiba van a számításokban. HASZNÁLATRA ez nagyon fontos).
Tehát harminc lesz a második fokozatban (). Vagy mondhatjuk, hogy harmincas négyzet lesz. Más szavakkal, a szám második erejét mindig négyzetként ábrázolhatjuk. És fordítva: ha négyzetet látsz, akkor az mindig egy szám második fokozatát jelenti. A négyzet a szám második erejének képe.
2. életpélda
Itt áll a feladat, hogy kiszámítsa a sakktáblán hány négyzetet a szám négyzetével ... A cellák egyik oldalán és a másik oldalán is. Számuk kiszámításához nyolcszor vagy nyolcszor szükséges, vagy ha ... ha észreveszi, hogy a sakktábla négyzet, oldalsó, akkor nyolcszoros lehet. Kiderül, hogy a cellák. () Így?
3. életpélda
Most egy kocka vagy egy szám harmadik hatalma. Ugyanaz a medence. De most meg kell tudnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számítania a hangerőt. (A térfogatot és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Váratlanul, ugye?) Rajzolj medencét: az alsó egy méter méretű és egy méter mély, és próbálja meg kiszámítani, hogy hány teljes köbméter méter méterben lép be a medencébe.
Mutasson az ujját egyenesen és számoljon! Egy, kettő, három, négy ... huszonkettő, huszonhárom ... Mennyit működött? Nem vesztett el Nehéz megszámolni az ujját? Szóval! Vegyünk példát a matematikusoktól. Lustaak, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni annak hosszát, szélességét és magasságát egymással. A mi esetünkben a medence térfogata megegyezik a kockákkal ... Könnyebb könnyebb?
Képzelje el most, hogy a matematikusok lusta és ravasz, ha ezt is egyszerűsítették. Mindent egy akcióra redukáltak. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság azonosak, és ugyanaz a szám megszorozzuk önmagában ... És mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a fokozatot. Tehát, amit egyszer ujjnak tekinttek, egy akcióban hajtják végre: a kocka három egyenlő. Így van írva:
Csak marad ne feledje a fokozat táblát. Ha természetesen ugyanolyan lusta és ravasz vagy, mint a matematikusok. Ha szeretsz keményen dolgozni és hibákat követni, továbbra is számíthat az ujjával.
Nos, annak érdekében, hogy végül meggyőzhessük Önt arról, hogy a fokokat az élethosszig tartó problémák megoldása és a trükkök találták ki, nem pedig azért, hogy problémákat hozzanak neked, íme néhány további példa az életből.
4. életpélda
Van egy millió rubel. Minden év elején minden millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden millióod megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzt fogsz szerezni években? Ha most ülsz és „ujjnak számítasz”, akkor nagyon szorgalmas ember és ... hülye. De valószínűleg néhány másodperc alatt válaszol, mert okos vagy! Tehát az első évben - kétszer kétszer ... a második évben - mi történt, újabb kettő, a harmadik évben ... Állj meg! Észrevetted, hogy egy szám egyszer megsokszorozódik. Szóval, kettőtől az ötödikig - egy millió! Képzelje el, hogy van egy versenytársa, és azok, akik gyorsabban hajtják végre, megszerezik ezeket a milliókat ... Érdemes megjegyezni a számok fokát, mit gondolsz?
5. életpélda
Van egy millióod. Minden év elején millióval többet kereshet. Nagyszerű, igaz? Minden millió hármas. Mennyi pénzt fog keresni egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozzuk meg, majd az eredményt egy másikval ... Már unalmas, mert máris mindent megértettek: háromszor szorozva önmagában. Tehát a negyedik fok megegyezik egymással. Csak emlékezni kell arra, hogy a negyedik fokban három vagy.
Most már tudja, hogy ha az erőt hatalomra növeli, megkönnyíti az életét. Nézzük tovább, mit lehet tenni a fokokkal, és mit kell tudni róluk.
Fogalmak és fogalmak ... ne tévesszen össze
Tehát a kezdők számára definiáljuk a fogalmakat. Mit gondolsz, mi az exponencia? Nagyon egyszerű - ez a szám a szám tetejének "tetején". Nem tudományosan, de érthető és könnyen megjegyezhető ...
Nos, ezzel egy időben ilyen fokozat? Még egyszerűbb az a szám, amely alatta van, az alapnál.
Íme egy rajz a hűségről.
Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezés érdekében ... A mért értéket a bázissal és a "" mutatóval "mértékegységben kell értelmezni, és a következőképpen kell írni:
A szám foka természetes mutatóval
Valószínűleg már kitalálta: mert az exponens egy természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket a számlán használnak az elemek átvitelekor: egy, kettő, három ... De amikor figyelembe vesszük a tételeket, akkor nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Azt sem mondjuk, hogy „egyharmad” vagy „nulla pont öt tized”. Ezek nem természetes számok. És mit gondolsz?
A „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét” számokra utalnak egészek. Az egész számok általában tartalmaznak minden természetes számot, a természetes számokkal ellentétes számot (azaz mínuszjelet venve) és egy számot. Könnyű megérteni a nullát - ez az, amikor nincs semmi. És mit jelent a negatív ("mínusz") szám? De elsősorban az adósságok feltüntetésére találták ki őket: ha rubel van a telefonján, ez azt jelenti, hogy tartozásai tartoznak az operátornak.
Minden frakció racionális szám. Szerinted mi történt? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nincs természetes számuk a hosszúság, a súly, a terület stb. Mérésére. És jöttek racionális számok... Érdekes, igaz?
Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden: végtelen tizedes. Például, ha egy kör kerületét osztják az átmérőjével, akkor egy irracionális számot kapnak.
Összefoglaló:
Meghatározjuk a fok fogalmát, amelynek kitevője egy természetes szám (azaz egész és pozitív).
- Az első fokozatban szereplő bármely szám önmagával egyenlő:
- Egy szám megadása azt jelenti, hogy megszorozzuk önmagával:
- Ha egy számot kockaba emel, azt magának háromszorosa meg kell szoroznia:
Meghatározás A szám természetes erejéig történő emelése azt jelenti, hogy a számot egyszer megszorozzuk:
.
Fokozat tulajdonságai
Honnan származtak ezek a tulajdonságok? Megmutatom neked.
Lássuk: mi az és ?
A-zárda:
Hány tényező van összesen?
Nagyon egyszerű: hozzáadtuk a tényezőket a tényezőkhöz, így megkaptuk a tényezőket.
De definíció szerint ez egy szám mutatója egy mutatóval, azaz: ezt kell bizonyítani.
Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.
Döntés:
Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.
Döntés: Fontos megjegyeznünk, hogy ezt a szabályunkban megkapjuk szükségszerűen ugyanazon alapnak kell lennie!
Ezért egyesítjük a fokokat az alapral, de külön tényező marad:
csak a fokok szorzata esetén!
Ezt semmiképpen nem írhatja.
2. tehát a szám mértéke
Az előző tulajdonsághoz hasonlóan, a fok meghatározására fordulunk:
Kiderül, hogy a kifejezés megszorozódik egyszer, vagyis a meghatározás szerint ez a szám hatodik ereje:
Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe helyezése". De soha nem csinálhatja ezt összesen:
Emlékezzünk vissza a rövidített szorzás képleteire: hányszor akartunk írni?
De elvégre ez nem igaz.
Negatív alapfok
Eddig csak azt tárgyalták, hogy milyen exponenssel kell rendelkeznie.
De mi legyen az alap?
Fokban fizikai mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában szaporíthatjuk egymást bármilyen számmal, legyen az pozitív, negatív vagy akár egyenlő is.
Gondoljunk arra, hogy mely jelek ("" vagy "") pozitív és negatív számú fokúak lesznek?
Például egy szám pozitív vagy negatív? ÉS? ? Az elsővel minden világos: függetlenül attól, hogy hány pozitív számot szorozunk egymással, az eredmény pozitív lesz.
De a negatívval kissé érdekesebb. Emlékezzünk egy egyszerű szabályra a 6. osztálytól kezdve: „mínusz-mínusz ad pluszt”. Vagyis vagy. De ha megszorozzuk, akkor sikerül.
Határozza meg magát, hogy mely karaktereknek lesz a következő kifejezések:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Megcsináltad?
Íme a válasz: Az első négy példában remélem, hogy minden világos? Csak nézze meg az alapot és az exponenst, és alkalmazza a megfelelő szabályt.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Az 5. példában semmi sem félelmetes, mint amilyennek látszik: nem számít, mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.
Nos, kivéve, ha az alap nulla. Nem azonos az alapítvány? Nyilvánvalóan nem, mert (mert).
6. példa) nem olyan egyszerű!
6 képzési példa
6 példa elemzése
Ha nem veszi figyelembe a nyolcadik fokot, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztályos programra. Szóval, emlékszel? Ez a képlet a rövidített szorzásra, nevezetesen a négyzetek különbségére! Kapunk:
Gondosan átnézzük a nevezőt. Nagyon hasonló a számláló tényezők egyikéhez, de mi a baj? Nem a feltételek sorrendjét. Ha kicseréli őket, alkalmazhatja a szabályt.
De hogyan lehet ezt megtenni? Kiderül, hogy nagyon könnyű: a nevező egyenletes fokozása segít nekünk itt.
A kifejezéseket varázslatosan felcserélték. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletesen alkalmazható: a zárójelben lévő jeleket szabadon megváltoztathatjuk.
De fontos emlékezni: minden jel egyidejűleg megváltozik!
Vissza a példához:
És ismét a képlet:
Egész felhívjuk a velük szemben lévő természetes számokat (vagyis a "" jellel vették) és a számot.
pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző szakaszban.
Most nézzük meg az új eseteket. Kezdjük egy egyenlő mutatóval.
Bármely szám a nulla fokban megegyezik egyvel:
Mint mindig, azt kérdezzük magunktól: miért van ez így?
Fontolja meg valamilyen mértékben az alapot. Vegyük például, és szorzzuk meg:
Tehát megszorozzuk a számot, és megkaptuk ugyanazt, mint volt -. És milyen számmal kell szoroznod, hogy semmi sem változjon? Közvetlenül. Azt jelenti.
Ugyanezt tehetjük egy tetszőleges számmal is:
Ismételje meg a szabályt:
Bármely szám a nulla fokban megegyezik egyvel.
De számos szabály alól vannak kivételek. És itt is van - ez a szám (alapként).
Egyrészt bármilyen fokkal egyenlőnek kell lennie - nem számít, hányszor szorozza meg nullát önmagával, egyébként is nullát kap, ez egyértelmű. De másrészt, mint bármelyik nulla fokos számnak, ennek egyenlőnek kell lennie. Mi tehát az az igazság? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem vesznek részt, és megtagadták a nulla nullára emelését. Vagyis nemcsak megoszthatjuk nullával, hanem növelhetjük is nullára.
Menjünk tovább. A természetes számok és számok mellett az egész számok negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi a negatív fok, tegyük meg utoljára: egy normál számot szorzóval egyenlő negatív fokban megszorozzuk:
Innentől már könnyű kifejezni a kívánt:
Most az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben kiterjesztjük:
Tehát megfogalmazjuk a szabályt:
Egy szám negatív inverz, ugyanabba a számba pozitív mértékben. De ugyanakkor az alap nem lehet null: (mivel lehetetlen megosztani).
Összefoglalni:
I. A kifejezés ebben az esetben nincs meghatározva. Ha akkor.
II. Bármely szám a nulla fokban egyenlő::
III. A nullával nem egyenlő szám negatívan inverz, ugyanabba a számba pozitív mértékben:.
Feladatok egy független megoldáshoz:
Nos, és mint általában, példák egy független megoldásra:
Feladatok elemzése független megoldáshoz:
Tudom, tudom, a számok félelmesek, de a vizsga során mindenre készen kell állnod! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze azok megoldását, ha nem sikerült megoldani, és megtanulja, hogyan kell könnyedén megbirkózni velük a vizsga során!
Kifejlesztőként tovább bővítjük a „megfelelő” számok körét.
Most fontolja meg racionális számok. Milyen számokat hívnak racionálisnak?
Válasz: mindent, ami frakcióként ábrázolható, ahol és egészek is.
Megérteni, mi az Frakcionált fok, vegye figyelembe a frakciót:
Emelje fel az egyenlet mindkét oldalát az erőre:
Ne felejtsd el most a szabályt "Fok fok":
Milyen számot kell emelnie ahhoz, hogy megszerezze a hatalmat?
Ez a megfogalmazás határozza meg a n. Fokozat gyökerét.
Hadd emlékeztessem önöket: egy szám () n-edik hatalomának gyökere az a szám, amely egy hatalomra emelve egyenlő.
Vagyis az n-edik fok gyökere az, hogy a fok fokozása fordított:
Kiderült, hogy. Nyilvánvaló, hogy ez az eset kibővíthető:
Most add hozzá a számlálót: mi ez? A válasz könnyen megszerezhető a „fok fok” szabály használatával:
De lehet az alap bármilyen szám? Végül is a gyökér nem vonható ki az összes számból.
Semmi!
Emlékeztetünk a szabályra: minden olyan szám, amely páros erőre emelkedik, pozitív szám. Vagyis lehetetlen kivonni a páros számokat a negatív számokból!
És ez azt jelenti, hogy lehetetlen ilyen számokat frakcionált erőre emelni egy egyenlő nevezővel, azaz a kifejezésnek nincs értelme.
Mi a helyzet a kifejezéssel?
De van egy probléma.
A szám ábrázolható más, redukálható frakciókként, vagy.
Kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ezek csak két azonos számú rekord.
Vagy egy másik példa: egyszer megírhatja. De ha másképp írjuk a mutatót, és ismét megkapjuk a kellemetlenséget: (vagyis teljesen más eredményt kaptunk!).
Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében figyelembe vesszük csak pozitív fok alapján, frakcionált exponenssel.
Tehát, ha:
- - természetes szám;
- Egész szám;
Példák:
A racionális exponenssel rendelkező fokok nagyon hasznosak a kifejezések gyökerekkel történő átalakításához, például:
5 példa a képzésre
5 képzési elemzés
Nos, most - a legnehezebb. Most elemezzük fok irracionális mutatóval.
A fokok minden szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint egy ésszerű mutatóval ellátott fok esetében, kivéve
Valójában definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet frakcióként ábrázolni, ahol és egészek (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).
Amikor a fokokat természetes, integrált és racionális mutatóval tanulmányozzuk, minden alkalommal egyfajta „képet”, „analógiát”, vagy ismertetõbb leírást készítettünk.
Például egy természetes mutatóval ellátott fok többszöröződik egy számmal;
...szám nullára - ez egy olyan szám, amellyel egyszer megszorozódott, vagyis még nem kezdték meg szaporodni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még nem is megjelent - tehát az eredmény csak egyfajta „szám üres”, nevezetesen a szám;
...negatív egész szám - olyan, mintha megtörténne egy bizonyos „fordított folyamat”, azaz a számot nem megszorozták volna, hanem osztották.
Mellesleg, a tudományban gyakran használnak egy komplex mutatóval rendelkező fokozatot, azaz egy mutató még csak nem is valós szám.
De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, hogy megértsük ezeket az új fogalmakat, lehetősége lesz az intézetbe.
Ahol biztos vagyunk benne, hogy megy! (ha megtanulsz ilyen példákat megoldani :))
Például:
Döntsön egyedül:
A megoldások elemzése:
1. Kezdjük a fok fok fokozására szolgáló szokásos szabályával:
Most nézd meg a mutatót. Emlékeztet valamit? Emlékeztetünk a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:
Ebben az esetben,
Kiderült, hogy:
Válasz: .
2. Az exponensek frakcióit ugyanahhoz az alakhoz hozzuk: mind tizedes, mind pedig mind rendes. Például:
Válasz: 16
3. Semmi különös, alkalmazza a fokok szokásos tulajdonságait:
HALADÓ SZINT
Fok meghatározása
A fok a forma kifejezése:, ahol:
- — fok alapján;
- - exponens.
Fok természetes mutatóval (n \u003d 1, 2, 3, ...)
Egy szám természetes erejéig történő emelése azt jelenti, hogy a számot egyszer megszorozzuk:
Fok egész kitevővel (0, ± 1, ± 2, ...)
Ha az exponens van egész pozitív szám:
Erekció null fokig:
A kifejezés határozatlan, mert egyrészt ez bármilyen fokú, másrészt a n-edik fokozat bármely száma.
Ha az exponens van egész negatív szám:
(mivel lehetetlen megosztani).
Ismét a nullákról: a kifejezés ebben az esetben nincs meghatározva. Ha akkor.
Példák:
Fokozat racionális mutatóval
- - természetes szám;
- Egész szám;
Példák:
Fokozat tulajdonságai
A problémák megoldásának megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származtak ezek a tulajdonságok? Bizonyítottuk őket.
Lássuk: mi és mi?
A-zárda:
Tehát a kifejezés jobb oldalán a következő terméket kapjuk:
De definíció szerint ez egy szám mutatója egy mutatóval, azaz:
Q.E.D.
Példa : Egyszerűsítse a kifejezést.
Döntés : .
Példa : Egyszerűsítse a kifejezést.
Döntés : Fontos megjegyeznünk, hogy ezt a szabályunkban tartalmazza szükségszerűenugyanazon alapnak kell lennie. Ezért egyesítjük a fokokat az alapral, de külön tényező marad:
Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a fokok szorzata esetén!
Ezt semmiképpen sem szabad írni.
Az előző tulajdonsághoz hasonlóan, a fok meghatározására fordulunk:
Ezt a terméket a következőképpen alakítottuk át:
Kiderül, hogy a kifejezés megszorozódik egyszer, vagyis a meghatározás szerint ez a szám hatodik ereje:
Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe helyezése". De soha nem csinálhatja ezt összesen:!
Emlékezzünk vissza a rövidített szorzás képleteire: hányszor akartunk írni? De elvégre ez nem igaz.
Fok negatív bázissal.
Addig a pillanatig csak azt vitattuk meg, hogy mi legyen index fok. De mi legyen az alap? Fokban természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .
Valójában szaporíthatjuk egymást bármilyen számmal, legyen az pozitív, negatív vagy akár egyenlő is. Gondoljunk arra, hogy mely jelek ("" vagy "") pozitív és negatív számú fokúak lesznek?
Például egy szám pozitív vagy negatív? ÉS? ?
Az elsővel minden világos: függetlenül attól, hogy hány pozitív számot szorozunk egymással, az eredmény pozitív lesz.
De a negatívval kissé érdekesebb. Emlékezzünk egy egyszerű szabályra a 6. osztálytól kezdve: „mínusz-mínusz ad pluszt”. Vagyis vagy. De ha megszorozzuk () -vel, akkor kapjuk -.
És így tovább a végtelenig: minden ezt követő szorzásnak köszönhetően a jel megváltozik. Ilyen egyszerű szabályokat fogalmazhat meg:
- még fok, - szám pozitív.
- A negatív számot emelték be páratlan fok, - szám negatív.
- A pozitív szám bármilyen mértékben pozitív szám.
- Bármelyik fokozaton nulla.
Határozza meg magát, hogy mely karaktereknek lesz a következő kifejezések:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Megcsináltad? Íme a válaszok:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Az első négy példában remélem, hogy minden világos? Csak nézze meg az alapot és az exponenst, és alkalmazza a megfelelő szabályt.
Az 5. példában semmi sem félelmetes, mint amilyennek látszik: nem számít, mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Nem azonos az alapítvány? Nyilvánvalóan nem, mert (mert).
6. példa) nem olyan egyszerű. Itt kell megtudnia, melyik kevesebb: vagy? Ha emlékeztet erre, világossá válik, hogy az alap bázisa nulla. Vagyis a 2. szabályt alkalmazzuk: az eredmény negatív lesz.
És ismét a fok meghatározását használjuk:
Minden a szokásos módon - felírjuk a fokok meghatározását, és felosztjuk őket egymásra, osztjuk párokra és kapjuk:
Az utolsó szabály elemzése előtt néhány példát oldunk meg.
Számítsa ki a kifejezések értékeit:
megoldások :
Ha nem veszi figyelembe a nyolcadik fokot, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztályos programra. Szóval, emlékszel? Ez a képlet a rövidített szorzásra, nevezetesen a négyzetek különbségére!
Kapunk:
Gondosan átnézzük a nevezőt. Nagyon hasonló a számláló tényezők egyikéhez, de mi a baj? Nem a feltételek sorrendjét. Ha cserélnék őket, a 3. szabály alkalmazható lenne, de hogyan lehet ezt megtenni? Kiderül, hogy nagyon könnyű: a nevező egyenletes fokozása segít nekünk itt.
Ha megszorozzuk, akkor semmi sem változik, igaz? De most kiderül a következő:
A kifejezéseket varázslatosan felcserélték. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletesen alkalmazható: a zárójelben lévő jeleket szabadon megváltoztathatjuk. De fontos emlékezni: minden jel egyidejűleg változik!Lehetetlen pótolni, módosítva csak egy mínusz, amely kifogásolható nekünk!
Vissza a példához:
És ismét a képlet:
Tehát most az utolsó szabály:
Hogyan tudjuk bebizonyítani? Természetesen, mint általában: felfedi a fok fogalmát és egyszerűsíti:
Nos, most kinyitjuk a konzolokat. Hány levelet kapsz? idők tényezők szerint - mire hasonlít ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása. szorzásra: mind szorzók voltak. Vagyis definíció szerint ez egy szám foka egy mutatóval:
Példa:
Fokozat irracionális mutatóval
A középfokú végzettséggel kapcsolatos információk mellett egy fokozatot egy irracionális mutatóval elemezzünk. Az itt szereplő fokok összes szabálya és tulajdonságai pontosan megegyeznek a racionális mutatóval rendelkező fokokkal, azzal a kivétellel, hogy - az definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet frakcióként ábrázolni, ahol és egészek (vagyis az irracionális számok az összes valós szám, a racionális kivételével).
Amikor a fokokat természetes, integrált és racionális mutatóval tanulmányozzuk, minden alkalommal valamiféle „képet”, „analógiát”, vagy ismertetõbb leírást készítettünk. Például egy természetes mutatóval ellátott fok többszöröződik egy számmal; egy szám a nulla fokig olyan, mint egy szám egyszeri megszorozva, vagyis még nem kezdték meg szaporodni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még nem is jelent meg - tehát az eredmény csak egyfajta „szám üres”, nevezetesen a szám; egy egész negatív exponenssel rendelkező fok olyan, mintha egy bizonyos „fordított folyamat” megtörtént volna, vagyis a számot nem szorozta meg, hanem osztja.
Rendkívül nehéz egy irracionális mutatóval ellátott fokozatot elképzelni (ugyanúgy, mint egy négydimenziós teret nehéz elképzelni). Inkább egy pusztán matematikai objektum, amelyet a matematikusok hoztak létre, hogy kiterjesszék a fok fogalmát a teljes számtérre.
Mellesleg, a tudományban gyakran használnak egy komplex mutatóval rendelkező fokozatot, azaz egy mutató még csak nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, hogy megértsük ezeket az új fogalmakat, lehetősége lesz az intézetbe.
Tehát mi a teendő, ha irracionális exponenst látunk? Mindent megpróbálunk megszabadulni tőle! :)
Például:
Döntsön egyedül:
| 1) | 2) | 3) |
válaszok:
- Emlékeztetünk a négyzetek különbségének képletére. Válasz:.
- A frakciókat ugyanarra a formára redukáljuk: mind tizedes, mind pedig mind rendes. Például:
- Semmi különös, alkalmazza a fok szokásos tulajdonságait:
A SZAKASZ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPVETŐ FORMULÁK
Fokozata Az űrlap kifejezését nevezzük:, ahol:
Fok egész számmal
olyan erő, amelynek kitevője pozitív egész szám (azaz pozitív egész szám).
Fokozat racionális mutatóval
fok, amelynek mutatója negatív és tört szám.
Fokozat irracionális mutatóval
olyan hatalom, amelynek kitevője végtelen tizedes tört vagy gyökér.
Fokozat tulajdonságai
A fokok jellemzői.
- A negatív számot emelték be még fok, - szám pozitív.
- A negatív számot emelték be páratlan fok, - szám negatív.
- A pozitív szám bármilyen mértékben pozitív szám.
- A nulla bármely fokkal egyenlő.
- Bármely szám a nulla fokban egyenlő.
MOST SZÓ ...
Hogy tetszik a cikk? Írja le alább a hozzászólásokba, tetszik vagy sem.
Mondja el nekünk tapasztalatait a fokozat tulajdonságaival kapcsolatban.
Talán van néhány kérdése. Vagy javaslatokat.
Írja meg a megjegyzéseket.
És sok sikert a vizsgákra!
Minden egyes számtani művelet olykor túl nehézkes, hogy megírja, és megpróbálják egyszerűsíteni. Egyszer volt ez a helyzet az addíciós művelettel. Az embereknek ugyanolyan típusú többszörös kiegészítéseket kellett elvégezniük, például kiszámítani egy száz perzsa szőnyeget, amelyek ára mindegyiknél 3 aranyat tartalmaz. 3 + 3 + 3 + ... + 3 \u003d 300. Az ömleszthetőség miatt azt gondoltam, hogy a rekordot 3 * 100 \u003d 300-ra kell csökkenteni. Valójában a „százszor háromszor” bejegyzés azt jelenti, hogy száz háromszorosot kell elvennie és összeadnia. A szorzás gyökereződött, általános népszerűségre tett szert. De a világ nem áll mozdulatlanul, és a középkorban felmerült az igény az azonos típusú többszörös szorzás elvégzésére. Emlékszem egy régi indiai misztériumra, amely egy bölcsről szól, aki a következő mennyiségben elvégzett munkáért fizetett gabonaért: a sakktábla első négyzetére egy darabot kért, a második - kettő, a harmadik - négy, az ötödik - nyolc és így tovább. Így megjelent az első fokozódás, mert a szemcsék száma kettővel egyenlő volt a sejtszám fokában. Például az utolsó cellában 2 * 2 * 2 * ... * 2 \u003d 2 ^ 63 szemcsék lennének, ami megegyezik a 18 karakter hosszúságával, ami valójában a rejtvény jelentése.
A hatalomra való emelés művelete meglehetősen gyorsan gyökereződött, és felmerült a szükségesség fokok gyors összeadására, kivonására, felosztására és szorozására. Ez utóbbit érdemes részletesebben megfontolni. A fokok hozzáadásához szükséges képletek egyszerűek és könnyen megjegyezhetők. Ezenkívül nagyon könnyű megérteni, honnan származnak, ha a fokozat működését szorzás váltja fel. De először meg kell értenie az alapvető terminológiát. Az a ^ b kifejezés (ez „a b-ig terjed”) azt jelenti, hogy az a számot meg kell szorozni önmagában b-szer, ráadásul az „a” -ot fok fokának nevezzük, és „b” -nek a hatalom-exponenst. Ha a fokok alapjai megegyeznek, akkor a képleteket nagyon egyszerűen származtathatjuk. Konkrét példa: keresse meg a 2 ^ 3 * 2 ^ 4 kifejezés értékét. A döntés megkezdése előtt meg kell tudnia a választ a számítógépről, hogy mi váljon belőle. Miután megadta ezt a kifejezést bármely online számológépben, keresőmotorban, beírva "fokok szorzata különböző bázisokkal és ugyanazzal" vagy egy matematikai csomagot, a kimenet 128 lesz. Most ezt a kifejezést írjuk: 2 ^ 3 \u003d 2 * 2 * 2 és 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2. Kiderül, hogy 2 ^ 3 * 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4). Kiderül, hogy az azonos bázissal rendelkező fokok szorzata megegyezik az előző két fok összegével megegyező teljesítményre emelt alapértékkel.
Gondolhatja, hogy ez baleset, de nem: bármely más példa csak megerősítheti ezt a szabályt. Így általában a képlet a következő: a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m). Van egy szabály, hogy a nulla fokozatban szereplő bármely szám egyenlő. Itt emlékeztetnünk kell a negatív fokok szabályára: a ^ (- n) \u003d 1 / a ^ n. Vagyis ha 2 ^ 3 \u003d 8, akkor 2 ^ (- 3) \u003d 1/8. Ennek a szabálynak a segítségével bebizonyíthatjuk az egyenlőséget a ^ 0 \u003d 1: a ^ 0 \u003d a ^ (nn) \u003d a ^ n * a ^ (- n) \u003d a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) csökkenthető és az egység megmarad. Ez azt a szabályt is eredményezi, hogy az azonos bázisokkal rendelkező fokok hányadosa megegyezik ezzel az alapral az osztó és az osztó hányadával megegyező mértékben: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m). Példa: egyszerűsítse a 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2) kifejezést. A szorzás kommutációs művelet, ezért először összeadjuk a szorzási mutatókat: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 \u003d 2 ^ (3 + 5-7 + 0) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2. Ezután foglalkoznia kell a negatív fokú osztással. Ki kell vonni az osztó indexet az osztható indexből: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) \u003d 2 ^ (1 - (- 2)) \u003d 2 ^ (1 + 2) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Kiderül, hogy a negatív osztás mûvelete negatív a fok megegyezik egy hasonló pozitív exponenssel való szorzás műveletével. Tehát a végleges válasz 8.
Vannak példák, ahol a fokozat nem kanonikus szorzata történik. A fokozódás különböző bázisokkal gyakran sokkal nehezebb, néha pedig még lehetetlen is. Számos példát kell adni a különféle lehetséges trükkökről. Példa: a 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729 kifejezés egyszerűsítésére. Nyilvánvaló, hogy fokozódik a különböző bázisok. De meg kell jegyezni, hogy az összes bázis eltérő fokú a hármasnál. 9 \u003d 3 ^ 2,1 \u003d 3 ^ 4,3 \u003d 3 ^ 5,9 \u003d 3 ^ 6. A (a ^ n) ^ m \u003d a ^ (n * m) szabályt használva kell kifejezni a kifejezést kényelmesebb formában: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ (7-4 + 12 -10 + 6) \u003d 3 ^ (11). Válasz: 3 ^ 11. Különböző okok esetén az a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n szabály egyenlő feltételekkel működik. Például: 3 ^ 3 * 7 ^ 3 \u003d 21 ^ 3. Ellenkező esetben, ha különféle bázisok és mutatók vannak, a teljes szorzás lehetetlen. Néha részben egyszerűsítheti vagy igénybe veheti a számítógépes technológia segítségét.