श्रृंखला से सबक "ज्यामितीय एल्गोरिदम"

नमस्कार प्रिय पाठक!

चलो ज्यामितीय एल्गोरिदम से परिचित होना जारी रखते हैं। पिछले पाठ में, हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण पाया। हमें फॉर्म का एक समीकरण मिला:

आज हम एक फ़ंक्शन लिखेंगे, जिसमें दो सीधी रेखाओं के समीकरणों का उपयोग करके, उनके चौराहे बिंदु (यदि कोई हो) के निर्देशांक मिलेंगे। वास्तविक संख्याओं की समानता की जांच करने के लिए, हम विशेष फ़ंक्शन RealEq () का उपयोग करेंगे।

विमान पर बिंदुओं को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा वर्णित किया गया है। वास्तविक प्रकार का उपयोग करते समय, विशेष कार्यों के साथ तुलनात्मक संचालन करना बेहतर होता है।

कारण ज्ञात है: पास्कल प्रोग्रामिंग प्रणाली में वास्तविक प्रकार पर कोई आदेश संबंध नहीं है, इसलिए यह बेहतर है कि प्रपत्र a \u003d b के अंकन का उपयोग न करें, जहां a और b वास्तविक संख्याएं हैं।
आज हम "\u003d" (सख्ती से बराबर) ऑपरेशन को लागू करने के लिए RealEq () फ़ंक्शन का परिचय देंगे:

फंक्शन रियलईक (कॉन्स्ट ए, बी: रियल): बुलियन; (सख्ती से बराबर) शुरू RealEq: \u003d Abs (ए-बी)<=_Eps End; {RealEq}

एक कार्य। दो सीधी रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं: और। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं।

फेसला। स्पष्ट समाधान सीधी रेखाओं के लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करना है: आइए इस प्रणाली को थोड़ा अलग तरीके से फिर से लिखें:
(1)

आइए हम अंकन का परिचय दें: , ... यहाँ D सिस्टम का निर्धारक है, और निश्चयात्मक रूप से अज्ञात शब्दों के संगत कॉलम के साथ गुणांक के कॉलम के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप निर्धारक हैं। यदि, तो सिस्टम (1) निश्चित है, अर्थात, इसका एक अनूठा समाधान है। यह समाधान निम्नलिखित सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है :, जिन्हें कहा जाता है संकट के सूत्र... मुझे याद दिलाएं कि दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना कैसे की जाती है। निर्धारक दो विकर्णों के बीच अंतर करता है: मुख्य और द्वितीयक। मुख्य विकर्ण में पहचानकर्ता के ऊपरी बाएं कोने से निचले दाएं कोने तक ले जाने वाले तत्व होते हैं। साइड विकर्ण ऊपरी दाएं से निचले बाएं तरफ है। दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है जो द्वितीयक विकर्ण के तत्वों का उत्पाद होता है।

प्रोग्राम कोड में, RealEq () फ़ंक्शन का उपयोग समानता की जांच करने के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्या के साथ गणना सटीक _Eps \u003d 1e-7 के साथ की जाती है।

कार्यक्रम geom2; Const _Eps: Real \u003d 1e-7; (गणना परिशुद्धता) var a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d, dx, dy: Real; फंक्शन रियलईक (कॉन्स्ट ए, बी: रियल): बुलियन; (सख्ती से बराबर) शुरू RealEq: \u003d Abs (ए-बी)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

हमने एक कार्यक्रम संकलित किया है जिसके साथ यह संभव है, लाइनों के समीकरणों को जानना, उनके चौराहे बिंदु के निर्देशांक को खोजना।

दो रेखाओं का अंतर बिंदु - परिभाषा।

चलो दो लाइनों के चौराहे के बिंदु को परिभाषित करके शुरू करते हैं।

विमान पर सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति पर अनुभाग में, यह दिखाया गया है कि विमान पर दो सीधी रेखाएं या तो संयोग कर सकती हैं (इस मामले में, उनके पास सामान्य रूप से कई बिंदु हैं), या समानांतर हो (जबकि दो रेखाएं सामान्य बिंदु नहीं हैं), या एक सामान्य बिंदु होने पर अंतरंगता। अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के लिए अधिक विकल्प हैं - वे संयोग कर सकते हैं (असीम रूप से कई सामान्य बिंदु हैं), वे समानांतर हो सकते हैं (यानी, एक ही विमान में झूठ बोलते हैं और अंतरंग नहीं करते हैं), उन्हें पार किया जा सकता है (एक ही विमान में झूठ नहीं बोल रहा है), और वे भी हो सकते हैं एक सामान्य बिंदु है, वह है, प्रतिच्छेदन। तो, विमान पर और अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं एक दूसरे के समान बिंदु होने पर प्रतिच्छेदन कहलाती हैं।

अन्तर्विभाजक लाइनों की परिभाषा का अर्थ है लाइनों के चौराहे के बिंदु की परिभाषा: वह बिंदु जिस पर दो रेखाएँ प्रतिच्छेद होती हैं, इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है। दूसरे शब्दों में, दो अन्तर्विभाजक लाइनों का एकमात्र सामान्य बिंदु इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु है।

स्पष्टता के लिए, हम विमान और अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का एक ग्राफिक चित्रण देंगे।

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समतल पर दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

अपने प्रसिद्ध समीकरणों का उपयोग करके विमान पर दो सीधी रेखाओं के चौराहे बिंदु के निर्देशांक खोजने से पहले, एक सहायक समस्या पर विचार करें।

एक आयताकार कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम ऑक्सी को प्लेन पर तय किया जाए और दो इंटरसेक्टिंग स्ट्रेट लाइन a और b दिए जाएं। हम मान लेंगे कि लाइन प्रपत्र की रेखा के सामान्य समीकरण से मेल खाती है , और लाइन बी फार्म का है ... चलो विमान के कुछ बिंदु हैं, और यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या बिंदु 0 0 दी गई लाइनों के प्रतिच्छेदन का बिंदु है।

आइए समस्या का समाधान करते हैं।

यदि M 0 एक और b की रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो परिभाषा के अनुसार यह रेखा और रेखा b दोनों के अंतर्गत आता है, अर्थात इसके निर्देशांक को एक साथ समीकरण को संतुष्ट करना होगा और समीकरण ... इसलिए, हमें बिंदु M 0 के निर्देशांक को दिए गए रेखाओं के समीकरणों में स्थानापन्न करने की आवश्यकता है और देखें कि क्या इसका परिणाम दो सही भिन्नताओं में है। यदि बिंदु 0 के निर्देशांक दोनों समीकरणों को पूरा करते हैं तथा , तो लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु a और b है, अन्यथा М 0 लाइनों के प्रतिच्छेदन का बिंदु नहीं है।

क्या निर्देशांक 0 (2, -3) के साथ बिंदु 0 पंक्तियों का प्रतिच्छेदन बिंदु 5x-2y-16 \u003d 0 और 2x-5y-19 \u003d 0 है?

यदि एमई 0 वास्तव में दी गई लाइनों के प्रतिच्छेदन का बिंदु है, तो इसके निर्देशांक लाइनों के समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। हम दिए गए समीकरणों में बिंदु 0 के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके इसकी जाँच करेंगे:

हमें दो सही समानताएं मिलीं, इसलिए, М 0 (2, -3) लाइनों का चौराहा बिंदु 5x-2y-16 \u003d 0 और 2x-5y-19 \u003d 0 है।

स्पष्टता के लिए, हम एक ड्राइंग प्रस्तुत करते हैं, जो सीधी रेखाओं को दर्शाता है और उनके चौराहे के बिंदु के निर्देशांक दिखाई देते हैं।

हाँ, बिंदु M 0 (2, -3) लाइनों का चौराहा बिंदु 5x-2y-16 \u003d 0 और 2x-5y-19 \u003d 0 है।

क्या लाइनें 5x + 3y-1 \u003d 0 और 7x-2y + 11 \u003d 0 प्रति बिंदु M 0 (2, -3) पर हैं?

बिंदु 0 के समीकरणों को सीधी रेखाओं के समीकरणों में बदलें, इस क्रिया द्वारा हम जाँचेंगे कि बिंदु M 0 दोनों एक साथ सीधी रेखाओं के हैं या नहीं:

दूसरे समीकरण के बाद से, बिंदु M 0 के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते समय, यह सही समानता में नहीं बदल गया, बिंदु M 0 का संबंध सीधी रेखा 7x-2y + 11 \u003d 0 से नहीं है। इस तथ्य से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु M 0 दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु नहीं है।

ड्राइंग से यह भी स्पष्ट रूप से पता चलता है कि बिंदु M 0 लाइनों का प्रतिच्छेदन बिंदु 5x + 3y-1 \u003d 0 और 7x-2y + 11 \u003d 0 नहीं है। जाहिर है, दी गई लाइनें निर्देशांक (-1, 2) के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

М 0 (2, -3) 5x + 3y-1 \u003d 0 और 7x-2y + 11 \u003d 0 की पंक्तियों के प्रतिच्छेदन का बिंदु नहीं है।

अब हम समतल पर सीधी रेखाओं के दिए गए समीकरणों के अनुसार दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने की समस्या के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

एक आयताकार कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम ऑक्सी को प्लेन पर तय किया जाए और दो अंतरावर्ती सीधी रेखाएं a और b को समीकरणों द्वारा दिया जाए। तथा क्रमशः। आइए दी गई लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु को 0 के रूप में नामित करें और निम्नलिखित समस्या को हल करें: इन रेखाओं के ज्ञात समीकरणों के अनुसार दो सीधी रेखाओं के और बी के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। तथा .

बिंदु M 0 परिभाषा के अनुसार प्रतिच्छेद रेखाओं में से प्रत्येक a और b से संबंधित है। फिर लाइनों ए और बी के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक एक साथ समीकरण को संतुष्ट करते हैं और समीकरण ... इसलिए, दो सीधी रेखाओं a और b के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान हैं (रेखीय बीजगणितीय समीकरणों के लेख को हल करने वाली प्रणाली देखें)।

इस प्रकार, सामान्य समीकरणों द्वारा समतल पर परिभाषित दो सीधी रेखाओं के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक को खोजने के लिए, आपको दी गई सीधी रेखाओं के समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है।

आइए एक उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

समतल x-9y + 14 \u003d 0 और 5x-2y-16 \u003d 0 द्वारा समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में परिभाषित दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

हमें सीधी रेखाओं के दो सामान्य समीकरण दिए गए हैं, हम उनमें से एक प्रणाली की रचना करेंगे: ... समीकरणों के परिणामी प्रणाली के समाधान आसानी से पाए जाते हैं यदि हम इसके पहले समीकरण को चर x के संबंध में हल करते हैं और इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों की प्रणाली का पाया गया समाधान हमें दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के आवश्यक निर्देशांक देता है।

एम 0 (4, 2) - सीधी रेखाओं के चौराहे का बिंदु x-9y + 14 \u003d 0 और 5x-2y-16 \u003d 0।

तो, विमान पर सामान्य समीकरणों द्वारा परिभाषित दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को खोजना, दो अज्ञात चर वाले दो रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए कम किया जाता है। लेकिन क्या होगा यदि किसी विमान पर सीधी रेखाएँ सामान्य समीकरणों द्वारा नहीं दी जाती हैं, लेकिन एक अलग तरह के समीकरणों द्वारा (विमान पर सीधी रेखा के समीकरणों के प्रकार देखें)? इन मामलों में, आप पहले सीधी रेखाओं के समीकरणों को एक सामान्य रूप में ला सकते हैं, और उसके बाद ही चौराहे बिंदु के निर्देशांक ढूंढ सकते हैं।

लाइनों के चौराहे बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें तथा।

दी गई सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, आइए हम उनके समीकरणों को एक सामान्य रूप में लाएँ। पैरामीट्रिक समीकरणों से एक सीधी रेखा में संक्रमण इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरण इस प्रकार हैं:

अब हम पंक्ति के विहित समीकरण के साथ आवश्यक क्रिया करते हैं:

इस प्रकार, सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु के मांगे गए निर्देशांक रूप के समीकरणों की एक प्रणाली का एक समाधान हैं

पुराने दिनों में मुझे कंप्यूटर ग्राफिक्स का शौक था, गणितीय दृश्यों सहित 2 और 3-आयामी दोनों। केवल मनोरंजन के लिए क्या कहा जाता है, एक छात्र के रूप में, मैंने एक कार्यक्रम लिखा था जो किसी भी आयाम में घूमने वाले एन-आयामी आंकड़ों की कल्पना करता है, हालांकि व्यावहारिक रूप से मेरे पास केवल 4-डी हाइपरक्यूब के लिए अंक निर्धारित करने के लिए पर्याप्त था। लेकिन यह सिर्फ एक कहावत है। ज्यामिति के लिए प्यार तब से आज तक मेरे साथ बना हुआ है, और मैं अभी भी दिलचस्प तरीकों से दिलचस्प समस्याओं को हल करना पसंद करता हूं।
इनमें से एक कार्य 2010 में मेरे सामने आया। कार्य अपने आप में काफी तुच्छ है: आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या दो 2-डी लाइन सेगमेंट प्रतिच्छेद करते हैं, और यदि वे करते हैं, तो उनके चौराहे का बिंदु ढूंढें। अधिक दिलचस्प समाधान है, जो, मुझे लगता है, काफी सुरुचिपूर्ण निकला, और जिसे मैं पाठक के फैसले के लिए प्रस्तावित करना चाहता हूं। मैं एक मूल एल्गोरिथ्म होने का दिखावा नहीं करता (हालांकि मैं चाहूंगा), लेकिन मुझे नेटवर्क पर इस तरह के समाधान नहीं मिले।

एक कार्य

दो खंड दिए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक को दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है: (v11, v12), (v21, v22)। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या वे प्रतिच्छेद करते हैं, और यदि वे करते हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करें।

फेसला

सबसे पहले, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या खंड प्रतिच्छेद करते हैं। आवश्यक और पर्याप्त चौराहे की स्थिति जो दोनों खंडों के लिए पूरी होनी चाहिए, इस प्रकार है: यदि किसी खंड को उस रेखा के दूसरे भाग में विभाजित किया गया है, तो खंडों में से एक का समापन बिंदु अलग-अलग आधे विमानों में होना चाहिए। आइए इसे चित्र के साथ प्रदर्शित करें।

बायां आंकड़ा (1) दो खंडों को दर्शाता है, दोनों के लिए शर्त पूरी की जाती है और खंड खंडित होते हैं। दाईं ओर (2) आकृति में, खंड ख के लिए शर्त पूरी की जाती है, लेकिन खंड के लिए यह पूरा नहीं होता है, इसलिए खंड खंड नहीं करते हैं।
ऐसा लग सकता है कि यह निर्धारित करना कि बिंदु के किस तरफ झूठ है, एक गैर-तुच्छ कार्य है, लेकिन भय की बड़ी आंखें हैं, और सब कुछ इतना मुश्किल नहीं है। हम जानते हैं कि दो वैक्टर के वेक्टर गुणन हमें एक तीसरा वेक्टर प्रदान करते हैं, जिसकी दिशा इस बात पर निर्भर करती है कि क्रमशः पहले और दूसरे वेक्टर के बीच कोण सकारात्मक या नकारात्मक है, इस तरह का ऑपरेशन एंटीकोमायोटिक है। और चूंकि सभी वैक्टर एक्स-वाई प्लेन पर झूठ बोलते हैं, उनके क्रॉस प्रोडक्ट (जो कि वैक्टर को गुणा करने के लिए लंबवत होना चाहिए) में क्रमशः नॉन जेडो घटक होगा, और वेक्टर उत्पादों के बीच का अंतर केवल इस घटक में होगा। इसके अलावा, जब वैक्टर के गुणन का क्रम (पढ़ें: वैक्टर के बीच का कोण गुणा किया जा रहा है) बदलता है, तो यह इस घटक के संकेत को बदलने में विशेष रूप से शामिल होगा।
इसलिए, हम विभाजित खंड की शुरुआत से परीक्षण किए गए खंड के दोनों बिंदुओं तक निर्देशित वैक्टर द्वारा वेक्टर-जोड़ी को विभाजित खंड के वेक्टर को गुणा कर सकते हैं।

यदि दोनों उत्पादों के जेड घटकों का एक अलग संकेत है, तो कोणों में से एक 0 से कम है, लेकिन -180 से अधिक है, और दूसरा 0 से अधिक है और क्रमशः 180 से कम है, अंक सीधी रेखा के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। यदि दोनों उत्पादों के जेड घटकों में एक ही संकेत है, तो वे सीधी रेखा के एक ही तरफ झूठ बोलते हैं।
यदि Z घटकों में से एक शून्य है, तो हमारे पास एक सीमा रेखा का मामला है जब बिंदु परीक्षण की जा रही रेखा पर बिल्कुल झूठ है। हम यह तय करने के लिए उपयोगकर्ता पर छोड़ देंगे कि क्या वह इसे चौराहे के रूप में मानना \u200b\u200bचाहता है।
फिर हमें एक और लाइन सेगमेंट और एक लाइन के लिए ऑपरेशन को दोहराने की जरूरत है, और सुनिश्चित करें कि इसके समापन बिंदुओं का स्थान भी स्थिति को संतुष्ट करता है।
इसलिए, यदि सबकुछ ठीक है और दोनों खंड स्थिति को संतुष्ट करते हैं, तो प्रतिच्छेदन मौजूद है। आइए इसे ढूंढते हैं, और क्रॉस प्रोडक्ट भी इसमें हमारी मदद करेंगे।
चूंकि वेक्टर उत्पाद में हमारे पास केवल एक नॉनज़ेरो घटक जेड होता है, इसलिए इसका मापांक (वेक्टर लंबाई) संख्यात्मक रूप से इस विशेष घटक के बराबर होगा। आइए देखें कि चौराहे के बिंदु को कैसे खोजें।

वैक्टर ए और बी के वेक्टर उत्पाद की लंबाई (जैसा कि हमें पता चला, संख्यात्मक रूप से इसके घटक जेड के बराबर है) इन वैक्टरों के बीच के कोण के साइन द्वारा इन वैक्टरों के उत्पाद के बराबर है (! | A | b। Sin (ab))। तदनुसार, आकृति में कॉन्फ़िगरेशन के लिए हमारे पास निम्नलिखित हैं: | एबी एक्स एसी | \u003d | AB || AC | sin (α), और | AB x AD | \u003d | एबी || एडी | पाप (β)। | AC | sin (α) बिंदु C से खंड AB तक गिरा हुआ लंबवत है, और AD | पाप | (per) बिंदु D से खंड AB (पैर ADD ") पर गिरा हुआ लंबवत है। चूंकि कोण γ और δ लंबवत हैं। कोण, वे समान हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिकोण पीसीसी "और पीडीडी" समान हैं, और तदनुसार उनके सभी पक्षों की लंबाई समान अनुपात में आनुपातिक हैं।
Z1 (AB x AC, जिसका अर्थ है | AB || AC | sin (α)) और Z2 (AB x, जिसका अर्थ है। AB | AD | sin (β)), हम CC "/ DD" की गणना कर सकते हैं। जो Z1 / Z2 के बराबर होगा), और यह जानते हुए कि CC "/ DD" \u003d CP / DP, आप आसानी से बिंदु P के स्थान की गणना कर सकते हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इसे निम्नानुसार करता हूं:

Px \u003d Cx + (Dx-Cx) * | Z1 | / | Z2-Z1 |
Py \u003d Cy + (Dy-Cy) * | Z1 | / | Z2-Z1 |

बस इतना ही। यह मुझे लगता है कि यह वास्तव में बहुत सरल और सुरुचिपूर्ण है। अंत में, मैं फ़ंक्शन कोड देना चाहता हूं जो इस एल्गोरिथ्म को लागू करता है। फ़ंक्शन एक होममेड वेक्टर टेम्पलेट का उपयोग करता है , जो टाइप टाइपनेम के घटकों के साथ एक अंतर टेम्पलेट है। रुचि रखने वाले आसानी से अपने प्रकार के वैक्टर को फ़ंक्शन को अनुकूलित कर सकते हैं।

1 टेम्प्लेट 2 बूल_क्रॉसिंग (वेक्टर) हैं const & v11, वेक्टर const & v12, वेक्टर const & v21, वेक्टर const & v22, वेक्टर * पार) 3 (4 वेक्टर cut1 (v12-v11), cut2 (v22-v21); 5 वेक्टर prod1, prod2; 6 7 prod1 \u003d क्रॉस (कट 1 * (v21-v11)); 8 prod2 \u003d क्रॉस (कट 1 * (v22-v11)); ९ १० अगर (चिन्ह (prod1 [Z]) \u003d\u003d चिन्ह (prod2 [Z]) || (prod1 [Z] \u003d\u003d ०) "(prod2 [z] \u003d\u003d)) // सीमा के मामलों में भी कटौती करें || 11 झूठे लौटे; 12 13 prod1 \u003d क्रॉस (कट 2 * (v11-v21)); 14 prod2 \u003d क्रॉस (कट 2 * (v12-v21)); 15 16 (अगर (prod1 [Z]) \u003d\u003d साइन (prod2 [Z]) || || (prod1 [Z] \u003d\u003d 0) "(prod2 [Z] \u003d\u003d)) // सीमा के मामलों को भी काट दें || 17 झूठे लौटे; 18 19 अगर (क्रॉसिंग) (// चेक करें कि क्या चौराहे 20 (* क्रॉसिंग) [X] \u003d v11 [X] + कट 1 [X] * फैब्स (prod1 [Z]) / फैब्स (prod2 [Z] - का स्थान निर्धारित करना आवश्यक है या नहीं prod1 [Z]); 21 (* क्रॉसिंग) [Y] \u003d v11 [Y] + कट 1 [Y] * fabs (prod1 [Z]) / fabs (prod2 [Z] -prod1 [Z]); 22; 23: 24 सच लौटना; 25)

Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooइसलिए, हम पहले खंड पर आगे बढ़ेंगे, मुझे उम्मीद है कि लेख के अंत तक मैं मन के एक हंसमुख फ्रेम को बनाए रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

वह मामला जब दर्शक कोरस के साथ गाते हैं। दो सीधी रेखाएँ:

1) मैच;

2) समानांतर हो:;

3) या एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें:।

डमियों के लिए मदद : कृपया चौराहे के गणितीय संकेत को याद रखें, यह बहुत सामान्य होगा। संकेतन इंगित करता है कि एक सीधी रेखा एक बिंदु पर एक सीधी रेखा को काटती है।

दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो सीधी रेखाएँ मेल खाती हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात्, ऐसी संख्या "लंबोदर" है जो समानताएं हैं

सीधी रेखाओं पर विचार करें और संबंधित गुणांक से तीन समीकरणों की रचना करें:। यह प्रत्येक समीकरण का अनुसरण करता है, इसलिए, ये रेखाएँ मेल खाती हैं।

दरअसल, अगर समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से घटाकर, आपको समान समीकरण मिलेगा:।

दूसरा मामला, जब लाइनें समानांतर होती हैं:

दो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल अगर चर के लिए उनके गुणांक आनुपातिक हैं: परंतु.

एक उदाहरण के रूप में, दो पंक्तियों पर विचार करें। हम चर के लिए संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करते हैं:

हालाँकि, यह काफी स्पष्ट है कि।

और तीसरा मामला, जब रेखाएं काटती हैं:

दो सीधी रेखाएं यदि और केवल चर के लिए उनके गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, तो प्रतिच्छेद करती हैं, यानी ऐसा कोई लंबोदर मूल्य नहीं है जिससे समानताएं संतुष्ट हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम सिस्टम की रचना करेंगे:

पहले समीकरण से यह निम्नानुसार है, और दूसरे समीकरण से :, इसलिए, सिस्टम असंगत है (कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चर के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: लाइनों को काटना

व्यावहारिक समस्याओं में, आप केवल विचार की गई समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वैसे, यह कोलीनियरिटी के लिए वैक्टर की जांच के लिए एल्गोरिदम के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। सदिश आधार... लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेजिंग है:

उदाहरण 1

सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात करें:

फेसला सीधी रेखा के वैक्टर के अध्ययन के आधार पर:

क) समीकरणों से हमें सीधी रेखाओं के दिशा-निर्देश वैक्टर मिलते हैं: .

, इसलिए वैक्टर टकराने नहीं जाते हैं और रेखाएं परस्पर टकराती हैं।

बस के मामले में, मैं चौराहे पर संकेत के साथ एक पत्थर रखूँगा:

बाकी पत्थर पर कूदते हैं और काशी के अमर \u003d पर सीधे चलते हैं)

बी) सीधी रेखाओं के दिशा वैक्टर खोजें:

लाइनों में एक ही दिशा वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर या संयोग हैं। यहां निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता नहीं है।

यह स्पष्ट है कि अज्ञात लोगों के लिए गुणांक आनुपातिक है, जबकि।

आइए जानें कि समानता क्या सच है:

इस प्रकार,

सी) सीधी रेखाओं के दिशा वैक्टर खोजें:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
इसलिए दिशा वैक्टर टकराने लगते हैं। लाइनें या तो समानांतर हैं या संयोग।

आनुपातिकता "लैम्ब्डा" के गुणांक को कोलीनियर दिशा वाले वैक्टर के अनुपात से सीधे देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांक के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

अब यह पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों निशुल्क शब्द शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मूल्य इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आम तौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, लाइनें मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप सीखेंगे (या पहले से ही सीख चुके हैं) मौखिक रूप से विचार की गई समस्या को सेकंड के एक मामले में कैसे हल करें। इस संबंध में, मुझे स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ भी प्रस्तावित करने का कोई कारण नहीं दिखता है, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी एक के समानांतर एक सीधी रेखा का निर्माण कैसे करें?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, कोकिलांग द रॉबर गंभीर रूप से दंडित करता है।

उदाहरण 2

समीकरण द्वारा सीधी रेखा दी गई है। एक समानांतर रेखा जो एक बिंदु से होकर गुजरती है, उसकी बराबरी करें।

फेसला: चलो अज्ञात प्रत्यक्ष पत्र को निरूपित करते हैं। हालत उसके बारे में क्या कहती है? सीधी रेखा बिंदु से होकर जाती है। और अगर सीधी रेखाएं समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि सीधी रेखा "tse" का निर्देशन वेक्टर भी सीधी रेखा "de" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1) जाँच करें कि सीधी रेखाओं में एक ही दिशा वेक्टर है (यदि सीधी रेखा का समीकरण ठीक से सरल नहीं है, तो वैक्टर का संपर्क ठीक हो जाएगा)।

2) जाँच करें कि क्या बिंदु प्राप्त समीकरण को संतुष्ट करता है।

विश्लेषणात्मक समीक्षा ज्यादातर मामलों में मौखिक रूप से करना आसान है। दो समीकरणों को देखें और आप में से कई लोग बिना किसी ड्राइंग के सीधी रेखाओं की समानता का पता लगा लेंगे।

आत्म-समाधान के उदाहरण आज रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

अगर सीधी रेखा के समानांतर एक बिंदु से गुजरती हुई सीधी रेखा का एक समीकरण बनाएं

एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत समाधान नहीं है। सबसे छोटा रास्ता सबक के अंत में है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया है और बाद में उनके पास लौट आएंगे। सीधी रेखाओं को संयोग करने का मामला बहुत कम रुचि का है, इसलिए एक समस्या पर विचार करें जो आपको स्कूल के पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से पता है:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधी हो एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन, फिर इसके निर्देशांक समाधान हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

लाइनों के चौराहे के बिंदु को कैसे खोजें? सिस्टम को हल करें।

आपके लिए इतना ही दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ क्या दो समतल (सबसे अधिक बार) समतल पर सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

लाइनों के चौराहे के बिंदु का पता लगाएं

फेसला: हल करने के दो तरीके हैं - चित्रमय और विश्लेषणात्मक।

चित्रमय तरीका केवल डेटा लाइनों को आकर्षित करना है और ड्राइंग से सीधे चौराहे बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है: इसे जांचने के लिए, आपको पंक्ति के प्रत्येक समीकरण में इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना चाहिए, उन्हें वहां और वहां दोनों जगह फिट होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का समाधान हैं। मूल रूप से, हमने हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीके से देखा रैखिक समीकरणों की प्रणाली दो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, निश्चित रूप से खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य नुकसान हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवें ग्रेडर तय करते हैं, मुद्दा यह है कि एक सही और सटीक ड्राइंग प्राप्त करने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ सीधी रेखाएं निर्माण के लिए इतनी आसान नहीं होती हैं, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीस राज्य में कहीं स्थित हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग करके चौराहे बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

सिस्टम को हल करने के लिए, समीकरणों के टर्म-बाय-टर्म जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल बनाने के लिए पाठ पर जाएँ। समीकरणों की प्रणाली कैसे हल करें?

उत्तर:

चेक तुच्छ है - चौराहे बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम में प्रत्येक समीकरण को पूरा करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे अन्तर्विभाजित करते हैं, तो चौराहों का बिंदु ज्ञात करें।

यह अपने आप से समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। हालत का विश्लेषण बताता है कि क्या आवश्यक है:
1) सीधी रेखा के समीकरण बनाओ।
2) सीधी रेखा का समीकरण बनाएं।
3) सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए।
४) यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

कार्यों की एक एल्गोरिथ्म का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

ट्यूटोरियल के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

जूते की एक जोड़ी अभी तक खराब नहीं हुई है, क्योंकि हमें सबक का दूसरा भाग मिला है:

लंबवत सीधी रेखाएँ। बिंदु से लाइन की दूरी।
सीधी रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक ठेठ और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि इस एक के समानांतर एक सीधी रेखा का निर्माण कैसे किया जाता है, और अब चिकन पैरों पर झोपड़ी 90 डिग्री हो जाएगी:

किसी दिए गए लंबवत रेखा का निर्माण कैसे करें?

उदाहरण 6

समीकरण द्वारा सीधी रेखा दी गई है। एक बिंदु के माध्यम से लंब रेखा के बराबर।

फेसला: शर्त से यह ज्ञात है कि सीधी रेखा की दिशा वेक्टर को ढूंढना अच्छा होगा। चूंकि रेखाएं लंबवत हैं, चाल सरल है:

सामान्य वेक्टर को समीकरण "हटाएं" से: जो सीधी रेखा का दिशा वेक्टर होगा।

एक सीधी रेखा के समीकरण को एक बिंदु और एक दिशा सदिश द्वारा बनाया गया है:

उत्तर:

चलो ज्यामितीय स्केच का विस्तार करें:

हम्मम ... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा वैक्टर निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पाद हम इस निष्कर्ष पर आते हैं कि सीधी रेखाएं वास्तव में लंबवत हैं:।

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु प्राप्त समीकरण को संतुष्ट करता है .

चेक, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

समीकरण ज्ञात होने पर लंब रेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु।

यह अपने आप से समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं हैं, इसलिए बिंदु द्वारा बिंदु को खींचने के लिए समाधान सुविधाजनक है

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से लाइन की दूरी

इससे पहले कि हम नदी की एक सीधी पट्टी हो और हमारा काम उसे सबसे छोटे रास्ते से पहुंचाना है। कोई बाधाएं नहीं हैं, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आंदोलन होगा। यही है, एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी एक लंब रेखा की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "ईएम" से सीधी रेखा "डी" तक की दूरी।

बिंदु से लाइन की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया

उदाहरण 8

बिंदु से लाइन की दूरी ज्ञात कीजिए

फेसला: आप सभी को सावधानीपूर्वक संख्याओं को सूत्र में स्थान देना और गणना करना है:

उत्तर:

चलो ड्राइंग निष्पादित करें:

पाई गई बिंदु से रेखा तक की दूरी लाल रेखा की लंबाई है। यदि आप 1 यूनिट के पैमाने पर चेकर पेपर पर ड्राइंग बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 सेल), फिर दूरी को एक सामान्य शासक के साथ मापा जा सकता है।

समान खाका के लिए एक और कार्य पर विचार करें:

कार्य एक बिंदु के निर्देशांक को खोजना है जो एक सीधी रेखा के संबंध में एक बिंदु के लिए सममित है ... मैं स्वयं क्रिया करने का प्रस्ताव करता हूं, लेकिन मैं समाधान एल्गोरिथ्म को मध्यवर्ती परिणामों के साथ रेखांकित करूंगा:

1) एक पंक्ति का पता लगाएं जो रेखा के लंबवत है।

2) लाइनों के प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करें: .

इस पाठ में दोनों क्रियाएं विस्तृत हैं।

3) बिंदु रेखा खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य के सिरों और छोरों में से एक को जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्र हम ढूंढे।

यह जाँच करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाई है।

गणना में यहां कठिनाइयाँ पैदा हो सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रो कैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप साधारण अंशों को गिन सकते हैं। बार-बार सलाह दी जाती है, फिर से सलाह देंगे।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। मुझे आपको थोड़ा संकेत देना चाहिए: इसे हल करने के लिए असीम रूप से कई तरीके हैं। सबक के अंत में दुखी, लेकिन अपने लिए बेहतर अनुमान लगाने की कोशिश करें, मुझे लगता है कि आपकी प्रतिभा काफी अच्छी तरह से बिखरी हुई थी।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

हर कोण एक जाम्ब है:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को SMALLEST कोण के रूप में लिया जाता है, जहाँ से यह स्वचालित रूप से इस प्रकार चलता है कि यह आपत्तिजनक नहीं हो सकता है। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को सीधी रेखाओं के बीच के कोण को नहीं माना जाता है। और उसके "हरे" पड़ोसी को ऐसा माना जाता है, या विपरीत रूप से उन्मुख "क्रिमसन" कोने।

यदि सीधी रेखाएं लंबवत हैं, तो 4 कोणों में से किसी को भी उनके बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है।

कोण अलग कैसे होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने "स्क्रॉलिंग" की दिशा मौलिक महत्व है। दूसरा, एक नकारात्मक रूप से उन्मुख कोण को माइनस साइन के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि।

मैंने यह क्यों बताया? ऐसा लगता है कि आप एक कोण की सामान्य अवधारणा से प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन फ़ार्मुलों में हम कोणों को पाएंगे, आप आसानी से एक नकारात्मक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, और यह आपको आश्चर्य से नहीं लेना चाहिए। माइनस साइन के साथ कोण कोई भी बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर (घड़ी की दिशा) के साथ इसके अभिविन्यास को इंगित करना सुनिश्चित करें।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें? दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण १०

सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

फेसला तथा विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधी हो लंबवत नहींफिर उन्मुख उनके बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए हर एक पर ध्यान दें - यह ठीक है अदिश उत्पाद सीधी रेखा के वैक्टर

यदि, तो सूत्र का हरक गायब हो जाता है, और वैक्टर ऑर्थोगोनल होगा और सीधी रेखाएं लंबवत हैं। इसीलिए सूत्रीकरण में सीधी रेखाओं की गैर-लंबितता के बारे में एक आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, दो चरणों में समाधान की व्यवस्था करना सुविधाजनक है:

1) सीधी रेखाओं के दिशा वैक्टर के अदिश उत्पाद की गणना करें:
इसलिए, सीधी रेखाएं लंबवत नहीं हैं।

2) सीधी रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा पाया जाता है:

उलटा फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोने को स्वयं ढूंढना आसान है। इस मामले में, हम आर्कमेन्टेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें)। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

जवाब में, हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान और साथ ही अनुमानित मूल्य (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) को इंगित करते हैं।

ठीक है, माइनस, इतना माइनस, यह ठीक है। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या बयान में पहली संख्या एक सीधी रेखा है और इसके साथ कोण का "घुमा" शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं की अदला-बदली करने की आवश्यकता है, यानी दूसरे समीकरण से गुणांक लेना , और गुणांक पहले समीकरण से लिए गए हैं। संक्षेप में, आपको एक सीधी रेखा से शुरू करना चाहिए .

दो पंक्तियों को दिया जाना चाहिए और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए आवश्यक है। चूंकि यह बिंदु दो दी गई रेखाओं में से प्रत्येक का है, इसलिए इसके निर्देशांक को पहली पंक्ति के समीकरण और दूसरी रेखा के समीकरण दोनों को संतुष्ट करना होगा।

इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, किसी को समीकरणों की प्रणाली को हल करना चाहिए

उदाहरण 1. लाइनों के प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करें और

फेसला। हम समीकरणों की प्रणाली को हल करके वांछित चौराहे बिंदु के निर्देशांक पाएंगे

चौराहे बिंदु एम के पास निर्देशांक हैं

आइए हम दिखाते हैं कि इसके समीकरण से एक सीधी रेखा का निर्माण कैसे किया जाता है। एक सीधी रेखा बनाने के लिए, इसके दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है। इन बिंदुओं में से प्रत्येक को प्लॉट करने के लिए, हम इसके एक निर्देशांक का एक मनमाना मूल्य निर्धारित करते हैं, और फिर समीकरण से हमें दूसरे समन्वय के संबंधित मान का पता चलता है।

यदि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में वर्तमान निर्देशांक पर दोनों गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो इस सीधी रेखा का निर्माण करने के लिए समन्वय अक्षों के साथ इसके चौराहे के बिंदुओं को ढूंढना सबसे अच्छा है।

उदाहरण 2. एक सीधी रेखा का निर्माण।

फेसला। एब्सिस्सा अक्ष के साथ इस सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम उनके समीकरणों को एक साथ हल करते हैं:

और हम प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, एब्सिसा अक्ष के साथ इस सीधी रेखा के चौराहे का बिंदु M (3; 0) पाया गया (चित्र 40)।

इसके बाद संयुक्त रूप से इस सीधी रेखा के समीकरण और समन्वय अक्ष के समीकरण

हम ऑर्डिनेट अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे का बिंदु पाते हैं। अंत में, हम इसके दो बिंदुओं और M के साथ एक सीधी रेखा बनाते हैं